Σήµατα και συστήµατα διακριτού χρόνου

Transcript

1 Σήµατα και συστήµατα διακριτού χρόνου

2 Βασικές ψηφιακές πράξεις Πρόσθεση {x 1 (n)}+{x 2 (n)}={x 1 (n)+x 2 (n)} Πολλαπλασιασµός Κλιµάκωση Μετατόπιση Αναδίπλωση {x 1 (n)}.{x 2 (n)}={x 1 (n).x 2 (n)} a{x(n)} = {ax(n)}, y (n)= {x(n-k)} y(n) = {x(-n)} Iσχύς σήµατος E x =Σx(n)x * (n)=σ x(n) 2 Συσχέτιση - DFT Συνέλιξη φιλτράρισµα Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 2

3 Συσχέτιση Η ετεροσυσχέτιση r xy (k) των ακoλουθιών x(n) και y(n) είναι µια ακολουθία που ορίζεται ως εξής: Εάν y(n)=x(n) ησυσχέτισηr xx ονοµάζεται αυτοσυσχέτιση συντελεστής συσχέτισης ρ xy (k) είναι η τιµή της συσχέτισης κανονικοποιηµένη ως προς τις τιµές r xx (0) και r yy (0) µέγιστες τιµές των r xx (k) και r yy (k): r xy (k) = x(n)y(n + k) n= ρ xy ( k) = που είναι και οι Συνήθεις εφαρµογές: αποκάλυψη της περιοδικότητας σε σήµατα µε [r θόρυβο, εύρεση της καθυστέρησης σε δύο όµοια σήµατα (πχ. Radar) xx r xy (0) r (k) yy (0)] 1 / 2 Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 3

4 Συσχέτιση -παράδειγµα x(n) y(n)+noise r xy (2) y(n) correlation Φαίνονται τα σήµατα x(n), y(n), y(n)+noise. Στο τελευταίο σχήµα δεικνύεται η συσχέτιση r xy (n) των x(n) και y(n)+noise. Όπως φαίνεται το µέγιστο είναι στο r xy (2). ηλ το σήµα y(n) έχει 2 χρονικές στιγµές καθυστέρησης σχετικά µε το x(n) Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 4

5 Correlation function r xy (k) = x(n)y(n + k) n= Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 5

6 the concept Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 6

7 Autocorrelation function n= r ( k) = x( n) x( n + k) xx Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 7

8 Applications of correlation (radar) Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 8

9 Applications of correlation (sonar) Signal identification using a Library of known signals Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 9

10 Συvέλιξη Η συνέλιξη Conv xy (n) των ακoλουθιών x(n) και y(n) είναι µια ακολουθία που ορίζεται ως εξής: Conv xy ( n) = x( n) y( n) = k = x( k) y( n k) Αποτελεί σηµαντικότατη έννοια στη µελέτη και εφαρµογή φίλτρων. Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 10

11 Correlation with a flipped signal k = x ( n) y( n) = x( k) y( n k) Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 11

12 Βασικά ψηφιακά σήµατα Ένα σήµα διακριτού χρόνου x(n) είναι µία ακολουθία αριθµών και παριστάνεται ως : x(n)={x(n)}={,x(-1),x(0), x(1),.} ={-3,-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 } δ(n) Μοναδιαία κρούση (ώθηση) u(n) Μοναδιαία βαθµίδα Εκθετική ακολουθία πραγµατικών x(n)=a n ή µιγαδικών x(n)=e (σ+jω)n τιµών Ηµιτονικό σήµα Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 12

13 δ(n) Μοναδιαία κρούση (ώθηση) δ(n-n o )= 1 0 n = n n n o o δ(n) n=n o n Μία οποιαδήποτε ακολουθία x(n) µπορεί να παρασταθεί σαν ένα άθροισµα συναρτήσεων δ(n) µε βάροςκαι µε σχετικές καθυστερήσεις: x(n) = x(k) δ(n k) k= Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 13

