ΧΕΙΡΙΣΜΟΣ ΠΑΘΗΤΙΚΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΣΤΟ ΔΙΑΣΤΗΜΑ ΑΠΟ ΑΙΩΡΟΥΜΕΝΑ ΡΟΜΠΟΤ ΣΕ ΤΡΟΧΙΑ

ΧΕΙΡΙΣΜΟΣ ΠΑΘΗΤΙΚΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΣΤΟ ΔΙΑΣΤΗΜΑ ΑΠΟ ΑΙΩΡΟΥΜΕΝΑ ΡΟΜΠΟΤ ΣΕ ΤΡΟΧΙΑ Γεώργιος Ρεκλείτης και Ευάγγελος Παπαδόπουλος Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο (ΕΜΠ) Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών, Εργαστήριο Αυτομάτου Ελέγχου Ηρώων Πολυτεχνείου 9, 1578, Ζωγράφου, Αθήνα email: [georgek],[egpapao]@central.ntua.gr ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η εκμετάλλευση του διαστήματος απαιτεί αποδοτικές τεχνικές χειρισμού παθητικών σωμάτων σε τροχιακό περιβάλλον. Η εργασία αυτή παρουσιάζει μία μέθοδο χειρισμού με παράλληλη χρήση on-off προωθητήρων και αναλογικών δυνάμεων βραχιόνων, ώστε να επιτύχουμε αποδοτικότερο χειρισμό. Η μέθοδος παρουσιάζεται με χρήση μονοδιάστατου μοντέλου. Αναπτύσσεται ένας καινοτόμος έλεγχος, βασιζόμενος στη μέθοδο backstepping και στην ευστάθεια κατά Lyapunov και αναλύεται η λειτουργία του. Παρουσιάζεται η υπεροχή της μεθόδου σε σχέση με την κλασική μέθοδο που χρησιμοποιεί μόνο οn-off προωθητήρες, καθώς και μία πρώτη προσέγγιση της επέκτασης του ελέγχου σε δύο διαστάσεις. Λέξεις κλειδιά: Διαστημική ρομποτική, συνεργατικός χειρισμός, έλεγχος. 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η εμπορική χρήση του διαστήματος και ο αυξανόμενος αριθμός τροχιακών κατασκευών απαιτούν συστήματα ικανά για εργασίες όπως κατασκευή, διασύνδεση συστημάτων, επικούρηση σε εργασίες αστροναυτών κ.ά. (On-Orbit Servicing (OOS)), για την απαλλαγή αστροναυτών από δύσκολες και επικίνδυνες εργασίες. Σχήμα 1. Χειρισμός άκαμπτου παθητικού σώματος από συνεργαζόμενα free-flying ρομπότ με βραχίονες. Το ρομποτικό OOS μελετάται τα τελευταία 2 χρόνια και έχει δώσει αρκετές πρότυπες ιδέες και μηχανισμούς (Tatsch, Α. et al 26). Σημαντικές τροχιακές εργασίες όπως συναρμολόγηση, χειρισμός τροχιακών «απορριμμάτων» κ.λπ., απαιτούν χειρισμό παθητικών σωμάτων. Παρ όλες τις μελέτες που έχουν γίνει (Yoshia K, 2), η διαδικασία του χειρισμού παθητικού σώματος από ρομπότ συνδεδεμένα με αυτό, δεν έχει μελετηθεί επαρκώς. Αυτή η διεργασία παρουσιάζει ιδιαίτερες δυσκολίες και περιλαμβάνει προβλήματα από τον επίγειο συνεργατικό χειρισμό παθητικών σωμάτων

και την συντεταγμένη κίνηση σωμάτων που αλληλεπιδρούν σε περιβάλλον μηδενικής βαρύτητας, όπου η έλλειψη σταθερού σημείου οδηγεί στη συσσώρευση ορμής. Παρόλο που έχουν κατασκευαστεί πρωτότυπα ρομποτικά συστήματα για OOS (Matsumoto S. 21), υπάρχουν λίγες θεωρητικές μελέτες πάνω σε δυναμική και έλεγχο κίνησης παθητικού σώματος εγκλωβισμένου από ρομπότ (Rekleitis G., Papaopoulos E. 21). Η παρούσα εργασία παρουσιάζει μια στρατηγική, η οποία χρησιμοποιεί τόσο τις on-off δυνάμεις των προωθητήρων όσο και τις αναλογικές δυνάμεις των βραχιόνων ρομπότ σε τροχιά, για τον χειρισμό άκαμπτου παθητικού σώματος (Σχήμα 1). 