ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Ενότητα 2: ΠΕΡΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα 2: ΠΕΡΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2

Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

Σκοποί ενότητας Με την ολοκλήρωση αυτής της ενότητας, θα είστε σε θέση: Να έχετε πλήρη εικόνα της περιγραφής και των ιδιοτήτων των συστημάτων. 4

Περιεχόμενα ενότητας 1. Εισαγωγή στα Συστήματα 2. Ιδιότητες Συστημάτων 3. Κατηγορίες διακριτών συστημάτων 4. Περιγραφή και Μελέτη των Συστημάτων- Μαθηματικό Μοντέλο 5. Τρόποι Μελέτης Ενός Συστήματος 6. Είδη μαθηματικών μοντέλων 7. Ασκήσεις εξάσκησης από τη δεύτερη διάλεξη 8. Ασκήσεις για λύση από τη δεύτερη διάλεξη 5

Signal Process Systems 6

Εισαγωγή στα Συστήματα Ονομάζουμε σύστημα ένα σύνολο στοιχείων και συσκευών που, συνδέονται μεταξύ τους ώστε να ενεργούν σαν μια ολότητα για την εκτέλεση συγκεκριμένου έργου. Στη θεωρία Συστημάτων σύστημα είναι η οντότητα εκείνη που επεξεργάζεται, μεταβάλλει, καταγράφει, ή μεταδίδει σήματα. 7

Παραδείγματα Ένα σύστημα ψηφιακής καταγραφής ήχου μετατρέπει ένα ακουστικό σήμα σε μια σειρά από αριθμούς (bits) τους οποίους καταγράφει, π.χ., σε οπτικό δίσκο. Το CD player είναι ένα σύστημα το οποίο διαβάζει τους αριθμούς, οι οποίοι είναι αποθηκευμένοι στον οπτικό δίσκο και αναπαράγει το ηχητικό σήμα το οποίο μπορούμε να ακούσουμε. Ένα σύστημα επικοινωνίας μεταφέρει πληροφορία, π.χ. το σήμα φωνής, από ένα σημείο του χώρου, που λέγεται πηγή, σε ένα άλλο σημείο, που είναι ο προορισμός χρήσης της. 8

Συστήματα Ως σύστημα ορίζουμε την οντότητα εκείνη η οποία επενεργώντας σε ένα σήμα x(t) έχει σαν αποτέλεσμα ένα άλλο σήμα y(t). x(t) είναι το σήμα εισόδου ή απλά η είσοδος του συστήματος και y(t) η έξοδος του συστήματος. Ένα σύστημα μπορεί να θεωρηθεί ως ένας μετασχηματισμός μεταξύ σημάτων Y(t)= S{x(t)} 9

Παραδείγματα απλών συστημάτων (1) 10

Παραδείγματα απλών συστημάτων Γενικά το σήμα εισόδου x(t) και το σήμα εξόδου y(t) ενός συστήματος συνδέονται με μία διαφορική εξίσωση με σταθερούς συντελεστές οι οποίοι εξαρτώνται από τα επιμέρους στοιχεία του συστήματος. Η διαφορική αυτή εξίσωση έχει τη γενική μορφή (2) Η τάξη του συστήματος προσδιορίζεται από τη μεγαλύτερη παράγωγο της εξόδου, η οποία εμφανίζεται στη διαφορική εξίσωση. 11

Παραδείγματα απλών συστημάτων (3) Ανάλογα με τον αριθμό και το είδος των επιτρεπόμενων εισόδων και εξόδων, τα συστήματα διακρίνονται σε: α) Συστήματα μιας εισόδου - μιας εξόδου ή SISO (Single-Input, Single-Output). Τα πιο απλά συστήματα μια εισόδου - μιας εξόδου είναι ο βαθμωτός πολλαπλασιαστής y(t) = α.x (t) και το σύστημα καθυστέρησης y(t) = x (t- t 0 ). β) Συστήματα με πολλές εισόδους και μία έξοδο που είναι γνωστά ως συστήματα MISO (Multi - Input, Single - Output). 12

Παραδείγματα απλών συστημάτων Ένα τέτοιο σύστημα είναι ο αθροιστής δύο ή περισσοτέρων σημάτων y(t)=x1(t)+x2(t) και ο πολλαπλασιαστής y(t)= x1(t). X2(t). γ) Συστήματα με πολλές εισόδους και πολλές εξόδους, γνωστά ως συστήματα MIMO (Multi- Input, Multi -Output). (4) 13

