Μάθημα: Στατιστική (Κωδ. 05) Διδάσκω: Γιώργος Κ. Παπαδόπουλος 5. Περιγραφική Στατιστική Σύτομη αασκόπηση βασικώ εοιώ, προτάσεω και τύπω Πληθυσμός (ή στατιστικός πληθυσμός) Τυχαίο δείγμα και πραγματοποίηση τυχαίου δείγματος Πίακας καταομής συχοτήτω Γραφική παρουσίαση καταομής συχοτήτω Πληθυσμό ή στατιστικό πληθυσμό οομάζουμε τη καταομή τω τιμώ μιας τυχαίας μεταβλητής, δηλαδή τη καταομή τω τιμώ που παίρει έα κοιό χαρακτηριστικό μιας ομάδας υποκειμέω. Κάθε υποκείμεο επί του οποίου μετράται/παρατηρείται η τιμή εός κοιού χαρακτηριστικού οομάζεται απλό στοιχείο ή δειγματοληπτική/πειραματική μοάδα. Τυχαίο δείγμα μεγέθους από έα πληθυσμό οομάζουμε αεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές X, X, K, X που παίρου τιμές από το πληθυσμό αυτό (και έχου επομέως τη ίδια καταομή). Οι συγκεκριμέες τιμές x, x, K, x, που έχουμε διαθέσιμες για επεξεργασία μετά τη λήψη του δείγματος αποτελού μια πραγματοποίηση τω X, X, K, X και οομάζοται δεδομέα ή παρατηρήσεις. α) Ποσοτικές μεταβλητές Στη πρώτη στήλη του πίακα καταομής συχοτήτω καταγράφοται σε αύξουσα σειρά οι διαφορετικές τιμές y, y, K, y από τις x, x, K, x που εμφαίσθηκα στο δείγμα. Στις επόμεες στήλες, για κάθε τιμή y, =,, K,, καταγράφεται η συχότητά της, (πόσες φορές εμφαίσθηκε) η σχετική συχότητά της, f = η αθροιστική συχότητά της, N (το άθροισμα τω συχοτήτω τω τιμώ που είαι y ) η αθροιστική σχετική συχότητά της, F (το άθροισμα τω σχετικώ συχοτήτω τω τιμώ που είαι y ) Α (έχει) γίει ομαδοποίηση τω τιμώ, στη πρώτη στήλη ατί τω διαφορετικώ τιμώ καταγράφοται οι διαφορετικές κλάσεις τιμώ. Στις επόμεες στήλες καταγράφεται η συχότητα, η σχετική συχότητα, η αθροιστική συχότητα και η αθροιστική σχετική συχότητα κάθε κλάσης τιμώ. β) Ποιοτικές μεταβλητές Στις ποιοτικές μεταβλητές κατηγορίας δε έχει όημα η διάταξη τω διαφορετικώ τιμώ y, y, K, y και επομέως δε έχου όημα ούτε οι αθροιστικές ούτε οι αθροιστικές σχετικές συχότητες αλλά μόο οι συχότητες και οι σχετικές συχότητες. Στις ποιοτικές μεταβλητές διάταξης η διάταξη τω διαφορετικώ τιμώ y, y, K, y έχει όημα και επομέως έχου όημα τόσο οι συχότητες και οι σχετικές συχότητες όσο και οι αθροιστικές και οι αθροιστικές σχετικές. α) Ποσοτικές μεταβλητές Σημειόγραμμα Ραβδόγραμμα συχοτήτω και σχετικώ συχοτήτω Διάγραμμα συχοτήτω και σχετικώ συχοτήτω Κυκλικό διάγραμμα συχοτήτω και σχετικώ συχοτήτω Ιστόγραμμα συχοτήτω/σχετικώ συχοτήτω/ αθροιστικώ συχοτήτω/αθροιστικώ σχετικώ συχοτήτω Πολύγωο συχοτήτω/σχετικώ συχοτήτω/αθροιστικώ συχοτήτω/ αθροιστικώ σχετικώ συχοτήτω Φυλλογράφημα Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γ.Κ.Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos)
