, µε α και β, πραγµατικούς αριθµούς. Τα στοιχεία του C λέγονται µιγαδικοί αριθµοί και το C σύνολο των µιγαδικών αριθµών. Εποµένως:

Transcript

1 ΘΕΩΡΙΑ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ C ΤΩΝ ΜΙΓΑ ΙΚΩΝ Γωρίζουµε ότι η δευτεροάθµι εξίσωση µε ρητική δικρίουσ δε έχει λύση στο σύολο R τω πργµτικώ ριθµώ Ειδικότερ η εξίσωση = δε έχει λύση στο σύολο R τω πργµτικώ ριθµώ, φού το τετράγωο κάθε πργµτικού ριθµού είι µη ρητικός ριθµός Γι ξεπεράσουµε τη δυµί υτή, διευρύουµε το σύολο R σε έ σύολο C, το οποίο έχει τις ίδιες πράξεις µε το R, τις ίδιες ιδιότητες τω πράξεω υτώ κι στο οποίο υπάρχει µί τουλάχιστο ρίζ της εξίσωσης =, δηλδή έ στοιχείο i, τέτοιο, ώστε i = Σύµφω µε τις πρδοχές υτές το διευρυµέο σύολο C θ έχει ως στοιχεί: Όλους τους πργµτικούς ριθµούς Όλ τ στοιχεί της µορφής i, που είι γιόµε τω στοιχείω του R µε το i, δηλδή τους φτστικούς ριθµούς, το σύολο τω οποίω θ συµολίζουµε µε Ι, δηλ Ι={i/ R}, κι Όλ τ θροίσµτ της µορφής + i, µε κι, πργµτικούς ριθµούς Τ στοιχεί του C λέγοτι µιγδικοί ριθµοί κι το C σύολο τω µιγδικώ ριθµώ Εποµέως: Το σύολο C τω µιγδικώ ριθµώ είι έ υπερσύολο του συόλου R τω πργµτικώ ριθµώ, στο οποίο: Επεκτείοτι οι πράξεις της πρόσθεσης κι του πολλπλσισµού έτσι, ώστε έχου τις ίδιες ιδιότητες όπως κι στο R, µε το µηδέ () είι το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης κι το έ () το ουδέτερο στοιχείο του πολλπλσισµού, Υπάρχει έ στοιχείο i τέτοιο, ώστε i =, Κάθε στοιχείο z του C γράφετι κτά µοδικό τρόπο µε τη µορφή z= + i, όπου, R ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Κάθε ριθµός της µορφής + i,, R λέγετι µιγδικός ριθµός Η µορφή +i εός µιγδικού ριθµού z λέγετι κοική µορφή του z Κρφέρης Γεώργιος ΠΕ3 Μθηµτικός

2 Κάθε µιγδικός ριθµός z=+i είι άθροισµ δυο ριθµό του πργµτικού κι του φτστικού i Ο λέγετι πργµτικό µέρος του z κι σηµειώετι Re( z ), εώ ο (κι όχι ο i) λέγετι φτστικό µέρος του z κι σηµειώετι Im( z ) Κάθε πργµτικός ριθµός γράφετι σε κοική µορφή ως +i Κάθε φτστικός ριθµός i γράφετι σε κοική µορφή ως +i Ές µιγδικός ριθµός z=+i, µε, λέγετι κθρά µιγδικός ριθµός Ο ριθµός είι κι φτστικός φού =i λλά κι µιγδικός µε κοική µορφή +i Στη συέχει, ότ λέµε ο µιγδικός z=+i, εοούµε ότι οι κι είι πργµτικοί ριθµοί κι το γεγοός υτό δε θ τοίζετι ιδιίτερ Ές µιγδικός ριθµός z R Im(z)= Ές µιγδικός ριθµός z I Re(z)= Προσοχή!!!! Οι δύο πρπάω ισοδυµίες είι πάρ πολύ χρήσιµες γι τις σκήσεις!!!! ΙΣΟΤΗΤΑ ΜΙΓΑ ΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Επειδή κάθε µιγδικός ριθµός z γράφετι µε µοδικό τρόπο στη µορφή +i, δύο µιγδικοί ριθµοί + i κι γ + δi είι ίσοι, κι µόο = γ κι = δ ηλδή ισχύει: + i= γ + δi = γ κι = δ Εποµέως, επειδή = + i, έχουµε + i= = κι = Στη επέκτση, όµως, πό το R στο C εώ οι πράξεις κι οι ιδιότητες υτώ που ισχύου στο R εξκολουθού ισχύου κι στο C, ε τούτοις η διάτξη κι οι ιδιότητές της δε µετφέροτι Κρφέρης Γεώργιος ΠΕ3 Μθηµτικός

3 3 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑ ΙΚΩΝ Κάθε µιγδικό ριθµό z= + i µπορούµε το τιστοιχίσουµε στο σηµείο M (, ) εός κρτεσιού επιπέδου Αλλά κι τιστρόφως, κάθε σηµείο M (, ) του κρτεσιού υτού επιπέδου µπορούµε το τιστοιχίσουµε στο µιγδικό + i Το σηµείο M (, ) λέγετι εικό του µιγδικού z= + i, κι το συµολίζουµε µε M ( z ) Έ κρτεσιό επίπεδο του οποίου τ σηµεί είι εικόες µιγδικώ ριθµώ θ φέρετι ως µιγδικό επίπεδο Ο άξος λέγετι πργµτικός άξος, φού ήκου σε υτό τ σηµεί M (,) που είι εικόες τω πργµτικώ ριθµώ = + i Ο άξος λέγετι φτστικός άξος, φού ήκου σε υτό τ σηµεί M (, ) που είι εικόες τω φτστικώ i= + i Ές µιγδικός z= + i πριστάετι επίσης κι µε τη διυσµτική κτί, M uuuur, του σηµείου M (, ) ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΙΓΑ ΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ(+,-,, ) Σύµφω µε το ορισµό του C η πρόσθεση κι ο πολλπλσισµός δύο µιγδικώ ριθµώ γίοτι όπως κριώς κι οι τίστοιχες πράξεις µε διώυµ + στο Rόπου έι τί γι έχουµε i Έτσι: Γι τη πρόσθεση δύο µιγδικώ ριθµώ + i κι γ + δiέχουµε: ( + i) + ( γ + δi) = ( + γ ) + ( + δ ) i Γι τη φίρεση του µιγδικού ριθµού γ + δi πό το + i, επειδή ο τίθετος του µιγδικού γ + δi είι ο µιγδικός γ δi, έχουµε: ( + i) ( γ + δi) = ( + i) + ( γ δi) = ( γ ) + ( δ ) i ηλδή: ( + i) ( γ + δi) = ( γ ) + ( δ ) i M(,) ή Μ(z) Ο a ηλδή: z+w=re(z+w)+im(z+w)i µε: Re(z+w)=Re(z)+Re(w) κι : Im(z+w)=Im(z)+Im(w) Κι: z-w=re(z-w)+im(z-w)i µε: Re(z-w)=Re(z)-Re(w) κι : Im(z-w)=Im(z)-Im(w) Κρφέρης Γεώργιος ΠΕ3 Μθηµτικός

4 4 Γρφική πράστση πρόσθεσης: Α M (, ) κι M (, ) γ δ είι οι εικόες τω + i κι γ + δi τιστοίχως στο µιγδικό επίπεδο, τότε το άθροισµ ( + i) + ( γ + δi) = ( + γ ) + ( + δ ) i πριστάετι µε το σηµείο M ( + γ, + δ ) uuuur uuuur uuuuur Εποµέως, M = M+ M, δηλδή: M(+γ, +δ) M (γ,δ) M (,) Ο Η διυσµτική κτί του θροίσµτος τω µιγδικώ + i κι γ + δi είι το άθροισµ τω διυσµτικώ κτίω τους Γρφική πράστση διφοράς: Επίσης, η διφορά ( + i) ( γ + δi) = ( γ ) + ( δ ) i πριστάετι µε το σηµείο N( γ, δ ) uuur uuuur uuuuur Εποµέως, N = M M, δηλδή: Ο Μ (γ,δ) Μ (,) Ν( γ, δ) 3 Η διυσµτική κτί της διφοράς τω µιγδικώ + i κι γ + δi είι η διφορά τω διυσµτικώ κτίω τους Γι το πολλπλσισµό δύο µιγδικώ + i κι γ + δi έχουµε: ( + i)( γ + δi) = ( γ + δi) + i( γ + δi) = γ + δi+ γ i+ ( i)( δi) = = γ + δ + γ + δ = γ + δ + γ δ = ( γ δ ) + ( δ + γ ) ηλδή: ( + i)( γ + δi) = ( γ δ ) + ( δ + γ ) i i i i i i i Ειδικότερ, έχουµε: ( + i)( i) = + Ο ριθµός i λέγετι συζυγής του + i κι συµολίζετι µε + i ηλδή: + i= i Μ 3 ( γ, δ) Επειδή είι κι i= + i, οι + i, i λέγοτι συζυγείς µιγδικοί + i Τέλος, γι εκφράσουµε το πηλίκο, όπου γ + δi, γ + δi στη µορφή κ + λi, πολλπλσιάζουµε τους όρους του κλάσµτος µε το συζυγή του προοµστή κι έχουµε: Κρφέρης Γεώργιος ΠΕ3 Μθηµτικός

5 5 + i ( + i)( γ δi) ( γ + δ ) + ( γ δ ) i γ + δ γ δ = = = + i γ + δi ( γ + δi)( γ δi) γ + δ γ + δ γ + δ + i γ + δ γ δ ηλδή, = + i γ + δi γ + δ γ + δ ΥΝΑΜΗ ΜΙΓΑ ΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Οι δυάµεις εός µιγδικού z µε εκθέτη κέριο ορίζοτι όπως κριώς οι δυάµεις τω πργµτικώ ηλδή: z =, µε z z z = z = z z, z = 443 z z z z φορές ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ =, όπου Ν *,z z Πρότι οι δυάµεις µε κέριο εκθέτη στους µιγδικούς ριθµούς ορίζοτι όπως κριώς ορίζοτι κι στους πργµτικούς, η λήθει είι ότι µε τη κοική µορφή εός µιγδικού πολύ λίγες περιπτώσεις µιγδικώ υψωµέω σε δύµη µπορούµε υπολογίσουµε (χρειάζετι ξέρουµε τη τριγωοµετρική µορφή µιγδικού που όµως είι εκτός ύλης γι τις εξετάσεις) Γι το λόγο που φέρµε πρπάω θ δώσουµε θεωρητικά µερικές περιπτώσεις µιγδικώ που µπορούµε ρούµε τη δύµή τους Γι τις δυάµεις του i έχουµε: i =, i = i, i =, 3 i = i i= i Στη συέχει, πρτηρούµε ότι είι: i = i i =, i = i i= i= i, i = i i = i =, i = i i = i = i δηλδή, µετά το i 4 οι τιµές του i επλµάοτι Άρ, γι υπολογίσουµε συγκεκριµέη δύµη του i, γράφουµε το εκθέτη στη µορφή = 4ρ+ υ, όπου ρ το πηλίκο κι υ το υπόλοιπο της ευκλείδεις διίρεσης του µε το 4, οπότε έχουµε: Κρφέρης Γεώργιος ΠΕ3 Μθηµτικός

