Κεφάλαιο 6 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΡΕΨΗ

119 Κεφάλαιο 6 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΡΕΨΗ 6.1 Εισαγωγή Όταν ένα δομικό στοιχείο καταπονείται με ροπές των οποίων τα διανύσματα είναι παράλληλα προς τον άξονα του στοιχείου, δηλαδή προκαλούν συστροφή του στοιχείου ως προς τον άξονα αυτόν, τότε λέμε ότι το στοιχείο υφίσταται στρέψη. Απλό παράδειγμα στρέψης έχουμε όταν προσπαθούμε με ένα κατσαβίδι να βιδώσουμε μια βίδα. Αν φανταστούμε ότι η βίδα δεν στρίβει (π.χ. επειδή έχει τερματίσει, έχει φθάσει στο τέλος της) αλλά εμείς καταβάλλουμε προσπάθεια να στρίψουμε τη λαβή του κατσαβιδιού, τότε στην πραγματικότητα καταπονούμε όλο το κατσαβίδι σε στρέψη (το ίδιο συμβαίνει και όταν η βίδα στρίβει σχετικά δύσκολα, με μόνη διαφορά ότι η ροπή στρέψης που επιβάλλουμε είναι μικρότερη απ ότι στην περίπτωση που το άκρο του κατσαβιδιού δεν στρίβει). Όπως θα δούμε στο κεφάλαιο αυτό, κύρια αποτελέσματα της στρέψης σε δομικά στοιχεία είναι η σχετική στροφή των διατομών και η ανάπτυξη διατμητικών τάσεων πάνω στο επίπεδο κάθε διατομής. Βασικός στόχος του κεφαλαίου είναι ο υπολογισμός των τάσεων αυτών και των στροφών για απλές περιπτώσεις κυλινδρικών δομικών στοιχείων με συμπαγείς ή λεπτότοιχες διατομές. Άλλες περιπτώσεις δομικών στοιχείων (π.χ. με ορθογωνικές ή πολυκυψελικές διατομές) θα καλυφθούν στα πλαίσια του μαθήματος 4 ου εξαμήνου «Μηχανική των Υλικών». 6.2 Εφαρμογή της μεθόδου των τομών για την κατασκευή διαγραμμάτων ροπής στρέψης Ο υπολογισμός τάσεων και παραμορφώσεων προϋποθέτει ότι είναι γνωστή η ροπή στρέψης σε όλο το μήκος ενός δομικού στοιχείου. Η ροπή αυτή δίνεται από το διάγραμμα ροπής στρέψης, το οποίο προκύπτει μέσω εφαρμογής των εξισώσεων ισορροπίας και της μεθόδου των τομών, όπως ακριβώς ισχύει και για τα διαγράμματα αξονικής δύναμης, ροπών κάμψης και τεμνουσών. Θετική ροπής στρέψης σε μία διατομή θεωρείται αυτή με διάνυσμα πάνω στον άξονα x του δομικού στοιχείου