14 Μοναδιαία βαθµίδα u(n) u(n-n o )= 1 n 0 n < n n o o u(n) n=n o n Σχέση u(n) και δ(n) n) : u(n)= n m= δ(m) και: δ(n)=u(n)-u(n-1) Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 14

15 1 Εκθετική συνάρτηση (ακολουθία) Πραγµατικών x(n)=α n Ή µιγαδικών τιµών x(n)=α (σ+jω)n x=0.5 n Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 15

16 Ηµιτονικό σήµα x(n)= )=Acos(ω ο n) Η ψηφιακή συχνότητα ω µετρείται σε rad/δείγµα Η αναλογική Ω µετρείται σε rad/sec ησχέσηµεταξύ ω και Ω είναι Ω=ω/Τ x(n)=acos(nω ο Τ) ή x(n)=acos(n2πf o /f) x(n) x(n) n n ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΤΗΤΑ: Αe jnω =Αe j(n+n)ω e j(nω) =1=e j2πm Nω=2πm ω=2πm/n. Εάν ω/2π δεν είναι ρητός αριθµός η µεν περιβάλλουσα αντιστοιχεί στο ηµιτονικό σήµα, τα σηµεία όµως του ψηφιακού σήµατος δεν ταυτίζονται σε κάθε περίοδο. Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 16

17 Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 17

18 Ψηφιακά Συστήµατα (Επεξεργαστές) x(n) διέγερση L[. ] y(n) απόκριση Γραµµικά συστήµατα Αµετάβλητα µετοχρόνο Αιτιατά Ευσταθή Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 18

19 Γραµµικά (linear) συστήµατα Ορισµός: L[a 1 x 1 (n) + a 2 x 2 (n)] = a 1 L[x 1 (n)] + a 2 L[x 2 (n)] για κάθε a 1, a 2, x 1, x 2 Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 19

20 Παράδειγµα: Α) y(n) = 3x(n)-4x(n-1) είναι γραµµικό διότι y 1 (n)+y 2 (n) = [3x 1 (n)-4x 1 (n-1)] +[3x 2 (n)-4x 2 (n-1)] =3[x 1 (n)+x 2 (n)] 4 [x 1 (n-1)+x 2 (n-1)] Β) y(n)=[x(n)] 2 δεν είναι γραµµικό διότι y 1 (n)+y 2 (n)=[x 1 (n)] 2 +[x 2 (n)] 2 [x 1 (n)+ x 2 (n)] 2 ιατήρηση της συχνότητας (αντι)παράδειγµα: x(n)=sin(nω) y(n)= sin 2 (nω) = ½+½cos(2nω) Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 20

21 Συστήµατα αµετάβλητα µε το χρόνο (µετατόπιση)-time invariant Oρισµός: Εάν y(n)=l{x(n)} y(n-k)=l{x(n-k)} Σχηµατικά: Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 21

22 Περιγραφή LTI συστηµάτων Τα συστήµατα που θα περιγράψουµε θεωρούµε ότι είναι γραµµικά ανεξάρτητα της µετατόπισης (linear time invariant) LTI Περιγράφονται: Με την κρουστική απόκριση Με την εξίσωση διαφορών Με την συνάρτηση µεταφοράς (πεδίο z) Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 22

23 Κρουστική απόκριση h(n) Τι είναι κρουστική απόκριση δ(n) Σύστηµα h(n) Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 23

24 Υπολογισµός της h(n) από την εξίσωση διαφορών Παράδειγµα y(n)=1.5y(n-1)-0.85y(n-2)+x(n) Αρα για x(n)=δ(n) y(n)=h(n) h(0)=δ(0)=1 h(1)=1.5h(0)+0=1.5 h(2)=1.5 h(1)-0.85h(0)=. Παρατήρηση: =1.5 x x 1=1.4 εν είναι υποχρεωτικό να εξάγεται η h(n) από την εξίσωση διαφορών. δ(n) h(n) n n Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 24