6 6, υ= 4ρ+ υ 4ρ υ 4 ρ υ ρ υ υ i, υ= i = i = i i = ( i ) i = i = i = -, υ= i, υ = 3 Γι κάθε φτστικό ριθµό z=i µπορούµε ρούµε οποιδήποτε δύµή του φού ( i) κ κ κ = i Γι τις δυάµεις z, z, z, z,µπορούµε τις υπολογίσουµε (θεωρητικά εύκολ λλά πρκτικά µε πολλές πράξεις) γι κάθε µιγδικό ριθµό z=+i, χρησιµοποιώτς τις τυτότητες : ( ) ± = ± +, ( ) πρτήρηση ότι : 4 = ( ) κι 6 ( ) 3 ± = ± +, κι τη = Μπορούµε υπολογίσουµε δυάµεις µιγδικώ που είι υψωµέοι σε άρτιο εκθέτη κι ισχύει Re(z)=±Im(z) ( ) Γι πράδειγµ : ( i) + φού ( i) + = ( i) ( + i+ ( i) ) =( + i ) =( i) ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ : Ι ΙΟΤΗΤΕΣ + = =( ) i Επειδή οι συζυγείς µιγδικοί, όπως θ δούµε στις επόµεες πργράφους, µς διευκολύου στη µελέτη τω µιγδικώ ριθµώ, θ φερθούµε ιδιιτέρως σε υτούς ΟΡΙΣΜΟΣ Γι έ µιγδικό ριθµό z=+i ορίζουµε ως συζυγή του ριθµού z το µιγδικό z = i Ι ΙΟΤΗΤΕΣ Στο µιγδικό επίπεδο οι εικόες M (, ) κι M (, ) δύο συζυγώ µιγδικώ z= + i κι z = i είι σηµεί συµµετρικά ως Ο προς το πργµτικό άξο M(z) 4 Ισχύει: ( z) ορισµού) = z (φού ( i) = + i µε εφρµογή του Γι δύο συζυγείς µιγδικούς ριθµούς z= + i κι z= i ισχύει : z+ z = M (z) Κρφέρης Γεώργιος ΠΕ3 Μθηµτικός

7 z z = i 7 Συήθως στις σκήσεις οι δυο πιο πάω ιδιότητες θ χρησιµοποιούτι µε τη µορφή: z+ z = Re( z), z z = Im( z) i, κι πιο σπάι στη µορφή z+ z z z Re( z) =, Im( z) = i Α z = + i κι z = γ + δi είι δυο µιγδικοί ριθµοί, τότε: z + z = z + z z z = z z 3 z z = z z z z = z z 4 Οι ιδιότητες υτές µπορού ποδειχτού µε εκτέλεση τω πράξεω Γι πράδειγµ έχουµε: Απόδειξη της : z + z = ( + i) + ( γ + δi) = ( + γ ) + ( + δ ) i = ( + γ ) ( + δ )i = ( i) + ( γ δi) = z + z 5 z + z + L+ z = z + z + L + z (Γείκευση της ) 6 z z z = z z z (Γείκευση της 3) 7 ( z ) = ( z ) ( είι z = z = = z = z, κι εφρµόσουµε τη ιδιότητ 6) ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ: z + z+ γ = µε,,γ R, Επειδή i = κι ( i) = i =,εύκολ, µπορούµε διπιστώσουµε ότι κι κάθε εξίσωση δεύτερου θµού µε πργµτικούς συτελεστές έχει πάτ λύση στο σύολο C Πράγµτι, έστω η εξίσωση z + z+ γ=, µε,, γ R κι Εργζόµστε όπως στη τίστοιχη περίπτωση στο R κι τη µετσχηµτίζουµε, µε τη µέθοδο συµπλήρωσης τετργώω, στη Κρφέρης Γεώργιος ΠΕ3 Μθηµτικός

8 8 µορφή: z+ =, όπου = 4γ η δικρίουσ της 4 εξίσωσης Έτσι, έχουµε τις εξής περιπτώσεις: > Tότε η εξίσωση έχει δύο πργµτικές λύσεις: ± z, = = Tότε έχει µι διπλή πργµτική λύση: z= < Tότε, επειδή = = =, ( )( ) i ( ) i 4 4 ( ) i η εξίσωση γράφετι: z+ = ± i Άρ οι λύσεις της είι: z, =, οι οποίες είι συζυγείς µιγδικοί ριθµοί ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Πρτηρούµε ότι κι εδώ ισχύου οι σχέσεις: γ z + z = κι z z = Τύποι του Vieta Χρησιµοποιούτι συήθως ότ σε µι ου θµού εξίσωση µε πργµτικούς συτελεστές ξέρουµε µι µιγδική λύση κι έχουµε άγωστο συτελεστή στη εξίσωση! Προσοχή!!!! Α σε µι εξίσωση δευτέρου θµού έχουµε µιγδικούς συτελεστές (έστω κι έ) ή το συζυγή του άγωστου µιγδικού δε µπορούµε χρησιµοποιήσουµε ούτε τη δικρίουσ ούτε τους τύπους του Vieta Τότε κτφεύγουµε στη πλιά κλή συτγή της τικτάστσης του άγωστου µιγδικού µε +i Κρφέρης Γεώργιος ΠΕ3 Μθηµτικός

9 9 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑ ΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Έστω M (, ) η εικό του µιγδικού z= + i στο µιγδικό επίπεδο Ορίζουµε ως µέτρο του z τη πόστση του M πό τη ρχή, δηλδή uuuur z = M = + Ότ ο µιγδικός z είι της πργµτικός, δηλδή της µορφής z= + i= R, τότε z = + =, που είι η γωστή µς πόλυτη τιµή του πργµτικού ριθµού Α z= + i, τότε z = i, z= i κι z = + i, κι άρ z = z = z = z, κι Ι ΙΟΤΗΤΕΣ z = + επίσης z z = + άρ ύο προφείς ιδιότητες πό τ πρπάω είι: z = z = z = z z = z z Ο z z a = zz 5 M(,) ύο πολύ σηµτικές ιδιότητες γι τις σκήσεις πρκάτω, ειδικά γι δύσκολ θέµτ!!!!! Οι επόµεες ιδιότητες φέροτι στις σχέσεις που συδέου το γιόµεο κι το πηλίκο µιγδικώ µε τ µέτρ τους κι είι ίδιες µε τις τίστοιχες ιδιότητες τω πόλυτω τιµώ πργµτικώ ριθµώ z, z είι µιγδικοί ριθµοί, τότε Α z z = z z z z = z z Απόδειξη: Πράγµτι, έχουµε: z z = z z z z = z z ( z z)( z z) = z z z z z z z z = z z z z Κρφέρης Γεώργιος ΠΕ3 Μθηµτικός

10 κι, επειδή η τελευτί ισότητ ισχύει, θ ισχύει κι η ισοδύµη ρχική Αάλογ ποδεικύετι κι η δεύτερη ιδιότητ Γεικά, ποδεικύετι ότι : z z z = z z z κι z = z Από τη γωστή µς τριγωική ισότητ κι πό τη γεωµετρική ερµηεί του θροίσµτος z + z κι της διφοράς z z δύο µιγδικώ προκύπτει ότι: z z z + z z + z λλά κι ότι z z z z z + z Επίσης, είι uuur φερό ότι το µέτρο του διύσµτος uuuuuur N είι ίσο µε το µέτρο του διύσµτος M M Εποµέως: Το µέτρο της διφοράς δύο µιγδικώ είι ίσο µε τη πόστση τω εικόω τους ηλδή: ( MM ) = z z Ο M 3 ( z ) M (z ) M (z ) N(z z ) M(z +z ) 6 Η εξίσωση z z = ρ, µε ρ> κι z = + i πριστάει το κύκλο µε κέτρο το σηµείο Κ ( z) κι κτί ρ Ειδικά η εξίσωση z = ρ, µε ρ> πριστάει κύκλο µε κέτρο τη ρχή τω ξόω Ο(,) κι κτί ρ Ο K(, ) Η εξίσωση z z = z z, όπου z = + i, z = + i, πριστάει τη µεσοκάθετο του Β τµήµτος µε άκρ τ σηµεί Α ( ) κι ( ) z z B(, ) A(, ) Ο Κρφέρης Γεώργιος ΠΕ3 Μθηµτικός

11 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ z R Im( z) =, z I Re( z) = Απόδειξη: z= z + i= i i= = z R z R z = z, z I z = z Απόδειξη: z= z + i= + i a= a= z Ι (τις δυο πρπάω σχέσεις ότ τις χρησιµοποιούµε πρέπει ποδεικύοτι) ρ = ρ > = ρ = z f z, z = f z, z =, z zz z Α z, z C κι ισχύει ( ) ( ) Α z, z C κι ισχύει f ( z, z ) = f ( z, z ) f ( z) = g( z) f ( z) = g( z) f ( z) f ( z) = g( z) g( z) z = z z = z z = z v v v ΒΑΣΙΚΟΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΤΟΠΟΙ Γεικά ότ θέλουµε ρούµε έ γεωµετρικό τόπο εός µιγδικού z, τότε θέτουµε z=+i κι προσπθούµε µέσ πό τη σχέση που µς δίου ρούµε τη σχέση που συδέει τ, Όµως υπάρχου κι µερικές σχέσεις οι όποιες µς φερώου µέσως το γεωµετρικό τόπο Αυτές οι σχέσεις είι: z =ρ, ρ> Ο γεωµετρικός τόπος είι κύκλος Κ(,) κι κτί ρ Κρφέρης Γεώργιος ΠΕ3 Μθηµτικός

12 z-z =ρ, ρ> Ο γεωµετρικός τόπος είι κύκλος κέτρου Κ(z ) κι κτίς ρ z-z ρ Ο γεωµετρικός τόπος είι ο κυκλικός δίσκος Κ(z ) κι κτίς ρ z-z >ρ Ο γεωµετρικός τόπος είι όλ τ εξωτερικά σηµεί του κύκλου Κ(z ) κι κτίς ρ Κρφέρης Γεώργιος ΠΕ3 Μθηµτικός

13 3 z-z = z-z Ο γεωµετρικός τόπος είι η µεσοκάθετος του τµήµτος ΑΒ µε Α( ) κι Β( ) z-z + z-z =, µε > Ο γεωµετρικός τόπος είι έλλειψη µε εστίες Ε ( ),E( ) κι στθερό άθροισµ z-z - z-z =,> Ο γεωµετρικός τόπος είι υπερολή µε εστίες Ε ( ), E( ) κι στθερή διφορά Κρφέρης Γεώργιος ΠΕ3 Μθηµτικός

14 4 ΜΕΓΙΣΤΟ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΟ ΤΟΥ z ΚΑΙ ΤΟΥ z z Έστω Μ, Μ, Μ οι εικόες τω µιγδικώ z, z, z 3 στο µιγδικό επίπεδο Γι ρούµε το µέγιστο κι το ελάχιστο του µέτρου του z κι της διφοράς του µέτρου z - z πρέπει γωρίζουµε τους γεωµετρικούς τόπους πάω στους οποίους ρίσκοτι οι εικόες τω µιγδικώ Συγκεκριµέ : Α το Μ ρίσκετι σε ευθεί ε τότε: min z =d(ο,ε) Α το Μ ρίσκετι σε κύκλο (Κ,ρ) τότε: min z =(ΟΑ)= (ΟΚ)-ρ ma z =(ΟΒ)=(ΟΚ)+ρ A το Μ ρίσκετι στη έλλειψη C: + =, = γ τότε: min z =(B)=(Β )= ma z =(A)=(Α )= Κρφέρης Γεώργιος ΠΕ3 Μθηµτικός

