ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΔΕΙΚΤΗ ΕΠΙΔΕΞΙΟΤΗΤΑΣ ΡΟΜΠΟΤΙΚΟΥ ΒΡΑΧΙΟΝΑ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΑΣΑΦΟΥΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Α. Συνοδινός, Ν.Α. Ασπράγκαθος Ερευνητική Ομάδα Ρομποτικής, Τμήμα Μηχανολόγων και Αεροναυπηγών Μηχανικών, Πανεπιστήμιο Πατρών, ΤΚ 65, Ρίο emal: asynodn@mech.upatras.gr ΠΕΡΙΛΗΨΗ Το άρθρο αυτό παρουσιάζει μια μέθοδο υπολογισμού της επιδεξιότητας ενός ρομποτικού βραχίονα βασισμένη σε μεθόδους υπολογιστικής νοημοσύνης και ασαφούς λογικής. Αρχικά παρουσιάζεται ο τοπικός δείκτης επιδεξιότητας για ανοιχτές κινηματικές αλυσίδες και η σημασία του. Στην συνέχεια ένα σύστημα ασαφούς λογικής εκπαιδεύεται, με είσοδο ένα υποσύνολο του χώρου εργασίας, για την προσέγγιση της συνάρτησης υπολογισμού του δείκτη επιδεξιότητας. Το ασαφές σύστημα στην συνέχεια εξετάζεται ως προς την επιτυχία της προσέγγισης και παρουσιάζονται τα αποτελέσματα υπολογισμού με την προτεινόμενη μέθοδο συγκριτικά με τον αναλυτικό υπολογισμό. Τέλος, συγκρίνεται το υπολογιστικό κόστος των δύο μεθόδων και προτείνονται θέματα μελλοντικής έρευνας. Λέξεις κλειδιά: Δείκτης επιδεξιότητας, Ασαφής λογική, Υπολογιστική νοημοσύνη ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η συμπεριφορά ενός ρομποτικού βραχίονα στο Χώρο Εργασίας (Χ.Ε.) του μπορεί να κριθεί χρησιμοποιώντας δείκτες λειτουργικής απόδοσης. Οι δείκτες αυτοί περιγράφουν την κινηματική, την δυναμική ή την ενεργειακή δυνατότητα του σε ένα σημείο του Χ.Ε. ή στο σύνολο του. Οι κινηματικοί δείκτες βαθμονομούν την ικανότητα του άκρου εργασίας (Α.Ε.) να κινηθεί με ευκολία γύρω από ένα σημείο, ενώ οι δείκτες δύναμης βαθμονομούν την ικανότητα του Α.Ε. να ασκεί δυνάμεις. Στην βιβλιογραφία έχουν προταθεί δείκτες τοπικοί αλλά και ολικοί, με χρησιμότητα τόσο στον έλεγχο της κίνησης του όσο και στον βέλτιστο σχεδιασμό ενός ρομποτικού βραχίονα. Οι ταχύτητες και οι δυνάμεις του Α.Ε. συνδέονται μέσω του Ιακωβιανού πίνακα με τις ταχύτητες και τις ροπές των αρθρώσεων του ρομπότ. Είναι συνεπώς αναμενόμενο οι περισσότεροι δείκτες απόδοσης να συνδέονται με τον πίνακα αυτό και τις ιδιότητες του. Ο υπολογισμός του τοπικού δείκτη επιδεξιότητας ενός βραχίονα και η ανάλυση του χώρου εργασίας για την βέλτιστη διαμόρφωση του σε μια διεργασία είναι μια ιδιαίτερα υψηλού κόστους εργασία για να πραγματοποιηθεί σε πραγματικό χρόνο. Απαιτεί τον υπολογισμό του Ιακωβιανού πίνακα της κάθε διαμόρφωσης και τον υπολογισμό μιας ορίζουσας, στην περίπτωση της εξ. (), ενώ για διαφορετικούς δείκτες συχνά απαιτείται και η αποσύνθεση ιδιάζουσων τιμών του. Ο δείκτης επιδεξιότητας είναι χαρακτηριστικό της διαμόρφωσης του βραχίονα και όχι του σημείου στον καρτεσιανό χώρο εργασίας.
