Διπλωματική Εργασία του φοιτητή του Τμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών της Πολυτεχνικής Σχολής του Πανεπιστημίου Πατρών

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ: ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ, ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ, ΔΙΑΝΟΜΗΣ ΚΑΙ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΗΣΗΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ Διπλωματική Εργασία του φοιτητή του Τμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών της Πολυτεχνικής Σχολής του Πανεπιστημίου Πατρών Παπαδόπουλου Αριστοτέλη-Άγγελου του Δημητρίου Αριθμός Μητρώου: 7601 Θέμα Ευστάθεια και Προσαρμοστικός Έλεγχος Euler-Lagrange συστημάτων με αβεβαιότητα Επιβλέπων Αντώνης Αλεξανδρίδης, Καθηγητής Αριθμός Διπλωματικής Εργασίας: Πάτρα, Φεβρουάριος 2016

2 2 Aristotelis Angelos Papadopoulos

3 ΠΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ Πιστοποιείται ότι η Διπλωματική Εργασία με θέμα Ευστάθεια και Προσαρμοστικός Έλεγχος Euler-Lagrange συστημάτων με αβεβαιότητα Του φοιτητή του Τμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Παπαδόπουλου Αριστοτέλη-Άγγελου του Δημητρίου Αριθμός Μητρώου: 7601 Παρουσιάστηκε δημόσια και εξετάστηκε στο Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών στις.../../ Ο Επιβλέπων Αντώνης Αλεξανδρίδης, Καθηγητής O Διευθυντής του Τομέα Αντώνης Αλεξανδρίδης, Καθηγητής 3

4 4

5 Αριθμός Διπλωματικής Εργασίας: Θέμα: Ευστάθεια και Προσαρμοστικός Έλεγχος Euler-Lagrange συστημάτων με αβεβαιότητα Φοιτητής: Παπαδόπουλος Αριστοτέλης-Άγγελος Επιβλέπων: Αλεξανδρίδης Αντώνης Περίληψη Η παρούσα διπλωματική εργασία ασχολείται με τη μελέτη και την ανάλυση των Euler-Lagrange συστημάτων. Αρχικά, παρουσιάζονται οι βασικές έννοιες και τα θεωρήματα που σχετίζονται με τα δυναμικά συστήματα και στη συνέχεια, ορίζονται τα Euler-Lagrange συστήματα και οι βασικές ιδιότητες που τα απαρτίζουν. Μετέπειτα, αφού παρουσιάστηκε η έννοια του προσαρμοστικού ελέγχου, προτείνεται ένας άμεσος προσαρμοστικός νόμος ελέγχου ο οποίος εγγυάται ολική ασυμπτωτική ευστάθεια σε πλήρως διεγειρόμενα Euler-Lagrange συστήματα και στη συνέχεια, αυτός ο νόμος ελέγχου εφαρμόζεται σε ένα ρομποτικό βραχίονα δύο συνδέσμων. Τέλος, στο μεγαλύτερο τμήμα αυτής της διπλωματικής εργασίας, μελετήθηκαν τα υποδιεγειρόμενα Euler- Lagrange συστήματα. Πιο συγκεκριμένα, μελετήθηκε το γερανοφόρο σύστημα (conveycrane system), το σύστημα TORA και το σύστημα του ανάστροφου εκκρεμούς (inverted pendulum), όπου προτείνοντας μία σειρά γραμμικών και μη γραμμικών νόμων ελέγχου, κατορθώσαμε να εξασφαλίσουμε ασυμπτωτική ευστάθεια του επιθυμητού σημείου ισορροπίας σε κάθε ένα από αυτά τα συστήματα. 5

6 Abstract This diploma thesis deals with the study and analysis of Euler-Lagrange systems. At the beginning, the basic concepts and theorems related to dynamical systems are presented and then, there is an introduction to Euler-Lagrange systems and their fundamental properties. Subsequently, after having introduced the concept of the adaptive control, we propose a direct adaptive controller which guarantees global asymptotic stability of the full-state vector for fully actuated Euler-Lagrange systems. This controller is then applied in a double-joint robot manipulator in order to verify the theoretical results. Finally, the main part of this diploma thesis deals with underactuated Euler-Lagrange systems. Specifically, we studied the Convey-Crane system, the TORA system and the Inverted Pendulum and we proposed a series of linear and nonlinear control laws, with which we guaranteed asymptotic stability of the desired equilibrium point in each of these systems. 6

7 Ευχαριστίες Πρωτίστως, θα ήθελα να εκφράσω τις βαθιές ευχαριστίες μου στον επιβλέποντα καθηγητή κ. Αλεξανδρίδη Αντώνιο γιατί ήταν εκείνος που μου εμπιστεύτηκε αυτό το δύσκολο αντικείμενο εργασίας, αλλά και γιατί η συμπεριφορά του από την αρχή έως το τέλος αυτής της εργασίας, ήταν μία προσπάθεια συνεχούς υποστήριξης, καθοδήγησης, αμέριστης συμπαράστασης, υπομονής, αλλά κυρίως μία συνεχής προσπάθεια εμφύτευσης σε μένα της πίστης, ότι παρά τις όποιες δυσκολίες που ενείχε στα επιμέρους τμήματα η εκπόνηση της παρούσας διπλωματικής εργασίας, μπορώ να τη φέρω εις πέρας με τη διαρκή αρωγή του. Τον ευχαριστώ θερμά και δεν θα ξεχάσω ποτέ την εμπιστοσύνη με την οποία με περιέβαλε καθώς επίσης και την ανθρώπινη διάσταση της συνεργασίας μας. Επιπλέον, θα ήθελα να ευχαριστήσω θερμά το συνεπιβλέποντα καθηγητή κ. Καζάκο Δημοσθένη γιατί ήταν εκείνος που με εισήγαγε στην έννοια του Προσαρμοστικού ελέγχου, αλλά και γιατί ήταν πάντοτε πρόθυμος να με βοηθήσει και να με συμβουλεύσει σε οτιδήποτε χρειαζόταν κατά τη διάρκεια των σπουδών μου. Επιπρόσθετα, οφείλω να ευχαριστήσω τον καθηγητή κ. Μπιτσώρη Γεώργιο αφού ο τρόπος διδασκαλίας του, καθώς επίσης και η αγάπη του για το αντικείμενο των δυναμικών συστημάτων και της θεωρίας ελέγχου αποτέλεσε αναμφισβήτητα μία από τις κύριες πηγές έμπνευσης για εμένα. Τέλος, νιώθω τη βαθιά ανάγκη να ευχαριστήσω τη μητέρα μου, τον πατέρα μου και τον αδερφό μου για την αμέριστη ψυχολογική και οικονομική υποστήριξη καθ όλη τη διάρκεια των πανεπιστημιακών και όχι μόνο σπουδών μου. Η παρούσα διπλωματική εργασία είναι αναμφισβήτητα καρπός και των δικών τους προσπαθειών. Κλείνοντας, ευχαριστώ πολύ τη Μαρία που στάθηκε δίπλα μου σε όλη τη διάρκεια των σπουδών μου. 7

8 8

9 Αφιερώνεται στην οικογένεια μου και στη Μαρία 9

10 10

11 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1. ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Εισαγωγή Δυναμικά συστήματα Σημεία ισορροπίας Ευστάθεια Γραμμικοποίηση με ανατροφοδότηση κατάστασης Σύνοψη-Συμπεράσματα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 2. EULER-LAGRANGE ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Εισαγωγή Euler-Lagrange συστήματα Παθητικότητα Σύνοψη-Συμπεράσματα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 3. ΠΡΟΣΑΡΜΟΣΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΛΗΡΩΣ ΔΙΕΓΕΙΡΟΜΕΝΩΝ EULER-LAGRANGE ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Εισαγωγή Η έννοια του Προσαρμοστικού ελέγχου Άμεσος Προσαρμοστικός έλεγχος πλήρως διεγειρόμενων Euler-Lagrange συστημάτων Ρομποτικός βραχίονας δύο συνδέσμων Σύνοψη-Συμπεράσματα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 4. ΥΠΟΔΙΕΓΕΙΡΟΜΕΝΑ EULER-LAGRANGE ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Εισαγωγή Σύστημα φορέα-εκκρεμούς (Convey-crane system) Το μαθηματικό μοντέλο Οι πιο διαδεδομένες τεχνικές ελέγχου του συστήματος φορέα-εκκρεμούς

12 Σύγκριση μεθόδων μερικής και πλήρους ανατροφοδότησης κατάστασης για το σύστημα φορέα-εκκρεμούς Συμπεράσματα Το σύστημα TORA Το μαθηματικό μοντέλο Οι πιο διαδεδομένες τεχνικές ελέγχου του συστήματος TORA Χρήση PD ελεγκτή στο σύστημα TORA Συμπεράσματα Ανάστροφο εκκρεμές (Inverted pendulum) Το μαθηματικό μοντέλο Οι πιο διαδεδομένες τεχνικές ελέγχου για το ανάστροφο εκκρεμές Η τεχνική του Swing Up στο ανάστροφο εκκρεμές Προτεινόμενες τεχνικές ελέγχου για το ανάστροφο εκκρεμές Έλεγχος του ανάστροφου εκκρεμούς με απλή ανατροφοδότηση κατάστασης Πρώτος προτεινόμενος μη γραμμικός νόμος ελέγχου Δεύτερος προτεινόμενος μη γραμμικός νόμος ελέγχου Συμπεράσματα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 5. ΣΥΝΟΨΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΤΗΣ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

13 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στο κεφάλαιο 1, παρουσιάζονται συνοπτικά οι θεμελιώδεις αρχές των γραμμικών και κυρίως των μη γραμμικών συστημάτων. Αρχικά, δίνεται ο ορισμός των δυναμικών συστημάτων καθώς και η κατηγοριοποίηση τους σε γραμμικά και μη γραμμικά δυναμικά συστήματα ανάλογα με τη μορφή των διαφορικών εξισώσεων που τα περιγράφουν. Στη συνέχεια, αφού διατυπωθεί ο ορισμός των σημείων ισορροπίας ενός συστήματος, παρουσιάζονται οι δύο μέθοδοι του Lyapunov που αναφέρονται στη μελέτη της ευστάθειας ενός συστήματος καθώς επίσης και το θεώρημα LaSalle, το οποίο μπορεί να μας δώσει απάντηση σχετικά με την ευστάθεια του συστήματος σε κάποιες περιπτώσεις όπου ακόμα και η δεύτερη μέθοδος Lyapunov αδυνατεί. Στο κεφάλαιο 2, γίνεται μία εισαγωγή στην έννοια των Euler-Lagrange συστημάτων. Αρχικά, δίνεται ο ορισμός αυτών των συστημάτων και αναφέρονται συνοπτικά τα πλεονεκτήματα που προσφέρουν στους μηχανικούς ελέγχου. Μετέπειτα, διατυπώνονται οι βασικές ιδιότητες που απαρτίζουν αυτά τα συστήματα και τέλος, παρουσιάζεται λεπτομερώς η ιδιότητα της παθητικότητας αυτών των συστημάτων η οποία συνδέεται άμεσα και με την έννοια της ευστάθειας. Στο κεφάλαιο 3, μελετώνται τα πλήρως διεγειρόμενα Euler-Lagrange συστήματα. Αφού παρουσιαστεί συνοπτικά η έννοια του Προσαρμοστικού ελέγχου καθώς επίσης και οι δύο κύριες μέθοδοι προσέγγισης του, προτείνεται ένας άμεσος προσαρμοστικός νόμος ελέγχου ο οποίος εγγυάται ολική ασυμπτωτική ευστάθεια σε πλήρως διεγειρόμενα Euler- Lagrange συστήματα. Τέλος, αυτός ο νόμος ελέγχου εφαρμόζεται σε ένα ρομποτικό βραχίονα δύο συνδέσμων, όπου επιβεβαιώνονται τα θεωρητικά αποτελέσματα. Στο κεφάλαιο 4, που αποτελεί και το κυριότερο τμήμα της παρούσας διπλωματικής εργασίας, μελετώνται τα υποδιεγειρόμενα Euler-Lagrange συστήματα. Αρχικά, αναλύεται το σύστημα φορέα-εκκρεμούς (Convey-crane system) και αφού αναφερθούν συνοπτικά οι πιο διαδεδομένες τεχνικές ελέγχου αυτού του συστήματος, πραγματοποιείται μία σύγκριση μεταξύ ενός νόμου ελέγχου μερικής και ενός νόμου ελέγχου πλήρους ανατροφοδότησης κατάστασης. Στη συνέχεια αυτού του κεφαλαίου, μελετάται το σύστημα TORA, όπου λαμβάνοντας υπόψιν την επίδραση της βαρύτητας στη δυναμική ενέργεια του συστήματος (σε αντίθεση με το [1]), αποδεικνύεται ότι ένας PD ελεγκτής μπορεί να εγγυηθεί ασυμπτωτική ευστάθεια του σημείου ισορροπίας του συστήματος. Μετέπειτα, στο τελευταίο κομμάτι αυτού του κεφαλαίου, αναλύεται το σύστημα του Ανάστροφου Εκκρεμούς (Inverted Pendulum). Αρχικά, παρουσιάζονται συνοπτικά οι έως τώρα πιο διαδεδομένες τεχνικές ελέγχου αυτού του συστήματος και εν συνεχεία, προτείνεται ένας ελεγκτής με πλήρη ανατροφοδότηση κατάστασης και δύο μη γραμμικοί νόμοι ελέγχου, με τους οποίους επιτυγχάνεται συγχρόνως (σε αντίθεση με ότι έχει παρουσιαστεί έως τώρα στη σχετική βιβλιογραφία) και η αναστροφή του εκκρεμούς καθώς επίσης και η ισορρόπηση του στην ανεστραμμένη θέση. Τέλος, στο κεφάλαιο 5, παρουσιάζεται μία σύνοψη και τα συμπεράσματα αυτής της διπλωματικής εργασίας. 13