15 5 Α οι εικόες τω µιγδικώ z κι z ρίσκοτι τίστοιχ στους κύκλους (Κ,ρ ) κι (Κ, ρ ) µε Κ Κ > ρ +ρ τότε : min z -z =( Κ Κ )-ρ -ρ ma z -z =( Κ Κ )+ρ +ρ Α οι εικόες τω µιγδικώ z κι z ρίσκοτι τίστοιχ στο κύκλο (Κ, ρ) κι στη ευθεί ε τότε: min z -z = d(k,ε)-ρ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (ΕΙΣΑΓΩΓΗ)-ΘΕΩΡΕΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύολο τω πργµτικώ ριθµώ Υπεθυµίζουµε ότι το σύολο τω πργµτικώ ριθµώv ποτελείτι πό τους ρητούς κι τους άρρητους ριθµούς κι πριστάετι µε τ σηµεί εός άξο, του άξο τω πργµτικώ ριθµώ e 3 π 4 5 Ρητοί ριθµοί λέγοτι οι ριθµοί που έχου ή µπορού πάρου τη µορφή, όπου, κέριοι µε Το σύολο τω ρητώ ριθµώ συµολίζετι µε Q Είι, δηλδή, Q=, κ έ ριοι µε Κρφέρης Γεώργιος ΠΕ3 Μθηµτικός

16 6 Υπεθυµίζουµε ότι το σύολο τω κέριω ριθµώ είι το Z = { L, 3,,,,,,3,}, εώ το σύολο τω φυσικώ ριθµώ είι το N = {,,,3,} Γι τ σύολ N, Z, Q κι R ισχύει: N Z Q R R ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: N Z Q Τ σύολ N {}, Z {}, Q {} κι R {} τ συµολίζουµε συτοµότερ µε * N, * Z, * Q κι * R τιστοίχως Πράξεις κι διάτξη στο R ) Α κι γ, τότε γ ) + γ + γ 3) 4) γ γ, ότ γ > εώ γ γ, ότ γ < Α κι γ δ, τότε + γ + δ κι γ δ A κι, τό τε γ δ,, γ, δ > 5) Α, κι 6) ( κι ) * N, τότε ισχύει η ισοδυµί 7) A >, τότε ισχύει η ισοδυµί : ιστήµτ πργµτικώ ριθµώ Α, R µε <, τότε οοµάζουµε διστήµτ µε άκρ τ, κθέ πό τ πρκάτω σύολ: (,) = { R < < }: οικτό διάστηµ [,] = { R }: κλειστό διάστηµ [, ) = { R < }: κλειστό-οικτό διάστηµ (,] = { R < }: οικτό-κλειστό διάστηµ a a a a Κρφέρης Γεώργιος ΠΕ3 Μθηµτικός

17 7 Α R, τότε οοµάζουµε µη φργµέ διστήµτ µε άκρο το κθέ πό τ πρκάτω σύολ: (, + ) = { R > } [, + ) = { R } (, ) = { R < } (, ] = { R } a ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ: Υπό µορφή διστήµτος το σύολο R το συµολίζουµε µε (, + ) Τ σηµεί εός διστήµτος, που είι διφορετικά πό τ άκρ του, λέγοτι εσωτερικά σηµεί του a a a Απόλυτη τιµή πργµτικού ριθµού Η πόλυτη τιµή εός πργµτικού ριθµού, που συµολίζετι µε, ορίζετι ως εξής: Γεωµετρικά, η πόλυτη τιµή του πριστάει τη πόστση του ριθµού πό το µηδέ, 4 3, =, < a εώ η πόλυτη τιµή του πριστάει τη πόστση τω ριθµώ κι 3 4 a Ιδιότητες της πόλυτης τιµής : ) = ) = 3) = 4) = Κρφέρης Γεώργιος ΠΕ3 Μθηµτικός

18 5) + + 6) < δ δ < < + δ, δ > Η έοι της πργµτικής συάρτησης ΟΡΙΣΜΟΣ 8 Έστω Α έ υποσύολο του R Οοµάζουµε πργµτική συάρτηση µε πεδίο ορισµού το Α µι διδικσί (κό) f, µε τη οποί κάθε στοιχείο A τιστοιχίζετι σε έ µόο πργµτικό ριθµό Το οοµάζετι τιµή της f στο κι συµολίζετι µε f ( ) Γι εκφράσουµε τη διδικσί υτή, γράφουµε: f : A R f ( ) Το γράµµ, που πριστάει οποιοδήποτε στοιχείο του Α λέγετι εξάρτητη µετλητή, εώ το γράµµ, που πριστάει τη τιµή της f στο, λέγετι εξρτηµέη µετλητή Το πεδίο ορισµού Α της συάρτησης f συήθως συµολίζετι µε D f Το σύολο που έχει γι στοιχεί του τις τιµές της f σε όλ τ A, λέγετι σύολο τιµώ της f κι συµολίζετι µε f ( A ) Είι δηλδή: f ( A) = { = f ( ) γι κάποιο A} ΠΡΟΣΟΧΗ Στ επόµε κι σε όλη τη έκτση του ιλίου : Θ σχοληθούµε µόο µε συρτήσεις που έχου πεδίο ορισµού διάστηµ ή έωση διστηµάτω Ότ θ λέµε ότι Η συάρτηση f είι ορισµέη σ έ σύολο Β, θ εοούµε ότι το Β είι υποσύολο του πεδίου ορισµού της Στη περίπτωση υτή µε f ( B ) θ συµολίζουµε το σύολο τω τιµώ της f σε κάθε B Είι δηλδή: f ( B) = { = f ( ) γι κάποιο B} Συτοµογρφί συάρτησης Γι οριστεί µι συάρτηση f ρκεί δοθού δύο στοιχεί: το πεδίο ορισµού της κι Κρφέρης Γεώργιος ΠΕ3 Μθηµτικός

19 9 η τιµή της, f ( ), γι κάθε του πεδίου ορισµού της (τύπος) Συήθως, όµως, φερόµστε σε µι συάρτηση f δίοτς µόο το τύπο µε το οποίο εκφράζετι το f ( ) Σε µι τέτοι περίπτωση θ θ ε ω ρ ο ύ µ ε σ υµ τ ι κ ά ότι το πεδίο ορισµού της f είι το σύολο όλω τω πργµτικώ ριθµώ, γι τους οποίους το f ( ) έχει όηµ Γρφική πράστση συάρτησης Έστω f µι συάρτηση µε πεδίο ορισµού Α κι έ σύστηµ συτετγµέω στο επίπεδο Το σύολο τω σηµείω M (, ) γι τ οποί ισχύει = f ( ), δηλδή το σύολο τω σηµείω M (, f ( )), A, λέγετι γρφική πράστση της f κι συµολίζετι συήθως µε επληθεύετι µόο πό τ σηµεί της C Η εξίσωση, λοιπό, = f ( ) f C Εποµέως, η = f ( ) είι η εξίσωση της γρφικής πράστσης της f Επειδή κάθε A τιστοιχίζετι σε έ µόο R, δε υπάρχου σηµεί της γρφικής πράστσης της f µε τη ίδι τετµηµέη Αυτό σηµίει ότι κάθε κτκόρυφη ευθεί έχει µε τη γρφική πράστση της f το πολύ έ κοιό σηµείο Έτσι, ο κύκλος δε ποτελεί γρφική πράστση συάρτησης f C f C Α Ότ δίετι η γρφική πράστση C f µις συάρτησης f, τότε: ) Το πεδίο ορισµού της f είι το σύολο Α τω τετµηµέω τω σηµείω της C f ) Το σύολο τιµώ της f είι το σύολο f ( A ) τω τετγµέω τω σηµείω της C f γ) Η τιµή της f στο A είι η τετγµέη του σηµείου τοµής της ευθείς = κι της C f f(α) = C f f( ) Κρφέρης Γεώργιος ΠΕ3 Μθηµτικός () (γ) C f A(,f( )) C f Α ()

20 Ότ δίετι η γρφική πράστση C f, µις συάρτησης f µπορούµε, επίσης, σχεδιάσουµε κι τις γρφικές πρστάσεις τω συρτήσεω f κι f ) Η γρφική πράστσης της συάρτησης f είι συµµετρική, ως προς το άξο, της γρφικής πράστσης της f, γιτί ποτελείτι πό τ σηµεί M (, f ( )) που είι συµµετρικά τω M (, f ( )), ως προς το άξο Μ(,f()) Μ (, f()) =f() = f() ) Η γρφική πράστση της f ποτελείτι πό τ τµήµτ της C που ρίσκοτι πάω πό το f άξο κι πό τ συµµετρικά, ως προς το άξο, τω τµηµάτω της C f που ρίσκοτι κάτω πό το άξο υτό Μερικές σικές συρτήσεις Η πολυωυµική συάρτηση f ( ) = + = f() =f() a> a< a= Η πολυωυµική συάρτηση f ( ) =, > < Η πολυωυµική συάρτηση 3 f ( ) =, Κρφέρης Γεώργιος ΠΕ3 Μθηµτικός

21 > Η ρητή συάρτηση f ( ) < =, > < Οι συρτήσεις f ( ) =, g( ) = = =, < Επειδή g( ) =, η γρφική πράστση της =, ποτελείτι πό δύο κλάδους Ο ές είι η γρφική πράστση της = κι ο άλλος η συµµετρική της ως προς το άξο Οι τριγωικές συρτήσεις : f ( ) f ( ) = εφ = ηµ, f ( ) = συ, Κρφέρης Γεώργιος ΠΕ3 Μθηµτικός

22 π π =ηµ () π π =συ () π/ π/ 3π/ =εφ (γ) Υπεθυµίζουµε ότι, οι συρτήσεις f ( ) = ηµ κι f ( ) = συ είι περιοδικές µε περίοδο T = π, εώ η συάρτηση f ( ) = εφ είι περιοδική µε περίοδο T = π Η εκθετική συάρτηση f ( ) =, < > Υπεθυµίζουµε ότι: () << >, τότε: < < εώ < <, τότε: < > Η λογριθµική συάρτηση f ( ) = log, < () Κρφέρης Γεώργιος ΠΕ3 Μθηµτικός

