Λογικές πύλες: Οι στοιχειώδεις δομικοί λίθοι των κυκλωμάτων

Λογικές πύλες Λογικές πύλες: Οι στοιχειώδεις δομικοί λίθοι των κυκλωμάτων Το υλικό(hardware) για την εκτέλεση των εντολών γλώσσας μηχανής(και κατ επέκταση όλων των προγραμμάτων), κατασκευάζεται χρησιμοποιώντας ένα μεγάλο πλήθος από μια μικρή ομάδα δομικών λίθων. Αυτοί οι δομικοί λίθοι ονομάζονται λογικές πύλες(logical gates). Οι λογικές πύλες βρίσκονται λίγο πιο πάνω από το φυσικό επίπεδο και κατασκευάζονται χρησιμοποιώντας τρανζίστορς (transistors). Τα τρανζιστορς κατασκευάζονται από φυσικά υλικά όπως ημιαγωγούς, μέταλλα, πολυμερή, πυρίτιο και οξείδια πυριτίου. Ο τρόπος κατασκευής των κυκλωμάτων στο φυσικό επίπεδο αποτελεί μελέτη της Μικροηλεκτρονικής. Εμείς θα εστιάσουμε από το επίπεδο των λογικών πυλών και πάνω.

Λογικές πύλες Βασικές λογικές πύλες Η(λογική) πύλη AND A B AND F A B F L L L L H L H L L H H H Η(λογική)πύλη OR A B OR F A B F L L L L H H H L H H H H

Λογικές πύλες Βασικές λογικές πύλες Η(λογική) πύλη NOT A NOT F A F L H H L

Λογικές πύλες Βασικές λογικές πύλες Οι βασικές λογικές πύλες συνδυάζονται κατασκευάζοντας συνθετότερα ολοκληρωμένα κυκλώματα. Παράδειγμα

Λογικές πύλες Βασικές λογικές πύλες Ερωτήσεις Πως περιγράφεται ένα ολοκληρωμένο κύκλωμα χωρίς σχήμα; Ποιαείναιηλειτουργίατου;Δηλαδήποιαέξοδοδίνει(Hή L) για μια συγκεκριμένη είσοδο; Πως κατασκευάζουμε ένα κύκλωμα που κάνει μια συγκεκριμένη λειτουργία; Υπάρχειάλλοκύκλωμαπουέχειτηνίδιαέξοδομεένα άλλο κύκλωμα για κάθε δυνατή είσοδο; Πως χαρακτηρίζουμε ένα κύκλωμα απλούστερο από ένα άλλο; Μπορούμε να βρούμε το απλούστερο κύκλωμα που κάνει μια συγκεκριμένη λειτουργία;

Άλγεβρα Boole Το 1938 ο Claude Shannon ήταν ο πρώτος που χρησιμοποίησε την άλγεβρα Boole για τη σχεδίαση και απλοποίηση των ψηφιακών κυκλωμάτων της εποχής. Παρόλο που τα υλικά και οι τεχνολογία έχουν εξελιχθεί από τότε, η ίδια ιδέα εφαρμόζεται και σήμερα.

Άλγεβρα Boole Λογικές πράξεις Στηνάλγεβρα Booleκάθεμεταβλητή x,y,z,...λαμβάνει μόνοδύοτιμές: 0ή1. Στην άλγεβρα Boole ορίζονται τρεις(λογικές) πράξεις: Η λογική πρόσθεση +. Ο λογικός πολλαπλασιασμός. x y x +y 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 x y x y 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1

Άλγεβρα Boole Λογικές πράξεις Ηλογικήάρνηση ή. x x 0 1 1 0 Παρατηρήσεις: Η λογική πρόσθεση + και ο λογικός πολλαπλασιασμός δεν πρέπεινασυγχέεταιμετηνπρόσθεσηήτον πολλαπλασιασμό στους δεκαδικούς ή δυαδικούς αριθμούς. Οι παρακάτω πίνακες με την βοήθεια των οποίων ορίζονται οι λογικές πράξεις ονομάζονται πίνακες αλήθειας της κάθε πράξης.

