ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ - Α Εξαμήνου Διδάσκων : ΦΛΩΡΟΥ ΓΙΑΝΝΟΥΛΑ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ A ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ 31 / 01/ 2014 ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ 2,0 ώρες ΟΔΗΓΙΕΣ Η εξέταση γίνεται με κλειστά βιβλία / σημειώσεις. - Τα θέματα να επιστραφούν στο τέλος της εξέτασης. Το νωρίτερο που μπορεί ο/η εξεταζόμενος/η να αποχωρήσει είναι 20 λεπτά από την παράδοση των όλων θεμάτων. Απαγορεύεται η χρήση κινητών τηλεφώνων. ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 1. α) Ποια συνάρτηση ονομάζεται γραμμική; Δώστε ένα παράδειγμα μιας γραμμικής συνάρτησης. β) Ποια είναι η οικονομική ερμηνεία της παραγώγου μιας συνάρτησης; γ) Πότε ένα σύνολο Β ονομάζεται υποσύνολο ενός συνόλου Α; (Μονάδες 3) α) Γραμμική συνάρτηση πρόκειται για συναρτήσεις πρώτου βαθμού της μορφής f(x)=αx + β Ευθεία με «κλίση» α Αν α>0 αύξουσα («ανεβαίνει») Αν α<0 φθίνουσα («κατεβαίνει») Αν α=0 σταθερή (οριζόντια) Παράδειγμα f(x)=10x + 2 β) ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΉ ΕΡΜΗΝΕΊΑ: ρυθμός μεταβολής γ) Ένα σύνολο Β ονομάζεται υποσύνολο του Α όταν ΟΛΑ ΤΑ στοιχεία του συνόλου Β βρίσκονται και στο σύνολο Α. 2. Δίνονται οι παρακάτω συναρτήσεις προσφοράς (S) και ζήτησης (D) που χαρακτηρίζουν μία αγορά. D(p)=p 2-15p+40 S(q)= 20+6p. α) Να βρεθεί το κοινό πεδίο ορισμού των δύο συναρτήσεων και να γίνει η γραφική τους παράσταση στο ίδιο διάγραμμα. β) Να βρεθεί το σημείο ισορροπίας της αγοράς για την τιμή p και τη ζήτηση D(p). α) ΘΑ ΠΡΕΠΕΙ ΟΙ ΠΟΣΟΣΤΗΤΕΣ ΝΑ ΕΙΝΑΙ ΘΕΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ, ΑΡΑ p>0 ΑΛΛΑ ΚΑΙ D>0, S>0, ΟΠΟΤΕ ΓΙΑ ΝΑ ΒΡΟΥΜΕ ΤΟ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΛΥΝΟΥΜΕ ΤΙΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ p 2-15p+40 >0 ΚΑΙ 20+6p >0 6p>-20 p>-20/6
ΟΙ ΛΥΣΕΙΣ ΤΟΥ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ ΒΡΙΣΚΟΝΤΑΙ ΜΕ ΤΗ ΔΙΑΚΡΙΝΟΥΣΑ ΕΙΝΑΙ p= 11,5 p=3,5 ΤΟ ΤΡΙΩΝΥΜΟ ΕΠΕΙΔΗ Ο ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΤΟΥ p 2 ΕΙΝΑΙ ΘΕΤΙΚΟΣ, ΠΑΙΡΝΕΙ ΤΙΜΕΣ >0 ΕΚΤΟΣ ΤΩΝ ΡΙΖΩΝ ΔΗΛΑΔΗ p<3,5 Ή p>11,5 ΑΚΟΜΗ ΘΑ ΠΡΕΠΕΙ Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΖΗΤΗΣΗΣ ΝΑ ΕΙΝΑΙ ΦΘΙΝΟΥΣΑ, ΟΠΟΤΕ ΚΡΑΤΟΥΜΕ ΜΟΝΟ ΤΙΣ ΤΙΜΕΣ ΟΠΟΥ Η ΠΡΩΤΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΕΙΝΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΗ, ΔΗΛΑΔΗ, 