Μαθηματικά Γ Λυκείου 2.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑ ΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ. Το Σύνολο των Μιγαδικών Αριθµών

Transcript

1 Μθημτικά Γ Λυκείου Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑ ΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Το Σύολο τω Μιγδικώ Αριθµώ Το σύολο τω µιγδικώ ριθµώ είι έ υπερσύολο του συόλου τω πργµτικώ ριθµώ, στο οποίο: Επεκτείοτι οι πράξεις της πρόσθεσης κι του πολλπλσισµού έτσι, ώστε έχου τις ίδιες ιδιότητες όπως κι στο, µε το µηδέ είι το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης κι το έ το ουδέτερο στοιχείο του πολλπλσισµού, Υπάρχει έ στοιχείο i τέτοιο, ώστε i, Κάθε στοιχείο z του γράφετι κτά µοδικό τρόπο µε τη µορφή, z i, όπου Η έκφρση i,, είι κριώς ό,τι λέµε µιγδικό ριθµό Είι η σύθεση δύο ριθµώ, του πργµτικού κι του i, το οποίο οοµάζουµε φτστικό ριθµό Ο λέγετι πργµτικό µέρος του z κι σηµειώετι Rez, εώ ο λέγετι φτστικό µέρος του z κι σηµειώετι Imz Ισότητ Μιγδικώ Αριθµώ Επειδή κάθε µιγδικός ριθµός z γράφετι µε µοδικό τρόπο στη µορφή i, δύο µιγδικοί ριθµοί i κι γ δ i είι ίσοι, κι µόο γ κι δ ηλδή ι- σχύει: Εποµέως, επειδή i γ δ i i, έχουµε γ κι δ i κι η διάτξη κι οι ιδιότητές της δε µετφέροτι Γεωμετρική Πράστση Μιγδικώ Κάθε µιγδικό ριθµό i µπορούµε το - τιστοιχίσουµε στο σηµείο M, εός κρτεσιού επιπέδου κι τιστρόφως, κάθε σηµείο M, του κρτεσιού υτού επιπέδου µπορούµε το τιστοιχίσουµε στο µιγδικό i Το σηµείο M λέγετι εικό του µιγδικού i M, ή Μz Ο a φροτιστήριο μέσης εκπίδευσης Περδικούρης Πγιώτης

2 Μθημτικά Γ Λυκείου ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ Η διυσµτική κτί του θροίσµτος τω µιγδικώ i κι γ δ i είι το άθροισµ τω διυσµτικώ κτίω τους M γ,δ M, Mγ, δ Ο Μ γ,δ Η διυσµτική κτί της διφοράς τω µιγδικώ i κι γ δ i είι η διφορά τω διυσµτικώ κτίω τους Ο Μ, Νγ,δ Μ 3 γ,δ Ειδικότερ, έχουµε: i i Ο ριθµός i i κι συµολίζετι µε i ηλδή, i i λέγετι συζυγής του Επειδή είι κι i i, οι i, i λέγοτι συζυγείς µιγδικοί ύµη Μιγδικού Ορίζουµε z Επίσης, z, ορίζουµε z, z z z,, κι γεικά z z z z, z, γι κάθε θετικό κέριο, µε > γι κάθε θετικό κέριο z Γι τις δυάµεις τω µιγδικώ ριθµώ ισχύου οι ίδιες ιδιότητες που ισχύου κι γι τις δυάµεις τω πργµτικώ ριθµώ Ιδιίτερ γι τις δυάµεις του i έχουµε: i 3, i i, i, i i i i Γι υπολογίσουµε συγκεκριµέη δύµη του i, γράφουµε το εκθέτη στη µορφή 4ρ υ, όπου ρ το πηλίκο κι υ το υπόλοιπο της ευκλείδεις διίρεσης του µε το 4, οπότε έχουµε:, υ 4ρ υ 4ρ υ 4 ρ υ ρ υ υ i, υ i i i i i i i i -, υ i, υ 3 φροτιστήριο μέσης εκπίδευσης Περδικούρης Πγιώτης

3 Μθημτικά Γ Λυκείου Ιδιότητες Συζυγώ Στο µιγδικό επίπεδο οι εικόες M, κι M, δύο συζυγώ µιγδικώ z i κι z i είι σηµεί συµµετρικά ως προς το πργ- µτικό άξο Ο Mz M z Γι δύο συζυγείς µιγδικούς ριθµούς z i κι z i µπορούµε εύκολ, µε εκτέλεση τω πράξεω, διπιστώσουµε ότι: z z z z i Α z i κι z γ δ i είι δυο µιγδικοί ριθµοί, τότε: z z z z z z z z z z z z 3 4 z z z z Οι ιδιότητες υτές µπορού ποδειχτού µε εκτέλεση τω πράξεω Γι πράδειγµ έχουµε: z z i γ δ i γ δ i γ δ i i γ δ i z z Οι πρπάω ιδιότητες κι 3 ισχύου κι γι περισσότερους πό δυο µιγδικούς ριθµούς Είι δηλδή: z z z z z z z z z z z z Ιδιίτερ, είι z z z z, τότε η τελευτί ισότητ γίετι: z z φροτιστήριο μέσης εκπίδευσης Περδικούρης Πγιώτης 3

4 Μθημτικά Γ Λυκείου Επίλυση της Εξίσωσης z z γ µε,, γ κι Επειδή i κι i i, η εξίσωση έχει στο σύολο τω µιγδικώ ριθµώ δύο λύσεις, τις i κι i Οµοίως, η εξίσωση 4 έχει στο σύολο τω µιγδικώ ριθµώ δύο λύσεις, τις i κι i, φού z 4 z i 4 z i z i ή z i Έστω η εξίσωση z z γ, µε,, γ κι Εργζόµστε όπως στη τίστοιχη περίπτωση στο κι τη µετσχηµτίζουµε, µε τη µέθοδο συµπλήρωσης τετργώω, στη µορφή: όπου 4 z, 4 γ η δικρίουσ της εξίσωσης Έτσι, έχουµε τις εξής περιπτώσεις: > Τότε η εξίσωση έχει δύο πργµτικές λύσεις: Tότε έχει µι διπλή πργµτική λύση: < Τότε, επειδή i z Άρ οι λύσεις της είι: ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ i Πρτηρούµε ότι κι εδώ ισχύου οι σχέσεις: z z, ± 4 4 z, z i, η εξίσωση γράφετι: ± i, οι οποίες είι συζυγείς µιγδικοί ριθµοί z κι z z γ τύποι Vieta φροτιστήριο μέσης εκπίδευσης Περδικούρης Πγιώτης 4

5 Μθημτικά Γ Λυκείου ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑ ΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Έστω M, η εικό του µιγδικού z i στο µιγδικό επίπεδο Ορίζουµε ως µέτρο του z τη πόστση του M πό τη ρχή, δηλδή z M z M, Ο a z z z z z z Α z, z είι µιγδικοί ριθµοί, τότε z z z z z z z z Απόδειξη πράγµτι, έχουµε: z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z κι, επειδή η τελευτί ισότητ ισχύει, θ ισχύει κι η ισοδύµη ρχική Αάλογ ποδεικύετι κι η δεύτερη ιδιότητ Αποδεικύετι ότι κι ειδικότερ z z z z z z z z Τέλος, πό τη γωστή µς τριγωική ισότητ κι πό τη γεωµετρική ερµηεί του θροίσµτος z z κι της διφοράς z z δύο µιγδικώ προκύπτει ότι: z z z z z z Το µέτρο της διφοράς δύο µιγδικώ είι ίσο µε τη πόστση τω εικόω τους ηλδή: M M z z φροτιστήριο μέσης εκπίδευσης Περδικούρης Πγιώτης 5

6 Μθημτικά Γ Λυκείου Γεικά, η εξίσωση z z ρ, ρ > πριστάει το κύκλο µε κέτρο το σηµείο Κz κι κτί ρ Kz Ο Γεικά, η εξίσωση z z z z Bz πριστάει τη µεσοκάθετο ευθεί του ευθυγράµµου τµήµτος µε άκρ τ σηµεί Az κι Bz Az Ο φροτιστήριο μέσης εκπίδευσης Περδικούρης Πγιώτης 6

7 Μθημτικά Γ Λυκείου ΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Η έοι της πργμτικής συάρτησης ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω Α έ υποσύολο του Οοµάζουµε πργµτική συάρτηση µε πεδίο ορισµού το Α µι διδικσί κό, µε τη οποί κάθε στοιχείο A τιστοιχίζετι σε έ µόο πργµτικό ριθµό Το οοµάζετι τιµή της στο κι συµολίζετι µε Γι εκφράσουµε τη διδικσί υτή, γράφουµε : : A Το γράµµ, που πριστάει οποιοδήποτε στοιχείο του Α λέγετι εξάρτητη µετλητή, εώ το γράµµ, που πριστάει τη τιµή της στο, λέγετι εξρτηµέη µετλητή Το πεδίο ορισµού Α της συάρτησης συήθως συµολίζετι µε D Το σύολο που έχει γι στοιχεί του τις τιµές της σε όλ τ A, λέγετι σύολο τι- µώ της κι συµολίζετι µε A Είι δηλδή: Γρφική πράστση συάρτησης A { γι κάποιο A} Έστω µι συάρτηση µε πεδίο ορισµού Α κι έ σύστηµ συτετγµέω στο επίπεδο Το σύολο τω σηµείω M, γι τ οποί ισχύει, δηλδή το σύολο τω σηµείω M,, A, λέγετι γρφική πράστση της κι συµολίζετι συήθως µε C Ότ δίετι η γρφική πράστση C µις συάρτησης, τότε: Το πεδίο ορισµού της είι το σύολο Α τω τετµηµέω τω σηµείω της C Το σύολο τιµώ της είι το σύολο A τω τετγµέω τω σηµείω της C γ Η τιµή της στο A είι η τετγµέη του σηµείου τοµής της ευθείς κι της C Σχ 8 8 C Α C C A, Α γ φροτιστήριο μέσης εκπίδευσης Περδικούρης Πγιώτης 7