Λογικές πύλες και Άλγεβρα Boole Ο Shannon έκανε την εξής απλή παρατήρηση: Αντουψηλόδυναμικό Hμιαςπύληςαντιστοιχηθείστολογικό1 καιτοχαμηλόδυναμικό Lστολογικό0,τότεοιβασικέςλογικές πύλες(and, OR, NOT) αντιστοιχούν στις λογικές πράξεις της άλγεβρας Boole. Οπολ/σμος Η πρόσθεση +. x y x y 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 x y x +y 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 Ηπύλη AND Ηπύλη OR A B F L L L L H L H L L H H H A B F L L L L H H H L H H H H

Λογικές πύλες και Άλγεβρα Boole Ιδιότητες των πράξεων Για τις λογικές} πράξεις ισχύουν οι επόμενες ιδιότητες: x +y = y +x (αντιμεταθετικότητα) x y = y x } x +(y +z) = (x +y)+z (προσεταιριστικότητα) x (y z) = (x y) z } x +x = x (αδυναμία) x x = x } x +(x y) = x (απορροφητικότητα) x (x +y) = x } x (y +z) = x y +x z (επιμεριστικότητα) x +y z = (x +y) (x +z)

Λογικές πύλες και Άλγεβρα Boole Ιδιότητες των πράξεων Επίσης ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες: i. (x ) = x ii. x +0 = xκαι x +1 = 1. iii. x 0 = 0και x 1 = x. iv. x +x = 1και x x = 0. v. x +x y = x +y. vi. (x +y) = x y (x y) = x +y } (τύποι De Morgan).

Λογικές πύλες και Άλγεβρα Boole Ιδιότητες των πράξεων Ενας τρόπος για την απόδειξη/έλεγχο των προηγούμενων ιδιοτήτων είναι χρησιμοποιώντας την μέθοδο του πίνακα αληθείας. Επειδή οι μεταβλητές στην άλγεβρα Boole λαμβάνουν μόνο δύο τιμές είναι δυνατός ο εξαντλητικός έλεγχος όλων των δυνατών περιπτώσεων. Για μια ιδιότητα που περιέχει μόνο μια μεταβλητή οι δυνατές περιπτώσεις για την τιμή της μεταβλητής είναι 2. Ετσι, αρκεί να επαληθεύσουμε την αντίστοιχη ιδιότητα για τις δύο τιμές της μεταβλητής.

Λογικές πύλες και Άλγεβρα Boole Ιδιότητες των πράξεων Για παράδειγμα, για τον έλεγχο της ιδιότητας x +x = x κατασκευάζουμε τον επόμενο πίνακα αλήθειας x x +x 0 0 1 1 απ όπουπροκύπτειότικαιγιατιςδύοδυνατέςτιμέςτις μεταβλητής x η ιδιότητα επαληθεύεται.

Λογικές πύλες και Άλγεβρα Boole Ιδιότητες των πράξεων Στην περίπτωση όπου έχουμε 2 μεταβλητές τότε πρέπει να λάβουμευπόψη 4 = 2 2περιπτώσεις. Για παράδειγμα, για τον έλεγχο της ιδιότητας x +(x y) = x κατασκευάζουμε τον επόμενο πίνακα αληθείας x y x y x +x y 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 από όπου προκύπτει ότι η ιδιότητα της απορροφητικότητας ισχύει.

Λογικές πύλες και Άλγεβρα Boole Ιδιότητες των πράξεων Άσκηση Να αποδειχθούν οι ιδιότητες των πράξεων της άλγεβρας Boole χρησιμοποιώντας την μέθοδο του πίνακα αληθείας.