Η ιδιότητα των ασαφών συστημάτων να προσεγγίσουν μια συνάρτηση έχει μελετηθεί (Wang, 997), (Passno & Yurkovch, 998) και έχουν προταθεί μέθοδοι για την εκπαίδευση των παραμέτρων ασαφών συστημάτων και την προσέγγιση και πρόβλεψη συναρτήσεων. Το κέρδος μιας τέτοιας μεθόδου είναι διττό. Το ασαφές σύστημα μπορεί να δώσει έναν τρόπο υπολογισμού της εξόδου για μια συνάρτηση που γνωρίζουμε μερικώς. Για μια συνάρτηση που γνωρίζουμε πλήρως, αλλά το κόστος υπολογισμού της εξόδου είναι πολύ μεγάλο, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε ένα ασαφές σύστημα για να απλοποιήσουμε την απεικόνιση των εισόδων στην έξοδο και συνεπώς να ελαττωθεί ο χρόνος υπολογισμού. Οι (Trvno & San Martn, 7) πρότειναν την χρήση ενός συστήματος ασαφούς λογικής για τον υπολογισμό της επιδεξιότητας μέσω του δείκτη κατάστασης στον τριών βαθμών ελευθερίας βραχίονα προσαρμοσμένο σε ρομποτική πλατφόρμα, OMN. Χρησιμοποιώντας έμπειρη γνώση και έναν χάρτη καμπυλών στο επίπεδο από την αναλυτική λύση του δείκτη κατάστασης, λόγω της απλότητας του προβλήματος των τριών βαθμών ελευθερίας, συντέθηκαν οι εμπειρικοί κανόνες με βάση την διαίσθηση και στην συνέχεια επιβεβαιώθηκαν με την χρήση του Matlab. Το τελικό ασαφές σύστημα αποτελείται από δύο εισόδους, τις γωνίες του ου και 3 ου Β.Ε. του βραχίονα, και έξοδο τον δείκτη κατάστασης. Η χρήση ενός ασαφούς συστήματος για τον υπολογισμό του δείκτη επιδεξιότητας ενός βραχίονα μπορεί να ελαττώσει το υπολογιστικό κόστος σημαντικά. Με την χρήση της προτεινόμενης μεθοδολογίας, καθίσταται πιθανό να πραγματοποιηθεί ο τοπικός βέλτιστος σχεδιασμός τροχιάς σε πραγματικό χρόνο. Με την χρήση ενσωματωμένων ασαφών συστημάτων, μπορεί να κατασκευαστεί ελεγκτής με δυνατότητα ελέγχου συναρτήσει της επιδεξιότητας. ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΔΕΞΙΟΤΗΤΑΣ Ένας ρομποτικός βραχίονας k Βαθμών Ελευθερίας (Β.Ε.) χαρακτηρίζεται από το ευθύ και αντίστροφο στιγμιαίο κινηματικό πρόβλημα. Αν k και l είναι οι διαστάσεις του χώρου των αρθρώσεων και του χώρου του Α.Ε. αντίστοιχα, τότε σε χωρικούς ρομποτικούς βραχίονες όπου l=6, οι πρώτες τρεις γενικευμένες συντεταγμένες αναφέρονται στις μεταφορικές ταχύτητες (v x,v y,v z ) και οι τρεις επόμενες στις γωνιακές ταχύτητες (ω x,ω y,ω z ). Ο γεωμετρικός Ιακωβιανός πίνακας συνεπώς ορίζεται ως v Jq q () Η έννοια της επιδεξιότητας εισήχθη από τους (Crag & Salsbury, 98) αλλά ο μαθηματικός ορισμός της από τον (Yoshkawa, 985) για μη πλεονάζοντες βραχίονες ως wdet( J) J (), και για ρομπότ με πλεονάζοντες Β.Ε. ως det( T T w JJ ) J J (3) Κάνοντας αποσύνθεση ιδιάζουσων τιμών στον Ιακωβιανό πίνακα μπορούμε να υπολογίσουμε τον δείκτη ως w... k (4), όπου σ είναι οι τιμές ενικότητας του Ιακωβιανού και k ο αριθμός των Β.Ε. του ρομπότ. Ο δείκτης είναι ανάλογος του όγκου του ελλειψοειδούς της επιδεξιότητας
