Κεφάλαιο 3 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ

Κεφάλαιο 3 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Στο πρώτο μέρος αυτού του κεφαλαίου συνοψίζουμε όσα είναι απαραίτητα για την εύρεση ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων ενός τετραγωνικού πίνακα Στο δεύτερο μέρος αναπτύσσονται πλήρως τα εργαλεία για τον υπολογισμό του εκθετικού ενός τετραγωνικού πίνακα Παρατίθεται ακόμα μία στοιχειώδης εισαγωγή στις τετραγωνικές μορφές Θεωρούνται γνωστές οι πράξεις μεταξύ πινάκων και οι στοιχειώδεις ιδιότητες των οριζουσών Για μία γεωμετρική και παιδαγωγική εισαγωγή στη Γραμμική Άλγεβρα παραπέμπουμε στο [6] Η γεωμετρική ερμηνεία που μπορούμε να δώσουμε στους πίνακες είναι η εξής Ενας τυχών τετραγωνικός n n πίνακας A, δρα πάνω σε ένα διάνυσμα x του R n και παράγει ένα νέο διάνυσμα y του R n, y = Ax Εν γένει το νέο διάνυσμα διαφέρει από το παλιό και στο μέτρο και στην κατεύθυνση Πχ όταν ο πίνακας A = 1 1 2 1 δράσει πάνω στο διάνυσμα 1 x = [1, 1] T παράγει το διάνυσμα 1 1 1 y = Ax = =, 2 1 1 3 1 Για λόγους οικονομίας χώρου, όταν ένα διάνυσμα στήλης a x = b εμφανίζεται σε μία γραμμή του κειμένου, θα συμβολίζεται ως x = [a, b] T, όπου T συμβολίζει τον ανάστροφο ενός πίνακα 55

56 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ (κάνετε σχήμα που να δείχνει τα διανύσματα x και y) Λέμε ότι ο n n πίνακας A είναι μία γραμμική απεικόνιση από τον R n στον R n, ή τελεστής στον R n, διότι ικανοποιεί τις ιδιότητες των γραμμικών τελεστών: (α) Για οποιαδήποτε διανύσματα x 1 και x 2 ισχύει A (x 1 + x 2 ) = Ax 1 + Ax 2 (β) Για κάθε πραγματικό αριθμό λ και κάθε διάνυσμα x ισχύει A(λx) = λax 31 Αλλαγή συντεταγμένων Στην παράγραφο αυτή για ευκολία θα υποθέσουμε ότι ο διανυσματικός μας χώρος είναι ο R 3 Η γενική περίπτωση είναι τετριμμένη γενίκευση Εστω ένα σύστημα καρτεσιανών συντεταγμένων και ένα σημείο X, που οι συντεταγμένες του είναι (x 1, x 2, x 3 ) Θεωρούμε ένα άλλο σύστημα καρτεσιανών συντεταγμένων με την ίδια αρχή με το αρχικό Στο νέο σύστημα, το σημείο X έχει συντεταγμένες (x 1, x 2, x 3) Υποθέτουμε ότι οι διατεταγμένες τριάδες (x 1, x 2, x 3 ) και (x 1, x 2, x 3 ) συνδέονται μεταξύ τους μέσω ενός αντιστρέψιμου γραμμικού μετασχηματισμού x j = 3 p jk x k (311) k=1 Τούτο σημαίνει ότι ο πίνακας P = (p ij ), i, j = 1, 2, 3 είναι αντιστρέψιμος με αντίστροφο έστω P 1 = (q ij ) Επομένως οι νέες συντεταγμένες προκύπτουν λύνοντας τις (311) ως προς x i, οπότε θα έχουμε x i = j q ij x j Οι δύο παραπάνω εξισώσεις ορίζουν την γραμμική αλλαγή συντεταγμένων και όπως είδαμε ισχύει η ισοδυναμία x j = k p jk x k x i = j q ij x j (312) Στην Παράγραφο 121 στο Παράρτημα αναφέρεται η ταυτοποίηση σημείων, δηλαδή διατετεταγμένων τριάδων, με διανύσματα Συμβολίζοντας λοιπόν

31 ΑΛΛΑΓΗ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ 57 με x την διατεταγμένη τριάδα (x 1, x 2, x 3 ) και με x την διατεταγμένη τριάδα (x 1, x, x 3), οι εξισώσεις αλλαγής συντεταγμένων (312) γράφονται σε διανυσματική μορφή ως x = P x x = P 1 x (313) Σημειώστε ότι η μετάβαση από καρτεσιανές σε πολικές ή σφαιρικές συντεταγμένες δεν είναι γραμμική αλλαγή συντεταγμένων Παράδειγμα 311 Θεωρούμε ότι το νέο σύστημα συντεταγμένων προκύπτει από το παλιό με στροφή περί τον άξονα x 3 κατά γωνία θ αντίθετα με τους δείκτες του ρολογιού, Σχήμα 31 Οι εξισώσεις αλλαγής συντεταγμένων γράφονται ως 1 1 2 Σχήμα 31: Στροφή περί τον άξονα x 3 Ο άξονας x 3 είναι κάθετος στο επίπεδο του σχήματος x 1 = x 1 cos θ + x 2 sin θ, x 2 = x 1 sin θ + x 2 cos θ, x 3 = x 3, (δείτε την Άσκηση 1) Κατά συνέπεια ο πίνακας μετασχηματισμού έχει τη μορφή cos θ sin θ P 1 = sin θ cos θ, δηλαδή x 1 x 3 x 3 = 1 cos θ sin θ sin θ cos θ 1 Ομοια οι συντεταγμένες x i δίνονται από τις x i μέσω της x = P x, όπου P = cos θ sin θ sin θ cos θ 1 x 1 x 3 x 3

58 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Παρατήρηση 311 Η αλλαγή συντεταγμένων είναι ισοδύναμη με αλλαγή βάσης Στο παραπάνω παράδειγμα, τα νέα διανύσματα βάσης i, j, k προκύπτουν από τα παλιά i, j, k με στροφή περί το k, επομένως k = k, βλ Σχήμα 31 Εστω δύο βάσεις {e 1, e 2, e 3 } και {e 1, e 2, e 3 } του R3 Ενα διάνυσμα u R 3 αναπαρίσταται από διαφορετικές συντεταγμένες ως προς τις δύο βάσεις u = x 1 e 1 +x 2 e 2 +x 3 e 3 = i x i e i, και u = x 1e 1 +x 2e 2 +x 3e 3 = i x ie i Λόγω της ταυτοποίησης σημείων και διανυσμάτων (βλ Παράρτημα), οι συντεταγμένες x i και x i του u συνδέονται γραμμικά μέσω των (312) Εστω τώρα ένας 3 3 πίνακας A και ας θεωρήσουμε τη δράση του σε ένα διάνυσμα με συντεταγμένες x = (x 1, x 2, x 3 ) Κατά τα γνωστά, παράγεται ένα διάνυσμα y R 3, δηλαδή y = Ax (314) Αν αλλάξουμε συντεταγμένες θα έχουμε x = P x και y = P y Τότε η (314) θα γράφεται P y = AP x y = P 1 AP x Ετσι ορίζεται ένας νέος πίνακας B B = P 1 AP, (315) που παριστάνει στο νέο σύστημα συντεταγμένων τη δράση του πίνακα A πάνω στο x με την έννοια y = Ax στο παλιό σύστημα, y = Bx στο νέο σύστημα (316) Γενικώς αν υπάρχει ένας αντιστρέψιμος πίνακας P τέτοιος ώστε να ισχύει η (315), λέμε ότι οι πίνακες A και B είναι όμοιοι Η εξίσωση (315) παριστάνει ένα ομοιωτικό μετασχηματισμό (similarity transformation) Επισημαίνουμε ότι η σχέση x = P 1 x και η y = Ax εμφανίζουν τυπική ομοιότητα, με την εξής έννοια: y και x είναι διαφορετικά διανύσματα, ενώ x και x είναι διαφορετικές αναπαραστάσεις του ίδιου διανύσματος Η ορίζουσα ενός πίνακα A είναι αναλλοίωτη σε ομοιωτικούς μετασχηματισμούς det A = det P BP 1 = (det P ) (det B) det P 1 = det B,

