Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

1ο κεφάλαιο: Διανύσματα Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ )

Μαθηµατικά Προσανατολισµού Β Λυκείου Αποστόλου Γιώργος Μαθηµατικός

Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com κιν. 6944380346 άδεια χρήσης 1η Εκδοση, Ιούλιος 2015

Περιεχόµενα 1 ιανύσµατα................................................... 7 1.1 Ορισµός-Πράξεις µε διανύσµατα 1.1.1 1.1.2 Θεωρία......................................................... 7 Μεθοδολογίες................................................... 29 1.2 Συντεταγµένες-Εσωτερικό γινόµενο 1.2.1 1.2.2 Θεωρία........................................................ 36 Μεθοδολογίες................................................... 42 2 Βιβλιογραφία.................................................. 55 7 36 Βιβλιογραφία.................................................. 55 2.1 2.2 Βιβλία 55 Βιβλία 55 Ιστοσελίδες 55 Ιστοσελίδες 55

Ορισµός-Πράξεις µε διανύσµατα Θεωρία Μεθοδολογίες Συντεταγµένες-Εσωτερικό γινόµενο Θεωρία Μεθοδολογίες 1. ιανύσµατα 1.1 1.1.1 Ορισµός-Πράξεις µε διανύσµατα Θεωρία Ερώτηση 1.1.1 Τι είναι διάνυσµα ; ιάνυσµα AB, είναι ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, του οποίου τα άκρα ϑεωϱούνται διατεταγµένα. Το πρώτο άκρο λέγεται αρχή και το δεύτερο τέλος Η ευθεία πάνω στην οποία ϐρίσκεται το διάνυσµα λέγεται ϕορέας του διανύσµατος και καθορίζει τη διεύθυνση του. Σχήµα 1.1: ιάνυσµα ΠΡΟΣΟΧΗ!!!

Τα διανύσµατα δεν είναι ευθύγραµµα τµήµατα. Η σειρά που γράφω την αρχή και το τέλος έχει σηµασία. Το AB = BA BA. Οπως επίσης, οι ισότητες ευθύγραµµων τµηµάτων δεν ισχύουν απαραίτητα και στα διανύσµατα, π.χ. δεν υπάρχουν ιδιότητες αναλογιών στα διανύσµατα. Ερώτηση 1.1.2 Τι είναι το µέτρο του διανύσµατος ; Μέτρο του διανύσµατος AB είναι το µήκος του ευθύγραµµου τµήµατος ΑΒ AB = d(a, B) Σχήµα 1.2: Μέτρο διανύσµατος ΠΡΟΣΟΧΗ!!! AB = d(a, B) AB overrightarrowα 0 για κάθε διάνυσµα. α = 0 α = 0 α > 0 α 0 8

Ερώτηση 1.1.3 Ποιο διάνυσµα λέγεται µοναδιαίο και ποιο µηδενικό ; Μοναδιαίο i διάνυσµα είναι αυτό που έχει µέτρο 1 Σχήµα 1.3: Μοναδιαίο διάνυσµα Μηδενικό 0, είναι το διάνυσµα του οποίου η αρχή και το τέλος ταυτίζονται. Σχήµα 1.4: Μηδενικό διάνυσµα ΠΡΟΣΟΧΗ!!! AA = 0 Είναι : 0 = 0 Για να αποδείξω ότι τα σηµεία Α, Β ταυτίζονται, αρκεί να δείξω ότι AB = 0 9

Ερώτηση 1.1.4 Τι ονοµάζουµε ϕορέα ενός διανύσµατος ; Είναι η ευθεία πάνω στην οποία ϐρίσκεται το διάνυσµα. Ερώτηση 1.1.5 Ποια διανύσµατα είναι παράλληλα ; υο διανύσµατα που ϐρίσκονται πάνω σε παράλληλους ϕορείς ή πάνω στον ίδιο ϕορέα, λέγονται παράλληλα. Τα παράλληλα διανύσµατα λέγονται και συγγραµµικά. Σχήµα 1.5: Παράλληλα διανύσµατα ΠΡΟΣΟΧΗ!!! Στα παράλληλα διανύσµατα δεν µας ενδιαφέρει το, προς τα που είναι τα ϐελάκια των διανυσµάτων, µας ενδιαφέρει να είναι πάνω στην ίδια ευθεία ή πάνω σε παράλληλες ευθείες. Οπως επίσης, δεν µας ενδιαφέρει ουτε το µέτρο τους. ΠΡΟΣΟΧΗ!!! Οταν AB// AΓ τότε τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. 10

Ερώτηση 1.1.6 Ποια διανύσµατα λέγονται οµόρροπα και ποια αντίρροπα ; υο διανύσµατα που ϐρίσκονται πάνω σε παράλληλους ϕορείς είναι οµόρροπα α β, όταν τα τέρµατα τους, ϐρίσκονται πάνω στο ίδιο ηµιεπίπεδο, το οποίο ορίζει η ευθεία που ενώνει τις αρχές τους. Η στην περίπτωση που ϐρίσκονται πάνω στην ίδια ευθεία, είναι οµόρροπα α β όταν, η µια από τις ηµιευθείες που ορίζουν τα διανύσµατα, περιέχει την άλλη. Σχήµα 1.6: Οµόρροπα διανύσµατα ΠΡΟΣΟΧΗ!!! Στα οµόρροπα διανύσµατα µας ενδιαφέρει να ϐρίσκονται πάνω σε παράλληλες ευθείες ή πάνω στην ίδια ευθεία, τα τέρµατα τους να κοιτάνε προς την ίδια κατεύθυνση, αλλά δεν µας απασχολούν τα µέτρα τους. 11

υο παράλληλα διανύσµατα είναι αντίρροπα όταν δεν είναι οµόρροπα, α β Σχήµα 1.7: Αντίρροπα διανύσµατα ΠΡΟΣΟΧΗ!!! Στα αντίρροπα διανύσµατα µας ενδιαφέρει να ϐρίσκονται πάνω σε παράλληλες ευθείες ή πάνω στην ίδια ευθεία, τα τέρµατα τους να κοιτάνε προς αντίθετες κατευθύνσεις, αλλά δεν µας απασχολούν τα µέτρα τους. ΠΡΟΣΟΧΗ!!! Για είναι οµόρροπα ή αντίρροπα 2 διανύσµατα ϑα πρέπει υποχρεωτικά να είναι παράλληλα (συγγραµµικά). 12

Ερώτηση 1.1.7 Ποια διανύσµατα λέγονται ίσα και ποια αντίθετα ; ύο διανύσµατα α και β είναι ίσα αν-ν είναι οµόρροπα α β και έχουν ίσα µετρά α = β Σχήµα 1.8: Ισα διανύσµατα 13

ύο διανύσµατα α και β είναι αντίθετα αν-ν είναι αντίρροπα α β και έχουν ίσα µετρά α = β Σχήµα 1.9: Αντίθετα διανύσµατα ΠΡΟΣΟΧΗ!!! AB = BA AB = BA AB BA 14