8 Μθημτικά Γ Λυκείου Ισότητ συρτήσεω ΡΙΣΜΟΣ ύο συρτήσεις κι λέγοτι ίσες ότ: έχου το ίδιο πεδίο ορισµού Α κι γι κάθε A ισχύει Γι δηλώσουµε ότι δύο συρτήσεις κι είι ίσες γράφουµε Έστω τώρ, δύο συρτήσεις µε πεδί ορισµού Α, Β τιστοίχως κι Γ έ υποσύολο τω Α κι Β Α γι κάθε Γ ισχύει, τότε λέµε ότι οι συρτήσεις κι είι ίσες στο σύολο Γ Πράξεις με συρτήσεις Ορίζουµε ως άθροισµ, διφορά -, γιόµεο κι πηλίκο δύο συρτήσεω, τις συρτήσεις µε τύπους Το πεδίο ορισµού τω, A B, A B, A B, κι A B{ / } είι η τοµή κι Β τω συρτήσεω κι τιστοίχως, εώ το πεδίο ορισµού της A B τω πεδίω ορισµού Α είι το A B, εξιρουµέω τω τιµώ του που µηδείζου το προοµστή, δηλδή το σύολο { A κι B, µε } Σύθεση συρτήσεω ΟΡΙΣΜΟΣ Α, είι δύο συρτήσεις µε πεδίο ορισµού Α, Β τιστοίχως, τότε οοµάζουµε σύθεση της µε τη, κι τη συµολίζουµε µε o, τη συάρτηση µε τύπο o φροτιστήριο μέσης εκπίδευσης Περδικούρης Πγιώτης 8

9 Μθημτικά Γ Λυκείου A A B B A Το πεδίο ορισµού της o ποτελείτι πό όλ τ στοιχεί του πεδίου ορισµού της γι τ οποί το ήκει στο πεδίο ορισµού της ηλδή είι το σύολο { A B} A Είι φερό ότι η o ορίζετι A, δηλδή A B ΣΧΟΛΙΑ Γεικά,, είι δύο συρτήσεις κι ορίζοτι οι o κι o, τότε υτές δε είι υποχρεωτικά ίσες Α,, h είι τρεις συρτήσεις κι ορίζετι η ho o, τότε ορίζετι κι η h o o κι ισχύει h o o h o o Τη συάρτηση υτή τη λέµε σύθεση τω, κι h κι τη συµολίζουµε µε hoo Η σύθεση συρτήσεω γεικεύετι κι γι περισσότερες πό τρεις συρτήσεις 3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Μοοτοί συάρτησης ΟΡΙΣΜΟΣ Μι συάρτηση λέγετι : γησίως ύξουσ σ έ δ ι ά σ τ η µ του πεδίου ορισµού της, ότ γι οποιδήποτε, µε < ισχύει: < Σχ γησίως φθίουσ σ έ δ ι ά σ τ η µ του πεδίου ορισµού της, ότ γι οποιδήποτε, µε < ισχύει: > Σχ 5 Ο a Ο φροτιστήριο μέσης εκπίδευσης Περδικούρης Πγιώτης 9

10 Μθημτικά Γ Λυκείου Μι συάρτηση λέγετι, πλώς,: ύξουσ σ έ διάστηµ, ότ γι οποιδήποτε φθίουσ σ έ διάστηµ, ότ γι οποιδήποτε, µε < ισχύει, µε < ισχύει Ακρόττ συάρτησης ΟΡΙΣΜΟΣ Μι συάρτηση µε πεδίο ορισµού Α θ λέµε ότι: Προυσιάζει στο A ολικό µέγιστο, το, ότ γι κάθε A Προυσιάζει στο A ολικό ελάχιστο, το, ότ γι κάθε A 7 C a C Συάρτηση ΟΡΙΣΜΟΣ Μι συάρτηση :A λέγετι συάρτηση, ότ γι οποιδήποτε σχύει η συεπγωγή:, τότε A ι-, Με πγωγή σε άτοπο ποδεικύετι ότι: Μι συάρτηση :A είι συάρτηση, κι µόο γι οποιδήποτε A ισχύει η συεπγωγή:, ΣΧΟΛΙΑ, τότε Από το πρπάω ορισµό προκύπτει ότι µι συάρτηση είι, κι µόο : Γι κάθε στοιχείο του συόλου τιµώ της η εξίσωση έχει κριώς µι λύση ως προς φροτιστήριο μέσης εκπίδευσης Περδικούρης Πγιώτης

11 Μθημτικά Γ Λυκείου ε υπάρχου σηµεί της γρφικής της πράστσης µε τη ίδι τετγµέη Αυτό σηµίει ότι κάθε οριζότι ευθεί τέµει τη γρφική πράστση της το πολύ σε έ σηµείο Α µι συάρτηση είι γησίως µοότοη, τότε προφώς, είι συάρτηση " " Υπάρχου, όµως, συρτήσεις που είι λλά δε είι γησίως µοότοες, όπως γι, πράδειγµ η συάρτηση, > Ατίστροφη συάρτηση Έστω µι συάρτηση :A Α υποθέσουµε ότι υτή είι, τότε γι κάθε στοιχείο του συόλου τιµώ, A, της υπάρχει µοδικό στοιχείο του πεδίου ορισµού της Α γι το οποίο ισχύει Εποµέως ορίζετι µι συάρτηση : A µε τη οποί κάθε A τιστοιχίζετι στο µοδικό A γι το οποίο ισχύει Αυτό σηµίει ότι, η τιστοιχίζει το στο, τότε η τιστοιχίζει το στο κι τιστρόφως ηλδή η είι η τίστροφη διδικσί της Γι το λόγο υτό η λέγετι τίστροφη συάρτηση της κι συµολίζετι µε Εποµέως έχουµε A A οπότε, A κι, A Ας πάρουµε τώρ µι συάρτηση κι ς θεωρήσουµε τις γρφικές πρστάσεις C κι C τω κι της Σχ 37 Επειδή στο ίδιο σύστηµ ξόω, έ σηµείο M, ήκει στη γρφική πράστση C της, τότε το σηµείο Μ, θ ήκει στη γρφική πράστση C της συµµετρικά ως προς τη ευθεί που διχοτοµεί τις γωίες κι κι τιστρόφως Τ σηµεί, όµως, υτά είι Εποµέως: Οι γρφικές πρστάσεις C κι C τω συρτήσεω κι είι συµµετρικές ωςπρος τη ευθεί που διχοτοµεί τις γωίες κι C M, C 37 M, φροτιστήριο μέσης εκπίδευσης Περδικούρης Πγιώτης

12 Μθημτικά Γ Λυκείου 4 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΣΧΟΛΙΟ Γι ζητήσουµε το όριο της στο, πρέπει η ορίζετι όσο θέλουµε κοτά στο, δηλδή η είι ορισµέη σ έ σύολο της µορφής,, ή, ή, Το µπορεί ήκει στο πεδίο ορισµού της συάρτησης ή µη ήκει σ υτό Η τιµή της στο, ότ υπάρχει, µπορεί είι ίση µε το όριό της στο ή διφορετική πό υτό l l, κι µόο l l l Γι πράδειγµ, η συάρτηση όριο στο, φού: Σχ 4 δε έχει γι < είι, οπότεl, εώ γι > είι, οπότε l, κι έτσι l l 4 Ορισµός του ορίου στο Αποδεικύετι ότι, µι συάρτηση έχει όριο στο, τότε υτό είι µοδικό κι συµολίζετι, όπως είδµε, µε l Συέπει του πρπάω ορισµού είι οι κόλουθες ισοδυµίες: l l l l l l l h l h Αποδεικύετι ότι: Α µι συάρτηση είι ορισµέη σε έ σύολο της µορφής,,, τότε ισχύει η ισοδυµί: l l l l l φροτιστήριο μέσης εκπίδευσης Περδικούρης Πγιώτης

13 Μθημτικά Γ Λυκείου ΣΧΟΛΙΟ Αποδεικύετι ότι το l είι εξάρτητο τω άκρω, τω διστηµάτω, κι, στ οποί θεωρούµε ότι είι ορισµέη η Όριο τυτοτικής - στθερής συάρτησης Με τη οήθει του ορισµού του ορίου ποδεικύετι ότι: l l c c 5 Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΟΡΙΩΝ Όριο κι διάτξη ΘΕΩΡΗΜΑ ο Α l >, τότε > κοτά στο Α l <, τότε < κοτά στο l C C 48 l ΘΕΩΡΗΜΑ ο Α οι συρτήσεις a, έχου όριο στο κι ισχύει κοτά στο, τότε l l C C 49 C C Όρι κι πράξεις a Τ δύο σικά όρι l, l c c κι το θεώρηµ που κολουθεί διευκολύου το υπολογισµό τω ορίω φροτιστήριο μέσης εκπίδευσης Περδικούρης Πγιώτης 3

14 Μθημτικά Γ Λυκείου φροτιστήριο μέσης εκπίδευσης Περδικούρης Πγιώτης 4 ΘΕΩΡΗΜΑ Α υπάρχου τ όρι τω συρτήσεω κι στο, τότε: l l l κ κ l l, γι κάθε στθερά κ 3 l l l 4 l l l, εφόσο l 5 l l 6 k k l l, εφόσο κοτά στο Οι ιδιότητες κι 3 του θεωρήµτος ισχύου κι γι περισσότερες πό δυο συρτήσεις Άµεση συέπει υτού είι: ] [ l l, * Õ Έστω τώρ το πολυώυµο P κι Σύµφω µε τις πρπάω ιδιότητες έχουµε: P l l l l l l l l P Εποµέως, P P l Q P Q P l, εφόσο Q