25 Συνέλιξη Για συστήµατα LTI η έξοδος βρίσκεται ως η συνέλιξη της εισόδου µε την κρουστική απόκριση y(n)=l[x(n)]= y(n) = x(n)*h(n) k = x ( k) h( n k) Η συνέλιξη = αντιστροφή και µετατόπιση Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 25

26 Γραφικός υπολογισµός συνέλιξης - παράδειγµα1 x(n)= h(n)= x(k) = h(-k) = y(0) =1x0.3=0.3 h(1-k) = y(1) =1x0.25+1x0.3=0.55 h(2-k) = y(2) =1x0.2+1x0.25+1x0.3 y(3) =. 0.9 y(4) = y(5) = y(6) = y(13) =0.05x0.5=0.025 Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 26

27 Υπολογισµός συνέλιξης µε πίνακα To άθροισµα σε κάθε λωρίδα αποτελεί τα σηµεία της h(n) y(0)=0.3, y(1)= y(13)=0.025 Χ h Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 27

28 Παράδειγµα 2 ίνεται x(n)=u(n)-u(n-10) και h(n)=0.9 n u(n) Ζητείται η απόκριση y(n) Με συνέλιξη των δύο σηµάτων έχουµε 9 n k n y(n) = ( 1)( 0. 9) u(n k) = k= 0 9 k= 0 k u(n k) ιακρίνουµε τρείς περιπτώσεις: α)n<0. Στην περίπτωση αυτή u(n-k)=0 για 0 κ 9 y(n)=0 β)0 n<9 Aρα Εχουµε u(n-k)=1 για 0 κ n 9 10 n 10 k n n 9 y(n) = = 0. 9 = 10( 0. 9) ( k= 0 ) για 0 n<9 γ) n 9 Στην περίπτωση αυτή u(n-k)=1 για 0 κ 9 n n k n y(n) = = 0. 9 ( 0. 9 k= 0 n k= 0 1 k ) = 0. 9 n (n+ 1) 1 = 101 n+ 1 [ 0. 9 ] για n 9 Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 28

29 Απόδειξη (ερµηνεία) της συνέλιξης Βασίζεται στα εξής: Α) Κάθε σήµα αναλύεται σε άθροισµα Β) Επειδή το σύστηµα είναι ανεξάρτητο του χρόνου για κάθε επιµέρους απόκριση ισχύει L[δ(n)]=h(n) x(n) = k= L[δ(n-k)]=h(n-k) x(k) δ(n k) x(k)δ(n-k) L[. ] x(k)h(n-k) Γ) Επειδή το σύστηµα είναι γραµµικό για το άθροισµα των όρων ισχύει y(n) = n= x(k)h(n k) Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 29

30 Ευστάθεια- Αιτιατότητα Ευστάθεια: φραγµένη είσοδος φραγµένη έξοδο BIBO stability αναγκαία και ικανή συνθήκη: h(n) < Αιτιατότητα : η έξοδος y(n o ) εξαρτάται µόνο από την είσοδο x(n), για n n o αναφέρεται στη δυνατότητα υλοποίησης του συστήµατος h(n)=0 για n<0 Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 30

31 Συνδυασµός Ψηφιακών Συστηµάτων Σε σειρά: y(n)= h 1 (n)* h 2 (n)*x(n)= h 2 (n)* h 1 (n)* x(n) (προσεταιριστική ιδιότητα) Παράλληλα: y(n)= [h 1 (n)+ h 2 (n)]*x(n)= h 1 (n)*x(n)+ h 2 (n)*x(n) (επιµεριστική ιδιότητα) Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 31