Ερώτηση 1.1.8 Πότε ένα κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓ είναι παραλληλόγραµµο ; Το ΑΒΓ είναι παραλληλόγραµµο αν-ν τα απέναντι διανύσµατα είναι ίσα. Σχήµα 1.10: Παραλληλόγραµµο AB = Γ ή AΓ = B Ερώτηση 1.1.9 Ποιο σηµείο είναι το µέσο του διανύσµατος AB; Το Μ είναι µέσο του διανύσµατος AB αν-ν AM= MB Σχήµα 1.11: Μέσο διανύσµατος 15

Ερώτηση 1.1.10 Πως ορίζεται η γωνία 2 διανυσµάτων ; Ως γωνία των διανυσµάτων α και β ορίζουµε την κυρτή γωνία ϕ που σχηµατίζουν οι ηµιευθείες ΟΑ και ΟΒ, που είναι ϕορείς των διανυσµάτων. Είναι, 0 o φ 180 o Σχήµα 1.12: Γωνία διανυσµάτων φ = 0 o α β Σχήµα 1.13: Οµόρροπα διανύσµατα φ = 180 o α β 16

Σχήµα 1.14: Αντίρροπα διανύσµατα φ = 90 o α β Σχήµα 1.15: Κάθετα διανύσµατα ΠΡΟΣΟΧΗ!!! Το µηδενικό διάνυσµα µπορώ να το ϑεωρήσω οµµόροπο, αντίρροπο ή ακόµα και κάθετο σε κάθε άλλο διάνυσµα. 17

Ερώτηση 1.1.11 Πως προσθέτουµε δύο διανύσµατα ; Πρόσθεση µε τη Μέθοδο του Παραλληλογράµµου Μεταφέρω παράλληλα τα δυο διανύσµατα, ώστε να έχουν κοινή αρχή και σχηµατίζω το παραλληλόγραµµο που ϕαίνεται στο σχήµα. Το διάνυσµα της διαγωνίου που έχει αρχή, το κοινό σηµείο των διανυσµάτων, είναι το άθροισµα τους. Σχήµα 1.16: Νόµος παραλληλογράµµου Πρόσθεση µε ιαδοχικά ιανύσµατα Μεταφέρω παράλληλα τα δυο διανύσµατα, ώστε το τέλος του ενός διανύσµατος να είναι η αρχή του δευτέρου. Το διάνυσµα που έχει αρχή, την αρχή του 1ου και τέλος, το τέλος του 2ου είναι το άθροισµά τους. AB + BΓ = AΓ Σχήµα 1.17: Πρόσθεση µε διαδοχικά διανύσµατα Ερώτηση 1.1.12 Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης δυο διανυσµάτων ; α + β = β + α (Αντιµεταθετική ιδιότητα) 18

α + β ) + γ = α + ( β + γ ) (Προσετεριστική ιδιότητα) α + 0 = 0 + α = α α + ( α ) = 0 ΠΡΟΣΟΧΗ!!! Για προσθέσουµε ν διαδοχικά διανύσµατα τα κάνουµε διαδοχικά, οπότε το άθροισµα τους είναι το διάνυσµα που έχει για αρχή, την αρχή του πρώτου προσθετέου και τέλος, το τέλος του τελευταίου προσθετέου κι επειδή ισχύει η αντιµεταθετική και η προσετεριστική ιδιότητα, µπορούνε να αλλάξουµε τη σειρά των προσθετέων, όπως επίσης και να αντικαταστήσουµε κάποια διανύσµατα µε το άθροισµα τους. Κάθε διάνυσµα µπορεί να γραφεί ως άθροισµα 2 ή περισσότερων άλλων διανυσµάτων. π.χ. AB = AK + KB + AK + KM + MB =... Αν το άθροισµα 2 διανυσµάτων είναι το µηδενικό διάνυσµα τότε, τα διανύσµατα είναι αντίθετα. δηλαδή KA + KB = {}}{ 0 KA = KB και το Κ είναι µέσο του ΑΒ. 19

Ερώτηση 1.1.13 Πως αφαιρούµε δύο διανύσµατα ; Η αφαίρεση δυο διανυσµάτων είναι η πρόσθεση του 1ου µε το αντίθετο του 2ου α β = α + ( β ) Σχήµα 1.18: Αφαίρεση διανυσµάτων ΠΡΟΣΟΧΗ!!! Η εξίσωση α + x = β x = β α Οι ιδιότητες της πρόσθεσης προφανώς δεν ισχύουν και στην αφαίρεση. 20

Ερώτηση 1.1.14 Ποιο είναι το διάνυσµα ϑέσης ενός σηµείου ; Αν Ο ένα σταθερό σηµείο του επιπέδου, τότε για κάθε σηµείο Α, το διάνυσµα OA είναι το διάνυσµα ϑέσης ή αλλιώς διανυσµατική ακτίνα του Α. Το Ο λέγεται σηµείο αναφοράς. Σχήµα 1.19: ιάνυσµα ϑέσης 21

Ερώτηση 1.1.15 Πως γράφεται το διάνυσµα AB µε τις διανυσµατικές ακτίνες του τέλους και της αρχής του ; OB OA = AB Κάθε διάνυσµα, είναι ίσο µε τη διανυσµατική ακτίνα του τέλους του, µείον τη διανυσµατική ακτίνα της αρχής του Σχήµα 1.20: ιανυσµατικές ακτίνες Απόδειξη Από το σχήµα έχουµε : AB = AO + OB AB = OA + OB AB = OB OA ΠΡΟΣΟΧΗ!!! Οι διανυσµατικές ακτίνες στο παραλληλόγραµµο για τις διαγώνιες OM = OA + OB = α + β οπότε και α + β = OM = MO BA = OA OB = α β AB = OB OA = β α οπότε και α β = β α = AB = BA 22

Σχήµα 1.21: ιαγώνιες παραλληλογράµµου Ερώτηση 1.1.16 Να γράψετε τη τριγωνική ανισότητα για µέτρο του αθροίσµατος διανυσµάτων α β α + β α + β Είναι : α β = α + β αν-ν α β α + β = α + β αν-ν α β 23

Ερώτηση 1.1.17 Πως ορίζουµε τον πολλαπλασιασµό ενός αριθµού µε ένα διάνυσµα ; Ορίζουµε ως γινόµενο, του αριθµού λ µε το διάνυσµα α, το διάνυσµα λ α για το οποίο ισχύει : Είναι παράλληλο στο α Εχει µέτρο λ α το γινόµενο 1 α α, λ 0το γράφουµε λ λ Σχήµα 1.22: Πολλαπλασιασµός αριθµού µε διάνυσµα 24

Ερώτηση 1.1.18 Ποια είναι η συνθήκη παραλληλίας δύο διανυσµάτων ; Τα διανύσµατα α και β 0 είναι παράλληλα αν-ν α = λ β, λ R Σχήµα 1.23: Παράλληλα διανύσµατα Οµόρροπα - Αντίρροπα Το διάνυσµα λ α : Είναι οµόρροπο στο α αν-ν λ > 0 Αν λ = 0 ή α = 0 τότε λ α = 0 Είναι αντίρροπο στο α αν-ν λ < 0 25