k ( ), για k ζυγό V 46...( ) e k k w, em (5) k em ( ), για k περιττό 3 5... ( k ) k Για βραχίονες με περιστροφικούς αλλά και μεταφορικούς Β.Ε. ο ορισμός της εξ. (3) δεν λαμβάνει υπόψη την διαφοροποίηση των μονάδων μέτρησης των γραμμικών και γωνιακών ταχυτήτων. Μέσω της κανονικοποίησης των ταχυτήτων μπορούμε να ορίσουμε αντίστοιχα ένα κανονικοποιημένο μέτρο επιδεξιότητας που λαμβάνει υπόψη τις μέγιστες γωνιακές και μεταφορικές ταχύτητες που μπορεί ο κάθε Β.Ε. να αποδώσει. T q q q, q,..., q, k q q max T v v v, v,..., vl, v v (6) max v J q q Όμως ο κανονικοποιημένος Ιακωβιανός μπορεί να συσχετιστεί με τον γεωμετρικό μέσω των μετασχηματισμών που προκύπτουν από τις μέγιστες ταχύτητες. Συνεπώς για ένα βραχίονα χωρίς πλεονάζοντες Β.Ε. βλέπουμε από την εξ. (7) ότι ο νέος δείκτης επιδεξιότητας επηρεάζεται μόνο κατά ένα σταθερό συντελεστή και συνεπώς το σχετικό σχήμα του ελλειψοειδούς δεν επηρεάζεται από την κανονικοποίηση. Με τον ίδιο τρόπο, αποδεικνύεται ότι ο δείκτης επιδεξιότητας ενός οποιουδήποτε βραχίονα δεν επηρεάζεται σχετικά από την κανονικοποίηση των ταχυτήτων. k q max ww (7) v max Οι (Gotlh & Troch, 4) έδειξαν ότι η τιμή του δείκτη επιδεξιότητας w είναι ανεξάρτητη του πρώτου Β.Ε. του βραχίονα που τον συνδέει με το σύστημα συντεταγμένων της βάσης του, αλλά και σχετικά ανεξάρτητη σε σχέση με την θέση της αρχής των αξόνων του σταθερού συστήματος συντεταγμένων του Χ.Ε.. Οι (Forsythe & Moler, 967) απέδειξαν ότι η ορίζουσα ενός τετραγωνικού πίνακα (ή του γινομένου του με τον ανάστροφο του) δεν είναι μέτρο της απόστασης του πίνακα αυτού από τις τιμές ενικότητας. 3 ΑΣΑΦΕΣ ΣΥΣΤΗΜΑ Η προτεινόμενη μέθοδος βασίζεται στην ικανότητα ενός ασαφούς συστήματος να προσεγγίσει μια μη γραμμική συνάρτηση λόγο των βασικών ιδιοτήτων παρεμβολής (Wang, 997). Χρησιμοποιώντας δεδομένα από την αναλυτική λύση του προβλήματος της επιδεξιότητας για ένα ρομποτικό βραχίονα k Β.Ε., θα εκπαιδεύσουμε ένα ασαφές σύστημα συμπερασμού με n=(k-) εισόδους και μια έξοδο μορφής Takag-Sugeno- Kang (TSK) με την μέθοδο βελτιστοποίησης βαθμωτής μεταβολής (gradent). Η μέθοδος αυτή, σε αντίθεση με τις μεθόδους ελαχίστων τετραγώνων και μάθησης μέσω παραδειγμάτων, μπορεί να εκπαιδεύσει όλες τις παραμέτρους ενός συστήματος ασαφούς λογικής εκτός από το πλήθος των κανόνων. Θεωρούμε ένα σύστημα ασαφούς λογικής TSK της μορφής
f q R R q g q q όπου R είναι το πλήθος των ασαφών συνόλων που χαρακτηρίζουν κάθε μεταβλητή εισόδου αλλά και την μεταβλητή εξόδου και απεικονίζονται μέσω του ίδιου πλήθους κανόνων. Η συνάρτηση συμμετοχής μ είναι της μορφής Gauss και η συνάρτηση εξόδου είναι TSK. Οι παράμετροι του ασαφούς συστήματος που προσδιορίζονται με την εκπαίδευση (Wang, 997) (Passno & Yurkovch, 998) συμπεριλαμβάνονται στο διάνυσμα c a και είναι τα κέντρα των ασαφών συνόλων των εισόδων c, η διασπορά τους και οι συντελεστές a της εξόδου στο TSK. Θα χρησιμοποιήσουμε το σύνολο εκπαίδευσης (Σ.Ε. tranng data set) G για να εκπαιδεύσουμε το σύστημα (8). (8), 4 ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Η προτεινόμενη μεθοδολογία εφαρμόστηκε στον ρομποτικό βραχίονα 6 Β.