31 ΑΛΛΑΓΗ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ 59 διότι det P 1 = (det P ) 1 Επομένως όλοι οι όμοιοι πίνακες, δηλαδή οι πίνακες της μορφής P 1 AP όπου P είναι ένας αντιστρέψιμος πίνακας θα έχουν την ίδια ορίζουσα Ενα άλλο αναλλοίωτο είναι το ίχνος ενός τελεστή Το ίχνος (trace) ενός τετραγωνικού πίνακα ορίζεται ως το άθροισμα των διαγωνίων στοιχείων του tr A = k a kk Οπως μπορείτε να δείξετε, δύο όμοιοι πίνακες έχουν ίδιο ίχνος (Υπόδειξη: Δείξετε πρώτα ότι tr(ab) = tr(ba)) Ασκήσεις 1 Θεωρούμε στροφή του συστήματος συντεταγμένων στον R 2 όπως στο Σχήμα 31 Υπενθυμίζουμε ότι η αλλαγή συντεταγμένων (x, y) (x, y ) ισοδυναμεί με αλλαγή βάσης (i, j) (i, j ) Οι συντεταγμένες ενός διανύσματος u ως προς το παλιό σύστημα συντεταγμένων είναι (u 1, u 2 ), δηλαδή u = u 1 i + u 2 j Στο νέο σύστημα θα έχουμε u = u 1 i + u 2 j Για να βρούμε τις συντεταγμένες του διανύσματος u στο νέο σύστημα συντεταγμένων, αρκεί να πάρουμε τις συνιστώσες του u πάνω στα νέα διανύσματα βάσης i, j, δηλαδή τα εσωτερικά γινόμενα του u με τα i, j Ετσι, θα έχουμε u 1 = u i = (u 1 i + u 2 j) i = u 1 i i +u 2 j i = u 1 cos (i, i )+u 2 cos (j, i ) Ανάλογη θα είναι η μορφή της δεύτερης συνιστώσας του u πάνω στον άξονα y Δείξτε ότι οι συντεταγμένες του διανύσματος u στο νέο σύστημα συντεταγμένων, δίνονται από τις u 1 = u 1 cos θ + u 2 sin θ, u 2 = u 1 sin θ + u 2 cos θ 2 Τι παριστάνουν οι πίνακες cos θ sin θ 1 sin θ cos θ, cos θ sin θ sin θ cos θ 1 ; 3 Εστω μία τυχούσα στροφή στον R 3, που παρίσταται από τον πίνακα R = (a ij ), i, j = 1, 2, 3 Δείξτε ότι τα στοιχεία του πίνακα R ικανοποιούν

6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ τη σχέση 3 1 αν j = k a ij a ik = αν j = k i=1 (317) Υπόδειξη: Το μήκος ενός διανύσματος u παραμένει αναλλοίωτο κατά την αλλαγή συντεταγμένων i u 2 i Το πρώτο μέρος γράφεται u 2 i = a ij u j i i j k = i u 2 i a ik u k = j,k a ij a ik u j u k και ταυτίζεται με το δεύτερο μόνο αν ο όρος σε παρένθεση ικανοποιεί την (317) 4 Παρατηρείστε ότι στο αριστερό μέλος της (317) εμφανίζεται το γινόμενο του αναστρόφου του R με τον ίδιο τον R, άρα η συνθήκη ορθογωνιότητας γράφεται R T R = I, όπου I ο πίνακας μονάδα Δείξτε λοιπόν ότι στην περίπτωση ενός ορθογώνιου πίνακα ο αντίστροφος ταυτίζεται με τον ανάστροφο: R 1 = R T Παρατήρηση 312 Η σχέση (317) μπορεί να γραφεί σε πιο συμπαγή μορφή χρησιμοποιώντας το σύμβολο δ του Kronecker 3 1 αν j = k a ij a ik = δ jk, όπου δ jk = αν j = k i=1 Η εξίσωση (317) λέγεται συνθήκη ορθογωνιότητας και οι πίνακες που την ικανοποιούν λέγονται ορθογώνιοι πίνακες i Για να εξετάσουμε πιο λεπτομερειακά τι σημαίνει η συνθήκη ορθογωνιότητας ας πάρουμε j = k = 1 Τότε η (317) γράφεται (a 11 ) 2 + (a 21 ) 2 + (a 31 ) 2 = 1 που σημαίνει ότι το πρώτο διάνυσμα στήλης είναι μοναδιαίο Θέτοντας j = k = 2, 3 καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι όλα τα διανύσματα στήλης του πίνακα A είναι μοναδιαία Επιλέγοντας τώρα j = 1, k = 2, η (317) δίνει a 11 a 12 + a 21 a 22 + a 31 a 32 =,

32 ΙΔΙΟΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ 61 δηλαδή το πρώτο διάνυσμα στήλης είναι κάθετο στο δεύτερο Συμπεραίνουμε ότι όλες οι στήλες είναι κάθετες η μία στην άλλη 32 Ιδιοδιανύσματα και ιδιοτιμές Εστω ένας n n πίνακας A Ενα μη μηδενικό διάνυσμα x R n λέγεται ιδιοδιάνυσμα του A αν υπάρχει αριθμός λ τέτοιος ώστε, Ax = λx (Αποκλείουμε την τετριμμένη περίπτωση x = ) Ο αριθμός λ λέγεται ιδιοτιμή του A που αντιστοιχεί στο ιδιοδιάνυσμα x Για παράδειγμα αν 2 A =, 3 τότε τα δύο διανύσματα στήλης [1, ] T και [, 1] T είναι ιδιοδιανύσματα του A με αντίστοιχες ιδιοτιμές 2 και 3 Παρατηρούμε ότι αν x είναι ιδιοδιάνυσμα του A με ιδιοτιμή λ, τότε και κάθε πολλαπλάσιο του x, έστω cx, όπου c αριθμός, είναι επίσης ιδιοδιάνυσμα με την ίδια ιδιοτιμή Θεώρημα 321 Τα ιδιοδιανύσματα ενός τετραγωνικού πίνακα που αντιστοιχούν σε διαφορετικές ιδιοτιμές είναι γραμμικώς ανεξάρτητα Απόδειξη Εστω A ένας n n πίνακας και v 1,, v m, ιδιοδιανύσματα του A με αντίστοιχες διακριτές ιδιοτιμές λ 1,, λ m Η απόδειξη γίνεται επαγωγικά Ενα ιδιοδιάνυσμα v 1 = είναι γραμμικώς ανεξάρτητο Εστω v 1, v 2 δύο ιδιοδιανύσματα και θεωρούμε το γραμμικό συνδυασμό c 1 v 1 + c 2 v 2 = (321) Πολλαπλασιάζουμε την (321) με λ 1 λ 1 c 1 v 1 + λ 1 c 2 v 2 = Επιδρούμε με τον A στην (321) οπότε λ 1 c 1 v 1 + λ 2 c 2 v 2 = Αφαιρούμε κατά μέλη (λ 2 λ 1 ) c 2 v 2 =, και επειδή λ i = λ j όταν i = j, προκύπτει ότι c 2 = Επιστρέφοντας στην (321) θα έχουμε c 1 v 1 =, άρα c 1 = Επομένως, βάσει του ορισμού της