120 αριστερόστροφο. Ομοίως, θετική θεωρείται και η γωνία στροφής της διατομής αν είναι αριστερόστροφη (Σχ. 6.1β). φ x T T(x) (α) (β) Σχ. 6.1 (α) Φόρτιση δομικού στοιχείου σε στρέψη. (β) Ορισμός θετικής ροπής στρέψης και θετικής στροφής σε διατομή. Αν το δομικό στοιχείο που καταπονείται σε στρέψη είναι πρισματικό (δηλαδή με σταθερή διατομή) και η ροπή στρέψης σταθερή κατά μήκος του, τότε η στρέψη καλείται ομοιόμορφη. Σε αντίθετη περίπτωση (π.χ. μεταβλητή διατομή ή/και μεταβλητή ροπή στρέψης κατά μήκος του στοιχείου) καλείται ανομοιόμορφη. Τέλος αν η στρέψη δρα απουσία άλλων εντατικών μεγεθών (π.χ. τέμνουσα, κάμψη) τότε ονομάζεται καθαρή. Παράδειγμα 6.1 Ο πρόβολος του Σχ. 6.2 καταπονείται σε ροπή στρέψης 40 knm στο ελεύθερο άκρο και 60 knm στο μέσον τού μήκους l (με φορά όπως στο σχήμα). Να εξαχθεί το διάγραμμα ροπών στρέψης. Εφαρμόζοντας τη συνθήκη ισορροπίας ροπών (στρέψης) υπολογίζουμε την αντίδραση στη διατομή της πάκτωσης (Σχ. 6.2β): ΣT = 0 40 60 + T A = 0 T = 20 knm A Ακολούθως κάνουμε μια τομή μεταξύ των σημείων A και B σε τυχούσα θέση, σε απόσταση x από την αρχή του άξονα, και μελετάμε την ισορροπία του τμήματος από το Α μέχρι τη θέση της τομής (Σχ. 6.2γ). Έτσι προκύπτει ότι η ροπή στρέψης στην τομή είναι: 0 x l / 2 : T ( x) = 20 knm (δεξιόστροφη)

121 Τέλος κάνουμε μια τομή μεταξύ των σημείων Β και C σε τυχούσα θέση, σε απόσταση x από την αρχή του άξονα, και μελετάμε και πάλι την ισορροπία του τμήματος από το Α μέχρι τη θέση της τομής (Σχ. 6.2δ). Η ροπή στρέψης που προκύπτει στην τομή αυτή είναι: l / 2 x l : T ( x) = 20 + 60 = + 40 knm (αριστερόστροφη) Το τελικό διάγραμμα ροπής στρέψης δίνεται στο Σχ. 6.2ε. Παρατηρούμε ότι η στρέψη στον πρόβολο είναι ανομοιόμορφη. Μπορεί όμως να θεωρηθεί ως ομοιόμορφη για καθένα από τα δύο τμήματα ΑΒ και BC. Α Β 60 knm C 40 knm x (α) Τ Α 60 knm 40 knm x (β) 20 knm 20 knm x 20 knm 60 knm 40 knm x (γ) (δ) 20 knm Α _ Β + 40 knm C (ε) Σχ. 6.2 Παράδειγμα στρέψης προβόλου.

122 6. Ελαστική στρέψη δομικών στοιχείων κυκλικής διατομής Θεωρούμε ένα ευθύγραμμο δομικό στοιχείο μήκους dx κυκλικής διατομής σε ομοιόμορφη στρέψη με ροπή T (Σχ. 6.α). Για την ανάλυση του στοιχείου κάνουμε τρεις βασικές κινηματικές (γεωμετρικές) υποθέσεις: (α) Kάθε επίπεδη διατομή πριν από τη στρέψη παραμένει επίπεδη και μετά την εφαρμογή της ροπής στρέψης, δηλαδή δεν υφίσταται στρέβλωση (έτσι όλες οι διατομές παραμένουν παράλληλες μεταξύ τους). (β) Η σχετική στροφή δύο διατομών είναι ανάλογη της μεταξύ τους απόστασης. (β) Kάθε ακτίνα της διατομής πριν τη στρέψη ( O 1 D στο Σχ. 6.α) παραμένει ευθεία και μετά τη στρέψη ( O 1 D ). Μία ακόμα υπόθεση είναι ότι για τον καταστατικό νόμο του υλικού ισχύει ο νόμος του Hooke. T dx C Ο B B Ο 2 D Ο 1 c C Ε γ max γ max D D F F γ max D dφ T (β) (α) (γ) τ Σχ. 6. Στρέψη κυλίνδρου και διατμητικές παραμορφώσεις. (α) (β) Σχ. 6.4 Παραμόρφωση κυλίνδρου λόγω στρέψης. Αποτέλεσμα των κινηματικών υποθέσεων είναι ότι το υποθετικό επίπεδο DO 1 O C του Σχ. 6.α μετακινείται στη θέση D O1O C, ενώ οι ακτίνες O 1 D και O 2 B στρέφονται