15 Μθημτικά Γ Λυκείου Κριτήριο πρεµολής Υποθέτουµε ότι κοτά στο µι συάρτηση εγκλωίζετι Σχ 5 άµεσ σε δύο συρτήσεις h κι Α, κθώς το τείει στο, οι κι h έχου κοιό όριο l, τότε, όπως φίετι κι στο σχήµ, η θ έχει το ίδιο όριο l ΘΕΩΡΗΜΑ Έστω οι συρτήσεις,, h Α h κοτά στο κι l h l l, τότε l l Γι πράδειγµ, l ηµ Πράγµτι, γι έχουµε οπότε ηµ ηµ, ηµ Επειδή l l, σύµφω µε το πρπάω κριτήριο, έχουµε: l C C C h 5 Tριγωοµετρικά όρι l ηµ ηµ, γι κάθε η ισότητ ισχύει µόο ότ l ηµ ηµ l συ συ ηµ l συ l φροτιστήριο μέσης εκπίδευσης Περδικούρης Πγιώτης 5

16 Μθημτικά Γ Λυκείου Όριο σύθετης συάρτησης Α θέλουµε υπολογίσουµε το l, της σύθετης συάρτησης στο σηµείο, τότε εργζόµστε ως εξής: Θέτουµε u Υπολογίζουµε υπάρχει το u l κι 3 Υπολογίζουµε υπάρχει το l l u uu Αποδεικύετι ότι, u κοτά στο, τότε το ζητούµεο όριο είι ίσο µε l, δηλδή ισχύει: l l u u u 6 ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ Στο σχήµ 54 έχουµε τη γρφική πράστση µις συάρτησης κοτά στο Πρτηρούµε ότι, κθώς το κιούµεο µε οποιοδήποτε τρόπο πάω στο άξο πλησιάζει το πργµτικό ριθµό, οι τιµές υξάοτι περιόριστ κι γίοτι µεγλύτερες πό οποιοδήποτε θετικό ριθµό Μ Στη περίπτωση υτή λέµε ότι η συάρτηση έχει στο όριο κι γράφουµε l Όπως στη περίπτωση τω πεπερσµέω ορίω έτσι κι γι τ άπειρ όρι συρτήσεω, που ορίζοτι σε έ σύολο της µορφής,,, ισχύου οι πρκάτω ισοδυµίες: M 54 l l l l l l Με τη οήθει του ορισµού ποδεικύοτι οι πρκάτω ιδιότητες: Α l, τότε > κοτά στο, εώ l, τότε < κοτά στο Α l, τότε l, εώ l, τότε l Α l ή, τότε l φροτιστήριο μέσης εκπίδευσης Περδικούρης Πγιώτης 6

17 Μθημτικά Γ Λυκείου Α l κι > κοτά στο, τότε l, εώ l κι < κοτά στο, τότε l Α l ή, τότε l Α l, τότε l k Σύµφω µε τις ιδιότητες υτές έχουµε: l κι γεικά l, * Õ εώ l l κι γεικά l, Õ κι γεικά l Εποµέως, δε υπάρχει στο µηδέ το όριο της ΘΕΩΡΗΜΑ ο όριο θροίσµτος Α στο, Õ Σχ 57, Õ το όριο της είι: - κι το όριο της είι: τότε το όριο της είι: ΘΕΩΡΗΜΑ ο όριο γιοµέου Α στο, το όριο της είι: κι το όριο της είι: τότε το όριο της είι: ; ; > < > < - ; ; - Στους πίκες τω πρπάω θεωρηµάτω, όπου υπάρχει ερωτηµτικό, σηµίει ότι το όριο υπάρχει εξρτάτι κάθε φορά πό τις συρτήσεις που πίρουµε Στις περιπτώσεις υτές λέµε ότι έχουµε προσδιόριστη µορφή φροτιστήριο μέσης εκπίδευσης Περδικούρης Πγιώτης 7

18 Μθημτικά Γ Λυκείου ηλδή, προσδιόριστες µορφές γι τ όρι θροίσµτος κι γιοµέου συρτήσεω είι οι: κι ± Επειδή κι, προσδιόριστες µορφές γι τ όρι της διφοράς κι του πηλίκου συρτήσεω είι οι: ±, κι, ± 7 ΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ Στ πρκάτω σχήµτ έχουµε τις γρφικές πρστάσεις τριώ συρτήσεω διάστηµ της µορφής,,, h σε έ 58 l a C C h γ C h Πρτηρούµε ότι κθώς το υξάετι περιόριστ µε οποιοδήποτε τρόπο, το προσεγγίζει όσο θέλουµε το πργµτικό ριθµό l Στη περίπτωση υτή λέµε ότι η έχει στο όριο το l κι γράφουµε l l το υξάετι περιόριστ Στη περίπτωση υτή λέµε ότι η έχει στο όριο το κι γράφουµε l το h µειώετι περιόριστ Στη περίπτωση υτή λέµε ότι η h έχει στο όριο το κι γράφουµε ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ l h Από τ πρπάω προκύπτει ότι γι ζητήσουµε το όριο µις συάρτησης στο πρέπει η είι ορισµέη σε διάστηµ της µορφής, γι µι συάρτηση που είι ορι- Αάλογοι ορισµοί µπορού διτυπωθού, ότ σµέη σε διάστηµ της µορφής,, φροτιστήριο μέσης εκπίδευσης Περδικούρης Πγιώτης 8

19 Γι το υπολογισµό του ορίου στο µστε τ πρκάτω σικά όρι: Μθημτικά Γ Λυκείου ή εός µεγάλου ριθµού συρτήσεω χρειζό- l κι * l, Õ, άρτιος l κι * l, Õ -, περιττός Όριο πολυωυµικής κι ρητής συάρτησης Γι τη πολυωυµική συάρτηση P, µε ισχύει: l P l κι l P l,, κ ισχύ- Γι τη ρητή συάρτηση κ κ κ ει: l l κι κ κ κ l l κ κ Όρι εκθετικής - λογριθµικής συάρτησης Αποδεικύετι ότι: 6 Α > Σχ 6, τότε l l, l lo, l lo a lo a Α < < Σχ 6, τότε l, l a 6 l lo, l lo φροτιστήριο μέσης εκπίδευσης lo a Περδικούρης Πγιώτης 9

20 Μθημτικά Γ Λυκείου 8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω µι συάρτηση κι έ σηµείο του πεδίου ορισµού της Θ λέµε ότι η είι συεχής στο, ότ l Σύµφω µε το πρπάω ορισµό, µι συάρτηση δε είι συεχής σε έ σηµείο του πεδίου ορισµού της ότ: ε υπάρχει το όριό της στο ή Υπάρχει το όριό της στο, λλά είι διφορετικό πό τη τιµή της,στο σηµείο Μί συάρτηση που είι συεχής σε όλ τ σηµεί του πεδίου ορισµού της, θ λέγετι, πλά, συεχής συάρτηση Κάθε πολυωυµική συάρτηση Ρ είι συεχής, φού γι κάθε ισχύει l P P P Κάθε ρητή συάρτηση είι συεχής, φού γι κάθε του πεδίου ορισµού της ι- Q σχύει P P l Q Q Οι συρτήσεις ηµ κι συ είι συεχείς, φού γι κάθε ισχύει l ηµ ηµ κι l συ συ Τέλος, ποδεικύετι ότι: Οι συρτήσεις κι lo Πράξεις με συεχείς συρτήσεις ΘΕΩΡΗΜΑ, < είι συεχείς Α οι συρτήσεις κι είι συεχείς στο, τότε είι συεχείς στο κι οι συρτήσεις:, c, όπου c,,, κι µε τη προϋπόθεση ότι ορίζοτι σε έ διάστηµ που περιέχει το ΘΕΩΡΗΜΑ Α η συάρτηση είι συεχής στο κι η συάρτηση είι συεχής στο, τότε η σύθεσή τους o είι συεχής στο φροτιστήριο μέσης εκπίδευσης Περδικούρης Πγιώτης

21 Μθημτικά Γ Λυκείου Συέχει συάρτησης σε διάστημ κι σικά θεωρήμτ ΟΡΙΣΜΟΣ Μι συάρτηση θ λέµε ότι είι συεχής σε έ οικτό διάστηµ,, ότ είι συεχής σε κάθε σηµείο του, Σχ 63 Μι συάρτηση θ λέµε ότι είι συεχής σε έ κλειστό διάστηµ [, ], ότ είι συεχής σε κάθε σηµείο του, κι επιπλέο l κι l Σχ a [ ] a Θεώρημ του Bolzano Στο διπλό σχήµ έχουµε τη γρφική πράστση µις συεχούς συάρτησης στο [,] Επειδή τ σηµεί A, κι B, ρίσκοτι εκτέρωθε του άξο, η γρφική πράστση της τέµει το άξο σε έ τουλάχιστο σηµείο ΘΕΩΡΗΜΑ Έστω µι συάρτηση, ορισµέη σε έ κλειστό διάστηµ [,] Α: η είι συεχής στο [,] κι, επιπλέο, ισχύει <, τότε υπάρχει έ, τουλάχιστο,, τέτοιο, ώστε a ηλδή, υπάρχει µι, τουλάχιστο, ρίζ της εξίσωσης στο οικτό διάστηµ, a Α, 64 B, ΣΧΟΛΙΟ Από το θεώρηµ του Bolzano προκύπτει ότι: Α µι συάρτηση είι συεχής σε έ διάστηµ κι δε µηδείζετι σ υτό, τότε υτή ή είι θετική γι κάθε ή είι ρητική γι κάθε, δηλδή διτηρεί πρόσηµο στο διάστηµ Σχ 65 φροτιστήριο μέσης εκπίδευσης Περδικούρης Πγιώτης