62 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ γραμμικής ανεξαρτησίας προκύπτει ότι v 1 και v 2 είναι γραμμικώς ανεξάρτητα Με όμοιο τρόπο αποδεικνύεται ότι τρία ιδιοδιανύσματα είναι γραμμικώς ανεξάρτητα κοκ Εστω A = a 1 a n ένας διαγώνιος πίνακας Θα γράφουμε συμβολικά A = diag(a 1,, a n ) Τότε κάθε διάνυσμα e j της συνήθους βάσης (βλ Παράγραφο 122) του R n είναι ιδιοδιάνυσμα του A με αντίστοιχη ιδιοτιμή a j (κάνετε έλεγχο) Εν γένει, τα ιδιοδιανύσματα, v 1,, v m ενός n n πίνακα A είναι λιγότερα από τη διάσταση του χώρου R n Αν τύχει το πλήθος των ιδιοδιανυσμάτων του να είναι ίσο με τη διάσταση του χώρου, τότε αυτά αποτελούν μια βάση του χώρου R n 321 Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο Πώς βρίσκουμε τις ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του πίνακα A; Εστω x = ένα (όχι μοναδικό) ιδιοδιάνυσμα του A και λ η αντίστοιχη ιδιοτιμή, δηλαδή Ax = λx Η συνθήκη αυτή γράφεται και Ax λx =, ή ακόμα ως (A λi)x =, (322) όπου φυσικά I είναι ο μοναδιαίος πίνακας Η (322) είναι ένα ομογενές γραμμικό σύστημα με αγνώστους τις συνιστώσες του x Για να έχει η (322) μη τετριμμένες λύσεις πρέπει η ορίζουσα του πίνακα A λi να είναι det(a λi) = (323) Η ορίζουσα det(a λi) λέγεται χαρακτηριστικό πολυώνυμο του πίνακα A και η (323) λέγεται χαρακτηριστική εξίσωση (ΧΕ) Ας γράψουμε αναλυτικά την τελευταία εξίσωση a 11 λ a 12 a 1n a det 21 a 22 λ a 2n = a n1 a n2 a nn λ Παρατηρούμε ότι πρόκειται για την εξίσωση ριζών ενός πολυωνύμου n βαθμού ως προς λ Κατά συνέπεια η (ΧΕ) παρέχει ένα άμεσο τρόπο προσδιορισμού των ιδιοτιμών του πίνακα A Στην συνέχεια θα χρησιμοποιήσουμε την πρόταση:

32 ΙΔΙΟΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ 63 Πρόταση 322 Αν ο n n πίνακας A έχει n γραμμικώς ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα u 1, u 2,, u n, με αντίστοιχες ιδιοτιμές λ 1, λ 2,, λ n, τότε ο πίνακας P που έχει ως στήλες του τα ιδιοδιανύσματα u 1, u 2,, u n, P = [u 1 u 2 u n ] τον διαγωνοποιεί Απόδειξη Εχουμε διαδοχικά P 1 AP = diag (λ 1, λ 2,, λ n ) =: Λ AP = A [u 1 u 2 u n ] = [Au 1 Au 2 Au n ] = [λ 1 u 1 λ 2 u 2 λ n u n ] λ 1 = [u 1 u 2 u n ], λ n δηλαδή AP = P Λ P 1 AP = Λ Στα επόμενα παραδείγματα υπενθυμίζουμε ότι για ένα αντιστρέψιμο 2 2 πίνακα P ισχύει P = a c b d P 1 = 1 det P Μνημονικός κανόνας: τα διαγώνια στοιχεία αλλάζουν θέση και τα αντιδιαγώνια αλλάζουν πρόσημο d c b a Παράδειγμα 321 Για τον πίνακα A 5 3 A = 6 4 το χαρακτηριστικό πολυώνυμο είναι 5 λ 3 det = λ 2 λ 2 = (λ 2) (λ + 1) 6 4 λ Άρα οι ιδιοτιμές είναι 2 και 1 Τα ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν στην ιδιοτιμή 2 ικανοποιούν την Au = 2u, δηλαδή είναι λύσεις του συστήματος (A 2I)u =, ή 3 3 x = 6 6 y Οι λύσεις είναι x = t, y = t, t R Διαλέγουμε μία λύση πχ x = 1, y = 1, οπότε ένα ιδιοδιάνυσμα που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή λ = 2 είναι το [1, 1] T Από

64 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ τη λύση προκύπτει ότι και κάθε βαθμωτο πολλαπλάσιο του u είναι επίσης ιδιοδιάνυσμα, όπως και ανεμένετο Ουσιωδώς το u παράγει τον μονοδιάστο ιδιόχωρο που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή 2 Με εντελώς ανάλογο τρόπο βρίσκουμε ότι ένα ιδιοδιάνυσμα που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή 1 είναι το v = [ 1, 2] T Τα ιδιοδιανύσματα u και v σχηματίζουν μία βάση του R 2 Ο πίνακας αλλαγής βάσης P έχει ως στήλες τα διανύσματα u και v, δηλαδή P = [uv] = 1 1 1 2 P 1 = 2 1 1 1 Ο πίνακας B που ορίζεται μέσω του ομοιωτικού μετασχηματισμού B = P 1 AP είναι διαγώνιος B = 2 1 Παράδειγμα 322 Ας θεωρήσουμε τον πίνακα 2 1 A = 1 1 2 4 Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο είναι 2 λ 1 det 1 λ 1 = (λ 2) 2 (λ 3) 2 4 λ άρα οι ιδιοτιμές είναι 2 και 3 Για να βρούμε τα ιδιοδιανύσματα πρέπει να λύσουμε το σύστημα 2 λ 1 x 1 λ 1 y 2 4 λ z = Για την ιδιοτιμή 2 ένα ιδιοδιάνυσμα είναι [1,, ] T και για την ιδιοτιμή 3 ένα ιδιοδιάνυσμα είναι [1, 1, 2] T Ο πίνακας A έχει δύο πραγματικές ιδιοτιμές και η διάσταση του χώρου είναι 3 βάση Κατά συνέπεια, τα ιδιοδιανύσματα του πίνακα δεν αποτελούν Παράδειγμα 323 Θεωρούμε τον πίνακα A 2 A = 1 2 Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο είναι λ 2 det 1 2 λ = λ 2 2λ + 2,