Αριθμητικά περιγραφικά μέτρα (για συγκεκριμέη πραγματοποίηση x, x, K, x του δείγματος με y, y, K, y διαφορετικές τιμές) Θηκόγραμμα β) Ποιοτικές μεταβλητές Ραβδόγραμμα συχοτήτω και σχετικώ συχοτήτω Κυκλικό διάγραμμα συχοτήτω και σχετικώ συχοτήτω α) Ποσοτικές μεταβλητές Μέτρα θέσης Δειγματικός μέσος, x x = x = y = f y = = = Kορυφή του δείγματος, Μ 0 Η τιμή με τη μεγαλύτερη συχότητα Διάμεσος του δείγματος, δ ή Q Το πολύ 50% τω τιμώ του δείγματος είαι μικρότερες από τη διάμεσο και επίσης το πολύ 50% τω τιμώ του δείγματος είαι μεγαλύτερες από τη διάμεσο. Σε αύξουσα διάταξη τω x, x, K, x, τη θέση της διαμέσου δίει ο αριθμός 0.5( + ) εφόσο είαι ακέραιος, εώ α δε είαι ακέραιος, τότε η διάμεσος είαι ίση με το ημιάθροισμα τω δύο τιμώ που οι θέσεις τους είαι οι πλησιέστερες στο αριθμό 0.5( + ). p-ποσοστιαία σημεία του δείγματος, x p, 0 < p < Το πολύ 00p % τω τιμώ του δείγματος είαι μικρότερες από το p-ποσοστιαίο σημείο και το πολύ 00( p)% τω τιμώ του δείγματος είαι μεγαλύτερες από το p-ποσοστιαίο σημείο. Σε αύξουσα διάταξη τω x, x, K, x, τη θέση του p-ποσοστιαίου σημείου δίει ο αριθμός p ( +) εφόσο είαι ακέραιος, εώ α δε είαι ακέραιος, τότε το p-ποσοστιαίο σημείο εκτιμάται με παρεμβολή μεταξύ τω δύο τιμώ που οι θέσεις τους είαι οι πλησιέστερες στο αριθμό p ( +). Τεταρτημόρια, Q, Q, Q3 Q = x0.5, Q = x0.5 = δ, Q3 = x0.75 Α (έχει) γίει ομαδοποίηση τω τιμώ του δείγματος σε κλάσεις: Η κορυφή υπολογίζεται από το τύπο Δ M 0 = L + c Δ + Δ όπου, L το κάτω άκρο της επικρατούσας κλάσης, δηλαδή της κλάσης με τη μεγαλύτερη συχότητα, c το πλάτος της επικρατούσας κλάσης, Δ = και Δ = όπου + η συχότητα της επικρατούσας κλάσης. Στο τύπο υπολογισμού του δειγματικού μέσου x = y = f y = = τα y, =,, K, είαι οι κετρικές τιμές τω κλάσεω. Η διάμεσος υπολογίζεται από το τύπο 0.5 N δ = L + c όπου, L το κάτω άκρο της μεσαίας κλάσης, δηλαδή της κλάσης στη οποία αήκει η διάμεσος, c το πλάτος της μεσαίας κλάσης, η συχότητα της μεσαίας κλάσης και Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γ.Κ.Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos)