14 14

15 Κεφάλαιο 1 Θεμελιώδεις αρχές Μη Γραμμικών συστημάτων 1.1. Εισαγωγή Ο Αυτόματος Έλεγχος είναι μία επιστημονική περιοχή που ασχολείται με τον έλεγχο δυναμικών συστημάτων, δηλαδή συστημάτων φυσικών, χημικών, βιολογικών, οικονομικών, κοινωνικών κλπ. τα οποία εξελίσσονται με την πάροδο του χρόνου. Στα γραμμικά δυναμικά συστήματα, δηλαδή στα συστήματα τα οποία περιγράφονται από γραμμικές διαφορικές εξισώσεις, έχουν αναπτυχθεί πολλές διαφορετικές τεχνικές ανάλυσης και ελέγχου, κυρίως λόγω της απλότητας τους. Ωστόσο, τα περισσότερα πραγματικά συστήματα είναι μη γραμμικά, δηλαδή περιγράφονται από μη γραμμικές διαφορικές εξισώσεις. Ήταν ευρέως γνωστό, ήδη από την εποχή του Γάλλου μαθηματικού Henri Poincare, ότι τα μη γραμμικά συστήματα μπορούν να εμφανίσουν εξαιρετικά σύνθετη και απρόβλεπτη δυναμική συμπεριφορά [1]. Συνεπώς, ο έλεγχος των μη γραμμικών δυναμικών συστημάτων αποτελούσε πάντοτε μία εξαιρετικά σύνθετη διαδικασία. Οι πιο ευρέως διαδεδομένες τεχνικές ελέγχου μη γραμμικών συστημάτων είναι η γραμμική προσέγγιση (linear approximation) του αρχικού μη γραμμικού συστήματος γύρω από μία μικρή περιοχή λειτουργίας καθώς επίσης και η γραμμικοποίηση με ανατροφοδότηση κατάστασης (feedback linearization) κατά την οποία εφαρμόζεται στο σύστημα ένας κατάλληλος μη γραμμικός νόμος ελέγχου τέτοιος ώστε να αναιρεί τις αρχικές μη-γραμμικότητες του συστήματος. Τα κύρια μειονεκτήματα αυτών των μεθόδων είναι ότι η μεν πρώτη μπορεί να εξασφαλίσει αποτελέσματα μόνο γύρω από μία μικρή περιοχή λειτουργίας, ενώ η δεύτερη εξαρτάται άμεσα από το μαθηματικό μοντέλο του συστήματος και επιπλέον δεν είναι πάντοτε εφαρμόσιμη. Στο κεφάλαιο αυτό, θα ορίσουμε αρχικά το μαθηματικό μοντέλο ενός δυναμικού συστήματος, θα αναφέρουμε την έννοια της ευστάθειας και τα βασικά θεωρήματα της και επιπλέον θα δείξουμε τις τεχνικές της γραμμικής προσέγγισης και του feedback linearization. 15

16 1.2. Δυναμικά συστήματα Ένα δυναμικό σύστημα μπορεί να περιγραφεί από ένα σύστημα διαφορικών εξισώσεων της μορφής: όπου είναι ένα διάνυσμα συναρτήσεων, είναι το διάνυσμα καταστάσεων του συστήματος και είναι ο χρόνος. Ο αριθμός των μεταβλητών κατάστασης εκφράζει την τάξη του συστήματος. Η λύση της εξίσωσης (1.1) αντιστοιχεί σε μία καμπύλη στο χώρο κατάστασης καθώς το μεταβάλλεται από το μηδέν έως το άπειρο. Η καμπύλη αυτή συνήθως ονομάζεται ως τροχιά καταστάσεων ή τροχιά συστήματος. Αξίζει να σημειωθεί ότι παρόλο που η εξίσωση (1.1) δεν περιλαμβάνει την είσοδο ελέγχου ως μεταβλητή, είναι άμεσα εφαρμόσιμη για συστήματα κλειστού βρόχου. Ειδικότερα, αν η δυναμική του ανοικτού συστήματος είναι: και εφαρμοστεί ένας νόμος ελέγχου της μορφής: τότε το σύστημα κλειστού βρόχου δίνεται από τη σχέση: η οποία μπορεί να γραφεί στη μορφή της (1.1). Επίσης, η εξίσωση (1.1) μπορεί να περιγράφει και συστήματα με μηδενική είσοδο, όπως για παράδειγμα ένα ελεύθερο εκκρεμές. Μία ειδική κατηγορία δυναμικών συστημάτων είναι τα γραμμικά συστήματα. Στην περίπτωση των γραμμικών συστημάτων, η εξίσωση (1.1) παίρνει τη μορφή: όπου. Αν η μήτρα είναι ανεξάρτητη του χρόνου, τότε το σύστημα ονομάζεται Γραμμικά Χρονικώς Αμετάβλητο (Linear Time Invariant - LTI). Στην αντίθετη περίπτωση, το σύστημα ονομάζεται Γραμμικά Χρονικώς Μεταβαλλόμενο. Ορισμός 1.1: Ένα μη γραμμικό σύστημα της μορφής (1.1) ονομάζεται αυτόνομο αν η συνάρτηση είναι ανεξάρτητη από το χρόνο, με άλλα λόγια αν η (1.1) μπορεί να γραφτεί στη μορφή: 16

17 1.3. Σημεία ισορροπίας Είναι πιθανό η τροχιά του συστήματος να αντιστοιχεί σε ένα συγκεκριμένο σημείο. Το σημείο αυτό ονομάζεται σημείο ισορροπίας του συστήματος. Όπως θα περιγραφεί στην επόμενη ενότητα, πολλά προβλήματα ευστάθειας ορίζονται με βάση τα σημεία ισορροπίας. Ορισμός 1.2: Μία κατάσταση ονομάζεται κατάσταση ισορροπίας (ή σημείο ισορροπίας) του συστήματος εάν η τροχιά γίνει ίση με και παραμείνει ίση με για κάθε μελλοντική χρονική στιγμή. Ο παραπάνω ορισμός μπορεί να εκφραστεί με μαθηματικό τρόπο ως: Η λύση της εξίσωσης (1.6) μας δίνει τα σημεία ισορροπίας ενός συστήματος. Στην επόμενη ενότητα, βασιζόμενοι στα σημεία ισορροπίας, θα ορίσουμε την έννοια της ευστάθειας ενός συστήματος Ευστάθεια Η ευστάθεια (stability) αποτελεί αδιαμφισβήτητα τη σημαντικότερη ιδιότητα ενός συστήματος. Με μία αφηρημένη έννοια, θα μπορούσαμε να περιγράψουμε την ευστάθεια ως την ικανότητα ενός συστήματος να λειτουργεί ικανοποιητικά ακόμα και υπό την επίδραση ανεπιθύμητων διαταραχών. Ωστόσο, η πιο χρήσιμη και γενικευμένη προσέγγιση για τη μελέτη της ευστάθειας ενός συστήματος έγινε στα τέλη του 19 ου αιώνα από το Ρώσο μαθηματικό Alexandr Mikhailovich Lyapunov ο οποίος με την εργασία του The General Problem of Motion Stability που δημοσιεύθηκε για πρώτη φορά το 1892, εισήγαγε δύο μεθόδους ανάλυσης ευστάθειας [2]. Οι δύο αυτές μέθοδοι είναι γνωστές ως γραμμική προσέγγιση (ή 1 η μέθοδος Lyapunov) και ως άμεση (ή 2 η μέθοδος Lyapunov) αντίστοιχα. Στην παρούσα ενότητα, θα αναφερθούμε στην έννοια της ευστάθειας των σημείων ισορροπίας ενός συστήματος. Για διευκόλυνση, όλοι οι ορισμοί και τα θεωρήματα που ακολουθούν θα αναφέρονται στο σημείο ισορροπίας χωρίς να έχουμε απώλεια της γενίκευσης, αφού κάθε σημείο ισορροπίας μπορεί να αναχθεί στο μηδέν με μία απλή αλλαγή μεταβλητής. Ορισμός 1.3: Το σημείο ισορροπίας του συστήματος (1.5) είναι: ευσταθές ή ευσταθές κατά Lyapunov αν δοθέντων ενός και, υπάρχει τέτοιο ώστε ασταθές αν δεν είναι ευσταθές. 17

18 ασυμπτωτικά ευσταθές αν είναι ευσταθές και υπάρχει σταθερά τέτοια ώστε καθώς, για κάθε. Οι παραπάνω ορισμοί είναι βασικοί για την εφαρμογή της θεωρίας Lyapunov. Καθώς πολλά μη γραμμικά συστήματα είναι αυτόνομα, θα περιοριστούμε στην ανάλυση των θεωρημάτων Lyapunov στα αυτόνομα μη γραμμικά συστήματα. Η θεωρία Lyapunov βασίζεται σε δύο βασικά θεωρήματα: τη μέθοδο της γραμμικής προσέγγισης και την άμεση μέθοδο Lyapunov. Η μέθοδος της γραμμικής προσέγγισης βασίζεται στην υπόθεση ότι ένα μη γραμμικό σύστημα συμπεριφέρεται σαν ένα γραμμικό κοντά σε μία μικρή περιοχή του σημείου ισορροπίας. Έτσι, αν θεωρήσουμε το μη γραμμικό σύστημα της μορφής (1.5) όπου η συνάρτηση είναι συνεχής και παραγωγίσιμη, τότε η δυναμική του συστήματος μπορεί να γραφεί ως [3]: όπου η συνάρτηση αντιπροσωπεύει τους όρους ανωτέρας τάξης της όταν η τελευταία αναπτυχθεί σε σειρά Taylor γύρω από το μηδέν. Αξίζει να σημειωθεί ότι η σειρά Taylor ξεκινά από το δεύτερο όρο καθώς το μηδέν είναι σημείο ισορροπίας του συστήματος και συνεπώς ισχύει. Εφόσον για τους όρους ανωτέρας τάξης ισχύει: αν χρησιμοποιήσουμε έναν σταθερό πίνακα ιακωβιανό πίνακα της στο, τότε το σύστημα: ο οποίος να ισοδυναμεί με τον ονομάζεται γραμμική προσέγγιση (linear approximation) του αρχικού μη γραμμικού συστήματος γύρω από το σημείο ισορροπίας. Αντίστοιχα, για ένα μη γραμμικό σύστημα με είσοδο, η γραμμική του προσέγγιση δίνεται από τη σχέση: Με τη χρήση των παραπάνω σχέσεων, μπορούμε πλέον να διατυπώσουμε το πρώτο θεώρημα Lyapunov. 18

19 Θεώρημα 1.1: Αν η μήτρα του συστήματος (1.10) έχει ιδιοτιμές με αυστηρώς αρνητικά πραγματικά μέρη, τότε το σημείο ισορροπίας του μη γραμμικού συστήματος είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές (locally asymptotically stable). Αν η μήτρα του συστήματος (1.10) έχει έστω και μία ιδιοτιμή με αυστηρώς θετικό πραγματικό μέρος, τότε το σημείο ισορροπίας του μη γραμμικού συστήματος είναι ασταθές (unstable). Αν η μήτρα του συστήματος (1.10) έχει ιδιοτιμές με αυστηρώς αρνητικά πραγματικά μέρη, αλλά τουλάχιστον μία ιδιοτιμή της βρίσκεται πάνω στο φανταστικό άξονα, τότε δεν μπορούμε να εξάγουμε συμπέρασμα για την ευστάθεια του σημείου ισορροπίας του μη γραμμικού συστήματος από τη γραμμική του προσέγγιση. Σε πολλά συστήματα, η γραμμική προσέγγιση του αρχικού μη γραμμικού συστήματος δεν μπορεί να υπολογιστεί, ή όπως είδαμε από το παραπάνω θεώρημα, δεν μπορεί να μας δώσει πληροφορίες για την ευστάθεια. Επιπλέον, από το παραπάνω θεώρημα, μπορούμε να εξάγουμε συμπεράσματα μόνο για μια περιοχή κοντά στο σημείο ισορροπίας. Έτσι, όσο απομακρυνόμαστε από αυτό, η ανάλυση δεν ισχύει. Στα προβλήματα αυτά έρχεται να δώσει λύση το δεύτερο θεώρημα Lyapunov το οποίο αποδεικνύει πλήρη ευστάθεια του συστήματος και ονομάζεται άμεση μέθοδος Lyapunov. Θεώρημα 1.2: Αν υπάρχει μία συνεχής, παραγωγίσιμη και θετικά ορισμένη συνάρτηση, τέτοια ώστε η ολική χρονική της παράγωγος ως προς το σύστημα (1.5) να είναι αρνητικά ορισμένη, τότε η κατάσταση ισορροπίας του συστήματος (1.5) είναι ασυμπτωτικά ευσταθής (asymptotically stable). Αν επιπλέον ισχύει ότι καθώς, τότε το σημείο ισορροπίας του συστήματος (1.5) λέγεται ότι είναι ολικά ασυμπτωτικά ευσταθές (globally asymptotically stable). Το Θεώρημα 1.2 αποτελεί ένα από τα βασικότερα θεωρήματα ευστάθειας μη γραμμικών συστημάτων, ενώ επιπλέον αποτελεί τη βάση για το σχεδιασμό μη γραμμικών και προσαρμοστικών νόμων ελέγχου. Ωστόσο, τα θεωρήματα ευστάθειας του Lyapunov αποδεικνύουν ευστάθεια ενός συστήματος στο μηδενικό σημείο ισορροπίας. Σε περίπτωση όπου ένα σύστημα έχει σημείο ισορροπίας διάφορο του μηδενός, τότε χρησιμοποιείται συνήθως το μοντέλο διαφορών (error dynamics) όπου ορίζεται μια αλλαγή μεταβλητής με το νέο σύστημα να έχει πλέον σημείο ισορροπίας το μηδέν και να μπορούν να εφαρμοστούν τα βασικά θεωρήματα. Σε ένα μη γραμμικό σύστημα, όπου μπορεί να περιλαμβάνει δύσκολες μη γραμμικότητες, το μοντέλο διαφορών δεν είναι δυνατόν πάντοτε να δημιουργηθεί. Αυτό είναι και ένα από τα βασικά μειονεκτήματα της εφαρμογής των θεωρημάτων του Lyapunov [4]. Μια επέκταση αυτών των θεωρημάτων Lyapunov που αποδεικνύει ασυμπτωτική ευστάθεια σε ένα αμετάβλητο σύνολο (σύνολο σημείων ισορροπίας και οριακών κύκλων) είναι το Θεώρημα LaSalle (LaSalle s Theorem ή LaSalle s Invariance Principle) το οποίο αναπτύχθηκε πλήρως το 1968 [5] και αναφέρεται σε μη γραμμικά συστήματα της μορφής (1.5) που έχουν σημείο ισορροπίας που δεν είναι απαραίτητα μηδενικό. 19