32 ΙΔΙΟΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ 65 άρα οι ιδιοτιμές είναι 1 + i, 1 i Ο πίνακας δεν έχει πραγματικές ιδιοτιμές Για να βρούμε τα ιδιοδιανύσματα πρέπει να λύσουμε τα συστήματα (1 ± i) 2 x = 1 2 (1 ± i) y Το πρώτο γράφεται (1 + i) x 2y =, x + (1 i) y = Η δεύτερη εξίσωση είναι ισοδύναμη με την πρώτη όπως φαίνεται αν την πολλαπλασιάσουμε με (1 + i) Από την δεύτερη λοιπόν διαλέγοντας πχ y = i, βρίσκουμε x = 1 + i Άρα ένα (μιγαδικό) ιδιοδιάνυσμα που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή 1 + i, είναι 1 + i 1 1 w = = + i =: u + iv i 1 Λύνοντας το δεύτερο σύστημα βρίσκουμε ότι το ιδιοδιάνυσμα που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή 1 i είναι συζυγές του w 1 i 1 1 w = = i = u iv i 1 Τα πραγματικά διανύσματα v και u αποτελούν βάση του R 2 και ο πίνακας μετασχηματισμού βάσης είναι P = [vu] = 1 1 1 Μέσω του ομοιωτικού μετασχηματισμού B = P 1 AP, παίρνουμε B = P 1 1 1 AP = 1 1 Το παραπάνω αποτέλεσμα είναι γενικό: Ενας 2 2 πίνακας A που έχει μη πραγματικές ιδιοτιμές έχει δύο ιδιοτιμές, μιγαδικές συζυγείς λ ± iω Τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα είναι μιγαδικά συζυγή, w = u ± iv και το ζεύγος {v, u} είναι βάση του R 2 Ο πίνακας P = [vu] μετασχηματίζει τον A στον πίνακα B = P 1 AP = λ ω ω λ (324) Πίνακες του τύπου (324) έχουν μία ενδιαφέρουσα γεωμετρική σημασία Κατ αρχάς οι ιδιοτιμές τους είναι λ ± iω όπως μπορείτε να ελέγξετε Θέτοντας r = λ 2 + ω 2, θ = arctan ω λ,

66 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ο πίνακας γράφεται λ ω ω λ = r r cos θ sin θ sin θ cos θ, δηλαδή παριστάνει μία στροφή κατά θ στο επίπεδο, ακολουθούμενη από μία επιμήκυνση κατά r Παρατήρηση 321 Αν P είναι ο πίνακας που διαγωνοποιεί τον A, δηλαδή P 1 AP = diag (λ 1, λ 2,, λ n ) = Λ, τότε η ορίζουσα του Λ ισούται με το γινόμενο των ιδιοτιμών και το ίχνος του ισούται με το άθροισμα των ιδιοτιμών Επειδή η ορίζουσα και το ίχνος ενός πίνακα είναι αναλλοίωτα σε ομοιωτικούς μετασχηματισμούς, συμπεραίνουμε ότι και η ορίζουσα του A ισούται με το γινόμενο των ιδιοτιμών και το ίχνος του A ισούται με το άθροισμα των ιδιοτιμών 322 Διαγωνοποίηση Σύμφωνα με το Θεώρημα 321, αν το χαρακτηριστικό πολυώνυμο ενός πίνακα A σε ένα n-διάστατο χώρο V έχει n διαφορετικές πραγματικές ρίζες, τότε ο πίνακας διαγωνοποιείται Από τα παραδείγματα προκύπτει η διαδικασία που ακολουθούμε: Λύνοντας την εξίσωση ριζών του χαρακτηριστικού πολυωνύμου (ΧΠ) βρίσκουμε n (διακριτές) ιδιοτιμές λ 1,, λ n Στη συνέχεια, βρίσκουμε τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα v 1,, v n του πίνακα λύνοντας το σύστημα (A λi)x = Ο πίνακας P που έχει ως στήλες του τα διανύσματα v 1,, v n είναι ο πίνακας αλλαγής βάσης και μέσω του ομοιωτικού μετασχηματισμού B = P 1 AP, παίρνουμε B = diag{λ 1,, λ n } Τι γίνεται στην περίπτωση που κάποιες ιδιοτιμές είναι μιγαδικές; Αν όλες οι ρίζες του ΧΠ είναι διαφορετικές, το αντίστοιχο της πρότασης 322 που διατυπώνουμε χωρίς απόδειξη είναι το εξής: Αν το χαρακτηριστικό πολυώνυμο ενός πίνακα A έχει διαφορετικές ρίζες, αυτές γράφονται λ 1,, λ m (όλες πραγματικές) και µ 1, µ 1,, µ k, µ k (όλες μιγαδικές συζυγείς µ i = a i + ib i, µ i = a i ib i ) Τα ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν στις μιγαδικές ιδιοτιμές είναι μιγαδικά συζυγή, w j = u j ± iv j και {v j, u j } είναι βάση του διδιάστατου χώρου που αντιστοιχεί στις ιδιοτιμές

32 ΙΔΙΟΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ 67 Μέσω του ομοιωτικού μετασχηματισμού B = P 1 AP παίρνουμε λ 1 λ m B = a 1 b 1 b 1 a 1 a k b k (325) b k a k Επομένως ο πίνακας B έχει διαγώνια στοιχεία και διαγώνια μπλοκς της μορφής (324) Για μία εμπεριστατωμένη αντιμετώπιση της γενικής περίπτωσης βλ κλασσικό [8] Τα επόμενα παραδείγματα σκιαγραφούν το θεώρημα Παράδειγμα 324 Για τον πίνακα A = 1 2 3 1 3 2 το χαρακτηριστικό πολυώνυμο είναι det (A λi) = (1 λ) (2 λ) 2 + 9 Άρα οι ιδιοτιμές είναι λ 1 = 1, λ 2,3 = 2 ± 3i Λύνοντας τα γραμμικά συστήματα x 1 3 y 1 3 1 z =, 1 3i x 3i 3 y 1 3 3i z =, το βρίσκουμε αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα h = 1 3 1, w = 1 i = 1 + i 1 =: u + iv Ενα τρίτο ιδιοδιάνυσμα είναι το w = [, 1, i] T = u iv Συνεπώς ο πίνακας αλλαγής βάσης είναι P = [h v u] = 1 3 1 1 1, P 1 = 1 1 1 1 1 3 1 1,

68 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ άρα B = P 1 AP = 1 2 3 3 2, δηλαδή έχει τη μορφή (325) Παράδειγμα 325 Για τον πίνακα A = 1 1 1 1 1 1 το χαρακτηριστικό πολυώνυμο είναι (λ 1) λ 2 2λ + 2, άρα οι ιδιοτιμές είναι 1, 1 + i, 1 i Μπορούμε λοιπόν να γράψουμε αμέσως τον B = P 1 AP ως B = 1 1 1 1 1 Αν θέλουμε να βρούμε τα ιδιοδιανύσματα πρέπει να λύσουμε το σύστημα για τις τρεις ιδιοτιμές Για την ιδιοτιμή 1 ένα ιδιοδιάνυσμα είναι το [, 1, 1] T και για τις ιδιοτιμές 1 + i, 1 i δύο αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα είναι [±i,, 1] T Ακολουθώντας την προηγούμενη διαδικασία υπολογίζουμε τον πίνακα αλλαγής βάσης P και φυσικά B = P 1 AP (ελέγξετέ το) Από την παραπάνω παρουσίαση προκύπτει το ερώτημα: πότε είναι δυνατή η διαγωνοποίηση ενός πίνακα; Ενα από τα σημαντικά αποτελέσματα της Γραμμικής Άλγεβρας είναι ότι για ένα συμμετρικό πίνακα A, δηλαδή a ij = a ji, υπάρχει ορθογώνιος πίνακας U, δηλαδή U 1 = U T, τέτοιος ώστε ο B = U 1 AU να είναι διαγώνιος, βλ σχετικό άρθρο στη Wikipedia Η απόδειξη αυτής της πρότασης απαιτεί την έννοια του συμμετρικού τελεστή και παραπέμπουμε στη βιβλιογραφία για μία αναλυτική παρουσίαση, Ασκήσεις 1 Βρείτε τις ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα των πινάκων Εξετάστε αν αυτοί διαγωνοποιούνται 1 2 3 2, 4 1 2 1 2 1, 1 1 1 1 1 1