12 στις νέες θέσεις O 1 D και O 2 B, αντίστοιχα. Έτσι το υλικό του κυλίνδρου υφίσταται διατμητική παραμόρφωση γ (Σχ. 6.β), η οποία είναι μέγιστη στην εξωτερική επιφάνεια του κυλίνδρου και μειώνεται γραμμικά όσο πλησιάζουμε προς τον άξονα. Ενδεικτικό της εικόνας παραμόρφωσης του κυλίνδρου λόγω στρέψης είναι και το Σχ. 6.4. Με βάση το νόμο του Hooke, το υλικό καταπονείται με διατμητικές τάσεις τ = Gγ (Σχ. 6.γ). Οι τάσεις αυτές δρουν πάνω στο επίπεδο κάθε διατομής του κυλίνδρου, έχουν φορά κάθετη στην ακτίνα που συνδέει το κέντρο του κύκλου με το σημείο όπου δρουν και έχουν μέγεθος το οποίο μεταβάλλεται γραμμμικά με την απόσταση από το κέντρο του κύκλου (Σχ. 6.5). Ολοκληρώνοντας τις διατμητικές τάσεις πάνω στη διατομή θα πρέπει να καταλήξουμε στη ροπή στρέψης T. Έτσι η συνθήκη ισορροπίας τάσεων ροπής στρέψης δίνει: da = ρ τ da = T max da = T c c 2 τρ τmax ρ ρ (6.1) A A Το τελευταίο ολοκλήρωμα στην παραπάνω σχέση αποτελεί την πολική ροπή αδράνειας J της διατομής, οπότε η μέγιστη διατμητική τάση είναι και η διατμητική τάση σε απόσταση ρ από το κέντρο είναι A Tc τ max = (6.2) J Tρ τ = (6.) J da ρ τ max c D ρ O c τ max Σχ. 6.5 ιατμητικές τάσεις σε διατομή κυλίνδρου λόγω στρέψης.

124 Ακολούθως θα γίνει ο προσδιορισμός της σχετικής γωνίας στροφής μεταξύ δύο διατομών. Από το Σχ. 6.α και για πολύ μικρές γωνίες γ max και d φ (σε rad) μπορούμε να εκφράσουμε το τόξο D D είτε ως γ maxdx είτε ως dφ c, οπότε dx max dx γ γ = dφ c dφ = max (6.4) c Από το νόμο του Hooke γ max = τ max / G και με βάση την εξ. (6.2) γράφουμε: Tdx d φ = (6.5) GJ Η εξ. (6.5) δίνει τη σχετική γωνία στροφής μεταξύ δύο διατομών του κυλίνδρου που απέχουν μεταξύ τους απειροστά μικρή απόσταση dx. Έτσι, για να βρούμε τη σχετική γωνία στροφής (σε rad) μεταξύ δύο τυχαίων διατομών, έστω Α και Β, αρκεί να ολοκληρώσουμε την εξ. (6.5): B B T φ = φb φa = dφ = dx (6.6) GJ A A όπου φ A και φ B η γωνία στροφής των διατομών Α και Β ως προς κάποιο σύστημα αναφοράς. Στην εξ. (6.6) η ροπή στρέψης, η πολική ροπή αδράνειας, ακόμα και το μέτρο διάτμησης του υλικού μπορεί να είναι συναρτήσεις του x, δηλαδή να μεταβάλλονται κατά μήκος του δομικού στοιχείου μεταξύ των Α και Β. Αν το δομικό στοιχείο μεταξύ των διατομών Α και Β μπορεί να χωρισθεί σε n τμήματα όπου το κάθε τμήμα i έχει ροπή στρέψης T i, μήκος L i, υλικό μέτρου διάτμησης G i και διατομή με πολική ροπή αδράνειας J i, η εξ. (6.6) μπορεί να γραφεί: = n TiLi i = 1Gi Ji φ (6.7) Για πρισματικά δομικά στοιχεία (από ένα μόνο υλικό) το γινόμενο GJ δίνει ένα μέτρο τού πόσο δύσκολα παραμορφώνεται το δομικό στοιχείο λόγω στρέψης και ονομάζεται δυστρεψία. Οι παραπάνω σχέσεις έχουν εφαρμογή και στην περίπτωση στοιχείων με κοίλες κυκλικές διατομές (Σχ. 6.6), διότι καμμία από τις υποθέσεις που έγιναν παραπάνω δεν παραβιάζεται. Μόνη εξαίρεση αποτελεί το ολοκλήρωμα της εξ. (6.1), το οποίο θα πρέπει να υπολογισθεί ως J c 4 4 2 πc πb = ρ da = 2πρ dρ = (6.8) 2 2 A b