20 Θεώρημα 1.3: [6] Έστω ένα συμπαγές σύνολο το οποίο είναι θετικά αμετάβλητο ως προς την (1.5). Έστω είναι μία συνεχής και παραγωγίσιμη συνάρτηση τέτοια ώστε στο. Έστω το σύνολο των σημείων στο όπου. Έστω το μεγαλύτερο αμετάβλητο σύνολο στο. Τότε, κάθε λύση που ξεκινά στο προσεγγίζει το καθώς. Το Θεώρημα 1.3 υποδεικνύει ότι αν ισχύουν οι προϋποθέσεις για τη συνάρτηση Lyapunov, τότε η λύση του μη γραμμικού συστήματος (1.5) θα συγκλίνει σε ένα από τα σημεία ισορροπίας του συστήματος ή σε κάποιον οριακό κύκλο. Αξίζει επιπλέον να σημειωθεί ότι το παραπάνω θεώρημα δεν απαιτεί η συνάρτηση να είναι θετικά ορισμένη Γραμμικοποίηση με ανατροφοδότηση κατάστασης Η κεντρική ιδέα του feedback linearization βασίζεται στην αλγεβρική μετατροπή του μη γραμμικού συστήματος σε ένα πλήρως ή μερικώς γραμμικό, ώστε να μπορούν να εφαρμοστούν οι κλασσικοί γραμμικοί ελεγκτές. Η τεχνική αυτή μπορεί να θεωρηθεί ως ένας τρόπος μετατροπής του αυθεντικού μοντέλου του συστήματος σε ένα ισοδύναμο μοντέλο απλούστερης μορφής. Υπάρχουν δύο διαφορετικές προσεγγίσεις του feedback linearization: η input-state linearization και η input-output linearization. Στα πλαίσια της παρούσας διπλωματικής, θα αρκεστούμε στην παρουσίαση μόνο της πρώτης προσέγγισης. Θεωρούμε το πρόβλημα σχεδίασης της εισόδου ελέγχου ενός μη γραμμικού συστήματος της μορφής: Το input-state linearization λύνει το πρόβλημα σε δύο βήματα. Πρώτα, αναζητούμε έναν μετασχηματισμό κατάστασης και έναν κατάλληλο μετασχηματισμό εισόδου ώστε το μη γραμμικό δυναμικό σύστημα να μετατραπεί σε ένα ισοδύναμο γραμμικό χρονικώς αμετάβλητο (LTI) σύστημα της μορφής [2]. Στο δεύτερο βήμα, σχεδιάζουμε ένα γραμμικό νόμο ελέγχου, όπως για παράδειγμα έναν έλεγχο με ανατροφοδότηση κατάστασης της μορφής προκειμένου να κάνουμε τοποθέτηση ιδιοτιμών της μήτρας του νέου, γραμμικού πλέον συστήματος Σύνοψη - Συμπεράσματα Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάστηκαν οι θεμελιώδεις αρχές των γραμμικών και κυρίως των μη γραμμικών συστημάτων. Αρχικά, δώσαμε το μαθηματικό ορισμό ενός δυναμικού συστήματος και αφού ορίσαμε την έννοια των σημείων ισορροπίας, επισημάναμε τη σημασία διασφάλισης της ευστάθειας ενός συστήματος. Επιπλέον, διατυπώσαμε τα δύο 20

21 βασικά θεωρήματα του Lyapunov για ανάλυση ευστάθειας σε μη γραμμικά συστήματα (γραμμική προσέγγιση και άμεση μέθοδος Lyapunov) καθώς επίσης και το θεώρημα LaSalle, από το οποίο μπορούμε να εξάγουμε συμπεράσματα για την ευστάθεια του συστήματος σε περιπτώσεις που τα δύο θεωρήματα Lyapunov δεν μπορούν να μας δώσουν απάντηση. Τέλος, αναφέραμε την πιο βασική μέθοδο μη γραμμικού ελέγχου που βασίζεται στην τεχνική του feedback linearization. 21

22 22

23 Κεφάλαιο 2 Euler-Lagrange συστήματα 2.1. Εισαγωγή Η εισαγωγή της έννοιας των Euler-Lagrange (E-L) συστημάτων υπήρξε και συνεχίζει να αποτελεί ένα ισχυρό εργαλείο για τους μηχανικούς ελέγχου αφού τα συστήματα αυτά μπορούν να περιγράψουν ένα πολύ μεγάλο εύρος γραμμικών και κυρίως μη γραμμικών δυναμικών συστημάτων καθώς επίσης και να προσφέρουν μεθόδους ανάλυσης σε προβλήματα που θα ήταν σχεδόν αδύνατο να επιλυθούν με τις προϋπάρχουσες τεχνικές κυρίως λόγω της δυνατότητας περιγραφής τους με ένα συστηματικό και με κοινές ιδιότητες τρόπο. Βασικό χαρακτηριστικό των συστημάτων αυτών είναι ότι οι δυναμικές εξισώσεις που περιγράφουν τη συμπεριφορά τους βασίζονται στον ορισμό των συναρτήσεων ενέργειας μέσω της Lagrangian συνάρτησης και έτσι μας δίνεται η δυνατότητα να βρούμε αυτές τις εξισώσεις χωρίς να μας απασχολεί το πόσο πολύπλοκο είναι ένα σύστημα. Στο παρόν κεφάλαιο, θα ορίσουμε τα Euler-Lagrange συστήματα και επιπλέον, θα παρουσιαστεί η βασική ιδιότητα αυτών των συστημάτων που αντιστοιχεί στην παθητικότητα (passivity). Με λίγα λόγια, η παθητικότητα θα μπορούσε να οριστεί ως η βασική ιδιότητα αυτών των συστημάτων να μην μπορούν να αποθηκεύσουν περισσότερη ενέργεια από αυτήν που τους παρέχεται. Όπως θα δούμε και στη συνέχεια αυτού του κεφαλαίου, η ιδιότητα της παθητικότητας συνδέεται άμεσα με την ευστάθεια του συστήματος [7]. Άλλωστε, η παθητικότητα περιγραφεί την τάση ενός συστήματος να χάνει ενέργεια ώστε να οδηγείται πιο εύκολα στην ισορροπία. Είναι προφανές, λοιπόν, το γεγονός ότι οι ενεργειακές ιδιότητες αυτών των συστημάτων αποτέλεσαν το έναυσμα για τη διατύπωση των δύο θεωρημάτων του Lyapunov [1]. 23

24 2.2. Euler-Lagrange συστήματα Η εξαγωγή των διαφορικών εξισώσεων που περιγράφουν τη δυναμική συμπεριφορά ενός συστήματος μπορεί να γίνει με δύο διαφορετικές προσεγγίσεις. Στην πρώτη προσέγγιση, η εξαγωγή των εξισώσεων κίνησης ενός μηχανικού συστήματος μπορεί να γίνει με τη χρήση του δεύτερου νόμου του Newton, ενώ η εξαγωγή των ηλεκτρικών εξισώσεων ενός ηλεκτρικού συστήματος μπορεί να γίνει με τη χρήση των νόμων του Kirchoff. Ωστόσο, σε περίπτωση μελέτης ενός ηλεκτρομηχανικού συστήματος στο οποίο εμφανίζονται αλληλεπιδράσεις μεταξύ των ηλεκτρικών και των μηχανικών μερών, η προσέγγιση αυτή αποδεικνύεται εξαιρετικά επίπονη. Τη λύση σε αυτό το πρόβλημα μπορεί να μας τη δώσει η δεύτερη προσέγγιση κατά την οποία, με τον κατάλληλο ορισμό των συναρτήσεων ενέργειας του συστήματος, μπορούμε να καθορίσουμε τη Lagrangian συνάρτηση. Κατόπιν, οι διαφορικές εξισώσεις που περιγράφουν τη δυναμική συμπεριφορά του συστήματος, προκύπτουν από τη θεωρία Hamilton η οποία βασίζεται στην ελαχιστοποίηση του ολοκληρώματος της Lagrangian συνάρτησης. Ένα επιπλέον πλεονέκτημα της δεύτερης προσέγγισης είναι ότι η εξαγωγή των δυναμικών εξισώσεων του συστήματος γίνεται αποκλειστικά με τη χρήση βαθμωτών μεγεθών (ενέργειες του συστήματος), σε αντίθεση με την πρώτη προσέγγιση όπου η χρήση διανυσματικών μεγεθών (δυνάμεις, επιτάχυνση κλπ.) είναι απαραίτητη. Θεωρώντας ένα σύστημα με βαθμούς ελευθερίας, γενικευμένες συντεταγμένες θέσης, γενικευμένες συντεταγμένες ταχύτητας και εξωτερικές εισόδουςδιεγέρσεις, τότε η δυναμική του δίνεται από τις Euler-Lagrange εξισώσεις: όπου είναι η Lagrangian συνάρτηση, είναι η γενικευμένη κινητική ενέργεια του συστήματος, είναι η γενικευμένη δυναμική ενέργεια του συστήματος και ορίζεται ως συνάρτηση απωλειών του Rayleigh. Αν αντικαταστήσουμε τώρα την (2.2) στην (2.1), παίρνουμε την παρακάτω ισοδύναμη μορφή των Euler-Lagrange εξισώσεων: Σε αυτό το σημείο, είναι χρήσιμο να παρουσιάσουμε κάποια αξιώματα και ιδιότητες, όπως παρουσιάζονται αναλυτικά στο [8]: Αξίωμα 2.1: Όλες οι συναρτήσεις γενικευμένης κινητικής ενέργειας είναι ομογενείς συναρτήσεις δευτέρου βαθμού ως προς τις γενικευμένες συντεταγμένες ταχύτητας. Δηλαδή, δίνονται στην ακόλουθη τετραγωνική μορφή: 24

25 όπου ονομάζεται πίνακας αδράνειας και είναι συμμετρικός και θετικά ορισμένος για το σύνολο των γενικευμένων συντεταγμένων. Αξίωμα 2.2: Για το συμμετρικό πίνακα ισχύει, όπου και είναι μη αρνητικές σταθερές. Ιδιότητα 2.1: Η συνάρτηση απωλειών του Rayleigh ικανοποιεί την ανισότητα: Ιδιότητα 2.2: Στα περισσότερα πρακτικά συστήματα, η συνάρτηση απωλειών του Rayleigh είναι ομογενής συνάρτηση δευτέρου βαθμού ως προς τις γενικευμένες συντεταγμένες ταχύτητας. Δηλαδή, δίνεται στην ακόλουθη τετραγωνική μορφή: όπου (θετικά ημιορισμένος ή θετικά ορισμένος) και συμμετρικός. Όπως προαναφέρθηκε, στις σχέσεις (2.1) και (2.3), το διάνυσμα υποδηλώνει τις εξωτερικές εισόδους-διεγέρσεις του συστήματος. Επομένως, μπορεί να γραφεί ισοδύναμα στην παρακάτω μορφή: όπου με είναι ένας σταθερός πίνακας, είναι το διάνυσμα των εισόδων ελέγχου και είναι το διάνυσμα εξωτερικών σημάτων που περιγράφουν την επίδραση των εξωτερικών διαταραχών στο μοντέλο του συστήματος. Σε αυτό το σημείο, αν θεωρήσουμε ενώ παράλληλα αντικαταστήσουμε τις σχέσεις (2.4) και (2.6) στη (2.3), τότε παίρνουμε το παρακάτω ισοδύναμο μοντέλο δευτεροβάθμιων διαφορικών εξισώσεων που περιγράφει τα Euler-Lagrange συστήματα: όπου και είναι ο πίνακας των φυγόκεντρων δυνάμεων και των δυνάμεων Coriolis. 25

26 Ιδιότητα 2.3: Ο πίνακας είναι αντισυμμετρικός. Εφόσον ο πίνακας αδράνειας είναι θετικά ορισμένος, τότε είναι και αντιστρέψιμος. Αν λοιπόν θέσουμε στη (2.8) όπου, τότε παίρνουμε το παρακάτω ισοδύναμο μοντέλο των Euler-Lagrange συστημάτων στο χώρο κατάστασης: Τέλος, αξίζει να αναφέρουμε ότι μπορούμε να κατατάξουμε τα Euler-Lagrange συστήματα σε δύο κατηγορίες ανάλογα με τον αριθμό εισόδων ελέγχου που διαθέτουν. Πιο συγκεκριμένα, αν ο αριθμός των εισόδων ελέγχου ενός συστήματος ισούται με τον αριθμό των βαθμών ελευθερίας του, τότε το σύστημα ονομάζεται πλήρως διεγειρόμενο (fully actuated). Αυτού του είδους τα συστήματα θα μελετήσουμε στο 3 ο κεφάλαιο. Αντίθετα, αν ο αριθμός των εισόδων ελέγχου ενός συστήματος είναι μικρότερος από τον αριθμό των βαθμών ελευθερίας του, τότε το σύστημα ονομάζεται υποδιεγειρόμενο (underactuated). Τα υποδιεγειρόμενα Euler-Lagrange συστήματα είναι και τα πιο περίπλοκα όσον αφορά τον έλεγχο τους, αλλά συγχρόνως και τα πιο ενδιαφέροντα αφού περιλαμβάνουν ένα πολύ μεγάλο εύρος μηχανικών, ηλεκτρικών και ηλεκτρομηχανικών συστημάτων. Θα μελετήσουμε αυτά τα συστήματα στο 4 ο κεφάλαιο αυτής της διπλωματικής εργασίας Παθητικότητα Όπως προαναφέρθηκε και στην εισαγωγή αυτού του κεφαλαίου, η παθητικότητα (passivity) είναι η βασικότερη ιδιότητα των Euler-Lagrange συστημάτων. Ένα παθητικό σύστημα είναι εκείνο που δεν μπορεί να αποθηκεύσει περισσότερη ενέργεια από αυτήν που του παρέχεται [8]. Η διαφορά μεταξύ της παρεχόμενης ενέργειας και της ενέργειας που αποθηκεύει το σύστημα ισούται με την ενέργεια απωλειών του συστήματος. Σε αυτήν την ενότητα, θα δείξουμε την άμεση συσχέτιση αυτής της ιδιότητας με την ευστάθεια του συστήματος. Έστω ένα μη γραμμικό σύστημα στη γενική μορφή: όπου με,, είναι η είσοδος του συστήματος και η έξοδος του δίνεται από τη σχέση: όπου. 26