22 Μθημτικά Γ Λυκείου 65 > a a < Μι συεχής συάρτηση διτηρεί πρόσηµο σε κθέ πό το διστήµτ στ οποί οι διδοχικές ρίζες της χωρίζου το πεδίο ορισµού της 66 ρ ρ ρ 3 ρ 4 ρ 5 Αυτό µς διευκολύει στο προσδιορισµό του προσήµου της γι τις διάφορες τιµές του Θεώρημ εδιάμεσω τιμώ ΘΕΩΡΗΜΑ Έστω µι συάρτηση, η οποί είι ορισµέη σε έ κλειστό διάστηµ [,] Α: η είι συεχής στο [,] κι τότε, γι κάθε ριθµό η µετξύ τω κι υπάρχει ές, τουλάχιστο, τέτοιος, ώστε η ΑΠΟΔΕΙΞΗ Ας υποθέσουµε ότι < Τότε θ ισχύει < η < Σχ 67 Α θεωρήσουµε τη συάρτηση η, [,], πρτηρούµε ότι: η είι συεχής στο [,] κι <, φού 67 B, η< κι η> η Εποµέως, σύµφω µε το θεώρηµ του Bolzano, υπάρχει, τέτοιο, ώστε η, οπότε η a Α, a η φροτιστήριο μέσης εκπίδευσης Περδικούρης Πγιώτης

23 Μθημτικά Γ Λυκείου ΣΧΟΛΙΟ Α µι συάρτηση δε είι συεχής στο διάστηµ [,], τότε, όπως φίετι κι στο διπλό σχήµ, δε πίρει υποχρεωτικά όλες τις εδιάµεσες τιµές η a 68 η a Με τη οήθει του θεωρήµτος εδιµέσω τιµώ ποδεικύετι ότι: Η εικό εός διστήµτος µέσω µις συεχούς κι µη στθερής συάρτησης είι διάστηµ ΘΕΩΡΗΜΑ Μέγιστης κι ελάχιστης τιμής Α είι συεχής συάρτηση στο [,], τότε η πίρει στο [,] µι µέγιστη τιµή Μ κι µι ελάχιστη τιµή m Σχ 69δ ηλδή, υπάρχου [,] τέτοι, ώστε, m κι, ισχύει ΣΧΟΛΙΟ, m M, γι κάθε [, ] M Από το πρπάω θεώρηµ κι το θεώρηµ εδιάµεσω τιµώ προκύπτει ότι το σύολο τι- µώ µις συεχούς συάρτησης µε πεδίο ορισµού το [,] είι το κλειστό διάστηµ [ m,m], όπου m η ελάχιστη τιµή κι Μ η µέγιστη τιµή της Τέλος, ποδεικύετι ότι: Α µι συάρτηση είι γησίως ύξουσ κι συεχής σε έ οικτό διάστηµ,, τότε το σύολο τιµώ της στο διάστηµ υτό είι το διάστηµ Α, Β, όπου Α l κι B l Α, όµως, η είι γησίως φθίουσ κι συεχής στο,, τότε το σύολο τιµώ της στο διάστηµ υτό είι το διάστηµ B,A φροτιστήριο μέσης εκπίδευσης Περδικούρης Πγιώτης 3

24 Μθημτικά Γ Λυκείου ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Η έοι της πργώγου Ορισµός Έστω µι συάρτηση κι, έ σηµείο της C Α υπάρχει το εφπτοµέη της C στο σηµείο της Α, τη ευθεί ε που διέρχετι πό το Α κι έχει συτελεστή διεύθυσης λ A l κι είι ές πργµτικός ριθµός λ, τότε ορίζουµε ως Εποµέως, η εξίσωση της εφπτοµέης στο σηµείο, είι Ορισµός λ, όπου A λ l Μι συάρτηση λέµε ότι είι πργωγίσιµη σ έ σηµείο του πεδίου ορισµού της, υπάρχει το l κι είι πργµτικός ριθµός Το όριο υτό οοµάζετι πράγωγος της στο κι συµολίζετι µε ηλδή: l Α, τώρ, στη ισότητ l θέσουµε h, τότε έχουµε h l h h Πολλές φορές το h συµολίζετι µε, εώ το h συµολίζετι µε, οπότε ο πρπάω τύπος γράφετι: l Η τελευτί ισότητ οδήγησε το Leibniz συµολίσει τη πράγωγο στο µε d d Ο συµολισµός είι µετγεέστερος κι οφείλετι στο Larane Α το είι εσωτερικό σηµείο εός διστήµτος του πεδίου ορισµού της, τότε: Η είι πργωγίσιµη στο, κι µόο υπάρχου στο τ όρι d ή d l, φροτιστήριο μέσης εκπίδευσης l Περδικούρης Πγιώτης 4

25 Μθημτικά Γ Λυκείου κι είι ίσ Σχόλι Σύµφω µε το πρπάω ορισµό: Η στιγµιί τχύτητ εός κιητού, τη χροική στιγµή t, είι η πράγωγος της συάρτησης θέσης St τη χροική στιγµή t ηλδή, είι υ t S t Ο συτελεστής διεύθυσης της εφπτοµέης ε της C µις πργωγίσιµης συάρτησης, στο σηµείο A, είι η πράγωγος της στο ηλδή, είι λ εφω, οπότε η εξίσωση της ε φ π τ ο µ έ η ς ε είι: Τη κλίση της εφπτοµέης ε στο, θ τη λέµε κι κλίση της C στο Α ή κλίση της στο A Πράγωγος κι συέχει Έστω η συάρτηση Η είι συεχής στο, λλά δε είι πργωγίσιµη σ υτό, φού l l, εώ l l Πρτηρούµε, δηλδή, ότι µι συάρτηση µπορεί είι συεχής σ έ σηµείο χωρίς είι πργωγίσιµη σ υτό Θεώρηµ Α µι συάρτηση είι πργωγίσιµη σ έ σηµείο, τότε είι κι συεχής στο ση- µείο υτό πόδειξη Γι έχουµε, οπότε l[ ] l l, l φροτιστήριο μέσης εκπίδευσης Περδικούρης Πγιώτης 5

26 Μθημτικά Γ Λυκείου φού η είι πργωγίσιµη στο Εποµέως, l, δηλδή η είι συεχής στο Σχόλιο Α µι συάρτηση δε είι συεχής σ έ σηµείο, τότε, σύµφω µε το προηγούµεο θεώρηµ, δε µπορεί είι πργωγίσιµη στο Πργωγίσιµες συρτήσεις Πράγωγος συάρτηση Ορισµοί Έστω µι συάρτηση µε πεδίο ορισµού έ σύολο Α Θ λέµε ότι: H είι πργωγίσιµη στο Α ή, πλά, πργωγίσιµη, ότ είι πργωγίσιµη σε κάθε σηµείο A Η είι πργωγίσιµη σε έ οικτό διάστηµ, του πεδίου ορισµού της, ότ είι πργωγίσιµη σε κάθε σηµείο, Η είι πργωγίσιµη σε έ κλειστό διάστηµ [, ] του πεδίου ορισµού της, ότ είι πργωγίσιµη στο, κι επιπλέο ισχύει l κι l Έστω µι συάρτηση µε πεδίο ορισµού Α κι A τo σύολο τω σηµείω του Α στ ο- ποί υτή είι πργωγίσιµη Ατιστοιχίζοτς κάθε A στο, ορίζουµε τη συάρτηση : A R, η οποί οοµάζετι πρώτη πράγωγος της ή πλά πράγωγος της d H πρώτη πράγωγος της συµολίζετι κι µε d που διάζετι τε εφ προς τε χι Γι πρκτικούς λόγους τη πράγωγο συάρτηση θ τη συµολίζουµε κι µε Α υποθέσουµε ότι το Α είι διάστηµ ή έωση διστηµάτω, τότε η πράγωγος της, υ- πάρχει, λέγετι δεύτερη πράγωγος της κι συµολίζετι µε Επγωγικά ορίζετι η ιοστή πράγωγος της, µε 3, κι συµολίζετι µε [ ], 3 ηλδή Πράγωγος µερικώ σικώ συρτήσεω Έστω η στθερή συάρτηση κι ισχύει, δηλδή c, c Η συάρτηση είι πργωγίσιµη στο c φροτιστήριο μέσης εκπίδευσης Περδικούρης Πγιώτης 6

27 Μθημτικά Γ Λυκείου φροτιστήριο μέσης εκπίδευσης Περδικούρης Πγιώτης 7 Πράγµτι, είι έ σηµείο του, τότε γι ισχύει: c c εποµέως, l, δηλδή c Έστω η συάρτηση Η συάρτηση είι πργωγίσιµη στο κι ισχύει, δηλδή πράγµτι, είι έ σηµείο του, τότε γι ισχύει: εποµέως, l l, δηλδή Έστω η συάρτηση, } Õ{, Η συάρτηση είι πργωγίσιµη στο κι ισχύει, δηλδή πράγµτι, είι έ σηµείο του, τότε γι ισχύει:, οπότε l l, δηλδή Έστω η συάρτηση Η συάρτηση είι πργωγίσιµη στο, κι ι- σχύει, δηλδή πράγµτι, είι έ σηµείο του,, τότε γι ισχύει :

28 Μθημτικά Γ Λυκείου οπότε l l, δηλδή, Όπως είδµε στη πράγρφο 3 η δε είι πργωγίσιµη στο Έστω συάρτηση ηµ Η συάρτηση είι πργωγίσιµη στο κι ισχύει συ, δηλδή ηµ συ πράγµτι, γι κάθε κι h ισχύει h ηµ h ηµ ηµ συh συ ηµ h ηµ h h h συh ηµ h ηµ συ h h επειδή ηµ h συh l κι l, h h h h έχουµε h l ηµ συ συ h h ηλδή, ηµ συ Έστω η συάρτηση συ Η συάρτηση είι πργωγίσιµη στο κι ισχύει ηµ, δηλδή συ ηµ πράγµτι, γι κάθε κι h ισχύει: h συ h συ συ συh ηµ ηµ h συ h h h συh ηµ h συ ηµ, h h οπότε h συh ηµ h l l συ l ηµ συ ηµ ηµ h h h h h h δηλδή, συ ηµ φροτιστήριο μέσης εκπίδευσης Περδικούρης Πγιώτης 8