Παραδείγματα απλών συστημάτων (5) 2. Ανάλογα με τη φύση των επιτρεπομένων εισόδων και εξόδων, τα συστήματα διακρίνονται σε: α) Συστήματα συνεχούς χρόνου ή αναλογικά συστήματα, όταν οι είσοδοι και οι έξοδοι είναι αναλογικά σήματα. Όταν τα σήματα εισόδου και εξόδου είναι σήματα διακριτού χρόνου, τότε τα συστήματα χαρακτηρίζονται ως συστήματα διακριτού χρόνου. β) Αιτιοκρατικά συστήματα, όταν τα σήματα εισόδου και εξόδου είναι αιτιοκρατικά σήματα. Όταν τα σήματα εισόδου και εξόδου είναι στοχαστικά σήματα, τα συστήματα χαρακτηρίζονται ως στοχαστικά συστήματα. 14

Παραδείγματα απλών συστημάτων (6) Υπάρχουν επίσης συστήματα τα οποία μετασχηματίζουν αναλογικές εισόδους σε διακριτές εξόδους και το αντίθετο. Τέτοια συστήματα είναι γνωστά ως υβριδικά συστήματα. Ένα σύστημα είναι περιγραμμένο δομικά καθορίζοντας Την τοπολογία του συστήματος. Τον τρόπο διασύνδεσης των στοιχείων του. Τη συναρτησιακή περιγραφή των σχέσεων των στοιχείων (μαθηματικό μοντέλο). 15

Ιδιότητες Συστημάτων 1. Κατάσταση ηρεμίας τη χρονική στιγμή t0. Ένα σύστημα βρίσκεται σε κατάσταση ηρεμίας τη χρονική στιγμή t0, εάν αυτό δεν έχει υποστεί διέγερση από άλλο σήμα για κάθε χρονική στιγμή t < t0. Από φυσική άποψη, ένα σύστημα που είναι σε κατάσταση ηρεμίας σε δεδομένη χρονική στιγμή t0, σημαίνει ότι δεν είχε αποθηκευμένη ενέργεια τη χρονική στιγμή t = t0 16

2. Γραμμικότητα Ένα σύστημα είναι γραμμικό αν η απόκριση του συστήματος σε μία είσοδο, που είναι ο γραμμικός συνδυασμός δύο σημάτων, ισούται με τον αντίστοιχο γραμμικό συνδυασμό των αποκρίσεων του συστήματος στο καθένα από τα σήματα αυτά. 17

Το υπόβαθρο της Γραμμικότητας Γραμμικά είναι τα συστήματα εκείνα τα οποία έχουν τις ιδιότητες της ομογένειας και της προσθετικότητας. 18

Παραδείγματα Γραμμικών συστημάτων Ηλεκτρικά κυκλώματα τα οποία περιλαμβάνουν αντιστάσεις, πυκνωτές και πηνία. Ενισχυτές και φίλτρα. Συστήματα διάδοσης ηχητικών ή ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων. Μηχανικά συστήματα που περιλαμβάνουν μάζες, ελατήρια και απόσβεση. Συστήματα συνεχούς χρόνου στα οποία η έξοδος προκύπτει από την παραγώγιση ή την ολοκλήρωση της εισόδου. Συστήματα διακριτού χρόνου όπου η έξοδος προκύπτει από την διαφορά ή την άθροιση διαδοχικών τιμών της εισόδου. Τα ταυτοτικά συστήματα, δηλαδή συστήματα στα οποία η έξοδος είναι ίση με την είσοδο. Το μηδενικά συστήματα, όπου η έξοδος είναι μηδενική ανεξάρτητα από την συγκεκριμένη τιμή της εισόδου. 19

Παραδείγματα μη -Γραμμικών συστημάτων Συστήματα στα οποία η έξοδος ισούται με κάποια δύναμη της τιμής της εισόδου, για παράδειγμα η ισχύς που ξοδεύεται σε μια αντίσταση συναρτήσει της τάσης που εφαρμόζεται στα άκρα της. Συστήματα ανίχνευσης του μέγιστου ενός σήματος, μετατροπείς του ημιτόνου σε τετραγωνικό σήμα, συστήματα διπλασιασμού της συχνότητας κλπ. Συστήματα τα οποία επιδεικνύουν τις συνηθισμένες παραμορφώσεις των ηλεκτρονικών κυκλωμάτων όπως ψαλιδισμό, crossover distortion και slewing. Συστήματα όπου η έξοδος προκύπτει από τον πολλαπλασιασμό δύο σημάτων που εφαρμόζονται στην είσοδο, όπως για παράδειγμα τα κυκλώματα διαμόρφωσης. Συστήματα που εμφανίζουν κορεσμό, π.χ. ενισχυτές στην μηγραμμική περιοχή. 20