125 Σχ. 6.6 ιατμητικές τάσεις σε κοίλη διατομή κυλίνδρου λόγω στρέψης. Αν το κυλινδρικό στοιχείο αποτελείται από δύο υλικά, ένα στο εσωτερικό και ένα εξωτερικά (Σχ. 6.7α), η παραπάνω ανάλυση είναι ορθή μέχρι και τον προσδιορισμό της κατανομής των παραμορφώσεων (γραμμικά αυξανόμενες από τον άξονα του κυλίνδρου μέχρι την εξωτερική επιφάνεια). Εφαρμογή του νόμου του Hooke ξεχωριστά για κάθε υλικό θα δώσει τις διατμητικές τάσεις του Σχ. 6.7β, οι οποίες στο σημείο Β θα εμφανίζουν ένα άλμα. O λόγος των τάσεων στα δύο υλικά στη θέση B (ας φανταστούμε τις τάσεις σε απειροστή απόσταση προς το εξωτερικό και προς το εσωτερικό του Β) θα είναι ίσος με το λόγο των μέτρων διάτμησης G 1 / G2 για τα δύο υλικά. (α) (β) Σχ. 6.7 ιατμητικές τάσεις σε διατομή κυλίνδρου από δύο διαφορετικά υλικά. Κλείνοντας την ενότητα αυτή υπενθυμίζουμε ότι για την ανάλυση του προβλήματος στρέψης έγινε χρήση τριών βασικών συνθηκών: ισορροπίας, γεωμετρικών (κινηματικών) και του καταστατικού νόμου του υλικού. Ένα τελευταίο σχόλιο αφορά στην αρχή του

