ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ιατήρηση ορµής

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ιατήρηση ορµής Ας θεωρήσοµε δυο υλικά σηµεία και µε µάζες και αντιστοίχως που βρίσκονται την τυχούσα χρονική στιγµή στις αντίστοιχες διανυσµατικές ακτίνες και και έχουν αντίστοιχες ταχύτητες u και u Ας υποθέσοµε ότι το υλικό σηµείο ασκεί στο δύναµη F και ότι το ασκεί στο δύναµη F Πχ ένα θετικό και ένα αρνητικό φορτίο στον χώρο ασκούν ίσες και αντίθετες ελκτικές δυνάµεις το ένα στο άλλο Επίσης ας θεωρήσοµε ότι δεν ασκούνται εξωτερικές δυνάµεις στα υλικά σηµεία Από τον εύτερο Νόµο του Νεύτωνα έχοµε ότι u (4) F u F (4) Και από τον Τρίτο Νόµο του Νεύτωνα έχοµε ότι F F Από τον συνδυασµό των δυο νόµων παίρνοµε ή ή u u (4) ( u ) ( u ) ( u ) ( u ) ( u u ) (44) Ορίζοµε ως ορµή του υλικού σηµείου το p u ως ορµή του υλικού σηµείου το p u και ως συνολική ορµή του συστήµατος των δυο σηµείων το P p p Τότε η (44) γράφεται ως ή ( p p ) P p p (45) σταθερό (46) Αποδείξαµε λοιπόν το θεώρηµα διατήρησης της ορµής Θεώρηµα 4: Αν σε σύστηµα δυο αλληλεπιδρώντων υλικών σηµείων δεν ασκείται εξωτερική δύναµη η συνολική ορµή του συστήµατος διατηρείται Page of

4 Κέντρο µάζας Ας γενικεύσοµε τώρα το παραπάνω θεώρηµα για περισσότερα των δυο υλικών σηµείων Ας θεωρήσοµε υλικά σηµεία µε µάζες αντιστοίχως που βρίσκονται την τυχούσα χρονική στιγµή στις αντίστοιχες διανυσµατικές ακτίνες Ας υποθέσοµε ότι το υλικό σηµείο i ασκεί στο υλικό σηµείο j δύναµη F ij όπου i j Επίσης ας θεωρήσοµε ότι στο υλικό σηµείο i i ασκείται εξωτερική δύναµη F i Από τον εύτερο Νόµο του Νεύτωνα έχοµε F F F F 4 (47) F F F 4 (48) F F F F 4 (49) F F F F F (4) Προσθέτοµε όλες τις εξισώσεις κατά µέλη και έχοµε F F F F (4) διότι από τον Τρίτο Νόµο του Νεύτωνα έχοµε ότι γράφεται ως F ij F Η τελευταία εξίσωση ji F ( ) F F F (4) ή F F F F (4) όπου είναι η ολική µάζα του συστήµατος των υλικών σηµείων Αν τη διανυσµατική ποσότητα Page of

που γράφεται και ως (44) (45) τη συµβολίσοµε µε R τότε η εξίσωση (4) γράφεται ως R F F F F (46) Αν δεν ασκούνται εξωτερικές δυνάµεις στα υλικά σηµεία τότε η εξίσωση (4) γράφεται ως ( u u u u ) (47) που είναι ο νόµος διατήρησης της ορµής συστήµατος αλληλεπιδρώντων υλικών σηµείων στα οποία δεν ασκούνται εξωτερικές δυνάµεις Ας δούµε τώρα τη φυσική σηµασία της εξίσωσης (46) Αν θεωρήσοµε το R ως τη διανυσµατική ακτίνα ενός νοητού υλικού σηµείου µε µάζα τότε η εξίσωση (46) είναι η εξίσωση κίνησης αυτού του νοητού υλικού σηµείου υπό την επίδραση της συνισταµένης των δυνάµεων F F F F Αξίζει λοιπόν να δούµε που βρίσκεται αυτό το νοητό υλικό σηµείο σε σχέση µε τα πραγµατικά υλικά σηµεία Από τον ορισµό του R R (47) βλέποµε ότι το διάνυσµα R φτιάχνεται από «ποσοστά» i των i i Άρα το νοητό υλικό σηµείο είναι «κάπου µεταξύ» των πραγµατικών υλικών σηµείων και είναι πολύ πιθανό να µη συµπίπτει µε κανένα από αυτά Αυτό το νοητό σηµείο λέγεται κέντρο µάζας των υλικών σηµείων Θεώρηµα 4: Το κέντρο µάζας αλληλεπιδρώντων υλικών σηµείων κινείται σαν όλες οι µάζες να ήταν συγκεντρωµένες εκεί και να ασκείται σ αυτό η συνισταµένη των εξωτερικών δυνάµεων που ασκούνται στα υλικά σηµεία Για να κατανοήσοµε καλύτερα τον ορισµό (47) του κέντρου µάζας ας τον εφαρµόσοµε σε δυο υλικά σηµεία Ας θεωρήσοµε δυο υλικά σηµεία και µε µάζες και αντιστοίχως που βρίσκονται την τυχούσα χρονική στιγµή στις θέσεις και του άξονα Οι διανυσµατικές ακτίνες των υλικών σηµείων είναι iˆ και iˆ Χρησιµοποιώντας τον ορισµό (47) έχοµε Page of