27 Επίσης, έστω ο ρυθμός εισόδου της ενέργειας στο σύστημα τέτοιος ώστε : Ορισμός 2.1: [8] Ένα σύστημα της μορφής (2.11), (2.12), είναι σύστημα με απώλειες (σε αναφορά προς την ισχύ εισόδου ) αν και μόνο αν υπάρχει συνάρτηση αποθήκευσης τέτοια ώστε και να ισχύει: Ορισμός 2.2: [8] Ένα σύστημα είναι παθητικό αν είναι σύστημα με απώλειες και επιπλέον, η ισχύς εισόδου ικανοποιεί τη σχέση: Δοθέντων των παραπάνω ορισμών και χρησιμοποιώντας τις σχέσεις και τις ιδιότητες των Euler-Lagrange συστημάτων που παρουσιάστηκαν στην προηγούμενη ενότητα, είμαστε πλέον σε θέση να αποδείξουμε ότι κάθε Euler-Lagrange σύστημα είναι παθητικό. Ορίζουμε συνάρτηση αποθήκευσης για το σύστημα (2.10) την: Τότε, η ολική χρονική παράγωγος της (2.16) ως προς το σύστημα (2.10) είναι: Χρησιμοποιώντας τώρα την Ιδιότητα 2.3, η τελευταία εξίσωση γράφεται: Επειδή, άρα ισχύει και, οπότε αν θέσουμε θα ισχύει: 27

28 που σημαίνει ότι η ενέργεια που παρέχεται στο σύστημα είναι μεγαλύτερη από αυτήν που μπορεί να αποθηκεύσει. Άρα, κάθε Euler-Lagrange σύστημα της μορφής (2.3) ή (2.10) είναι παθητικό Σύνοψη - Συμπεράσματα Στο κεφάλαιο αυτό διατυπώσαμε τη βασική θεωρία των Euler-Lagrange συστημάτων. Αρχικά, τονίσαμε το πλεονέκτημα που μας προσφέρουν οι Euler-Lagrange εξισώσεις στην εξαγωγή των δυναμικών εξισώσεων του συστήματος και στη συνέχεια, παρουσιάσαμε το ισοδύναμο μοντέλο διαφορικών εξισώσεων που περιγράφει τη δυναμική συμπεριφορά αυτών των συστημάτων. Τέλος, αναφερθήκαμε στην ιδιότητα της παθητικότητας και στην άμεση συσχέτιση της με τη διασφάλιση της ευστάθειας ενός συστήματος και επιπλέον αποδείξαμε ότι κάθε Euler-Lagrange σύστημα είναι παθητικό. 28

29 Κεφάλαιο 3 Προσαρμοστικός έλεγχος πλήρως διεγειρόμενων Euler-Lagrange συστημάτων 3.1. Εισαγωγή Στο προηγούμενο κεφάλαιο, κατατάξαμε τα Euler-Lagrange συστήματα σε δύο κατηγορίες ανάλογα με τον αριθμό εισόδων που διαθέτουν. Πιο συγκεκριμένα, αναφέραμε ότι αν ο αριθμός των εισόδων ελέγχου ενός συστήματος ισούται με τον αριθμό των βαθμών ελευθερίας του, τότε το σύστημα ονομάζεται πλήρως διεγειρόμενο (fully actuated). Αντίθετα, αν ο αριθμός των εισόδων ελέγχου ενός συστήματος είναι μικρότερος από τον αριθμό των βαθμών ελευθερίας του, τότε το σύστημα ονομάζεται υποδιεγειρόμενο (underactuated). Σε αυτό το κεφάλαιο, θα μελετήσουμε τα πλήρως διεγειρόμενα Euler-Lagrange συστήματα. Αρχικά, θα ορίσουμε την έννοια και τις δύο κύριες προσεγγίσεις προσαρμοστικού ελέγχου. Στη συνέχεια, θα προτείνουμε έναν άμεσο προσαρμοστικό νόμο ελέγχου ο οποίος εξασφαλίζει ασυμπτωτική ευστάθεια του επιθυμητού σημείου ισορροπίας του συστήματος. Τέλος, μέσω των Euler-Lagrange εξισώσεων, θα εξάγουμε τις διαφορικές εξισώσεις που περιγράφουν τη δυναμική συμπεριφορά ενός ρομποτικού βραχίονα δύο συνδέσμων και θα εφαρμόσουμε τον προτεινόμενο προσαρμοστικό νόμο ελέγχου Η έννοια του Προσαρμοστικού ελέγχου Πολλά από τα δυναμικά συστήματα που προσπαθούμε να ελέγξουμε, περιλαμβάνουν αργά μεταβαλλόμενες αβέβαιες παραμέτρους. Για παράδειγμα ρομποτικοί βραχίονες πιθανόν να μεταφέρουν μεγάλα αντικείμενα με άγνωστες παραμέτρους αδράνειας, ενώ 29

30 πυροσβεστικά αεροσκάφη μπορεί να υφίστανται μεγάλες αλλαγές μάζας, καθώς φορτώνουν και αδειάζουν μεγάλες ποσότητες νερού. Ο βασικός στόχος ενός προσαρμοστικού νόμου ελέγχου είναι η διατήρηση της απόδοσης του συστήματος παρουσία αβεβαιότητας, ή αγνώστων μεταβολών στις παραμέτρους του συστήματος. Εφόσον η αβεβαιότητα ή η μεταβολή των παραμέτρων συμβαίνει σε πολλά πρακτικά προβλήματα, ο προσαρμοστικός έλεγχος αποτελεί στην ουσία μία προσέγγιση ελέγχου αυτών των συστημάτων, όπως για παράδειγμα ρομποτικός χειρισμός, πλοήγηση πλοίου, έλεγχος αεροσκάφους κλπ [2]. Η βασική ιδέα του προσαρμοστικού ελέγχου είναι η on-line εκτίμηση των αβέβαιων παραμέτρων του μοντέλου βασιζόμενη στις μετρήσεις του συστήματος και στη συνέχεια, η χρήση των εκτιμούμενων παραμέτρων για το σχεδιασμό της εισόδου ελέγχου. Ανάλογα με τον τρόπο που συνδυάζεται ο εκτιμητής των παραμέτρων με το νόμο ελέγχου, διακρίνουμε δύο διαφορετικές προσεγγίσεις. Στην πρώτη προσέγγιση, η οποία είναι γνωστή και ως έμμεσος προσαρμοστικός έλεγχος (indirect adaptive control), πραγματοποιείται on-line εκτίμηση των παραμέτρων του συστήματος και στη συνέχεια, οι εκτιμήσεις αυτές χρησιμοποιούνται για τον υπολογισμό των παραμέτρων του ελεγκτή. Στη δεύτερη προσέγγιση, η οποία είναι γνωστή και ως άμεσος προσαρμοστικός έλεγχος (direct adaptive control) και με την οποία θα ασχοληθούμε σε αυτήν τη διπλωματική εργασία, το μοντέλο του συστήματος γράφεται σαν συνάρτηση των επιθυμητών παραμέτρων του ελεγκτή, οι οποίες στη συνέχεια εκτιμώνται απευθείας χωρίς ενδιάμεσους υπολογισμούς που να περιλαμβάνουν τις εκτιμήσεις των παραμέτρων του συστήματος [9]. Στα παρακάτω σχήματα, φαίνεται παραστατικά η βασική δομή του έμμεσου (Σχήμα 3.1) και του άμεσου προσαρμοστικού ελέγχου (Σχήμα 3.2). Σχ.3.1. Η βασική δομή του έμμεσου προσαρμοστικού ελέγχου [9]. 30

31 Σχ.3.2. Η βασική δομή του άμεσου προσαρμοστικού ελέγχου [9] Άμεσος Προσαρμοστικός έλεγχος πλήρως διεγειρόμενων Euler-Lagrange συστημάτων Έστω ένα Euler-Lagrange σύστημα που περιγράφεται από την παρακάτω διαφορική εξίσωση: όπου είναι ο πίνακας αδράνειας, είναι ο πίνακας των φυγόκεντρων δυνάμεων και των δυνάμεων Coriolis, είναι ο πίνακας απωλειών, είναι η μερική παράγωγος της δυναμικής ενέργειας του συστήματος ως προς τις γενικευμένες συντεταγμένες θέσης,, όπου είναι η είσοδος ελέγχου και επιπλέον ισχύουν όλες οι ιδιότητες που παρουσιάστηκαν στο 2 ο Κεφάλαιο. Θέτοντας, τώρα, στην (3.1) όπου, παίρνουμε το ισοδύναμο μοντέλο του συστήματος στο χώρο κατάστασης που δίνεται στην παρακάτω εξίσωση: Θεωρούμε ότι οι πίνακες καθώς και το διάνυσμα είναι τελείως άγνωστα. Στόχος μας, είναι να σχεδιάσουμε ένα νόμο ελέγχου ο οποίος να εξασφαλίζει ασυμπτωτική ευστάθεια του επιθυμητού σημείου ισορροπίας για το σύστημα (3.1) ή (3.2). 31

32 Θεώρημα 3.1: Θεωρούμε το Euler-Lagrange σύστημα της μορφής (3.1) ή (3.2). Τότε, ο νόμος ελέγχου που δίνεται από τη σχέση: όπου επιλέγεται διαγώνιος και θετικά ορισμένος πίνακας, και ισχύει: μαζί με το νόμο αναπροσαρμογής: όπου επιλέγεται διαγώνιος και θετικά ορισμένος και συμβολίζει την γενικευμένη συντεταγμένη θέσης, εγγυάται ότι η λύση του κλειστού συστήματος που δίνεται από τις σχέσεις (3.2),(3.3),(3.4),(3.5) είναι ασυμπτωτικά ευσταθής και ότι καθώς για όλα τα. Απόδειξη: Για να αποδείξουμε ασυμπτωτική ευστάθεια του κλειστού συστήματος, θεωρούμε την παρακάτω υποψήφια συνάρτηση Lyapunov: όπου εφόσον ο είναι διαγώνιος πίνακας, εξασφαλίζοντας ότι κανένα στοιχείο του δεν θα μηδενιστεί, τότε η είναι μία θετικά ορισμένη συνάρτηση. Άρα, η παράγωγος της (3.6) κατά μήκος των τροχιών του κλειστού συστήματος δίνεται από τη σχέση: 32

33 όπου από την Ιδιότητα 2.2 και τη σχέση (3.5), προκύπτει ότι η είναι αρνητικά ορισμένη και συνεπώς η λύση του κλειστού συστήματος που δίνεται από τις σχέσεις (3.2),(3.3),(3.4),(3.5) είναι ασυμπτωτικά ευσταθής και καθώς για όλα τα Ρομποτικός βραχίονας δύο συνδέσμων Σε αυτήν την ενότητα, θα εφαρμόσουμε τον προσαρμοστικό νόμο ελέγχου που αποδείχθηκε προηγουμένως σε ένα ρομποτικό βραχίονα δύο συνδέσμων. Προκειμένου να εξάγουμε τις διαφορικές εξισώσεις που περιγράφουν τη δυναμική συμπεριφορά του βραχίονα, θα θεωρήσουμε αρχικά ότι ο συγκεκριμένος βραχίονας είναι άκαμπτος, χωρίς τριβές και οι ροπές ελέγχου και εφαρμόζονται στις αρθρώσεις. Σχ.3.3. Ρομποτικός βραχίονας δύο συνδέσμων με [8]. συντεταγμένες θέσης για τη μάζα Η ταχύτητα της μάζας δίνεται από τη σχέση και της μάζας από τη σχέση, όπου και αντιπροσωπεύουν τη θέση μετατόπισης της μάζας. Η θέση της μάζας εκφράζεται σε σχέση με τις πολικές συντεταγμένες ως εξής: 33

34 Τώρα, παραγωγίζοντας τις (3.8),(3.9) και αντικαθιστώντας στη συνέχεια στη σχέση της, προκύπτει η ταχύτητα μετατόπισης της μάζας. Άρα, οι επιμέρους κινητικές ενέργειες του κάθε συνδέσμου δίνονται από τις παρακάτω σχέσεις: Όσον αφορά τις επιμέρους δυναμικές ενέργειες του κάθε συνδέσμου, αυτές δίνονται από τις παρακάτω σχέσεις: Η ολική κινητική ενέργεια του συστήματος προκύπτει από το άθροισμα των (3.10) και (3.11), ενώ η ολική δυναμική ενέργεια του συστήματος προκύπτει από το άθροισμα των (3.12) και (3.13). Από τις παραπάνω σχέσεις, οι πίνακες στη μορφή της (2.8) είναι: όπου παρατηρούμε ότι έχουμε δύο εισόδους ελέγχου, οι οποίες αντιπροσωπεύουν τις ροπές που ασκούνται στις δύο αρθρώσεις. Επιπλέον, ο πίνακας: είναι αντισυμμετρικός και συνεπώς, ικανοποιεί την Ιδιότητα

35 Για το ρομποτικό βραχίονα δύο συνδέσμων που απεικονίζεται στο Σχήμα 3.3, θεωρούμε, και. Εφαρμόζοντας τώρα το Θεώρημα 3.1, επιλέγουμε νόμο ελέγχου της μορφής: όπου επιλέγονται και επιπλέον χρησιμοποιούμε νόμο αναπροσαρμογής: όπου επιλέγονται. Για την πρώτη προσομοίωση, θα θεωρήσουμε ως αρχικές συνθήκες του συστήματος και ορίζουμε ως επιθυμητό σημείο ισορροπίας το. Σχ.3.4. Η γωνία του πρώτου συνδέσμου συναρτήσει του χρόνου με. 35

36 Σχ.3.5. Η γωνία του δεύτερου συνδέσμου συναρτήσει του χρόνου με. Για τη δεύτερη προσομοίωση, θα θεωρήσουμε ως αρχικές συνθήκες του συστήματος και ορίζουμε ως επιθυμητό σημείο ισορροπίας το. Σχ.3.6. Η γωνία του πρώτου συνδέσμου συναρτήσει του χρόνου με. 36

37 Σχ.3.7. Η γωνία του δεύτερου συνδέσμου συναρτήσει του χρόνου με. Για την τρίτη προσομοίωση, θα θεωρήσουμε ως αρχικές συνθήκες του συστήματος και ορίζουμε ως επιθυμητό σημείο ισορροπίας το. Σχ.3.8. Η γωνία του πρώτου συνδέσμου συναρτήσει του χρόνου με. 37