126 Saint Venant, βάσει της οποίας τυχόν ανωμαλίες στην κατανομή των διατμητικών τάσεων εμφανίζονται μόνο σε μικρή περιοχή του δομικού στοιχείου, που φθάνει μέχρι απόσταση από το σημείο εφαρμογής της ροπής στρέψης περίπου ίση με τη διάμετρο του κυλίνδρου. 6.4 Μορφή αστοχίας κυλινδρικών στοιχείων λόγω στρέψης Στα παραπάνω είδαμε ότι οι διατμητικές τάσεις λόγω στρέψης δρουν πάνω στο επίπεδο των διατομών που είναι κάθετες στον άξονα x, με φορά αυτήν της ροπής στρέψης. Οι ίδιες τάσεις αναπτύσσονται και πάνω σε κάθετα σε αυτό επίπεδα, Σχ. 6.8, οπότε ένα μικρό στοιχειώδες τμήμα στην εξωτερική επιφάνεια του κυλίνδρου βρίσκεται σε κατάσταση καθαρής διάτμησης, με τάσεις όπως φαίνονται στο Σχ. 6.γ ή στο Σχ. 6.8α. Αν το υλικό του κυλίνδρου είναι όλκιμο και η θεωρία που περιγράφει την αστοχία του είναι αυτή της μέγιστης διατμητικής τάσης (Ενότ. 5.2), όπως ισχύει κατά προσέγγιση για ορισμένα μεταλλικά υλικά (π.χ. χάλυβας, αλουμίνιο), τότε η μορφή αστοχίας του κυλίνδρου λόγω στρέψης θα χαρακτηρίζεται από θραύση πάνω σε μία διατομή του κυλίνδρου. Υπεύθυνη για τη θραύση αυτή θα είναι η μέγιστη διατμητική τάση (Σχ. 6.9 αριστερά), η οποία θα οδηγήσει τελικά στη μορφή θραύσης του Σχ. 6.10α. Η μορφή αυτή χαρακτηρίζεται από επιφάνεια θραύσης περίπου επίπεδη και κάθετη στον άξονα του κυλίνδρου. Άξονας (α) (γ) (β) Σχ. 6.8 ιατμητικές τάσεις πάνω σε διατομή κυλινδρικού στοιχείου και σε κάθετα επίπεδα. Η εντατική κατάσταση στο αριστερό στοιχείο του Σχ. 6.9 είναι ισοδύναμη με αυτήν που φαίνεται στο δεξιό στοιχείο, στο οποίο δρουν οι κύριες τάσεις (εφελκυστικές και θλιπτικές) υπό γωνία 45 ο ως προς αυτήν των διατμητικών (Σχ. 4.4). Αν το υλικό του κυλίνδρου είναι ψαθυρό, οπότε για την αστοχία του ισχύει η θεωρία της μέγιστης κύριας τάσης (Ενότ. 5.4), η αστοχία του υλικού θα επέλθει μέσω θραύσης όταν η μέγιστη κύρια

127 τάση γίνει ίση με την εφελκυστική αντοχή του υλικού. Επειδή δε η επιφάνεια θραύσης στα ψαθυρά υλικά είναι κάθετη στις κύριες εφελκυστικές τάσεις, η μορφή αστοχίας ενός κυλίνδρου από ψαθυρό υλικό έχει τη χαρακτηριστική ελικοειδή μορφή του Σχ. 6.10β ή 6.10γ 1 (σε κάθε σημείο της επιφάνειας η μέγιστη κύρια τάση δρα κάθετα στην επιφάνεια στο σημείο αυτό). Επιφάνεια θραύσης για για όλκιμο υλικό υλικό Επιφάνεια θραύσης για ψαθυρό υλικό Σχ. 6.9 Εντατική κατάσταση σε στοιχεία της εξωτερικής επιφάνειας κυλίνδρου σε στρέψη και επιφάνειες θραύσης για όλκιμα και ψαθυρά υλικά. (α) (β) (γ) Σχ. 6.10 Επιφάνεια θραύσης λόγω στρέψης (α) σε χάλυβα (όλκιμο υλικό), (β) σε χυτοσίδηρο (ψαθυρό υλικό) και (γ) σε ασβεστόλιθο (ψαθυρό υλικό). Παράδειγμα 6.2 Να υπολογισθεί η μέγιστη διατμητική τάση στον πρόβολο του Παραδείγματος 6.1. Η διάμετρος του στοιχείου είναι 100 mm. 1 Αυτό μπορεί να φανεί εύκολα επιβάλλοντας στρέψη με τα δάκτυλα στα άκρα μιας κιμωλίας!