R iˆ iˆ iˆ X iˆ (48) όπου X (49) Ας δούµε τώρα αν αυτό το X µπορούµε να το βρούµε µε τον απλό τρόπο που χρησιµοποιούσαµε στο Λύκειο για το κέντρο µάζας Αν X είναι το σηµείο του κέντρου µάζας στον άξονα τότε αυτό το σηµείο είναι κάπου µεταξύ των σηµείων και > Αν θέλετε µπορείτε να θεωρήσετε ότι τα είναι θετικές ποσότητες αλλά αυτό δεν είναι απαραίτητο Γράφοµε λοιπόν ( X X ) ( ) (4) όπου X είναι η απόσταση της µάζας από το κέντρο µάζας και X είναι η αντίστοιχη απόσταση για τη µάζα Λύνοντας ως προς X παίρνοµε την (49) Παρατήρηση: Μπορεί να είναι πολύ δύσκολο να περιγράψοµε την κίνηση ενός στερεού σώµατος µάζας στον χώρο υπό την επίδραση της βαρύτητας διότι το σώµα µπορεί να περιστρέφεται καθώς κινείται Όµως το κέντρο µάζας του σώµατος κάνει πολύ απλή κίνηση που περιγράφεται από την εξίσωση R g (4) όπου g είναι η δύναµη της βαρύτητας Τη λύση αυτής της εξίσωσης την είδαµε στο Παράδειγµα Ιδιότητες του κέντρου µάζας: Το κέντρο µάζας ενός οµογενούς σώµατος έχει τις εξής ιδιότητες που αποδεικνύονται πολύ εύκολα: Αν το σώµα έχει σηµείο συµµετρίας τότε το κέντρο µάζας του είναι αυτό το σηµείο συµµετρίας Πχ το κέντρο σφαίρας ή σφαιρικού φλοιού είναι το κέντρο µάζας του σώµατος Οµοίως για κύλινδρο ή κυλινδρικό φλοιό Αν το σώµα έχει άξονα συµµετρίας τότε το κέντρο µάζας του είναι πάνω στον άξονα συµµετρίας Πχ το κέντρο µάζας κώνου είναι πάνω στον άξονα συµµετρίας του Αν το σώµα έχει δυο άξονες συµµετρίας τότε το κέντρο µάζας του είναι στην τοµή των δυο αξόνων συµµετρίας 4 Αν το σώµα έχει επίπεδο συµµετρίας τότε το κέντρο µάζας του είναι πάνω στο επίπεδο συµµετρίας 5 Αν ένα σώµα αποτελείται από δυο µέρη ας πούµε A και B µε µάζες A και B αντιστοίχως τότε το κέντρο µάζας του σώµατος µπορεί να βρεθεί θεωρώντας µάζα µάζας του B A στο κέντρο µάζας του A και µάζα B στο κέντρο Page 4 of