38 Σχ.3.9. Η γωνία του δεύτερου συνδέσμου συναρτήσει του χρόνου με. Όπως παρατηρήθηκε και από τις παραπάνω προσομοιώσεις, ο προσαρμοστικός νόμος ελέγχου που προτάθηκε από το Θεώρημα 3.1, εγγυάται ολική ασυμπτωτική ευστάθεια (global asymptotic stability) του επιθυμητού σημείου ισορροπίας του κλειστού συστήματος Σύνοψη - Συμπεράσματα Σε αυτό το κεφάλαιο, μελετήσαμε τα πλήρως διεγειρόμενα Euler-Lagrange συστήματα. Αρχικά, ορίσαμε την έννοια και τη χρησιμότητα του προσαρμοστικού ελέγχου καθώς και τις δύο κύριες μεθόδους προσέγγισης του. Στη συνέχεια, προτείναμε έναν άμεσο προσαρμοστικό νόμο ελέγχου ο οποίος εγγυάται ολική ασυμπτωτική ευστάθεια σε πλήρως διεγειρόμενα Euler-Lagrange συστήματα. Τέλος, εφαρμόσαμε αυτόν το νόμο ελέγχου σε ένα ρομποτικό βραχίονα δύο συνδέσμων, όπου επιβεβαιώσαμε τα θεωρητικά αποτελέσματα. 38

39 Κεφάλαιο 4 Υποδιεγειρόμενα Euler-Lagrange συστήματα 4.1. Εισαγωγή Σε αυτό το κεφάλαιο που αποτελεί και το κυριότερο της παρούσας διπλωματικής εργασίας, θα μελετήσουμε τα υποδιεγειρόμενα Euler-Lagrange συστήματα, δηλαδή τα συστήματα εκείνα των οποίων ο αριθμός εισόδων ελέγχου είναι μικρότερος από τον αριθμό των βαθμών ελευθερίας του συστήματος. Τα συστήματα αυτά αποτελούσαν πάντοτε πόλο έλξης για τους μηχανικούς ελέγχου καθώς περιγράφουν ένα πολύ μεγάλο εύρος ηλεκτρικών, μηχανικών και ηλεκτρομηχανικών συστημάτων. Ωστόσο, ο σχεδιασμός κατάλληλων νόμων ελέγχου για αυτά τα συστήματα είναι μία εξαιρετικά πολύπλοκη διαδικασία αφού πολλές φορές, παραδοσιακές τεχνικές ελέγχου όπως η γραμμικοποίηση με ανατροφοδότηση κατάστασης (feedback linearization), η backstepping τεχνική κ.α. δεν είναι άμεσα εφαρμόσιμες σε αυτού του είδους τα συστήματα [10]. Στα πλαίσια αυτής της διπλωματικής εργασίας, θα ασχοληθούμε με τρία κλασικά υποδιεγειρόμενα μηχανικά συστήματα (Σύστημα φορέα-εκκρεμούς, Σύστημα TORA, Ανάστροφο εκκρεμές) τα οποία απασχολούν εδώ και πολλά χρόνια τους μηχανικούς ελέγχου. Θα αναφερθούμε σε κάποιες βασικές μεθόδους που έχουν χρησιμοποιηθεί ως τώρα προκειμένου να εξασφαλίσουν την ευστάθεια αυτών των συστημάτων και στη συνέχεια, θα προτείνουμε μία σειρά γραμμικών και μη γραμμικών νόμων ελέγχου οι οποίοι μπορούν να εξασφαλίσουν από τοπική έως και ολική ασυμπτωτική ευστάθεια του επιθυμητού σημείου ισορροπίας. 39

40 4.2. Σύστημα φορέα-εκκρεμούς (Convey-crane system) Το μαθηματικό μοντέλο Ο σκοπός της εφαρμογής κατάλληλου ελέγχου σε ένα γερανοφόρο σύστημα είναι η μεταφορά του φορέα στην επιθυμητή θέση ελαχιστοποιώντας παράλληλα τις ταλαντώσεις του φορτίου γύρω από την κατακόρυφη θέση. Στο παρακάτω σχήμα, αναπαρίσταται το σύστημα φορέα-εκκρεμούς που θα μελετήσουμε σε αυτήν την ενότητα: Σχ.4.1. Το σύστημα φορέα-εκκρεμούς [11]. όπου είναι η μάζα του φορέα, είναι η μάζα του εκκρεμούς και του φορτίου του γερανού, είναι η γωνία που σχηματίζει το εκκρεμές με τον κατακόρυφο άξονα και είναι το μήκος της ράβδου, την οποία έχουμε θεωρήσει ότι είναι άκαμπτη. Αφού υπολογίσουμε την ολική κινητική και την ολική δυναμική ενέργεια του συστήματος φορέα-εκκρεμούς, τις αντικαθιστούμε στην Euler-Lagrange εξίσωση (2.3) και έτσι υπολογίζουμε τις διαφορικές εξισώσεις που περιγράφουν τη δυναμική συμπεριφορά του συστήματος οι οποίες θα έχουν την παρακάτω μορφή: όπου 40

41 Επιπλέον, ο πίνακας: είναι αντισυμμετρικός και συνεπώς, ικανοποιεί την Ιδιότητα 2.3. Αν τώρα θεωρήσουμε ότι υπάρχει τριβή με συντελεστή μεταξύ του φορέα και του εδάφους και στη συνέχεια αντικαταστήσουμε τις (4.2) και (4.3) στην (4.1), τότε το σύστημα φορέα-εκκρεμούς περιγράφεται από το παρακάτω δευτεροβάθμιο σύστημα πεπλεγμένων, μη γραμμικών διαφορικών εξισώσεων: Οι πιο διαδεδομένες τεχνικές ελέγχου του συστήματος φορέαεκκρεμούς Η μεταφορά ενός φορτίου, το οποίο είναι προσδεδεμένο σε έναν ιμάντα, σε μία επιθυμητή θέση προκαλεί κατά τη διάρκεια της κίνησης ανεπιθύμητες ταλαντώσεις οι οποίες μπορεί να γίνουν και επικίνδυνες στην περίπτωση ενός μεγάλου φορτίου. Πιο συγκεκριμένα, όσο μεγαλύτερη είναι η ταχύτητα μεταφοράς, τόσο ισχυρότερες είναι και οι ταλαντώσεις του φορτίου. Ένας τρόπος αποφυγής αυτού του προβλήματος είναι η διατήρηση της κίνησης του γερανού σε πολύ χαμηλές ταχύτητες, γεγονός όμως, που καθυστερεί αρκετά τη μεταφορά του φορτίου. Γι αυτό το λόγο, έχει πραγματοποιηθεί εκτενής έρευνα πάνω στο συγκεκριμένο πεδίο. Μία από τις πιο διαδεδομένες τεχνικές ελέγχου του συστήματος φορέα-εκκρεμούς είναι η input shaping τεχνική που ουσιαστικά αποτελεί μία μέθοδο ανοιχτού βρόχου για την απόσβεση ταλαντώσεων. Η αρχική ιδέα για την ανάπτυξη του input shaper δόθηκε από τον Smith το 1957 [12], σύμφωνα με τον οποίο αν το σήμα αναφοράς σε ένα γραμμικό σύστημα συνελιχθεί με ένα συρμό κρουστικών συναρτήσεων με κατάλληλα πλάτη και χρόνους εφαρμογής, τότε το διαμορφωμένο σήμα που θα εφαρμοστεί στο σύστημα, θα προκαλέσει πλήρη καταστολή των ταλαντώσεων στην έξοδο. Ο συρμός αυτός ονομάζεται input shaper. Η πιο απλή μορφή ενός input shaper, που αποτελείται από δύο μόνο κρουστικές, προτάθηκε από τους Singer και Seering [13]. Ωστόσο, η μέθοδος αυτή απαιτεί την πλήρη γνώση του συντελεστή απόσβεσης και της φυσικής ιδιοσυχνότητας του συστήματος. Για το λόγο αυτό, οι Singer και Singhose προχώρησαν στο σχεδιασμό του Extra Intensive (EI), ο οποίος απαιτεί μόνο μία εκτίμηση αυτών των δύο παραμέτρων. 41

42 Μία ακόμα γνωστή τεχνική ελέγχου του γερανοφόρου συστήματος είναι ο έλεγχος με ανατροφοδότηση κατάστασης. Στην τεχνική αυτή, υπολογίζουμε ανά πάσα στιγμή την απόκλιση (σφάλμα) της κάθε κατάστασης από την επιθυμητή τιμή και στη συνέχεια την περνάμε στο σύστημα πολλαπλασιασμένη με ένα κατάλληλο κέρδος. Στην τεχνική αυτή, μπορούμε να ανατροφοδοτήσουμε στο σύστημα ένα μέρος ή ακόμα και ολόκληρο το διάνυσμα κατάστασης. Ένα παράδειγμα μερικής ανατροφοδότησης κατάστασης όπου γίνεται και εκμετάλλευση της ιδιότητας της παθητικότητας των Euler-Lagrange συστημάτων, συναντάται στο [11]. Ωστόσο, πρέπει να σημειωθεί ότι δεν είναι πάντοτε δυνατή η μέτρηση όλων των καταστάσεων του συστήματος, ειδικότερα της ταχύτητας του φορέα και της γωνιακής ταχύτητας του εκκρεμούς, γεγονός που μας οδηγεί είτε στην αριθμητική παραγώγιση της μετατόπισης και της γωνίας, είτε στη σχεδίαση ενός παρατηρητή μέσα από τον οποίο μπορούμε να εκτιμήσουμε τα άγνωστα μεγέθη. Επιπλέον, η σωστή επιλογή των κερδών παίζει σημαντικό ρόλο καθώς για παράδειγμα, η επιλογή ενός πολύ μεγάλου κέρδους για την ανατροφοδότηση της γωνίας του εκκρεμούς μπορεί να προκαλέσει μεγάλη καθυστέρηση στη μεταφορά του φορτίου στην επιθυμητή θέση Σύγκριση μεθόδων μερικής και πλήρους ανατροφοδότησης κατάστασης για το σύστημα φορέα-εκκρεμούς Σε αυτήν την υποενότητα, θα πραγματοποιήσουμε μία σύγκριση των μεθόδων μερικής και πλήρους ανατροφοδότησης κατάστασης για το σύστημα φορέα-εκκρεμούς. Για την περίπτωση της μερικής ανατροφοδότησης κατάστασης, θα εκμεταλλευτούμε την ιδιότητα της παθητικότητας των Euler-Lagrange συστημάτων. Αν θέσουμε, τότε η ολική ενέργεια του συστήματος φορέα-εκκρεμούς προκύπτει ως το άθροισμα της ολικής κινητικής και της ολικής δυναμικής ενέργειας του συστήματος και δίνεται από την παρακάτω σχέση: Άρα, η παράγωγος της ενέργειας ισούται με: 42

43 Θεωρούμε, τώρα, την παρακάτω υποψήφια συνάρτηση Lyapunov: όπου είναι θετικές σταθερές και συνεπώς η είναι θετικά ορισμένη στο. Άρα, η παράγωγος της (4.7) με τη χρήση της (4.6) γράφεται: όπου αν επιλέξουμε: όπου, παίρνουμε που είναι αρνητικά ημιορισμένη. Στη συνέχεια, αποδεικνύεται στο [11] με τη χρήση του θεωρήματος LaSalle ότι το μηδενικό σημείο ισορροπίας του συστήματος είναι ασυμπτωτικά ευσταθές για όλα τα σημεία στο. Όσον αφορά την περίπτωση της πλήρους ανατροφοδότησης κατάστασης, η ασυμπτωτική ευστάθεια που εξασφαλίζει για το μηδενικό σημείο ισορροπίας, μπορεί να αποδειχθεί τοπικά με τη χρήση της πρώτης μεθόδου Lyapunov. Αρχικά, θα υπολογίσουμε το ισοδύναμο μοντέλο της (4.4) στο χώρο κατάστασης θέτοντας. Άρα, αν επιλέξουμε ένα νόμο ελέγχου της μορφής: και αντικαταστήσουμε την (4.11) στην (4.10) και στη συνέχεια, υπολογίσουμε τη γραμμική προσέγγιση του κλειστού μη γραμμικού συστήματος γύρω από το σημείο ισορροπίας, τότε αυτή θα μπορεί να γραφεί στη μορφή της (1.10), όπου η μήτρα θα ισούται με: 43

44 Για διευκόλυνση των υπολογισμών, θα θεωρήσουμε ότι και. Άρα, το χαρακτηριστικό πολυώνυμο μέσα από το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε τις ιδιοτιμές της μήτρας είναι: Από την (4.13) και βασιζόμενοι επιπλέον στον πολυωνυμικό κανόνα του Καρτέσιου [14], μπορούμε να επιλέξουμε τα κέρδη έτσι ώστε να μην παρουσιάζονται αλλαγές προσήμου μεταξύ των διαδοχικών συντελεστών του χαρακτηριστικού πολυωνύμου. Θα πραγματοποιήσουμε, τώρα, πολλαπλές προσομοιώσεις προκειμένου να συγκρίνουμε τους νόμους ελέγχου μερικής (4.9) και πλήρους ανατροφοδότησης κατάστασης (4.13). Για την πρώτη προσομοίωση, θα εξετάσουμε δύο περιπτώσεις για το νόμο ελέγχου (4.9). Για την πρώτη περίπτωση, θα θεωρήσουμε και (που είναι και τα βέλτιστα κέρδη σύμφωνα με το [11]), ενώ για τη δεύτερη περίπτωση θα θέσουμε και. Για τον (4.13) αντίστοιχα, θα θεωρήσουμε και. Οι αρχικές συνθήκες του συστήματος είναι. 44 Σχ.4.2. Η μετατόπιση του φορέα συναρτήσει του χρόνου με.