2 ΧΕΙΡΙΣΜΟΣ ΑΠΟ ΡΟΜΠΟΤ ΣΕ ΤΡΟΧΙΑ Υπάρχουν αρκετές μέθοδοι για τον χειρισμό ενός παθητικού άκαμπτου σώματος στο διάστημα. Μία τέτοια μέθοδος είναι η χρήση on-off δυνάμεων, με την επικόλληση για παράδειγμα, προωθητήρων στο παθητικό σώμα. Μία άλλη μέθοδος είναι η χρήση ρομπότ με βραχίονες, όπως φαίνεται στο Σχήμα 1. Ο έλεγχος παθητικού σώματος με χρήση μόνο των προωθητήρων των ρομπότ (σταθερή άμεση σύνδεση, χωρίς ενεργοποίηση ή ύπαρξη βραχιόνων), είναι ο ίδιος με τον έλεγχο του σώματος σώμα (π.χ. δορυφόρο), με χρήση των δικών του προωθητήρων. Ο έλεγχος αυτός σήμερα είναι τύπου on-off και οι προωθητήρες ενεργοποιούνται μέσω PD ελεγκτή με είσοδο τα σφάλματα. Για να δείξουμε τους περιορισμούς που προκύπτουν από αυτή τη μέθοδο, μελετάται αρχικά ένα απλοποιημένο μονοδιάστατο μοντέλο, οι εξισώσεις κίνησης του οποίου, είναι: m u u (1) 1 2 όπου m είναι η μάζα του συστήματος, είναι η θέση του και u 1 και u 2 είναι οι on-off δυνάμεις ελέγχου, όπως φαίνεται στο Σχήμα 2α. (α) (β) Σχήμα 2. Μονοδιάστατο μοντέλο παθητικού σώματος, ελεγχόμενο (α) από προωθητήρες και (β) από ρομπότ με βραχίονες. Ο ενεργοποιούμενος από PD, on-off έλεγχος, δίνεται από: uma if K Pe KDe uma if K Pe KDe u1 u2 (2) if K Pe KDe if Ke P Ke D όπου e = es, είναι το σφάλμα θέσης του παθητικού σώματος, u ma είναι η δύναμη που εφαρμόζει ένας ανοιχτός προωθητήρας, ενώ η f t εισάγει μία «νεκρή ζώνη» στον ελεγκτή, για να αποφευχθεί η έντονη ταλάντωση των βαλβίδων των προωθητήρων (chattering). Στο Σχήμα 3 φαίνεται μια τυπική απόκριση αυτού του συστήματος, όπου μπορούμε να παρατηρήσουμε το φαινόμενο του limit-cycle, το οποίο οδηγεί σε αυξημένη κατανάλωση καυσίμου. Για να βελτιώσουμε την απόδοση του συστήματος, μελετάμε στη συνέχεια τη χρήση βραχιόνων στο χειρισμό του παθητικού σώματος.

Στόχος μας είναι η ακριβής κίνηση του παθητικού σώματος σε επιθυμητή τροχιά, χωρίς την εμφάνιση φαινομένων limit cycle, με τα ρομπότ ελέγχου να παραμένουν σε απόσταση από το σώμα μέσα στο εύρος έκτασης των βραχιόνων τους και η μέγιστη μείωση κατανάλωσης καυσίμου των προωθητήρων. Σχήμα 3. Τυπική απόκριση ενός PD ενεργοποιούμενου on-off ελέγχου, με φαινόμενο limit cycle. 3 ΑΠΛΟΠΟΙΗΜΕΝΟ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Για να εξαχθούν βασικά συμπεράσματα για τη δυναμική συμπεριφορά και τις ανάγκες ελέγχου μέσω βραχιόνων, αναλύεται αρχικά ένα απλοποιημένο μονοδιάστατο μοντέλο του συστήματος (Σχήμα 2β). Ένα παθητικό σώμα μάζας m κινείται ευθύγραμμα και δύο ρομπότ με προωθητήρες μαζών m 1 και m 2, εκατέρωθεν του σώματος, το χειρίζονται μέσω των βραχιόνων τους. Προς το παρόν, υποθέτουμε σταθερή αρπαγή του παθητικού σώματος από τα άκρα εργασίας των βραχιόνων των ρομπότ. Οι προωθητήρες του κάθε ρομπότ που κοιτάνε προς το παθητικό σώμα, είναι ανενεργοί για λόγους ασφαλείας και αυτός είναι ο λόγος που χρειαζόμαστε δύο ρομπότ. Η μοναδικές εξωτερικές δυνάμεις που