Κεφάλαιο Ειδικές Συναρτήσεις. Εισαγωγή Όπως θα φανεί στις επόμενες παραγράφους, τα μαθηματικά αποτελούν το θεμέλιο λίθο, αλλά και την οδό της επίλυσης του φυσικού προβλήματος. Γι αυτό παρουσιάζονται πιο κάτω χρήσιμες βασικές συναρτήσεις που συναντώνται στην επίλυση προβλημάτων και εφαρμογών, που βάση, κυρίως, έχουν τη Φυσική. Άλλες εφαρμογές αναπτύσσονται και σε άλλους κλάδους, όπως π.χ. η συνάρτηση Β και Γ χρησιμοποιούνται και στη Στατιστική. Άλλες πάλι ειδικές μορφές συναρτήσεων, όπως οι υπεργεωμετρικές χρησιμοποιούνται στην επίλυση διαφορικών εξισώσεων. Παραλείπονται οι περίπλοκες και σε πολλές περιπτώσεις περίτεχνες αποδείξεις αφού στόχος είναι να πειστεί ο αναγνώστης για τη χρησιμότητα των μεθόδων και όχι να εντρυφήσει στις υπέροχες αποδείξεις.
Τεχνολογικά Μαθηματικά και Στατιστική, Τόμος ΙΙ. Εξίσωση του Lalac Συστήματα Συντεταγμένων H πιο συνηθισμένη εξίσωση σε θέματα μαθηματικής φυσικής, είναι μάλλον η εξίσωση του Lalac, δηλαδή η εξίσωση.. όπου φ είναι η συνάρτηση φ,,z που περιγράφει το φυσικό φαινόμενο υπό μελέτη. Άρα το μαθηματικό πρόβλημα είναι αν και ποιες συναρτήσεις φ, ικανοποιούν την.. που σε καρτεσιανές συντεταγμένες, είναι :.. z και καλείται τότε η φ αρμονική συνάρτηση. Παράδειγμα.. : Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση φ, είναι αρμονική με : φ,=log Πρέπει να ισχύει η... Είναι :,, οπότε φ + φ = ο.ε.δ. Αν για παράδειγμα η συνάρτηση φ περιγράφει το ηλεκτροστατικό δυναμικό lctostatic ottial ενός συστήματος, η φ,,z θα είναι σταθερή πάνω σε μία αγώγιμη επιφάνεια couctig sufac. Σε πολλές περιπτώσεις, αυτές οι συντεταγμένες, δες Κεφάλαιο 5, Τόμου Ι, που ορίζεται μια συνάρτηση φ, είναι επιθυμητό να είναι ορισμένη σε μη καρτεσιανές κυρτές συντεταγμένες. Δηλαδή το σύστημα συντεταγμένων,, z, μετατρέπεται, ακριβέστερα μετασχηματίζεται, στο,,, μέσω των γενικών σχέσεων : =,, =,, z = z,,.. Η Jacobia του μετασχηματισμού, δες ενότητα 8.5 Τόμου Ι είναι τότε,, z Jac,,
Κεφ.. Ειδικές Συναρτήσεις Σε μία τέτοια περίπτωση η γενική μορφή της.. μετατρέπεται σε, δες και ε- νότητα 7., τόμου Ι: z z i i i = i,=,,..4 με,, ορθογώνιο κυρτό σύστημα συντεταγμένων. Με ένα τέτοιο μετασχηματισμό το ευκλείδειο μήκος l και ο όγκος που ισούνται αντίστοιχα με: l = + + z..5α = z..5β μετατρέπονται σε : l..6α..6β με i i z i i..6γ Επιπλέον η Lalacia.. γίνεται :..7 Ενώ το gaφ υπολογίζεται : ga..7α με,, το ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων, που συνήθως αναφέρεται στην βιβλιογραφία των φυσικών επιστημών i = =,,, = =,,, = =,,. Αν δε = + + είναι η διανυσματική συνάρτηση, τότε ο μετασχηματισμός των iv και cul, δες ενότητα.8, τόμου Ι, είναι :
