ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ Στ πράτω σχήμτ έχουμε τις γρφιές πρστάσεις τριώ συρτήσεω, g, h σε έ διάστημ της μορφής, 8 l a C g C g h γ C h Πρτηρούμε ότι θώς το υξάετι περιόριστ με οποιοδήποτε τρόπο, το προσεγγίζει όσο θέλουμε το πργμτιό ριθμό l Στη περίπτωση υτή λέμε ότι η έχει στο όριο το l ι γράφουμε l το g υξάετι περιόριστ Στη περίπτωση υτή λέμε ότι η g έχει στο όριο το ι γράφουμε g το h μειώετι περιόριστ Στη περίπτωση υτή λέμε ότι η h έχει στο όριο το ι γράφουμε ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ h Από τ πρπάω προύπτει ότι γι ζητήσουμε το όριο μις συάρτησης στο, πρέπει η είι ορισμέη σε διάστημ της μορφής, Αάλογοι ορισμοί μπορού διτυπωθού, ότ γι μι συάρτηση που είι ορισμέη σε διάστημ της μορφής, Ετσι, γι τις συρτήσεις, g, h τω πράτω σχημάτω έχουμε:
4 ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 9 C l Cg g C h γ h l g ι h Γι το υπολογισμό του ορίου στο ή εός μεγάλου ριθμού συρτήσεω χρειζόμστε τ πράτω σιά όρι: ι,, -, Γι πράδειγμ, άρτιος περιττός, ι ι * *, Γι τ όρι στο, ισχύου οι γωστές ιδιότητες τω ορίω στο με τη προϋπόθεση ότι: οι συρτήσεις είι ορισμέες σε τάλληλ σύολ ι δε τλήγουμε σε προσδιόριστη μορφή Όριο πολυωυμιής ι ρητής συάρτησης Έστω η συάρτηση Α εφρμόσουμε τις ιδιότητες τω ορίω γι το υπολογισμό του, τλήγουμε σε προσδιόριστη μορφή Στη περίπτωση υτή εργζόμστε ως εξής: Γι έχουμε Επειδή ι έχουμε Γειά
ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Γι τη πολυωυμιή συάρτηση, με ι- P L σχύει: P ι P Γι πράδειγμ, 4 6 4 Έστω τώρ η συάρτηση Γι έχουμε: Επειδή ι έχουμε Γειά, Γι τη ρητή συάρτηση L L,, ισχύει: ι Γι πράδειγμ, 6
6 ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Όρι εθετιής - λογριθμιής συάρτησης Αποδειύετι ότι: 6 Α > Σχ 6, τότε, log, log a loga Α < < Σχ 6, τότε a 6, log, log Πεπερσμέο όριο ολουθίς Η έοι της ολουθίς είι γωστή πό προηγούμεες τάξεις Συγεριμέ: ΟΡΙΣΜΟΣ log a Αολουθί οομάζετι άθε πργμτιή συάρτηση : * Η ειό της ολουθίς συμολίζετι συήθως με, εώ η ολουθί συμολίζετι με Γι πράδειγμ, η συάρτηση *, είι μι ολουθί Επειδή το πεδίο ορισμού άθε ολουθίς, είι το * {,,, 4,}, έχει όημ μελετήσουμε τη συμπεριφορά της γι πολύ μεγάλες τιμές του, δηλδή ότ Ο ορισμός του ορίου ολουθίς είι άλογος του ορισμού του ορίου συάρτησης στο ι διτυπώετι ως εξής: ΟΡΙΣΜΟΣ Η πόδειξη πρλείπετι
ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Θ λέμε ότι η ολουθί έχει όριο το l ι θ γράφουμε l, * ότ γι άθε ε >, υπάρχει τέτοιο, ώστε γι άθε > ισχύει l < ε Οι γωστές ιδιότητες τω ορίω συρτήσεω ότ, που μελετήσμε στ προηγούμε, ισχύου ι γι τις ολουθίες Με τη οήθει τω ιδιοτήτω υτώ μπορούμε υπολογίζουμε όρι ολουθιώ Γι πράδειγμ, 4 4 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ N ρείτε τ όρι: i ii iii 8 ii vii 4 v vi 4 viii Ν ρείτε τ όρι: i 4 iii v 4 4 Ν ρείτε τ όρι: ii 9 iv, i ii iii iv
