ναπαράσταση Γνώσης και Συλλογιστικές! Γενικά Προτασιακή λογική Λογική πρώτης τάξης Λογικός προγραµµατισµός Επεκτάσεις της Λογικής Πρώτης Τάξης Συστήµατα Κανόνων Επίλογος ναπαράσταση γνώσης " ναπαράσταση γνώσης είναι ένα σύνολο συντακτικών και σηµασιολογικών παραδοχών, που καθιστούν δυνατή την περιγραφή ενός κόσµου. " Μία µέθοδος αναπαράστασης γνώσης έχει: " Συντακτικό (syntax): Τα σύµβολα που χρησιµοποιούνται και οι κανόνες µε τους οποίους συνδυάζονται. " Σηµασιολογία (semantics): Η σηµασία που αποδίδουµε στα σύµβολα και στους διάφορους έγκυρους συνδυασµούς τους. " Η φυσική γλώσσα είναι ακατάλληλη για αναπαράσταση γνώσης λόγω της πολυσηµαντότητας της (ambiguity) και της ερµηνείας µε βάση τα συµφραζόµενα (context). Γιάννης Ρεφανίδης 2 1
Εξαγωγή συµπερασµάτων " Μηχανισµός εξαγωγής συµπερασµάτων είναι ένας αλγόριθµος (αναζήτησης) εξαγωγής συµπερασµάτων από υπάρχουσα γνώση. " Κάθε µέθοδος αναπαράστασης γνώσης έχει έναν ή περισσότερους µηχανισµούς εξαγωγής συµπερασµάτων. " Κριτήρια αξιολόγησης µεθόδων αναπαράστασης γνώσης: " Επάρκεια αναπαράστασης (representational adequacy). " Επάρκεια συνεπαγωγής (inferential adequacy). " ποδοτικότητα συνεπαγωγής (inferential efficiency). " ποδοτικότητα απόκτησης (acquisitional efficiency). Γιάννης Ρεφανίδης 3 Μέθοδοι ναπαράστασης Γνώσης " Προτασιακή λογική (Propositional logic) " Λογική πρώτης τάξης (Firts-order logic) " Λογικές ανώτερης τάξης " Σηµασιολογικά ίκτυα " Πλαίσια " Σενάρια " Κανόνες " κλπ Γιάννης Ρεφανίδης 4 2
ναπαράσταση Γνώσης και Συλλογιστικές Γενικά! Προτασιακή λογική Λογική πρώτης τάξης Λογικός προγραµµατισµός Επεκτάσεις της Λογικής Πρώτης Τάξης Συστήµατα Κανόνων Επίλογος Προτασιακή λογική (propositional logic) " Βασίζεται σε συγκεκριµένες προτάσεις που είναι αληθείς ή ψευδείς. " Κάθε πρόταση έχει ένα όνοµα, συνήθως ένα κεφαλαίο γράµµα, π.χ. P, Q: " P: Ο Νίκος είναι προγραµµατιστής. " Q: Ο Νίκος έχει υπολογιστή. " R1: Το τρίγωνο ΒΓ είναι οξυγώνιο. " R2: Το τρίγωνο ΒΓ είναι ορθογώνιο. " R3: Το τρίγωνο ΒΓ είναι αµβλυγώνιο. " R4: Το τρίγωνο ΒΓ είναι ισόπλευρο. " R5: Το τρίγωνο ΒΓ είναι ισογώνιο. " Κάθε πρόταση µπορεί να είναι αληθής (true) ή ψευδής (false). " Είναι πιθανό να µην γνωρίζουµε την τιµή αληθείας µιας πρότασης, µολονότι αυτή είναι προκαθορισµένη. " εν επιτρέπεται η χρήση µεταβλητών. Γιάννης Ρεφανίδης 6 3
Σύνθετες προτάσεις " Μπορούµε να συνδυάζουµε απλές προτάσεις για να φτιάχνουµε σύνθετες (complex sentences) χρησιµοποιώντας τους παρακάτω λογικούς συνδέσµους (logical connectives): Σύµβολο ή ή Ονοµασία / Επεξήγηση Σύζευξη (Λογικό ΚΙ) ιάζευξη (Λογικό 'Η) Άρνηση Συνεπαγωγή ιπλή συνεπαγωγή Γιάννης Ρεφανίδης 7 Πίνακας αληθείας σύνθετων προτάσεων " Παρακάτω δίνεται ο πίνακας αληθείας των σύνθετων προτάσεων, µε βάση την τιµή αληθείας των απλών προτάσεων (=ληθές, =ευδές). P Q P P Q P Q P Q P Q Σε περίπτωση απουσίας παρενθέσεων, η σειρά προτεραιότητας των λογικών πράξεων (από την υψηλότερη προς την χαµηλότερη) είναι η εξής:,,,, Γιάννης Ρεφανίδης 8 4