29 Μθημτικά Γ Λυκείου Σχόλιο ηµ συ Τ όρι l, l, τ οποί χρησιµοποιήσµε γι υπολογίσουµε τη πράγωγο τω συρτήσεω ηµ, συ είι η πράγωγος στο τω συρτήσεω, τιστοίχως, φού ηµ ηµ ηµ l l συ συ συ l l Έστω η συάρτηση e Αποδεικύετι ότι η είι πργωγίσιµη στο κι ι- σχύει e, δηλδή e e Έστω η συάρτηση ln Αποδεικύετι ότι η είι πργωγίσιµη στο, κι ισχύει, δηλδή l n 3 Κόες Πργώγισης πράγωγος θροίσµτος Θεώρηµ Α οι συρτήσεις, είι πργωγίσιµες στο, τότε η συάρτηση είι πργωγίσιµη στο κι ισχύει : πόδειξη Γι, ισχύει: Επειδή οι συρτήσεις, είι πργωγίσιµες στο, έχουµε: l l l, δηλδή φροτιστήριο μέσης εκπίδευσης Περδικούρης Πγιώτης 9

30 Μθημτικά Γ Λυκείου φροτιστήριο μέσης εκπίδευσης Περδικούρης Πγιώτης 3 Α οι συρτήσεις, είι πργωγίσιµες σ έ διάστηµ, τότε γι κάθε ισχύει: Το πρπάω θεώρηµ ισχύει κι γι περισσότερες πό δύο συρτήσεις Πράγωγος γιοµέου Θεώρηµ Α οι συρτήσεις, είι πργωγίσιµες στο, τότε κι η συάρτηση είι πργωγίσιµη στο κι ισχύει: πόδειξη Γι ισχύει: Επειδή οι, είι πργωγίσιµες, άρ κι συεχείς στο, έχουµε: l l l l, δηλδή Α οι συρτήσεις, είι πργωγίσιµες σ έ διάστηµ, τότε γι κάθε ισχύει: Το πρπάω θεώρηµ επεκτείετι κι γι περισσότερες πό δύο συρτήσεις Έτσι, γι τρεις πργωγίσιµες συρτήσεις ισχύει: ] [ h h h h

31 Μθημτικά Γ Λυκείου [ ] h h h h h Α είι πργωγίσιµη συάρτηση σ έ διάστηµ κι c, επειδή c, σύµφω µε το θεώρηµ έχουµε: c c Πράγωγος πηλίκου Θεώρηµ Α οι συρτήσεις, είι πργωγίσιµες στο κι, τότε κι η συάρτηση είι πργωγίσιµη στο κι ισχύει: [ ] Η πόδειξη πρλείπετι Α οι συρτήσεις, τότε γι κάθε έχουµε:, είι πργωγίσιµες σ έ διάστηµ κι γι κάθε ισχύει [ ] Χρησιµοποιώτς τις προηγούµεες προτάσεις µπορούµε τώρ ρούµε τις πργώγους µερικώ κόµη σικώ συρτήσεω Έστω η συάρτηση κι ισχύει Πράγµτι, γι κάθε *, Õ, δηλδή * έχουµε : Η συάρτηση είι πργωγίσιµη στο {} φροτιστήριο μέσης εκπίδευσης Περδικούρης Πγιώτης 3

32 Μθημτικά Γ Λυκείου Είδµε, όµως, πιο πρι ότι κ Ÿ {,}, τότε, γι κάθε φυσικό > Εποµέως, κ κ κ Έστω η συάρτήση εφ Η συάρτηση είι πργωγίσιµη στο { συ } κι ισχύει, δηλδή συ εφ συ Πράγµτι, γι κάθε { συ } έχουµε: ηµ εφ συ ηµ συ ηµ συ συσυ ηµ ηµ συ συ συ ηµ συ συ Έστω η συάρτηση σφ Η συάρτηση είι πργωγίσιµη στο { ηµ } κι ισχύει, δηλδή ηµ σφ ηµ Πράγωγος σύθετης συάρτησης Θεώρηµ Α η συάρτηση είι πργωγίσιµη στο κι η είι πργωγίσιµη στο, τότε η συάρτηση είι πργωγίσιµη στο κι ισχύει Γεικά, µι συάρτηση είι πργωγίσιµη σε έ διάστηµ κι η είι πργωγίσιµη στο, τότε η συάρτηση είι πργωγίσιµη στο κι ισχύει ηλδή, u, τότε u u u Με το συµολισµό του Leibniz, u κι u, έχουµε το τύπο d d που είι γωστός ως κός της λυσίδς d du du d φροτιστήριο μέσης εκπίδευσης Περδικούρης Πγιώτης 3

33 Μθημτικά Γ Λυκείου Η συάρτηση, Ÿ είι πργωγίσιµη στο, κι ισχύει, δηλδή Πράγµτι, Αποδεικύετι ότι, γι ln u e κι θέσουµε u ln, τότε έχουµε e Εποµέως, u u ln e e u e > η είι πργωγίσιµη κι στο σηµείο ίση µε, εποµέως δίετι πό το ίδιο τύπο κι η πράγωγός της είι είι πργωγίσιµη στο κι ισχύει ln, δη- Η συάρτηση λδή, > ln Πράγµτι, l n e κι θέσουµε u ln, τότε έχουµε u e Εποµέως, u u ln e e u e ln ln Η συάρτηση ln, * είι πργωγίσιµη στο * κι ισχύει l n Πράγµτι >, τότε l n ln, εώ <, τότε l n ln, οπότε, θέσουµε l n κι u, έχουµε lnu Εποµέως, κι άρ l n l nu u u Ακεφλιώοτς, η συάρτηση u είι πργωγίσιµη, τότε έχουµε: u u u εφu u συ u u u σφu u u ηµ u ηµ u συu u u e e u u φροτιστήριο μέσης εκπίδευσης Περδικούρης Πγιώτης 33

34 Μθημτικά Γ Λυκείου συu ηµ u u u ln u l n u u u u 4 Ρυθµός Μετολής Στη ρχή του κεφλίου υτού, ορίσµε τη στιγµιί τχύτητ εός κιητού τη χροική S t S t στιγµή t ως το όριο l S t tt t t Το όριο υτό το λέµε κι ρυθµό µετολής της τετµηµέης S του κιητού ως προς το χρόο t τη χροική στιγµή t Γεικά, Ορισµός Α δύο µετλητά µεγέθη, συδέοτι µε τη σχέση, ότ είι µι συάρτηση πργωγίσιµη στο, τότε οοµάζουµε ρυθµό µετολής του ως προς το στο σηµείο τη πράγωγο Γι πράδειγµ, ο ρυθµός µετολής της τχύτητς υ ως προς το χρόο t τη χροική στιγµή t είι η πράγωγος υ t, της τχύτητς υ ως προς το χρόο t τη χροική στιγµή t Η πράγωγος υ t λέγετι επιτάχυση του κιητού τη χροική στιγµή t κι συµολίζετι µε t Είι δηλδή t υ t S t Στη οικοοµί, το κόστος πργωγής Κ, η είσπρξη Ε κι το κέρδος Ρ εκφράζοτι συρτήσει της ποσότητς του πργόµεου προϊότος Έτσι, η πράγωγος Κ πριστάει το ρυθµό µετολής του κόστους Κ ως προς τη ποσότητ, ότ κι λέγετι ορικό κόστος στο Αάλογ, ορίζοτι κι οι έοιες ορική είσπρξη στο κι ορικό κέρδος στο 5 Tο Θεώρηµ Μέσης Τιµής Θεώρηµ Rolle Α µι συάρτηση είι: συεχής στο κλειστό διάστηµ [, ] πργωγίσιµη στο οικτό διάστηµ, κι τότε υπάρχει έ, τουλάχιστο, ξ, τέτοιο, ώστε: ξ φροτιστήριο μέσης εκπίδευσης Περδικούρης Πγιώτης 34

35 Μθημτικά Γ Λυκείου Γεωµετρικά, υτό σηµίει ότι υπάρχει έ, τουλάχιστο, ξ, τέτοιο, ώστε η εφπτοµέη της C στο M ξ, ξ είι πράλληλη στο άξο τω Μξ,ξ Α, 8 Β, Θεώρηµ Μέσης Τιµής ΘΜΤ ξ ξ Α µι συάρτηση είι: συεχής στο κλειστό διάστηµ [, ] κι πργωγίσιµη στο οικτό διάστηµ, τότε υπάρχει έ, τουλάχιστο, ξ, τέτοιο, ώστε: ξ Γεωµετρικά, υτό σηµίει ότι υπάρχει έ, τουλάχιστο, ξ, τέτοιο, ώστε η εφπτοµέη της γρφικής πράστσης της στο σηµείο Mξ, ξ είι πράλληλη της ευθείς ΑΒ Ο Β, Mξ,ξ Aa,a a ξ ξ 6 Συέπειες του θεωρήµτος Μέσης Τιµής Θεώρηµ Έστω µι συάρτηση ορισµέη σε έ διάστηµ Α η είι συεχής στο κι γι κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σηµείο του, τότε η είι στθερή σε όλο το διάστηµ πόδειξη Αρκεί ποδείξουµε ότι γι οποιδήποτε Α, τότε προφώς, ισχύει Πράγµτι Α <, τότε στο διάστηµ [, ] η ικοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήµτος µέσης τιµής Εποµέως, υπάρχει, τέτοιο, ώστε ξ ξ φροτιστήριο μέσης εκπίδευσης Περδικούρης Πγιώτης 35