128 Η διατμητική τάση θα είναι μέγιστη στην περίμετρο οποιασδήποτε διατομής μεταξύ των σημείων B και C, όπου η ροπή στρέψης είναι μέγιστη. Για την πολική ροπή αδράνειας της διατομής έχουμε: 4 6 J = π 50 / 2 = 9.81 10 mm 4, οπότε 6 40 10 50 τ max = = 20.9 MPa 6 9.81 10 Παράδειγμα 6. Θεωρούμε κύλινδρο κοίλης διατομής με εξωτερική διάμετρο d o = 20 mm και εσωτερική διάμετρο d i = 16 mm (Σχ. 6.11). Υποθέτοντας ότι ο κύλινδρος καταπονείται σε ροπή στρέψης 40 Nm, ζητείται ο υπολογισμός της μέγιστης και της ελάχιστης διατμητικής τάσης. Σχ. 6.11 Μέγιστη και ελάχιστη διατμητική τάση σε κοίλη διατομή. Η πολική ροπή αδράνειας της διατομής είναι και από την εξ. (6.) έχουμε: 4 4 ( 10 8 ) = 9269. 4 4 πc πb π J = = mm 4 2 2 2 40 10 10 τ max = = 4.15 MPa 9269. 40 10 8 τ min = = 4.52 MPa 9269. ιαπιστώνουμε δηλαδή ότι οι διατμητικές τάσεις σε όλο το πάχος του κυλίνδρου λαμβάνουν τιμές που δεν διαφοροποιούνται ιδιαίτερα μεταξύ τους, σε αντίθεση με την

129 περίπτωση συμπαγούς κυλίνδρου, όπου οι τάσεις μειώνονται γραμμικά μέχρι την τιμή μηδέν στο κέντρο, οπότε σημαντική περιοχή του υλικού υφίσταται σχετικά μικρή καταπόνηση. Έτσι συμπεραίνουμε ότι η κοίλη διατομή προσφέρεται περισσότερο (δηλαδή είναι οικονομικότερη ) για την ανάληψη ροπής στρέψης σε σχέση με τη συμπαγή. Παράδειγμα 6.4 Για το στοιχείο του Σχ. 6.12 να υπολογισθεί η στροφή της διατομής αυτήν της διατομής A A. B B σχετικά με Σχ. 6.12 Παράδειγμα 6.4. Από την εξ. (6.6) έχουμε: T L φ = φb φa = dx φ = GJ 0 TL GJ (6.9) Είναι αρκετά ενδιαφέρον να παρατηρήσουμε ότι η εξ. (6.9) έχει την ίδια ακριβώς μορφή με την εξ. (2.8), αρκεί να θεωρήσουμε την εξής αντιστοιχία: φ Δ, T P, J A και G E. Έτσι μπορούμε να θεωρήσουμε ότι ένα στοιχείο σε στρέψη μπορεί να προσομοιωθεί με ένα στροφικό ελατήριο, Σχ. 6.1, το οποίο έχει στροφική σταθερά k t, κατ αντιστοιχία με την εξ. (2.9), ίση με Το αντίστροφο του k t ορίζει την ευστρεψία, T GJ k t = = (6.10) φ L f = 1/ k. t t Σχ. 6.1 Σχηματική παράσταση στροφικού ελατηρίου. Μία τελευταία ενδιαφέρουσα παρατήρηση είναι ότι η εξ. (6.9) μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τη μέτρηση του μέτρου διάτμησης ενός υλικού. Η μέτρηση αυτή