Σχήµα 1.24: Οµόρροπα - Αντίρροπα διανύσµατα Ερώτηση 1.1.19 Ποιες είναι οι ιδιότητες του πολλαπλασιασµού ενός αριθµού µ ένα διάνυσµα ; λ( α + β ) = λ α + λ β (λ + µ) α = λ α + µ α λ(µ α ) = (λµ) α λ = 0 λ α = 0 ή α = 0 ( λ α ) = λ( α ) = λ α λ( α β ) = λ α λ β (λ µ) α = λ α µ α λ α = λ β, λ 0 = α = β λ α = µ α, α 0 = λ = µ 26

Ερώτηση 1.1.20 Τι ονοµάζουµε γραµµικό συνδυασµό δύο διανυσµάτων ; Το διάνυσµα v = λ α + µ β µε λ, µ, R λέγεται γραµµικός συνδυασµός των διανυσµάτων α, β Σχήµα 1.25: Γραµµικός συνδυασµός διανυσµάτων 27

Ερώτηση 1.1.21 Ποια είναι η διανυσµατική ακτίνα του µέσου ενός ευθύγραµµου τµήµατος ; OA + OB OM = 2 Σχήµα 1.26: Γραµµικός συνδυασµός διανυσµάτων Απόδειξη Από το σχήµα έχουµε : το διάνυσµα AB, Μ το µέσον του και Ο το σηµείο αναφοράς. Επειδή Μ το µέσον, έχουµε AM = MB OM OA = OB OM 2OM = OA + OB OA + OB OM = 2 28

1.1.2 Μεθοδολογίες Μεθοδολογία 1.1.22 Ισα διανύσµατα Αν µας Ϲητάνε να αποδείξουµε ότι : AB = Γ τότε : αποδεικνύουµε ότι έχουν ίσα µέτρα AB = Γ και ότι είναι οµόρροπα AB Γ ή αποδεικνύουµε ότι τα ευθύγραµµα τµήµατα Α και ΒΓ έχουν κοινό µέσο, οπότε το τετράπλευρο ΑΒΓ είναι παραλληλόγραµµο και κατά συνέπεια AB = Γ. ΠΡΟΣΟΧΗ!!! Τα µοναδιαία διανύσµατα έχουν ίσα µέτρα, αλλά ΕΝ είναι ίσα διανύσµατα. Αν AB = AΓ B Γ. Αν AB = ΓB A Γ. Αν AM = MB τότε Μ µέσο του ΑΒ. Αν AM = M B και τα Α, Β δεν ταυτίζονται, τότε το Μ είναι σηµείο της µεσοκαθέτου του ΑΒ. Αν AM = ρ, ρ > 0 µε Α ένα σταθερό σηµείο και Μ ένα µεταβλητό σηµείο τότε το Μ ϐρίσκεται πάνω σε κύκλο µε κέντρο Α και ακτίνα ϱ. Θέµα 1.1 ίνονται 3 µη συνευθειακά σηµεία Α, Β, Γ και τα διανύσµατα Γ = BA και BE = AΓ, να αποδείξετε ότι το Γ είναι µέσο του Ε. Σχήµα 1.27: Σχήµα Λύση 1.1.1 Είναι Γ = BA Επειδή BE = AΓ BAΓE παραλληλόγραµµο BA = EΓ Άρα BA = EΓ = Γ οπότε Γ µέσο του Ε. Θέµα 1.2 ίνεται παραλληλόγραµµο ΑΒΓ και τα διανύσµατα E = AΓ και Z = BΓ. να αποδείξετε ότι : ZE = AB 29

Σχήµα 1.28: Σχήµα Λύση 1.1.2 Επειδή το ΑΒΓ είναι παραλληλόγραµµο έχουµε ότι : AB = Γ A = BΓ Επειδή AΓ = E το ΑΓΕ είναι παραλληλόγραµµο, οπότε και A = ΓE Από την υπόθεση έχουµε ότι : Z = BΓ Άρα : Z = ΓE ΓEZ παραλληλογραµµα ZE = Γ = AB και Θέµα 1.3 ίνεται το τετράπλευρο ΑΒΓ µε : AB = α, BΓ = β, Γδ = γ και A = δ. Να αποδείξετε ότι το ΑΒΓ είναι παραλληλόγραµµο αν και µόνο αν : α + γ = 0 και β + δ = 0 Σχήµα 1.29: Σχήµα Λύση 1.1.3 Αν το ΑΒΓ είναι παραλληλόγραµµο τοτε : AB = Γ α = γ α + γ = 0 BΓ = A β + δ = 0 Αν α + γ = 0 και β + δ = 0 τότε : α + γ = 0 AB + Γ = 0 AB = Γ AB Γδ (1) 30

β + δ = 0 BΓ + A = 0 BΓ = A BΓ δa (2) Από (1), (2) το ΑΒΓ είναι παραλληλόγραµµο. Μεθοδολογία 1.1.23 Τριγωνική ανισότητα α β α + β α + β Οταν έχουµε να συνδυάσουµε σε µια άσκηση ανισοτικές σχέσεις µε διανύσµατα και παραλληλία, µε οµόρροπα και αντίρροπα διανύσµατα, χρησιµοποιώ τις παρακάτω ειδικές περιπτώσεις : α β = α + β αν-ν α β α + β = α + β αν-ν α β Θέµα 1.4 Αν ισχύει ότι : α = 2 3, β = 1 3 και α + β 1, να δείξετε ότι τα διανύσµατα α β. Λύση 1.1.4 α + β = 2 3 + 1 3 = 1 α + β α + β α + β (1) Από την τριγωνική ανισότητα έχουµε ότι α + β α + β (2) Άρα από (1), (2) έχουµε ότι : α + β = α + β οπότε α β. Μεθοδολογία 1.1.24 ιανυσµατικές ακτίνες Οι περισσότερες ασκήσεις µε διανυσµατικές σχέσεις µπορούν να λυθούν µε τη µέθοδο των διανυσµατικών ακτίνων. Οταν ϑέλω πρόσθεση έχω το ίδιο µεσαίο σηµείο AB = AO + OB Οταν ϑέλω αφαίρεση έχω το ίδιο αρχικό σηµείο AB = OA OB ηλαδή όταν ένα διάνυσµα πρέπει να αναλυθεί : σε άθροισµα, το γράφω AB = AO + OB 31

σε διαφορά, το γράφω AB = OA OB Σ ένα τρίγωνο ΑΒΓ, η διαφορά των διανυσµάτων 2 πλευρών µε ίδια αρχή, είναι ίση µε το διάνυσµα της 3ης πλευράς. AB AΓ = ΓB AΓ AB = BΓ Αν έχω το µέσο ενός διανύσµατος χρησιµοποιώ τη διανυσµατική ακτίνα του µέσου. Αν Μ το µέσο του AB και Ο ένα τυχαίο σηµείο, τότε : 2 OM = OA + OA + OB OB OM = 2 Αν έχω ένα τυχαίο σηµείο πάνω σ ένα διάστηµα πρέπει να αποδείξω, για να χρησιµοποιήσω την παρακάτω σχέση : Αν Μ ένα σηµείο πάνω στο διάνυσµα AB το οποίο χωρίζει ΑΒ σε λόγο λ. δηλαδή AM = λ MB, λ 0, 1 τότε OA + λ OB OM = λ + 1 Θέµα 1.5 Αν Μ ένα σηµείο πάνω στο διάνυσµα AB το οποίο χωρίζει ΑΒ σε λόγο λ. δηλαδή AM = λ MB, λ 0, 1 τότε να δείξετε ότι OA + λ OB OM = λ + 1 Σχήµα 1.30: Άσκηση Λύση 1.1.5 Από το τρίγωνο ΟΑΜ έχουµε : OM = OA + AM (1) Από το τρίγωνο ΟΜΒ έχουµε : OM = OB + BM λom = λob + λbm (2) Από (1) + (2) έχουµε : OM + λ OM = OA + AM + λ OB + λbm (3) Από την υπόθεση έχουµε ότι AM = λ MB AM = λ BM AM + λ BM = 0 (4) Απο (3), (4) = (1 + λ) OM = OA + λ OA + λob OB = OM = λ + 1 32