Λογικές πύλες και Άλγεβρα Boole Συναρτήσεις Boole Κάθεσυνάρτηση f : {0,1} n {0,1}πουχρησιμοποιεί μεταβλητές της άλγεβρας Boole και λογικές πράξεις ονομάζεται συνάρτηση Boole ή λογική συνάρτηση. Παράδειγμα Η f είναιμιαλογικήσυνάρτησηδύομεταβλητώνμετύπο Ισχύει ότι f(x,y) = x y +y f(0,0) = 1 f(0,1) = 0 f(1,0) = 1 f(1,1) = 1

Λογικές πύλες και Άλγεβρα Boole Συναρτήσεις Boole Παράδειγμα Η f μετύπο f(x,y) = x +x y είναι μια λογική συνάρτηση δύο μεταβλητών για την οποία ισχύει ότι f(0,0) = 0 f(0,1) = 0 f(1,0) = 1 f(1,1) = 1 Παρατήρηση f(x,y) = x (!)

Λογικές πύλες και Άλγεβρα Boole Συναρτήσεις Boole Ενας τρόπος αναπαράστασης μιας λογικής συνάρτησης, αντι της αλγεβρικής της παράστασης, ο οποίος χρησιμοποιείται ευρύτατα, είναι μέσω πινάκων αληθείας. Παράδειγμα Ησυνάρτηση f(x,y) = x y +x y περιγράφεται από τον επόμενο πίνακα αληθείας x y f 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0

Λογικές πύλες και Άλγεβρα Boole Συναρτήσεις Boole Άσκηση Να κατασκευασθεί ο πίνακας αληθείας των παρακάτω συναρτήσεων f(x,y,z,w) = xy +yz +z w +x y z g(x,y,z,w) = x(x +y)(z +w)z

Λογικές πύλες και Άλγεβρα Boole Από το κύκλωμα στη συνάρτηση Σεκάθεψηφιακόκύκλωμαμε nεισόδουςκαι 1έξοδο αντιστοιχεί μια συνάρτηση Boole η οποία δίνει το αποτέλεσμα της εξόδου για κάθε δυνατή περίπτωση για τις n εισόδους.

Λογικές πύλες και Άλγεβρα Boole Από το κύκλωμα στη συνάρτηση Παράδειγμα 1 Στο λογικό κύκλωμα αντιστοιχεί η συνάρτηση f(a,b) = (A+B)(A+B )(A +B) Ερώτηση Ποιοςείναιοπίνακαςαληθείαςτης f;

Λογικές πύλες και Άλγεβρα Boole Από το κύκλωμα στη συνάρτηση Παράδειγμα 2 Στο λογικό κύκλωμα αντιστοιχεί η συνάρτηση f(a,b) = (A B)+(B C)+(A C) Ερώτηση Ποιοςείναιοπίνακαςαληθείαςτης f;

Λογικές πύλες και Άλγεβρα Boole Από τη συνάρτηση στο κύκλωμα Σε κάθε λογική συνάρτηση με n μεταβλητές αντιστοιχεί ένα(;) κύκλωμα με n μεταβλητές η έξοδος του οποίου συμπεριφέρεται όπως η συνάρτηση.

Λογικές πύλες και Άλγεβρα Boole Από τη συνάρτηση στο κύκλωμα Παράδειγμα Η λογική συνάρτηση F(A,B,C,D) = A+B +C +D αντιστοιχεί στο κύκλωμα αλλά και στο κύκλωμα

Λογικές πύλες και Άλγεβρα Boole Από τη συνάρτηση στο κύκλωμα Παρατήρηση: Σε μια συνάρτηση μπορεί να αντιστοιχούν πολλά κυκλώματα, όπως επίσης και σε ένα κύκλωμα να αντιστοιχούν πολλές αλγεβρικές εκφράσεις συναρτήσεων. Άσκηση Να βρεθεί ένα κύκλωμα που αντιστοιχεί στις παρακάτω συναρτήσεις f(a,b,c) = (A B )+(B C)+(A C) g(a,b) = (A+(A B))

Λογικές πύλες και Άλγεβρα Boole Επαρκή σύνολα Παρατήρηση Αν κατασκευάσουμε τον πίνακα αλήθειας της συνάρτησης f(x,y) = (x +y ) x y f 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 παρατηρούμε ότι συμπίπτει με τον πίνακα αληθείας της f(x,y) = x y. Δηλαδή μπορούμε να εκφράσουμε την λογική πράξη χρησιμοποιώνταςμόνοτιςλογικέςπράξεις +και.