36 Μθημτικά Γ Λυκείου Επειδή το ξ είι εσωτερικό σηµείο του, ισχύει ξ,οπότε, λόγω της, είι Α <, τότε οµοίως ποδεικύετι ότι Σε όλες, λοιπό, τις περιπτώσεις είι Πόρισµ Έστω δυο συρτήσεις οι, είι συεχείς στο κι, ορισµέες σε έ διάστηµ Α γι κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σηµείο του, τότε υπάρχει στθερά c τέτοι, ώστε γι κάθε ισχύει: c Απόδειξη Η συάρτηση είι συεχής στο κι γι κάθε εσωτερικό σηµείο ισχύει Εποµέως, σύµφω µε το πρπάω θεώρηµ, η συάρτηση είι στθερή στο Άρ, υπάρχει στθερά C τέτοι, ώστε γι κάθε ισχύει c, οπότε c c ΣΧΟΛΙΟ Το πρπάω θεώρηµ κθώς κι το πόρισµά του ισχύου σε διάστηµ κι όχι σε έωση διστηµάτω Μοοτοί συάρτησης Θεώρηµ Έστω µι συάρτηση, η οποί είι σ υ ε χ ή ς σε έ διάστηµ Α > σε κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σηµείο του, τότε η είι γησίως ύξουσ σε όλο το Α < σε κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σηµείο του, τότε η είι γησίως φθίουσ σε όλο το Απόδειξη Αποδεικύουµε το θεώρηµ στη περίπτωση που είι > Έστω, µε < Θ δείξουµε ότι < πράγµτι, στο διάστηµ, ] η ικοποιεί τις προϋποθέσεις του ΘΜΤ Εποµέως, [ υπάρχει, τέτοιο, ώστε ξ ξ, οπότε έχουµε φροτιστήριο μέσης εκπίδευσης Περδικούρης Πγιώτης 36

37 Μθημτικά Γ Λυκείου ξ Επειδή ξ > κι, έχουµε, οπότε < > > Στη περίπτωση που είι < εργζόµστε λόγως Σχόλιο Το τίστροφο του πρπάω θεωρήµτος δε ισχύει ηλδή, η είι γησίως ύξουσ τιστοίχως γησίως φθίουσ στο, η πράγωγός της δε είι υποχρεωτικά θετική τιστοίχως ρητική στο εσωτερικό του 7 TΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισµός Μι συάρτηση, µε πεδίο ορισµού Α, θ λέµε ότι προυσιάζει στο στο, ότ υπάρχει δ>, τέτοιο ώστε γι κάθε δ, δ A A τοπικό µέγι- Το λέγετι θέση ή σηµείο τοπικού µεγίστου, εώ το τοπικό µέγιστο της A η ισότητ ισχύει γι κάθε A, τότε, όπως είδµε στη πράγρφο 3, η προυσιάζει στο A ολικό µέγιστο ή πλά µέγιστο, το Ορισµός Μί συάρτηση, µε πεδίο ορισµού Α, θ λέµε ότι προυσιάζει στο χιστο, ότ υπάρχει δ>, τέτοιο ώστε, γι κάθε δ, δ A A τοπικό ελά- Το λέγετι θέση ή σηµείο τοπικού ελχίστου, εώ το τοπικό ελάχιστο της Α η ισότητ ισχύει γι κάθε A, τότε, όπως είδµε στη πράγρφο 3, η προυσιάζει στο A ολικό ελάχιστο ή πλά ελάχιστο, το Τ τοπικά µέγιστ κι τοπικά ελάχιστ της λέγοτι τοπικά κρόττ υτής, εώ τ ση- µεί στ οποί η προυσιάζει τοπικά κρόττ λέγοτι θέσεις τοπικώ κροτάτω Το µέγιστο κι το ελάχιστο της λέγοτι ολικά κρόττ ή πλά κρόττ υτής Σχόλι i Έ τοπικό µέγιστο µπορεί είι µικρότερο πό έ τοπικό ελάχιστο Σχ3 φροτιστήριο μέσης εκπίδευσης Περδικούρης Πγιώτης 37

38 Μθημτικά Γ Λυκείου a ma min a 3 4 ii Α µι συάρτηση προυσιάζει µέγιστο, τότε υτό θ είι το µεγλύτερο πό τ τοπικά µέγιστ, εώ προυσιάζει, ελάχιστο, τότε υτό θ είι το µικρότερο πό τ τοπικά ελάχιστ Σχ 3 Το µεγλύτερο όµως πό τ τοπικά µέγιστ µίς συάρτησης δε είι πάτοτε µέγιστο υτής Επίσης το µικρότερο πό τ τοπικά ελάχιστ µίς συάρτησης δε είι πάτοτε ελάχιστο της συάρτησης Σχ 3 Προσδιορισµός τω τοπικώ κροτάτω Α σ έ εσωτερικό σηµείο εός διστήµτος του πεδίου ορισµού της η προυσιάζει τοπικό κρόττο κι επιπλέο είι πργωγίσιµη στο σηµείο υτό, τότε στο σηµείο, η εφπτοµέη της γρφικής πράστσης της είι οριζότι, δηλδή ισχύει A Αυτό επιειώετι πό το πρκάτω θεώρηµ, που είι γωστό ως Θεώρη- µ του Fermat ΘΕΩΡΗΜΑ Fermat Έστω µι συάρτηση ορισµέη σ έ διάστηµ κι έ εσωτερικό σηµείο του Α η προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είι πργωγίσιµη στο σηµείο υτό, τότε: Απόδειξη Ας υποθέσουµε ότι η προυσιάζει στο τοπικό µέγιστο Επειδή το είι εσωτερικό σηµείο του κι η προυσιάζει σ υτό τοπικό µέγιστο, υπάρχει δ> τέτοιο, ώστε δ, δ κι, γι κάθε δ, δ 33 δ δ Επειδή, επιπλέο, η είι πργωγίσιµη στο, ισχύει Εποµέως, l l φροτιστήριο μέσης εκπίδευσης Περδικούρης Πγιώτης 38

39 Μθημτικά Γ Λυκείου δ,, τότε, λόγω της, θ είι, οπότε θ έχουµε l, δ, τότε, λόγω της, θ είι, οπότε θ έχουµε l 3 Έτσι, πό τις κι 3 έχουµε Η πόδειξη γι τοπικό ελάχιστο είι άλογη Σχόλι Σύµφω µε το προηγούµεο θεώρηµ, τ εσωτερικά σηµεί του, στ οποί η είι διφορετική πό το µηδέ, δε είι θέσεις τοπικώ κροτάτω Εποµέως, όπως φίετι κι στ σχήµτ 9 κι 3, οι π ι θ έ ς θ έ σ ε ι ς τ ω τ ο π ι κ ώ κ ρ ο τ ά τ ω µις συάρτησης σ έ διάστηµ είι: Τ εσωτερικά σηµεί του στ οποί η πράγωγος της µηδείζετι Τ εσωτερικά σηµεί του στ οποί η δε πργωγίζετι 3 Τ άκρ του ήκου στο πεδίο ορισµού της Τ ε σ ω τ ε ρ ι κ ά σηµεί του στ οποί η δε πργωγίζετι ή η πράγωγός της είι ίση µε το µηδέ, λέγοτι κρίσιµ σηµεί της στο διάστηµ Θεώρηµ Έστω µι συάρτηση πργωγίσιµη σ έ διάστηµ,, µε εξίρεση ίσως έ ση- µείο του, στο οποίο όµως η είι συεχής i Α > στο, κι < στο,, τότε το είι τοπικό µέγιστο της Σχ 35 ii Α < στο, κι > στο,, τότε το είι τοπικό ελάχιστο της Σχ 35 iii A η διτηρεί πρόσηµο στο,,, τότε το δε είι τοπικό κρόττο κι η είι γησίως µοότοη στο,, Σχ 35γ φροτιστήριο μέσης εκπίδευσης Περδικούρης Πγιώτης 39

40 Μθημτικά Γ Λυκείου Απόδειξη i Επειδή > γι κάθε, κι η είι συεχής στο, η είι γησίως ύξουσ στο, ] Έτσι έχουµε, γι κάθε, ] Επειδή < γι κάθε, κι η είι συεχής στο, η είι γησίως φθίουσ στο [, Έτσι έχουµε:, γι κάθε [, > < > < 35a a a Εποµέως, λόγω τω κι, ισχύει:, γι κάθε,, που σηµίει ότι το είι µέγιστο της στο, κι άρ τοπικό µέγιστο υτής ii Εργζόµστε λόγως 35 < > < > a a iii Έστω ότι >, γι κάθε,, > > 35γ > > a a Επειδή η είι συεχής στο θ είι γησίως ύξουσ σε κάθε έ πό τ διστήµτ, ] κι [, Εποµέως, γι < < ισχύει < < Άρ το φροτιστήριο μέσης εκπίδευσης Περδικούρης Πγιώτης 4

41 Μθημτικά Γ Λυκείου δε είι τοπικό κρόττο της Θ δείξουµε, τώρ, ότι η είι γησίως ύξουσ στο, Πράγµτι, έστω,, µε < Α, ], επειδή η είι γησίως ύξουσ στο, ], θ ισχύει, < Α [,, επειδή η είι γησίως ύξουσ στο [,, θ ισχύει, < Τέλος, < <, τότε όπως είδµε < < Εποµέως, σε όλες τις περιπτώσεις ισχύει <, οπότε η είι γησίως ύξουσ στο, Οµοίως, < γι κάθε,, Σχόλι Οπως είδµε στη πόδειξη του πρπάω θεωρήµτος στη πρώτη περίπτωση το είι η µέγιστη τιµή της στο,, εώ στη δεύτερη περίπτωση το είι η ελάχιστη τιµή της στο, Α µι συάρτηση είι συεχής σ έ κλειστό διάστηµ [,], όπως γωρίζουµε Θεώρηµ 8,η προυσιάζει µέγιστο κι ελάχιστο Γι τη εύρεση του µέγιστου κι ελάχιστου εργζόµστε ως εξής: Βρίσκουµε τ κρίσιµ σηµεί της Υπολογίζουµε τις τιµές της στ σηµεί υτά κι στ άκρ τω διστηµάτω 3 Από υτές τις τιµές η µεγλύτερη είι το µέγιστο κι η µικρότερη το ελάχιστο της 8 KΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Κοίλ - κυρτά συάρτησης Ορισµός Έστω µί συάρτηση σ υ ε χ ή ς σ έ διάστηµ κι π ρ γ ω γ ί σ ι µ η στο ε σ ω τ ε ρ ι κ ό του Θ λέµε ότι: Η συάρτηση στρέφει τ κοίλ προς τ άω ή είι κυρτή στο, η είι γησίως ύξουσ στο ε σ ω τ ε ρ ι κ ό του Η συάρτηση στρέφει τ κοίλ προς τ κάτω ή είι κοίλη στο, η είι γησίως φθίουσ στο ε σ ω τ ε ρ ι κ ό του φροτιστήριο μέσης εκπίδευσης Περδικούρης Πγιώτης 4