32 ΙΔΙΟΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ 69 2 Διαγωνοποιείστε τους πίνακες 1 2 2, 1 1 1 2 1 1 1, 1 1 1 1 1 1 1 3 α) Ποιές είναι οι ιδιοτιμές ενός τριγωνικού πίνακα; β) Πώς συνδέονται οι ιδιοτιμές ενός πίνακα A με τις ιδιοτιμές του αναστρόφου του; γ) Δείξετε ότι ένας αντιστρέψιμος πίνακας δεν έχει καμία μηδενική ιδιοτιμή δ) Αν λ είναι μία ιδιοτιμή ενός αντιστρέψιμου πίνακα A, τότε 1/λ είναι μία ιδιοτιμή του A 1 323 Πολλαπλές ιδιοτιμές Οπως γνωρίζουμε αν ο n n πίνακας A έχει n γραμμικώς ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα u 1, u 2,, u n, με αντίστοιχες ιδιοτιμές λ 1, λ 2,, λ n, τότε ο πίνακας P = [u 1 u 2 u n ] τον διαγωνοποιεί P 1 AP = diag (λ 1, λ 2,, λ n ) =: Λ Συνεπώς ένας τετραγωνικός πίνακας δεν διαγωνοποιείται αν δεν έχει αρκετά ιδιοδιανύσματα Τα παρακάτω παραδείγματα δείχνουν ότι η διαγωνοποίηση μπορεί να μην είναι δυνατή στην περίπτωση πολλαπλών ιδιοτιμών Παράδειγμα 326 Οι πίνακες 1 3 1 2 1 A =, B =, C =, 3 1 με αντίστοιχες ιδιοτιμές (διπλές) (, ), (3, 3), (1, 1) δεν διαγωνοποιούνται διότι έχουν ένα ιδιοδιάνυσμα ο καθένας (βρείτε τα) Ορισμός 321 Ενας n n πίνακας N λέγεται αδύναμος (nilpotent) τάξης k αν N k = O και N k 1 = O 1 1 1 Παράδειγμα 327 Για τους N = και M = ισχύει 1 1 1 N 2 = O και M 2 = O 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Για τον N = 1, έχουμε N 2 = 1 1 1 1 και N 3 = O, δηλαδή ο N είναι αδύναμος τάξης 3

7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Υπολογίστε τις δυνάμεις των παρακάτω πινάκων 1 1 1 1 O 2 I 2 O 2, 1, 1 1, O 2 O 2 I 2, O 2 O 2 O 2 όπου I 2 = 1 1 και O 2 = Ορισμός 322 Εστω λ μία ιδιοτιμή ενός n n πίνακα A με πολλαπλότητα m n Τότε κάθε διάνυσμα u που ικανοποιεί την εξίσωση (A λi) k u =, για k = 1, 2,, m λέγεται γενικευμένο ιδιοδιάνυσμα του A Παράδειγμα 328 Ο πίνακας A = 1 1 2 1 1 2 έχει ιδιοτιμές λ 1 = 1, λ 2,3 = 2 με αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα u 1 = [1, 1, 2] T u 2 = [,, 1] T Για να βρούμε ένα γενικευμένο ιδιοδιάνυσμα που να αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή λ = 2 και να είναι ανεξάρτητο του u 2 πρέπει να λύσουμε την εξίσωση (A 2I) 2 u = 1 1 2, u = Αρκεί να διαλέξουμε u 3 = [, 1, ] T Παρατηρείστε ότι ο πίνακας P = [u 1 u 2 u 3 ] δεν διαγωνοποιεί τον A με ομοιωτικό μετασχηματισμό, δηλαδή P 1 AP δεν είναι διαγώνιος Το παρακάτω θεώρημα γενικεύει το Θεώρημα 321 που αναφέρεται στη διαγωνοποίηση πίνακα με πραγματικές ιδιοτιμές Θεώρημα 323 Εστω ένας n n πίνακας A με πραγματικές ιδιοτιμές λ 1,, λ n, επαναλαμβανόμενες σύμφωνα με την πολλαπλότητα τους Τότε: α) υπάρχει βάση του R n από γενικευμένα ιδιοδιανύσματα του A, και

32 ΙΔΙΟΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ 71 β) αν {u 1,, u n } είναι μία τέτοια βάση, ο πίνακας P = [u 1 u n ] είναι αντιστρέψιμος, γ) ο A γράφεται ως άθροισμα ενός διαγωνοποιήσιμου S και ενός αδύναμου N, δηλαδή A = S + N, όπου P 1 SP = diag [λ 1 λ n ] και N k = O, k n, δ) οι S και N μετατίθενται, NS = SN Για την απόδειξη παραπέμπουμε στο [5] Στο προηγούμενο παράδειγμα, 1 1 S = P 2 P 1 = 1 2, N = A S =, 2 2 2 1 1 και N 2 = O Παράδειγμα 329 Ο πίνακας A = 1 1 2 1 4 3 έχει ιδιοτιμές λ 1 = 3, λ 2,3 = 1 με αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα u 1 = [1, 4, 4] T και u 2 = [1,, ] T Για να βρούμε ένα γενικευμένο ιδιοδιάνυσμα που να αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή λ = 1 και να είναι ανεξάρτητο του u 2 πρέπει να λύσουμε την εξίσωση (A + I) 2 u = 4 16 16 Αρκεί να διαλέξουμε u 3 = [, 1, ] T Επομένως άρα S = P με N 2 = O P = 3 1 1 1 1 4 1 4 και P 1 = P 1 = 1 1 1 4 3 u = 1 4 1 1 4 1 1, και N = A S = 1 1

72 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ 33 Εκθετικά πινάκων Εστω A ένας n n πίνακας Ορίζουμε e A = I + A + 1 2! A2 + 1 3! A3 + = n= 1 n! An Για τον έλεγχο της σύγκλισης της σειράς απαιτείται η έννοια της norm ενός τελεστή και παραπέμπουμε στη βιβλιογραφία Αποδεικνύεται ότι η σειρά συγκλίνει πάντα σε ένα n n πίνακα Ας δούμε μερικά παραδείγματα υπολογισμού του εκθετικού ενός πίνακα Παράδειγμα 331 Αν A = I, τότε e I = I + I + 1 2! I2 + 1 3! I3 + = I 1 + 1 + 12! + 13! + = ei Παράδειγμα 332 Αν A = diag(a 1,, a n ), τότε e A = diag(e a 1,, e an ) Πχ για 2 2 πίνακα A = diag(a, b) θα έχουμε a A =, A 2 a 2 = b b 2, A 3 a 3 = b 3, οπότε e A = = 1 a + + 1 a 2 1 b 2! b 2 + 1 a 3 3! b 3 = 1 + a + a2 2! + a3 3! + e a 1 + b + b2 2! + b3 3! + = e b Παράδειγμα 333 Για τον A = 1 1, θα έχουμε A 2 = 1 1, A 3 = 1 1, A 4 = 1 1 Αν t R, e ta = 1 t2 2! + t4 t3 4! + t + 3! t5 t t3 3! + t5 5! 5! + t2 + 1 2! + t4 4! + = cos t sin t sin t cos t

