ΕΞΟΜΟΙΩΣΗ ΤΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑΣ ΦΙΛΤΡΩΝ ΒΑΘΕΙΑΣ ΔΙΗΘΗΣΕΩΣ

ΕΞΟΜΟΙΩΣΗ ΤΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑΣ ΦΙΛΤΡΩΝ ΒΑΘΕΙΑΣ ΔΙΗΘΗΣΕΩΣ Ε.Δ. Σκούρας, Χ.Α. Παρασκευά, Β.Ν. Μπουργανός, και Α.Χ. Παγιατάκης Ερευνητικό Ινστιτούτο Χημικής Μηχανικής και Χημικών Διεργασιών Υψηλής Θερμοκρασίας - ΙΤΕ και Τμήμα Χημικών Μηχανικών, Πανεπιστήμιο Πατρών, GR 26500, ΠΑΤΡΑ Αναπτύχθηκε ένας εξομοιωτής, ο οποίος περιγράφει την δυναμική συμπεριφορά φίλτρων βαθειάς διηθήσεως και προβλέπει την χρονική εξέλιξη της διηθητικής ικανότητας καθώς και της διαπερατότητάς τους. Ο χώρος των πόρων αναπαριστάται ως τρισδιάστατο δίκτυο μοναδιαίων σωληνίσκων με στένωση. Για τον προσδιορισμό της κινήσεως των σωματιδίων μέσα στους πόρους, μέσω ολοκληρώσεως των εξισώσεων τρισδιάστατης τροχιάς, λαμβάνονται υπόψη οι υδροδυναμικές δυνάμεις και η βαρύτητα που ασκούνται στα σωματίδια καθώς επίσης οι δυνάμεις London-van der Vaals, οι δυνάμεις διπλής ιονοστοιβάδας και οι υδροδυναμικές αλληλεπιδράσεις μεταξύ των αιωρούμενων σωματιδίων και των τοιχωμάτων των πόρων. Για την εξομοίωση της δυναμικής συμπεριφοράς του συστήματος λαμβάνεται υπόψη η μεταβολή της τοπικής γεωμετρίας εξαιτίας των αποθέσεων των αιωρούμενων σωματιδίων. Ένα πολύ σημαντικό χαρακτηριστικό του εξομοιωτή είναι ότι επιτρέπει την δυνατότητα επαναφοράς αποθεμάτων στο ρέον αιώρημα, υπό την επίδραση ισχυρών τοπικών διατμητικών τάσεων, με την μορφή συσσωματωμάτων. Τα επαναφερόμενα στο αιώρημα συσσωματώματα κινούνται κατά την διεύθυνση της μακροσκοπικής ροής, επιλέγοντας κατάλληλα μονοπάτια μέσω μίας διαδικασίας Monte Carlo, βασισμένης σε τοπικές παροχές. Τα συσσωματώματα αυτά είναι δυνατό να φράξουν στενούς πόρους δημιουργώντας "πώματα", τα οποία όμως είναι διαπερατά από το ρευστό και ως εκ τούτου έχουν σημαντικό ρόλο στην τοπική και συνολική συμπεριφορά του φίλτρου. Η διαπερατότητα σε κάθε χρονικό βήμα λαμβάνεται από τον υπολογισμό των τοπικών υδραυλικών αγωγιμοτήτων των πόρων και των αντιστοίχων παροχών. Ο συντελεστής διηθήσεως και η κατανομή του ειδικού αποθέματος υπολογίζονται βάσει των ισοζυγίων μάζας στους κόμβους. Τα αποτελέσματα για την ολική διηθητική ικανότητα και την διαπερατότητα, καθώς και για την τοπική κατανομή του ειδικού αποθέματος παρουσιάζονται συναρτήσει των βασικών παραμέτρων του συστήματος. Η εξομοίωση δείχνει πως είναι δυνατό να καταστρωθούν βελτιωμένες φαινομενολογικές εξισώσεις, οι οποίες περιγράφουν την μακροσκοπική δυναμική συμπεριφορά συστημάτων βαθειάς διηθήσεως μέσω ολοκληρώσεως των αποτελεσμάτων που προκύπτουν από την εξομοίωση "διαφορικών" δειγμάτων του πορώδους μέσου. Εισαγωγή Η διήθηση