ασκούνται στο σύστημα και μετατοπίζουν το κέντρο μάζας του, είναι οι δυνάμεις των προωθητήρων των ρομπότ u 1 και u 2 (Σχήμα 2β). Επίσης, οι μόνες δυνάμεις που επενεργούν απευθείας πάνω στο παθητικό σώμα είναι οι δυνάμεις των βραχιόνων (u 1 και u 2 ), «φιλτράροντας» την επίδραση σε αυτό των οn-off δυνάμεων των προωθητήρων. Οι δυναμικές εξισώσεις κίνησης ως προς τα σφάλματα, είναι: 1 1 m m u 1 e _ es 1 m m1 1 1 1 u e m1 1 m mm u2 e 2 1 m m2 1 u 2 e όπου, e _es e 1 1 m /2 e 1 2 m /2 m mm2 m2 με u 1 >, u 2 < σε on-off κατάσταση, ενώ στα σφάλματα e i, _es είναι η επιθυμητή τιμή της θέσης του παθητικού σώματος και m είναι η μέγιστη έκταση των βραχιόνων. (3) 4 ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ Για να αναπτυχθεί ο νόμος ελέγχου, χρησιμοποιήθηκε η μεθοδος backstepping (Krstic et al 1995). Σύμφωνα με τη μέθοδο αυτή, ένα μη γραμμικό σύστημα, μπορεί να οδηγηθεί σε γραμμική συμεριφορά, αν δεν υπάρχει αβεβαιότητα στο δυναμικό μοντέλο του. Ένα σημαντικό χαρακτηριστικό της μεθόδου είναι ότι, σε αντίθεση με άλλες μεθόδους, αποφεύγει την απαλοιφή μη γραμμικών ποσοτήτων, ιδιαίτερα χρήσιμων για την ευστάθεια και τον έλεγχο του συστήματος. Με χρήση των δυναμικών εξισώσεων (3) και τη μεθοδολογία αυτή προκύπτει:

m m u1 K e Ke m1 K1 e1 K1e1 m2 K2 e2 K2e2 _ es 2 2 (4) m m u2 K e Ke m1 K1 e1 K1e1 m2k2 e2 K2e2 _ es 2 2 m m u1 _ es m2k2e 2K2e2 m1ke Ke 2 2 (5) m m u2 _ es mk 1 1e 1Ke 1 1 m2ke Ke 2 2 όπου Κ i (i =,1,2) τα κέρδη ελέγχου ενώ οι u 1 και u 2 είναι προς το παρόν αναλογικές δυνάμεις. Στην περίπτωσή μας όμως, οι δυνάμεις αυτές είναι οι on-off δυνάμεις των προωθητήρων. Έτσι, πρέπει να αναπτυχθεί μία στρατηγική switching, βασισμένη στις εξισώσεις (5). Μία τέτοια στρατηγική είναι να ενεργοποιείται ο κάθε προωθητήρας, όταν η ποσότητα που υπολογίστηκε μέσω backstepping (εξισώσεις (5)), υπερβαίνει ένα όριο f t. Έτσι, ο τελικός αλγόριθμος ελέγχου, αποτελείται από τις εξισώσεις (4) και (6). m m f if m _ es m2k2 e 2 K2e2 m1 K e Ke 2 2 u1 m m if _ es mk 2 2 e 2 Ke 2 2 m1 K e Ke 2 2 (6) m m fmif _ es m1k1 e 1 K1e1 m2 K e Ke 2 2 u2 m m if _ es mk 1 1e 1 Ke 1 1 m2 K e Ke 2 2 Αφού οι μόνες δυνάμεις που ασκούνται στο παθητικό σώμα είναι το άθροισμα των δυνάμεων των βραχιόνων, ο έλεγχος αυτός οδηγεί σε έναν απλό PD έλεγχο ως προς το σφάλμα θέσης του σώματος αυτού. Επίσης, ο έλεγχος κάθε βραχίονα λαμβάνει υπόψη την απαίτηση να μένει κάθε ρομπότ σε μια μέση απόσταση από το παθητικό σώμα. Η ασυμπτωτική ευστάθεια της κίνησης του παθητικού σώματος μπορεί εύκολα να αποδειχτεί, χρησιμοποιώντας το θεώρημα ολικής ευστάθειας του Lyapunov. Για τις σχετικές κινήσεις των ρομπότ ως προς το παθητικό σώμα, δεν ενδιαφέρει η ασυμπτωτική ευστάθεια, παρά μόνο να μην ξεφεύγουν αυτές οι σχετικές μετατοπίσεις από προκαθορισμένα όρια. Η ύπαρξη των on-off δυνάμεων των προωθητήρων καθιστά την ανάλυση αυτών των κινήσεων ιδιαίτερα περίπλοκη. Χρησιμοποιώντας, όμως, απαγωγή σε άτοπο, αποδείχθηκε ότι οι και δύο κινήσεις αυτές είναι φραγμένες. 