2p-15<0, p<15/2, p<7,5 ΑΡΑ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ [0,3.5] β) D(p)= S(p) Άρα p 2-15p+40 = 20+6p p 2 15p 6p=20 40 p 2 21p= - 20 ΠΡΟΚΕΙΤΑΙ ΓΙΑ ΤΡΙΩΝΥΜΟ p 2-21p+20=0, ΚΑΙ ΒΡΙΣΚΟΥΜΕ ΤΙΣ ΡΙΖΕΣ ΜΕ ΤΗ ΔΙΑΚΡΙΝΟΥΣΑ 21^2-4(+1)(20)=441-80 =361 ΟΙ ΛΥΣΕΙΣ ΕΙΝΑΙ (21+-19)/(-2)=20 Ή +1 Η πρώτη ΑΠΟΡΡΙΠΤΕΤΑΙ ΑΦΟΥ ΕΙΝΑΙ ΕΚΤΟΣ ΠΕΔΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΥ ΕΝΩ Η δεύτερη ΡΙΖΑ ΓΙΝΕΤΑΙ ΔΕΚΤΗ. Άρα για p=1 έχουμε: D(p)=p 2-15p +40 p 2 15p + 40 = =1^2-15*1+40=26 Άρα σημείο ισορροπίας έχουμε σε p=1 και p=26 3. Η συνάρτηση ζήτησης ενός μονοπωλητή που επιδιώκει μεγιστοποίηση των κερδών του είναι Ρ=12/Q+2/Q 2 και η συνάρτηση του συνολικού κόστους της επιχείρησής του είναι TC=13-12Q+3Q 2, όπου Ρ είναι η τιμή, και Q η ποσότητα του προϊόντος. α) Να υπολογισθεί η παράγωγος του κόστους και να προσδιορισθεί το ύψος παραγωγής στο οποίο το κόστος παραγωγής ελαχιστοποιείται. β) Να γραφεί η συνάρτηση εσόδων, η συνάρτηση κερδών και η συνάρτηση του μέσου κόστους. α) Ρ =12/Q + 2/Q2 TC=13-12Q+3Q2 F(x)=13-12Q+3Q2
F (x)=6q 12 Για να προσδιορίσουμε το ύψος της παραγωγής όταν το κόστος ελαχιστοποιείται βρίσκουμε το F (x)=0 6Q-12=0 6Q=12 Q=2 ΒΡΙΣΚΟΥΜΕ ΚΑΙ ΤΗ ΔΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟ =6 ΚΑΙ ΕΠΕΙΔΗ ΕΙΝΑΙ ΘΕΤΙΚΗ ΕΧΟΥΜΕ ΕΛΑΧΙΣΤΟ Άρα το ύψος της παραγωγής που ελαχιστοποιείται το κόστος είναι ΤC=1 β) Συνάρτηση Εσόδων ΤR=TR(Q) PQ (12/Q + 2/Q2)Q = 12 + 2/Q Συνάρτηση Κέρδους Π=Π(q)=ΤR TC = (12 + 2/Q) 13 + 12Q 3Q2 = 3Q2 + 14Q 1 Mέσο Κόστος =ΤC/q=13/Q-12+3Q 4. Να υπολογισθεί η το εμβαδόν που περικλείεται μεταξύ του άξονα των p και της συνάρτησης ζήτησης Q(p)= -4p 2 +6p+80 στα σημεία p=3 έως και p=5. (Μονάδες 1) ΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΙΝΑΙ ΤΟ ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ από 3 έως 5. ΥΠΟΛΟΓΙΖΟΥΜΕ ΤΗΝ ΤΙΜΗ ΤΟΥ. 3 5 (-4p 2 +6p+80)dq=(-4/3p 3 +3p 2 +80p) ) 3 5 =(-500/3 + 75 + 400) ( -36+27+240)=925/3 693/3=232/3 5. Δίνεται η συνάρτηση κέρδους για δύο αγαθά Χ και Υ Π(x,y)= 36x-5x 2 +2xy-2y 2 +300. α) Να βρεθούν οι ποσότητες x και y που μεγιστοποιούν το κέρδος. Ποιο είναι το μέγιστο κέρδος; β) Να γραφεί η εξίσωση της ισουψούς καμπύλης όπου τι κέρδος είναι 160 μονάδες. α) Π(x,y)=36x-5x 2 +2xy-2y 2 +300 F(x)=-10x + 2y +36 F(y)=2x 4y Λύνουμε το σύστημα F(x)=0 και F(y)=0, και βρίσκουμε χ=4 και y=2. Επομένως έχουμε μέγιστο κέρδος όταν χ=4 και y=2