N η αθροιστική συχότητα της προηγούμεης κλάσης από τη μεσαία. Τα p-ποσοστιαία σημεία υπολογίζοται από το τύπο p N x p = L + c όπου, L το κάτω άκρο της κλάσης στη οποία βρίσκεται το x p, c το πλάτος της, η συχότητά της και N η αθροιστική συχότητα της προηγούμεης κλάσης. Μέτρα θέσης και μεταβλητότητας γραμμικού μετασχηματισμού τω παρατηρήσεω/δεδομέω Μέτρα μεταβλητότητας/διασποράς Εύρος R = x max x mn Εδοτεταρτημοριακό εύρος Q3 Q Δειγματική διακύμαση s = ( x x) = x x = = = = ( y x) = y x = = Δειγματική τυπική απόκλιση s = ( x x) = x x = = = ( y x) = y x = = Συτελεστής μεταβλητότητας s CV = 00% x = Α (έχει) γίει ομαδοποίηση τω τιμώ του δείγματος σε κλάσεις τα y, =,, K, είαι οι κετρικές τιμές τω κλάσεω. β) Ποιοτικές μεταβλητές Ορίζεται (και έχει όημα) μόο η κορυφή της καταομής. Α t = α x + β, τότε t = α x + β st = α s x s t = α sx δ t = αδ x + β α M + β M 0t = 0 x Θηκόγραμμα Πάω οριακή τιμή: η μεγαλύτερη τιμή του δείγματος που είαι Q3 +.5( Q3 Q ) ή Q3 + 3( Q3 Q ) Κάτω οριακή τιμή: η μικρότερη τιμή του δείγματος που είαι Q.5( Q ) ή Q ( Q ) 3 Q 3 3 Q Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γ.Κ.Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 3
Α η καταομή του δείγματος προσομοιάζει με μια καοική καταομή (έχει κωδωοειδή μορφή), τότε στο διάστημα ( x s, x + s) βρίσκεται περίπου το 68% τω παρατηρήσεω στο διάστημα ( x s, x + s) βρίσκεται περίπου το 95% τω παρατηρήσεω στο διάστημα ( x 3s, x + 3s) βρίσκοται περίπου όλες οι παρατηρήσεις (πάω από το 99%). O εμπειρικός καόας Η αισότητα Chebyshev Το ποσοστό τω τιμώ του δείγματος που βρίσκοται στο διάστημα ( x s, x + s) είαι τουλάχιστο ( ), Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γ.Κ.Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 4
Προβλήματα και Ασκήσεις. Η πτυχιακή μελέτη εός φοιτητή αφορούσε, μεταξύ άλλω, στο αριθμό τω πετάλω, έστω Χ, τω αθέω μιας συγκεκριμέης ποικιλίας εός φυτού που καλλιεργείται στο ομό Κοζάης. Στο πλαίσιο αυτής της μελέτης, ο φοιτητής μέτρησε το αριθμό τω πετάλω σε 5 άθη της συγκεκριμέης ποικιλίας που επέλεξε τυχαία από καλλιέργειες του ομού Κοζάης. Τα αποτελέσματα αυτώ τω μετρήσεω φαίοται στο πίακα που ακολουθεί. 7 5 8 7 5 5 6 6 5 7 5 5 5 9 6 8 5 5 5 6 6 5 5 6 5 9 6 5 5 7 6 6 7 5 7 5 5 6 6 5 6 5 6 5 5 5 5 6 6 5 5 8 5 5 5 5 6 5 5 5 6 5 5 6 5 5 5 6 7 5 7 5 5 8 5 5 5 6 5 0 5 6 5 5 6 5 7 5 5 5 9 5 5 7 5 5 5 5 6 7 5 5 6 5 6 5 7 5 0 5 6 5 5 5 8 α) Να υπολογίσετε και α ερμηεύσετε τα μέτρα θέσης και διασποράς της καταομής του δείγματος. β) Να κατασκευάσετε το θηκόγραμμα του δείγματος. Τι συμπεραίετε για τη καταομή του δείγματος; γ) Για κάποιο άθος βρέθηκε x = 7. Τι μπορούμε α πούμε για τη θέση αυτής της τιμής στη καταομή του δείγματος; δ) Α x 0.98 = 9. 