Άσκηση 4: Να αποδειχτούν οι παραπάνω ιδιότητες Λάβετε υπόψη σας ότι από τον ορισµό (47) έχοµε ότι οι συντεταγµένες του κέντρου µάζας υλικών σηµείων είναι X Y y y y y z z z z Εύρεση κέντρου µάζας σώµατος: Για σύστηµα διακριτών υλικών σηµείων η έκφραση (47) µάς δίνει τη διανυσµατική ακτίνα του κέντρου µάζας τους Τι γίνεται όµως αν τα υλικά σηµεία δεν είναι διακριτά αλλά είναι τα άτοµα ενός στερεού σώµατος; Σ αυτήν την περίπτωση η κατανοµή της µάζας είναι συνεχής και όχι διακριτή Άρα πρέπει να γενικεύσοµε την έκφραση (47) για συνεχή κατανοµή µάζας Ας θεωρήσοµε στερεό σώµα µάζας µε πυκνότητα ρ και ας θεωρήσοµε έναν απειροστό όγκο του σώµατος V στη διανυσµατική ακτίνα Σ αυτόν τον όγκο υπάρχει η απειροστή µάζα ρ V Κατ αναλογία λοιπόν προς τη σχέση (47) γράφοµε R ( ) ( V ) ρ V (4) όπου το σύµβολο ( ) ή (V ) στο ολοκλήρωµα σηµαίνει ότι πρέπει να ολοκληρώσοµε ως προς όλη τη µάζα ή όλον τον όγκο V του στερεού σώµατος Οι συντεταγµένες του κέντρου µάζας δίνονται από X ( ) ( V ) ρ V Y ( ) y ( V ) ρ y V ( ) z ( V ) ρ z V (4) Για σταθερή πυκνότητα έχοµε ότι ρ / V όπου V είναι ο όγκος του σώµατος Έτσι για οµογενή σώµατα οι εξισώσεις (4) γίνονται X V V ( ) V Y y V V ( ) V z V ( V (44) V ) Page 5 of

Με άλλα λόγια το κέντρο µάζας οµογενούς σώµατος συµπίπτει µε το λεγόµενο κεντροειδές του του οποίου οι συντεταγµένες δίνονται από τις εξισώσεις (44) Παράδειγµα 4: Να βρεθεί το κέντρο µάζας οµογενούς ηµισφαιρίου µάζας και ακτίνας R Λύση: Η πυκνότητα του ηµισφαιρίου είναι ρ Ας θεωρήσοµε ότι ο ( / ) π R άξονας z είναι ο άξονας συµµετρίας του ηµισφαιρίου και ότι η κυκλική βάση του είναι στο επίπεδο y Άρα το κέντρο µάζας του βρίσκεται στον άξονα z (ιδιότητα του κέντρου µάζας) και η συντεταγµένη του δίνεται από ( ) z Το πώς θα διαµερίσοµε τη µάζα σε απειροστά κοµµάτια είναι δική µας επιλογή αρκεί στο τέλος να έχοµε πάρει όλη τη µάζα Κόβοµε λοιπόν το ηµισφαίριο σε φέτες παράλληλες προς το επίπεδο y πάχους z η καθεµία Ας θεωρήσοµε την τυχούσα φέτα που βρίσκεται σε ύψος z δηλαδή η µια βάση της είναι στο z και η άλλη στο z z Το εµβαδόν της βάσης της φέτας είναι S π π ( R z ) όγκος της φέτας είναι V S z π ( R z ) z και η µάζα της είναι ρ V ρπ ( R z ) z Συνεπώς έχοµε για τη συντεταγµένη R ρπ ( R o z ) z z 8 R Παρατήρηση : Λόγω του σχήµατος του ηµισφαιρίου περιµέναµε το να είναι µικρότερο από R / και όντως είναι Παρατήρηση : Αυτό που κάναµε εδώ είναι η γενίκευση της ιδιότητας 5 για το κέντρο µάζας Αντί για δυο µέρη έχοµε άπειρα Παράδειγµα 4: Να βρεθεί το κέντρο µάζας οµογενούς κώνου µάζας βάσης κυκλικής µε ακτίνα R και ύψους H Λύση: Ο όγκος του κώνου είναι V πυκνότητά του είναι π R H (δηλαδή / βάση ύψος) και η ρ ( / ) πr H Ας θεωρήσοµε ότι ο άξονας z είναι ο άξονας συµµετρίας του κώνου και ότι η βάση του είναι στο επίπεδο y Άρα το κέντρο µάζας του βρίσκεται στον άξονα z (ιδιότητα του κέντρου µάζας) και η συντεταγµένη του δίνεται από Page 6 of