σωματιδιακών ρύπων με φίλτρα βαθιάς διηθήσεως είναι μια φυσική διεργασία διαχωρισμού υγρών - στερεών που βρίσκει εφαρμογές στον καθαρισμό νερού και στην τριτοβάθμια επεξεργασία υγρών αποβλήτων. Ο τύπος αυτός της διηθήσεως είναι ιδιαίτερα αποτελεσματικός για σωματιδιακούς ρύπους με μέγεθος, d < 30μm και ογκομετρική συγκέντρωση, c < 500ppm. Τα αιωρούμενα σωματίδια διεισδύουν μέσα στο φίλτρο και αποτίθενται σε διάφορα βάθη πάνω στην επιφάνεια των κόκκων του πληρωτικού υλικού. Τα αποθέματα που σχηματίζονται πάνω σους κόκκους αλλάζουν την αρχική διηθητική ικανότητα του φίλτρου και προκαλούν σταδιακή μείωση της διαπερατότητας του. Η λειτουργία ενός τέτοιου φίλτρου διακόπτεται όταν η ποιότητα του διηθήματος στην έξοδο ή η απαιτούμενη πτώση πίεσης για την λειτουργία του υπερβούν κάποια κρίσιμα όρια. Η πρόβλεψη της συμπεριφοράς τέτοιων φίλτρων δεν είναι εύκολη υπόθεση αφού η μορφολογία και η εξέλιξη των αποθεμάτων καθιστά το φαινόμενο ισχυρά δυναμικό. Πολλές προσπάθειες έχουν γίνει στο παρελθόν για να περιγράψουν την δυναμική συμπεριφορά συστημάτων βαθειάς διηθήσεως [1-5]. Λεπτομέρειες για τις εργασίες αυτές δεν δίνονται εδώ λόγω του περιορισμένου χώρου. Κάθε μια από τις εργασίες αυτές έχει συνεισφέρει σημαντικά στην ανάπτυξη ποσοτικών μηχανιστικών μοντέλων για την δυναμική

συμπεριφορά της υπό θεώρηση διεργασίας χωρίς όμως να επιτυγχάνουν ολοκληρωμένο αποτέλεσμα. Το κλειδί στο χαρακτηρισμό της δυναμικής συμπεριφοράς συστημάτων βαθειάς διηθήσεως είναι η μορφολογία και η εξέλιξη των αποθεμάτων. Στα αρχικά στάδια της διηθήσεως τα αποτιθέμενα σωματίδια δημιουργούν σχεδόν ομοιόμορφα αποθέματα πάνω στους κόκκους. Στην συνέχεια, το μέγεθος τους μεγαλώνει παρεμποδίζοντας την ροή και σε ακόμα μεγαλύτερους χρόνους τμήματα ή ολόκληρα αποθέματα αποκολλώνται από τους κόκκους και επαναφέρονται ως συσσωματώματα στην κύρια ροή. Τα συσσωματώματα αυτά κινούνται κατάντη της ροής και είτε φράζουν πόρους με μικρότερο μέγεθος, μειώνοντας περαιτέρω την διαπερατότητα, είτε εξέρχονται από το φίλτρο. Στην πειραματική εργασία [6] γίνεται μια εκτεταμένη μελέτη της μορφολογίας και εξέλιξης των αποθεμάτων. Η μορφολογία των αποθεμάτων εξαρτάται ισχυρά από το μέγεθος και την φύση των σωματιδίων, το σχήμα και την πυκνότητά τους, τις υδροδυναμικές και φυσικοχημικές αλληλεπιδράσεις μεταξύ των σωματιδίων και των κόκκων του πληρωτικού υλικού, από την γεωμετρία και την διάταξη των κόκκων καθώς επίσης από την ροή του αιωρήματος. Ο αλγόριθμος που παρουσιάζεται στην παρούσα εργασία είναι το επιστέγασμα μιας μακροχρόνιας ερευνητικής προσπάθειας, τα πρώτα αποτελέσματα της οποίας έχουν παρουσιαστεί στις εργασίες [7-10]. Στις