ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΩΝ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΩΝ

η Ερώτηση Γνωρίζουµε πως η κυµατοσυνάρτηση είναι η λύσης της κυµατικής εξίσωσης, που περιγράφει το µέγεθος της ιαταραχής, ( rt, ) r. Ψ= σε κάθε χρονική στιγµή, t, και σε κάθε θέση του µέσου ιάοσης µε ιάνυσµα θέσης Από την εκφώνησης της ερώτησης ίνεται ( xt) x t Ψ, = Asinπ + λ Με αντικατάσταση των τιµών του t (από τα εοµένα της ερώτησης) η κυµατοσυνάρτηση παίρνει τις παρακάτω µορφές: Για t = τότε x π x Ψ xt, = Asin π = Asin λ λ Για Για Για Για 4 t = τότε t t 4 = = τότε 3 4 t = τότε 4 t t 4 = = τότε Ψ xt, x x = Asinπ + = Asinπ + = λ 4 λ 4 π x π πx π Asin + = Asin + λ 4 λ x π x Ψ xt, = Asinπ + = Asin + π λ λ x 3 x 6 x 3 xt, Asin π π π π π Ψ = + = Asin + = Asin + λ 4 λ 4 λ x x π x Ψ xt, = Asinπ + = Asinπ + = Asin + π λ λ λ Χρησιµοποιώντας τις τιµές της κυµατοσυνάρτησης που προέκυψαν µετά την αντικατάσταση έχουµε την παρακάτω γραφική παράσταση, σαν στιγµιότυπο του κύµατος που παριστάνει γραφικά η Ψ (σε κοινό σύστηµα αξόνων), ως συνάρτηση της θέσης x για την κάθε εοµένη χρονική στιγµή t. y(x) Α x για t = για t = t = 4 για t = 4 για 3 t = 4 -Α το εξιό τµήµα του ιαγράµµατος, για x> εν χρειάζεται.

3 Παρατηρούµε πως µετά από χρόνο µιας περιόου t = το κύµα θα έχει προχωρήσει κατά λ (µήκος κύµατος) ηλαή θα είναι x = λ. Η κυµατοσυνάρτηση είναι της µορφής ( x, t) Asin( kx ωt) Ψ = + που χαρακτηρίζει αρµονικό κύµα, το οποίοι οεύει προς τα αρνητικά του άξονα των x. Συνεπώς έχουµε κίνηση προς τα αριστερά. η Ερώτηση Για το κλειστό σύστηµα [ π, + π ] οι συναρτήσεις y( x) = 5sin( x), y( x) 5sin( x,5) y( x) = 5sin( x,5) παίρνουν τη µορφή: = για x = έχω y = i) y( x) 5sin( x) ii) y( x) 5sin( x,5) = + για iii) y( x) 5sin( x,5) = για y = 5sin +,5 = 5sin,5,4 x = έχω = + και y = 5sin,5 = 5sin,5,4 x = έχω y(x) 5,4 -π + π x -,4-5 = 5sin( x) y x = 5sin( x+,5) y x = 5sin( x,5) y x () (3) Σχόλιο () µετατοπισµένη προς τα αριστερά (αρνητική φορά του άξονα x) κατά.5 (3) µετατοπισµένη προς τα εξιά (θετική φορά του άξονα x) κατά.5