Η γραμμικότητα στη μαθηματική έκφραση των συστημάτων (1) 21

Η γραμμικότητα στη μαθηματική έκφραση των συστημάτων (2) 22

Η γραμμικότητα στην μαθηματική έκφραση των συστημάτων (3) 23

3. Χρονικά Αναλλοίωτα Συστήματα Ένα σύστημα λέγεται χρονικά αναλλοίωτο (ΧΑ) αν χρονικές ολισθήσεις του σήματος εισόδου μεταφράζονται σε αντίστοιχες χρονικές ολισθήσεις στην έξοδο. (1) 24

3. Χρονικά Αναλλοίωτα Συστήματα Η είσοδος και η έξοδος ενός συστήματος χρονικά αναλλοίωτου. (2) 25

Η μαθηματική έκφραση των χρονικά αναλλοίωτων συστημάτων (1) 26

4. Αιτιότητα Ένα σύστημα είναι αιτιατό, όταν για κάθε σήμα το οποίο εφαρμόζεται στην είσοδό του η αντίστοιχη έξοδός του εξαρτάται μόνο από την παρούσα ή και τις προηγούμενες τιμές της εισόδου. 29

Πραγματικά συστήματα και Αιτιότητα (1) Όλα τα φυσικά συστήματα που δουλεύουν σε πραγματικό χρόνο είναι αιτιατά, γιατί ο χρόνος κινείται προς μία μόνο κατεύθυνση. Αντίθετα, εάν η ανεξάρτητη μεταβλητή ενός συστήματος δεν είναι ο χρόνος αλλά κάποια απόσταση τότε το σύστημα είναι δυνατόν να είναι μη-αιτιατό. Στην περίπτωση αυτή κανείς μπορεί να μετακινηθεί σε οποιαδήποτε κατεύθυνση και με την έννοια αυτή η έξοδος είναι δυνατόν να εξαρτάται από μελλοντικές τιμές της εισόδου. Μια άλλη κατηγορία μη-αιτιατών συστημάτων είναι τα συστήματα επεξεργασίας ηχογραφημένων ή μαγνητοσκοπημένων σημάτων, δηλαδή τα συστήματα που δουλεύουν σε μη πραγματικό χρόνο. Στα συστήματα αυτά, τα δεδομένα είναι αποθηκευμένα σε μια μνήμη και κάποια από αυτά μπορούν να θεωρηθούν σαν μελλοντικά σε σχέση με μια επιλεγμένη χρονική στιγμή. 30

Πραγματικά συστήματα και Αιτιότητα (2) Γενικά, εάν ένα σύστημα επεξεργάζεται αποθηκευμένα στοιχεία, είναι δυνατόν να εκτελέσει τόσο αιτιατές όσο και μη-αιτιατές επεξεργασίες. Σε κάποιες περιπτώσεις, το εξιδανικευμένο όριο ενός πραγματικού φυσικού συστήματος (αιτιατού) είναι ένα μη αιτιατό σύστημα, το οποίο παρά το γεγονός ότι δεν είναι υλοποιήσιμο, είναι δυνατόν να δώσει ιδέες και να βοηθήσει στον σχεδιασμό ενός σχετιζόμενου αιτιατού συστήματος με παρόμοια συμπεριφορά. 31

5. Αντιστρέψιμα και μη αντιστρέψιμα συστήματα (1) Σύστημα Ένα σύστημα λέγεται αντιστρέψιμο, όταν η γνώση του σήματος εξόδου καθιστά εφικτό τον υπολογισμό του σήματος εισόδου. Αντίστροφο σύστημα Δεν αντιστρέφεται γιατί κάθε τιμή της εξόδου μπορεί να προέρχεται από δύο τιμές της εισόδου 32

5. Αντιστρέψιμα και μη αντιστρέψιμα Η διαδικασία αντιστροφής ενός συστήματος S συνίσταται στον προσδιορισμό ενός συστήματος S-1 το οποίο συνδεόμενο σε σειρά με το S παρέχει στην έξοδό του το σήμα εισόδου του S. συστήματα (2) 33

6. Στατικά Συστήματα (1) Ένα σύστημα χαρακτηρίζεται ως στατικό σύστημα ή σύστημα χωρίς μνήμη όταν για κάθε σήμα εισόδου η αντίστοιχη έξοδος για κάθε χρονική στιγμή, εξαρτάται μόνο από την τιμή της εισόδου την ίδια χρονική στιγμή. 34