68, τι μπορούμε α πούμε για τη θέση της τιμής x = 0 στη καταομή του δείγματος; ε) Να κατασκευάσετε το θηκόγραμμα τω z-τιμώ, z, z,..., z5, τω τιμώ x, x,..., x5 της Χ. Τι συμπεραίετε για τη καταομή τω z-τιμώ;. Σε 50 φύλλα πορτοκαλιάς, τυχαία επιλεγμέα, από έα πορτοκαλεώα στο κάμπο της Αργολίδας, μετρήθηκε ο αριθμός, έστω Χ, ζωυφίω αά φύλλο. Στο πίακα που ακολουθεί φαίοται οι συχότητες όλω τω τιμώ x της μεταβλητής Χ που εμφαίσθηκα στο δείγμα. Αριθμός ζωυφίω 0 3 4 5 6 7 Αριθμός φύλλω 5 9 0 7 4 α) Να υπολογίσετε και α ερμηεύσετε τα μέτρα θέσης και διασποράς της καταομής του δείγματος. β) Να κατασκευάσετε το θηκόγραμμα του δείγματος. Τι συμπεραίετε για τη καταομή του δείγματος; 3. Μια ομάδα ερευητώ, στο πλαίσιο εός πειράματος, ράτισε μια καλλιέργεια σέλιου με παραθείο με σκοπό α εκτιμήσει το υπόλοιπο παραθείου στο σέλιο μετά ορισμέο χροικό διάστημα από το ράτισμα. Στο πίακα που ακολουθεί φαίοται ομαδοποιημέες σε πέτε κλάσεις οι μετρήσεις (σε mllgrams ) που έκαε η ερευητική ομάδα σε 00 τυχαία επιλεγμέα φυτά. Ποσότητα παραθείου (σε mgr) Αριθμός φυτώ [0, 0) 0 [0, 40) 0 [40, 60) 0 [60, 80) 40 [80, 00) 0 Να εφαρμόσετε κατάλληλες μεθόδους περιγραφικής στατιστικής για α περιγράψετε τη καταομή του παραπάω δείγματος. Να συοψίσετε τα συμπεράσματά σας σε μια σύτομη παράγραφο. 4. Έστω Χ τυχαία μεταβλητή που εκφράζει το μηιαίο βιοτικό επίπεδο τω μελώ τω οικογεειώ στο Νομό Αττικής το έτος 008. Στα σχήματα που ακολουθού Το μηιαίο βιοτικό επίπεδο μιας οικογέειας είαι ίδιο για όλα τα μέλη της οικογέειας και προκύπτει από τη διαίρεση του συολικού καθαρού μηιαίου εισοδήματος της οικογέειας με έα σταθμικό άθροισμα τω μελώ της. Το σταθμικό άθροισμα προκύπτει ως εξής: για το πρώτο εήλικα βάρος, Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γ.Κ.Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 5
παρουσιάζεται η καταομή εός ατιπροσωπευτικού δείγματος τιμώ της Χ μεγέθους = 05. Για τη καταομή αυτή, δίεται επίσης, ο δειγματικός μέσος, x = 93. και η δειγματική τυπική απόκλιση, s = 538. 0. α) Ποιο πληθυσμό μελετάμε και ποια είαι η δειγματοληπτική μοάδα. β) Να υπολογίσετε (κατά προσέγγιση) και α ερμηεύσετε τη διάμεσο και το ο και 3 ο τεταρτημόριο της καταομής του δείγματος. γ) Τι ποσοστό (περίπου) τω οικογεειώ του δείγματος έχει μηιαίο βιοτικό επίπεδο πάω από 000 ; δ) Α είστε εκπρόσωπος τω εργαζομέω, ποιες πληροφορίες από τη καταομή του δείγματος θα χρησιμοποιούσατε ως επιχειρήματα σε μια συάτηση με το υπουργό οικοομικώ; ε) Τι ποσοστό (περίπου) τω οικογεειώ του δείγματος για κάθε άλλο εήλικα και κάθε παιδί άω τω 4 ετώ βάρος 0.5 και για κάθε παιδί κάτω τω 4 ετώ βάρος 0.3. Για παράδειγμα, το μηιαίο βιοτικό επίπεδο μιας οικογέειας με συολικό καθαρό μηιαίο εισόδημα 800 που αποτελείται από το πατέρα, τη μητέρα, τη γιαγιά, έα παιδί 8 ετώ και έα παιδί 6 ετώ είαι, 800 ( + 0.5 + 0.5 + 0.3 + 0.5) = 000. Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γ.Κ.Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 6