Ε. Fanuc AMB/L. Το σύνολο εκπαίδευσης επιλέχθηκε να είναι μικρότερο του Χ.Ε. των προδιαγραφών του ρομπότ. Συγκεκριμένα, ορίσαμε αυθαίρετα, χωρίς να υπάρχει πρόβλημα γενίκευσης σε περίπτωση χώρου μεγαλύτερων διαστάσεων ή μεγαλύτερης αναλυτικότητας, τον χώρο των εισόδων (X n ) στην πρώτη άρθρωση σταθερό, τις επόμενες 4 αρθρώσεις από έως 9 με βήμα ενώ η τελευταία άρθρωση από έως με βήμα 5. Υπολογίσαμε αναλυτικά μέσω της εξ. () την έξοδο για το ασαφές σύστημα όπως φαίνεται στην εξ. (9) χρησιμοποιώντας όλους τους πιθανούς συνδυασμούς. Με αυτόν τον τρόπο τα δεδομένα ήταν επαρκώς πυκνά χωρίς ταυτόχρονα να μεγαλώσει υπερβολικά το πλήθος των στοιχείων του συνόλου εκπαίδευσης. n 5 5 T T,,..., X q w q w q w (9) T A B.8.8 Manpulablty.6.4. Manpulablty.6.4. 8 35 9 q5 q3 9 35 8 8 35 9 q5 q 9 35 8 Σχήμα Γραφική παράσταση του δείκτη επιδεξιότητας συναρτήσει της θέσης των αρθρώσεων Α)q 3 και q 5 B)q και q 5 Ο βραχίονας μελετήθηκε γεωμετρικά ως προς τον τρόπο μεταβολής του δείκτη επιδεξιότητας για κάθε άρθρωση του και βρέθηκε ότι εκτός του ου, ο 4 ος και 6 ος Β.Ε. επίσης δεν επηρεάζουν την τιμή της επιδεξιότητας του Α.Ε.. Στο σχ. Α φαίνεται η
γραφική παράσταση του δείκτη συναρτήσει των αρθρώσεων 3 και 5 ενώ στο σχ. Β συναρτήσει των αρθρώσεων και 5 για γωνίες των αρθρώσεων μεταξύ και 8. Αν και τα συμπεράσματα που εξάγονται από την γεωμετρική απεικόνιση μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να διευκολύνουν την εκπαίδευση του ασαφούς συστήματος αλλά και την ελάττωση των διαστάσεων του προβλήματος, για λόγους γενίκευσης επιλέχθηκε να μην γίνει κάτι τέτοιο. Το σύνολο X n συνεπώς αποτελούνταν από xxxxx= 5 στοιχεία 6 εισόδων και μίας εξόδου. Από αυτόν τον χώρο στο ασαφές σύστημα χρησιμοποιήθηκαν οι 5 είσοδοι (q,q 3,q 4,q 5,q 6 ) και η έξοδος, συνεπώς το σύνολο εκπαίδευσης G αποτελούνταν από 5 στοιχεία 5 εισόδων και μίας εξόδου. Για κάθε μεταβλητή εισόδου ορίσαμε ασαφή σύνολα με αρχικές συνθήκες Κανόνες, R=43 Σαρώσεις του G, Ngrad=3; a =, R, n c,, (), R, n 4 σ =, R, n.,3,4 Ως μετρική του σφάλματος της προσέγγισης χρησιμοποιήθηκε η εξ. () για όλα τα στοιχεία του Σ.Ε.. Η σύγκληση της μεθόδου φαίνεται στο σχ. Α και επιτυγχάνεται μετά από περίπου 7 σαρώσεις του Σ.Ε.. Στο σχ. Β φαίνεται η γραφική παράσταση του απόλυτου σφάλματος της προσέγγισης του ασαφούς συστήματος σε σχέση με το Σ.Ε. όπως ορίζεται από την εξ. () μετά από τις 3 σαρώσεις. e f qw () A. B.8.6 Error 8 6 4 Absolute Approxmaton Error.4. -. -.4 -.6 -.8 5 5 5 3 Ngrad -. 4 6 8 Tranng Set G x 4 Σχήμα Γραφική παράσταση Α) του σφάλματος της προσέγγισης συναρτήσει των σαρώσεων Β) του τελικού σφάλματος της προσέγγισης συναρτήσει του Σ.Ε. Οι προσομοιώσεις έγιναν στο Matlab σε ένα Pentum E54 με GB RAM προσωπικό υπολογιστή και το Matlab Robotcs Studo (Corke, 996). Η τεχνική υπολογισμού του Ιακωβιανού πίνακα που χρησιμοποιήθηκε αναπτύχθηκε από τους (Paul, Shmano, & Mayer, 98). Το υπολογιστικό κόστος της προτεινόμενης μεθόδου σε σχέση με τον αναλυτικό υπολογισμό του δείκτη επιδεξιότητας συγκρίθηκε για τον χώρο των. σημείων του G και φαίνεται στον Πίνακα. Στο Σχ. 3Α φαίνεται η τιμή του δείκτη επιδεξιότητας στο Σ.Ε. G που χρησιμοποιήσαμε ενώ στο Σχ. 3Β το ποσοστιαίο σφάλμα της προσέγγισης του