Λογικές πύλες και Άλγεβρα Boole Επαρκή σύνολα Από την προηγούμενη παρατήρηση προκύπτει ότι Πρόταση Τοσύνολο {+, }είναιεπαρκέςγιαναεκφράσειοποιαδήποτε συνάρτησηπουκατασκευάζεταιαπότιςλογικέςπράξεις +,,. Άσκηση Νααποδειχθειότιτοσύνολο {, }είναιεπίσηςεπαρκές.

Λογικές πύλες και Άλγεβρα Boole Επαρκή σύνολα και λογικές πύλες Παρατήρηση Λόγω της ιδιότητας x y = (x +y ) κάθεπύλη ANDμπορείνααντικασταθείαπό4πύλες:3 NOT και1or. Άσκηση Να κατασκευασθεί η πύλη AND χρησιμοποιώντας 3 NOT και 1 OR.

Λογικές πύλες και Άλγεβρα Boole Λογικές πύλες Ενώ,οιπύλες AND, ORκαι NOTαντιστοιχούνάμεσαστις πράξεις τις άλγεβρα Boole. Στην πράξη όμως χρησιμοποιούνται κατα κόρον οι επόμενες δύο λογικές πύλες. Η(λογική) πύλη NAND A NAND B Η(λογική) πύλη NOR F A B F L L H L H H H L H H H L A B NOR F A B F L L H L H L H L L H H L

Λογικές πύλες και Άλγεβρα Boole Επαρκή σύνολα και λογικές πύλες Οιλογικέςπύλες NANDκαι NORμπορούνναεκφραστούνμετην βοήθειαενόςζεύγουςπυλώναπό ANDκαι NOT(NOTκαι OR) Στην πράξη όμως συμβαίνει το αντίθετο, οι υπόλοιπες πύλες εκφράζονται με την βοήθεια αυτών. Ολόγοςείναιότιοιπύλες NANDκαι NOR(σεφυσικόεπίπεδο) κατασκευάζονταιφθηνότερα,είναιταχύτερες,καταναλώνουν λιγότερηενέργεια,καιτελικά αυτέςείναιοιδομικοίλίθοιτων ολοκληρωμένων ψηφιακών κυκλωμάτων.

Λογικές πύλες και Άλγεβρα Boole Επαρκή σύνολα και λογικές πύλες Άσκηση Να εκφραστούν οι πύλες NOT, OR και AND χρησιμοποιώντας μόνο λογικές πύλες NAND. Το ίδιο πρόβλημα χρησιμοποιώντας μόνο λογικές πύλες NOR.

Λογικές πύλες και Άλγεβρα Boole Λογικές πύλες Επίσης ένα ζευγάρι από σημαντικές λογικές πύλες είναι οι εξής: Η(λογική) πύλη XOR A XOR B Η(λογική) πύλη XNOR F A B F L L L L H H H L H H H L A B XNOR F A B F L L H L H L H L L H H H

Κανονικές μορφές λογικών συναρτήσεων Από τον πίνακα αληθείας στη συνάρτηση Υπενθύμιση: Ενας τρόπος αναπαράστασης μιας λογικής συνάρτησης, αντί της αλγεβρικής της παράστασης, είναι μέσω πινάκων αληθείας. Παράδειγμα Στησυνάρτηση f(x,y) = x y +x yαντιστοιχείοεπόμενος x y f 0 0 0 πίνακας αληθείας: 0 1 1 1 0 1 1 1 0 Ερώτημα: Εχοντας την αναπαράσταση μιας λογικής συνάρτησης μέσω πίνακα αληθείας μπορεί να βρεθεί η αλγεβρική της παράσταση;

