ΜΕΡΟΣ Β 2.3 ΜΕΤΑΒΟΛΕΣ ΗΜΙΤΟΝΟΥ, ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΟΥ ΚΑΙ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ 271 2.3 ΜΕΤΑΒΟΛΕΣ ΗΜΙΤΟΝΟΥ, ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΟ ΚΑΙ ΕΦΑΠΤΟ- ΜΕΝΗΣ Ορισμοί Μεταβολές ημιτόνου, συνημιτόνου και εφαπτομένης οξείας γωνίας ω. Όταν μια οξεία γωνία αυξάνεται, τότε: αυξάνεται το ημίτονο της, ελαττώνεται το συνημίτονο της και αυξάνεται η εφαπτομένη της. Δηλαδή ημω < ημφ < ημθ Αν ω < φ < θ τότε: συνω > συνφ > συνθ εφω < εφφ < εφθ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Από τα προηγούμενα προκύπτει ότι: Αν δύο οξείες γωνίες έχουν ίσα ημίτονα, τότε οι γωνίες αυτές είναι ίσες. Αν δύο οξείες γωνίες έχουν ίσα συνημίτονα, τότε οι γωνίες αυτές είναι ίσες. Αν δύο οξείες γωνίες έχουν ίσες εφαπτόμενες, τότε οι γωνίες αυτές είναι ίσες. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 1. Να κυκλώσετε τις σωστές απαντήσεις για κάθε ένα από τα διπλανά ορθογώνια τρίγωνα: α) A: φ < ω B: φ ω Γ: φ > ω α) β) 3 β) A: θ < y B: θ y Γ: θ > y 3 α) ημφ και ημω 3 > ( 16 > 1) οπότε ημφ > ημω άρα φ > ω, επομένως σωστό τογ φ θ α) Χρησιμοποιούμε τους ορισμούς του ημιτόνου στο πρώτο τρίγωνο και στο δεύτερο αντίστοιχα. Χρησιμοποιούμε την ιδιότητα Αν φ>ω τότε ημφ>ημω και αντιστρόφως. ω y
272 ΜΕΡΟΣ Β 2.3 ΜΕΤΑΒΟΛΕΣ ΗΜΙΤΟΝΟΥ, ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΟΥ ΚΑΙ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ 3 β) συνθ και συνy 3 > ( 16 > 1) οπότε συνθ > συνy άρα θ < y,επομένως σωστό το Α β) Χρησιμοποιούμε τους ορισμούς του συνημιτόνου στο πρώτο τρίγωνο και στο δεύτερο αντίστοιχα. Χρησιμοποιούμε την ιδιότητα Αν φ>ω τότε συνφ<συνω και αντιστρόφως. 2. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις µε Σ (σωστό) ή Λ (λανθασμένο) α) ημ13 <ημ1 ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ β) συν13<συν1 γ) συν7 <συν27 δ) ημ7 <ημ27 ε) ημ32 <ημ23 στ) συν32 <συν23 α)13 β)13 γ) 7 δ) 7 ε) 32 < 1 < 1 > 27 > 27 > 23 ημ13 συν13 ημ7 ημ32 στ) 32 > 23 συν32 Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ < ημ1 συν7 > συν1 > σημ27 > ημ23 ( Σ) < συν27 ( Λ) ( Σ) ( Λ) ( Λ) < συν23 ( Σ) Χρησιμοποιούμε τις ιδιότητες: Αν φ>ω τότε ημφ>ημω Αν φ>ω τότε συνφ<συνω ΑΣΚΗΣΗ 1 Να υπολογίσετε το σε κάθε ένα από τα παρακάτω τρίγωνα: Α α) Β β) Β γ) 1 cm 1 cm 6 Β 2 Γ Α Γ Α cm Γ