8 ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ v vi B ΟΜΑΔΑΣ Γι τις διάφορες πργμτιές τιμές του μ, υπολογίσετε τ πράτω όρι: i μ ii μ μ 6 N προσδιορίσετε το λ, ώστε το λ υπάρχει στο Α, ρείτε τις τιμές τω,, γι τις ο- ποίες ισχύει 4 Ν ρείτε τ όρι: i ii 8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 4 iii ρισμός της συέχεις Έστω οι συρτήσεις, g, h πράτω σχήμτ τω οποίω οι γρφιές πρστάσεις δίοτι στ C h 6 l C l g C g l l a Πρτηρούμε ότι: Η συάρτηση είι ορισμέη στο ι ισχύει: γ
ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 9 Η συάρτηση g είι ορισμέη στο λλά g g Η συάρτηση h είι ορισμέη στο λλά δε υπάρχει το όριό της Από τις τρεις γρφιές πρστάσεις του σχήμτος μόο η γρφιή πράστση της δε διόπτετι στο Είι, επομέως, φυσιό οομάσουμε συεχή στο ΟΡΙΣΜΟΣ μόο τη συάρτηση Γειά, έχουμε το όλουθο ορισμό Εστω μι συάρτηση ι έ σημείο του πεδίου ορισμού της Θ λέ- με ότι η είι συεχής στο, ότ Γι πράδειγμ, η συάρτηση είι συεχής στο, φού Σύμφω με το πρπάω ορισμό, μι συάρτηση δε είι συεχής σε έ σημείο του πεδίου ορισμού της ότ: Δε υπάρχει το όριό της στο ή Υπάρχει το όριό της στο, λλά είι διφορετιό πό τη τιμή της,, στο σημείο Γι πράδειγμ:, Η συάρτηση δε είι συεχής στο, φού, >, εώ, οπότε δε υπάρχει το όριο της στο Η συάρτηση, δε είι συεχής στο, φού,, εώ
8 ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Μί συάρτηση που είι συεχής σε όλ τ σημεί του πεδίου ορισμού της, θ λέγετι, πλά, συεχής συάρτηση Γι πράδειγμ: Κάθε πολυωυμιή συάρτηση Ρ είι συεχής, φού γι άθε ισχύει P P Κάθε ρητή συάρτηση Q P είι συεχής, φού γι άθε του πεδίου ο- ρισμού της ισχύει P P Q Q Οι συρτήσεις ημ ι g συ είι συεχείς, φού γι άθε ισχύει ημ ημ Τέλος, ποδειύετι ότι: ι συ συ Οι συρτήσεις ι g log, < είι συεχείς Πράξεις με συεχείς συρτήσεις Από το ορισμό της συέχεις στο πράτω θεώρημ: ΘΕΩΡΗΜΑ Α οι συρτήσεις ι g είι συεχείς στο ι οι συρτήσεις: g, c, όπου c, g, ι τις ιδιότητες τω ορίω προύπτει το, τότε είι συεχείς στο, g ι με τη προϋπόθεση ότι ορίζοτι σε έ διάστημ που περιέχει το Γι πράδειγμ: Οι συρτήσεις εφ ι g σφ είι συεχείς ως πηλί συεχώ συρτήσεω Η συάρτηση είι συεχής στο πεδίο ορισμού της,, φού η συάρτηση g είι συεχής
ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 8 Η συάρτηση ημ είι συεχής, φού είι της μορφής g, όπου g ημ η οποί είι συεχής συάρτηση ως γιόμεο τω συεχώ συρτήσεω ι ημ Τέλος, ποδειύετι ότι γι τη σύθεση συεχώ συρτήσεω ισχύει το όλουθο θεώρημ: ΘΕΩΡΗΜΑ Α η συάρτηση είι συεχής στο, τότε η σύθεσή τους go είι συεχής στο ι η συάρτηση g είι συεχής στο Γι πράδειγμ, η συάρτηση φ ημ είι συεχής σε άθε σημείο του πεδίου ορισμού της ως σύθεση τω συεχώ συρτήσεω ι g ημ o g g ωημημ ΕΦΑΡΜΟΓΗ Γι ποι τιμή του η συάρτηση, ημ είι συεχής;, >