ΥΠΟΛΟΓΙΖΟΥΜΕ ΚΑΙ ΤΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΕΠΕΙΔΗ Η D=F XX *F YY -F XY *F XY =(-10)(-4)-2 2 >0 KAI F XX <0, F YY <0 ΕΧΟΥΜΕ ΜΕΓΙΣΤΟ και η τιμή του μέγιστου υπολογίζεται από Π(4,2)=144-80+16-4+300=376 Β) Η ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΗΣ ΙΣΟΥΨΟΥΣ ΕΙΝΑΙ Π(x,y)=36x- 5x2+2xy-2y2+300=160 ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ
ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ - Α Εξαμήνου Διδάσκων : ΦΛΩΡΟΥ ΓΙΑΝΝΟΥΛΑ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ A ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ 31 / 01/ 2014 ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ 2,0 ώρες ΟΔΗΓΙΕΣ Η εξέταση γίνεται με κλειστά βιβλία / σημειώσεις. - Τα θέματα να επιστραφούν στο τέλος της εξέτασης. Το νωρίτερο που μπορεί ο/η εξεταζόμενος/η να αποχωρήσει είναι 20 λεπτά από την παράδοση των όλων θεμάτων. Απαγορεύεται η χρήση κινητών τηλεφώνων. ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 1. α) Ποια συνάρτηση ονομάζεται εκθετική; Δώστε ένα παράδειγμα μιας εκθετικής συνάρτησης. β) Ποια είναι η γεωμετρική ερμηνεία της παραγώγου μιας συνάρτησης; γ) Η τομή Α Β δύο συνόλων ποια στοιχεία περιέχει; (Μονάδες 3) Α) Εκθετικές είναι οι συναρτήσεις στις οποίες η ανεξάρτητη μεταβλητή βρίσκεται στον εκθέτη. Β) Η παράγωγος είναι η κλίση της εφαπτομένης στο εν λόγω σημείο x. Γ) Η τομή Α Β περιέχει τα κοινά στοιχεία του Α και του Β. 2. Δίνονται οι παρακάτω συναρτήσεις προσφοράς (S) και ζήτησης (D) που χαρακτηρίζουν μία αγορά. D(p)=p 2-14p+40 S(p)= 6+5p. α) Να βρεθεί το κοινό πεδίο ορισμού των δύο συναρτήσεων και να γίνει η γραφική τους παράσταση στο ίδιο διάγραμμα. β) Να βρεθεί το σημείο ισορροπίας της αγοράς για την τιμή p και τη ζήτηση D(p). Α) D(p)=p 2-14p+40 S(p)= 6+5p Θα πρέπει οι ποσότητες να είναι θετικοί αριθμοί Άρα p>0 και D>0,S>0οπότε λύνουμε p 2-14p+40>0 και 6+5p>0 5p>-6 p>-6/5 ΟΙ ΛΥΣΕΙΣ ΤΟΥ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ ΒΡΙΣΚΟΝΤΑΙ ΜΕ ΤΗ ΔΙΑΚΡΙΝΟΥΣΑ ΚΑΙ ΟΙ ΡΙΖΕΣ ΕΙΝΑΙ p= 10, p=4 ΤΟ ΤΡΙΩΝΥΜΟ ΕΠΕΙΔΗ Ο ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΤΟΥ p 2 ΕΙΝΑΙ ΘΕΤΙΚΟΣ, ΠΑΙΡΝΕΙ ΤΙΜΕΣ >0 ΕΚΤΟΣ ΤΩΝ ΡΙΖΩΝ ΔΗΛΑΔΗ p<4 Ή p>10