6. Στατικά Συστήματα (2) Συστήματα χωρίς μνήμη (Memoryless systems) Η ωμική αντίσταση είναι ένα παράδειγμα συστήματος χωρίς μνήμη, αφού η τάση στα άκρα της (έξοδος) κάθε χρονική στιγμή, εξαρτάται από την ένταση του ρεύματος, (είσοδος) από την οποία διαρρέεται την ίδια χρονική στιγμή. Συστήματα με μνήμη (Systems with memory) Ο πυκνωτής, αν θεωρηθεί ως σύστημα με έξοδο την τάση στα άκρα του και είσοδο το ρεύμα που το φορτίζει, είναι ένα σύστημα με μνήμη, αφού η τάση κάθε χρονική στιγμή είναι αποτέλεσμα του όλου ιστορικού της συνάρτησης. 35

Αιτιότητα και Μνήμη Όλα τα συστήματα που δεν έχουν μνήμη είναι και αιτιατά. Το αντίστροφο δεν ισχύει. Πράγματι, για ένα σύστημα που δεν παρουσιάζει μνήμη η έξοδος, σε κάθε χρονική στιγμή, εξαρτάται μόνο από την παρούσα τιμή της εισόδου (δεν εξαρτάται από μελλοντικές αλλά ούτε από παλαιότερες τιμές της εισόδου). 36

7. Ευστάθεια Ένα σύστημα είναι ΦΕΦΕ ευσταθές (ευστάθεια Φραγμένης Εισόδου Φραγμένης Εξόδου) (Bounded Input Bounded Output (BIBO) stable) αν για κάθε φραγμένη είσοδο η έξοδός του παραμένει φραγμένη. 37

Συνδέσεις Συστημάτων (1) Η ανάλυση ενός πολύπλοκου συστήματος διευκολύνεται σημαντικά αν δούμε το σύστημα ως αποτέλεσμα διασύνδεσης λιγότερων πολύπλοκων συστημάτων. 38

Συνδέσεις Συστημάτων (2) 39

Διακριτά Συστήματα 40

Κατηγορίες διακριτών συστημάτων 1. Γραμμικά και Μη-γραμμικά Συστήματα Γραμμικό σύστημα: Η απόκριση στο γραμμικό συνδυασμό δύο εισόδων ισούται με τον αντίστοιχο γραμμικό συνδυασμό των επιμέρους αποκρίσεων. Γραμμικό σύστημα, αν για δύο οποιαδήποτε σήματα x1(n) και x2(n) ισχύει: Τ[a1x1(n) + a2x2(n)] = a1t[x1(n)] + a2t[x2(n)] - Αρχή υπέρθεσης Μη-γραμμικό σύστημα: δεν ικανοποιεί την αρχή της υπέρθεσης 41

1. Γραμμικά συστήματα 42

LTI System Παράδειγμα 43

Άλλα Παραδείγματα γραμμικών συστημάτων 44

2. Χρονικά Αμετάβλητα και Μεταβαλλόμενα συστήματα Χρονικά Αμετάβλητο σύστημα: αν χρονικές ολισθήσεις του σήματος εισόδου μεταφράζονται σε αντίστοιχες χρονικές ολισθήσεις στην έξοδο Το σήμα εξόδου δεν αλλάζει μορφή και παραμένει το ίδιο, ανεξάρτητα από το ποια χρονική στιγμή θα διεγείρουμε την είσοδο με το σήμα x(n). y(n) = T[x(n)] > y(n-n0) = T[x(n-n0)], για κάθε n0 Є Z Χρονικά Μεταβαλλόμενο σύστημα: μια χρονική ολίσθηση στην είσοδο μπορεί να οδηγήσει σε εντελώς διαφορετική έξοδο 45

Χρονικά αμετάβλητα συστήματα 46

Κρουστική απόκριση Impulse Response 47

3. Ευστάθεια - Stability Stable systems : Kάθε φραγμένη είσοδος- bounded input παράγει μια φραγμένη έξοδοbounded output (BIBO) 48

4. Αιτιότητα - Causality Σε ένα αιτιατό σύστημα η κρουστική του απόκριση h(n) ικανοποιεί τη συνθήκη 49

Περιγραφή και Μελέτη των Συστημάτων-Μαθηματικό Μοντέλο (1) Το κύριο έργο του μηχανικού είναι η σχεδίαση και κατασκευή συστημάτων που πληρούν ορισμένες προδιαγραφές. Στάδια στη διαδικασία σχεδίασης ενός συστήματος: Εκλογή στοιχείων Σύνδεση στοιχείων Έλεγχος προδιαγραφών 50