33 ΕΚΘΕΤΙΚΑ ΠΙΝΑΚΩΝ 73 Παράδειγμα 334 Αν t R και A = e ta = A 2 = 1 2 1, A 3 = 1 1 1 1 3 1 1 + t + t2 2! + t3 3! + t + t2 + t3 2! + t4 3! + 1 + t + t2 2! + t3 3! + Ιδιότητες του εκθετικού θα έχουμε, = e t te t e t Εν γένει, δεν ισχύει η καλή ιδιότητα των πραγματικών αριθμών e a e b = e a+b, a, b R, δηλαδή αν A, B είναι n n πίνακες, τότε e A e B = e A+B Πρόταση 331 Αν οι A, B μετατίθενται τότε e A e B = e A+B Απόδειξη Ξεκινώντας από το πρώτο μέλος της ισότητας που θέλουμε να δείξουμε, έχουμε διαδοχικά e A e B = I + A + 1 2! A2 + I + B + 1 2! B2 + = I + (A + B) + 1 2! Ομοια, το δεύτερο μέλος γράφεται e A+B = I + (A + B) + 1 2! A 2 + 2AB + B 2 + A 2 + AB + BA + B 2 + και επειδή οι πίνακες μετατίθενται (AB = BA) ισχύει η ισότητα Πόρισμα 332 Επειδή ο A μετατίθεται με κάθε δύναμή του ισχύει Ae A = e A A Πόρισμα 333 Αν θέσουμε B = A στην Πρόταση 331, προκύπτει ότι ο αντίστροφος του e A δίνεται από την e A 1 = e A 334 Η Πρόταση 331 μας επιτρέπει να γενικεύσουμε τα Παραδείγματα 333 και

74 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Παράδειγμα 335 Εστω A = a b b a, t R, τότε A = ai + B με B = b b, και επειδή I και B μετατίθενται, θα έχουμε e ta = e t(ai+b) = e ati e tb Παράδειγμα 333 γνωρίζουμε ότι e tb cos bt sin bt = sin bt cos bt Από το Συνεπώς e ta = e at cos bt sin bt sin bt cos bt Παράδειγμα 336 Εστω A = λ 1 λ, t R, τότε A = λi + B με B = 1, και επειδή I και B μετατίθενται, e ta = e t(λi+b) = e λti e tb προκύπτει, B 2 = B 3 = = O, άρα e tb = I + tb Συνεπώς e ta = e λt 1 t e λt te λt = 1 e λt Αλλά όπως εύκολα Πρόταση 334 Αν P είναι αντιστρέψιμος, τότε Απόδειξη Παρατηρούμε ότι e P 1 AP = P 1 e A P P 1 AP 2 = P 1 AP P 1 AP = P 1 A 2 P, P 1 AP 3 = P 1 A 3 P, οπότε e P 1 AP = I + P 1 AP + 1 2! P 1 A 2 P + = P I 1 + A + 1 2! A2 + P = P 1 e A P

34 ΔΙΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΚΑΙ ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ 75 Πρόταση 335 Για t R ισχύει d dt eta = Ae ta Απόδειξη Υποθέτοντας ότι η σειρά e ta παραγωγίζεται ως προς t όρο προς όρο αποδείξτε την παραπάνω πρόταση Θα δώσουμε μία άλλη απόδειξη βάσει του ορισμού της παραγώγου Γράφουμε το πηλίκο διαφορών e (t+h)a e ta h = eta+ha e ta h = eta e ha e ta h Η τελευταία ισότητα οφείλεται στο ότι ο A μετατίθεται με τον εαυτό του Ο αριθμητής γράφεται e ta e ha e ta = e ta e ha I = e I ta + ha + 1 2! h2 A 2 + I = e ta A hi + 1 2! h2 A + Διαιρώντας με h και παίρνοντας το όριο όταν h, προκύπτει αμέσως το ζητούμενο 34 Διγραμμικές και τετραγωνικές μορφές Θεωρούμε τον R n ως διανυσματικό χώρο εφοδιασμένο με το σύνηθες εσωτερικό γινόμενο, δηλαδή αν x = (x 1,, x n ) και y = (y 1,, y n ) είναι δύο διανύσματα του R n, τότε το εσωτερικό γινόμενό τους x, y γράφεται x, y = x 1 y 1 + + x n y n Αν θεωρήσουμε τα διανύσματα του R n ως διανύσματα στήλης και συμβολίσουμε με x T το διάνυσμα γραμμή, τότε το εσωτερικό γινόμενο μπορεί να γραφεί ως γινόμενο πινάκων x T y = [x 1,, x n ] y 1 y n = x 1 y 1 + + x n y n Λέμε ότι το εσωτερικό γινόμενο ορίζει μία διγραμμική συμμετρική μορφή στον R n Γενικεύουμε ως εξής Ορισμός 341 Εστω ένας συμμετρικός n n πίνακας A Η απεικόνιση f με τύπο λέγεται συμμετρική διγραμμική μορφή στον R n f (x, y) = x T Ay, (341)

76 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Παράδειγμα 341 Στον R 2 μία συμμετρική διγραμμική μορφή γράφεται ως f (x, y) = x T a 11 a 12 y 1 Ay = [x 1, x 2 ] a 12 a 22 y 2 2 = a ij x i y j = a 11 x 1 y 1 + 2a 12 x 1 y 2 + a 22 x 2 y 2 i,j=1 Η απεικόνιση (341) έχει τις εξής ιδιότητες 1 Είναι συμμετρική, f (x, y) = f (y, x) 2 Είναι γραμμική και στις δύο μεταβλητές της, δηλαδή για κάθε x, y, z R n και λ R, ισχύει f (x, y + z) = f (x, y) + f (x, z), f (x, λy) = λf (x, y), f (x + z, y) = f (x, y) + f (z, y), f (λx, y) = λf (x, y) Προφανώς σε κάθε συμμετρικό πίνακα αντιστοιχεί μία συμμετρική διγραμμική μορφή και αντίστροφα Στο εξής θα θεωρούμε μόνο συμμετρικούς πίνακες και θα παραλείπουμε το επίθετο συμμετρική Βρείτε τις διγραμμικές μορφές που αντιστοιχούν στους πίνακες: 1 Στον ταυτοτικό πίνακα I 2 Στον πίνακα με Ax = λx x R n, λ R 3 Στον πίνακα με Ax = λ 1 x 1 e 1 + λ 2 x 2 e 2 + λ 3 x 3 e 3, για κάθε x = x 1 e 1 + x 2 e 2 + x 3 e 3 R 3, λ i R Αν στην απεικόνιση (341) θέσουμε x = y, προκύπτει μία βαθμωτή συνάρτηση φ με τύπο φ (x) = f (x, x) = x T Ax Ορισμός 342 Εστω ένας συμμετρικός n n πίνακας A Η απεικόνιση φ : R n R, με τύπο φ (x) = x T Ax, λέγεται τετραγωνική μορφή στον R n Προφανώς φ () =