4 3 η Ερώτηση π ίνεται η κυµατοσυνάρτηση: ψ = 5, sin x + 3t cm α) Αρµονικό κύµα που ιαίεται προς τη θετική φορά του άξονα των x, ηλαή από αριστερά προς τα x t εξιά, έχει κυµατοσυνάρτηση της µορφής Ψ ( xt, ) = Asinπ λ στην περίπτωση της ερώτησης η κετεύθυνση της ιάοσης είναι από εξιά προς τα αριστερά,σύµφωνα και µε τα σχόλια της προηγούµενης ερωτήσεως, ηλαή προς την αρνητική φορά του άξονα των x, γιατί στο π όρισµα έχω ( + ) 3t, ενώ η κατεύθυνση ιάοσης είναι ο άξονας x, γιατί το x (ως µεταβλητή) βρίσκεται µέσα στο όρισµα της κυµατοσυνάρτησης. β) Η σταθερά A στην κυµατοσυνάρτηση, είναι γνωστή ως πλάτος του κύµατος και είναι ίση µε τη µέγιστη µετατόπιση της Ψ. Έτσι για την περίπτωση της ερώτησης η µέγιστη µετατόπιση είναι 5cm. π γ) Η κυκλική συχνότητα ορίζεται από τη σχέση ω = = πν και η κυµατοσυνάρτηση, γράφεται Ψ x, t = Asin kx ωt. ισούναµα π ω 3 Εναλλακτικά: βλέπουµε ότι k=. Άρα λ = = π, u = = m k k s Ως κυκλική συχνότητα λαµβάνεται ο συντελεστής του χρόνου µέσα στο όρισµα της κυµατοσυνάρτησης, άρα για την εν λόγω περίπτωση έχουµε ω = 3. ) Αν παρατηρήσουµε ιαοχικά στιγµιότυπα ενός αρµονικού κύµατος, ανά ίσα προς 4 χρονικά ιαστήµατα, βλέπουµε πως στο τέλος του χρονικού ιαστήµατος t = η ιαταραχή είναι ακριβώς ίια, όπως όταν t = για όλες τις θέσεις x. Επιπλέον βλέπουµε ότι σε χρονικό ιάστηµα t = η ιαταραχή έχει λ προχωρήσει κατά x = λ. Άρα η ταχύτητα ιάοσης,υ, της ιαταραχής θα ισούται µε: υ =. Για να προσιορίσουµε τα λ και θα πρέπει η κυµατοσυνάρτηση να έχει τη µορφή της, ηλαή x t Ψ ( xt, ) = Asinπ ± λ () Άρα η οσµένη κυµατοσυνάρτηση της ερώτησης γράφεται: π x 3t π x 3t y = 5sin x+ 3t y = 5sinπ + y= 5sinπ + π π 4π π π 4 Άρα συγκριτικά µε τους όρους της κυµατοσυνάρτησης () έχουµε: λ = π και 3 π = Τ= π 3

5 λ π 3 Έτσι µε αντικατάσταση έχουµε υ = υ = υ = / m s π 3 ε) Ως µήκος κύµατος ονοµάζεται η απόσταση µεταξύ ύο ιαοχικών µεγίστων η ύο ιαοχικών ελαχίστων της Ψ. Από το () ερώτηµα έχουµε: λ = π. π στ) Ως φάση λαµβάνεται το όρισµα του ηµιτόνου της κυµατοσυνάρτησης, έτσι είναι: φ = x+ 3t ζ) Φασική ταχύτητα ονοµάζεται η σταθερή ταχύτητα υ φ η οποία εκφράζει την ταχύτητα µε την οποία κινείται η φάση φ. Με άλλα λόγια ως φασική ταχύτητα λαµβάνεται η ταχύτητα µε την οποία κινούνται τα µέτωπα του κύµατος, είναι ίια µε την ταχύτητα ιαόσεως και η φάση ιατηρείται σταθερή. Έτσι έχουµε: φ=σταθ. άρα η πρώτη παράγωγος της εξίσωσης της φάσης ως προς το χρόνο θα πρέπει να είναι µηέν. π x+ 3t φ x x 3 = = + 3= = t t t t το αρνητικό πρόσηµο ηλώνει πως η ιάοση του κύµατος γίνεται από εξιά προς αριστερά, ηλαή προς την αρνητική φορά του άξονα x. 4 η Ερώτηση Από την θεωρία της σύνθεσης πολλών ταλαντώσεων που έχουν την ίια συχνότητα έχουµε για το πλάτος της συνισταµένης ταλάντωσης τη σχέση: n sin B= A sin όπου A : τα πλάτη των συνιστωσών ταλαντώσεων B : το πλάτος της συνισταµένης ταλάντωσης Εάν υιοθετήσουµε τη συνηµιτονοειή περιγραφή των αρµονικών ταλαντώσεων, η επαλληλία αυτών των αρµονικών ταλαντώσεων θα ίνεται από τα άθροισµα: y = Acos( t) + Acos( t+ ) + Acos( t+ ) + Acos( t+ 3 ) +... + Acos t+ ( n ) λόγω της οποίας έχουµε τελ = ( ) ω ω ω ω ω n Στη συνέχεια εξετάζουµε τις παρακάτω περιπτώσεις: Για = τότε από της σχέση προκύπτει sin B = ηλαή απροσιοριστία, οπότε εφαρµόζουµε το