Θέµα 1.6 Αν ισχύει ότι : AB+ ΓA = KB+ ΓΛ, να δείξετε ότι τα σηµεία Κ, Λ ταυτίζονται. Λύση 1.1.6 AB + ΓA = KB + ΓΛ AB + ΓA KB ΓΛ = 0 AB KB + ΓA ΓΛ = 0 AB + BK + ΓA ΓΛ = 0 AK + ΛA = 0 AK AΛ = 0 ΛK = 0 Άρα Κ, Λ ταυτίζονται. Θέµα 1.7 ίνεται τετράπλευρο ΑΒΓ και Κ, Λ τα µέσα των διαγωνίων ΑΓ και Β, να αποδείξετε ότι : AΓ + ΓB + Γ + A = 4KΛ Λύση 1.1.7 Θεωρώ σηµείο αναφοράς Ο και γράφω όλα τα διανύσµατα στη σχέση που µου δίνεται ως διανυσµατικές ακτίνες του Ο. AΓ + ΓB + Γ + A = OΓ OA + OB OΓ + O OΓ + O OA = 2 OB 2OΓ + 2O 2OA Επειδή Κ µέσο του ΑΓ είναι : OA + OΓ = 2 OK Επειδή Λ µέσο του Β είναι : OB + O = 2OΛ Άρα από την (1) έχουµε : = 2( OB + O ) 2( O OΓ) (1) AΓ + ΓB + Γ + A = 2( OB + O ) 2( O OΓ) = 2 2 OK + 2 2 OΛ = 4 KΛ Μεθοδολογία 1.1.25 Τα σηµεία Α, Β και Γ είναι συνευθειακά οταν AB AΓ AB = λaγ ή µε οποιονδήποτε άλλο συνδυασµό γραµµάτων. ΠΡΟΣΟΧΗ!!! Αν AM = λ MB και λ > 0 τότε το σηµείο Μ είναι εσωτερικό του ΑΒ. λ < 0 τότε το σηµείο Μ είναι εξωτερικό του ΑΒ. 33

Μεθοδολογία 1.1.26 Οταν σε µια διανυσµατική σχέση που µου δίνουν, το άθροισµα των συντελεστών είναι 0, τότε σπάω τον µεγαλύτερο συντελεστή σε άθροισµα του οποιου οι προσθετέοι είναι οι υπόλοιποι συντελεστές. Αν η διανυσµατική σχέση που µου δίνεται δεν είναι µε διανυσµατικές ακτίνες µε το ίδιο σηµείο αναφοράς, τότε επιλέγω σηµείο αναφοράς και γράφω όλα τα διανύσµατα ως διανυσµατικές ακτίνες. Θέµα 1.8 Για τα σηµεία Α, Β, Γ και Ο ισχύει η σχέση αποδείξετε ότι τα Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. 9 OA 7 OB 2 OΓ = 0, να Λύση 1.1.8 9 OA 7 OB 2 OΓ = 0 2 OA + 7 OA 7 OB 2 OΓ = 0 άρα τα Α, Β, Γ είναι συνευθειακά σηµεία. 2( OA OΓ) + 7( OA OB) = 0 2 ΓA + 7 BA = 0 2 ΓA = 7 BA ΓA 7 BA Μεθοδολογία 1.1.27 Αν ϑελουµε να αποδειξουµε οτι ενα διανυσµα ειναι σταθερο αρκει να γραψουµε ττο διανυσµα ως γραµµικο συνδιασµο διανυσµατων που δεν περιεχουν ως ακρο το µεταβλητο σηµειο. Θέµα 1.9 Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ, να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα µοναδικό σηµείο Κ τέτοιο ώστε : 3 KA KB 3 KΓ = 0 Λύση 1.1.9 Θα γράψουµε όλα τα διάνυσµα ως διανυσµατικές ακτίνες µε σηµείο αναφοράς ένα από τα γνωστά σηµεία Α, Β, ή Γ που είναι οι κορυφές του τριγώνου. (Τώρα επιλέγω το Α, ϑα ήταν το ίδιο αν είχα επιλέξει το Β ή το Γ) 3 KA KB 3 KΓ = 0 3 AK ( AB AK) 3( AΓ AK) = 0 3 AK AB + AK 3AΓ + 3AK = 0 2 AK AB 3AΓ = 0 AK = 1 AB + 3 2 2 3 AΓ Άρα το Κ προκύπτει από τον παραπάνω γραµµικό συνδυασµό γνωστών διανυσµάτων. Θέµα 1.10 Εστω τα διανύσµατα, OA = α + 3 β, OB = 2 α β, OΓ = 3 α 5 β. Να δείξετε ότι Α, Β και Γ συνευθειακά. 34

Λύση 1.1.10 Εχουµε : AB = OB OA = 2 α β ( α + 3 β ) = α 4 β AΓ = OΓ OA = 3 α 5 β ( α + 3 β ) = 2 α 8 β = 2( α 4 β ) = 2 AB Άρα AB AΓ οπότε τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. 35

1.2 Συντεταγµένες-Εσωτερικό γινόµενο 1.2.1 Θεωρία Ερώτηση 1.2.1 Πως ορίζουµε τις συντεταγµένες σε ένα διάνυσµα ; Αναλύουµε τη διανυσµατική ακτίνα του διανύσµατος α σε 2 κάθετες συνιστώσες, ώστε το διάνυσµα να γραφεί ως γραµµικός συνδυασµός των µοναδιαίων διανυσµάτων i και j ηλαδή έχουµε α = x i + y j και γράφουµε α = (x, y) Σχήµα 1.31: ιάνυσµα Ερώτηση 1.2.2 Τι ισχύει για την ισότητα 2 διανυσµάτων όταν γνωρίζουµε τις συντεταγµένες τους ; Εστω τα διανύσµατα α = (x 1, y 1 ) και β = (x2, y 2 ) α = β x 1 = x 2 y 1 = y 2 Ερώτηση 1.2.3 Ποιες είναι οι συντεταγµένες του γραµµικού συνδυασµού των διανυσµάτων α = (x 1, y 1 ), β = (x 2, y 2 ) ; Εστω τα διανύσµατα α = (x 1, y 1 ) = x 1 i + y 1 j και β = (x2, y 2 ) = x 2 i + y 2 j 1. 2. α + β = (x 1 i + y 1 j) + (x 2 i + y 2 j) = x 1 i + x 2 i + y 1 j + y 2 j = (x 1 + x 2 ) i + (y 1 + y 2 ) j = (x 1 + x 2, y 1 + y 2 ) λ α = λ(x 1 i + x 2 i) = λ x 1 i + λ x 2 i = (λ x 1, λ x 2 ) 36