Κανονικές μορφές λογικών συναρτήσεων Από τον πίνακα αληθείας στη συνάρτηση Ενώ ο πίνακας αληθείας είναι μοναδικός για κάθε συνάρτηση f, σε κάθε πίνακα αληθείας αντιστοιχούν πολλές(άπειρες) αλγεβρικές παραστάσεις. Μερικές από τις αλγεβρικές παραστάσεις που αντιστοιχούν στο πίνακα αληθείας του προηγούμενου παραδείγματος είναι οι εξής: f(x,y) = x y +x y f(x,y) = x (y +y x)+x (y +y) f(x,y) = x y +y (x +x)+x y κ.ο.κ. x y f 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0

Κανονικές μορφές λογικών συναρτήσεων Από τον πίνακα αληθείας στη συνάρτηση Ερωτήματα Πώς υπολογίζεται η αλγεβρική παράσταση μιας συνάρτησης από τον πίνακα αληθείας; Ποια απ όλες τις αλγεβρικές εκφράσεις είναι η πιο κατάλληλη για τις εφαρμογές;

Κανονικές μορφές λογικών συναρτήσεων Από τον πίνακα αληθείας στη συνάρτηση Πως υπολογίζεται η αλγεβρική παράσταση μιας συνάρτησης από τον πίνακα αληθείας; Παράδειγμα x y f 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 Ιδέα:Ανβρωμιααλγεβρικήπαράσταση f 1 πουδίνει 1μόνο όταν x = 0και y = 1καιβρωμιααλγεβρικήπαράσταση f 2 που δίνει 1μόνοόταν x = 1και y = 0,τότεηf μπορείναεκφραστεί ωςάθροισματων f 1 και f 2 f = f 1 +f 2

Κανονικές μορφές λογικών συναρτήσεων Από τον πίνακα αληθείας στη συνάρτηση Ιδέα:Ανβρωμιααλγεβρικήπαράσταση f 1 πουδίνει 1μόνο όταν x = 0και y = 1καιβρωμιααλγεβρικήπαράσταση f 2 που δίνει 1μόνοόταν x = 1και y = 0,τότεηf μπορείναεκφραστεί ωςάθροισματων f 1 και f 2 f = f 1 +f 2 x y f 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 Ηαπλούστερηέκφρασηγιατην f 1 είναιηf 1 = x y. Ηαπλούστερηέκφρασηγιατην f 2 είναιηf 2 = xy. Άρα, f(x,y) = x y +xy.

Κανονικές μορφές λογικών συναρτήσεων Από τον πίνακα αληθείας στη συνάρτηση Πως υπολογίζεται η αλγεβρική παράσταση μιας συνάρτησης από τον πίνακα αληθείας; Παράδειγμα x y f 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 Ιδέα 2:Ανβρωμιααλγεβρικήπαράσταση f 1 πουδίνει 0μόνο όταν x = 0και y = 0καιβρωμιααλγεβρικήπαράσταση f 2 που δίνει 0μόνοόταν x = 1και y = 1,τότεηf μπορείναεκφραστεί ωςγινόμενοτων f 1 και f 2 f = f 1 f 2

Κανονικές μορφές λογικών συναρτήσεων Από τον πίνακα αληθείας στη συνάρτηση Ιδέα 2:Ανβρωμιααλγεβρικήπαράσταση f 1 πουδίνει 0μόνο όταν x = 0και y = 0καιβρωμιααλγεβρικήπαράσταση f 2 που δίνει 0μόνοόταν x = 1και y = 1,τότεηf μπορείναεκφραστεί ωςγινόμενοτων f 1 και f 2 f = f 1 f 2 x y f 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 Ηαπλούστερηέκφρασηγιατην f 1 είναιηf 1 = x +y. Ηαπλούστερηέκφρασηγιατην f 2 είναιηf 2 = x +y. Άρα, f(x,y) = (x +y)(x +y ).