Περιγραφή και Μελέτη των Συστημάτων-Μαθηματικό Μοντέλο (2) Για απλά συστήματα η εκλογή και η σύνδεση των στοιχείων όπως και ο έλεγχος των προδιαγραφών του συστήματος είναι συνήθως δυνατόν να πραγματοποιηθούν με βάση την πείρα, την διαίσθηση και διαδοχικές δοκιμές. Για πολύπλοκα όμως συστήματα η πείρα και οι διαδοχικές δοκιμές δεν εξασφαλίζουν το επιθυμητό αποτέλεσμα και είμαστε υποχρεωμένοι να χρησιμοποιήσουμε αναλυτικές μεθόδους σχεδίασης. Έτσι παρουσιάζεται η ανάγκη χρησιμοποίησης των μαθηματικών πρότυπων των συστημάτων σαν βάση των αναλυτικών μεθόδων. Αυτά προκύπτουν με συνδυασμό των μαθηματικών προτύπων των στοιχείων και των περιορισμών που επιβάλλονται απ το τρόπο σύνδεσής τους (τοπολογία συστήματος). 51

Περιγραφή και Μελέτη των Συστημάτων-Μαθηματικό Μοντέλο (3) Με τον όρο περιγραφή ενός συστήματος εννοούμε μία μαθηματική σχέση που συσχετίζει την είσοδο, το σύστημα και την έξοδο του συστήματος. Αυτή η μαθηματική σχέση αποτελεί και το λεγόμενο μαθηματικό μοντέλο ή πρότυπο του συστήματος. Για το ίδιο σύστημα μπορούν να αναπτυχθούν πολλά διαφορετικά μαθηματικά πρότυπα αναλόγως του είδους των μαθηματικών εργαλείων που υιοθετούνται ή του βαθμού προσέγγισης της περιγραφής του συστήματος. 52

Μαθηματική μοντελοποίηση Μαθηματική μοντελοποίηση είναι η τέχνη της μετάφρασης προβλημάτων από μια περιοχή εφαρμογών σε μαθηματική διατύπωση, της οποίας η θεωρητική και αριθμητική ανάλυση προσφέρει ενόραση, απαντήσεις και καθοδήγηση χρήσιμες για το αρχικό πρόβλημα. Παραφράζοντας τον Einstein θα απαιτούσαμε: Ένα καλό Μοντέλο πρέπει να είναι όσο το δυνατόν απλό, αλλά όχι απλούστερο. Το μειονέκτημα των μαθηματικών μοντέλων είναι η αδυναμία να παρουσιάζουν το φαινόμενο, όπως είναι στην πραγματικότητα. Επιπροσθέτως, σε περίπτωση πολύπλοκων φαινομένων, η ύπαρξη πολλών αλληλεπιδρώντων παραγόντων, κάνει την κατασκευή μαθηματικού μοντέλου σχεδόν ανέφικτη. 53

Τρόποι Μελέτης Ενός Συστήματος 54

Αναλυτική Λύση (ή Προσομοίωση) Το μοντέλο μελετάται με τη χρήση προσομοίωσης, δηλαδή με την εκτέλεση αριθμητικών πειραμάτων στο μοντέλο για τις εισόδους (δεδομένα) που μας ενδιαφέρουν, για να δούμε πως αυτά επηρεάζουν τις εξόδους (μέτρα απόδοσης) του συστήματος. 55

Προσομοίωση Η προσομοίωση για να είναι χρήσιμη στις επιστημονικές μελέτες θα πρέπει να ακολουθεί συνήθως τα ακόλουθα στάδια: Μορφοποίηση του μαθηματικού μοντέλου ώστε αυτό να περιγράφει πιστά την παρατήρηση και την πραγματικότητα. Πρόβλεψη της συμπεριφοράς του συστήματος μέσα από τις ιδιότητες ή τη λύση του μαθηματικού προβλήματος. Αξιολόγηση και επαλήθευση με πειραματικό τρόπο της παρατήρησης ή του μαθηματικού μοντέλου. 56

Είδη μαθηματικών μοντέλων Οι ολοκληροδιαφορικές εξισώσεις / Εξισώσεις διαφοράς. Η κρουστική απόκριση. Η συνάρτηση μεταφοράς. Οι εξισώσεις κατάστασης. 57

Διαφορικές Εξισώσεις (1) Οι ολοκληροδιαφορικές (Ο.Δ.Ε) είναι γραμμικά ανεξάρτητες εξισώσεις που περιέχουν παραγώγους (η/και διαφορικά) και ολοκληρώματα. n d y n dt a n 1 d dt n y n 1 dy... a1 a0 y( t) b0 x( t) b1 dt dx dt... b m m d x m dt 58