5 ΒΑΣΙΚΗ ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΔΙΣΔΙΑΣΤΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΚΙΝΗΣΗΣ Για να επεκταθεί η μέθοδος σε κίνηση σε δύο διαστάσεις, πρέπει να υπολογισθούν οι αναλογικές δυνάμεις u 1 και u 2, που πρέπει να ασκούνται από τους βραχίονες στο παθητικό σώμα (Σχήμα 4). Το δυναμικό μοντέλο αυτού του συστήματος, είναι: u 1_ m u 1_ u2_ 1 1 C D_ 1_ 1_ 2_ 1 1 u y m y u yu y CD_ y 2_ 1 1 2 2 1_ - 1_ 2_ - u I 2_ θ u u y y 2_ u D_ y C θ M u D Q CD E (7)

όπου i οι αποστάσεις από το κέντρο μάζας του συστήματος στα σημεία επαφής των δυνάμεων και C D το διάνυσμα επιθυμητού ελέγχου για, y και θ. Χρησιμοποιώντας πάλι τη μέθοδο backstepping, εξάγεται PD έλεγχος στα σφάλματα για τα τρία στοιχεία του C D. Παρόλα αυτά, η εξίσωση DQ E = C D δεν μπορεί να λυθεί ως προς τις Q E. Για να εξαχθεί το διάνυσμα των επιθυμητών δυνάμεων λύνεται πρόβλημα βελτιστοποίησης, χρησιμοποιώντας πολλαπλασιαστές Lagrange. Τελικά, οι επιθυμητές δυνάμεις είναι: T T 1 QED DD C (8) Η συμπεριφορά του συστήματος υπό τις δυνάμεις των εξισώσεων (8) είναι ιδιαίτερα καλή, ακόμα και στην περίπτωση που έχουμε υποθέσει απλή δύναμη επαφής από τους βραχίονες, χωρίς σταθερή αρπαγή του παθητικού σώματος από τα άκρα εργασίας τους. Για λόγους συντομίας, δεν παρουσιάζεται σχετικό γράφημα. Σχήμα 4. Δισδιάστατο μοντέλο παθητικού σώματος με τις αναλογικές δυνάμεις έλεγχου. 6 ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ Για την επιβεβαίωση της ευσταθούς συμπεριφοράς του ελέγχου και της ορθότητας της προτεινόμενης μεθόδου, εκτελέστηκαν αρκετές προσομοιώσεις. Υποθέτουμε παθητικό σώμα μάζας 4kg, ελεγχόμενο από δύο free-flying ρομπότ μάζας 9kg έκαστο, με δύναμη on-off προωθητήρα 5Ν και μέγιστο έκταση ρομποτικών βραχιόνων 3m. Σχήμα 5. Απόκριση του συστήματος με βραχίονες, για τραπεζοειδές προφίλ επιθυμητής ταχύτητας καθώς και σύγκριση απόδοσης για το σύστημα χωρίς (a) και (c) και το σύστημα με βραχίονες (b) και (). Αρχικά προσομοιώνεται πρόσθια κίνηση, με το παθητικό σώμα να πρέπει να ακολουθήσει ένα τραπεζοειδές προφίλ ταχύτητας. Έτσι, επιταχύνει αρχικά με.5 m/s 2 για 1s. Μετά, κινείται με σταθερή ταχύτητα.5 m/s για 4s και επιβραδύνεται μέχρι μηδενική ταχύτητα για άλλα 1s και παραμένει ακίνητο. Τα κέρδη ελέγχου είναι Κ = 1.5 και Κ 1 =Κ 2 =.8. Το Σχήμα 5 δείχνει την κίνηση των τριών σωμάτων, το σφάλμα θέσης του παθητικού σώματος και τις αποστάσεις μεταξύ ρομπότ και σώματος. Όπως φαίνεται, το παθητικό σώμα ακολουθεί πολύ καλά την επιθυμητή τροχιά, ενώ η σχετική κίνηση των ρομπότ με το σώμα, μένει μέσα στο περιθώριο του μέγιστου