εκπαιδευμένου ασαφούς συστήματος. Είναι χαρακτηριστικό ότι το ποσοστιαίο σφάλμα έχει μεγάλες τιμές στα σημεία που ο δείκτης επιδεξιότητας αλλάζει απότομα τιμή..9 A B.8 9.7 8 Manpulablty Index.6.5.4.3.. 3 4 5 6 7 8 9 Tranng Set G x 4 Percentage Error 7 6 5 4 3 3 4 5 6 7 8 9 Tranng Set G x 4 Σχήμα 3 Γραφική παράσταση Α) του δείκτη επιδεξιότητας συναρτήσει του Σ.Ε. Β) του ποσοστιαίου σφάλματος συναρτήσει του Σ.Ε. Αναλυτικός Υπολογισμός Υπολογισμός Ασαφούς Συστήματος Ποσοστιαίο κέρδος Χρόνος για το σύνολο G(sec) 79, 5, 546% Χρόνος για ένα σημείο(sec),3,69 449% Πίνακας Σύγκριση υπολογιστικού κόστους αναλυτικής και ασαφούς επίλυσης 5 ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΕΡΑΙΤΕΡΩ ΕΡΕΥΝΑ Στην παρούσα εργασία παρουσιάστηκε μια μέθοδος υπολογισμού του δείκτη επιδεξιότητας ενός ρομποτικού βραχίονα με χρήση ασαφούς λογικής που καταφέρνει να ελαττώσει κατά τέσσερις φορές το υπολογιστικό κόστος σε ένα βραχίονα 6 Β.Ε. παρουσιάζοντας μέγιστο ποσοστιαίο σφάλμα μικρότερο από % σε μικρό αριθμό σημείων. Περαιτέρω έρευνα περιλαμβάνει επέκταση της μεθόδου για την κατασκευή ασαφούς συστήματος πολλών εξόδων που να υπολογίζει περισσότερους από έναν δείκτες και διερεύνηση των υπολοίπων δεικτών για την ανάλυση των ιδιοτήτων τους. Τέλος, θα διερευνηθεί η βέλτιστη τροχιά του Α.Ε. με κριτήριο την επιδεξιότητα σε βραχίονες αλλά και ρομποτικές πλατφόρμες με βραχίονα, σε μερικώς γνωστούς χώρους. 6 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Corke, P. (996). A Robotcs Toolbox for MATLAB. IEEE Robotcs and Automaton Magazne, Vol. 3, pp. 4-3. Crag, J., & Salsbury, J. (98). Artculated hands: force control and knematc ssues. Int. J. Robotcs research, Vol. no. pp. 4-7.
Forsythe, G. E., & Moler, C. B. (967). Computer soluton of lnear algebrac systems. Englewood Clffs, N.J: Prentce-Hall. Gotlh, K., & Troch, I. (4). Base nvarance of the manpulablty ndex. Robotca, Vol. pp. 5-46. Passno, K. M., & Yurkovch, S. (998). Fuzzy Control. Menlo Park, CA: Addson Wesley Longman. Paul, R., Shmano, B., & Mayer, G. (98). Dfferental Knematc Control Equatons for Smple Manpulators. IEEE Transactons on Systems, Man and Cybernetcs (σσ. Vol., No.6, pp.6-46). IEEE. Trvno, G., & San Martn, J. (7). A Fuzzy Logc Approach to the Concept of Manpulablty n Mechancs. Fuzzy Systems Conference (σσ. vol., no., pp.-5). IEEE Internatonal. Wang, L.-X. (997). A course n fuzzy systems and control. Upper Saddle Rver, NJ: Prentce-Hall. Yoshkawa, T. (985). Manpulablty of Robotc Mechansms, 985. Int. J. Robotcs Research, Vol. 4 No., 3-9.