34 ΔΙΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΚΑΙ ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ 77 Παράδειγμα 342 Στον R 2 μία τετραγωνική μορφή γράφεται ως φ (x) = x T a 11 a 12 x 1 2 Ax = [x 1, x 2 ] = a ij x i x j = a 11 x 2 1+2a 12 x 1 x 2 +a 22 x 2 2 a 12 a 22 x 2 i,j=1 Άλλος τρόπος γραφής με x T = [x, y] R 2 είναι φ (x) = x T a 11 a 12 x Ax = [x, y] = a 11 x 2 + 2a 12 xy + a 22 y 2 a 12 a 22 y Βρείτε τις τετραγωνικές μορφές που αντιστοιχούν στους πίνακες: 1 Στον ταυτοτικό πίνακα I 2 Στον πίνακα A με, Ax = λx x R n, λ R 3 Στον πίνακα A με, Ax = λ 1 x 1 e 1 + λ 2 x 2 e 2 + λ 3 x 3 e 3, για κάθε x = x 1 e 1 + x 2 e 2 + x 3 e 3 R 3, λ i R Για να αντιληφθούμε τη σημασία των τετραγωνικών μορφών ας θεωρήσουμε μία συνάρτηση f δύο μεταβλητών με f (, ) =, που έχει κρίσιμο σημείο το (, ) δηλαδή, f/ x (,) = = f/ y (,) Τότε στο ανάπτυγμα Taylor της f οι πρώτοι μη μηδενικοί όροι είναι δεύτερης τάξης και η f προσεγγίζεται κοντά στο (, ) με μία τετραγωνική μορφή, f (x, y) = 1 x 2 2 f 2! x 2 + 2xy 2 f (,) x y + y 2 2 f (,) y 2 (,) + O (3) Δείξτε ότι φ (x) = 2Ax Δείξτε ότι Hessian 1 2 φ (x) = A Για τον πίνακα A = diag (λ 1, λ 2 ) βρείτε τις ισοσταθμικές καμπύλες της αντίστοιχης τετραγωνικής μορφής (Απάντηση: ελλείψεις ή υπερβολές) Ομοια για τον πίνακα A = diag (λ 1, λ 2, λ 3 ), βρείτε τις ισοσταθμικές επιφάνειες της αντίστοιχης τετραγωνικής μορφής 341 Θετικά ορισμένοι πίνακες Η μελέτη της παραγράφου αυτής είναι προαιρετική, διότι το περιεχόμενό της δεν είναι απαραίτητο για τα επόμενα Το πρόβλημα που θα μας απασχολήσει είναι το εξής: Για ποιούς συμμετρικούς πίνακες A η τετραγωνική μορφή φ (x) = x T Ax παίρνει μόνο θετικές τιμές; Η απάντηση δεν είναι προφανής ακόμα και σε απλές περιπτώσεις, πχ η τετραγωνική μορφή x 2 + 4xy + 2y 2 εμφανίζει σάγμα στο (, ) άρα παίρνει και θετικές και αρνητικές τιμές Για μία εισαγωγή στα κρίσιμα σημεία βαθμωτών πεδίων βλ Παράγραφο 126

78 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Ορισμός 343 Μία τετραγωνική μορφή φ λέγεται θετικά ορισμένη αν φ (x) >, x R n {} Δηλαδή για μία θετικά ορισμένη τετραγωνική μορφή φ, το σημείο R n είναι ολικό ελάχιστο, με φ (x) > φ () =, x = Ανάλογα ένας συμμετρικός πίνακας A θα λέγεται θετικά ορισμένος αν x T Ax >, x R n {} Στην περίπτωση των δύο διαστάσεων η απάντηση στο παραπάνω ερώτημα είναι γνωστή: Η τετραγωνική μορφή φ (x, y) = a 11 x 2 + 2a 12 xy + a 22 y 2 είναι θετικά ορισμένη αν και μόνο αν a 11 > και a 11 a 22 a 2 12 >, δηλαδή αν 2 φ/ x 2 > και det A >, βλ Παράγραφο 126 στο Παράρτημα Για μία παιδαγωγική απόδειξη παραπέμπουμε στο [7] Ανάλογα ισχύουν για αρνητικά ορισμένες τετραγωνικές μορφές Πράγματι η φ έχει μέγιστο εκεί που η φ έχει ελάχιστο, αρκεί λοιπόν να αλλάξουμε τα πρόσημα των στοιχείων του πίνακα A Συμπεραίνουμε ότι η τετραγωνική μορφή φ (x, y) = a 11 x 2 +2a 12 xy+ a 22 y 2 είναι αρνητικά ορισμένη αν και μόνο αν a 11 < και a 11 a 22 a 2 12 > Σημειώνουμε ότι η συνθήκη det A > δεν μπορεί να παραλειφθεί Για παράδειγμα η τετραγωνική μορφή φ (x, y) = (x y) 2 παίρνει μη αρνητικές τιμές αλλά δεν είναι θετικά ορισμένη διότι a 11 a 22 a 2 12 = Πράγματι η φ μηδενίζεται όχι μόνο στο (, ), αλλά σε ολόκληρη την ευθεία y = x, Σχήμα 32 x z y Σχήμα 32: Γράφημα της z = (x y) 2 Μία τέτοια τετραγωνική μορφή λέγεται θετικά ημιορισμένη, όπου το πρόθεμα ημι- σημαίνει ότι η φ μπορεί να παίρνει και μηδενικές τιμές, φ (x, y) (x, y) R 2 Αν det A <, τότε η φ είναι μη ορισμένη, δηλαδή παίρνει και θετικές και αρνητικές τιμές Ειδικές περιπτώσεις με a 11 a 22 a 2 12 < είναι οι φ 1 (x, y) = xy

34 ΔΙΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΚΑΙ ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ 79 και φ 2 (x, y) = x 2 y 2 για τις οποίες το (, ) είναι σαγματοειδές σημείο, βλ Παράρτημα Ποιοί από τους παρακάτω πίνακες είναι θετικά ορισμένοι; Γράψετε τις αντίστοιχες τετραγωνικές μορφές 1 3 1 1 2 3 1 2 (a), (b), (c), (d) 3 5 1 1 3 5 2 8 Αν ένας 2 2 συμμετρικός πίνακας περνάει το τεστ a 11 > και a 11 a 22 a 2 12 >, τότε οι ιδιοτιμές του είναι θετικές Βρείτε τους 3 3 πίνακες που αντιστοιχούν στις τετραγωνικές μορφές φ και ψ φ (x 1, x 2, x 3 ) = x 2 1 + x2 2 + x2 3 2x 1x 2 2x 1 x 3 + 2x 2 x 3, ψ (x 1, x 2, x 3 ) = x 2 1 + 2x 2 2 + 3x 2 3 2x 1 x 2 2x 1 x 3 4x 2 x 3 Εξετάστε αν φ και ψ είναι θετικά ορισμένες Ερχόμαστε στη γενική περίπτωση όπου A είναι ένας n n συμμετρικός πίνακας Συμβολίζουμε με A 1, A 2,, A n τους άνω αριστερά υποπίνακες του A, δηλαδή A 1 = [a 11 ], A 2 = a 11 a 12 a 21 a 22, A 3 = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33,, A n = A Θεώρημα 341 Εστω A ένας n n συμμετρικός πίνακας Οι παρακάτω προτάσεις είναι ισοδύναμες: (α) Ο A είναι θετικά ορισμένος, δηλαδή x T Ax > για κάθε μη μηδενικό x R n (β) Οι ιδιοτιμές του A είναι θετικές (γ) Ολοι οι άνω αριστερά υποπίνακες του A έχουν θετική ορίζουσα Απόδειξη (α) (β) Εστω λ μία ιδιοτιμή του A με αντίστοιχο κανονικοποιημένο ιδιοδιάνυσμα u, άρα u T u = 1 Τότε Au = λu u T Au = u T λu = λu T u = λ Αλλά λόγω της (α), u T Au >, άρα λ >