23 3 > () Υπεθυµίζουµε ότι: ) log = = log ) log = κι = 3) log = κι log = log ( ) = log + log 4) 5) log = log log k log = κ log 6) << () 7) >, τότε: log < log <, εώ < <, τότε : log < log > 8) = e ln, φού Ισότητ συρτήσεω ΟΡΙΣΜΟΣ ln = e ύο συρτήσεις f κι g λέγοτι ίσες ότ: έχου το ίδιο πεδίο ορισµού Α κι γι κάθε A ισχύει f ( ) = g( ) ( ηλδή το ίδιο τύπο) Γι δηλώσουµε ότι δύο συρτήσεις f κι g είι ίσες γράφουµε f = g (Προσοχή : η ισότητ f ( ) = g( ) σηµίει ότι οι συρτήσεις έχου το ίδιο τύπο κι όχι ότι είι ίσες!!!!!!!!!!!!) Έστω τώρ f, g δύο συρτήσεις µε πεδί ορισµού Α, Β τιστοίχως κι Γ έ υποσύολο τω Α κι Β Α γι κάθε Γ ισχύει f ( ) = g( ), τότε λέµε ότι οι συρτήσεις f κι g είι ίσες στο σύολο Γ Ο Γ 678 B A Κρφέρης Γεώργιος ΠΕ3 Μθηµτικός

24 4 Πράξεις µε συρτήσεις Ορίζουµε ως άθροισµ f + g, διφορά f - g, γιόµεο f g κι πηλίκο f g δύο συρτήσεω f, g τις συρτήσεις µε τύπους ( f + g)( ) = f ( ) + g( ) ( f g)( ) = f ( ) g( ) ( f g)( ) = f ( ) g( ) f ( ) = g f ( ) g( ) Το πεδίο ορισµού τω f πεδίω ορισµού D f κι + g, f g κι f g είι η τοµή D f Dg τω D g τω συρτήσεω f κι g τιστοίχως, εώ το πεδίο ορισµού της f g είι το D f Dg, εξιρουµέω τω τιµώ του που µηδείζου το προοµστή g( ), δηλδή το σύολο { A κι B, µε ( ) } Σύθεση συρτήσεω ΟΡΙΣΜΟΣ g δηλδή D D { g( ) } f = Α f, g είι δύο συρτήσεις µε πεδίο ορισµού Α, Β τιστοίχως, τότε οοµάζουµε σύθεση της f µε τη g, κι τη συµολίζουµε µε gof, τη συάρτηση µε τύπο ( gof )( ) = g( f ( )) g f(a) B A f f() g(b) go f g g( f()) A Το πεδίο ορισµού της gof ποτελείτι πό όλ τ στοιχεί του πεδίου ορισµού της f γι τ οποί το f ( ) ήκει στο πεδίο ορισµού της g ηλδή είι το σύολο A = { A f ( ) A } gof f g Είι φερό ότι η gof ορίζετι A, δηλδή f ( A) B gof Κρφέρης Γεώργιος ΠΕ3 Μθηµτικός

25 5 ΠΡΟΣΟΧΗ Στη συέχει, θ σχοληθούµε µόο µε συρτήσεις που οι συθέσεις τους έχου πεδίο ορισµού διάστηµ ή έωση διστηµάτω ΣΧΟΛΙΑ Στη πρπάω εφρµογή πρτηρούµε ότι gof fog Γεικά, f, g είι δύο συρτήσεις κι ορίζοτι οι gof κι fog, τότε υτές δ ε ε ί ι υ π ο χ ρ ε ω τ ι κ ά ίσες Α f, g, h είι τρεις συρτήσεις κι ορίζετι η ho( gof ), τότε ορίζετι κι η ( hog) of κι ισχύει : ho( gof ) = ( hog) of Τη συάρτηση υτή τη λέµε σύθεση τω f, g κι h κι τη συµολίζουµε µε hogof Η σύθεση συρτήσεω γεικεύετι κι γι περισσότερες πό τρεις συρτήσεις ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Μοοτοί συάρτησης Οι έοιες γησίως ύξουσ συάρτηση, γησίως φθίουσ συάρτηση είι γωστές πό προηγούµεη τάξη Συγκεκριµέ, µάθµε ότι: ΟΡΙΣΜΟΣ Μι συάρτηση f λέγετιf() : γησίως ύξουσ σ έ δ ι ά σ τ η µ του πεδίου ορισµού της, ότ γι οποιδήποτε, µε < ισχύει: f ( ) < f ( ) γησίως φθίουσ σ έ δ ι ά σ τ η µ του πεδίου ορισµού της, ότ γι οποιδήποτε, µε < ισχύει: f ( ) > f ( ) f( ) f( ) f( ) f( ) Ο Ο () Μι συάρτηση f λέγετι, πλώς,: ύξουσ σ έ διάστηµ, ότ γι οποιδήποτε f ) f ( ) ( φθίουσ σ έ διάστηµ, ότ γι οποιδήποτε f ) f ( ) (, µε, µε < ισχύει < ισχύει Κρφέρης Γεώργιος ΠΕ3 Μθηµτικός

26 6 Γι δηλώσουµε ότι η f είι γησίως ύξουσ (τιστοίχως γησίως φθίουσ) σε έ διάστηµ, γράφουµε f (τιστοίχως f ) Α µι συάρτηση f είι γησίως ύξουσ ή γησίως φθίουσ σ έ διάστηµ του πεδίου ορισµού της, τότε λέµε ότι η f είι γησίως µοότοη στο Στη περίπτωση που το πεδίο ορισµού της f είι έ διάστηµ κι η f είι γησίως µοότοη σ υτό, τότε θ λέµε, πλώς, ότι η f είι γησίως µοότοη Ακρόττ συάρτησης ΟΡΙΣΜΟΣ Μι συάρτηση f µε πεδίο ορισµού Α θ λέµε ότι: Προυσιάζει στο A (ολικό) µέγιστο, το f ( ), ότ f ( ) f ( ) γι κάθε A Προυσιάζει στο A (ολικό) ελάχιστο, το f ( ), ότ f ( ) f ( ) γι κάθε A f( ) f() f() C f f( ) C f ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Άλλες συρτήσεις προυσιάζου µόο µέγιστο, άλλες µόο ελάχιστο, άλλες κι µέγιστο κι ελάχιστο κι άλλες ούτε µέγιστο ούτε ελάχιστο Το (ολικό) µέγιστο κι το (ολικό) ελάχιστο µις συάρτησης f λέγοτι (ολικά) κρόττ της f Συάρτηση ΟΡΙΣΜΟΣ Μι συάρτηση f : A R λέγετι συάρτηση, ότ γι οποιδήποτε, A ισχύει η συεπγωγή:, τότε ( ) f ( ) f ( ) Με πγωγή σε άτοπο ποδεικύετι ότι: Κρφέρης Γεώργιος ΠΕ3 Μθηµτικός

27 7 Μι συάρτηση f : A R είι συάρτηση, κι µόο γι οποιδήποτε, A ισχύει η συεπγωγή: f f ( ) = ( ), τότε = ΣΧΟΛΙΑ Από το πρπάω ορισµό προκύπτει ότι µι συάρτηση f είι, κι µόο : Γι κάθε στοιχείο του συόλου τιµώ της η εξίσωση f ( ) = έχει κριώς µι λύση ως προς ε υπάρχου σηµεί της γρφικής της πράστσης µε τη ίδι τετγµέη Αυτό σηµίει ότι κάθε οριζότι ευθεί τέµει τη γρφική πράστση της f το πολύ σε έ σηµείο A B συάρτηση - συάρτηση όχι - Α µι συάρτηση είι γησίως µοότοη, τότε προφώς, είι συάρτηση " " Έτσι, οι συρτήσεις f ( ) = +,, f ( ) = 3,, ( ) f3 =, < κι f ( ) log 4 =, <, είι συρτήσεις Υπάρχου, όµως, συρτήσεις που είι λλά δε είι γησίως µοότοες, όπως γι πράδειγµ η, συάρτηση g( ) =, > Ατίστροφη συάρτηση Έστω µι συάρτηση f : A R Α υποθέσουµε ότι υτή είι, τότε γι κάθε στοιχείο του συόλου τιµώ, f ( A ), της f υπάρχει µοδικό στοιχείο του πεδίου ορισµού της Α γι το οποίο ισχύει f ( ) = Εποµέως ορίζετι µι συάρτηση g: f ( A) R =f() =g() Κρφέρης Γεώργιος ΠΕ3 Μθηµτικός

28 8 µε τη οποί κάθε f ( A) τιστοιχίζετι στο µοδικό A γι το οποίο ισχύει f ( ) = Από το τρόπο που ορίστηκε η g προκύπτει ότι: έχει πεδίο ορισµού το σύολο τιµώ f ( A ) της f, έχει σύολο τιµώ το πεδίο ορισµού Α της f κι ισχύει η ισοδυµί: f ( ) = g( ) = Αυτό σηµίει ότι, η f τιστοιχίζει το στο, τότε η g τιστοιχίζει το στο κι τιστρόφως ηλδή η g είι η τίστροφη διδικσί της f Γι το λόγο υτό η g λέγετι τίστροφη συάρτηση της f κι συµολίζετι µε f Εποµέως έχουµε f ( ) = f ( ) = A g()= f g f(a) =f() οπότε f ( f ( )) =, A κι f ( f ( )) =, f ( A) Ας πάρουµε τώρ µι συάρτηση f κι ς θεωρήσουµε τις γρφικές πρστάσεις C κι C τω f κι της f στο ίδιο σύστηµ ξόω Επειδή f ( ) f ( ) = =, έ σηµείο M (, ) ήκει στη γρφική C πράστση C της f, τότε το σηµείο Μ (, ) = θ ήκει στη γρφική πράστση C της f κι τιστρόφως Τ σηµεί, όµως, υτά είι συµµετρικά ως προς τη ευθεί που διχοτοµεί τις γωίες κι Εποµέως: Οι γρφικές πρστάσεις C κι C τω συρτήσεω f κι είι συµµετρικές ως προς τη ευθεί = που διχοτοµεί τις γωίες κι ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ R Ότ οι τιµές µις συάρτησης f προσεγγίζου όσο θέλουµε έ πργµτικό ριθµό l, κθώς το προσεγγίζει µε οποιοδήποτε τρόπο το ριθµό, τότε γράφουµε C M(,) f M (,) Κρφέρης Γεώργιος ΠΕ3 Μθηµτικός

29 9 lim f ( ) =l κι διάζουµε το όριο της f ( ), ότ το τείει στο, είι l το όριο της f ( ) στο είι l f () f() f() ή f ( ) =l f () l f() l f() (a) ΣΧΟΛΙΑ f( ) () Από τ πρπάω σχήµτ πρτηρούµε ότι: Γι ζητήσουµε το όριο της f στο, πρέπει η f ορίζετι όσο θέλουµε κοτά στο, δηλδή η f είι ορισµέη σ έ σύολο της µορφής (, ) (, ) ή (, ) ή (, ) Το µπορεί ήκει στο πεδίο ορισµού της συάρτησης (Σχ, ) ή µη ήκει σ υτό (Σχ γ) Η τιµή της f στο, ότ υπάρχει, µπορεί είι ίση µε το όριό της στο (Σχ 39) ή διφορετική πό υτό (Σχ) ΠΛΕΥΡΙΚΑ ΟΡΙΑ ΣΤΟ R Οτ οι τιµές µις συάρτησης f προσεγγίζου όσο θέλουµε το πργµτικό ριθµό l, κθώς το προσεγγίζει το πό µικρότερες τιµές ( < ), τότε γράφουµε: lim f ( ) =l (γ) κι διάζουµε: το όριο της f ( ), ότ το τείει στο πό τ ριστερά, είι l Οτ οι τιµές µις συάρτησης f προσεγγίζου όσο θέλουµε το πργµτικό ριθµό l, κθώς το προσεγγίζει το πό µεγλύτερες τιµές ( > ), τότε γράφουµε: lim f ( ) =l + κι διάζουµε: το όριο της f ( ), ότ το τείει στο πό τ δεξιά, είι l Κρφέρης Γεώργιος ΠΕ3 Μθηµτικός