ΜΕΡΟΣ Β 2.3 ΜΕΤΑΒΟΛΕΣ ΗΜΙΤΟΝΟΥ, ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΟΥ ΚΑΙ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ 273 α) ημ2 β) συν γ) εφ 1.ημ2 1.,7 7, cm 1 1 1 συν. 1 1,62 cm,6 εφ. 1,19,2 cm Χρησιμοποιούμε τους κατάλληλους τριγωνομετρικούς αριθμούς σε κάθε τρίγωνο και αντικαθιστώντας από τους πίνακες τις τιμές τους λύνουμε τις εξισώσεις. ΑΣΚΗΣΗ 2 Να υπολογίσετε το στις παρακάτω περιπτώσεις: 63 α) β) 36 1 γ) δ) 3 α) β) ημ3 1.ημ3 1.,7 7 Χρησιμοποιούμε τους κατάλληλους τριγωνομετρι- 1 κούς αριθμούς σε κάθε γ) εφ.εφ,76 τρίγωνο και αντικαθιστώντας από τους πίνακες τις, τιμές τους λύνουμε τις εξισώσεις. δ) ημ3.ημ3.,62,96 ε) εφ.εφ.1,19,9
27 ΜΕΡΟΣ Β 2.3 ΜΕΤΑΒΟΛΕΣ ΗΜΙΤΟΝΟΥ, ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΟΥ ΚΑΙ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ ΑΣΚΗΣΗ 3 Να διατάξετε από το μεγαλύτερο στο μικρότερο τους αριθμούς: α) ηµ37, ηµ6, ηµ16 και ηµ2 β) συν2, συν36, συν2 και συν2 γ) εφ1, εφ22, εφ1 και εφ9 α) 6 > 37 > 2 > 16 ημ6 > ημ37 > ημ2 > ημ16 Αν φ>ω τότε ημφ>ημω β) 36 > 2 > 2 > 2 Αν φ>ω τότε συνφ<συνω συν2 > συν2 > συν2 > συν36 Αν φ>ω τότε εφφ>εφω γ) 9 > 1 > 22 > 1 εφ9 > εφ1 > εφ22 > εφ1 ΑΣΚΗΣΗ Χρησιμοποιούμε τις ιδιότητες: Σ ένα ιστιοπλοϊκό σκάφος το ύψος του καταρτιού είναι m. Να βρείτε το μήκος που έχουν τα συρματόσχοινα που στηρίζουν τα πανιά, αν αυτά σχηματίζουν γωνίες και 7 αντίστοιχα. ημ,192 ημ7 y,9y y ημ. Υποθέτουμε ότι είναι το μήκος του αριστερού συρματόσχοινου και y το μήκος του δεξιού συρματόσχοινου. 9,77 m Χρησιμοποιούμε τον ορισμό του ημιτόνου,192 στο πρώτο τρίγωνο και στο δεύτερο αντίστοιχα. ημ7.y Λύνουμε τις εξισώσεις που προκύπτουν.,9397,1m
ΜΕΡΟΣ Β 2.3 ΜΕΤΑΒΟΛΕΣ ΗΜΙΤΟΝΟΥ, ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΟΥ ΚΑΙ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ 27 ΑΣΚΗΣΗ Ένας μηχανικός θέλει να κατασκευάσει ένα σπίτι µε υπόγειο γκαράζ. Το ύψος του γκαράζ πρέπει να είναι ΒΓ2,2 m και η κλίση της ράμπας θ13. Να βρείτε το μήκος ΑΓ της ράμπας και την απόσταση ΑΒ του σημείου Α από το σπίτι. 2,2 ημ13 ημ13.αγ 2,2 ΑΓ 2,2 2,2 ΑΓ 1 m ημ13,22 2,2 εφ13 εφ13.αβ 2,2 ΑΒ 2,2 2,2 ΑΒ 9,7 m εφ13,231 Χρησιμοποιούμε τους ορισμούς του ημιτόνου και της εφαπτομένης αντίστοιχα στο τρίγωνο ΑΒΓ. Λύνουμε τις εξισώσεις που προκύπτουν. ΑΣΚΗΣΗ 6 Μια σκάλα ύψους 6 m είναι ακουμπισμένη σε τοίχο ύψους 7 m. Για λόγους ασφαλείας, η γωνία στο έδαφος πρέπει να είναι 7. Να βρείτε την απόσταση ΑΒ που πρέπει να τοποθετηθεί η βάση της σκάλας από τον τοίχο, καθώς και την απόσταση Γ από το πάνω μέρος της σκάλας έως το πάνω μέρος του τοίχου.