10 γίνεται υποβάλλοντας μία ράβδο κυκλικής διατομής με γνωστό μήκος και διάμετρο σε ροπή στρέψης και μετρώντας τη σχετική γωνία στροφής (Σχ. 6.14). Από την εξ. (6.9) είναι G = TL / Jφ. Τ Σχ. 6.14 Πειραματική διάταξη στρέψης κυλινδρικής ράβδου. Παράδειγμα 6.5 Θεωρούμε τον πρόβολο μεταβλητής διατομής του Σχ. 6.15α, ο οποίος φορτίζεται με δύο ροπές στρέψης T B και T D στα σημεία Β και D. Να υπολογισθεί η γωνία στροφής του ελεύθερου άκρου Α σε σχέση με τη διατομή πάκτωσης Ε. Το μέτρο διάτμησης του υλικού θεωρείται G = 80 GPa. Το πρώτο βήμα για την επίλυση του προβλήματος είναι η εξαγωγή του διαγράμματος ροπών στρέψης. Οι ροπές T B και T D προκαλούν αντίδραση στην πάκτωση T E = 150 + 1000 = 1150 Nm. Ακολούθως γίνονται τομές κατά μήκος του στοιχείου και από τη συνθήκη ισορροπίας ροπών προσδιορίζεται η ροπή στρέψης σε κάθε τομή: Τομή μεταξύ Α-Β: T = 0. Τομή μεταξύ Β-D (Σχ. 6.15β): T = T B = 150 Nm. Τομή μεταξύ D-E: T = T B + TD = 150 + 1000 = 1150 Nm. Με βάση τα παραπάνω κατασκευάζεται στο διάγραμμα ροπών στρέψης του Σχ. 6.15γ. Η πολική ροπή αδράνειας κάθε διατομής είναι: Για το τμήμα ΑC: = π ( 12.5) / 2 = 8. 10 4 J mm 4 AC

11 4 4 Για το τμήμα CE: [ ] J CE = π ( 25) (12.5) / 2 = 575 10 mm 4 (α) (β) (γ) ιάγραμμα ροπών στρέψης (δ) ιάγραμμα γωνιών στροφής Σχ. 6.15 Παράδειγμα 6.5. Η ζητούμενη γωνία στροφής θα υπολογισθεί εφαρμόζοντας την εξ. (6.6) για κάθε τμήμα του δομικού στοιχείου στο οποίο η ποσότητα T / GJ είναι σταθερή και αθροίζοντας τα αποτελέσματα. Τα τμήματα στα οποία η παραπάνω ποσότητα είναι σταθερή είναι τα ΑΒ, BC, CD και DE, οπότε έχουμε: ETdx BT dx CT dx DT dx ET dx φ = φ = A φe E A A GJ A GJ AB B GJBC C GJCD D GJDE ( ) AB BC CD DE φ φ = = + + + T = ABL φ AB GJAB T + BCLBC GJBC T + CDLCD GJCD T + DELDE GJDE 150 10 200 = 0 + 8. 10 80 10 150 10 00 + 575 10 80 10 1150 10 500 + 575 10 80 10

12 ( 0 + 9.8 10 + 1.0 10 + 12.5 10 ) = 2. 10 = rad (δεξιόστροφη) Η μεταβολή της γωνίας στροφής κάθε διατομής κατά μήκος του στοιχείου δίνεται στο Σχ. 6.15δ. 6.5 Εισαγωγή στην επίλυση στατικά αόριστων προβλημάτων Η επίλυση προβλημάτων με στατικά αόριστους φορείς γίνεται κατ αντιστοιχία αυτών που περιλαμβάνει η Ενότ. 2.11, με αντικατάσταση αξονικών δυνάμεων με ροπές στρέψης. Για την επίλυση στατικά αόριστων φορέων απαιτείται η διατύπωση εξισώσεων ώστε να εξασφαλίζονται οι συνθήκες ισορροπίας, η γεωμετρική συμβατότητα (συμβιβαστό παραμορφώσεων) και η ισχύς των καταστατικών νόμων. Ειδικά για τα προβλήματα ενός βαθμού εξωτερικής στατικής αοριστίας, δηλαδή όταν οι άγνωστες ροπές στρέψης ως αντιδράσεις είναι δύο, η επίλυση γίνεται εύκολα αφαιρώντας τη μία αντίδραση, υπολογίζοντας τη γωνία στροφής φ ο στη θέση όπου αφαιρέθηκε η αντίδραση και τέλος επιβάλλοντας τη συνθήκη ότι η γωνία αυτή είναι μηδέν (μέθοδος των δυνάμεων ). Άλλα προβλήματα με εσωτερική στατική αοριστία (π.χ. όταν έχουμε δύο κυλίνδρους τον ένα μέσα στον άλλον), επιλύονται βάσει της συνθήκης ότι τα δομικά στοιχεία έχουν την ίδια γωνία στροφής, μέσω της μεθόδου των μετακινήσεων. Η ίδια μέθοθος εφαρμόζεται και σε προβλήματα με πολλούς βαθμούς στατικής αοριστίας. Σχ. 6.16 Στρέψη δομικού στοιχείου με έναν βαθμό στατικής αοριστίας.