30 3 f( ) l f() l f() l f() l f() (a) Τους ριθµούς l f() () l = lim f ( ) κι l f() (γ) l = lim f ( ) τους λέµε + πλευρικά όρι της f στο κι συγκεκριµέ το l ριστερό όριο της f στο, εώ το l δεξιό όριο της f στο Από τ πρπάω σχήµτ φίετι ότι: lim f ( ) =l lim f ( ) = lim f ( ) =l + ΣΧΟΛΙΑ Αποδεικύετι ότι, µι συάρτηση f έχει όριο στο, τότε υτό είι µοδικό κι συµολίζετι, όπως είδµε, µε lim f ( ) Στη συέχει, ότ γράφουµε lim f ( ) =l, θ εοούµε ότι υπάρχει το όριο της f στο κι είι ίσο µε l Συέπει του ορισµού είι οι κόλουθες ισοδυµίες: () () lim f ( ) =l lim( f ( ) l ) = lim f ( ) =l lim f ( + h) =l h ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΑΠΟ ΕΞΙΑ ΚΑΙ ΑΠΟ ΑΡΙΣΤΕΡΑ ΣΤΟ R Α µι συάρτηση f είι ορισµέη σε έ σύολο της µορφής (, ) (, ), τότε ισχύει η ισοδυµί: lim f ( ) =l lim f ( ) = lim f ( ) =l + ΟΡΙΟ ΜΟΝΟ ΑΠΟ ΕΞΙΑ ΣΤΟ R Κρφέρης Γεώργιος ΠΕ3 Μθηµτικός

31 3 Α µι συάρτηση f είι ορισµέη σε έ διάστηµ της µορφής (, ), λλά δε ορίζετι σε διάστηµ της µορφής (, ), τότε ορίζουµε: lim f ( ) = lim f ( ) + ΟΡΙΟ ΜΟΝΟ ΑΠΟ ΑΡΙΣΤΕΡΑ ΣΤΟ R Α µι συάρτηση f είι ορισµέη σε έ διάστηµ της µορφής (, ), λλά δε ορίζετι σε διάστηµ της µορφής (, ), τότε ορίζουµε: lim f ( ) = lim f ( ) ΣΧΟΛΙΟ Αποδεικύετι ότι το lim f ( ) είι εξάρτητο τω άκρω, τω διστηµάτω (, ) κι (, ) στ οποί θεωρούµε ότι είι ορισµέη η f ΣΥΜΒΑΣΗ Στη συέχει, ότ λέµε ότι µι συάρτηση f έχει κοτά στο µι ιδιότητ Ρ θ εοούµε ότι ισχύει µι πό τις πρκάτω τρεις συθήκες: ) Η f είι ορισµέη σε έ σύολο της µορφής (, ) (, ) κι στο σύολο υτό έχει τη ιδιότητ Ρ ) Η f είι ορισµέη σε έ σύολο της µορφής (, ), έχει σ υτό τη ιδιότητ Ρ, λλά δε ορίζετι σε σύολο της µορφής (, ) γ) Η f είι ορισµέη σε έ σύολο της µορφής (, ), έχει σ υτό τη ιδιότητ Ρ, λλά δε ορίζετι σε σύολο της µορφής (, ) Όριο τυτοτικής - στθερής συάρτησης Με τη οήθει του ορισµού του ορίου ποδεικύετι ότι: lim = lim c = c Κρφέρης Γεώργιος ΠΕ3 Μθηµτικός

32 3 f() f( )= f() =c = (a) () Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΟΡΙΩΝ Όριο κι διάτξη ΘΕΩΡΗΜΑ ο Α Α lim f ( ) >, τότε f ( ) > κοτά στο (Σχ ) lim f ( ) <, τότε f ( ) < κοτά στο (Σχ ) l C f C f l (a) ΘΕΩΡΗΜΑ ο () Α οι συρτήσεις f, g έχου όριο στο κι ισχύει f ( ) g( ) κοτά στο, τότε lim f ( ) lim g( ) C f C f C g C g (a) () Κρφέρης Γεώργιος ΠΕ3 Μθηµτικός

33 Όρι κι πράξεις ΘΕΩΡΗΜΑ 33 Α υπάρχου τ όρι τω συρτήσεω f κι g στο, τότε: 3 lim( f ( ) + g( )) = lim f ( ) + lim g( ) lim( κ f ( )) = κ lim f ( ), γι κάθε στθερά κ R lim( f ( ) g( )) = lim f ( ) lim g( ) f ( ) lim f ( ) 4 lim =, εφόσο g ( ) lim g ( ) lim g ( ) 5 6 lim f ( ) = lim f ( ) lim k f ( ) = k lim f ( ), εφόσο f ( ) κοτά στο Οι ιδιότητες κι 3 του θεωρήµτος ισχύου κι γι περισσότερες πό δυο συρτήσεις Άµεση συέπει υτού είι: Γι πράδειγµ, lim[ f ( )] = lim f ( ), * lim = Έστω τώρ το πολυώυµο P( ) = + + L + + κι R Σύµφω µε τις πρπάω ιδιότητες έχουµε: lim P( ) = lim( + + L+ ) = lim( ) + lim( ) + L + lim = lim + lim + L + lim = + + L + = P( ) Εποµέως, Κρφέρης Γεώργιος ΠΕ3 Μθηµτικός

34 34 lim P ( ) = P ( ) P( ) Έστω η ρητή συάρτηση f ( ) =, όπου P( ), Q( ) Q( ) πολυώυµ του κι R µε Q( ) Τότε, P( ) lim P( ) P( ) = = = lim f ( ) lim Q ( ) lim Q ( ) Q ( ) Εποµέως, ΣΧΟΛΙΟ P( ) P( ) =, εφόσο Q( ) Q Q lim ( ) ( ) Ότ Q( ) =, τότε δε εφρµόζετι η ιδιότητ 4 του πρπάω θεωρήµτος Κριτήριο πρεµολής Υποθέτουµε ότι κοτά στο µι συάρτηση f εγκλωίζετι άµεσ σε δύο συρτήσεις h κι, οι g g Α, κθώς το τείει στο κι h έχου κοιό όριο l, τότε, όπως φίετι κι στο σχήµ, η f θ έχει το ίδιο όριο l Αυτό δίει τη ιδέ του πρκάτω θεωρήµτος που είι γωστό ως κριτήριο πρεµολής ΘΕΩΡΗΜΑ Έστω οι συρτήσεις f, g, h Α h( ) f ( ) g( ) κοτά στο κι lim h( ) = lim g( ) =l, τότε lim f ( ) =l Tριγωοµετρικά όρι ηµ, γι κάθε R (η ισότητ ισχύει µόο ότ = ) l C g C f C h Κρφέρης Γεώργιος ΠΕ3 Μθηµτικός

35 35 limηµ = ηµ limσυ = συ ) ) ηµ lim = συ lim = Όριο σύθετης συάρτησης Με τις ιδιότητες που φέρουµε µέχρι τώρ µπορούµε προσδιορίσουµε τ όρι πλώ συρτήσεω Α, όµως, θέλουµε υπολογίσουµε το lim f ( g( )), της σύθετης συάρτησης f o g στο σηµείο, τότε εργζόµστε ως εξής: Θέτουµε u= g( ) Υπολογίζουµε ( υπάρχει) το u = lim g ( ) κι 3 Υπολογίζουµε ( υπάρχει) το l = lim f ( u ) u u Αποδεικύετι ότι, g( ) u κοτά στο, τότε το ζητούµεο όριο είι ίσο µε l, δηλδή ισχύει: lim f ( g( )) = lim f ( u) u u ΠΡΟΣΟΧΗ Στη συέχει κι σε όλη τη έκτση του ιλίου τ όρι της µορφής lim f ( g( )) µε τ οποί θ σχοληθούµε θ είι τέτοι, ώστε ικοποιείτι η συθήκη: g( ) u κοτά στο κι γι υτό δε θ ελέγχετι ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ (ΑΠΕΙΡΟ) ΟΡΙΟ ΣΤΟ R Στο διπλό σχήµ έχουµε τη γρφική πράστση µις συάρτησης f κοτά στο Πρτηρούµε ότι, κθώς το κιούµεο µε οποιοδήποτε τρόπο πάω στο άξο πλησιάζει το πργµτικό ριθµό, οι τιµές f() M Κρφέρης Γεώργιος ΠΕ3 Μθηµτικός

36 36 f ( ) υξάοτι περιόριστ Στη περίπτωση υτή λέµε ότι η συάρτηση f έχει στο όριο + κι γράφουµε lim f ( ) =+ Στο διπλό σχήµ έχουµε τη γρφική πράστση µις συάρτησης f κοτά στο Πρτηρούµε ότι, κθώς το κιούµεο µε οποιοδήποτε τρόπο πάω στο άξο πλησιάζει το πργµτικό ριθµό, οι τιµές f ( ) ελττώοτι περιόριστ Στη περίπτωση υτή λέµε ότι η συάρτηση f έχει στο όριο κι γράφουµε lim f ( ) = Αάλογοι ορισµοί µπορού διτυπωθού ότ κι + -M f() C f C f C g C g (a) () Όπως στη περίπτωση τω πεπερσµέω ορίω έτσι κι γι τ άπειρ όρι συρτήσεω, που ορίζοτι σε έ σύολο της µορφής (, ) (, ), ισχύου οι πρκάτω ισοδυµίες: lim f ( ) =+ lim f ( ) = lim f ( ) =+ + lim f ( ) = lim f ( ) = lim f ( ) = + Ι ΙΟΤΗΤΕΣ Α Α lim f ( ) lim f ( ) =+, τότε f ( ) > κοτά στο, εώ =, τότε f ( ) < κοτά στο lim f ( ) =+, τότε lim f ( ) =, τότε lim( f ( )) =, εώ lim( f ( )) =+ Κρφέρης Γεώργιος ΠΕ3 Μθηµτικός

37 37 Α Α lim f ( ) =+ ή, τότε lim = ( ) f lim f ( ) = κι f ( ) > κοτά στο, τότε εώ lim f ( ) = κι f ( ) < κοτά στο,τότε lim f ( ) lim f ( ) =+, = Α lim f ( ) =+ ή, τότε lim f ( ) =+ Α lim f ( ) =+, τότε lim k f ( ) =+ Σύµφω µε τις ιδιότητες υτές έχουµε: lim =+ κι γεικά lim =+, * N (Σχ) = = () () lim =+ κι γεικά lim =+, lim = κι γεικά lim =, + * N, εώ * N (Σχ) Εποµέως, δε υπάρχει στο µηδέ το όριο της f ( ) =, + Γι τ όρι θροίσµτος κι γιοµέου δύο συρτήσεω ποδεικύοτι τ πρκάτω θεωρήµτ Α στο R ΘΕΩΡΗΜΑ ο (όριο θροίσµτος) το όριο της f είι: R R κι το όριο της g είι: τότε το όριο της f + g είι: ; ; * N Κρφέρης Γεώργιος ΠΕ3 Μθηµτικός