Παραδείγµατα " P: Ο Νίκος είναι προγραµµατιστής. " Q: Ο Νίκος έχει υπολογιστή. " P Q " R1: Το τρίγωνο ΒΓ είναι οξυγώνιο. " R2: Το τρίγωνο ΒΓ είναι ορθογώνιο. " R3: Το τρίγωνο ΒΓ είναι αµβλυγώνιο. " R1 R2 " R1 R2 R3 " R1 R2 " R4: Το τρίγωνο ΒΓ είναι ισόπλευρο. " R5: Το τρίγωνο ΒΓ είναι ισογώνιο. " R4 R5 Γιάννης Ρεφανίδης 9 Βάσεις γνώσης και µοντέλα " Βάση γνώσης (Knowledge Base) είναι το σύνολο εκείνο των προτάσεων (απλές ή/και σύνθετες) που θεωρούµε ότι είναι αληθείς. " Ένα µοντέλο (model) είναι µια ανάθεση τιµής (αληθής ή ψευδής) σε κάθε απλή πρόταση, έτσι ώστε όλες οι προτάσεις της βάσης γνώσης (ΒΓ) να είναι αληθείς. " Παράδειγµα: Έστω οι προτάσεις: " P: Ο Νίκος είναι προγραµµατιστής. " Q: Ο Νίκος έχει υπολογιστή. " και έστω ότι η βάση γνώσης περιέχει µόνο την πρόταση: " P Q " Τα µοντέλα αυτής της βάσης γνώσης είναι τα: " P=, Q=A " P=, Q=A " P=, Q= Γιάννης Ρεφανίδης 10 5
Προτάσεις και µοντέλα " ύο (σύνθετες) προτάσεις και Β είναι ισοδύµανες, εάν αληθεύουν στα ίδια µοντέλα. " Β " Μια πρόταση είναι έγκυρη (valid), εάν αληθεύει σε όλα τα µοντέλα. " π.χ. P P " Μια πρόταση είναι ικανοποιήσιµη (satisfiable), εάν υπάρχει κάποιο µοντέλο m που την ικανοποιεί. " π.χ. η πρόταση P P δεν είναι ικανοποιήσιµη. Γιάννης Ρεφανίδης 11 Πίνακας Ισοδύναµων Προτάσεων " Β Β (αντιµεταθετικότητα της σύζευξης) " Β Β (αντιµεταθετικότητα της διάζευξης) " (( Β) Γ) ( (Β Γ)) (προσεταιριστική σύζευξης) " (( Β) Γ) ( (Β Γ)) (προσεταιριστική διάζευξης) " ( ) (απαλοιφή διπλής άρνησης) " Β Β (αντιθετοαντιστροφή) " Β Β (απαλοιφή συνεπαγωγής) " Β Β Β (απαλοιφή ισοδυναµίας) " ( Β) ( Β) (de Morgan) " ( Β) ( Β) (de Morgan) " (A (B Γ)) (( Β) ( Γ)) (επιµερισµός σύζευξης) " (A (B Γ)) (( Β) ( Γ)) (επιµερισµός διάζευξης) Γιάννης Ρεφανίδης 12 6
Παράδειγµα: Ναρκαλιευτής (1/4) (Minesweeper) " Έστω µια περιορισµένη έκδοση 3x3 του γνωστού παιχνιδιού των Windows. 3 # 2 # 1 1 2 3 " ρχικά δεν γνωρίζουµε πού βρίσκονται οι νάρκες. " Συµβολίζουµε µε Mij τη γνώση ότι η θέση ij (i γραµµή και j στήλη) έχει µια νάρκη. " Για κάθε θέση που δοκιµάζουµε, µαθαίνουµε εάν οι γειτονικές θέσεις δεν έχουν νάρκες. " Συµβολίζουµε µε Aij τη γνώση ότι µία γειτονική θέση της θέσης ij έχει νάρκη. Γιάννης Ρεφανίδης 13 Παράδειγµα: Ναρκαλιευτής (2/4) " Ηβάση γνώσης µας µπορεί να περιέχει απλές ή/και σύνθετες προτάσεις που κατασκευάζονται από τις Mij και Aij και για τις οποίες έχει βεβαιότητα ότι είναι αληθείς. " Έστω ότι αρχικά η βάση γνώσης µας περιέχει τις παρακάτω εννέα (9) σύνθετες προτάσεις : " R1: A11 M12 M21 " R2: A12 M12 M22 M13 "... " R9: A33 M23 M32 " Ισοδύναµα θα µπορούσαµε να χρησιµοποιήσουµε προτάσεις της µορφής: A11 M12 M21 Γιάννης Ρεφανίδης 14 7