( ) z Κόβοµε τον κώνο σε φέτες παράλληλες προς το επίπεδο y πάχους z η καθεµία Ας θεωρήσοµε την τυχούσα φέτα που βρίσκεται σε ύψος z δηλαδή η µια βάση της είναι στο z και η άλλη στο z z Το εµβαδόν της βάσης της φέτας είναι H z H z S π π R διότι από όµοια ορθογώνια τρίγωνα έχοµε ότι H R H Ο όγκος της φέτας είναι V S z και η µάζα της είναι ρ V Συνεπώς έχοµε για τη συντεταγµένη H H z ρπ R z z H o H 4 Παράδειγµα 4: Να βρεθεί το κέντρο µάζας οµογενούς ηµικυκλικού σύρµατος µάζας και ακτίνας R Λύση: Η γραµµική πυκνότητα του σύρµατος (δηλαδή η µάζα ανά µονάδα µήκους) είναι λ Ας θεωρήσοµε ότι η διάµετρος του ηµικυκλίου βρίσκεται στον άξονα π R µε το κέντρο τού ηµικυκλίου στη θέση και το ηµικύκλιο στο επίπεδο z Ο άξονας z είναι συνεπώς άξονας συµµετρίας του ηµικυκλίου και άρα το κέντρο µάζας του βρίσκεται στον άξονα z µε συντεταγµένη ( ) z Θωρούµε δυο ευθείες παράλληλες προς τον άξονα στα σηµεία z και z z του άξονα z που εκτείνονται προς τα θετικά Το µήκος τόξου του ηµικυκλίου που βρίσκεται µεταξύ των δυο ευθειών έχει µήκος s Rθ και µάζα λs λrθ Page 7 of

Έτσι η συντεταγµένη του κέντρου µάζας είναι ( ) z π λrθ z π λrθ R sinθ R π Παράδειγµα 44: Να βρεθεί το κέντρο µάζας οµογενούς ηµισφαιρικής επιφάνειας µάζας και ακτίνας R Λύση: Η επιφανειακή πυκνότητα της ηµισφαιρικής επιφάνειας (δηλαδή η µάζα ανά µονάδα επιφάνειας) είναι σ Ας θεωρήσοµε ότι ο άξονας z είναι ο άξονας π R συµµετρίας της ηµισφαιρικής επιφάνειας και ότι η κυκλική βάση της είναι στο επίπεδο y µε το κέντρο της στην αρχή των αξόνων Άρα το κέντρο µάζας της βρίσκεται στον άξονα z (ιδιότητα του κέντρου µάζας) και η συντεταγµένη της δίνεται από ( ) z Αν το σχήµα του Παραδείγµατος 4 το περιστρέψοµε περί τον άξονα z το ηµικύκλιο γίνεται ηµισφαιρική επιφάνεια και οι οριζόντιες ευθείες γίνονται οριζόντιοι κύκλοι Η ακτίνα του κάτω κύκλου είναι R cosθ και είναι ίση µε το του σχήµατος του Παραδείγµατος 4 Το εµβαδόν της ηµισφαιρικής επιφάνειας που βρίσκεται µεταξύ των δυο κύκλων είναι S π Rθ π R cosθ Rθ (διότι είναι λωρίδα µήκους π π R cosθ και πλάτους R θ ) και η µάζα της είναι σ S σ π R cosθ Rθ Έτσι η συντεταγµένη του κέντρου µάζας είναι Page 8 of