45 Σχ.4.3. Η γωνία του εκκρεμούς συναρτήσει του χρόνου με. Σχ.4.4. Οι νόμοι ελέγχου πλήρους (4.13) και μερικής ανατροφοδότησης κατάστασης (4.9) συναρτήσει του χρόνου. 45

46 Σχ.4.5. Η ολική ενέργεια του κλειστού συστήματος με πλήρη και με μερική ανατροφοδότηση κατάστασης συναρτήσει του χρόνου. Για τη δεύτερη προσομοίωση, θα χρησιμοποιήσουμε τα κέρδη που προτείνονται στο [11] για το νόμο ελέγχου με μερική ανατροφοδότηση κατάστασης, θα κρατήσουμε ίδια τα κέρδη στο νόμο ελέγχου πλήρους ανατροφοδότησης κατάστασης και θα αλλάξουμε τις αρχικές συνθήκες του συστήματος σε. Σχ.4.6. Η μετατόπιση του φορέα συναρτήσει του χρόνου με. 46

47 Σχ.4.7. Η γωνία του εκκρεμούς συναρτήσει του χρόνου με. Σχ.4.8. Οι νόμοι ελέγχου πλήρους (4.13) και μερικής ανατροφοδότησης κατάστασης (4.9) συναρτήσει του χρόνου. 47

48 Σχ.4.9. Η ολική ενέργεια του κλειστού συστήματος με πλήρη και με μερική ανατροφοδότηση κατάστασης συναρτήσει του χρόνου. Για την τρίτη προσομοίωση, θα χρησιμοποιήσουμε τα ίδια κέρδη με αυτά της δεύτερης προσομοίωσης και θα αλλάξουμε τις αρχικές συνθήκες του συστήματος σε. Σχ Η μετατόπιση του φορέα συναρτήσει του χρόνου με. 48

49 Σχ Η γωνία του εκκρεμούς συναρτήσει του χρόνου με. Σχ Οι νόμοι ελέγχου πλήρους (4.13) και μερικής ανατροφοδότησης κατάστασης (4.9) συναρτήσει του χρόνου. 49

50 Σχ Η ολική ενέργεια του κλειστού συστήματος με πλήρη και με μερική ανατροφοδότηση κατάστασης συναρτήσει του χρόνου Συμπεράσματα Από τις προσομοιώσεις που εκτελέστηκαν για το σύστημα φορέα-εκκρεμούς, φαίνεται ότι ο νόμος ελέγχου μερικής ανατροφοδότησης κατάστασης (4.9) έχει ταχύτερη απόκριση και μεταφέρει το φορτίο στο επιθυμητό σημείο γρηγορότερα απ ότι ο νόμος ελέγχου με πλήρη ανατροφοδότηση κατάστασης (4.13). Ωστόσο, ο τελευταίος παρουσιάζει πολύ καλύτερη μεταβατική συμπεριφορά, όσον αφορά τη γωνία που σχηματίζει το εκκρεμές με τον κατακόρυφο άξονα αφού τόσο το εύρος, όσο και το πλάτος των ταλαντώσεων που παρουσιάζει το φορτίο, είναι πολύ μικρότερα σε σχέση με αυτά που παρουσιάζονται στον ελεγκτή μερικής ανατροφοδότησης κατάστασης. Τέλος, αξίζει να σημειωθεί ότι η ολική ενέργεια του κλειστού συστήματος με ελεγκτή πλήρους ανατροφοδότησης κατάστασης δεν είναι γνησίως φθίνουσα συνάρτηση όταν η αρχική γωνία του εκκρεμούς έχει το ίδιο πρόσημο με την αρχική συνθήκη. Ωστόσο, ακόμα και σε αυτήν την περίπτωση, ο νόμος ελέγχου με πλήρη ανατροφοδότηση κατάστασης είναι αρκετά σθεναρός ώστε να κατορθώσει να φέρει το σύστημα στο επιθυμητό σημείο ισορροπίας. Άρα, φαίνεται ότι ο νόμος ελέγχου με πλήρη ανατροφοδότηση κατάστασης είναι προτιμότερος, ειδικά όταν το φορτίο που μεταφέρει ο φορέας έχει πολύ μεγάλη μάζα και κατά συνέπεια, η ταλάντωση του θα μπορούσε να έχει καταστροφικά αποτελέσματα. 50

51 4.3. Το σύστημα TORA Το μαθηματικό μοντέλο Το σύστημα TORA (Translational Oscillator with Rotational Actuator) εισήχθηκε για πρώτη φορά στο [15]. Αποτελείται από ένα φορέα μάζας που είναι συνδεδεμένος με ένα ελατήριο σταθεράς. Επιπλέον, στο φορέα αναρτάται ένα εκκρεμές μήκους, στην άκρη του οποίου υπάρχει μία μάζα. Η είσοδος ελέγχου είναι μία ροπή που εφαρμόζεται στο εκκρεμές. Σχηματικά, το σύστημα TORA φαίνεται παρακάτω: Σχ Το σύστημα TORA [1]. όπου η μεταβλητή εκφράζει τη μετατόπιση του φορέα και η μεταβλητή εκφράζει τη γωνία που σχηματίζει το εκκρεμές με τον κατακόρυφο άξονα. Άρα, ορίζοντας ως γενικευμένες συντεταγμένες θέσης τις, τότε η ολική κινητική και η ολική δυναμική ενέργεια του συστήματος γράφονται ως εξής: Αν αντικαταστήσουμε τώρα τις σχέσεις (4.14) και (4.15) στην Euler-Lagrange εξίσωση (2.3), τότε μπορούμε να εξάγουμε τις διαφορικές εξισώσεις που περιγράφουν τη δυναμική συμπεριφορά του συστήματος, οι οποίες θα έχουν την παρακάτω μορφή: όπου 51

52 Επιπλέον, ο πίνακας: είναι αντισυμμετρικός και συνεπώς, ικανοποιεί την Ιδιότητα 2.3. Αν τώρα θεωρήσουμε ότι υπάρχει τριβή με συντελεστή μεταξύ του φορέα και του εδάφους και στη συνέχεια αντικαταστήσουμε τις (4.17) και (4.18) στην (4.16), τότε το σύστημα TORA περιγράφεται από το παρακάτω δευτεροβάθμιο σύστημα πεπλεγμένων, μη γραμμικών διαφορικών εξισώσεων: Οι πιο διαδεδομένες τεχνικές ελέγχου του συστήματος TORA Το σύστημα TORA είναι ένα από τα πιο διαδεδομένα μη γραμμικά συστήματα ελέγχου. Μάλιστα, το 1995 προτάθηκε στο [16] ως πρόβλημα-αναφορά για το σχεδιασμό μη γραμμικών νόμων ελέγχου. Το γεγονός αυτό, σε συνδυασμό με το ότι είναι ένα σύστημα που δεν μπορεί να εφαρμοστεί πλήρως η τεχνική της γραμμικοποίησης με ανατροφοδότηση κατάστασης (feedback linearization), το μετέτρεψε σε έναν πόλο έλξης για πολλούς ερευνητές στον τομέα των συστημάτων ελέγχου. Όπως προαναφέρθηκε, το σύστημα TORA εισήχθη για πρώτη φορά στο [15] όπου αποδείχθηκε ότι με μία απλή αλλαγή συντεταγμένων, μπορεί να μετατραπεί σε μη γραμμικό σύστημα cascade μορφής και στη συνέχεια να εφαρμοστεί η backstepping τεχνική. Στη συνέχεια, το σύστημα αυτό χρησιμοποιήθηκε ευρέως για το σχεδιασμό νόμων ελέγχου που βασίζονται στην ιδιότητα της παθητικότητας των Euler-Lagrange συστημάτων [17]-[19]. Επιπλέον, στο [1] αποδείχθηκε ότι η χρήση ενός PD ελεγκτή μπορεί να εξασφαλίσει ολική ασυμπτωτική ευστάθεια στο σημείο. Στις περισσότερες από αυτές τις εργασίες, όμως, αγνοήθηκε πλήρως η επίδραση της βαρύτητας στη δυναμική ενέργεια του συστήματος. Στο [10], λαμβάνοντας υπόψιν την επίδραση της βαρύτητας, αφού εφαρμόστηκε μερική γραμμικοποίηση με ανατροφοδότηση κατάστασης (partial feedback linearization), προτάθηκε ένας ελεγκτής με ανατροφοδότηση κατάστασης όπου εγγυάται ολική ασυμπτωτική ευστάθεια στο σημείο. 52

53 Χρήση PD ελεγκτή στο σύστημα TORA Σε αυτήν την υποενότητα, θα αποδείξουμε και θα χρησιμοποιήσουμε έναν PD ελεγκτή που προτάθηκε για πρώτη φορά στο [1]. Αξίζει να σημειωθεί ότι θα παρουσιάσουμε μία εναλλακτική απόδειξη από αυτήν που παρουσιάστηκε στο [1]. Όσον αφορά το μαθηματικό μοντέλο του συστήματος, θα συμπεριλάβουμε και την επίδραση της βαρύτητας στη δυναμική ενέργεια του συστήματος. Αρχικά, χρησιμοποιώντας την πρώτη μέθοδο Lyapunov, θα αποδείξουμε ότι ένας ελεγκτής με πλήρη ανατροφοδότηση κατάστασης δεν μπορεί να προσφέρει κάτι παραπάνω όσον αφορά την τοπική ασυμπτωτική ευστάθεια του σημείου από τον PD ελεγκτή που προτάθηκε στο [1]. Για το λόγο αυτό, θα υπολογίσουμε καταρχάς το ισοδύναμο μοντέλο της (4.19) στο χώρο κατάστασης θέτοντας. Άρα, αν επιλέξουμε ένα νόμο ελέγχου της μορφής: και αντικαταστήσουμε την (4.21) στην (4.20) και στη συνέχεια, υπολογίσουμε τη γραμμική προσέγγιση του κλειστού μη γραμμικού συστήματος γύρω από το σημείο ισορροπίας, τότε αυτή θα μπορεί να γραφεί στη μορφή της (1.10), όπου η μήτρα θα ισούται με: Για διευκόλυνση των υπολογισμών, θα θεωρήσουμε ότι και. Άρα, το χαρακτηριστικό πολυώνυμο μέσα από το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε τις ιδιοτιμές της μήτρας είναι: 53

54 Από την (4.23) και βασιζόμενοι επιπλέον στον πολυωνυμικό κανόνα του Καρτέσιου [14], μπορούμε να επιλέξουμε τα κέρδη. Ωστόσο, παρατηρούμε ότι η κατάλληλη επιλογή των κερδών και μπορεί να μας ικανοποιήσει τη συνθήκη που απαιτεί αυτός ο κανόνας και συνεπώς, ένας PD ελεγκτής αρκεί για να εξασφαλίσουμε τοπική ασυμπτωτική ευστάθεια στο σημείο. Άρα, στην παρούσα υποενότητα θα αποδείξουμε και στη συνέχεια, θα χρησιμοποιήσουμε τον PD ελεγκτή: Αρχικά, θα θέσουμε και στη συνέχεια θα υπολογίσουμε την ολική ενέργεια του συστήματος TORA η οποία προκύπτει ως το άθροισμα της ολικής κινητικής και της ολικής δυναμικής ενέργειας του συστήματος και δίνεται από την παρακάτω σχέση: Άρα, η παράγωγος της ενέργειας ισούται με: Θεωρούμε, τώρα, την παρακάτω υποψήφια συνάρτηση Lyapunov: όπου είναι θετική σταθερά και συνεπώς η είναι θετικά ορισμένη στο. Άρα, η παράγωγος της (4.27) με τη χρήση της (4.26) γράφεται: όπου αν επιλέξουμε: όπου, παίρνουμε που είναι αρνητικά ημιορισμένη. 54

55 Έστω, τώρα, το αμετάβλητο σύνολο. Άρα, το είναι σταθερό στο σύνολο. Ας υποθέσουμε ότι στο,. Τότε, από τη σχέση (4.29) προκύπτει, που έρχεται σε αντίφαση με το γεγονός ότι αφού αυτή η μη μηδενική είσοδος θα προκαλούσε την περιστροφή του εκκρεμούς. Συνεπώς, στο αμετάβλητο σύνολο θα ισχύει και. Εφόσον για το εκκρεμές ισχύει, ο φορέας είτε θα ισορροπεί είτε θα ταλαντώνεται. Ωστόσο, μία πιθανή ταλαντωτική συμπεριφορά του φορέα, θα προκαλούσε την περιστροφή του εκκρεμούς. Άρα, υποχρεωτικά θα ισχύει και εφόσον ο φορέας δεν μπορεί να ισορροπήσει σε σημείο, θα ισχύει επιπλέον και ότι. Άρα, για το κλειστό σύστημα που δίνεται από τις σχέσεις (4.20) και (4.29), το σημείο είναι ασυμπτωτικά ευσταθές. Θα πραγματοποιήσουμε, τώρα, πολλαπλές προσομοιώσεις προκειμένου να δείξουμε την απόκριση του συστήματος TORA υπό την επίδραση του PD ελεγκτή (4.29).Για την πρώτη προσομοίωση, θα θεωρήσουμε και για το νόμο ελέγχου, ενώ οι αρχικές συνθήκες του συστήματος θα είναι. Σχ Η μετατόπιση του φορέα συναρτήσει του χρόνου με. 55

56 Σχ Η γωνία του εκκρεμούς συναρτήσει του χρόνου με. Σχ Η τροχιά με αρχικές συνθήκες. 56

57 Σχ Η ολική ενέργεια του κλειστού συστήματος συναρτήσει του χρόνου. Για τη δεύτερη προσομοίωση, θα θεωρήσουμε και για το νόμο ελέγχου, ενώ οι αρχικές συνθήκες του συστήματος θα είναι. Σχ Η μετατόπιση του φορέα συναρτήσει του χρόνου με. 57

58 Σχ Η γωνία του εκκρεμούς συναρτήσει του χρόνου με. Σχ Η τροχιά με αρχικές συνθήκες. 58

59 Σχ Η ολική ενέργεια του κλειστού συστήματος συναρτήσει του χρόνου Συμπεράσματα Στην παρούσα ενότητα, μελετήσαμε το σύστημα TORA που όπως προαναφέρθηκε, είναι ένα από τα πιο διαδεδομένα μη γραμμικά συστήματα και αποτέλεσε πόλο έλξης για πολλούς ερευνητές στον τομέα των συστημάτων ελέγχου. Επιπλέον, λαμβάνοντας υπόψιν την επίδραση της βαρύτητας στη δυναμική ενέργεια του συστήματος (είχε παραληφθεί στο [1]), αποδείξαμε ότι ο έλεγχος με πλήρη ανατροφοδότηση κατάστασης δεν μπορεί να εγγυηθεί κάτι περισσότερο από έναν απλό PD ελεγκτή της μορφής (4.29) όσον αφορά την τοπική ασυμπτωτική ευστάθεια του μηδενικού σημείου ισορροπίας. Τέλος, αφού αποδείξαμε ότι ο PD ελεγκτής εγγυάται ασυμπτωτική ευστάθεια στο μηδενικό σημείο ισορροπίας του κλειστού συστήματος, επιβεβαιώσαμε τα θεωρητικά αποτελέσματα πραγματοποιώντας εκτενείς προσομοιώσεις. 59