βρίσκεται κάτω από το όριο της φτώχιας (το όριο της φτώχιας ορίζεται ως το 60% του διάμεσου μηιαίου βιοτικού επιπέδου). στ) Α η z-τιμή μιας τιμής του δείγματος είαι -.3, ποια είαι η θέση αυτής της τιμής στη καταομή του δείγματος; ζ) Α μια τιμή του δείγματος είαι 500, ποια είαι η θέση της στη καταομή του δείγματος; η) Τι ποσοστό (κατά προσέγγιση) τω τιμώ του δείγματος βρίσκεται στο διάστημα ( x s, x + s) ; Συμφωεί αυτό το ποσοστό με αυτό που ααμέουμε από τη αισότητα Chebyshev; 5. Έας ερευητής σχεδίασε και εκτέλεσε έα πείραμα για α μελετήσει το χρόο, έστω Χ (σε ημέρες), που απαιτείται για τη αποδόμηση μιας συγκεκριμέης χημικής ουσίας από το μέλι (η ουσία αυτή χρησιμοποιείται για τη καταπολέμηση τω ακάρεω). Στο πίακα που ακολουθεί φαίοται 50 σχετικές παρατηρήσεις. 38 47 3 55 4 40 36 35 45 45 40 35 34 39 50 48 4 40 4 38 30 34 4 33 37 36 43 30 4 46 35 43 30 3 39 3 48 46 36 36 39 4 46 3 33 36 40 37 50 3 α) Να υπολογίσετε το μέσο, τη τυπική απόκλιση, τη κορυφή και τη διάμεσο του δείγματος. β) Να ομαδοποιήσετε τις παρατηρήσεις σε 6 κλάσεις με πλάτος 5 ημέρες η κάθε μια και αριστερό άκρο της πρώτης κλάσης τις 30 ημέρες. Να υπολογίσετε και πάλι το μέσο, τη τυπική απόκλιση, τη κορυφή και τη διάμεσο του δείγματος χρησιμοποιώτας τώρα τις ομαδοποιημέες παρατηρήσεις και α συγκρίετε τα αποτελέσματα με αυτά του ερωτήματος (α). γ) Να κατασκευάσετε το ιστόγραμμα συχοτήτω της καταομής με βάση τη ομαδοποίηση που κάατε στο (β). Τι συμπεραίετε για τη μορφή της; δ) Να σχολιάσετε τη θέση της κορυφής, της διαμέσου και του μέσου του δείγματος σε σχέση με τη μορφή της καταομής που προκύπτει από το (γ). ε) Να υπολογίσετε τα ποσοστά τω παρατηρήσεω που βρίσκοται ετός τω διαστημάτω ( x s, x + s), ( x s, x + s), ( x 3s, x + 3s) και α τα συγκρίετε με τα ατίστοιχα ποσοστά που ααμέοται από τη αισότητα Chebyshev και από το εμπειρικό καόα. 6. Σε μια περιοχή του Μαιάλου αιχμαλωτίσθηκα από μια ομάδα ερευητώ, με βάση έα σχέδιο τυχαίας δειγματοληψίας, 00 αλεπούδες για α ελεγχθού ως προς το α έχου προσβληθεί από παράσιτα (εός συγκεκριμέου τύπου). Στη συέχεια οι ερευητές κατέγραψα το αριθμό, έστω Χ, τω παράσιτω που