μήκους των βραχιόνων τους. Έχοντας εξετάσει την ευστάθεια του ελέγχου, στη συνέχεια εξετάστηκε πειραματικά η ευρωστία του. Εκτεταμένες προσομοιώσεις με ανακριβείς εκτιμήσεις παραμέτρων, έδειξαν ότι το σύστημα επιδεικνύει ιδιαίτερα εύρωστη συμπεριφορά. Για λόγους συντομίας, τα αποτελέσματα αυτά παραλείπονται. Κύριος σκοπός της εισαγωγής βραχιόνων στον έλεγχο του παθητικού σώματος, είναι η βελτίωση στην ακρίβεια της κίνησης ως προς μια επιθυμητή τροχιά, αλλά και η μείωση της κατανάλωσης καυσίμου και γενικότερα ενέργειας, από τα ρομπότ ελέγχου. Αυτό φαίνεται στο Σχήμα 5, στο οποίο η κίνηση ενός συστήματος χωρίς βραχίονες (Σχήμα 5a και c), συγκρίνεται με αυτή ενός συστήματος με βραχίονες (Σχήμα 5b και ). Το δυναμικό μοντέλο μονοδιάστατης κίνησης του συστήματος χωρίς βραχίονες φαίνεται στην εξίσωση (1) ενώ ο έλεγχος στην εξίσωση (2). Με χρήση μεθόδου backstepping, όπως και για την εξαγωγή έλεγχου συστήματος με βραχίονες, προκύπτει για το σύστημα χωρίς βραχίονες ο ίδιος PD επενεργούμενος on-off έλεγχος (εξισώσεις (2)), με επιπλέον περιορισμό Κ D = K P 2. Για τα δύο συστήματα έχει επιλεγεί το ίδιο επιθυμητό τραπεζοειδές προφίλ ταχύτητας. Στο Σχήμα 5 απεικονίζονται το σφάλμα θέσης του παθητικού σώματος (a και b) και η κατανάλωση ενέργειας από τα ρομπότ (c και ), για τα συγκρινόμενα συστήματα. Η τελευταία υπολογίζεται ως το ολοκλήρωμα του έργου που παράγουν οι δυνάμεις των προωθητήρων και των βραχιόνων. Ανάλογα το είδος κινητήρων των βραχιόνων, ποσοστό της καταναλισκόμενης από αυτούς (ηλεκτρικής) ενέργειας, μπορεί να ανακτηθεί όταν η εφαρμοζόμενη από αυτούς δύναμη αντιστέκεται στη σχετική κίνηση ρομπότ - παθητικού σώματος. Για να μειώσει το σφάλμα θέσης το σύστημα χωρίς βραχίονες, θα πρέπει να αυξήσει τα κέρδη ελέγχου, ή ισοδύναμα, να μειώσει την τιμή της f t. Αυτό θα οδηγήσει σε ακόμα συχνότερη ενεργοποίηση των προωθητήρων, άρα και σε μεγαλύτερη καταναλώση ενέργειας (καυσίμου από τους προωθητήρες). Βλέπουμε, όμως, ότι το σύστημα με βραχίονες έχει, όχι μόνο πολύ μικρότερα σφάλματα θέσης, αλλά ταυτόχρονα πολύ χαμηλότερη κατανάλωση ενέργειας, ακόμα και στην περίπτωση χωρίς δυνατότητα μερικής αποκατάστασης ενέργειας στους κινητήρες των βραχιόνων. 7 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Krstic M., Kanellakopoulos I., Kokotovic P. (1995). "Nonlinear an Aaptive Control Design". Wiley-Interscience. New York, ΝY. Matsumoto S., Wakabayashi Y., Ueno H., Nishimaki T. (21), "System Analyses an Feasibility Stuies for Hyper-OSV (Orbital Servicing Vehicle)", i-sairas: Int. Symp. on Artificial Intelligence, Robotics an Automation in Space, Quebec, Canaa. Rekleitis, G. an Papaopoulos, E. (21), Towars Passive Object On-Orbit Manipulation by Cooperating Free-Flying Robots, Proc. IEEE International Conference on Robotics an Automation (ICRA '1), Anchorage, Alaska, May 21. Tatsch, A., Fitz-Coy, N., an Glaun, S. (26), "On-orbit Servicing: A Brief Survey", Performance Metrics for Intelligent Systems Conf., Gaithersburg, MD, USA. Yoshia K. (2), "ETS-VII Flight Eperiments For Space Robot Dynamics An Control", Int. Symposium on Eperimental Robotics, Waikiki, Hawaii, USA.