60 4.4. Ανάστροφο εκκρεμές (Inverted Pendulum) Το μαθηματικό μοντέλο Το ανάστροφο εκκρεμές (inverted pendulum) είναι ένα από τα πιο διάσημα μη γραμμικά συστήματα που αποτέλεσε και συνεχίζει να αποτελεί πόλο έλξης για πάρα πολλούς ερευνητές στον τομέα των συστημάτων ελέγχου. Πρόκειται για ένα υποδιεγειρόμενο μηχανικό σύστημα του οποίου η μορφή είναι ίδια με αυτήν του συστήματος φορέα-εκκρεμούς, μόνο που σε αυτό το σύστημα, ο σκοπός του ελέγχου είναι η αναστροφή και η ισορροπία του εκκρεμούς στην ανάποδη κατακόρυφη θέση μέσω μίας δύναμης που ασκείται στο φορέα. Το σύστημα του ανάστροφου εκκρεμούς φαίνεται στο παρακάτω σχήμα: Σχ Το ανάστροφο εκκρεμές [11]. όπου η μεταβλητή εκφράζει τη μετατόπιση του φορέα, η μεταβλητή εκφράζει τη γωνία που σχηματίζει το εκκρεμές με τον κατακόρυφο άξονα και η μεταβλητή είναι η είσοδος ελέγχου. Άρα, ορίζοντας ως γενικευμένες συντεταγμένες θέσης τις, τότε η ολική κινητική και η ολική δυναμική ενέργεια του συστήματος γράφονται ως εξής: 60

61 Αν αντικαταστήσουμε τώρα τις σχέσεις (4.30) και (4.31) στην Euler-Lagrange εξίσωση (2.3), τότε μπορούμε να εξάγουμε τις διαφορικές εξισώσεις που περιγράφουν τη δυναμική συμπεριφορά του συστήματος, οι οποίες θα έχουν την παρακάτω μορφή: όπου Επιπλέον, ο πίνακας: είναι αντισυμμετρικός και συνεπώς, ικανοποιεί την Ιδιότητα 2.3. Αν τώρα θεωρήσουμε ότι υπάρχει τριβή με συντελεστή μεταξύ του φορέα και του εδάφους και στη συνέχεια αντικαταστήσουμε τις (4.33) και (4.34) στην (4.32), τότε το σύστημα του ανάστροφου εκκρεμούς περιγράφεται από το παρακάτω δευτεροβάθμιο σύστημα πεπλεγμένων, μη γραμμικών διαφορικών εξισώσεων: Οι πιο διαδεδομένες τεχνικές ελέγχου για το ανάστροφο εκκρεμές Το σύστημα του ανάστροφου εκκρεμούς, χωρίς την παρουσία ελέγχου, έχει δύο σημεία ισορροπίας. Το πρώτο σημείο ισορροπίας είναι το που αντιστοιχεί στην κάτω θέση του εκκρεμούς και για το οποίο αποδεικνύεται, μέσω της πρώτης μεθόδου Lyapunov, ότι είναι ασυμπτωτικά ευσταθές. Το δεύτερο σημείο ισορροπίας, που είναι συγχρόνως και το πιο ενδιαφέρον από την άποψη ελέγχου, είναι το που αντιστοιχεί στην πάνω θέση του εκκρεμούς (ανεστραμμένο εκκρεμές) και για το οποίο αποδεικνύεται, μέσω της πρώτης μεθόδου Lyapunov, ότι είναι ασταθές. Σκοπός του προβλήματος είναι ο σχεδιασμός ενός κατάλληλο νόμου ελέγχου, ο οποίος εφαρμόζεται μέσω μίας δύναμης που ασκείται στο φορέα, που να εξασφαλίζει ασυμπτωτική ευστάθεια του σημείου του κλειστού συστήματος. Πρακτικά, αυτό που προσπαθούμε να πετύχουμε με την εφαρμογή ελέγχου στο σύστημα είναι η αναστροφή και η σταθεροποίηση του εκκρεμούς στο σημείο. 61

62 Το πρόβλημα της τοπικής ευστάθειας του σημείου του ανάστροφου εκκρεμούς λύθηκε για πρώτη φορά το 1972 στο [20]. Ωστόσο, το πρόβλημα της αναστροφής και της μετέπειτα ισορροπίας του εκκρεμούς στην ανεστραμμένη θέση ήταν αρκετά δύσκολο αφού όπως αποδείχθηκε στο [21], το σύστημα του ανάστροφου εκκρεμούς δεν είναι πλήρως γραμμικοποιήσιμο με ανατροφοδότηση κατάστασης. Έκτοτε, ακολούθησαν πολλές ενδιαφέρουσες λύσεις σε αυτό το πρόβλημα. Στο [22], προτάθηκε ένας μη γραμμικός νόμος ελέγχου που ρυθμίζει τη θέση του φορέα και την ενέργεια αναστροφής του εκκρεμούς. Με αυτόν το νόμο ελέγχου, το κλειστό σύστημα ακολουθεί μία τοπικά ευσταθή περιοδική τροχιά χωρίς όμως να έχει προσδιοριστεί η περιοχή ελκτικότητας της. Στο [23], παρουσιάστηκε ένας γραμμικός νόμος ελέγχου που βασίστηκε στη γραμμική προσέγγιση του συστήματος. Ωστόσο, όταν αυτός ο νόμος ελέγχου εφαρμόστηκε στο μη γραμμικό μοντέλο του ανάστροφου εκκρεμούς, δεν προσδιορίστηκε η περιοχή ελκτικότητας του συστήματος. Στα [24] και [25], αφού χρησιμοποιήθηκε η τεχνική της μερικής γραμμικοποίησης με ανατροφοδότηση κατάστασης, προτάθηκε μία στρατηγική ελέγχου για την αναστροφή του εκκρεμούς η οποία βασίστηκε στις μεθόδους Lyapunov. Μία παρόμοια στρατηγική παρουσιάζεται και στο [11], χωρίς όμως να έχει χρησιμοποιηθεί αρχικά η τεχνική της μερικής γραμμικοποίησης με ανατροφοδότηση κατάστασης. Μία ακόμα ενδιαφέρουσα προσέγγιση του προβλήματος του ανάστροφου εκκρεμούς, στην οποία ο νόμος ελέγχου βασίστηκε στην ενέργεια του συστήματος, παρουσιάστηκε στο [26]. Επιπρόσθετα, τεχνικές ελέγχου του ανάστροφου εκκρεμούς που βασίζονται στην ιδιότητα της παθητικότητας των Euler-Lagrange συστημάτων παρουσιάζονται στα [27] και [28]. Τέλος, πρέπει να σημειωθεί ότι σε όλες τις παραπάνω εργασίες, το πρόβλημα του ανάστροφου εκκρεμούς χωρίζεται σε δύο κύρια μέρη. Στο πρώτο μέρος, προσπαθούν να σχεδιάσουν ένα κατάλληλο νόμο ελέγχου που να μπορεί να επιτύχει την αναστροφή του εκκρεμούς και στο δεύτερο μέρος, εφόσον το εκκρεμές έχει βρεθεί σε μία περιοχή κοντά στην επιθυμητή θέση, αντικαθιστούν τον υπάρχων ελεγκτή με ένα νέο νόμο ελέγχου που έχει ως σκοπό τη σταθεροποίηση του εκκρεμούς στην ανεστραμμένη θέση. Αυτή είναι η λεγόμενη τεχνική του Swing Up, η οποία θα παρουσιαστεί στην επόμενη υποενότητα Η τεχνική του Swing Up στο ανάστροφο εκκρεμές Στην παρούσα υποενότητα, θα αναφερθούμε στην τεχνική του Swing Up όπως αυτή παρουσιάστηκε στο [32]. Επιπλέον, αξίζει να αναφερθεί ότι η λογική της τεχνικής που θα παρουσιαστεί, είναι παρόμοια και σε όλες τις υπόλοιπες σχετικές εργασίες. Σε αυτήν την εργασία, εφαρμόζεται αρχικά ένας ενεργειακός ελεγκτής ο οποίος προσθέτει ένα κατάλληλο ποσό ενέργειας στο σύστημα προκειμένου να επιτευχθεί η αναστροφή του εκκρεμούς και στη συνέχεια, όταν το εκκρεμές έχει βρεθεί πλέον κοντά στην ανεστραμμένη θέση, εφαρμόζεται ένας LQR (Linear Quadratic Regulator) ελεγκτής ο οποίος σχεδιάστηκε με βάση τη γραμμική προσέγγιση του αρχικού μη γραμμικού συστήματος γύρω από το σημείο ισορροπίας που αντιστοιχεί στο ανεστραμμένο εκκρεμές. Σε αυτό το σημείο, πρέπει να σημειωθεί ότι στη συγκεκριμένη εργασία το σύστημα συντεταγμένων ορίστηκε διαφορετικά και έτσι, για την ανάλυση της συγκεκριμένης υποενότητας μόνο, θα θεωρήσουμε ότι η ανεστραμμένη θέση του 62

63 εκκρεμούς αντιστοιχεί σε γωνία γραφεί ως:. Έτσι, η ενέργεια του εκκρεμούς μπορεί να όπου και είναι η ροπή αδράνειας. Επιπλέον, σημειώνεται ότι η ενέργεια του εκκρεμούς όταν αυτό βρίσκεται στην κάτω θέση, ισούται με. Άρα, ο σκοπός του ενεργειακού ελεγκτή είναι να προσθέσει ενέργεια στο σύστημα μέχρις ότου εκείνη φθάσει την τιμή που αντιστοιχεί στην ανεστραμμένη θέση του εκκρεμούς. Ο νόμος ελέγχου που θα εφαρμοστεί προκειμένου να επιτευχθεί η επιθυμητή τιμή της ενέργειας θα είναι: όπου είναι ένα κέρδος που επιλέγουμε, είναι η επιθυμητή τιμή της ενέργειας και είναι η επιτάχυνση του άξονα περιστροφής η οποία, χρησιμοποιώντας τις σχέσεις: μπορεί να μεταφραστεί ως η παρεχόμενη τάση στον κινητήρα του καρτ. Όσον αφορά την εξίσωση (4.40), το εκφράζει τη σταθερή ροπή του κινητήρα, το εκφράζει το λόγο του κιβωτίου ταχυτήτων, το εκφράζει την αντίσταση του οπλισμού του κινητήρα και το την ακτίνα του γραναζιού του. Ο νόμος ελέγχου (4.38) χρησιμοποιεί τη γωνία και τη γωνιακή ταχύτητα του εκκρεμούς προκειμένου να μπορεί να προσδιορίζει, ανά πάσα στιγμή, την κατεύθυνση προς την οποία θα κινηθεί το καρτ. Η τιμή της παραμέτρου στο καθορίζει ουσιαστικά το μέγιστο ποσό αύξησης της ενέργειας του συστήματος. Έτσι, αφότου το σύστημα φθάσει στην επιθυμητή ενεργειακή κατάσταση, δηλαδή κοντά στην ανεστραμμένη θέση ισορροπίας, τότε σταματάει να ενεργεί ο νόμος ελέγχου (4.38) και αρχίζει να εφαρμόζεται ένας LQR ελεγκτής ο οποίος περιγράφεται αναλυτικά στο [32], με τη χρήση του οποίου τελικά επιτυγχάνεται η ισορρόπηση του εκκρεμούς στην ανεστραμμένη θέση. Στα Σχήματα 4.24 και 4.25, παρουσιάζονται η γωνία του εκκρεμούς και η είσοδος ελέγχου που εφαρμόζεται στο σύστημα, όταν χρησιμοποιείται η τεχνική που μόλις περιγράφηκε. 63

64 Σχ Η γωνία του εκκρεμούς συναρτήσει του χρόνου με [32]. Σχ Ο νόμος ελέγχου συναρτήσει του χρόνου [32]. 64

65 Προτεινόμενες τεχνικές ελέγχου για το ανάστροφο εκκρεμές Όπως προαναφέρθηκε, το σύστημα του ανάστροφου εκκρεμούς απασχόλησε και συνεχίζει να απασχολεί πολλούς ερευνητές στον τομέα των συστημάτων ελέγχου. Συνεπώς, έχει παρουσιαστεί ως τώρα μία πληθώρα λύσεων για το συγκεκριμένο πρόβλημα. Ωστόσο, πολλές από αυτές τις λύσεις εξαρτώνται άμεσα από τα φυσικά χαρακτηριστικά του συστήματος (μάζα του φορέα, μήκος του εκκρεμούς κλπ.) που πολλές φορές δεν είναι γνωστά. Αυτό συμβαίνει είτε σε μεθόδους που χρησιμοποιούν την τεχνική της μερικής γραμμικοποίησης με ανατροφοδότηση κατάστασης ([10],[24],[25]), είτε και σε άλλες μεθόδους που βασίζονται για παράδειγμα στην ιδιότητα της παθητικότητας των Euler-Lagrange συστημάτων ([11],[27],[28]). Επιπλέον, προσωπικά, σε όλες τις σχετικές εργασίες που έχω αναζητήσει έως τώρα, η προσέγγιση στο συγκεκριμένο θέμα γίνεται χρησιμοποιώντας την τεχνική του Swing Up. Στα πλαίσια της παρούσας διπλωματικής εργασίας, θα προτείνουμε ένα γραμμικό και δύο μη γραμμικούς νόμους ελέγχου οι οποίοι δεν εξαρτώνται καθόλου από τα φυσικά χαρακτηριστικά του συστήματος. Επιπλέον, όλοι οι νόμοι ελέγχου που θα παρουσιαστούν μπορούν να λύσουν ολοκληρωτικά το πρόβλημα, δηλαδή, μέσω αυτών μπορούμε να επιτύχουμε και την αναστροφή του εκκρεμούς καθώς και την σταθεροποίηση του στην ανεστραμμένη θέση. Για το σκοπό αυτό, θα χωρίσουμε τη συγκεκριμένη ενότητα σε τρεις υποενότητες όπου η κάθε μία θα περιλαμβάνει και ένα διαφορετικό νόμο ελέγχου. Τέλος, αξίζει να σημειωθεί ότι δεν θα παρουσιαστούν αναλυτικές αποδείξεις για την ανάλυση ευστάθειας του κλειστού συστήματος με αυτούς του νόμους ελέγχου στα πλαίσια της παρούσας διπλωματικής εργασίας Έλεγχος του ανάστροφου εκκρεμούς με απλή ανατροφοδότηση κατάστασης Αρχικά, θα υπολογίσουμε το ισοδύναμο μοντέλο της (4.35) στο χώρο κατάστασης θέτοντας. και θα επιλέξουμε ένα νόμο ελέγχου της μορφής: 65