βρέθηκα αά αλεπού. Στο πίακα που ακολουθεί φαίοται οι συχότητες όλω τω τιμώ x της μεταβλητής Χ που εμφαίσθηκα στο δείγμα (μηδέ παράσιτα σε κάθε μία από 69 αλεπούδες, έα παράσιτο σε κάθε μια από 7 αλεπούδες, παράσιτα σε κάθε μία από 6 αλεπούδες, κτλ). Αριθμός παράσιτω 0 3 4 5 6 7 8 Αριθμός αλεπούδω 69 7 6 3 0 α) Να υπολογίσετε και α ερμηεύσετε τα μέτρα θέσης και διασποράς της καταομής του δείγματος. β) Να κατασκευάσετε το θηκόγραμμα του δείγματος. Τι συμπεραίετε για τη καταομή του δείγματος; γ) Να υπολογίσετε τα ποσοστιαία σημεία x 0. 95 και x 0. 98. Τι μπορούμε α πούμε για τη θέση τω τιμώ, x = 4 και x = 6 στη καταομή του δείγματος; 7. Στο πίακα που ακολουθεί φαίεται για καθέα από 5 βάζα μελιού που επιλέξαμε τυχαία από τα ράφια του πρατηρίου εός συεταιρισμού μελισσοκόμω ) ο παραγωγός (Α, Β, Γ) ) το είδος του μελιού (αθέω, ελάτης, θυμαρίσιο, πεύκου) ) το μέγεθος της συσκευασίας (μικρό, μεσαίο, μεγάλο) v) η περιεκτικότητα του μελιού σε σάκχαρα και v) η ποσότητα μελιού που περιέχεται σε κάθε βάζο. Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γ.Κ.Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 7
Παραγωγός Είδος Μέγεθος Περιεκτικότητα σε Ποσότητα συσκευασίας σάκχαρα (%) (σε gr) Α Αθέω Μικρό 75 50 Β Αθέω Μεσαίο 77 500 Α Αθέω Μεσαίο 70 490 Γ Αθέω Μικρό 78 40 Α Θυμαρίσιο Μεγάλο 77 000 Α Αθέω Μεγάλο 75 950 Α Πεύκου Μεγάλο 5 00 Γ Πεύκου Μεσαίο 55 550 Γ Αθέω Μεσαίο 77 450 Γ Ελάτης Μεσαίο 60 500 Α Θυμαρίσιο Μικρό 77 50 Β Θυμαρίσιο Μικρό 75 70 Α Θυμαρίσιο Μεγάλο 78 000 Β Θυμαρίσιο Μεγάλο 78 050 Β Πεύκου Μεγάλο 60 000 Α Πεύκου Μεσαίο 50 500 Β Ελάτης Μεσαίο 55 550 Γ Ελάτης Μικρό 59 50 Α Ελάτης Μικρό 60 50 Β Θυμαρίσιο Μεσαίο 75 560 Γ Αθέω Μεσαίο 77 500 Γ Πεύκου Μεσαίο 55 500 Γ Αθέω Μικρό 77 40 Β Αθέω Μεγάλο 7 990 Α Αθέω Μικρό 75 50 Να εφαρμόσετε κατάλληλες (κατά περίπτωση) μεθόδους περιγραφικής στατιστικής για α περιγράψετε τη καταομή καθεός από τα δείγματα αυτά και α συοψίσετε τα συμπεράσματά σας σε μια σύτομη παράγραφο. 8. Στο σχήμα που ακολουθεί φαίεται σε μορφή θηκογράμματος η καταομή εός δείγματος 50 τιμώ της τυχαίας μεταβλητής Χ που εκφράζει τη ποσότητα φυτικώ ιώ σε μπάρες δημητριακώ ορισμέου τύπου. Δίεται επίσης ότι ο μέσος του συγκεκριμέου δείγματος είαι x = 0 gr/μπάρα με τυπική απόκλιση s = 4. gr/μπάρα. Τι μπορείτε α συμπεράετε για τη θέση, τη μεταβλητότητα και τη μορφή της καταομής του συγκεκριμέου δείγματος τιμώ της Χ; Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γ.Κ.Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 8