4 Τεχνολογικά Μαθηματικά και Στατιστική, Τόμος ΙΙ iv..7β cul..7γ Παράδειγμα.. : Έστω ότι το διάνυσμα,, z μετασχηματίζεται σε κυλινδρικές συντεταγμένες : = ρ θ, = ρ siθ, z = z..8ι άρα,, = ρ, θ, z. Τότε από την..6γ εύκολα φαίνεται ότι : = θ + si θ + =, = ρ, = Οπότε η..7 μετατρέπεται στην : z..8 Στην περίπτωση αυτή είναι : z l z Παράδειγμα..: Με σφαιρικές συντεταγμένες ρ, ω, θ που ορίζονται ως : = ρsiθω, = ρsiθsiω, z = ρθ..9ι η εξίσωση Lalac είναι ο κοινός παράγων /ρ παραλήφθηκε si si si Επί πλέον : l si si..9
Κεφ.. Ειδικές Συναρτήσεις 5 Παράδειγμα..4: Με υπερβολικές συντεταγμένες α, ξ, η που ορίζονται ως : = αξη, = αsiξsiη, z = z..ι η εξίσωση Lalac είναι : z.. Παράδειγμα..5: Με παραβολικές συντεταγμένες ξ, η, θ που ορίζονται ως : = θ, = siθ, z =..ι η εξίσωση Lalac είναι στην περίπτωση αυτή : 4 4.. Παράδειγμα..6: Αντιμετωπίζεται πλήρως η πιο κάτω περίπτωση πολικών συντεταγμένων,δες ενότητα., τόμου Ι. Αν = ρθ si τότε.. Πράγματι : Από την παραγώγιση των si και si ως προς είναι: si si si Άρα : si Όμοια παραγωγίζοντας ως προς είναι :
6 Τεχνολογικά Μαθηματικά και Στατιστική, Τόμος ΙΙ si Όποτε υπολογίζονται ότι : si Από τις σχέσεις αυτές υπολογίζεται εύκολα τότε ότι : si si si si Όμοια και οι διπλάσιοι οροί έχουν αντίθετο πρόσημο. Όποτε προσθέτοντας η προς απόδειξη. Συγκρίνατε την.. και..8. Παράδειγμα..7 : Αν / τότε f f Ποία η Lalacia της f Μία λύση της Lalacia είναι η /. Πράγματι: k f z f f i f k z i f f z k i f
Κεφ.. Ειδικές Συναρτήσεις 7 f f f f f f f f Εύκολα υπολογίζεται ότι : f. f Παράδειγμα..8 : Αν Ε παριστά το διάνυσμα του ηλεκτρικού πεδίου και το Β το διάνυσμα του μαγνητικού πεδίου. Τότε υπακούουν στις γνωστές εξισώσεις του Mawll, δηλαδή : E B E, t, B B E t με c την ταχύτητα του φωτός, ρ την πυκνότητα, ε και μ θεμελιώδεις σταθερές. Σημείωση: Ο Σκότος φυσικός Jas Clack Mawll 8-879 οδηγήθηκε στο συμπέρασμα ότι το φως είναι ηλεκτρομαγνητικό φαινόμενο. Ο Mawll δημοσίευσε το πρώτο του άρθρο στην Roal Socit του Eibug, όταν ακόμη ήταν στο σχολείο.. Η συνάρτηση δ του Diac Σε πολλές περιπτώσεις στην Φυσική κυρίως, υπάρχουν φαινόμενα με μη μηδενικές τιμές, σε πολύ μικρά διαστήματα, οπότε η λεγομένη συνάρτηση δ του Diac, που χρησιμοποιείται κατά κόρον στην κβαντομηχανική, έρχεται να καλύψει αυτό το φυσικό πρόβλημα. Θεωρούμε την συνάρτηση :, ; α..,