6 θεώρηµα De L Hospital: cos lim B = A = A = na n n n cos nπ ( ) π sin nπ Για = π τότε από της σχέση προκύπτει B= A B= Asin sin ιακρίνουµε τις παρακάτω επιµέρους περιπτώσεις: για την οποία Για n =,5,9,... τότε B =+ A και η γραφική παράσταση γίνεται: Β na A π π Για n = 3,7,,... τότε B = A και η γραφική παράσταση γίνεται: Β na -A π π Για n = άρτιος (,4,6, ) τότε B = και η γραφική παράσταση γίνεται: Β na π π

7 Για = π τότε από της σχέση προκύπτει π ( ) π ( π ) ( π ) n sin sin n sin n B= A B= A B= A sin sinπ ηλαή καταλήγουµε σε απροσιοριστία, οπότε εφαρµόζουµε το θεώρηµα De L Hospital: π π ( nπ) ( nπ) n n n n n n cos cos cos cos lim B = A = A = A = A = Ancos n π cos cos cosπ ( π ) για n = άρτιο τότε το B = na για n = περιττό τότε το B = na 5 η Ερώτηση Κατά τη φθίνουσα ταλάντωση η εξίσωση κίνησης µε την εισαγωγή της ύναµης τριβής µε b (όπου b ο συντελεστής τριβής) γράφεται: dx F = bυ = b dt τριβ d x dx + + = m b Dx dt dt Λύνοντας αυτή τη ιαφορική εξίσωση βρίσκουµε τη συµπεριφορά της αποµάκρυνσης x από τη θέση ισορροπίας σαν συνάρτηση του χρόνου. Η Εξίσωση είναι µια οµογενής ιαφορική εξίσωση ευτέρας τάξεως µε σταθερούς συντελεστές. Η t εξίσωση αυτή έχεται πάνα λύσεις της µορφής x( t) = e ρ, οι οποίες µε αντικατάσταση στην οηγούν στην εύρεση των ριζών της ευτεροβάθµιας αλγεβρικής εξίσωσης: mρ bρ D + + = Για την περίπτωση όπου b 4mD έχουµε την µοναική περίπτωση που υπάρχει κάποιο είος κίνησης (η ύναµη τριβής εν είναι µεγαλύτερη από τη ύναµη επαναφοράς) Από γενική λύση της ιαφορικής έχουµε: ρ x( t) = e cos sin rt ρt + ρt i i () όπου ρr και ρi είναι το πραγµατικό και το φανταστικό µέρος αντίστοιχα των ύο συζυγών µιγαικών ριζών: b 4mD b b 4mD b ρ = + i και ρ = i όπου b m m m m m = γ και 4mD b ω γ = m οι οποίες έχουν και οι ύο ιαστάσεις αντιστρόφου χρόνου (ηλαή συχνότητας). Τώρα το πραγµατικό και το φανταστικό µέρος τω ύο συζυγών ριζών γράφεται γ ρ r = και ρi = ωγ.