( ) z π / σ π R cosθ Rθ z π / σ π R cosθ Rθ R sinθ R Παράδειγµα 45: Στο επίπεδο z θεωρήστε κυκλική επιφάνεια µάζας και ακτίνας R µε κέντρο το σηµείο (R) Από αυτή την επιφάνεια αφαιρέστε επιφάνεια κύκλου ακτίνας a R / µε το κέντρο της στο σηµείο ( R / ) Να βρεθεί το κέντρο µάζας της εναποµείνασας επιφάνειας Λύση: Η επιφανειακή πυκνότητα της αρχικής κυκλικής επιφάνειας είναι σ πr Έτσι η µάζα που αφαιρείται είναι και η µάζα που αποµένει είναι σπ a σ π ( R a ) Το κέντρο µάζας της επιφάνειας που αφαιρέθηκε είναι στον άξονα και έχει συντεταγµένη R / ενώ το κέντρο µάζας της εναποµείνασας επιφάνειας είναι στον άξονα και έχει συντεταγµένη που είναι ζητούµενη Τέλος το κέντρο µάζας της αρχικής επιφάνειας είναι στον άξονα και έχει συντεταγµένη X R Εφαρµόζοντας την ιδιότητα 5 του κέντρου µάζας γράφοµε ή R σπ a X σπ ( R σπ R a ) Λύνοντας ως προς έχοµε R a R a / R Άσκηση 4: Να βρεθεί το κέντρο µάζας οµογενούς πυραµίδας µάζας ύψους H και βάσης τετράγωνης µε πλευρά a Απάντηση: Έστω ότι ο άξονας συµµετρίας είναι ο z Τότε H / 4 Άσκηση 4: Να βρεθεί το κέντρο µάζας οµογενούς ηµικυκλικής επιφάνειας µάζας και ακτίνας R Απάντηση: Έστω ότι ο άξονας συµµετρίας είναι ο z Τότε ( / π ) R Άσκηση 44: Να βρεθεί το κέντρο µάζας οµογενούς συρµάτινου τεταρτοκυκλίου µάζας και ακτίνας R Page 9 of

Απάντηση: Έστω ότι ο άξονας συµµετρίας είναι ο z Τότε ( / π ) R Άσκηση 45: Θεωρήστε οµογενή σφαίρα µάζας και ακτίνας R µε κέντρο το σηµείο (R) Από αυτή τη σφαίρα αφαιρέστε σφαίρα ακτίνας a R / µε το κέντρο της στο σηµείο ( R / ) Να βρεθεί το κέντρο µάζας της εναποµείνασας µάζας Απάντηση: Κατ αναλογία προς το Παράδειγµα 45 R a R a / R Άσκηση 46 (Θεώρηµα του Πάππου του Αλεξανδρινού 9 5 µχ ): Θεωρήστε οµογενές επίπεδο σύρµα µάζας και µήκους L Περιστρέψτε το σύρµα περί έναν άξονα που βρίσκεται στο ίδιο επίπεδο µε το σύρµα είξτε ότι το εµβαδόν της επιφάνειας που διαγράφει το σύρµα µε την περιστροφή του ισούται µε το µήκος του σύρµατος επί το µήκος του τόξου που διαγράφει το κέντρο µάζας του σύρµατος κατά την περιστροφή Υπόδειξη: α) Γράψτε µε ολοκλήρωµα το εµβαδόν της επιφάνειας που προκύπτει από την περιστροφή β) Υπολογίστε τη συντεταγµένη του κέντρου µάζας του σύρµατος στον άξονα z αν η περιστροφή είναι να γίνει περί τον άξονα Απάντηση: Έστω περιστροφή κατά γωνία θ Εµβαδόν Lθ z Άσκηση 47: Χρησιµοποιώντας τα Θεώρηµα του Πάππου να βρείτε το κέντρο µάζας οµογενούς ηµικυκλικού σύρµατος µάζας και ακτίνας R Απάντηση: Έστω ότι ο άξονας συµµετρίας είναι ο z Τότε ( / π ) R Άσκηση 48 (Θεώρηµα του Πάππου του Αλεξανδρινού 9 5 µχ ): Θεωρήστε οµογενή επίπεδη επιφάνεια µάζας και εµβαδού A Περιστρέψτε την επιφάνεια περί έναν άξονα που βρίσκεται στο ίδιο επίπεδο µε την επιφάνεια είξτε ότι ο όγκος που διαγράφει η επιφάνεια µε την περιστροφή της ισούται µε το εµβαδόν της επιφάνειας επί το µήκος του τόξου που διαγράφει το κέντρο µάζας της επιφάνειας κατά την περιστροφή Απάντηση: Έστω περιστροφή κατά γωνία θ Όγκος Aθ z Άσκηση 49: Χρησιµοποιώντας το Θεώρηµα του Πάππου να βρείτε το κέντρο µάζας οµογενούς ηµικυκλικής επιφάνειας µάζας και ακτίνας R Page of

Απάντηση: Έστω ότι ο άξονας συµµετρίας είναι ο z Τότε ( 4 / π ) R Page of