1 Για την κατανόηση της μεθόδου επίλυσης στατικά αόριστων προβλημάτων θεωρούμε το αμφίπακτο δομικό στοιχείο του Σχ. 6.16. Η ροπή στρέψης T προκαλεί αντιδράσεις T 1 και T 2, για τις οποίες η συνθήκη ισορροπίας δίνει: T + T T 1 2 + = Το συμβιβαστό των παραμορφώσεων οδηγεί στη συνθήκη φ AB = φbc όπου φ AB και φ BC η γωνία στροφής της διατομής στο σημείο Β ως προς τα (ακλόνητα) σημεία Α και C, αντίστοιχα. Για γραμμικά ελαστικά υλικά η παραπάνω συνθήκη συνεπάγεται T L G J 1 1 = 1 1 T L G 2 2 2J2 0 Τέλος, οι άγνωστες αντιδράσεις T 1 και T 2 υπολογίζονται από την επίλυση του συστήματος των παραπάνω δύο εξισώσεων. Παράδειγμα 6.6 Θεωρούμε ότι το δομικό στοιχείο του Παραδείγματος 6.5 έχει συνθήκες πάκτωσης και στα δύο άκρα (Σχ. 6.17α). Να υπολογισθούν οι αντιδράσεις με τη μέθοδο των δυνάμεων και να γίνει το διάγραμμα ροπών στρέψης. Έστω T A και T E οι άγνωστες αντιδράσεις. Εξ αυτών αφαιρούμε τη μία, έστω την T A, οπότε προκύπτει το δομικό στοιχείο του Σχ. 6.17β, με αντίδραση στο σημείο Ε ίση με T B + T D. Από την επίλυση του Παραδείγματος 6.5 η στροφή στο ελεύθερο άκρο είναι φ ο = 2. 10 rad. Ακολούθως εφαρμόζεται η ροπή στρέψης T A στο αφόρτιστο στοιχείο (Σχ. 6.17γ) και υπολογίζεται η στροφή φ 1 στο ελεύθερο άκρο: T 1 = il φ i i Gi Ji T 10 450 = A 8. 10 80 10 T 10 800 + A 575 10 80 10 6 6 6 ( 147 10 + 17 10 ) = T 164 10 = T A A rad όπου T A σε Nm. Από τη συνθήκη φ ο + φ 1 = 0 υπολογίζουμε T = 142 Νm, ενώ η εξίσωση ισορροπίας T A + T E = 1150 Νm δίνει T E = 1008 Νm. Με γνωστές τις δύο αντιδράσεις το διάγραμμα ροπών στρέψης υπολογίζεται βάσει της μεθόδου των τομών και δίνεται στο Σχ. 6.17δ. Τέλος, με γνωστή τη ροπή στρέψης σε κάθε τμήμα του δομικού στοιχείου υπολογίζεται η γωνία στροφής των διατομών Β, C και Ε (οι γωνίες στις διατομές Α και E είναι φυσικά μηδέν, λόγω της πάκτωσης) και κατασκευάζεται το διάγραμμα γωνιών στροφής κατά μήκος του στοχείου (Σχ. 6.17ε). A

14 (α) (β) (γ) (δ) ιάγραμμα ροπών στρέψης (ε) ιάγραμμα γωνιών στροφής Σχ. 6.17 Στρέψη δομικού στοιχείου με ένα βαθμό στατικής αοριστίας.