38 38 Α στο R, ΘΕΩΡΗΜΑ ο (όριο γιοµέου) το όριο της f είι: κι το όριο της g είι: τότε το όριο της fg είι: > < > < ; ; ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Στους πίκες τω πρπάω θεωρηµάτω, όπου υπάρχει ερωτηµτικό, σηµίει ότι το όριο ( υπάρχει) εξρτάτι κάθε φορά πό τις συρτήσεις που πίρουµε Στις περιπτώσεις υτές λέµε ότι έχουµε προσδιόριστη µορφή ηλδή, προσδιόριστες µορφές γι τ όρι θροίσµτος κι γιοµέου συρτήσεω είι οι: ( + ) + ( ) ( ± ) f Επειδή f g = f + ( g) κι = f, προσδιόριστες g g µορφές γι τ όρι της διφοράς κι του πηλίκου συρτήσεω είι οι: ( + ) ( + ), ( ) ( ), ± ± ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Γι τ όρι πηλίκου που οδηγού σε προσδιόριστες µορφές, ± ±, ισχύου τ επόµε θεωρήµτ, που είι γωστά ως κόες de l Hospital ΘΕΩΡΗΜΑ ο (µορφή ) Κρφέρης Γεώργιος ΠΕ3 Μθηµτικός

39 39 Α lim f ( ) =, lim g ( ) =, R {, + } κι υπάρχει το f ( ) f ( ) f ( ) lim (πεπερσµέο ή άπειρο), τότε: lim = lim g ( ) g( ) g ( ) ΘΕΩΡΗΜΑ ο (µορφή ± ± ) Α lim f ( ) =±, lim g ( ) =±, R {, + } κι υπάρχει το f ( ) f ( ) f ( ) lim (πεπερσµέο ή άπειρο), τότε: lim = lim g ( ) g( ) g ( ) (ΤΑ ΥΟ ΠΑΡΑΠΑΝΩ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΥΠΑΡΧΟΥΝ ΣΤΟ ΣΧΟΛΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟ ΣΤΙΣ ΣΕΛΙ ΕΣ 8-83) 3 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ Στ πρκάτω σχήµτ έχουµε τις γρφικές πρστάσεις τριώ συρτήσεω f, g, h σε έ διάστηµ της µορφής (, + ) + f() l (a) C f + g() C g + () h() (γ) C h + Πρτηρούµε ότι κθώς το υξάετι περιόριστ µε οποιοδήποτε τρόπο, το f ( ) προσεγγίζει όσο θέλουµε το πργµτικό ριθµό l Στη περίπτωση υτή λέµε ότι η f έχει στο + όριο το l κι γράφουµε lim f ( ) =l + το g( ) υξάετι περιόριστ Στη περίπτωση υτή λέµε ότι η g έχει στο + όριο το + κι γράφουµε lim g( ) =+ + το h( ) µειώετι περιόριστ Στη περίπτωση υτή λέµε ότι η h έχει στο + όριο το κι γράφουµε lim h( ) = ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ + Από τ πρπάω προκύπτει ότι γι ζητήσουµε το όριο µις συάρτησης f στο +, πρέπει η f είι ορισµέη σε διάστηµ της µορφής (, + ) Κρφέρης Γεώργιος ΠΕ3 Μθηµτικός

40 4 Αάλογοι ορισµοί µπορού διτυπωθού, ότ γι µι συάρτηση που είι ορισµέη σε διάστηµ της µορφής (, ) Ετσι, γι τις συρτήσεις f, g, h τω πρκάτω σχηµάτω έχουµε: C f () f() l C g lim f ( ) =l lim g( ) =+ κι lim h( ) = () + g() Γι το υπολογισµό του ορίου στο + ή εός µεγάλου ριθµού συρτήσεω χρειζόµστε τ πρκάτω σικά όρι: lim =+ κι lim + =, lim =, * N * N + C h (γ) h() +, άρτιος lim = -, περιττός Γι τ όρι στο +, ισχύου οι γωστές ιδιότητες τω ορίω στο µε τη προϋπόθεση ότι: οι συρτήσεις είι ορισµέες σε κτάλληλ σύολ κι δε κτλήγουµε σε προσδιόριστη µορφή Όριο πολυωυµικής κι ρητής συάρτησης Γι τη πολυωυµική συάρτηση = κι P( ) = + + L +, µε ισχύει: lim P( ) = lim ( ) κι lim P( ) lim ( ) + Όριο ρητής συάρτησης: Γι τη ρητή συάρτηση, ισχύει: κ L+ + f ( ) =, κ κ κ κ L lim f ( ) = lim + + κ κι lim f ( ) = lim κ κ κ Κρφέρης Γεώργιος ΠΕ3 Μθηµτικός

41 4 Όρι εκθετικής - λογριθµικής συάρτησης Αποδεικύετι ότι: Α > (Σχ 6), τότε =a lim =, lim + =+ =log a lim log =, lim log + =+ Α < < (Σχ 6), τότε =a lim =+, lim = lim log =+, + lim log + Πεπερσµέο όριο κολουθίς = Η έοι της κολουθίς είι γωστή πό προηγούµεες τάξεις Συγκεκριµέ: ΟΡΙΣΜΟΣ =log a Ακολουθί οοµάζετι κάθε πργµτική συάρτηση * :N R Η εικό ( ) της κολουθίς συµολίζετι συήθως µε, εώ η κολουθί συµολίζετι µε ( ) Γι πράδειγµ, η συάρτηση * =, N είι µι κολουθί Επειδή το πεδίο ορισµού κάθε κολουθίς, είι το * N = {,,3,4,}, έχει όηµ µελετήσουµε τη συµπεριφορά της γι πολύ µεγάλες τιµές του, δηλδή ότ + Ο ορισµός του ορίου κολουθίς είι άλογος του ορισµού του ορίου συάρτησης στο + κι διτυπώετι ως εξής: ΟΡΙΣΜΟΣ Θ λέµε ότι η κολουθί ( ) έχει όριο το l R κι θ γράφουµε * lim =l, ότ γι κάθε ε >, υπάρχει N τέτοιο, ώστε γι κάθε > ισχύει l < ε Κρφέρης Γεώργιος ΠΕ3 Μθηµτικός

42 4 Οι γωστές ιδιότητες τω ορίω συρτήσεω ότ +, που µελετήσµε στ προηγούµε, ισχύου κι γι τις κολουθίες Με τη οήθει τω ιδιοτήτω υτώ µπορούµε υπολογίζουµε όρι κολουθιώ 3 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισµός της συέχεις Έστω οι συρτήσεις f, g, h τω οποίω οι γρφικές πρστάσεις δίοτι στ πρκάτω σχήµτ C h l= f ( ) C f l g( ) C g l l (a) Πρτηρούµε ότι: () Η συάρτηση f είι ορισµέη στο κι ισχύει: lim f ( ) = f ( ) Η συάρτηση g είι ορισµέη στο λλά lim g ( ) g ( ) Η συάρτηση h είι ορισµέη στο λλά δε υπάρχει το όριό της Από τις τρεις γρφικές πρστάσεις του σχήµτος µόο η γρφική πράστση της f δε δικόπτετι στο Είι, εποµέως, φυσικό οοµάσουµε συεχή στο µόο τη συάρτηση f Γεικά, έχουµε το κόλουθο ορισµό ΟΡΙΣΜΟΣ Εστω µι συάρτηση f κι έ σηµείο του πεδίου ορισµού της Θ λέµε ότι η f είι συεχής στο, ότ lim f ( ) = f ( ) Μί συάρτηση f που είι συεχής σε όλ τ σηµεί του πεδίου ορισµού της, θ λέγετι, πλά, συεχής συάρτηση Γι πράδειγµ: (γ) Κάθε πολυωυµική συάρτηση Ρ είι συεχής, φού γι κάθε R ισχύει lim P ( ) = P ( ) Κρφέρης Γεώργιος ΠΕ3 Μθηµτικός

43 43 Κάθε ρητή συάρτηση P Q είι συεχής, φού γι κάθε του πεδίου ορισµού της ισχύει P( ) P( ) = lim Q ( ) Q ( ) Οι συρτήσεις f ( ) = ηµ κι g( ) = συ είι συεχείς, φού γι κάθε R ισχύει limηµ = ηµ κι limσυ = συ Οι συρτήσεις f ( ) = κι g( ) = log, < είι συεχείς Πράξεις µε συεχείς συρτήσεις Από το ορισµό της συέχεις στο κι τις ιδιότητες τω ορίω προκύπτει το πρκάτω θεώρηµ: ΘΕΩΡΗΜΑ Α οι συρτήσεις f κι g είι συεχείς στο, τότε είι συεχείς στο κι οι συρτήσεις: f f + g, c f, όπου c R, f g, g, f κι f µε τη προϋπόθεση ότι ορίζοτι σε έ διάστηµ που περιέχει το ΘΕΩΡΗΜΑ Α η συάρτηση f είι συεχής στο κι η συάρτηση g είι συεχής στο f ( ), τότε η σύθεσή τους gof είι συεχής στο Συέχει συάρτησης σε διάστηµ κι σικά θεωρήµτ ΟΡΙΣΜΟΣ Μι συάρτηση f θ λέµε ότι είι συεχής σε έ οικτό διάστηµ (, ), ότ είι συεχής σε κάθε σηµείο του (, ) (Σχ) Μι συάρτηση f θ λέµε ότι είι συεχής σε έ κλειστό διάστηµ [, ], ότ είι συεχής σε κάθε σηµείο του (, ) κι επιπλέο lim f ( ) = f ( ) κι lim f ( ) = f ( ) (Σχ) + Κρφέρης Γεώργιος ΠΕ3 Μθηµτικός

44 44 ( ) a () [ ] a () Αάλογοι ορισµοί διτυπώοτι γι διστήµτ της µορφής (, ], [, ) Θεώρηµ του Bolzano Στο διπλό σχήµ έχουµε τη γρφική πράστση µις συεχούς συάρτησης f στο [, ] Επειδή τ σηµεί A(,f()) κι B(, f ( )) ρίσκοτι εκτέρωθε του άξο, η γρφική πράστση της f τέµει το άξο σε έ τουλάχιστο σηµείο ΘΕΩΡΗΜΑ f() f(a) a Α(,f()) B(,f()) Έστω µι συάρτηση f, ορισµέη σε έ κλειστό διάστηµ [, ] Α: η f είι συεχής στο [, ] κι, επιπλέο, ισχύει f ( ) f ( ) <, τότε υπάρχει έ, τουλάχιστο, (, ) τέτοιο, ώστε f ( ) = ηλδή, υπάρχει µι, τουλάχιστο, ρίζ της εξίσωσης f ( ) = στο οικτό διάστηµ (, ) ΣΧΟΛΙΟ Από το θεώρηµ του Bolzano προκύπτει ότι: Α µι συάρτηση f είι συεχής σε έ διάστηµ κι δε µηδείζετι σ υτό, τότε υτή ή είι θετική γι κάθε ή είι ρητική γι κάθε, δηλδή διτηρεί πρόσηµο στο διάστηµ f()> a a f()< () () Κρφέρης Γεώργιος ΠΕ3 Μθηµτικός