3. u = κ α + λ β = κ (x 1, y 1 ) + λ (x 2, y 2 ) = (κ x 1 + λ x 2, κ y 1 + λ y 2 ) Ερώτηση 1.2.4 Για το διάνυσµα α = (x, y), ποιο είναι το µέτρο του και ποιος ο συντελεστής διεύθυνσής του ; Σχήµα 1.32: ιάνυσµα Το µέτρο είναι το µήκος της διανυσµατικής ακτίνας του διανύσµατος α = x 2 + y 2 Ο συντελεστής διεύθυνσης είναι η εφαπτόµενη της γωνίας που σχηµατίζει ο ϕορέας του διανύσµατος µε τον xx λ α = ɛφω = y x 1. Αν y = 0 λ α = 0 ɛφω = 0 ω = 0 α xx 2. Αν x = 0 λ α ɛφω ω = 90 o α xx 3. 37

Ερώτηση 1.2.5 Οταν γνωρίζουµε τις συντεταγµένες της αρχής και του πέρατος A = (x 1, y 1 ) και B = (x 2, y 2 ), ενός διανύσµατος ποιους τύπους έχουµε ; Σχήµα 1.33: ιάνυσµα Το µέσο Μ έχει συντεταγµένες M AB = ( x 1 + x 2, y 1 + y 2 ) 2 2 Απόδειξη Είναι OM = 1 2 ( OA + OB) µε OM = (x, y) ( OA = (x 1, y 1 ), OB = (x2, y 2 ) όποτε από : OM = 1 2 ( OA + 1 OB) (x, y) = 2 ((x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 )) (x, y) = 1 2 (x 1 + x 2, y 1 + y 2 ) Το διάνυσµα AB έχει συντεταγµένες (x, y) = ( x 1 + x 2 2 AB = (x 2 x 1, y 2 y 1 ), y 1 + y 2 ) 2 Απόδειξη Είναι AB = OB OA µε AB = (x, y) ( OA = (x1, y 1 ), OB = (x2, y 2 ) οπότε από : AB = OA OB (x, y) = (x1, y 1 ) (x 2, y 2 ) Το µέτρο του διανύσµατος (x, y) = ((x 1 x 2, y 1 y 2 ) AB είναι : AB = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 Απόδειξη 38

Είναι AB = (x, y) = (x1 x 2, y 1 y 2 ) AB = x 2 + y 2 = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 Ο συντελεστής διεύθυνσης του διανύσµατος είναι λ AB = y 2 y 1 x 2 x 1, x 2 x 1 Απόδειξη Είναι AB = (x, y) = (x1 x 2, y 1 y 2 ) y AB = x = y 2 y 1, x 1 x 2 x 2 x 1 Ερώτηση 1.2.6 Ποια είναι η συνθήκη παραλληλίας των διανυσµάτων α, β ; Εστω τα διανύσµατα α = (x 1, y 1 ) και β = (x2, y 2 ) x 1 y 1 α β λ α = λ β x 2 y 2 = 0 Ερώτηση 1.2.7 Πως ορίζεται το εσωτερικό γινόµενο 2 διανυσµάτων α, β; α β = α β συνω, ω η γωνία των διανυσµάτων. Ερώτηση 1.2.8 Ποιες είναι οι ιδιότητες του εσωτερικού γινοµένου ; α β = β α α β α β = 0 α β α β = α β α β α β = α β α 2 = α 2 Ερώτηση 1.2.9 Ποια είναι η αναλυτική έκφραση του εσωτερικού γινοµένου ; Εστω τα διανύσµατα α = (x 1, y 1 ) και β = (x2, y 2 ) α β = x 1 x 2 + y 1 y 2 Ερώτηση 1.2.10 Ποιες ιδιότητες προκύπτουν από την αναλυτική έκφραση του εσωτερικού γινοµένου ; (λ α) β = α(λ α) α( β + γ) = α β + α γ α β λ α λ β = 1 Απόδειξη Αν α = (x 1, y 1 ), β = (x 2, y 2 ), γ = (x 3, y 3 ), είναι : 39

(λ α) β = (λx 1, λ y 1 )t(x 2, y 2 ) = λx 1 x 2 + λy 1 y 2 = λ (x 1 x 2 + y 1 y 2 ) = λ(αβ) α( β + γ) = (x 1, y 1 )(x 2 + x 3, y 2 + y 3 ) = x 1 (x 2 + x 3 ) + y 1 (y 2 + y 3 ) = x 1 x 2 + x 1 x 3 + y 1 y 2 + y 1 y 3 = x 1 x 2 + y 1 y 2 + x 1 x 3 + y 1 y 3 = α β + α γ α β x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0 y 1 y 2 = x 1 x 2 y 1y 2 x 1 x 2 = 1 λ 1 λ 2 = 1 40

Ερώτηση 1.2.11 Ποιος είναι ο τύπος του συνηµίτονου µιας γωνίας ω; συνω = α β α β Αν έχω τα διανύσµατα α = (x 1, y 1 ) και β = (x2, y 2 ), τότε ο τύπος γίνεται Απόδειξη Αν α = (x 1, y 1 ), β = (x 2, y 2 ), είναι : συνω = x 1 x 2 + y 1 y 2 x 2 1 + y1 2 x 2 2 + y2 2 Από τον ορισµό του εσωτερικού γινοµένου έχουµε : α β = α β συνω, µε ω την γωνία των διανυσµάτων. Άρα συνω = α β α β (1) Ακόµα έχουµε ότι : α β = x 1 x 2 + y 1 y 2 και α = x 2 1 + y2 1, β = x 2 2 + y2 2 x 1 x 2 + y 1 y 2 Οπότε από την (1) συνω = x 2 1 + y1 2 x 2 2 + y2 2 Ερώτηση 1.2.12 Ποιος είναι ο τύπος της προβολής του διανύσµατος β πάνω στο διάνυσµα α; α β = προβ α β α Σχήµα 1.34: ιάνυσµα 41

1.2.2 Μεθοδολογίες Μεθοδολογία 1.2.13 Τύποι µε συντεταγµένες Οταν έχω τις συντεταγµένες 2 διανυσµάτων α = (x 1, y 1 ) και β = (x 2, y 2 ) είναι : 1. Ισότητα διανυσµάτων α = β x 1 = x 2 y 1 = y 2 2. Μηδενικό διάνυσµα 3. Γραµµικός συνδυασµός x 1 = 0 α = 0 y 1 = 0 u = κ α + λ β = κ(x 1, y 1 ) + λ(x 2, y 2 ) = (κx 1 + λx 2, κy 1 + λy 2 ) 4. Συντελεστής διεύθυνσης 5. Μέτρο διανύσµατος λ α = y 1 x 1, x 1 0 α = x 2 1 + y2 1 6. Συνθήκη παραλληλίας α β λ α = λ β x 1 y 1 x 2 y 2 = 0 7. Εσωτερικό γινόµενο α β = x 1 x 2 + y 1 y 2 8. Συνθήκη καθετότητας α β = x1 x 2 + y 1 y 2 = 0 9. Συνηµίτονο γωνίας συνω = x 1 x 2 + y 1 y 2 x 2 1 + y1 2 x 2 2 + y2 2 Οταν έχω τις συντεταγµένες 2 σηµείων A(x 1, y 1 ) και B(x 2, y 2 ) είναι : 1. Το µέσο Μ έχει συντεταγµένες AB = ( x 1 + x 2, y 1 + y 2 ) 2 2 M 42