εργασίες αυτές οι συγγραφείς παρουσιάζουν μοντέλα για την περιγραφή της κίνησης και απόθεσης σωματιδίων σε τρισδιάστατα κανονικά ή διαταραγμένα δίκτυα πόρων με στένωση. Η κίνηση και απόθεση σωματιδίων σε ημιτονοειδή κύτταρα γίνεται με ολοκλήρωση των εξισώσεων 3-D τροχιάς σωματιδίων. Η ανάπτυξη των εξισώσεων αυτών βασίζεται στα ισοζυγία δυνάμεων και ροπών που ασκούνται πάνω σε ένα σωματίδιο. Λαμβάνονται υπόψη η βαρύτητα, η οπισθέλκουσα δύναμη και οι υδροδυναμικές και φυσικοχημικές αλληλεπιδράσεις μεταξύ σωματιδίων και τοιχώματος των πόρων. Από τις τρισδιάστατες τροχιές μπορεί κανείς να υπολογίσει τους τοπικούς ρυθμούς αποθέσεως και εν συνεχεία με ισοζύγια πληθυσμών να υπολογίζει τον ολικό συντελεστή διηθήσεως. Οι συγγραφείς ακόμη έχουν αναπτύξει εξομοιωτή βασισμένο σε τεχνικές Monte-Carlo για τον υπολογισμό τοπικών ρυθμών απόθεσης και του ολικού συντελεστή απόθεσης. Παρόλο που τα μοντέλα αυτά είναι αρκετά κοντά στην εξομοίωση πραγματικών συνθηκών, περιορίζονται στα αρχικά στάδια της διηθήσεως. Σε δυο πρόσφατες εργασίες τους [11,12], παρουσίασαν ένα βελτιωμένο αλγόριθμο για την περιγραφή της κίνησης και αποθέσεως σωματιδίων σε προχωρημένα στάδια της διηθήσεως. Τα βασικά χαρακτηριστικά του νέου αυτού αλγορίθμου μπορούν να συνοψισθούν ως εξής: Σχηματισμός σχεδόν ομοιόμορφων αποθεμάτων στα τοιχώματα των πόρων (αρχικά στάδια της διηθήσεως). Καταστροφή αποθεμάτων και επαναφορά τους σε μορφή συσσωματωμάτων στην κύρια ροή, όταν η διατμητική τάση στην στένωση του κυττάρου υπερβεί μια κρίσιμη τιμή. Μερική απόφραξη πόρων από συσσωματώματα τα οποία έχουν ογκομετρική διάμετρο μεγαλύτερη από την στένωση του πόρου στον οποίο εισέρχονται, και συνεπώς δημιουργούν πώμα, το οποίο έχει μικρή αλλά μη αμελητέα διαπερατότητα. Περαιτέρω αύξηση των πωμάτων λόγω συλλήψεως νέων σωματιδίων ή συσσωματωμάτων. Aυτοαπόφραξη πόρων, ανακατανομή δηλαδή του υλικού που βρίσκεται κατανεμημένο σχεδόν ομοιόμορφα πάνω στα τοιχώματα των πόρων και σχηματισμός πώματος, στην περίπτωση που το άνοιγμα του πόρου στην στένωση έχει περιοριστεί αρκετά και είναι συγκρίσιμο με το μέγεθος του διερχόμενου σωματιδίου. Περιγραφή του εξομοιωτή Το πορώδες υλικό αναπαριστάται ως ένα τρισδιάστατο κυβικό δίκτυο πόρων με συγκλίνουσα και αποκλίνουσα γεωμετρία (σωλήνες με στένωση). Κάθε πόρος χαρακτηρίζεται από τις ακτίνες εισόδου και εξόδου, R 1, R 2 και της ακτίνας στην στένωση, r c, και το μήκος l. Η γεωμετρία του τοιχώματος είναι ημιτονοειδής. Τα μεγέθη για τα στόμια και τις στενώσεις επιλέγονται από προεπιλεγμένες κατανομές μεγεθών θαλαμών και λαιμών, αντιστοίχως. Το μήκος κάθε πόρου θεωρείται ίσο με το μήκος της πλεγματικής σταθεράς του δικτύου. Η διεύθυνση της ροής είναι κατά την κεντρική διαγώνιο του δικτύου που σχηματίζει ίσες γωνίες με τους τρεις κύριους άξονες (Σχήμα 1). Τα βασικά βήματα του εξομοιωτή είναι τα ακόλουθα:

Βήμα 1: Επίλυση του πεδίου ροής σε κάθε κύτταρο με την χρήση της μεθόδου σημείων τοπικής ταύτισης [13] ενώ οι τοπικές πιέσεις και παροχές υπολογίζονται όπως στο [14]. Βήμα 2: Υπολογισμός του συνόλου των σωματιδίων που αποτίθενται σε κάθε κύτταρο σε ένα συγκεκριμένο χρονικό διάστημα [7,8]. Τα αποτιθέμενα σωματίδια σχηματίζουν πάνω στα τοιχώματα σχεδόν ομοιόμορφα αποθέματα με πορώδες d. Το πάχος των αποθεμάτων κατά μήκος του τοιχώματος είναι ανάλογο του τοπικού ρυθμού αποθέσεως. Θεωρούμε ότι διατηρείται η αξονική συμμετρία του κυττάρου και ελέγχουμε έτσι ώστε ο όγκος του συνολικού αποθέματος να αντιστοιχεί στον αποτιθέμενο υλικό στο μικρό αυτό χρονικό διάστημα. Βήμα 3: Το πεδίο ροής σε κάθε ένα κύτταρο υπολογίζεται εκ νέου λαμβάνοντας υπόψη τις αλλαγές που έχουν επέλθει στην γεωμετρία κάθε κυττάρου, διατηρώντας σταθερή την ογκομετρική παροχή. Βήμα 4: Ελέγχονται οι τοπικές διατμητικές τάσεις, j, σε κάθε ένα κύτταρο. Αν σε κάποιο κύτταρο, j, η τοπική μέγιστη τάση είναι μεγαλύτερη από την προεπιλεγμένη κρίσιμη τάση, crit, τότε θεωρούμε ότι το απόθεμα καταρρέει στο συγκεκριμένο κύτταρο. Βήμα 5: Υποθέτοντας ότι το συσσωμάτωμα που έχει αποκολληθεί από το κύτταρο j έχει σχήμα σφαιρικό με ισοδύναμη ογκομετρική διάμετρο, d m, επαναφέρεται τούτο στην κύρια ροή και εγκαταλείπει το κύτταρο. Το συσσωμάτωμα κινείται ακολουθώντας ένα μονοπάτι που επιλέγεται στοχαστικά με βάση τις τοπικές παροχές σε κάθε κόμβο, μέχρις ότου συναντήσει κύτταρο με στένωση μικρότερη από την d m (αλλιώς δραπετεύει από το δίκτυο). Τότε θεωρούμε ότι φράζει ο τοπικός πόρος και δημιουργείται πώμα ίσου όγκου. Η αγωγιμότητα του πώματος υπολογίζεται χρησιμοποιώντας την εξίσωση Blake-Kozeny και αντικαθιστά την αγωγιμότητα που είχε το κύτταρο πριν το φράξιμο. Το μέγεθος του πώματος αυξάνει με τον χρόνο, αφού κάθε σωματίδιο ή άλλο συσσωμάτωμα που επιχειρεί να περάσει μέσα από αυτό αποτίθεται στο πώμα. Βήμα 6: Τα βήματα 1-5 επαναλαμβάνονται για αρκετό χρονικό διάστημα μέχρις ότου η διαπερατότητα του δικτύου μειωθεί σε μια προεπιλεγμένη τιμή. Ποσότητες όπως το ειδικό απόθεμα, ο ολικός συντελεστής διηθήσεως και η απώλεια της διαπερατότητας υπολογίζονται και καταγράφονται καθ όλη την διάρκεια λειτουργίας του εξομοιωτή. Περιγραφή - Συζήτηση αποτελεσμάτων Οι τιμές των παραμέτρων που χρησιμοποιήθηκαν για τις τροχιές των σωματιδίων και για την κατασκευή του δικτύου δίνονται στον Πίνακα 1. Στο Σχήμα 2 φαίνεται η κατανομή του ειδικού αποθέματος, ο λόγος