Διαφορικές Εξισώσεις (2) Για την κατάστρωση μιας Δ.Ε χρειάζεται κάθε φορά να γνωρίζουμε: Την τοπολογία του συστήματος (δηλαδή τη μορφή του και τον τρόπο σύνδεσης των διαφόρων στοιχείων που το αποτελούν). Τις αρχικές συνθήκες των σημάτων που θα υπάρχουν στην Δ.Ε. Τη μορφή της διέγερσης και τις τιμές των διαφόρων στοιχείων που απαρτίζουν το υπό μελέτη σύστημα. 59

Παράδειγμα Να διατυπωθεί η σχέση μεταξύ εφαρμοζόμενης δύναμης και μετατόπισης για τη μάζα του Σχήματος. F x m F k F 60

Λύση (1) Εφαρμόζοντας το θεμελιώδη νόμο της μηχανικής για τη μάζα έχουμε: F-F απ - F ελ = m. a Ο νόμος του Hook, ο οποίος δίνει το μέτρο της δύναμης που ασκείται σε ελατήριο, ως συνάρτηση της μεταβολής του μήκους του είναι (όπου k η σταθερά του ελατηρίου): F ελ = k. x 61

Λύση (2) 62

Εξισώσεις Διαφοράς Οι Ε.Δ μοντελοποιούν τα διακριτά συστήματα, όπως οι διαφορικές εξισώσεις που μοντελοποιούν μαθηματικά τα αναλογικά συστήματα. Η γενική μορφή μιας εξίσωσης διαφοράς Ν βαθμού είναι: 63

Αναδρομικές Εξισώσεις Διαφοράς Η γενική εξίσωση διαφοράς ονομάζεται αναδρομική εξίσωση (recursive) διότι η πρόσφατη τιμή της εξόδου y(n) εξαρτάται και από τις προηγούμενες τιμές της εξόδου y(n-1), y(n-2),. 64

Μη Αναδρομικές Εξισώσεις Διαφοράς Σε περίπτωση που οι συντελεστές b k της εξίσωσης είναι μηδέν για k = 1, 2,..., Ν, τότε η εξίσωση διαφοράς γίνεται: Η εξίσωση είναι μη αναδρομική αφού η τιμή της εξόδου y(n) περιγράφεται μόνο από τις τιμές της εισόδου και όχι από τις προηγούμενες τιμές της εξόδου. 65

Κρουστική Απόκριση Η κρουστική απόκριση είναι η αντίδραση του συστήματός μας σε μια διέγερση απείρως μικρής χρονικής διάρκειας και απείρως μεγάλου εύρους και αποτελεί μία περιγραφή στο πεδίο του χρόνου ισχύει δε για γραμμικά μη χρονικά μεταβαλλόμενα συστήματα με μηδενικές αρχικές συνθήκες. Η κρουστική απόκριση h[t] ενός αναλογικού LTI συστήματος είναι η απόκρισή του στην μοναδιαία κρουστική συνάρτηση. Η κρουστική απόκριση h[n] ενός διακριτού LTI συστήματος είναι η απόκρισή του στην μοναδιαία κρουστική ακολουθία. 66

Διακριτά Συστήματα Πεπερασμένης Κρουστικής Απόκρισης Αν η κρουστική απόκριση h(n) ενός διακριτού συστήματος είναι πεπερασμένης διάρκειας τότε το σύστημα ονομάζεται ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΗΣ ΚΡΟΥΣΤΙΚΗΣ ΑΠΟΚΡΙΣΗΣ (F.I.R. Finite Impulse Response). Τα μη αναδρομικά διακριτά συστήματα είναι F.I.R. συστήματα. 67

Διακριτά Συστήματα Άπειρης Κρουστικής Απόκρισης Αν η κρουστική απόκριση h(n) ενός διακριτού συστήματος είναι άπειρης διάρκειας, τότε το σύστημα ονομάζεται άπειρης κρουστικής απόκρισης (I.I.R - Infinite Impulse Response). Συστήματα τα οποία περιγράφονται με αναδρομικές εξισώσεις διαφοράς είναι I.I.R. συστήματα. 68

Συνάρτηση Μεταφοράς Η συνάρτηση μεταφοράς είναι μία περιγραφή στο πεδίο της μιγαδικής συχνότητας, ισχύει για τα γραμμικά μη χρονικά μεταβαλλόμενα συστήματα που έχουν μηδενικές αρχικές συνθήκες και αποτελεί την εξίσωση που παρέχει το σήμα εξόδου ως συνάρτηση του σήματος (ή σημάτων) εισόδου. 69