2. Το διάνυσµα AB έχει συντεταγµένες AB = (x 2 x 1, y 2 y 1 ) 3. Το µέτρο του διανύσµατος AB έχει συντεταγµένες AB = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 4. Ο συντελεστής διεύθυνσης του διανύσµατος AB είναι αν x 1 = x 2 λ AB = y 2 y 1 x 2 x 1, x 2 x 1 τότε, AB xx, λ AB δεν ορίζεται. Θέµα 1.11 Αν α = (1, 2) και β = (1, 3) τότε να προσδιορίσετε τα διανύσµατα : 1. α + β 2. α β 3. 3 α 4. 2 α 3 β Λύση 1.2.1 1. α + β = (1, 2) + (1, 3) = (1 + 1, 2 + 3) = (2, 1) 2. α β = (1, 2) (1, 3) = (1 1, 2 3) = (0, 5) 3. 3 α = 3(1, 2) = (3 1, 3 ( 2)) = (3, 6) 4. 2 α 3 β = 2(1, 2) 3(1, 3) = (2 1 = 3 1, 2 ( 2) 3 3) = ( 1, 13) Θέµα 1.12 Αν v = (3, 6) και w = ( 2, 5), να προσδιοριστούν οι συντεταγµένες του 2 v 3 w. Λύση 1.2.2 2 v 3 w = 2(3, 6) 3( 2, 5) = (6, 12) + (6, 15) = (6 + 6, 12 15) = (12, 3) Θέµα 1.13 Να προσδιορίσετε τους πραγµατικούς αριθµούς κ και λ ώστε το διάνυσµα α = (κ 2 9, 3λ 6) να είναι το µηδενικό διάνυσµα. Λύση 1.2.3 α = κ 2 9 = 0 0 (κ 2 9, 3λ 6) = (0, 0) 3λ 6 = 0 κ = ±3 λ = 2 43

Θέµα 1.14 ίνονται τα διανύσµατα α = (λ 2 3λ + 2, 2λ 2 3λ 2) και β = (λ 2 5λ + 6, 3λ 2 + 7λ 2) να ϐρείτε το λ ώστε α = β Λύση 1.2.4 Άρα λ = 2 α = β (λ 2 3λ + 2, 2λ 2 3λ 2) = (λ 2 5λ + 6, 3λ 2 + 7λ 2) λ 2 3λ + 2 = λ 2 5λ + 6 2λ 2 3λ 2 = 3λ 2 + 7λ 2 2λ = 4 5λ 2 10λ = 0 λ = 2 λ = 0 ή λ = 2 Θέµα 1.15 Εστω A(x A, y A ) και B(x B, y B ) 2 σηµεία του επιπέδου και M(x, y) ένα σηµείο πάνω στο ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ, έτσι ώστε AM = λ MB. να προσδιορίσετε τις συντεταγµένες του σηµείου Μ. Σχήµα 1.35: Άσκηση Λύση 1.2.5 Εχουµε τα διανύσµατα : AM = (x x A, y y A ) και MB = (x B x, y B y) 44

Επειδή AM = λ MB (x x A, y y A ) = λ (x x B, y y B ) Άρα M( x A λ x B 1 λ (x x A, y y A ) = (λ (x x B ), λ (y y B )) x x A = λ (x x B ) y y A = λ (y y B ) x x A = λ x λ x B y y A = λ y λ y B x λ x = λ x B + x A y λ y = λ y B + y A x = x A λ x B 1 λ y = y A λ y B 1 λ, y A λ y B ) 1 λ Θέµα 1.16 Εστω τα σηµεία A( 1, 2) και B(4, 10). Να ϐρείτε τις συντεταγµένες του : 1. σηµείου Μ που είναι µέσο του ΑΒ 2. σηµείου Ν, για το οποίο ισχύει ότι AN = 4 AB 3. σηµείου Σ, για το οποίο ισχύει ότι AΣ = 2 ΣB Λύση 1.2.6 1. Το σηµείο M(x, y) είναι µέσο του ΑΒ άρα : M(x, y) = ( 1 + 4 2 + 10, ) = ( 3 2 2 2, 6) 2. Για το σηµείο N(x, y), ισχύει ότι AN = 4 AB (x + 1, y 2) = 4(4 + 1, 10 2) (x + 1, y 2) = (20, 32) x + 1 = 20 y 2 = 32 x = 19 y = 34 Άρα N(19, 34) 3. Για το σηµείου Σ = (x, y), για το οποίο ισχύει ότι AΣ = 2 ΣB σύµφωνα µε την προηγούµενη άσκηση ισχύει ότι : x = x A 2x B = 1 2 4 = 9 1 2 1 y = y A 2y B = 2 2 10 = 18 1 2 1 Άρα Σ = (9, 18) 45

Θέµα 1.17 Εχουµε ένα παραλληλόγραµµο ΑΒΓ µε κορυφές A( 2, 1), B(1, 4) και κέντρο K(2, 3). να ϐρείτε τις συντεταγµένες των άλλων 2 κορυφών Γ και. Σχήµα 1.36: Άσκηση Λύση 1.2.7 Θεωρώ την κορυφή Γ(x 1, y 1 ) και ()x 2, y 2. Το Κ είναι µέσο του ΑΓ άρα : 2 = 2 + x 1 x 1 = 6 και 3 = y 1 + 1 y 1 = 7 2 2 Το Κ είναι µέσο του Β άρα : 2 = 1 + x 2 x 2 = 3 και 3 = y 2 + 4 y 2 = 10 2 2 Οπότε οι κορυφές είναι : Γ(6,-7) και (3, -10). Θέµα 1.18 ίνονται τα σηµεία Α(8, -10) και Β(2, -2). Να ϐρείτε : 1. το διάνυσµα AB 2. το µέτρο του AB Λύση 1.2.8 1. AB = (2 8, 2 + 10) = ( 6, 8) 2. AB = ( 6) 2 + 8 2 = 100 = 10 46