δηλαδή του όγκου αποτιθέμενου υλικού σε μια στοιβάδα Δz προς τον όγκο της στοιβάδας αυτής, έναντι του βάθους του φίλτρου για διάφορους χρόνους. Παρατηρούμε ότι περισσότερο υλικό αποτίθεται σε μικρά βάθη του φίλτρου και καθώς περνάει ο χρόνος, για το ίδιο βάθος, z, το ειδικό απόθεμα,, αυξάνει. Σχήμα 1. Δείγμα κυβικού δικτύου μοναδιαίων κυττάρων με συγκλίνουσα-αποκλίνουσα γεωμετρία Flow Πίνακας 1 Παράμετροι πορώδους μέσου: CSD: lognormal, g = 800 µm, g = 66 µm TSD: lognormal, g = 400 µm, g = 32 µm αρχικό πορώδες δικτύου, 0 = 0.425 μήκος περιοδικότητας, l = 1000 µm Παράμετροι αιωρήματος: μονοδιάσπαρτη τροφοδοσία συγκέντρωση εισόδου σωματ., C 0 = 250 ppm (vol/vol) διάμετρος σωματ., d p = 4 ή 10 µm πυκνότητα σωματ., p = 2500 kg m -3 πυκνότητα υγρού, w = 997 kg m -3 ιξώδες υγρού, µ w = 0.89 mpa s Παράμετροι μεταβλητές/ εξωτερικά επιβαλλόμενες: Αξονική ροή, σταθερή ογκομετρική παροχή φαινομεν. ταχύτητα, v s = 1.00, 1.25 ή 1.50 mm s -1 πορώδες αποθεμάτων, d = 0.7 ή 0.8 κρίσιμη διατμητική τάση, crit = 0.3 ή 1.0 Pa

1.0 0.8 v s = 1.0 mm s -1 d p = 4 ìm d = 0.7 0.6 crit = 0.3 Pa mm -1 / 0 0.4 0.2 t=1000s 2000s 5000s 10000s 20000s 30000s 40000s 0.0 0 20 40 60 80 z, mm Σχήμα 2: Κανονικοποιημένο ειδικό απόθεμα ως συνάρτηση του βάθους του φίλτρου σε διάφορες χρονικές στιγμές. Οι διορθωτικοί συντελεστές f λ και f p που φαίνονται στην ομάδα διαγραμμάτων του Σχήματος 3 είναι παραμετρικές συναρτήσεις των οποίων η μορφή είναι αντικείμενο συζητήσεως για δεκαετίες στην σχετική βιβλιογραφία. Ο ολικός συντελεστής διηθήσεως και η μεταβολή της βαθμίδας της πιέσεως κατά μήκος του φίλτρου δίνονται από τις κατωτέρω εξισώσεις: f (,z; ) (1) P dp z dz 0 0 f (,z; ) dp όπου 0 και είναι οι τιμές του συντελεστή διηθήσεως και η πτώση πιέσεως κατά μήκος του φίλτρου, όταν το dz 0 φίλτρο είναι καθαρό (αρχικό στάδιο της διηθήσεως) και τα και είναι παραμετρικά ανύσματα που σχετίζονται με την μορφολογία των αποθεμάτων. Για να μπορεί κανείς να προβλέψει την συμπεριφορά του φίλτρου (διηθητική ικανότητα και βαθμίδα πιέσεως) ως συνάρτηση τόσο του βάθους του φίλτρου όσο και του χρόνου, χρειάζεται αναλυτικές εκφράσεις για τα f λ και f p. Μέχρι σήμερα αναφέρονται μόνο εμπειρικές εκφράσεις (εκτεταμένη συζήτηση γίνεται στο [15]) όπου χρησιμοποιούνται εκφράσεις με παραμέτρους χωρίς καμία φυσική σημασία. Ο στόχος τους είναι η καλύτερη προσαρμογή πειραματικών δεδομένων από συσκευές πιλοτικής κλίμακας και εν συνεχεία ο σχεδιασμός μεγάλης κλίμακας φίλτρων. Στο Σχήμα 3 φαίνεται η εξάρτηση αυτών των διορθωτικών συντελεστών από το κανονικοποιημένο ειδικό απόθεμα, / 0, για διάφορες τυπικές παραμέτρους του συστήματος. Στα διαγράμματα 