276 ΜΕΡΟΣ Β 2.3 ΜΕΤΑΒΟΛΕΣ ΗΜΙΤΟΝΟΥ, ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΟΥ ΚΑΙ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ ΑΒ συν7 ΑΒ ΓΒ.συν7 ΓΒ ΑΒ 6.,26 1,6 m ΑΓ ημ7 ΑΓ ΓΒ.ημ7 ΓΒ ΑΓ 6.,97,2 m ΔΓ ΑΔ - ΑΓ 7 -,2 1,1 m Χρησιμοποιούμε τους ορισμούς του συνημιτόνου και του ημιτόνου αντίστοιχα στο τρίγωνο ΑΒΓ. Λύνουμε τις εξισώσεις που προκύπτουν. Βρίσκουμε το τμήμα ΔΓ από την διαφορά των τμημάτων ΔΑ-ΓΑ. ΑΣΚΗΣΗ 7 Ένας γεωλόγος θέλει να υπολογίσει την απόσταση από το σημείο Α που βρίσκεται, μέχρι το σπίτι Μ στην άλλη πλευρά ενός ποταμού. Χρησιμοποιεί ένα γειτονικό σημείο Β που βρίσκεται σε απόσταση ΑΒ2 m, και µε τη βοήθεια ενός γωνιομέτρου βρίσκει ότι Β7 και Α7. Να υπολογίσετε τις αποστάσεις ΑΗ και ΑΜ.
ΜΕΡΟΣ Β 2.3 ΜΕΤΑΒΟΛΕΣ ΗΜΙΤΟΝΟΥ, ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΟΥ ΚΑΙ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ 277 ημ7 συν ΗΑ ΑΒ 19,6 ΑΜ ΗΑ HAM MAB HAB ΑΣΚΗΣΗ ΑΒ.ημ7 7 συν.αα 2.,9 19,6 m 9 7 19,6 ΑΜ 36,9 m Χρησιμοποιούμε τους ορισμούς του ημιτόνου και του συνημιτόνου στα τρίγωνα ΑΒΗ και ΜΑΗ αντίστοιχα. Λύνουμε τις εξισώσεις που προκύπτουν. α) Η ακτίνα της Γης είναι R6371 km και η γωνία ΑΓΣ είναι 9,. Να υπολογίσετε µε τη βοήθεια του παρακάτω σχήματος την απόσταση Γης - Σελήνης (ΓΣ). β) Αν η απόσταση Γης - Σελήνης είναι περίπου 3. km και η γωνία ΣΓΗ είναι 9,, να υπολογίσετε µε τη βοήθεια του παρακάτω σχήματος την απόσταση Γης -Ήλιου (ΓΗ). α) συν ( 9, ) ( 9, ) ΓΣ.συν 6371 ΓΣ συν β) ( 9, ) 6371 ΓΣ 6371 6371,1726 36991km
27 ΜΕΡΟΣ Β 2.3 ΜΕΤΑΒΟΛΕΣ ΗΜΙΤΟΝΟΥ, ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΟΥ ΚΑΙ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ ΑΣΚΗΣΗ 9 Ο Πύργος της Πίζας σχηματίζει γωνία 7 µε το έδαφος. Την ώρα που οι ακτίνες του ήλιου είναι κατακόρυφες µε το έδαφος, το μήκος της σκιάς του πύργου είναι ΒΓ1 m. α) Πόσο ύψος θα είχε ο πύργος, αν ήταν κατακόρυφος µε το έδαφος; β) Να υπολογίσετε το ύψος ΑΓ του πύργου. γ) Ένας τουρίστας βρίσκεται στο σημείο Ε στο 1/3 της απόστασης ΑΒ τη στιγμή που του πέφτει η φωτογραφική του μηχανή! Αν ΑΒ m, να βρείτε από ποιο ύψος έπεσε η φωτογραφική μηχανή. α) συν7 ΑΒ ΒΓ συν7 ΒΓ ΑΒ ΑΒ.συν7 1,2 3,7 m ΒΓ ΑΓ β) εφ7 ΑΓ ΒΓ.εφ7 ΑΓ 2,3 m ΒΓ 1 γ) ΒΕ. 1 cm 3 ημ7 ΒΕ.ημ7 17,2 cm ΒΕ Χρησιμοποιούμε τους ορισμούς του συνημιτόνου του ημιτόνου και της εφαπτομένης στα δύο ορθογώνια τρίγωνα του σχήματος. Λύνουμε τις εξισώσεις που προκύπτουν.