ΑΚΟΜΗ ΘΑ ΠΡΕΠΕΙ Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΖΗΤΗΣΗΣ ΝΑ ΕΙΝΑΙ ΦΘΙΝΟΥΣΑ, ΟΠΟΤΕ ΚΡΑΤΟΥΜΕ ΜΟΝΟ ΤΙΣ ΤΙΜΕΣ ΟΠΟΥ Η ΠΡΩΤΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΕΙΝΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΗ, ΔΗΛΑΔΗ, 2p-14<0, p<14/2, p<7 ΑΡΑ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ [0,4] B)D(p)=S(p) p 2-14p+40=6+5p -p 2 +19p=34 ΠΡΟΚΕΙΤΑΙ ΓΙΑ ΤΡΙΩΝΥΜΟ -p 2 +19p-34=0, ΚΑΙ ΒΡΙΣΚΟΥΜΕ ΤΙΣ ΡΙΖΕΣ ΜΕ ΤΗ ΔΙΑΚΡΙΝΟΥΣΑ 19^2-4(- 1)(-34)=361-136 =225 ΟΙ ΛΥΣΕΙΣ ΕΙΝΑΙ (-19+-15)/(-2)=17 Ή 2 Η ΠΡΩΤΗ ΑΠΟΡΡΙΠΤΕΤΑΙ ΑΦΟΥ ΕΙΝΑΙ ΕΚΤΟΣ ΠΕΔΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΥ ΕΝΩ Η ΔΕΥΤΕΡΗ ΡΙΖΑ ΓΙΝΕΤΑΙ ΔΕΚΤΗ. p=2 και S(p)=6+5*2=16 3. Η συνάρτηση ζήτησης ενός μονοπωλητή που επιδιώκει μεγιστοποίηση των κερδών του είναι Ρ=60/Q+3/Q 2 και η συνάρτηση του συνολικού κόστους της επιχείρησής του είναι TC=50-30Q+5Q 2, όπου Ρ είναι η τιμή, και Q η ποσότητα του προϊόντος. α) Να υπολογισθεί η παράγωγος του κόστους και να προσδιορισθεί το ύψος παραγωγής στο οποίο το κόστος παραγωγής ελαχιστοποιείται. β) Να γραφεί η συνάρτηση εσόδων, η συνάρτηση κερδών και η συνάρτηση του μέσου κόστους. Ρ=60/Q+3/Q2 TC=50-30Q+5Q2 Α) F(x)=50-30Q+5Q2 F (x)=10q-30 F (x)=10 Άρα επειδή είναι θετικός αριθμός το κόστος παραγωγής ελαχιστοποιείται. Β) Συνάρτηση Εσόδων ΤR=TR(Q) P*Q (60/Q + 3/Q2)Q =60 + 3/Q Συνάρτηση Κέρδους Π=Π(q)=ΤR TC =(60 + 3/Q) 50 +30Q 5Q2=-5Q2 + (30Q2 + 3)/Q -50 = (-5Q3 + 30Q2 + 3)/Q 50
Μέσο Κόστος ΤC/Q= (50-30Q+5Q2)/Q = Q(5Q 30) +50/Q = 5Q 30 +50 4. Να υπολογισθεί η το εμβαδόν που περικλείεται μεταξύ του άξονα των p και της συνάρτησης ζήτησης Q(p)= -3p 2 +5p+70 στα σημεία p=2 έως και p=5. (Μονάδες 1) ΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΙΝΑΙ ΤΟ ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ από 2 έως 5. ΥΠΟΛΟΓΙΖΟΥΜΕ ΤΗΝ ΤΙΜΗ ΤΟΥ. 2 5 (-3p 2 +5p+70)dq=(-p 3 + 2,5p2 + 70p) 2 5 =(-125 + 62,5 + 350) (-8 + 10 + 140)=287,5 142=145,5 5. Δίνεται η συνάρτηση κέρδους για δύο αγαθά Χ και Υ Π(x,y)= 18x-5x 2 +2xy-2y 2 +200. α) Να βρεθούν οι ποσότητες x και y που μεγιστοποιούν το κέρδος. Ποιο είναι το μέγιστο κέρδος; β) Να γραφεί η εξίσωση της ισουψούς καμπύλης όπου τι κέρδος είναι 150 μονάδες. A) Π(x,y)=18x-5x2+2xy-2y2+200 F(x)=-10x + 2y +18 F(y)=2x-4y Λύνουμε το σύστημα F(x)=0 και F(y)=0, και βρίσκουμε y=1 και χ=2. Υπολογίζουμε τους παραγώγους δευτέρου βαθμού και επειδή D=F XX *F YY - F XY *F XY =(-10)(-4)-2*2=36>0 F XX <0 F YY <0 έχουμε μέγιστο. Και η τιμή του μέγιστου υπολογίζεται από Π(2,1)=36-20+4-2+200=218 Β) Η ισουψής καμπύλη είναι Π(x,y)= 18x-5x 2 +2xy-2y 2 +200=150 ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