42 Μθημτικά Γ Λυκείου Εποπτικά, µί συάρτηση είι κυρτή τιστοίχως κοίλη σε έ διάστηµ, ότ έ κιητό, που κιείτι πάω στη C, γι διγράψει το τόξο που τιστοιχεί στο διάστηµ πρέπει στρφεί κτά τη θετική τιστοίχως ρητική φορά Σχ 4 4 C Σχόλιο Αποδεικύετι ότι, µι συάρτηση είι κυρτή τιστοίχως κοίλη σ έ διάστηµ, τότε η εφπτοµέη της γρφικής πράστσης της σε κάθε σηµείο του ρίσκετι κάτω τιστοίχως πάω πό τη γρφική της πράστση Σχ 39, µε εξίρεση το σηµείο επφής τους Θεώρηµ Έστω µι συάρτηση σ υ ε χ ή ς σ έ διάστηµ κι δυο φορές πργωγίσιµη στο ε σ ω τ ε ρ ι κ ό του Α > γι κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σηµείο του, τότε η είι κυρτή στο Α < γι κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σηµείο του, τότε η είι κοίλη στο Σχόλιο Το τίστροφο του θεωρήµτος δε ισχύει Γι πράδειγµ, έστω η συάρτηση 4 Επειδή η 3 4 είι γησίως ύ- 4 ξουσ στο, η είι κυρτή στο Ετούτοις, η δε είι θετική στο, φού Σηµεί κµπής Ορισµός Έστω µι συάρτηση πργωγίσιµη σ έ διάστηµ,, µε εξίρεση ίσως έ σηµείο του Α η είι κυρτή στο, κι κοίλη στο,, ή τιστρόφως, κι η C έχει εφπτοµέη στο σηµείο,, A τότε το σηµείο, οοµάζετι σηµείο κµπής της γρφικής πράστσης της A φροτιστήριο μέσης εκπίδευσης Περδικούρης Πγιώτης 4

43 Μθημτικά Γ Λυκείου Ότ το, είι σηµείο κµπής της C, τότε λέµε ότι η προυσιάζει στο A κµπή κι το λέγετι θέση σηµείου κµπής Στ σηµεί κµπής η εφπτοµέη της διπερά τη κµπύλη Αποδεικύετι, επιπλέο, ότι: Θεώρηµ Α το A, είι σηµείο κµπής της γρφικής πράστσης της κι η είι δυο φορές πργωγίσιµη, τότε Σύµφω µε το πρπάω θεώρηµ, τ εσωτερικά σηµεί εός διστήµτος στ οποί η είι διφορετική πό το µηδέ δε είι θέσεις σηµείω κµπής Εποµέως, ο ι π ι θ έ ς θ έ σ ε ι ς σ η µ ε ί ω κ µ π ή ς µις συάρτησης σ έ διάστηµ είι: i τ εσωτερικά σηµεί του στ οποί η µηδείζετι, κι ii τ εσωτερικά σηµεί του στ οποί δε υπάρχει η Γεικά: Έστω µι συάρτηση oρισµέη σ έ διάστηµ, κι, Α η λλάζει πρόσηµο εκτέρωθε του κι ορίζετι εφπτοµέη της C στο,, τότε το, είι σηµείο κµπής A A C 9 ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HSPITAL Aσύμπτωτες Ορισμός Α έ τουλάχιστο πό τ όρι l, l είι ή, τότε η ευθεί λέγετι κτκόρυφη σύµπτωτη της γρφικής πράστσης της Ορισμός Α l l τιστοίχως l l µπτωτη της γρφικής πράστσης της στο, τότε η ευθεί l λέγετι οριζότι σύ- τιστοίχως στο Ορισμός Η ευθεί λ λέγετι σύµπτωτη της γρφικής πράστσης της στο, τιστοίχως στο, τιστοίχως l [ λ ], l [ λ ] φροτιστήριο μέσης εκπίδευσης Περδικούρης Πγιώτης 43

44 Μθημτικά Γ Λυκείου Η σύµπτωτη σύµπτωτη λ είι οριζότι λ, εώ λ λέγετι πλάγι Γι το προσδιορισµό τω συµπτώτω µις συάρτησης ισχύει το πρκάτω θεώρηµ, του οποίου η πόδειξη πρλείπετι ΘΕΩΡΗΜΑ Η ευθεί λ είι σύµπτωτη της γρφικής πράστσης της στο, τιστοίχως στο, κι µόο τιστοίχως Σχόλι l λ κι l [ λ ], l λ κι l [ λ ] Αποδεικύετι ότι: Οι πολυωυµικές συρτήσεις θµού µεγλύτερου ή ίσου του δε έχου σύµπτωτες P Οι ρητές συρτήσεις, µε θµό του ριθµητή P µεγλύτερο τουλάχιστο Q κτά δύο του θµού του προοµστή, δε έχου πλάγιες σύµπτωτες Σύµφω µε τους πρπάω ορισµούς, σύµπτωτες της γρφικής πράστσης µις συάρτησης ζητούµε: Στ άκρ τω διστηµάτω του πεδίου ορισµού της στ οποί η δε ορίζετι Στ σηµεί του πεδίου ορισµού της, στ οποί η δε είι συεχής Στο,, εφόσο η συάρτηση είι ορισµέη σε διάστηµ της µορφής,, τιστοίχως, Κόες de L Hospital ΘΕΩΡΗΜΑ ο µορφή Α l, l, {, } κι υπάρχει το l πεπερ- σµέο ή άπειρο, τότε: l l ΘΕΩΡΗΜΑ ο µορφή φροτιστήριο μέσης εκπίδευσης Περδικούρης Πγιώτης 44

45 Μθημτικά Γ Λυκείου Α l, l, {, } κι υπάρχει το l πεπε- ρσµέο ή άπειρο, τότε : l l ΣΧΟΛΙΑ Το θεώρηµ ισχύει κι γι τις µορφές,, Τ πρπάω θεωρήµτ ισχύου κι γι πλευρικά όρι κι µπορούµε, χρειάζετι, τ εφρµόσουµε περισσότερες φορές, ρκεί πληρούτι οι προϋποθέσεις τους ΜΕΛΕΤΗ ΚΑΙ ΧΑΡΑΞΗ ΤΗΣ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΜΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ο Βρίσκουµε το πεδίο ορισµού της o Eξετάζουµε τη συέχει της στο πεδίο ορισµού της 3ο Βρίσκουµε τις πργώγους κι κι κτσκευάζουµε τους πίκες τω προσήµω τους Με τη οήθει του προσήµου της προσδιορίζουµε τ διστήµτ µοοτοίς κι τ τοπικά κρόττ της, εώ µε τη οήθει του προσήµου της κθορίζουµε τ διστήµτ στ οποί η είι κυρτή ή κοίλη κι ρίσκουµε τ σηµεί κµπής 4ο Μελετούµε τη συµπεριφορά της συάρτησης στ άκρ τω διστηµάτω του πεδίου ο- ρισµού της ορικές τιµές, σύµπτωτες, κτλ 5ο Συγκετρώουµε τ πρπάω συµπεράσµτ σ έ συοπτικό πίκ που λέγετι κι πίκς µετολώ της κι µε τη οήθειά του χράσσουµε τη γρφική πράστση της Γι κλύτερη σχεδίση της ΣΧΟΛΙΟ C κτσκευάζουµε έ πίκ τιµώ της Όπως είι γωστό, µι συάρτηση µε πεδίο ορισµού το Α είι ά ρ τ ι, τότε η C έχει άξο συµµετρίς το άξο, εώ είι π ε ρ ιτ τ ή, η C έχει κέτρο συµ- µετρίς τη ρχή τω ξόω Ο Εποµέως, γι τη µελέτη µις τέτοις συάρτησης µπορού- µε περιοριστούµε στ A, µε Α µι συάρτηση είι π ε ρ ι ο δ ι κ ή µε περίοδο Τ, τότε περιορίζουµε τη µελέτη της C σ έ διάστηµ πλάτους Τ 3 ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ φροτιστήριο μέσης εκπίδευσης Περδικούρης Πγιώτης 45

46 Μθημτικά Γ Λυκείου Αρχική συάρτηση ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω µι συάρτηση ορισµέη σε έ διάστηµ Αρχική συάρτηση ή πράγουσ της στο οοµάζετι κάθε συάρτηση F που είι πργωγίσιµη στο κι ισχύει ΘΕΩΡΗΜΑ F, γι κάθε Έστω µι συάρτηση ορισµέη σε έ διάστηµ Α F είι µι πράγουσ της στο, τότε όλες οι συρτήσεις της µορφής είι πράγουσες της στο κι G F c, c, κάθε άλλη πράγουσ G της στο πίρει τη µορφή Απόδειξη G F c, c Κάθε συάρτηση της µορφής G F c, όπου c, είι µι πράγουσ της στο, φού G F c F, γι κάθε Έστω G είι µι άλλη πράγουσ της στο Τότε γι κάθε ισχύου F κι G, οπότε G F, γι κάθε Άρ, σύµφω µε το πόρισµ της 6, υπάρχει στθερά c τέτοι, ώστε G F c, γι κάθε Αόριστο ολοκλήρωµ Το σύολο όλω τω πργουσώ µις συάρτησης σ έ διάστηµ οοµάζετι όριστο ολοκλήρωµ της στο, συµολίζετι d κι διάζετι ολοκλήρωµ εφ του τε ηλδή, d F c, c, όπου F µι πράγουσ της στο Γι κάθε συάρτηση, πργωγίσιµη σε έ διάστηµ, ισχύει d c, c φροτιστήριο μέσης εκπίδευσης Περδικούρης Πγιώτης 46