Μεθοδολογία 1.2.14 Σηµεία στο επίπεδο Ινα τυχαίο σηµείο του επιπέδου το γράφω M(x, y) Ινα τυχαίο σηµείο του xx το γράφω M(x, 0) Ενα τυχαίο σηµείο του yy το γράφω M(0, y) Ενα τυχαίο σηµείο της διχοτόµου του 1ου και 3ου τεταρτηµορίου (y = x) το γράφω M(x, x) Ενα τυχαίο σηµείο της διχοτόµου του 2ου και 4ου τεταρτηµορίου (y = x) το γράφω M(x, x) Ενα τυχαίο σηµείο της ευθείας (y = αx + β) το γράφω M(x, αx + β) Το συµµετρικό του M(x, y) ως προς τον xx είναι το M(x, y) Το συµµετρικό του M(x, y) ως προς τον yy είναι το M( x, y) Το συµµετρικό του M(x, y) ως προς το Ο(0, 0) είναι το M( x, y) Το συµµετρικό του M(x, y) ως προς την y = x είναι το M(y, x) Η απόσταση του M(x, y) από τον xx είναι d(m, xx ) = y Η απόσταση του M(x, y) από τον yy είναι d(m, yy ) = x Η απόσταση του M(x, y) από τον Ο(0, 0) είναι d(m, xx ) = x 2 + y 2 Θέµα 1.19 Να ϐρείτε τις αποστάσεις των παρακάτω σηµείων από τους άξονες. A( 1, 2), B(3, 4), Γ( 5, 6), (α 1, β + 2) Λύση 1.2.9 A( 1, 2) Άρα d(a, xx ) = y = 2 = 2 και d(a, yy ) = x = 1 = 1 B(3, 4) Άρα d(b, xx ) = y = 4 = 4 και d(b, yy ) = x = 3 = 3 Γ( 5, 6) Άρα d(γ, xx ) = y = 6 = 6 και d(γ, yy ) = x = 5 = 5 (α 1, β + 2) Άρα d(, xx ) = y = β + 2 και d(, yy ) = x = α 1 Θέµα 1.20 ίνονται τα σηµεία A( 2, 4) και B( 5, 1). να ϐρείτε σηµείο του xx που να ισαπέχει από τα Α και Β. Λύση 1.2.10 Ενα τυχαίο σηµείο του xx είναι το M(x, 0). Είναι : (MA) = (MB) (x + 2) 2 + (0 4) 2 = (x + 5) 2 + (0 1) 2 x 2 + 4x + 4 + 16 = x 2 + 10x + 25 + 1 6x = 6 Άρα το σηµείο είναι Μ(-1, 0). x = 1 Μεθοδολογία 1.2.15 Προσδιορισµός σηµείου Θεωρώ σηµείο M(x, y) και υπολογίζω τα x, y από τις σχέσεις που µου δίνουν. Για να ϐρω το συµµετρικό ενός σηµείου, σε κεντρική συµµετρία, χρησιµοποιώ τον τύπο του µέσου. M AB = ( x 1 + x 2, y 1 + y 2 ) 2 2 47

Θέµα 1.21 Να προσδιορίσετε το συµµετρικό του A(3, 1) ως προς το M( 5, 4) Λύση 1.2.11 Θεωρώ το σηµείο B(x, y) το συµµετρικό του Α ως προς το Μ. Το Μ είναι το µέσο του ΑΒ άρα από τον τύπο του µέσου έχουµε : 3 + x = 5 2 x = 13 ( 5, 4) = ( 3 + x, 2 Άρα M( 13, 9). 1 + y ) 2 1 + y 2 = 4 y = 9 Μεθοδολογία 1.2.16 3 σηµεία είναι συνευθειακά όταν α β λ α = λ β x 1 y 1 x 2 y 2 = 0 σχηµατίζουν τρίγωνο όταν α β λ α = λ β x 1 y 1 x 2 y 2 0 Θέµα 1.22 Να ϐρείτε τον πραγµατικό αριθµό κ, ώστε τα σηµεία M(κ, 2), A(1, 1), B( 3, 3) να είναι συνευθειακά. Λύση 1.2.12 Τα σηµεία M(κ, 2), A(1, 1), B( 3, 3) να είναι συνευθειακά αν και µόνο αν AB AM. Είναι : AB = ( 3 1, 5 1) = ( 4, 4) και AM = (κ 1, 2 1) = (κ 1, 1) 1 κ 1 Οπότε έχουµε, AB AM det( AB, AM) = 0 4 2 = 0 2 2κ 4 = 0 κ = 1 Θέµα 1.23 Να ϐρείτε τον πραγµατικό αριθµό x, ώστε τα διανύσµατα β = (4, x) να είναι οµόρροπα. α = (x, 1) και Λύση 1.2.13 Για να είναι οµόρροπα ϑα πρέπει πρώτα να είναι παράλληλα. x 4 det( α, β ) = 0 1 x = 0 x2 4 = 0 α β x = 2 ή x = 2 48

Για x = 2 είναι α = (2, 1) και β = (4, 2) = 2 α Άρα τα διανύσµατα είναι οµόρροπα. Για x = 2 είναι α = ( 2, 1) και β = (4, 2) = 2 α Άρα τα διανύσµατα είναι αντίρροπα. Οπότε x = 2 Θέµα 1.24 Να ϐρείτε διάνυσµα u το οποίο είναι παράλληλο µε το v = (3, 4) και u = 2 v Λύση 1.2.14 Επειδή u v u = λ v = (3λ, 4λ) Εχουµε ακόµα ότι, u = 2 v (3λ) 2 + (4λ) 2 = 2 3 2 + 4 2 9λ 2 + 16λ 2 = 4 25 25λ 2 = 100 λ = ±2 Άρα u = (6, 8) ή u = ( 6, 8) Θέµα 1.25 Να αναλύσετε το διάνυσµα α = (2, 3) σε συνιστώσες που είναι παράλληλες στα διανύσµατα β = (3, 2) και γ = ( 1, 1). Η ίδια άσκηση µε διαφορετική εκφώνηση. Να γράψετε το διάνυσµα α γραµµικό συνδυασµό των β, γ. Λύση 1.2.15 Γράφουµε : ϱιθµούς κ, λ. α = κ β + λ γ και ϑα υπολογίσουµε τους πραγµατικούς α- α = κ β + λ γ (2, 3) = κ(3, 2) + λ( 1, 1) Άρα κ = 1 και λ = 1 Οπότε α = β + γ. (2, 3) = (κ3, κ2) + (λ( 1), λ1) (2, 3) = (3κ λ, 2κ + 1) 3κ λ = 2 2κ + 1 = 3 Μεθοδολογία 1.2.17 Γωνία διανύσµατος µε τον xx Για να προσδιορίσω τη γωνία που σχηµατίζει ένα διάνυσµα α = (x, y) µε τον xx, χρησιµοποιώ τον συντελεστή διεύθυνσης του διανύσµατος λ α = y, x 0. Ο οποίος x υπολογίζει την εφαπτοµένη αυτής της γωνίας λ α = ɛφω. Θέµα 1.26 ίνονται τα σηµεία A( 1, 6) και B( 9, 2). Να υπολογίσετε το διάνυσµα AB και τη γωνία που σχηµατίζει µε τον xx Λύση 1.2.16 Είναι : AB = ( 9 + 1, 2 6) = ( 8, 8). Άρα λ AB = 1 = 1 = ɛφω = 1 = ω = 45o 1 49