3(a,b) παρατηρούμε ότι για μικρές τιμές του / 0 υπάρχει μικρή μεταβολή στην τιμή του f λ, ενώ αυξάνει η f p. Στην περιοχή αυτή έχουμε σχηματισμό μόνο ομαλών αποθεμάτων (Περιοχή 1). Η κλίση των καμπυλών στην περιοχή αυτή δεν εξαρτάται από το βάθος του φίλτρου, ούτε από την φαινομενική ταχύτητα, όπως δείχνουν τα αποτελέσματα πολλών άλλων εξομοιώσεων, τα οποία λόγω στενότητας χώρου δεν παρουσιάζονται εδώ. Στην συνέχεια, όταν τα καταστροφικά φαινόμενα, όπως κατάρρευση αποθεμάτων, επαναφορά συσσωματωμάτων και φράξιμο πόρων, αρχίζουν να συμμετέχουν στην διαδικασία, παρατηρείται μια έντονη αύξηση στην τιμή του f λ (Περιοχή 2). Το f p εδώ αυξάνει, με κλίση μεγαλύτερη της αρχικής. Σε μεγάλες τιμές του ειδικού αποθέματος το f λ μειώνεται, ενώ η κλίση της f p μικραίνει (Περιοχή 3). Στην περιοχή αυτή η ροή οδηγείται κυρίως μέσω διαδρομών που συναποτελούνται από τα σχετικώς λίγα εναπομείναντα ανοικτά κύτταρα, ενώ το φαινόμενο της αυξήσεως του μεγέθους των πωμάτων συνεχίζει. Στην περιοχή αυτή παρατηρείται λιγότερη μετακίνηση συσσωματωμάτων και φράξιμο ανοικτών πόρων σε σύγκριση με την προηγούμενη περιοχή. Η αύξηση του μεγέθους των σωματιδίων, Σχήματα 3(c,d), έχει ως αποτέλεσμα την δημιουργία μεγαλύτερου μεγέθους αποθεμάτων, τα οποία πολύ γρήγορα φράζουν τα πρώτα βάθη του φίλτρου. Παρατηρούμε ότι η απόθεση σε μεγάλα βάθη δεν ευνοείται και όλη η διεργασία θυμίζει της διήθηση με πλακούντα (cake filtration). p (2)

Η εξάρτηση της διαπερατότητας του δικτύου από το ολικό ειδικό απόθεμα δίνεται στα Σχήματα 4(a,b). Στο Σχήμα 4a φαίνονται καμπύλες για τρεις διαφορετικές τιμές της φαινομενικής ταχύτητας. Παρατηρούμε ότι η διαπερατότητα μειώνεται, όπως αναμένεται με αύξηση του tot / 0, και μειώνεται γρηγορότερα σε μικρότερες ταχύτητες. Αυτό εξηγείται από το γεγονός ότι σε μικρές ταχύτητες ευνοείται η απόθεση των σωματιδίων πάνω στους κόκκους του πληρωτικού υλικού. Η επίδραση της παραμέτρου crit στην απώλεια της διαπερατότητας είναι σημαντική, όπως φαίνεται στο Σχήμα 4b. Για μικρές τιμές της η απόφραξη των πόρων ξεκινάει σε πρωϊμότερα στάδια της διηθήσεως και έτσι η απώλεια της διαπερατότητας του δικτύου είναι μεγαλύτερη. Συμπεράσματα Αναπτύχθηκε ένας εξομοιωτής για την δυναμική συμπεριφορά φίλτρων βαθειάς διηθήσεως ο οποίος λαμβάνει υπόψη τους μηχανισμούς μεταφοράς και συλλήψεως των σωματιδίων, καθώς επίσης και την επίδραση του αποτιθέμενου υλικού στην ικανότητα διηθήσεως και την διαπερατότητα του φίλτρου. Η χρησιμότητα και η ισχύς του εξομοιωτή επιδεικνύονται με την θεωρητική πρόβλεψη της δυναμικής συμπεριφοράς συστημάτων βαθειάς διηθήσεως μεταβάλλοντας συστηματικά τις τιμές των κυριοτέρων παραμέτρων του συστήματος. Βιβλιογραφία 1. Payatakes, A.C., Brown, D.H. & Tien C., On the transient behavior of deep bed filtration, AIChE 83rd National Meeting, March 20-24, 1977, Proc., paper No 40b, Houston, TX. 2. Chiang, H.W. & Tien C., Dynamics of deep bed filtration: I. Analysis of two limiting situations, AIChE J., 1985, 31, 1349. 