66 Προσπαθώντας να βρούμε τα σημεία ισορροπίας του κλειστού συστήματος που δίνεται από τις σχέσεις (4.41) και (4.42), γράφουμε την (4.41) στη μορφή και στη συνέχεια λύνουμε την εξίσωση, από την οποία προκύπτει ότι τα δυνατά σημεία ισορροπίας του κλειστού συστήματος δίνονται από την παρακάτω σχέση: Αν αντικαταστήσουμε τώρα την (4.42) στην (4.41) και στη συνέχεια, υπολογίσουμε τη γραμμική προσέγγιση του κλειστού μη γραμμικού συστήματος γύρω από τα σημεία ισορροπίας τότε αυτή θα μπορεί να γραφεί στη μορφή της (1.10), όπου η μήτρα θα ισούται με: Για διευκόλυνση των υπολογισμών, θα θεωρήσουμε ότι και. Άρα, το χαρακτηριστικό πολυώνυμο μέσα από το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε τις ιδιοτιμές της μήτρας είναι: Από την (4.45) και βασιζόμενοι επιπλέον στον πολυωνυμικό κανόνα του Καρτέσιου [14], μπορούμε να επιλέξουμε τα κέρδη έτσι ώστε να μην παρουσιάζονται αλλαγές προσήμου μεταξύ των διαδοχικών συντελεστών του χαρακτηριστικού πολυωνύμου. Με αυτόν τον τρόπο, θα έχουμε εξασφαλίσει ότι όλα τα σημεία ισορροπίας είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθή αν και μόνο αν ικανοποιούνται οι παρακάτω ανισότητες: Για το κλειστό σύστημα που περιγράφεται από τις σχέσεις (4.41) και (4.42), θα υπολογίσουμε, τώρα, τη γραμμική του προσέγγιση γύρω από τα σημεία ισορροπίας η οποία μπορεί να γραφεί στη μορφή της (1.10), όπου η μήτρα θα ισούται με: 66

67 Θεωρώντας τα ίδια φυσικά χαρακτηριστικά για το σύστημα του ανάστροφου εκκρεμούς, το χαρακτηριστικό πολυώνυμο μέσα από το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε τις ιδιοτιμές της μήτρας είναι: όπου αν επιλέξουμε τα κέρδη έτσι ώστε να ικανοποιούνται οι ανισότητες (4.46), τότε η μήτρα θα έχει τουλάχιστον μία ιδιοτιμή με θετικό πραγματικό μέρος και συνεπώς, όλα τα σημεία ισορροπίας θα είναι ασταθή. Θα πραγματοποιήσουμε, τώρα, πολλαπλές προσομοιώσεις προκειμένου να δείξουμε την απόκριση του συστήματος του ανάστροφου εκκρεμούς υπό την επίδραση του νόμου ελέγχου (4.42). Για την πρώτη προσομοίωση, θα θεωρήσουμε και για το νόμο ελέγχου, ενώ οι αρχικές συνθήκες του συστήματος θα είναι. Σχ Η γωνία του εκκρεμούς συναρτήσει του χρόνου με. 67

68 Σχ Η μετατόπιση του φορέα συναρτήσει του χρόνου με. Σχ Η ολική ενέργεια του κλειστού συστήματος συναρτήσει του χρόνου. Από το Σχήμα 4.28, παρατηρούμε ότι η ολική ενέργεια του κλειστού συστήματος δεν είναι γνησίως μονότονη συνάρτηση και η χρονική της παράγωγος παίρνει και θετικές τιμές. Ωστόσο, ο νόμος ελέγχου (4.42) φαίνεται αρκετά σθεναρός ώστε να καταφέρει να ισορροπήσει το εκκρεμές στην ανεστραμμένη θέση. Για τη δεύτερη προσομοίωση, θα 68

69 κρατήσουμε ίδια τα κέρδη του ελεγκτή και θα αλλάξουμε τις αρχικές συνθήκες του συστήματος σε. Σχ Η γωνία του εκκρεμούς συναρτήσει του χρόνου με. Σχ Η μετατόπιση του φορέα συναρτήσει του χρόνου με. 69

70 Σχ Η ολική ενέργεια του κλειστού συστήματος συναρτήσει του χρόνου. Από το Σχήμα 4.31, παρατηρούμε ότι η ολική ενέργεια του κλειστού συστήματος παρουσιάζει αρχικά μία απότομη αύξηση μέχρις ότου φθάσει σε μία τιμή όπου από εκεί και πέρα αρχίζει και φθίνει. Ουσιαστικά, αυτό που συμβαίνει είναι ότι το σύστημα γίνεται προσωρινά ασταθές (αύξηση της ολικής ενέργειας) μέχρις ότου αποκτήσει την απαιτούμενη ενέργεια ώστε να συγκλίνει στο επιθυμητό σημείο ισορροπίας. Όπως και στην προηγούμενη περίπτωση, ο νόμος ελέγχου (4.42) αποδεικνύεται αρκετά σθεναρός ώστε να καταφέρει και να αναστρέψει το εκκρεμές, καθώς και να το ισορροπήσει στην ανεστραμμένη θέση. Για την τρίτη προσομοίωση, θα κρατήσουμε ίδια τα κέρδη του ελεγκτή και θα αλλάξουμε τις αρχικές συνθήκες του συστήματος σε. 70

71 Σχ Η γωνία του εκκρεμούς συναρτήσει του χρόνου με. Σχ Η μετατόπιση του φορέα συναρτήσει του χρόνου με. 71

72 Σχ Η ολική ενέργεια του κλειστού συστήματος συναρτήσει του χρόνου. Από το Σχήμα 4.34, παρατηρούμε για άλλη μία φορά ότι παρόλο που η ολική ενέργεια του συστήματος παρουσιάζει αυξομοιώσεις, ο νόμος ελέγχου με πλήρη ανατροφοδότηση κατάστασης είναι αρκετά σθεναρός ώστε να συγκλίνει το σύστημα στην επιθυμητή ισορροπία. Ωστόσο, καθ όλη τη διάρκεια των προσομοιώσεων, παρατηρούμε ότι η αρχική εκτροπή του φορέα προκειμένου να επιτευχθεί η αναστροφή του εκκρεμούς, είναι μεγάλη. Αυτό ίσως είναι και το κυριότερο μειονέκτημα αυτού του νόμου ελέγχου που μας οδήγησε στη δημιουργία του μη γραμμικού ελεγκτή που παρουσιάζεται στην επόμενη υποενότητα Πρώτος προτεινόμενος μη γραμμικός νόμος ελέγχου Ο μη γραμμικός νόμος ελέγχου που προτείνουμε έχει την παρακάτω μορφή: όπου τα κέρδη ικανοποιούν τις ανισότητες (4.46), ενώ για το κέρδος ισχύει. Σε αυτό το σημείο, αξίζει να σημειωθεί ότι το κλειστό σύστημα που περιγράφεται από τις σχέσεις (4.41) και (4.49) έχει τα ίδια σημεία ισορροπίας με το κλειστό σύστημα που δίνεται από τις σχέσεις (4.41) και (4.42). Επιπλέον, η ανάλυση γύρω από τα σημεία ισορροπίας και παραμένει ίδια με αυτήν της προηγούμενης υποενότητας. 72

73 Σε αυτό το σημείο, θα εκτελέσουμε εκτενείς προσομοιώσεις προκειμένου να συγκρίνουμε τους νόμους ελέγχου (4.42) και (4.49) και για να διαπιστώσουμε αν πράγματι ο μη γραμμικός νόμος ελέγχου (4.49) πετυχαίνει μικρότερη εκτροπή του φορέα, που ήταν και ο κύριος σκοπός του σχεδιασμού του. Έτσι, για την πρώτη προσομοίωση, θα κρατήσουμε ίδια τα κέρδη του νόμου ελέγχου (4.42), ενώ για το νόμο ελέγχου (4.49) θα επιλέξουμε και. Οι αρχικές συνθήκες του συστήματος θα είναι. Σχ Η γωνία του εκκρεμούς συναρτήσει του χρόνου με. Σχ Η μετατόπιση του φορέα συναρτήσει του χρόνου με. 73

74 Σχ Η ολική ενέργεια του κλειστού συστήματος συναρτήσει του χρόνου. Σχ Ο μη γραμμικός ελεγκτής (4.49) και ο ελεγκτής με ανατροφοδότηση κατάστασης (4.42) συναρτήσει του χρόνου. Όπως προαναφέρθηκε και αποδείχθηκε στην προηγούμενη υποενότητα, τόσο το κλειστό σύστημα που δίνεται από τις σχέσεις (4.41)-(4.42), όσο και το κλειστό σύστημα που περιγράφεται από τις σχέσεις (4.41) και (4.49), εμφανίζουν πολλαπλά σημεία 74

75 ισορροπίας που δίνονται από τη σχέση (4.43). Τα σημεία ισορροπίας που αντιστοιχούν σε περιττά αποδείχθηκε ότι είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθή, ενώ τα σημεία ισορροπίας που αντιστοιχούν σε ζυγά αποδείχθηκε ότι είναι ασταθή. Έτσι, για τη δεύτερη προσομοίωση, αν κρατήσουμε ίδια τα κέρδη και στους δύο νόμους ελέγχου, θα θέσουμε ως αρχικές συνθήκες του κλειστού συστήματος (4.41)-(4.42) το σημείο, ενώ για το κλειστό σύστημα που δίνεται από τις σχέσεις (4.41) και (4.49) θα θέσουμε αρχικές συνθήκες. Σχ Η γωνία του εκκρεμούς συναρτήσει του χρόνου με. Σχ Η μετατόπιση του φορέα συναρτήσει του χρόνου με για το σύστημα (4.41)-(4.42) και για το σύστημα (4.41)-(4.49). 75

76 Για την τρίτη και τελευταία προσομοίωση, θα αλλάξουμε τις αρχικές συνθήκες του συστήματος σε. Σχ Η γωνία του εκκρεμούς συναρτήσει του χρόνου με. Σχ Η μετατόπιση του φορέα συναρτήσει του χρόνου με. 76

77 Όπως παρατηρείται από τις παραπάνω προσομοιώσεις, οι νόμοι ελέγχου (4.42) και (4.49) αποδεικνύονται αρκετά σθεναροί αφού καταφέρνουν να φέρουν το σύστημα στην ισορροπία ακόμα και για πολύ μεγάλες αρχικές συνθήκες. Επιπλέον, όταν η αρχική συνθήκη έχει μικρή τιμή, τότε η απόκριση του κλειστού συστήματος με το μη γραμμικό νόμο ελέγχου (4.49) είναι ταχύτερη και η εκτροπή του φορέα είναι πολύ μικρότερη σε σχέση με αυτή του κλειστού συστήματος (4.41)-(4.42). Αντίθετα, όταν η αρχική συνθήκη παίρνει μεγάλες τιμές, το κλειστό σύστημα (4.41)-(4.42) παρουσιάζει καλύτερη συμπεριφορά Δεύτερος προτεινόμενος μη γραμμικός νόμος ελέγχου Η ανάγκη για τη δημιουργία ενός νόμου ελέγχου με τη χρήση του οποίου το κλειστό σύστημα θα παρουσιάζει σημεία ισορροπίας όπου η θέση στην οποία θα ισορροπεί ο φορέας, θα είναι ανεξάρτητη της γωνίας του εκκρεμούς, μας οδήγησε στο να προτείνουμε τον παρακάτω μη γραμμικό νόμο ελέγχου: Προσπαθώντας να βρούμε τα σημεία ισορροπίας του κλειστού συστήματος που δίνεται από τις σχέσεις (4.41) και (4.50), γράφουμε την (4.41) στη μορφή και στη συνέχεια λύνουμε την εξίσωση, από την οποία προκύπτει ότι τα δυνατά σημεία ισορροπίας του κλειστού συστήματος δίνονται από την παρακάτω σχέση: Σε αυτό το σημείο, αξίζει να σημειωθεί ότι η ανάλυση ευστάθειας των σημείων ισορροπίας του κλειστού συστήματος που περιγράφεται από τις σχέσεις (4.41) και (4.50) είναι ίδια με αυτήν που παρουσιάστηκε στην υποενότητα Επομένως, αν επιλέξουμε τα κέρδη έτσι ώστε να ικανοποιούν τις ανισότητες (4.46), τότε εξασφαλίζουμε ότι όλα τα σημεία ισορροπίας είναι ασταθή, ενώ τα σημεία ισορροπίας θα είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθή. Τέλος, υπενθυμίζεται ότι, όπως και στην περίπτωση του μη γραμμικού νόμου ελέγχου (4.49), επιλέγουμε. Θα πραγματοποιήσουμε, τώρα, πολλαπλές προσομοιώσεις προκειμένου να δείξουμε την απόκριση του συστήματος του ανάστροφου εκκρεμούς υπό την επίδραση του νόμου ελέγχου (4.50). Για την πρώτη προσομοίωση, θα θεωρήσουμε και για το νόμο ελέγχου, ενώ οι αρχικές συνθήκες του συστήματος θα είναι. Σημειώνεται ότι, η πολύ μικρή αρχική συνθήκη στο τέθηκε προκειμένου να μη μηδενίζεται ο νόμος ελέγχου. 77

78 Σχ Η γωνία του εκκρεμούς συναρτήσει του χρόνου με. Σχ Η μετατόπιση του φορέα συναρτήσει του χρόνου με. 78

79 Σχ Ο νόμος ελέγχου (4.50) συναρτήσει του χρόνου. Για τη δεύτερη προσομοίωση, θα θέσουμε τα κέρδη του νόμου ελέγχου, ενώ οι αρχικές συνθήκες του συστήματος θα τεθούν ίσες με. Σχ Η γωνία του εκκρεμούς συναρτήσει του χρόνου με. 79

80 Σχ Η μετατόπιση του φορέα συναρτήσει του χρόνου με. Σχ Ο νόμος ελέγχου (4.50) συναρτήσει του χρόνου. 80