Μεθοδολογία 1.2.18 Προσδιορισµός εσωτερικού γινοµένου Οταν έχω τη γωνία των διανυσµάτων και τα µέτρα τους α β = α β συνω Οταν έχω τις συντεταγµένες των διανυσµάτων α β = x 1 x 2 + y 1 y 2 Οταν έχω γραµµικούς συνδυασµούς Θα ϐρίσκω το εσωτερικό γινόµενο ή µε επιµε- ϱιστική ιδιότητα ή υψώνοντας στο τετράγωνο. Θέµα 1.27 ίνονται τα διανύσµατα α και β µε α = 2, β = 10 και γωνία που σχηµατίζουν τα διανύσµατα µεταξύ τους ω = 2π 3. Να ϐρείτε το εσωτερικό γινόµενο τους. Λύση 1.2.17 α β = α β συνω = 2 10 συν 2π 3 = 20 συν(π π 3 ) = 20( συν π 3 ) = 20 ( 1 2 ) = 10 Θέµα 1.28 ίνονται τα διανύσµατα α = (1, 2) και Να ϐρείτε το εσωτερικό γινόµενο τους. β = (3, 1) Λύση 1.2.18 α β = (1, 2) (3, 1) = 1 3 + 2 1 = 5 Θέµα 1.29 ίνονται τα διανύσµατα α και β µε α = 3, β = 1 και γωνία που σχηµατίζουν τα διανύσµατα µεταξύ τους ω = π 6. Να ϐρείτε το εσωτερικό γινόµενο των διανυσµάτων u = α + β και v = α 2 β Λύση 1.2.19 Είναι : α β = α β συνω = 3 1 συν π 6 = 3 Εχουµε : u v = ( α + β )( α 2 β ) = α 2 2 α β + α β 2 β 2 = α 2 α β 2 β 2 = 3 2 3 2 2 12 3 2 = 3 2 = 1 2 50

Μεθοδολογία 1.2.19 Μέτρο γραµµικού συνδυασµού Βρίσκω το µέτρο του τετραγώνου του γραµµικού συνδυασµού και µετά ϐρίσκω τη ϱίζα αυτού. Πρέπει όµως πρώτα να υπολογίσω το εσωτερικό γινόµενο των διανυσµάτων που πα- ϱάγουν το γραµµικό συνδυασµό. Θέµα 1.30 ίνονται τα διανύσµατα u και v µε u = 1, v = 2 και µε τη µεταξύ τους γωνία ω = 3π 4. να υπολογίσετε το µέτρο του α = 2 u + 4 v Λύση 1.2.20 Εχω u v = u v συνω = 1 2 συν 3π 4 = 2συν(π π 4 ) = 2συν π 4 = 2 Υπολογίζω το α 2 = 2 u + 4 v 2 = (2 u + 4 v ) 2 = 4 u 2 + 16 u v + 16 u 2 = 4 u 2 + 16 u v + 16 u 2 = 4 1 + 16 ( 2) + 16 4 = 68 16 2 Άρα α = 68 16 2 Μεθοδολογία 1.2.20 Υπολογισµός γωνίας Με τον xx µέσω της εφαπτόµενης της γωνίας, από τον συντελεστή διεύθυνσης ɛφω = λ α Μεταξύ 2 διανυσµάτων µέσω του συνηµιτόνου, από το εσωτερικό γινόµενο. συνω = α β α β Θέµα 1.31 Να ϐρεις τη γωνία που σχηµατίζει το διάνυσµα α = ( 3, 3) µε τον xx. Λύση 1.2.21 Θα υπολογίσω την εφαπτοµένη της γωνίας, µέσω του συντελεστή διεύθυνσης του διανύσµατος. ɛφω = λ α = 3 3 = 1 Άρα η γωνία ω = 135 o Θέµα 1.32 ίνονται τα διανύσµατα α και β µε α = 3, β = 1 και γωνία που σχηµατίζουν τα διανύσµατα µεταξύ τους ω = π 6. Να ϐρείτε τη γωνία των διανυσµάτων u = α + β και v = α 2 β Λύση 1.2.22 Θα υπολογίσω τη γωνία τους, µέσω του συνηµιτόνου, από το εσωτερικό γινόµενο συνω = u v u v Για να το υπολογίσω ϑα χρειαστώ τα παρακάτω : α β 51

u v u και v Είναι : α β = α β συνω = 3 1 συν π 6 = 3 Εχουµε : u v = ( α + β )( α 2 β ) = α 2 2 α β + α β 2 β 2 = α 2 α β 2 β 2 = 3 2 3 2 2 12 = 1 2 3 2 = 3 2 Για να υπολογίσουµε το µέτρο ενός γραµµικού συνδυασµού, υπολογίζω πρώτα το µέτρο του στο τετράγωνο. u 2 = α + β 2 = ( α + β ) 2 = α 2 + 2 α β + β 2 = 3 + 2 3 2 + 1 = 7 Άρα u = 7 v 2 = α 2 β 2 = ( α 2 β ) 2 = α 2 4 α β + 4 β 2 = α 2 4 3 2 + 4 β 2 = 3 6 + 4 1 = 1 Άρα v = 1 Οπότε συνω = u v u v = 1 2 = 1 7 1 2 7 Μεθοδολογία 1.2.21 Ανάλυση ενός διανύσµατος σε 2 κάθετες συνιστώσες Με τον τύπο της προβολής διανύσµατος α β = προβ α β α Θέµα 1.33 Να αναλυθεί το διάνυσµα u = (3, 1) σε δυο κάθετες συνιστώσες, από τις οποίες η µια είναι παράλληλη στο v = (1, 2) Σχήµα 1.37: Άσκηση 52

Λύση 1.2.23 Οι δυο κάθετες συνιστώσες είναι οι u 1 και u 2, µε την u 1 να είναι παράλληλη στο v. Οπότε u 1 = προβ u v = λ v Από τον τύπο της προβολής διανύσµατος έχουµε : u v = προβ v u v u v = λ v vecv (3, 1) (1, 2) = λ v 2 3 1 + 1 2 = λ(1 2 + 2 2 ) λ = 1 Άρα u 1 = λ v = 1 (1, 2) = (1, 2) και επειδή u = u 1 + u 2 u 2 = u u 1 = (3, 1) (1, 2) = (2, 1) Θέµα 1.34 ίνονται τα µοναδιαία διανύσµατα α και β τους γωνιά ω = π 3. Να ϐρείτε το διάνυσµα x, για το οποίο έχουµε : x ( α + β ) και β ( α + x ). τα οποία σχηµατίζουν µεταξύ Λύση 1.2.24 Το εσωτερικό γινόµενο α β = α β συνω = 1 1 συν π 3 = 1 2 Από β ( α + x ) β ( α + x ) = 0 β α + β x = 0 β x = 0 Από x ( α + β ) x = λ ( α + β ), λ R β x = λ β α + λ β 2 ) 1 2 = λ 1 2 + λ 1 λ = 1 3 Άρα x = 1 3 ( α + β ) 53

Βιβλία Βιβλία Ιστοσελίδες Ιστοσελίδες 2. Βιβλιογραφία 2.1 Βιβλία 1. Νίκος Κυριακόπουλος ιανύσµατα, Ευθεία 2. Παπακωνσταντίνου ιανύσµατα, Ευθεία, Κύκλος 3. Σχολικό ΟΕ Β Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου 4. Μπάρλας Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου 5. Μαντας Μεγάλη αναλυτική γεωµετρία. 6. Ραικοφτσαλης Εσωτερικό γινόµενο. 7. Μοσχόπουλος ιανύσµατα, Ευθεία 2.2 Ιστοσελίδες