Παράδειγµα: Ναρκαλιευτής (3/4) " Έστω ότι εισάγουµε στη βάση γνώσης την πρόταση: " R10: A11 " δηλαδή µάθαµε ότι η θέση (1,1) δεν γειτονεύει µε καµία νάρκη. Τι συµπεράσµατα µπορούµε να βγάλουµε και ΠΏΣ; " ιάφοροι µέθοδοι εξαγωγής συµπερασµάτων: " Έλεγχος µοντέλων (model checking) " Τεχνικές ικανοποίησης περιορισµών " ποδείξεις (proofs) " Τεχνική της ανάλυσης (resolution) " Πρόβληµα: Θέλουµε να ελέξουµε την τιµή αληθείας του Μ12, δηλαδή εάν υπάρχει νάρκη στο Μ12. Γιάννης Ρεφανίδης 15 Έλεγχος µοντέλων (Model checking) " Το πρόβληµα έχει 2x9=18 προτάσεις (Aij, Mij), κάθε µία από τις οποίες µπορεί να έχει τιµή ή. " Το πρόβληµα έχει 2 18 πιθανά µοντέλα! " πλοϊκή προσέγγιση: Βρίσκουµε όλα τα µοντέλα του προβλήµατος που είναι συµβατά µε τη βάση γνώση. Για όσες προτάσεις έχουν την ίδια τιµή σε όλα τα µοντέλα µπορούµε να συµπεράνουµε ότι αυτή είναι η πραγµατική τιµή τους (τεχνική παραγωγής και δοκιµής, 2ο κεφάλαιο). " Εάν εφαρµόσουµε την παραπάνω τεχνική, τότε θα βλέπαµε ότι σε όλα τα συµβατά µοντέλα η πρόταση M12 είναι ψευδής (όπως επίσης και η Μ21). " Σε µεγάλα προβλήµατα είναι πρακτικά αδύνατο να ελέξουµε όλα τα µοντέλα. " Η τεχνική ελέγχου µοντέλων λειτουργεί όταν ο κόσµος του προβλήµατος Γιάννης Ρεφανίδης είναι πεπερασµένος. 16 8
Τεχνικές ικανοποίησης περιορισµών (1/2) " Για να αποδείξουµε ότι ισχύει M12, αρκεί να αποδείξουµε ότι δεν υπάρχει κανένα µοντέλο (ανάθεση τιµών / στις προτάσεις Aij και Mij) που να ικανοποιεί τη βάση γνώσης και την πρόταση M12. " υτό µπορεί να γίνει µε τεχνικές ικανοποίησης περιορισµών (αλγόριθµοι ελέγχου συνέπειας). " Πράγµατι, το πρόβληµα εύρεσης ενός µοντέλου είναι ένα πρόβληµα ικανοποίησης περιορισµών, όπου: " µεταβλητές είναι όλες οι απλές προτάσεις που εµφανίζονται στη βάση γνώσης είτε αυτόνοµα ή ως µέρος µεγαλύτερων προτάσεων, " πεδία τιµών τους είναι οι τιµές και " περιορισµοί είναι οι αυτόνοµες (είτε απλές ή σύνθετες) προτάσεις της βάσης γνώσης, οι οποίες πρέπει να αληθεύουν. " Εάν ένας συστηµατικός αλγόριθµος αναζήτησης αποδείξει ότι δεν υπάρχει κανένα µοντέλο για την σύζευξη της βάσης γνώσης και της πρότασης M12, τότε η πρόταση Μ12 δεν είναι συµβατή σε καµία περίπτωση µε τη βάση γνώσης. " λγόριθµος DPLL: Συστηµατικός αλγόριθµος επίλυσης προβληµάτων ικανοποίησης προτάσεων µε χρήση τεχνικών ικανοποίησης περιορισµών. Γιάννης Ρεφανίδης 17 Τεχνικές ικανοποίησης περιορισµών (2/2) " Εναλλακτικά µπορούν να χρησιµοποιηθούν ευριστικές τεχνικές εύρεσης µοντέλων (τύπου αναρρίχησης λόφου): " Προστίθεται και πάλι η πρόταση M12 στη βάση γνώσης. " ρχικά πραγµατοποιείται µια τυχαία ανάθεση τιµών / σε όλες τις απλές προτάσεις του προβλήµατος. " Ελέγχεται πόσες από τις προτάσεις της βάσης γνώσης δεν ισχύουν. Εάν ισχύουν όλες, το µοντέλο βρέθηκε. " Επιλέγεται µια εκ των απλών προτάσεων και αντιστρέφεται η τιµή αληθείας της, µε κριτήριο την ελάττωση του αριθµού των προτάσεων της βάσης γνώσης που δεν ικανοποιούνται. " Η διαδικασία συνεχίζεται µέχρι είτε να βρεθεί ένα µοντέλο, είτε να ξεπεραστεί ένα προκαθορισµένο χρονικό όριο αναζήτησης. " Η εξάντληση του χρονικού ορίου µπορεί να θεωρηθεί ότι ισοδυναµεί µε τη µη-ύπαρξη µοντέλου (ή την πολύ µικρή πιθανότητα εµφάνισής του). Γιάννης Ρεφανίδης 18 9