ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 8 o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gasil@math.auth.gr Ιστοσελίδα Μαθήματος: users.auth.gr/gasil kastoria.teikoz.gr/elearn Γ. ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Κατανομές πιθανότητας Τυχαία μεταβλητή: Μία τυχαία μεταβλητή είναι μία συνάρτηση ρηημ με πεδίο ορισμού τον δειγματοχώρο Ω του πειράματος τύχης και πεδίο τιμών το σύνολο των πραγματικών αριθμών. Τις τυχαίες μεταβλητές τις συμβολίζουμε με κεφαλαία γράμματα X,Y,Z, Παράδειγμα: : Έστω Χ η τ.μ.. που μετρά τον αριθμό των αγοριών σε μία οικογένεια παιδιών. Τότε P ( X = 0) = 4 P ( X = ) = P ( X = ) = 4 Γ. ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ

Διακριτές τυχαίες μεταβλητές Συνάρτηση Πιθανότητας τ.μ. Έστω μία διακριτή τυχαία μεταβλητή Χ με τιμές x, x,, x και αντίστοιχες πιθανότητες p, p,, p. Ονομάζουμε σ.π. της τ.μ. Χ την συνάρτηση f(x) = P(x) = P(X = x ) = p i i 0 όπου i= p i = Γ. ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 3 Συνάρτηση κατανομής πιθανότητας ή αθροιστική συνάρτηση κατανομής πιθανότητας (α.σ.κ.π.) ονομάζεται η συνάρτηση F(x) = P(X x) όπου P(X x) είναι το άθροισμα των πιθανοτήτων των τιμών της τ.μ. που είναι μικρότερες ή ίσες της τιμής. Γ. ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 4

Ιδιότητες α.σ.κ.π ) 0 P(X x) ) 3) 4) lim P(X x) = x + lim P(X x) = 0 x i= P(X = x ) i = 5) P(x < X < x ) = P(X < x ) P(X x) Γ. ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 5 Περιγραφικά μέτρα τυχαίων μεταβλητών Αναμενόμενη ή μέση τιμή μιας τ.μ. Έστω μία διακριτή τυχαία μεταβλητή Χ με τιμές x, x,, x και αντίστοιχες πιθανότητες p, p,, p. Ονομάζουμε μέση τιμή της τ.μ. Χ ( συμβολίζουμε με Ε[Χ] ) την ποσότητα E[X] = xipi = xp + x p + L+ x i= p Παράδειγμα: Ποια είναι η μέση τιμή της τ.μ. του προηγούμενου παραδείγματος? Γ. ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 6 3

Διακύμανση της τυχαίας μεταβλητής Χ σ = Var[X] = Ε[ Χ Ε( Χ)] = E[X ]- ( E[X] ) όπου E[X ] = x p + x p + L+ x p Τυπική απόκλιση σ = Var[X] Γ. ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 7 Παραδείγματα ) Ρίχνουμε ένα ζάρι. Έστω Χ η τυχαία μεταβλητή που ισούται με την ένδειξη του ζαριού. Να βρεθεί η συνάρτηση πιθανότητας, η μέση τιμή και η διακύμανση της τ.μ. Χ. ) Η διακριτή τ.μ. έχει συνάρτηση πιθανότητας x, x =,,3, 4,5 P(X = x) = c, x = 6 0, αλλού Να βρεθεί η τιμή της σταθεράς c, η μέση τιμή και η τυπική απόκλιση. Γ. ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 8 4

3) Έστω Χ μία διακριτή τυχαία μεταβλητή με συνάρτηση πιθανότητας k PX ( = k) = 3, k= 0,,,... k 5 Να υπολογιστεί η μέση τιμή της τ.μ. Χ. Γ. ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 9 Βασικές κατανομές διακριτών τ.μ. Κατανομή Bernoulli Σε πολλά από τα πειράματα που εξετάζουμε τις πιθανότητες διακρίνουμε μόνο δύο αντίθετα αποτελέσματα που τα ονομάζουμε επιτυχία (Ε) και αποτυχία (Α). Για παράδειγμα στην εξέταση ερωτήσεων τύπου Σωστό ή Λάθος. Παρατηρούμε ότι οι δύο πιθανές απαντήσεις είναι αμοιβαίως αποκλειόμενες. Σε αυτά συνήθως τα πειράματα αντιστοιχούμε στην επιτυχία τον αριθμό και στην αποτυχία τον αριθμό 0. Μία διακριτή μεταβλητή η οποία παίρνει την τιμή 0 με πιθανότητα q και την τιμή με πιθανότητα p, όπου p+q= λέμε ότι ακολουθεί την κατανομή Bernoulli με παράμετρο p. Γ. ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 0 5