8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ (β) (α) Εστω ότι οι ιδιοτιμές του A είναι λ 1, λ 2,, λ n, με αντίστοιχα ορθοκανονικά ιδιοδιανύσματα u 1, u 2,, u n, τα οποία αποτελούν βάση του R n Τότε κάθε x R n γράφεται ως x = c 1 u 1 + c n u n και Άρα Ax = A (c 1 u 1 + c n u n ) = c 1 Au 1 + c n Au n = c 1 λ 1 u 1 + c n λ n u n x T Ax = c 1 u T 1 + c n u T n (c1 λ 1 u 1 + c n λ n u n ) = c 2 1λ 1 + c 2 nλ n Λόγω της (β), λ i >, άρα x T Ax > (α) (γ) Αποδεικνύουμε πρώτα ότι αν A είναι θετικά ορισμένος, τότε όλοι οι υποπίνακες A k είναι θετικά ορισμένοι Θεωρούμε τα διανύσματα x R n με μηδενικές τις τελευταίες n k συνιστώσες, οπότε x T Ax = x T k A k x k = x T k A k x k Λόγω της (α) x T Ax >, άρα x T k A kx k > για όλα τα μη μηδενικά x k, άρα κάθε A k είναι θετικά ορισμένος Οπως ήδη δείξαμε, τούτο σημαίνει ότι οι ιδιοτιμές των A k είναι θετικές Αλλά det A k = γινόμενο των ιδιοτιμών του A k, συνεπώς det A k > (γ) (α) Παραπέμπουμε στη βιβλιογραφία [6, 7] Ως παράδειγμα που σκιαγραφεί το θεώρημα θεωρούμε τον πίνακα 2 1 A = 1 2 1 1 2 Χρησιμοποιούμε το κριτήριο (β) ή (γ) του θεωρήματος Οι ιδιοτιμές 2, 2 + 2, 2 2 είναι όλες θετικές, οι ορίζουσες των άνω αριστερά υποπινάκων είναι θετικές, det A 1 = 2, det A 2 = 3, det A 3 = det A = 4, κατά συνέπεια μπορούμε να πούμε ότι με x T = [x, y, z], η τετραγωνική μορφή x T Ax = 2 x 2 yz xy + y 2 + z 2 είναι θετικά ορισμένη Φυσικά στο ίδιο συμπέρασμα, αλλά με μεγαλύτερο κόπο θα κατέληγε ένας μαθητής Γυμνασίου γράφοντας την τετραγωνική μορφή ώς άθροισμα τετραγώνων 2 x 2 yz xy + y 2 + z 2 = 2 x 1 2 2 y + 3 y 2 2 2 3 z + 4 3 z2

34 ΔΙΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΚΑΙ ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ 81 342 Αναγωγή μιας τετραγωνικής μορφής σε κανονική μορφή Οι τετραγωνικές μορφές έχουν ενδιαφέρουσες γεωμετρικές ιδιότητες που βασίζονται στην κύρια ιδιότητα των συμμετρικών πινάκων: Κάθε συμμετρικός πίνακας διαγωνοποιείται από ένα ορθογώνιο πίνακα Υπενθυμίζουμε ότι τα ιδιοδιανύσματα ενός συμμετρικού πίνακα είναι ορθογώνια Ακόμα, αν u είναι ένα ιδιοδιάνυσμα του A, τότε και κάθε πολλαπλάσιο του αu, α R, είναι επίσης ιδιοδιάνυσμα με την ίδια ιδιοτιμή Συνεπώς αν διαιρέσουμε τα ιδιοδιανύσματα u 1,, u n ενός συμμετρικού πίνακα A με τη norm τους παίρνουμε τα ορθοκανονικά διανύσματα u 1 / u 1,, u n / u n, ας τα συμβολίσουμε με v 1,, v n Άρα ο πίνακας με στήλες τα v 1,, v n που διαγωνοποιεί τον A είναι ορθογώνιος, δηλαδή αν P = [v 1 v n ], τότε P 1 = P T Ας θεωρήσουμε το σύνολο στάθμης της φ που ορίζεται από την εξίσωση φ (x) = 1, ή x T Ax = 1 (342) Σε δύο διαστάσεις η (342) παριστάνει μία ισοσταθμική καμπύλη της φ, ενώ σε τρεις διαστάσεις παριστάνει μία ισοσταθμική επιφάνεια Παράδειγμα 343 Αν A = I, τότε η (342) παριστάνει κύκλο ή σφαίρα Παράδειγμα 344 Αν A είναι διαγώνιος, (A = diag (λ 1,, λ n ) με μία τουλάχιστον λ i > ), τότε η (342) σε δύο διαστάσεις γράφεται λ 1 x 2 1 + λ 2x 2 2 = 1, και παριστάνει έλλειψη ή υπερβολή, ενώ σε τρεις διαστάσεις γράφεται λ 1 x 2 1 + λ 2x 2 2 + λ 3x 2 3 = 1, (343) και παριστάνει ελλειψοειδές ή υπερβολοειδές Στην παράγραφο αυτή θα δείξουμε ότι η εξίσωση (342) ανάγεται με κατάλληλο γραμμικό μετασχηματισμό συντεταγμένων στη μορφή (343) Παράδειγμα 345 Εστω A μη διαγώνιος, πχ 5 4 A = 4 5 Οι ιδιοτιμές είναι λ 1 = 1 και λ 2 = 9, με αντίστοιχα (κανονικοποιημένα) ιδιοδιανύσματα u T 1 = 1/ 2, 1/ 2 και u T 2 = 1/ 2, 1/ 2 Τα u 1, u 2 είναι κάθετα

82 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Σχήμα 33: Ελλειψη με μεγάλο ημιάξονα κατά την διεύθυνση 1 / 2, 1/ 2 T και μικρό κατά την διεύθυνση 1 T 3 1/ 2, 1/ 2 μεταξύ τους και σχηματίζουν 45 με τα διανύσματα της συνήθους βάσης, βλ Σχήμα 33 Η εξίσωση (342) της ισοσταθμικής καμπύλης της τετραγωνική μορφή x T Ax γράφεται 5x 2 1 + 8x 1x 2 + 5x 2 2 = 1 και παριστάνει έλλειψη Πράγματι, με στροφή των συντεταγμένων με τον P = [u 1 u 2 ] θα έχουμε: x = P y x T = y T P T και P T AP = Λ := diag (λ 1, λ 2 ), οπότε x T Ax = y T P T AP y = y T Λy Συνεπώς η εξίσωση (342) της ισοσταθμικής καμπύλης στις νέες συντεταταγμένες y 1, y 2, γράφεται y T Λy = 1 y1 2 + 9y2 2 = 1 Το παράδειγμα αυτό μας οδηγεί στην γενίκευση ως εξής Εστω A συμμετρικός πίνακας με ιδιοτιμές λ 1,, λ n και αντίστοιχα ορθοκανονικά ιδιοδιανύσματα u 1,, u n Ως γνωστόν ο πίνακας P = [u 1 u n ] είναι ορθογώνιος και P T AP = diag (λ 1,, λ n ) =: Λ Σύμφωνα με το Παράδειγμα 345 θα έχουμε το παρακάτω θεώρημα, βλ και [6] Θεώρημα 342 Η εξίσωση x T Ax = 1 ανάγεται στην λ 1 y1 2 + + λ nyn 2 = 1, (344) στη βάση των ιδιοδιανυσμάτων του A, δηλαδή στο σύστημα συντεταγμένων y που προκύπτει με στροφή x = P y Στην περίπτωση θετικών ιδιοτιμών οι άξονες του ελλειψοειδούς έχουν μήκη 1/ λ 1,, 1/ λ n και στο αρχικό σύστημα συντεταγμένων x i έχουν τη διεύθυνση των ιδιοδιανυσμάτων

34 ΔΙΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΚΑΙ ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ 83 Η απόδειξη ακολουθεί την ανάλυση του Παραδείγματος 345 Θέτοντας y 2 = y 3 = = y n = στην (344) παίρνουμε y 1 = ±1/ λ 1 και όμοια βρίσκουμε ότι το ελλειψοειδές τέμνει τους άξονες στα σημεία y i = ±1/ λ i Ο μέγιστος άξονας του ελλειψοειδούς αντιστοιχεί στη μικρότερη ιδιοτιμή Οι διευθύνσεις των u 1,, u n λέγονται κύριες διευθύνσεις και οι αντίστοιχοι ά- ξονες λέγονται κύριοι άξονες του ελλειψοειδούς Ποιό είναι το γράφημα της φ (x) = 1 με φ (x) = x T Ax, όπου A = 1 1 3 1 5 1 3 1 1