3. Mackie, R. I., Horner, R.M.W. & Jarvis R.J., Dynamic modeling of deep bed filtration, AIChE J.,1987, 33, 1761. 4. Johnson, P.R. & Elimelech M., Dynamics of colloid deposition in porous media: Blocking based on random sequential adsorption, Langmuir, 1995, 11, 801-812. 5. Choo, C.-U & Tien C., Analysis of transient behavior of deep-bed filtration, J. of Colloid and Interf. Sci., 1995, 169, 13-33. 6. Payatakes, A.C., Park, H.Y. & Petrie J., A visual study of particle deposition and reentrainment during depth filtration of hydrosols with polyelectrolyte, Chem. Eng. Sci., 1981, 36, 1319. 7. Paraskeva, C.A., Burganos V.N., & Payatakes A.C., Three-dimensional trajectory analysis of particle deposition in constricted tubes, Chem. Eng. Comm., 1991, 108, 23-48. 8. Burganos, V.N., Paraskeva, C. A. & Payatakes A.C., Three-dimensional trajectory analysis and network simulation of deep bed filtration, J. of Colloid Interf. Sci., 1992, 148, 167-181. 9. Burganos, V.N., Paraskeva, C. A., & Payatakes A.C., Parametric study of particle deposition in sinusoidal pores of arbitrary orientation, J. of Colloid Interf. Sci., 1993, 158, 466. 10. Burganos, V.N., Paraskeva, C. A. & Payatakes A.C., Monte Carlo network simulation of horizontal, upflow, and downflow depth filtration, AIChE J., 1995, 41, 272. 11. Skouras, E.D., Paraskeva, C.A., Burganos, V.N. and Payatakes, A.C., Simulation of particle deposition and loss of permeability during flow of aqueous suspensions in underground formations, XI International Conference on Computational Methods in Water Resources, Cancun, Mexico, July 22-26, 1996. 12. Payatakes, A.C., Skouras, E.D., Paraskeva, C.A. and Burganos, V.N., Simulation of the gradual reduction of the permeability caused by the migration and deposition of fine non-brownian particles in porous media, 8th International Oil Field Chemical Symposium, 2-5 March, Geilo, Norway. 13. Tilton, J.N., & Payatakes, A.C., Collocation solution of creeping Newtonian flow through sinusoidal tubes: A correction, AIChE J., 30, 1016, 1984. 14. Constantinides, G.N. & Payatakes, A.C., A three dimensional network of consolidated porous media. Basic studies, Chem. Eng. Comm., 1989, 81, 55. 15. Tien, C., Granular filtration of aerosols and hydrosols, Butterworths series in Chemical Engineering, Boston, 1989