Εξισώσεις Κατάστασης (1) Οι εξισώσεις κατάστασης είναι μία περιγραφή στο πεδίο του χρόνου. Με τον όρο κατάσταση ενός συστήματος αναφερόμαστε στο παρελθόν, το παρόν και το μέλλον του συστήματος. Από μαθηματικής πλευράς η κατάσταση του συστήματος εκφράζεται με τις μεταβλητές κατάστασης οι οποίες ορίζονται ως ένας ελάχιστος αριθμός μεταβλητών τέτοιος ώστε, αν γνωρίζουμε τις τιμές τους για οποιαδήποτε χρονική στιγμή τ, τη συνάρτηση που εφαρμόζεται στο σύστημα για t>=τ και το μαθηματικό μοντέλο του συστήματος, να καθίσταται δυνατός ο προσδιορισμός της κατάστασης του συστήματος για οποιαδήποτε χρονική στιγμή t>τ. 70

Εξισώσεις Κατάστασης (2) Ένα γραµµικό αναλογικό σύστηµα µπορεί να περιγραφεί στο πεδίο του χρόνου από ένα σύστηµα διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης και αλγεβρικών εξισώσεων της µορφής: 71

Ανάλογα Συστήματα (1) Μπορεί να αποδειχθεί ότι όλα τα ταλαντούμενα συστήματα (ταλαντωτές) είτε είναι ηλεκτρικά είτε είναι μηχανικά περιγράφονται από τις ίδιες μαθηματικές εξισώσεις. Έτσι, στους μηχανικούς ταλαντωτές, τα φυσικά μεγέθη (όπως η μετατόπιση, η δύναμη, η μάζα κλπ) αντιστοιχούν σε ηλεκτρικά μεγέθη ενός ταλαντούμενου κυκλώματος, όπως είναι το κύκλωμα RLC. Για παράδειγμα, το φορτίο Q του πυκνωτή σε ένα κύκλωμα RLC είναι το αντίστοιχο μέγεθος της μετατόπισης x ενός ταλαντούμενου μηχανικού συστήματος οπότε το ρεύμα που διαρρέει το κύκλωμα (που είναι η παράγωγος του φορτίου) είναι το ηλεκτρικό ανάλογο της ταχύτητας στο μηχανικό σύστημα. 72

Ανάλογα Συστήματα (2) Επίσης, η τάση που εφαρμόζεται εξωτερικά στο κύκλωμα αντιστοιχεί στην εξωτερικά εφαρμοζόμενη δύναμη στο μηχανικό σύστημα, η μάζα αντιστοιχεί στην αυτεπαγωγή ενός πηνίου, η σταθερά του ελατηρίου αντιστοιχεί στο αντίστροφο της χωρητικότητας ενός πυκνωτή κ.ο.κ. Το πλεονέκτημα έγκειται στο γεγονός ότι το ηλεκτρικό ισοδύναμο είναι πολύ πιο απλό στον σχεδιασμό και στην κατασκευή του, οπότε μελετώνται εύκολα οι ιδιότητές του και τα αποτελέσματα ανάγονται εν συνεχεία στο μηχανικό ανάλογο. 73

Παράδειγμα #1 Μηχανικό διάγραμμα ελεύθερου σώματος (Mechanical free-body diagram) 74

Παράδειγμα #2 Ηλεκτρικό δίκτυο (Εlectric network) 75

Παρατηρήσεις Παρατηρήστε ότι τα παραπάνω συστήματα είναι δυναμικώς ανάλογα. Έτσι, η κατανόηση ενός από αυτά τα συστήματα δίνει επίγνωση των άλλων. 76

Αναλογίες μεταξύ ηλ/κού και μηχανικού συστήματος 77

Παράδειγμα Αναλόγων Συστημάτων #1 78

Παράδειγμα Αναλόγων Συστημάτων #2 79

Ασκήσεις εξάσκησης από τη δεύτερη διάλεξη

Άσκηση 1 Να διατυπωθεί η σχέση μεταξύ της τάσης εισόδου και της τάσης εξόδου για το κύκλωμα του σχήματος. R i t in ( t ) C o ( t ) 81

Λύση της Άσκησης 1 (1) Εφαρμόζοντας το δεύτερο κανόνα του Kirchhoff στο βρόχο του κυκλώματος έχουμε: Η παραπάνω σχέση είναι μια διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης με σταθερούς συντελεστές, η οποία περιγράφει τη σχέση μεταξύ εισόδου και εξόδου του συστήματος. 82