47 Μθημτικά Γ Λυκείου Η διδικσί εύρεσης του όριστου ολοκληρώµτος είι τίστροφη πορεί της πργώγισης κι λέγετι ολοκλήρωση Η στθερά c λέγετι στθερά ολοκλήρωσης Οι τύποι του πίκ υτού ισχύου σε κάθε διάστηµ στο οποίο οι πρστάσεις του που εµφίζοτι έχου όηµ ΠΙΝΑΚΑΣ ΑΟΡΙΣΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΩΝ d c 6 d ηµ συ c d c 7 d εφ c συ 3 d l n c 8 d σφ c ηµ 4 d c 5 συd, 9 e d ηµ c d e c c ln Συέπει του ορισµού του όριστου ολοκληρώµτος κι τω κόω πργώγισης είι οι εξής δύο ιδιότητες: Α οι συρτήσεις κι έχου πράγουσ σ έ διάστηµ, τότε d λ λ d, * λ d d d 34 ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Aποδεικύετι ότι, Το όριο του θροίσµτος S, δηλδή το l ξ κ υπάρχει στο κι είι κ εξάρτητο πό τη επιλογή τω εδιάµεσω σηµείω ξ κ Το πρπάω όριο οοµάζετι ορισµέο ολοκλήρωµ της συεχούς συάρτησης πό το στο, συµολίζετι µε d κι διάζετι ολοκλήρωµ της πό το στο ηλδή, φροτιστήριο μέσης εκπίδευσης Περδικούρης Πγιώτης 47

48 Μθημτικά Γ Λυκείου d l ξκ Το σύµολο οφείλετι στο Leibniz κι οοµάζετι σύµολο ολοκλήρωσης Αυτό είι επιµήκυση του ρχικού γράµµτος S της λέξης Summa άθροισµ Οι ριθµοί κι οο- µάζοτι όρι της ολοκλήρωσης Η έοι όρι εδώ δε έχει τη ίδι έοι του ορίου του ου κεφλίου Στη έκφρση d το γράµµ είι µι µετλητή κι µπορεί - τικτστθεί µε οποιοδήποτε άλλο γράµµ Οι εκφράσεις d, t dt συµολίζου το ίδιο ορισµέο ολοκλήρωµ κι είι πργµτικός ριθµός, σε τίθεση µε το d που είι έ σύολο συρτήσεω κ d d d Από τους ορισµούς του εµδού κι του ορισµέου ολοκληρώµτος προκύπτει ότι: Α γι κάθε [, ], τότε το ολοκλήρωµ d δίει το εµδό E Ω του χωρίου Ω που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της το άξο κι τις ευθείες κι Σχ ηλδή, Εποµέως, d EΩ Ω Α, τότε d Ιδιότητες του ορισμέου ολοκληρώμτος ΘΕΩΡΗΜΑ ο Έστω κι γεικά, σ υ ε χ ε ί ς συρτήσεις στο [, ] κι λ d λ d [ ] d d d [ λ µ ] d λ d µ d λ, µ Τότε ισχύου φροτιστήριο μέσης εκπίδευσης Περδικούρης Πγιώτης 48

49 Μθημτικά Γ Λυκείου ΘΕΩΡΗΜΑ ο Α η είι σ υ ε χ ή ς σε διάστηµ κι d d γ,, γ, τότε ισχύει d γ ΘΕΩΡΗΜΑ 3ο Έστω µι σ υ ε χ ή ς συάρτηση σε έ διάστηµ [,] Α γι κάθε [,] κι η συάρτηση δε είι πτού µηδέ στο διάστηµ υτό, τότε d > 35 H ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ F ΘΕΩΡΗΜΑ t dt Α είι µι συεχής συάρτηση σε έ διάστηµ κι είι έ σηµείο του, τότε η συάρτηση F t dt,, είι µι πράγουσ της στο ηλδή ισχύει: t dt, γι κάθε a ΣΧΟΛΙA Εποπτικά το συµπέρσµ του πρπάω θεωρή- µτος προκύπτει Σχ 4 ως εξής: h F h F t dt Εµδό του χωρίου Ω h, γι µικρά h > F 4 Άρ, γι µικρά h > είι οπότε F h F h, F h F F l h h Από το πρπάω θεώρηµ κι το θεώρηµ πργώγισης σύθετης συάρτησης προκύπτει ότι: φροτιστήριο μέσης εκπίδευσης Περδικούρης Πγιώτης 49

50 t dt, µε τη προϋπόθεση ότι τ χρησιµοποιούµε σύµολ έχου όηµ Μθημτικά Γ Λυκείου ΘΕΩΡΗΜΑ Θεμελιώδες θεώρημ του ολοκληρωτικού λογισμού Έστω µι συεχής συάρτηση σ έ διάστηµ [,] Α G είι µι πράγουσ της στο [,], τότε ΑΠΟΔΕΙΞΗ t dt G G Σύµφω µε το προηγούµεο θεώρηµ, η συάρτηση F t dt είι µι πράγουσ της στο [,] Επειδή κι η G είι µι πράγουσ της στο [,], θ υπάρχει c τέτοιο, ώστε Από τη, γι Εποµέως, οπότε, γι G F c, έχουµε G F c t dt c c, οπότε c G, έχουµε G F G, κι άρ G F G t dt G t dt G G Πολλές φορές, γι πλοποιήσουµε τις εκφράσεις µς, συµολίζουµε τη διφορά G G µε [ G ], οπότε η ισότητ του πρπάω θεωρήµτος γράφετι [ ] d [ G ] d Μέθοδοι ολοκλήρωσης Ο τύπος της ολοκλήρωσης κτά πράγοτες γι το ορισµέο ολοκλήρωµ µορφή όπου d [ ] d,, είι συεχείς συρτήσεις στο [,] Ο τύπος ολοκλήρωσης µε λλγή µετλητής γι το ορισµέο ολοκλήρωµ φροτιστήριο μέσης εκπίδευσης Περδικούρης Πγιώτης 5

51 Μθημτικά Γ Λυκείου u d u du, όπου, είι συεχείς συρτήσεις, u, du d κι u, u u 37 EΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ Α µι συάρτηση είι συεχής σε έ διάστηµ [,] κι γι κάθε [,], τότε το εµδό του χωρίου Ω που ορίζετι πό τη γρφική πράστση της, τις ευθείες, κι το άξο είι E Ω d Ω Έστω, τώρ, δυο συρτήσεις κι, συεχείς στο διάστηµ [,] µε γι κάθε [,] κι Ω το χωρίο που περικλείετι πό τις γρφικές πρστάσεις τω, κι τις ευθείες κι 8 Ω Ω Ω γ Πρτηρούµε ότι Εποµέως, d d d Ε Ω Ε Ω Ε Ω E Ω d Ο τύπος ρέθηκε µε τη προϋπόθεση ότι: i γι κάθε [,] κι ii οι, είι µη ρητικές στο [,] Θ ποδείξουµε, τώρ, ότι ο τύπος ισχύει κι χωρίς τη υπόθεση ii Πράγµτι, επειδή οι συρτήσεις, είι συεχείς στο [,], θ υπάρχει ριθµός c φροτιστήριο μέσης εκπίδευσης Περδικούρης Πγιώτης 5

52 Μθημτικά Γ Λυκείου τέτοιος ώστε c c, γι κάθε [,] Είι φερό ότι το χωρίο Ω Σχ έχει το ίδιο εµδό µε το χωρίο Ω Σχ c Ω Ω Εποµέως, σύµφω µε το τύπο, έχουµε: c Άρ, [ c c] d Ε Ω Ε Ω d E Ω d Με τη οήθει του προηγούµεου τύπου µπορούµε υπολογίσουµε το εµδό του χωρίου Ω που περικλείετι πό το άξο, τη γρφική πράστση µις συάρτησης, µε γι κάθε [,] κι τις ευθείες κι Πράγµτι, επειδή ο άξος είι η γρφική πράστση της συάρτησης, έχουµε E Ω d [ ] d d Εποµέως, γι µι συάρτηση ισχύει γι κάθε [,], τότε E Ω d Ω Ότ η διφορά δε διτηρεί στθερό πρόσηµο στο [,], όπως στο Σχήµ 3, τότε το εµδό του χωρίου Ω που περικλείετι πό τις γρφικές πρστάσεις τω, κι τις ευθείες κι είι ίσο µε το άθροισµ τω εµδώ τω χωρίω Ω,Ω κι Ω 3 ηλδή, Ω γ 3 Ω 3 Ω δ Ε Ω Ε Ω Ε Ω Ε Ω 3 γ d d d δ γ δ φροτιστήριο μέσης εκπίδευσης Περδικούρης Πγιώτης 5

53 Μθημτικά Γ Λυκείου Εποµέως, d d γ δ γ δ d d E Ω d ΣΧΟΛΙΟ Σύµφω µε τ πρπάω το d είι ίσο µε το άθροισµ τω εµδώ τω χωρίω που ρίσκοτι πάω πό το άξο µείο το ά- θροισµ τω εµδώ τω χωρίω που ρίσκοτι κάτω πό το άξο Ο a 5 φροτιστήριο μέσης εκπίδευσης Περδικούρης Πγιώτης 53