45 45 Μι συεχής συάρτηση f διτηρεί πρόσηµο σε κθέ πό το διστήµτ στ οποί οι διδοχικές ρίζες της f χωρίζου το πεδίο ορισµού της ρ + ρ ρ 3 + ρ 4 + ρ 5 Αυτό µς διευκολύει στο προσδιορισµό του προσήµου της f γι τις διάφορες τιµές του Συγκεκριµέ, ο προσδιορισµός υτός γίετι ως εξής: ) Βρίσκουµε τις ρίζες της f ) Σε κθέ πό τ υποδιστήµτ που ορίζου οι διδοχικές ρίζες, επιλέγουµε έ ριθµό κι ρίσκουµε το πρόσηµο της f στο ριθµό υτό Το πρόσηµο υτό είι κι το πρόσηµο της f στο τίστοιχο διάστηµ Θεώρηµ εδιάµεσω τιµώ ΘΕΩΡΗΜΑ Έστω µι συάρτηση f, η οποί είι ορισµέη σε έ κλειστό διάστηµ [, ] Α: η f είι συεχής στο [, ] κι f ( ) f ( ) τότε, γι κάθε ριθµό η µετξύ τω f ( ) κι f ( ) υπάρχει ές, τουλάχιστο (, ) τέτοιος, ώστε f ( ) = η ΑΠΟ ΕΙΞΗ Ας υποθέσουµε ότι f ( ) < f ( ) Τότε θ ισχύει f ( ) < η< f ( ) Α θεωρήσουµε τη συάρτηση g( ) = f ( ) η, [, ], πρτηρούµε ότι: η g είι συεχής στο [, ] κι f() g( ) g( ) <, η φού g( ) = f ( ) η< κι g( ) = f ( ) η > f(a) Α(,f()) Εποµέως, σύµφω µε το θεώρηµ του Bolzano, υπάρχει (, ) τέτοιο, ώστε g( ) = f ( ) η =, οπότε f ( ) = η a B(,f()) =η Κρφέρης Γεώργιος ΠΕ3 Μθηµτικός

46 46 ΣΧΟΛΙΟ Α µι συάρτηση f δε είι συεχής στο διάστηµ [, ], τότε, όπως φίετι κι στο διπλό σχήµ, δε πίρει υποχρεωτικά όλες τις εδιάµεσες τιµές f() η f(a) =η Με τη οήθει του θεωρήµτος εδιµέσω τιµώ ποδεικύετι ότι: a Η εικό f ( ) εός διστήµτος µέσω µις συεχούς κι µη στθερής συάρτησης f είι διάστηµ ( ) a () ( ) a () Μ [ ) a (γ) m Μ m [ ] a (δ) Στη ειδική περίπτωση που το είι έ κλειστό διάστηµ [, ], ισχύει το πρκάτω θεώρηµ ΘΕΩΡΗΜΑ (Μέγιστης κι ελάχιστης τιµής) Α f είι συεχής συάρτηση στο [, ], τότε η f πίρει στο [, ] µι µέγιστη τιµή Μ κι µι ελάχιστη τιµή m (Σχδ) ηλδή, υπάρχου, [, ] τέτοι, ώστε, m= f ( ) κι M = f ( ), ισχύει : m f ( ) M, γι κάθε [, ] ΣΧΟΛΙΟ Από το πρπάω θεώρηµ κι το θεώρηµ εδιάµεσω τιµώ προκύπτει ότι το σύολο τιµώ µις συεχούς συάρτησης f µε Κρφέρης Γεώργιος ΠΕ3 Μθηµτικός

47 47 πεδίο ορισµού το [, ] είι το κλειστό διάστηµ [ m, M ], όπου m η ελάχιστη τιµή κι Μ η µέγιστη τιµή της Τέλος, ποδεικύετι ότι: A µι συάρτηση f είι γησίως ύξουσ κι συεχής σε έ οικτό διάστηµ (, ), τότε το σύολο τιµώ της στο διάστηµ υτό είι το διάστηµ ( Α, Β ) (Σχ), όπου Α= lim f ( ) κι B= lim f ( ) + Α, όµως, η f είι γησίως φθίουσ κι συεχής στο (, ), τότε το σύολο τιµώ της στο διάστηµ υτό είι το διάστηµ ( B, A ) (Σχ) B Α A Β ( ) a () ( ) a () Αάλογ συµπεράσµτ έχουµε κι ότ µι συάρτηση f είι συεχής κι γησίως µοότοη σε διστήµτ της µορφής [, ], [, ) κι (, ] ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ Μι συάρτηση f λέµε ότι είι πργωγίσιµη σ έ σηµείο του f ( ) f ( ) πεδίου ορισµού της, υπάρχει το lim κι είι πργµτικός ριθµός Το όριο υτό οοµάζετι πράγωγος της f στο κι συµολίζετι µε f ( ) f ( ) f ( ) ηλδή: f ( ) = lim ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ: Κρφέρης Γεώργιος ΠΕ3 Μθηµτικός

48 48 f ( ) f ( ) Α στη ισότητ f ( ) = lim θέσουµε = + h, f ( + h) f ( ) τότε έχουµε το ισοδύµο ορισµό f ( ) = lim h h Πολλές φορές το h= συµολίζετι µε, εώ το f ( + h) f ( ) = f ( + ) f ( ) συµολίζετι µε f ( ), f ( ) οπότε ο πρπάω τύπος γράφετι: f ( ) = lim Η τελευτί ισότητ οδήγησε το Leibniz συµολίσει τη df ( ) df ( ) πράγωγο στο µε ή = Ο συµολισµός f ( ) d d είι µετγεέστερος κι οφείλετι στο Lagrange Είι φερό ότι, το είι εσωτερικό σηµείο εός διστήµτος του πεδίου ορισµού της f, τότε: Η f είι πργωγίσιµη στο, κι µόο υπάρχου στο R τ f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) όρι lim, lim κι είι ίσ + Η στιγµιί τχύτητ εός κιητού, τη χροική στιγµή t, είι η πράγωγος της συάρτησης θέσης = S( t) τη χροική στιγµή t ηλδή, είι: υ ( t) = S ( t) ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω f µι συάρτηση κι A(, f ( )) έ σηµείο της C f Α f ( ) f ( ) υπάρχει το lim κι είι ές πργµτικός ριθµός λ, τότε ορίζουµε ως εφπτοµέη της C f στο σηµείο της Α, τη ευθεί ε που διέρχετι πό το Α κι έχει συτελεστή διεύθυσης λ ηλδή τη f ( ) = f ( ) ευθεί µε εξίσωση : ( ) ΣΧΟΛΙΑ Τη κλίση f ( ) της εφπτοµέης ε στο A(, f ( )) θ τη λέµε κι κλίση της C f στο Α ή κλίση της f στο Α µι συάρτηση f δε είι πργωγίσιµη στο τότε δε ορίζουµε εφπτοµέη της C στο σηµείο A(, f ( )) f Κρφέρης Γεώργιος ΠΕ3 Μθηµτικός

49 Κτκόρυφη εφπτοµέη (Είι εκτός ύλης) 49 ΘΕΩΡΗΜΑ Α µι συάρτηση f είι πργωγίσιµη σ έ σηµείο, τότε είι κι συεχής στο σηµείο υτό ΑΠΟ ΕΙΞΗ f ( ) f ( ) Γι έχουµε f ( ) f ( ) = ( ), οπότε f ( ) f ( ) lim[ f ( ) f ( )] = lim ( ) f ( ) f ( ) = lim lim( ) = f ( ) =,(φού η f είι πργωγίσιµη στο ) Εποµέως, lim f ( ) = f ( ), δηλδή η f είι συεχής στο ΣΧΟΛΙΑ Το τίστροφο του πρπάω θεωρήµτος δε ισχύει δηλδή µι συάρτηση µπορεί είι συεχής σε έ σηµείο κι µη είι πργωγίσιµη Ισχύει όµως η τιθετοτιστροφή του πρπάω θεωρήµτος δηλδή : µι συάρτηση f δε είι συεχής σ έ σηµείο, τότε δε µπορεί είι πργωγίσιµη στο ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Έστω f µι συάρτηση µε πεδίο ορισµού έ σύολο Α Θ λέµε ότι: H f είι πργωγίσιµη στο Α ή, πλά, πργωγίσιµη, ότ είι πργωγίσιµη σε κάθε σηµείο A Η f είι πργωγίσιµη σε έ οικτό διάστηµ (, ) του πεδίου ορισµού της, ότ είι πργωγίσιµη σε κάθε σηµείο (, ) Η f είι πργωγίσιµη σε έ κλειστό διάστηµ [, ] του πεδίου ορισµού της, ότ είι πργωγίσιµη στο (, ) κι επιπλέο ισχύει lim + f ( ) f ( ) R κι lim f ( ) f ( ) R Κρφέρης Γεώργιος ΠΕ3 Μθηµτικός

50 5 Έστω f µι συάρτηση µε πεδίο ορισµού Α κι A τo σύολο τω σηµείω του Α στ οποί υτή είι πργωγίσιµη Ατιστοιχίζοτς κάθε A στο f ( ), ορίζουµε τη συάρτηση f : A R f ( ), η οποί οοµάζετι πρώτη πράγωγος της f ή πλά πράγωγος της f H πρώτη πράγωγος της f συµολίζετι κι µε df d που διάζετι τε εφ προς τε χι Γι πρκτικούς λόγους τη πράγωγο συάρτηση = f ( ) θ τη συµολίζουµε κι µε = ( f ( )) Α υποθέσουµε ότι το Α είι διάστηµ ή έωση διστηµάτω, τότε η πράγωγος της f, υπάρχει, λέγετι δεύτερη πράγωγος της f κι συµολίζετι µε f Επγωγικά ορίζετι η ιοστή πράγωγος της f, µε 3, κι ( ) συµολίζετι µε f ( ) ( ) ηλδή f = [ f ], 3 Πράγωγος µερικώ σικώ συρτήσεω Εστω η στθερή συάρτηση f ( ) πργωγίσιµη στο R κι ισχύει f ( ) = c, c R Η συάρτηση f είι =, δηλδή ( c ) = Απόδειξη: Πράγµτι, είι έ σηµείο του R, τότε γι f ( ) f ( ) c c f ( ) f ( ) ισχύει: = = Εποµέως lim =, δηλδή ( c ) = Έστω η συάρτηση f ( ) R κι ισχύει f ( ) = Η συάρτηση f είι πργωγίσιµη στο =, δηλδή ( ) = Απόδειξη: Πράγµτι, είι έ σηµείο του R, τότε γι f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) ισχύει: = = Εποµέως lim = lim=, δηλδή ( ) = Έστω η συάρτηση f ( ) =, {,} N Η συάρτηση f είι πργωγίσιµη στο R κι ισχύει v v =, δηλδή ( ) f ( ) = v Απόδειξη: Πράγµτι, είι έ σηµείο του R, τότε γι ισχύει: Κρφέρης Γεώργιος ΠΕ3 Μθηµτικός