Κανονικές μορφές λογικών συναρτήσεων Από τον πίνακα αληθείας στη συνάρτηση Πως υπολογίζεται η αλγεβρική παράσταση μιας συνάρτησης από τον πίνακα αληθείας; x y f 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 f(x,y) = x y +xy. f(x,y) = (x +y)(x +y ). Στην πρώτη μορφή γράψαμε την f ως άθροισμα γινομένων. Ο κάθε όρος του αθροίσματος ονομάζεται ελαχιστόρος. Ενώστηδεύτερημορφήγράψαμετην f ωςγινόμενο αθροισμάτων. Ο κάθε όρος του γινομένου ονομάζεται μεγιστόρος.

Κανονικές μορφές λογικών συναρτήσεων Ελαχιστόροι Με βάση των πίνακα αληθείας μιας συνάρτησης τριων μεταβλητών οι δυνατοί ελαχιστόροι είναι οι εξης: x y z ελαχιστόρος 0 0 0 x y z 0 0 1 x y z 0 1 0 x yz 0 1 1 x yz 1 0 0 xy z 1 0 1 xy z 1 1 0 xyz 1 1 1 xyz

Κανονικές μορφές λογικών συναρτήσεων Ελαχιστόροι Επειδήκάθετριάδατιμώντων x,y,zαντιστοιχείσεένα μοναδικό δυαδικό αριθμό μπορούμε να ονομάσουμε τους ελαχιστόρους με βάση αυτόν το αριθμό ως εξής: x y z ελαχιστόρος ονομασία 0 0 0 x y z m 0 0 0 1 x y z m 1 0 1 0 x yz m 2 0 1 1 x yz m 3 1 0 0 xy z m 4 1 0 1 xy z m 5 1 1 0 xyz m 6 1 1 1 xyz m 7

Κανονικές μορφές λογικών συναρτήσεων Μεγιστόροι Με βάση των πίνακα αληθείας μιας συνάρτησης τριων μεταβλητών οι δυνατοί μεγιστόροι είναι οι εξης: x y z μεγιστόρος 0 0 0 x +y +z 0 0 1 x +y +z 0 1 0 x +y +z 0 1 1 x +y +z 1 0 0 x +y +z 1 0 1 x +y +z 1 1 0 x +y +z 1 1 1 x +y +z

Κανονικές μορφές λογικών συναρτήσεων Μεγιστόροι Αντίστοιχα,επειδήκάθετριάδατιμώντων x,y,zαντιστοιχείσε ένα μοναδικό δυαδικό αριθμό μπορούμε να ονομάσουμε τους μεγιστόρους με βάση αυτόν το αριθμό ως εξής: x y z μεγιστόρος ονομασία 0 0 0 x +y +z M 0 0 0 1 x +y +z M 1 0 1 0 x +y +z M 2 0 1 1 x +y +z M 3 1 0 0 x +y +z M 4 1 0 1 x +y +z M 5 1 1 0 x +y +z M 6 1 1 1 x +y +z M 7

Κανονικές μορφές λογικών συναρτήσεων Άσκηση Να γραφούν ως άθροισμα ελαχιστόρων και γινόμενο μεγιστόρων οι συναρτήσεις f, g με τους παρακάτω πίνακες αληθείας. x y z f g 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1

Κανονικές μορφές λογικών συναρτήσεων Συνοπτικός συμβολισμός Στην προηγούμενη άσκηση ισχύει ότι και f(x,y,z) = m 1 +m 4 +m 7 g(x,y,z) = m 3 +m 5 +m 6 +m 7 Ενας συνοπτικότερος τρόπος συμβολισμού αυτών των αθροισμάτων είναι ο ακόλουθος: f(x,y,z) = Σ(1,4,7) και g(x,y,z) = Σ(3,5,6,7)

Κανονικές μορφές λογικών συναρτήσεων Συνοπτικός συμβολισμός Αντίστοιχα, ισχύει ότι και f(x,y,z) = M 0 M 2 M 3 M 5 M 6 g(x,y,z) = M 0 M 1 M 2 M 4 Ενας συνοπτικότερος τρόπος συμβολισμού αυτών των γινομένων είναι ο ακόλουθος: f(x,y,z) = Π(0,2,3,5,6) και g(x,y,z) = Π(0,1,2,4)