8 Τεχνολογικά Μαθηματικά και Στατιστική, Τόμος ΙΙ.. τότε : ; Από το Θεώρημα της Μέσης Τιμής του ολοκληρωτικού λογισμού, για κάθε συνάρτηση f ολοκληρώσιμη στο διάστημα -α, α είναι : f δα; f f a, α Αν ορισθεί δ=li a-> δα; τότε :.. Η συνάρτηση ικανοποιεί τις σχέσεις: δ=, αν..α..β Ορισμός.. : Η «συνάρτηση» δ ως ανωτέρω είναι γνωστή ως συνάρτηση δ του Diac. Η «συνάρτηση» δ, αν και περίεργα ορισμένη, προσφέρεται προς εφαρμογή στα θέματα φυσικής, γι αυτό και ο Diac την ονόμασε «μη γνήσια συνάρτηση». Σημειώνεται ότι οι μεταβολές της δ κοντά στο μηδέν, δεν είναι σημαντικές αν υποτεθεί ότι δεν είναι και πολύ απότομες έντονες. Η συνάρτηση : si δ=li η->..4 πληροί τις συνθήκες..α,..β και συμπεριφέρεται όπως η... Από την..α είναι : ή γενικότερα : f f..5 f f a..5α
Κεφ.. Ειδικές Συναρτήσεις 9 Η..5α αποδεικνύει ότι το «πολύπλοκο» ολοκλήρωμα στο δεξί μέρος της..5α είναι ίσο, με την τιμή της συνάρτησης στη θέση α. Εύκολα αποδεικνύεται ότι : δ- = δ, δλ = δ δλ - =, λ> f f.. Η συνάρτηση του Havisi Σε πολλές περιπτώσεις αναφέρεται ότι η συνάρτηση δ είναι η παράγωγος της μοναδιαίας συνάρτησης του Oliv Havisi 85-95. Ορισμός.. : Η μοναδιαία συνάρτηση του Havisi Η ορίζεται ως:, > Η=, < Για κάθε ολοκληρωμένη συνάρτηση f είναι :.. f H f.. Συγκρίνοντας την.. με την.. 5 φαίνεται η σχέση μεταξύ Η και δ. Από αυτές τις δύο εξισώσεις φαίνεται ότι η δ δεν είναι συνάρτηση, μα ένα μέτρο Stilts. Ως εκ τούτου η χρησιμοποίηση της δ συνάρτησης Diac, θα μπορούσε να αποφευχθεί με την συστηματική χρήση του ολοκληρώματος κατά Stilts που, ο Αναγνώστης θα συνάντηση στο κεφάλαιο..4 Οι συναρτήσεις Β, Γ και δίγαμμα. Η σταθερά γ. Παρακάτω ορίζονται δύο πολύ σημαντικές κατηγορίες συναρτήσεων, οι συναρτήσεις Γ και Β. Οι συναρτήσεις αυτές χρησιμοποιούνται τόσο στην Στατιστική, όσο
Τεχνολογικά Μαθηματικά και Στατιστική, Τόμος ΙΙ και στα εφαρμοσμένα μαθηματικά. Ορίζεται πρώτα η Γ, που εξαρτάται από μια παράμετρο, και κατόπιν η Β, που εξαρτάται από δυο παραμέτρους, και. Ορισμός.4.: Το παρακάτω ολοκλήρωμα ορίζει την συνάρτηση Γ με παράμετρο : Σημειώνεται ότι το ολοκλήρωμα Γ συγκλίνει με. Πρόταση.4. : Για τη συνάρτηση Γ ισχύουν τα κάτωθι : i Γ = ii Γ = Γ iii Γ =!, N.4. iv Γ = v Γ Γ = Γ Γ vi Γ = li!... vii Γ - =,,, Q!! viii!! Όταν το είναι αρνητικό ορίζεται η συνάρτηση Γ μέσω της ii. 5 Παράδειγμα.4. Υπολογίσατε τις τιμές της συνάρτησης Γ :, Γ, 5 Γ.
Κεφ.. Ειδικές Συναρτήσεις Είναι : = από ii = από iv = Γ 5 = = 4 4 άρα π 5 8 5. Παράδειγμα.4.: Υπολογίσατε το,, k I k, με k,, >. Θέτοντας k = υπολογίζεται ότι το ολοκλήρωμα είναι : k k I = k = k Εφαρμογή : Ι,,5 = ; Ορισμός.4.: Το παρακάτω ολοκλήρωμα ορίζει την συνάρτηση B με παραμέτρους και.,.4. Πρόταση.4.: Για τη συνάρτηση Β, ισχύουν τα κάτωθι : i B, =