γ t Έτσι η λύση της () γίνεται x() t = e ccos( ωγt) + csin ( ωγt) 8 Όταν για t = έχουµε x =, ο συντελεστής c πρέπει να είναι µηέν και η λύση τότε είναι: γ t () sin ( ω γ ) x t = c e t (3) Από την εξίσωση (3) βλέπουµε πως το πλάτος A γ = Ae γ t b = o, όπου, µεταβάλλεται µε ρυθµό που m γ καθορίζεται από τον συντελεστή. Κατά συνέπεια σε µια φθίνουσα ταλάντωση µε µικρή απόσβεση, θα ιαγράφει σε κάθε κύκλο περιστροφής, περιµέτρους κύκλων µε ακτίνες όλο και µικρότερες της αρχικής (µε γ ρυθµό που θα καθορίζεται από τον συντελεστή. Αυτό θα έχει σαν αποτέλεσµα να ιαγράφεται µια σπειροειής τροχιά µε κέντρο το µηέν του πλάτους ταλάντωσης: y(x) x 6 η Ερώτηση Το ιατοµικό µόριο πυριτίου άνθρακα ταλαντώνεται όπως ύο µάζες m και m οι οποίες είναι συνεεµένες µεταξύ τους µε ελατήριο σταθεράς D. Si -wwww- m Si m

Η κίνηση είναι επαλληλία µιας σχετικής κίνησης (ταλάντωσης) της «ανηγµένης» µάζας msim µ = m + m Si 9 D µε συχνότητα ω = και µιας (µεταφορικής) κίνησης του κέντρου µάζας, ηλαή της συνολικής µάζας µ m = ολ m + m. Si Από τις σχέσεις: ω = πν () και D ω = (3) µ και τα εοµένα της εκφώνησης κάνουνε αντικαταστάσεις και πράξεις για =4A.M.M. & =A.M.M. Όταν στο µόριο υπάρχει έχουµε: µ msim 8...... 336... 8,4... m m µ ΑΜΜ ΑΜΜ = = 8... µ = ΑΜΜ 4 µ = ΑΜΜ + + ΑΜΜ Si Από τη σχέση () έχουµε µε αντικατάσταση: ω = πν ω = 3,4,5 ω = 9,45 και από τη σχέση (3) έχουµε: D D = = D = µ µ ω ω ω µ 4 4 4 3 D= 9,45 8,4 ΑΜΜ... D= 7,46 ΑΜΜ... = 46,6 Kg ΑΜΜ = 7 αφού ίνεται ότι...,67 Kg Εάν ο αντικατασταθεί από το ισότοπό του 4 η συχνότητα του µορίου θα αλλάξει ως ακολούθως, τώρα η ανηγµένη µάζα θα είναι ίση µε: µ m ' Sim4 ' 8... 4... ' 39... ' 9,33... m m µ ΑΜΜ ΑΜΜ = = 8 4... µ = ΑΜΜ 4 µ = ΑΜΜ + + ΑΜΜ Si 4 από τη σχέση (3) έχουµε µε αντικατάσταση: D 7,46 ΑΜΜ... ω ω ω µ 9,33 ΑΜΜ... 3 ' ' ' 4 = = = 8,94 ' ' 4 ω 8,94 ηλαή = =,95 4 ω 9,45