Λύση της Άσκησης 1 (2) Η εξίσωση έχει τη γενική μορφή: Η τάξη του συστήματος προσδιορίζεται από τη μεγαλύτερη παράγωγο της εξόδου y(t), η οποία εμφανίζεται στη διαφορική εξίσωση. 83

Άσκηση 2 Ένα σύστημα είναι καθορισμένο από την λειτουργική περιγραφή: Είναι αυτό το σύστημα γραμμικό; 84

Λύση της Άσκησης 2 Θέτουμε: y1(t) = g(t)x1(t) και y2(t) = g(t)x2(t) Aπό τον ορισμό της γραμμικότητας η απόκριση στο x(t) = αx1(t) + bx2(t) είναι y(t) = g(t) ( αx1(t) + bx2 (t)) Αυτό μπορεί να γραφτεί ως y(t) = αg(t) x1(t) + bg(t)x2 (t) δηλαδή y(t) = α y1(t) + b y2(t) Επομένως το σύστημα είναι γραμμικό. 85

Άσκηση 3 Εξετάστε αν το σύστημα y(n)=3x(n)+3 είναι γραμμικό. 86

Λύση της Άσκησης 3 (1) Ας εφαρμόσουμε τον ορισμό της γραμμικότητας: Για είσοδο x1(n), η έξοδος του συστήματος θα είναι y1(n)=3x1(n)+3 Για είσοδο x2(n), η έξοδος του συστήματος θα είναι y2(n)=3x2(n)+3 87

Λύση της Άσκησης 3 (2) Τέλος, για είσοδο x3(n)=ax1(n)+bx2(n), η έξοδος θα ισούται με y3(n) = 3x3(n)+3 = 3[ax1(n)+bx2(n)]+3 = =3ax1(n)+3bx2(n)+3 = 3ax1(n)+3bx2(n)+3+3a-3a+3b-3b = = a[3x1(n)+3]+b[3x2(n)+3]+3(1-a-b) = = ay1(n)+by2(n)+ 3(1-a-b) >a y1(n)+b y2(n). Άρα το σύστημα είναι μη γραμμικό. 88

Άσκηση 4 Για το σύστημα του οποίου η έξοδος ισούται με να καθοριστεί αν α) έχει μνήμη, β) είναι αιτιατό, γ) γραμμικό, δ) χρονικά αμετάβλητο, ε) ευσταθές. 89

Λύση της Άσκησης 4 (1) α) Η τιμή της εξόδου εξαρτάται μόνο από τις τρέχουσες τιμές της εισόδου άρα το σύστημα δεν έχει μνήμη. β) Επειδή η έξοδος δεν εξαρτάται από μελλοντικές τιμές της εισόδου το σύστημα είναι αιτιατό. 90

Λύση της Άσκησης 4 (2) 91

Άσκηση 5 Το παρακάτω σύστημα είναι Αιτιατό και Στατικό ή Δυναμικό; 93

Λύση της Άσκησης 5 Το κύκλωμα R-C είναι ένα αιτιατό σύστημα γιατί η τάση στα άκρα του πυκνωτή (έξοδος) εξαρτάται μόνο από την τρέχουσα και προηγούμενες τιμές της εισόδου (πηγή τάσης). R είναι χωρίς μνήμη (memoryless) C είναι συσκευή με μνήμη (memory device). Επομένως το δοθέν σύστημα είναι δυναμικό ή σύστημα με μνήμη (dynamic or memory system). 94

Άσκηση 6 Για το σύστημα του οποίου η έξοδος ισούται με να καθοριστεί αν α) είναι χρονικά αμετάβλητο και β) γραμμικό. 95

Άσκηση 7 100

Λύση της Άσκησης 7 101

Άσκηση 8 102

Λύση της Άσκησης 8 103

Ασκήσεις για λύση από τη δεύτερη διάλεξη

Ασκήσεις για Λύση (1) 105

Ασκήσεις για Λύση (4) 7: Ποιές από τις ιδιότητες δυναμικό (Δ / Σ), αιτιατό (Α / ΜΑ), γραμμικό (Γ / ΜΓ), χρονικά αμετάβλητο (ΧΑ / ΧΜ) έχουν τα παρακάτω συστήματα: y(n) = x(n) + x(n 1) y(n) = x(n) + x(n+1) y(n) = x( n) y(t) = x(t) cos(t+1) y(t) = sin(x(t)) y(t) = t x(t) 108

Τέλος Ενότητας