51 5 f ( ) f ( ) ( )( ) = = = + + +, οπότε f ( ) f ( ) lim = lim( ) = =, δηλδή ( ) = Έστω η συάρτηση f ( ) στο (, + ) κι ισχύει = Η συάρτηση f είι πργωγίσιµη f ( ) =, δηλδή ( ) = Απόδειξη: Πράγµτι, είι έ σηµείο του (, + ), τότε γι ισχύει: ( )( + ) ( )( ) ( )( ) f ( ) f ( ) = = = + + = +, οπότε f ( ) f ( ) lim = lim = + ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: η f ( ), δηλδή ( ) = = δε είι πργωγίσιµη στο Έστω συάρτηση f ( ) = ηµ Η συάρτηση f είι πργωγίσιµη στο R κι ισχύει f ( ) = συ, δηλδή ( ηµ ) = συ (Χωρίς πόδειξη) Έστω η συάρτηση f ( ) = συ Η συάρτηση f είι πργωγίσιµη στο R κι ισχύει f ( ) = ηµ, δηλδή ( συ ) = ηµ (Χωρίς πόδειξη) ΣΧΟΛΙΟ Τ όρι ηµ lim =, συ lim =, τ οποί χρησιµοποιήσµε γι υπολογίσουµε τη πράγωγο τω συρτήσεω f ( ) = ηµ, g( ) = συ είι η πράγωγος στο = τω συρτήσεω f, g τιστοίχως, φού ηµ ηµ ηµ lim = lim = f () Κρφέρης Γεώργιος ΠΕ3 Μθηµτικός

52 συ συ συ lim = lim = g () 5 Έστω η συάρτηση f ( ) = e Αποδεικύετι ότι η f είι πργωγίσιµη στο R κι ισχύει f ( ) = e, δηλδή ( e ) = e (Χωρίς πόδειξη) Έστω η συάρτηση f ( ) = ln Αποδεικύετι ότι η f είι πργωγίσιµη στο (, + ) κι ισχύει f ( ) =, δηλδή (ln ) = ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ Α οι συρτήσεις f, g είι πργωγίσιµες στο, τότε η συάρτηση f + gείι πργωγίσιµη στο κι ισχύει: ( f + g) ( ) = f ( ) + g ( ) Απόδειξη: Γι, ισχύει: ( f + g)( ) ( f + g)( ) f ( ) + g( ) f ( ) g( ) f ( ) f ( ) = = + g( ) g( ) Επειδή οι συρτήσεις f, g είι πργωγίσιµες στο, έχουµε: ( f + g)( ) ( f + g)( ) f ( ) f ( ) g( ) g( ) lim = lim + lim = f ( ) + g ( ), δηλδή ( f + g) ( ) = f ( ) + g ( ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ: Α οι συρτήσεις f, g είι πργωγίσιµες σ έ διάστηµ, τότε γι κάθε ισχύει: ( f + g) ( ) = f ( ) + g ( ) Το πρπάω θεώρηµ ισχύει κι γι περισσότερες πό δύο συρτήσεις ηλδή, f, f,, f k, είι πργωγίσιµες στο, ( f + f + + f ) ( ) = f ( ) + f ( ) + + f ( ) τότε k ΘΕΩΡΗΜΑ Α οι συρτήσεις f, g είι πργωγίσιµες στο, τότε κι η συάρτηση f g είι πργωγίσιµη στο κι ισχύει: ( f g) ( ) = f ( ) g( ) + f ( ) g ( ) k Κρφέρης Γεώργιος ΠΕ3 Μθηµτικός

53 Απόδειξη: (Εκτός ύλης) 53 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ: Α οι συρτήσεις f, g είι πργωγίσιµες σ έ διάστηµ, τότε γι κάθε ισχύει: ( f g) ( ) = f ( ) g( ) + f ( ) g ( ) Το πρπάω θεώρηµ επεκτείετι κι γι περισσότερες πό δύο συρτήσεις Έτσι, γι τρεις πργωγίσιµες συρτήσεις ισχύει: ( f ( ) g( ) h( )) = [( f ( ) g( )) h( )] = ( f ( ) g( )) h( ) + ( f ( ) g( )) h ( ) = [ f ( ) g( ) + f ( ) g ( )] h( ) + f ( ) g( ) h ( ) = f ( ) g( ) h( ) + f ( ) g ( ) h( ) + f ( ) g( ) h ( ) Α f είι πργωγίσιµη συάρτηση σ έ διάστηµ κι c R, επειδή ( c ) =, σύµφω µε το θεώρηµ () έχουµε: ( cf ( )) = cf ( ) ΘΕΩΡΗΜΑ 3 Α οι συρτήσεις f, g είι πργωγίσιµες στο κι g( ), τότε κι η συάρτηση f g είι πργωγίσιµη στο κι ισχύει: f ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f g f g g = [ g( )] Η πόδειξη πρλείπετι (Εκτός ύλης) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Α οι συρτήσεις f, g είι πργωγίσιµες σ έ διάστηµ κι γι κάθε ισχύει g( ), τότε γι κάθε έχουµε: f ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f g f g = g [ g( )] Χρησιµοποιώτς τις προηγούµεες προτάσεις µπορούµε τώρ ρούµε τις πργώγους µερικώ κόµη σικώ συρτήσεω Έστω η συάρτηση f ( ) πργωγίσιµη στο ( ) = =, * R κι ισχύει * N Η συάρτηση f είι ( ) =, δηλδή f * Απόδειξη: Πράγµτι, γι κάθε R () ( ) έχουµε: ( ) = = = = ( ) Κρφέρης Γεώργιος ΠΕ3 Μθηµτικός

54 54 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Είδµε, όµως, πιο πρι ότι =, γι κάθε φυσικό ( ) Εποµέως, κ Z {,}, τότε Έστω η συάρτήση f ( ) κ κ = κ ( ) > = εφ Η συάρτηση f είι πργωγίσιµη f ( ) =, δηλδή συ στο R =R { συ= } κι ισχύει ( εφ) = συ Απόδειξη: Πράγµτι, γι κάθε R έχουµε: ηµ ( ηµ ) συ ηµ ( συ ) συ συ + ηµ ηµ ( εφ) = = = συ συ συ συ + ηµ = = συ συ Έστω η συάρτηση f ( ) = σφ Η συάρτηση f είι πργωγίσιµη f ( ) =, δηλδή ηµ στο R =R { ηµ = } κι ισχύει ( σφ) = ηµ ΘΕΩΡΗΜΑ 4 Α η συάρτηση g είι πργωγίσιµη στο κι η f είι πργωγίσιµη στο g( ), τότε η συάρτηση f g είι πργωγίσιµη στο κι ισχύει ( f g) ( ) = f ( g( )) g ( ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ: Γεικά, µι συάρτηση g είι πργωγίσιµη σε έ διάστηµ κι η f είι πργωγίσιµη στο g( ), τότε η συάρτηση f g είι πργωγίσιµη στο κι ισχύει ( f ( g( ))) = f ( g( )) g ( ) ηλδή, u= g( ), τότε ( f ( u)) = f ( u) u Με το συµολισµό του Leibniz, = f ( u) κι u= g( ), έχουµε d d du το τύπο = που είι γωστός ως κός της d du d λυσίδς ΠΡΟΣΟΧΗ!!!! Κρφέρης Γεώργιος ΠΕ3 Μθηµτικός

55 55 Το σύµολο d δε είι πηλίκο Στο κό της λυσίδς πλά d συµπεριφέρετι ως πηλίκο, πράγµ που ευκολύει τη ποµηµόευση του κό Άµεση συέπει του πρπάω θεωρήµτος είι τ εξής: Η συάρτηση f ( ) κι ισχύει =, R Z είι πργωγίσιµη στο (, + ) ( ) =, δηλδή f ( ) = ln Απόδειξη: Πράγµτι, = = e κι θέσουµε u= ln, τότε u u u ln έχουµε = e Εποµέως, = ( e ) = e u = e = = Η συάρτηση f ( ) =, > είι πργωγίσιµη στο R κι ισχύει f ( ) = ln, δηλδή ( ) = ln Απόδειξη: Πράγµτι, έχουµε u = e Εποµέως, Η συάρτηση f ( ) = ln, ισχύει (ln ) = ln e = = κι θέσουµε u= ln, τότε u u ln = ( e ) = e u = e ln = ln * R είι πργωγίσιµη στο * R κι Απόδειξη: Πράγµτι >, τότε (ln ) = (ln ) =, εώ <, τότε ln = ln( ), οπότε, θέσουµε = ln( ) κι u=, έχουµε = ln u Εποµέως, = (ln u) = u = ( ) = u κι άρ (ln ) = Ακεφλιώοτς, η συάρτηση u= f ( ) είι πργωγίσιµη, τότε έχουµε: ( u ) = u u ( εφu) = u συ u ( u) = u ( σφu) = u u ηµ u ( ηµ u) = συ u u u u ( e ) = e u ( συ u) = ηµ u u u u ( ) = ln u Κρφέρης Γεώργιος ΠΕ3 Μθηµτικός

56 56 (ln u ) = u u ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Α δύο µετλητά µεγέθη, συδέοτι µε τη σχέση = f ( ), ότ f είι µι συάρτηση πργωγίσιµη στο, τότε οοµάζουµε ρυθµό µετολής του ως προς το στο σηµείο τη πράγωγο f ( ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ: Η στιγµιί τχύτητ εός κιητού, τη χροική στιγµή t, είι ο ρυθµός µετολής της συάρτησης θέσης = S( t) τη χροική στιγµή t ηλδή, είι: υ ( t) = S ( t) Ο ρυθµός µετολής της τχύτητς υ ως προς το χρόο t τη χροική στιγµή t είι η πράγωγος υ ( t), της τχύτητς υ ως προς το χρόο t τη χροική στιγµή t Η πράγωγος υ ( t) λέγετι επιτάχυση του κιητού τη χροική στιγµή t κι συµολίζετι µε ( t) Είι δηλδή ( t) = υ ( t) = S ( t) Στη οικοοµί, το κόστος πργωγής Κ, η είσπρξη Ε κι το κέρδος Ρ εκφράζοτι συρτήσει της ποσότητς του πργόµεου προϊότος Έτσι, η πράγωγος Κ ( ) πριστάει το ρυθµό µετολής του κόστους Κ ως προς τη ποσότητ, ότ = κι λέγετι ορικό κόστος στο Αάλογ, ορίζοτι κι οι έοιες ορική είσπρξη στο κι ορικό κέρδος στο ΘΕΩΡΗΜΑ (Rolle) Α µι συάρτηση f είι: συεχής στο κλειστό διάστηµ [, ] πργωγίσιµη στο οικτό διάστηµ (, ) κι f ( ) = f ( ) τότε υπάρχει έ, τουλάχιστο, ξ (, ) τέτοιο, ώστε: f ( ξ ) = Γεωµετρικά, υτό σηµίει ότι υπάρχει έ, τουλάχιστο, ξ (, ) τέτοιο, ώστε η εφπτοµέη της C στο M ( ξ, f ( ξ )) είι πράλληλη στο άξο τω f Μ(ξ,f(ξ)) Α(,f()) Β(,f()) ξ ξ Κρφέρης Γεώργιος ΠΕ3 Μθηµτικός