Εαρινό εξάμηνο 2014 3.04.14 Χ. Χαραλάμπους
Γενικό πρόβλημα: Να διαιρέσεις τετράγωνο σε δύο τετράγωνα. Ειδικό πρόβλημα: Να διαιρέσεις το 16 σε δύο τετράγωνα.
Πίσω στον ιόφαντο και στο πρόβλημα της διαίρεσης του 16 σε δύο τετράγωνα. Ο ιόφαντος δίνει τις παρακάτω οδηγίες: έστω x 2 το πρώτο τετράγωνο. αυτό που απομένει είναι 16- x 2. Πρέπει να είναι τετράγωνο και αυτό. Παίρνω το τετράγωνο της διαφοράς ενός οποιοδήποτε πολλαπλασίου του x μείον 4. Για παράδειγμα έστω το τετράγωνο του 2x-4: Τότε (2x-4) 2 =4x 2 +16-16x. Και (2x-4) 2 =16-x 2 Τελικά 5x 2 =16x άρα x=16/5. Το ένα τετράγωνο είναι 256/25 και το άλλο είναι 144/25.
Γιατί o Δόφ Διόφαντος διαλέγει το δεύτερο τετράγωνο να είναι της μορφής (mx 4) 2 Αν m=2 τότε η λύση είναι x=256/25, y=144/25 αν m=4 τότε η λύση είναι x=1024/289,y= 3600/289---- Ο ιόφαντος στην ουσία λέει ότι υπάρχουν άπειρες λύσεις (και δίνει τρόπο εύρεσης Πυθαγορείων τριάδων) Ποια είναι η γενική μέθοδος? Αν το αρχικό τετράγωνο ήταν c 2 πως θα βρίσκαμε τα δύο τετράγωνα?
Σημερινή Γεωμετρική ερμηνεία: Ο κύκλος y 2 =16-x 2 και η ευθεία y=2x-4 τέμνονται σε δύο σημεία. το ένα σημείο τομής βρίσκεται στον άξονα των y (x=0). Το άλλο σημείο τομής έχει για x- συντεταγμένη τη τιμή που ψάχνουμε.
«Αριθμητική» Βιβλίο 4: ( Ο Διόφαντος αναφέρεται σε Πρόταση από το βιβλίο Πορίσματα, όπου εννοείται ότι είναι η απόδειξη) Αριθμοί της μορφής 4n+3 δεν μπορεί να είναι άθροισμα τετραγώνων (έχει η πρόταση αυτή απόδειξη με τα εργαλεία του Διόφαντου?)
Μέρος της «Αριθμητικής» ρ αντιγράφηκε από τους Βυζαντινούς λόγιους, (σχόλιο από Ιωάννη τον Χορτασμένο τον 14 ο αιώνα) Μεταφράστηκε στα Αραβικά τον 10 ο αιώνα. To 1463 ο Regiomontanus αναφέρει ότι δυστυχώς η Αριθμητική» δεν έχει ακόμα μεταφραστεί στα Λατινικά Μετάφραση του Bombelli 1570, (χρησιμοποίησε προβλήματα στο βιβλίο του Άλγεβρα) Πιο γνωστή μετάφραση του Bachet 1621 (Fermat)
al Khwārizmī (780 850) Ιράκ
Kitāb al Jam wa l tafrīq bi ḥisāb al Hind (λατινικά Dixit algorizm) ~825
al Kitab al mukhtasar fi hisab al jabr wa'l muqabala الكا الكتاب 830~ المختصر في حساب الجبر اولمقابلة al-jabr: αποκατάσταση συμπλήρωση Mugabala: ελάττωση---εξισορρόπηση
Χάρτης του al-kwarizmi (μαθηματικός και γεωγράφος) )
Αλλαγή έμφασης (στην επίλυση δευτεροβάθμιων): Το ζητούμενο είναι να βρεθεί αριθμός (οί) που να ικανοποιεί (ούν) κάποιες συνθήκες και όχι ακμές τετραγώνων. Σε κάποιες περιπτώσεις ο al Khwārizmī δέχεται δύο (θετικές) λύσεις σε δευτεροβάθμιες εξισώσεις. Συγκρίνοντας το γραπτό του με του ιόφαντου παρατηρούμε ότι δίνει γεωμετρικού τύπου αποδείξεις.
Παράδειγμα: Ποιό πρέπει να είναι το τετράγωνο που όταν το προσθέσεις σε 10 από τις ρίζες του θα γίνει 39? ιαιρείς τον αριθμό των ριζών και παίρνεις 5 αυτό το πολλαπλασιάζεις με τον εαυτό του και το γινόμενο είναι 25 προσθέτεις σε αυτό 39 το αποτέλεσμα είναι 64 παίρνεις της ρίζα του που είναι 8 αφαιρείς το μισό του αριθμού των ριζών ρζ που είναι 5, το υπόλοιπο είναι 3. Αυτή είναι η ρίζα που ζητούσες.
(Ρητορική προσέγγιση.) Πλήρωση του τετραγώνου: (απόδειξη για x 2 +10x=39)
Για κάθε μορφή πολυωνυμικής εξίσωσης βαθμού 2 δίνεται διαφορετική λύση και απόδειξη. Στις μορφές αυτές ο al-kwarizmi δεν δέχεται αρνητικούς συντελεστές. Οι λύσεις πρέπει να είναι θετικές, ενώ το 0 δεν είναι λύση. Για τη λύση δευτεροβάθμιας εξίσωσης της μορφής x 2 +c=bx χρησιμοποιεί την παρακάτω γεωμετρική κατασκευή. ΝD= b, BD=x, NT= b/2 Άρα KIRG είναι τετράγωνο με ακμή b/2-x και εμβαδόν (b/2) 2 -c
έμπνευση του al-kwarizmi από αρχαίους Βαβυλώνιους, ιόφαντο και Ευκλείδη. Είναι όμως οι αποδείξεις του al-kwarizmi, του ιδίου «τύπου» όπως του Ευκλείδη? Ο al-kwarizmi i δεν έγραφε εξισώσεις. Χρησιμοποιούσε ο al-kwarizmi το ΙνδοΑραβικό σύστημα?
Παράδειγμα από το κείμενο του Abu Kamil (Αίγυπτος: γ ς ~850-930 μ.χ.) ) Σε ένα πρόβλημα υπολογίζει πως να χωρίσει κανείς το 10 σε δύο μέρη, έτσι ώστε όταν το ένα μέρος πολλαπλασιάζεται με τον εαυτό του, το άλλο με τη ρίζα του 8, και αφαιρείται από το πρώτο γινόμενο το δεύτερο, το αποτέλεσμα είναι 40. Μετά από πράξεις δίνει την απάντηση: Το μέρος είναι 10 και ρίζα 2 αφαιρώντας ρίζα του αθροίσματος του 42 και της ρίζας του 800, ενώ το άλλο μέρος είναι ** ο Kamil χρησιμοποιεί με άνεση ρζ ριζικά μη ρητών**