ή από τη σχέση () έχουµε: ηλαή ν ν,4 =, 5 ' 4 4 ω 8,94 ω = πν ν = ν = ν =,4 π 3,4,95 ' 4 ' ' ' ' ' 4 7 η Ερώτηση Στην περίπτωση της συνεχούς χορής θεωρούµε ότι οι µάζες στο νήµα ή στα ελατήρια είναι κατανεµηµένα µε συνεχή και οµοιογενή τρόπο. Η εξίσωση κίνησης νιοστής µάζας θα είναι σύµφωνα µε την θεωρία: d y yn y( ) y n ( n ) y + n dy y x dy m = o + o b = o b dt a a dt x n+ y dt n n n n dy όπου b n είναι ο όρος τριβής, ανάλογος της ταχύτητας, ο οποίος αντιστέκεται στην κίνηση. dt b=mγ Στην παραπάνω εξίσωση έχουµε θέσει a = x. Θεωρώντας το όριο x, µπορούµε να αναγνωρίσουµε τις ποσότητες µέσα στις αγκύλες του τελευταίου µέρους της σαν τις παραγώγους της αποµάκρυνσης y στις θέσεις x + dx και x αντίστοιχα. Εποµένως η απειροστή ιαφορά τους ιαιρεµένη µε την µεταβολή x ισούται µε τη εύτερη παράγωγο πολλαπλασιάζοντας και ιαιρώντας µε x d y dx, στη µορφή:. Μπορούµε λοιπόν να ξαναγράψουµε την, y y y m = o x m γ t x t n, m= ρ x Εισάγοντας ρητά την εξάρτηση της συνεχούς (εξαρτηµένης) µεταβλητής y από τη θέση και το χρόνο και αναγνωρίζοντας τη σταθερή (λόγω της οµοιογενούς προσέγγισης) ποσότητα m = m = ρ ως τη γραµµική dx x πυκνότητα βρίσκουµε την τελική εξίσωση: (, ) ρ (, ) (, ) y x t y x t y x t γ = x t t o () Η µορφή της τελικής εξίσωσης (5.8) είναι: (, ) ρ y( x, t) y x t = x t o (3) Συγκρίνοντας τις σχέσεις () και (3) παρατηρούµε πως έχουµε επιπλέον τον όρο: ηλαή την πρώτη παράγωγο της αποµάκρυνσης ως προς τον χρόνο. (, ) y x t γ = t

8 η Ερώτηση Γνωρίζουµε πως το ιακρότηµα είναι το φαινόµενο της συµβολής, που λαµβάνει χώρα όταν ύο ιαφορετικά κύµατα ίσου πλάτους αλλά µε ελαφρά ιαφορετική συχνότητα, συναντώνται στην ίια περιοχή του χώρου. Το συνιστάµενο κύµα που προκύπτει ίνεται από τη σχέση: ( ω ) cos( ω ) y = y + y = Acos k x t + A k x t Χρησιµοποιώντας τη τριγωνοµετρική ταυτότητα cos a+ cosb= cos a b cos a+ b βρίσκουµε ότι: Ανάπτυξη ενός περιοικού κύµατος σε σειρά Fourier σηµαίνει να το γράψουµε ως κατάλληλο άθροισµα (άπειρο γενικά) αρµονικών κυµάτων. Όταν το κύµα είναι ήη άθροισµα ύο αρµονικών κυµάτων, είναι προφανές ότι το «φάσµα Fourier» θα αποτελείτε από τις ύο αυτές συχνότητες (µε ίσα πλάτη). k+ k ω+ ω y = Acos {( k k) x ( ω ω) t} cos x t ή αφού κάνουµε τις πράξεις: ( ω ) cos( ω ) y = Acos t k x + A t k x Από τη σχέση για t = έχουµε: y = Acos kx+ Acos kx () Γνωρίζουµε πως η «Γενική Σειρά Fourier» έχει τη µορφή του αναπτύγµατος: n n (3) n= n= f = B + A cos nkx + B sin nkx x στο οποίο υπάρχει ο σταθερός όρος B Από τις () και (3) ιαπιστώνουµε ότι B = και B = οπότε προκύπτει η συνηµιτονοειής Σειρά Fourier: f = An cos nkx x n= και «επιζούν» µόνο εκείνα τα συνηµίτονα για τα οποία nk = k και nk = k n Γνωρίζουµε επίσης πως το φάσµα Fourier προσφέρει µία γρήγορη, συνοπτική και ακριβή απεικόνιση της ανάλυσης Fourier. Συνέοντας όλα τα παραπάνω, το φάσµα θα αποίεται από το σχήµα: A A + =A - ω ο+ ω ο- ω (ω ) (ω )