32 Εξισώσεις ιαφορών (Ε ) Ένα LTI σύστηµα περιγράφεται από µία γενική εξίσωση διαφορών N M a k y(n k) = b mx(n m) k= 0 m= 0 Που µπορεί ισοδύναµα να γραφεί y(n) = M m= 0 b N m x(n m) aky(n k) k= 1 ητιµή Ν δεικνύει την τάξη του συστήµατος Η εξίσωση διαφορών δίνει την πλήρη περιγραφή του συστήµατος. Οι αρχικές συνθήκες y(-k) γενικά είναι µη µηδενικές Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 32

33 παράδειγµα y(n)-y(n-1)+0.5y(n-2)=x(n) διέγερση: x(n)=sin(2πn/6+π/6) u(n) αρχικές συνθήκες y(n-1)=y(n-2)=0 x(n) (α) y(µερική) (γ) n--> n--> y(n) n--> (β) y(οµογενής) n--> (δ) (α) το σήµα εισόδου x(n) είναι ένα ηµίτονο πλάτους 1 που εφαρµόζεται την στιγµή n=0 (β) η απόκριση y(n) (οι αρχικές συνθήκες είναι µηδενικές). (γ) η µερική λύση που είναι ένα ηµίτονο µε πλάτος=2 και (δ) η λύσητηςοµογενούς Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 33

34 Μεταβατικές αποκρίσεις Ηλύσητηςοµογενούς Ε. σχετίζεται µε ταφαινόµενα που εµφανίζονται στην αρχή (ή στο τέλος) ενός σήµατος Ουσιαστικά αυτή είναι η µεταβατική απόκριση και "επισκιάζει" την σταθερή απόκριση που συνήθως είναι και η επιθυµητή Το σήµα τουσχήµατος (α) είναι ένα συνηµίτονο µε 10 x(n) περιόδους (200 σηµεία) που εµφανίζεται την χρονική στιγµή n=21. Όπως φαίνεται στο (β) ηαπόκρισηείναι ουσιαστικά µόνο η y(n) µεταβατική απόκριση που εµφανίζεται στην αρχή και στο τέλος του σήµατος. Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 34

35 Εξισώσεις διαφορών και διαγράµµατα βαθµίδων Συνήθως µία εξίσωση διαφορών παριστάνεται και µε ένα διάγραµµα βαθµίδων όπου τα στοιχεία είναι αθροιστές, πολλαπλασιαστές και καθυστερήσεις. Έτσι ένα σύστηµα µε Ε. y(n)=0.8y(n-1)+x(n) παριστάνεται µε τοδιάγραµµα: x(n) y(n) 0.8 T Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 35

36 Κρουστική απόκριση και εξ.διαφορών Εάν δίνεται η h(n) µπορεί να βρεθεί η Ε.?? Παράδειγµα ίνεται η h(n)=a n u(n) h(n-1)=a n-1 u(n-1) ah(n-1)=a n u(n-1) h(n)-ah(n-1)=a n u(n)- a n u(n-1) y(n)-ay(n ay(n-1)= x(n) = a n [u(n)-u(n-1)] = a n δ(n) = δ(n) Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 36

37 Εξισώσεις διαφορών και διαφορικές εξισώσεις Oι Ε. µπορεί να θεωρηθεί ότι προέρχονται από διαφ. Εξισώσεις Όπως ένα ψηφιακό σύστηµα από ένα αναλογικό Παράδειγµα R Το RC κύκλωµα περιγράφεται από την dy(t) x(t) ιαφ. Εξίσωση: RC + y(t) = x(t) dt Προσέγγιση της παραγώγου δίνει: y(n) y(n 1) RC + y(n) = x(n) T Που µπορεί βέβαια να γραφεί σαν Ε ως εξής: y(n)=ay(n-1)+bx(n) C + y(t) _ Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 37

38 Φίλτρα FIR και IIR FIR (Finite Impulse Response) y(n) M = b m= 0 m x(n m) h(n) IIR (Infinite Impulse Response) y(n) = M m= 0 b N m x(n m) aky(n k) k= 1 h(n) Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 38

39 Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 39