Συνάρτηση πιθανότητας: x x P(X = x) = p (-p), x=0,, Μέση τιμή: E[X] = p ιακύμανση: Var[X] = pq = p( p) Γ. ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Διωνυμική Κατανομή Αν θεωρήσουμε ν ανεξάρτητες δοκιμές Bernoulli και εστιάσουμε το ενδιαφέρον μας στον αριθμό των επιτυχιών στο σύνολο των δοκιμών τότε προκύπτει η ιωνυμική Κατανομή. Η συνάρτηση πιθανότητας να έχουμε x επιτυχίες σε ν ανεξάρτητες δοκιμές, όταν σε κάθε δοκιμή η πιθανότητα επιτυχίας είναι p δίνεται από τη σχέση: P(X= x) = p x Συμβολίζουμε: x ( p) X ~ B(,p) x, x =0,,..., Συνάρτηση πιθανότητας διωνυμικής κατανομής Γ. ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 6

Μέση τιμή, διακύμανση: E[X] = p Var[X] = p( p) Παράδειγμα Ρίχνουμε ένα ζάρι 3 φορές και ζητάμε την πιθανότητα να φέρουμε ακριβώς φορές τέσσερα. Γ. ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 3 Γεωμετρική κατανομή Θεωρούμε ότι εκτελείται μία ακολουθία ανεξάρτητων δοκιμών Bernoulli με σταθερή πιθανότητα επιτυχίας p. Αν Χ ο αριθμός των δοκιμών μέχρι την πρώτη επιτυχία τότε η τ.μ. ακολουθεί την γεωμετρική κατανομή. Συνάρτηση πιθανότητας: P(X= x) = p( p) x, x=,,... Γ. ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 4 7

Μέση τιμή, διακύμανση: E[X] = p p Var[X] = p Παράδειγμα: Από έρευνες έχει διαπιστωθεί ότι οι μαθητές της Α τάξης του Γυμνασίου καπνίζουν σε ποσοστό 0,0. Αν αρχίσουμε να ρωτάμε έναν έναν τους μαθητές της Α Γυμνασίου να μας πει αν καπνίζει ή όχι, ποια η πιθανότητα ο 3ος μαθητής που θα ρωτήσουμε να μας πει ότι καπνίζει? Γ. ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 5 Κατανομή Poisson Ας υποθέσουμε ότι μετράμε τον αριθμό των εμφανίσεων κάποιου γεγονότος σε συγκεκριμένο χρονικό διάστημα, σοο στο οποίο οο γνωρίζουμε ωρζουμε ότι το γεγονός αυτό εμφανίζεται α με ένα μέσο ρυθμό, δηλαδή κατά μέσο όρο λ φορές στη μονάδα του χρόνου. Τότε η Χ ακολουθεί την κατανομή Poisson με παράμετρο λ. Συνάρτηση πιθανότητας: x -λ λ P(X = x) = e, x = 0,,,... x! Γ. ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 6 8

Μέση τιμή, διακύμανση: E[X] = λ Var[X] = λ Παράδειγμα: Έχει παρατηρηθεί ότι σ ένα συγκεκριμένο μαγαζί οι πελάτες φθάνουν μ ένα μέσο ρυθμό 8 πελάτες ανά ώρα. Να βρεθεί η πιθανότητα σε μία ώρα να φθάσουν στο μαγαζί 5 πελάτες. Γ. ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 7 Ασκήσεις ) Εργοστάσιο παραγωγής τσιπ, παράγει σε ποσοστό % ελαττωματικά. Έστω ότι διαλέγουμε 4 τσιπ από το συνολικό αριθμό παραγωγής. Να βρεθεί η πιθανότητα να έχουμε διαλέξει α) ελαττωματικά τσιπ β) το πολύ ελαττωματικό τσιπ γ) τουλάχιστον ελαττωματικό τσιπ Γ. ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 8 9

) Μία μηχανή παράγει ένα προϊόν. Η πιθανότητα παραγωγής από αυτή τη μηχανή ελαττωματικού προϊόντος είναι p = 0.05. Ζητούνται να υπολογιστούν οι πιθανότητες: α) Από 0 προϊόντα της μηχανής να μην υπάρχει ελαττωματικό. β) Από 0 προϊόντα το πολύ να είναι ελαττωματικά. γ) Από 5 προϊόντα τουλάχιστον 3 να είναι ελαττωματικά. Γ. ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 9 3) Ο αριθμός ολόκληρων φουντουκιών σε σοκολάτες γνωστής σοκολατοβιομηχανίας αποτελεί τ.μ. Χ που ακολουθεί κατανομή Poisson με μέσο όρο 5,6. Να βρεθεί η πιθανότητα η σοκολάτα που θα αγοράσετε να περιέχει: α) ) λιγότερα από 4 φουντούκια β) περισσότερα από 4 και λιγότερα από 7 φουντούκια. 4) Στην εθνική οδό μόνο % των αυτοκινήτων παίρνουν ανθρώπους που κάνουν auto stop. Κάποιος κάνει auto stop στην εθνική οδό. Ποια η πιθανότητα το 5ο αυτοκίνητο που θα περάσει να τον πάρει. Γ. ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 0 0