Σχεδίαση Ηλεκτρονικών Κυκλωμάτων RF

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Σχεδίαση Ηλεκτρονικών Κυκλωμάτων RF Ενότητα: Ανάδραση και Κριτήρια Ταλάντωσης Στυλιανός Μυτιληναίος Τμήμα Ηλεκτρονικής, Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Αθηνών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 2

1. Περίγραμμα Μαθήματος... 4 2. Ύλη του Μαθήματος... 5 3. Η Ανάδραση Γενικά... 6 3.1 Τυπική τοπολογία αρνητικής ανάδρασης:... 6 3.1.1 Άσκηση 8.1... 7 3.2 Ιδιότητες αρνητικής ανάδρασης.... 8 3.2.1 Απευαισθητοποίηση κέρδους... 8 3.2.2 Επέκταση εύρους ζώνης... 9 3.2.3 Άσκηση 8.2.... 9 4. Ζητήματα Ευστάθειας... 11 4.1 Παράδειγμα:... 12 4.2 Μηχανισμός:... 13 4.3 Ευστάθεια και πόλοι κέρδους κλειστού βρόχου... 13 4.4 Διαγράμματα Nyquist και ευστάθεια... 15 4.5 Οι 3 τρόποι με τους οποίους κρίνουμε την ευστάθεια ενός κυκλώματος... 16 4.6 Άσκηση 8.10.... 17 4.7 Επίδραση της ανάδρασης στους πόλους ενός ενισχυτή... 18 4.7.1 Ενισχυτής με απόκριση ενός πόλου... 18 4.7.2 Άσκηση 8.11.... 19 5. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 1... 20 6. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 2... 21 3

1. Περίγραμμα Μαθήματος Το μάθημα «Σχεδίαση Ηλεκτρονικών Κυκλωμάτων RF» περιλαμβάνει τις βασικές αρχές της αρνητικής και θετικής ανάδρασης, τα κριτήρια ταλάντωσης και ορισμένους βασικούς τύπους ταλαντωτών. Μεταξύ άλλων εξετάζονται ταλαντωτές με κυκλώματα RC, με πηνίο και πυκνωτή (Colpitts/Hartley), με κρύσταλλο, με χρήση πολυδονητών, αλλά και ταλαντωτές με το κύκλωμα 555. Τέλος, παρατίθενται ακροθιγώς ορισμένες βασικές αρχές των τηλεπικοινωνιακών συστημάτων και των ηλεκτρονικών φίλτρων. Το μάθημα χωρίζεται σε 4 Ενότητες διαλέξεων, στο πέρας της καθεμίας ο κάθε φοιτητής θα πρέπει να είναι σε θέση να: Ενότητα 1: Απαριθμεί τους μηχανισμούς ανάδρασης, σχεδιάζει κυκλώματα αρνητικής και θετικής ανάδρασης. Ενότητα 2: Σχεδιάζει ταλαντωτές RF με κυκλώματα RC, LC και κρυστάλλους, καθώς και κυκλώματα πολυδονητών και ταλαντωτές με το κύκλωμα 555. Ενότητα 3: Αναγνωρίζει και να απαριθμεί τα επιμέρους κυκλώματα ενός πομποδέκτη και να αναλύει την λειτουργικότητα ενός εκάστου εξ αυτών. Ενότητα 4: Σχεδιάζει παθητικά και ενεργά φίλτρα 1 ης και 2 ης τάξης (βαθυπερατά, υψιπερατά, ζωνοπερατά, ζωνοφρακτικά και ολοπερατά). Όπως είναι φανερό, με το πέρας του μαθήματος ο φοιτητής θα πρέπει να είναι σε θέση να αναλύει και να σχεδιάζει κυκλώματα ταλαντωτών, να αναγνωρίζει την λειτουργικότητα των κυκλωμάτων ενός πομποδέκτη και να σχεδιάζει παθητικά και ενεργά φίλτρα 1 ης και 2 ης τάξης. 4

2. Ύλη του Μαθήματος Η ύλη του μαθήματος περιλαμβάνει τις εξής ενότητες: - Αρνητική και θετική ανάδραση - Κριτήρια ταλάντωσης (πόλοι συνάρτησης μεταφοράς, κριτήριο Nyquist, κριτήριο Barkhausen) - Αρχές αρμονικών ταλαντωτών, RC, LC και κρυσταλλικοί ταλαντωτές. Ταλαντωτές ελεγχόμενοι από τάση. - Πολυδονητές και γεννήτριες κυματομορφών - Το Κύκλωμα 555 - Συντονισμένοι ενισχυτές και ενισχυτές Stagger - Κυκλώματα πομποδεκτών - Διαμορφωτές και αποδιαμορφωτές, μείκτες - Ενισχυτές χαμηλού θορύβου και ενισχυτές ισχύος - Αναλογικοψηφιακοί και ψηφιοαναλογικοί μετατροπείς - Παθητικά και ενεργά φίλτρα 1 ης και 2 ης τάξης. Η ύλη αυτή αντιστοιχεί σε επιμέρους κεφάλαια των διδακτικών εγχειρίδιων που διανέμονται στους φοιτητές, ενώ τμήμα της ύλης καλύπτεται από τις πρόχειρες σημειώσεις που είναι διαθέσιμες στην σελίδα του μαθήματος. 5

3. Η Ανάδραση Γενικά Υπάρχουν δύο βασικά είδη ανάδρασης: η αρνητική ανάδραση και η θετική ανάδραση. Η αρνητική ανάδραση χρησιμοποιείται κυρίως για την σχεδίαση ευσταθών κυκλωμάτων, ενώ η θετική ανάδραση χρησιμοποιείται για την σχεδίαση ταλαντωτών, δηλαδή κατά βάση ασταθών κυκλωμάτων. Η αρνητική ανάδραση θυσιάζει κάποιο ποσοστό από το κέρδος ενός ενισχυτή, για να επιτύχει ένα ή περισσότερα από τα παρακάτω: 1. Απευαισθητοποίηση του κέρδους 2. Μείωση παραμόρφωσης 3. Μείωση του θορύβου 4. Αυξομείωση (έλεγχος) αντιστάσεων εισόδου και εξόδου 5. Αύξηση εύρους ζώνης 3.1 Τυπική τοπολογία αρνητικής ανάδρασης: Σχήμα 1: Τυπική τοπολογία ανάδρασης 1 Όπως φαίνεται και από το Σχήμα 1, η τυπική τοπολογία της ανάδρασης περιλαμβάνει έναν ενισχυτή κέρδους Α και ένα δικτύωμα ανάδρασης με συντελεστή ανάδρασης β. Στο ίδιο σχήμα διακρίνουμε το σήμα πηγής xs, το σήμα εξόδου xo, το σήμα ανάδρασης x=β*xo, και το σήμα εισόδου στον ενισχυτή xi = xs x. Προσοχή χρειάζεται στο αρνητικό πρόσημο του αθροιστή το οποίο ορίζει την αρνητική η ανάδραση (εννοείται, εφόσον Α*β >0). Η αρνητική ανάδραση μειώνει το σήμα που εισέρχεται στον ενισχυτή, και αυτός είναι ο βασικός λόγος που δεν προκαλεί αστάθεια. Από το σχήμα προκύπτει ότι x Ax x A( x x ) x Ax A x x (1 A ) Ax o i o s o s o o s 1 A. Sedra, K. Smith, «Μικροηλεκτρονικά Κυκλώματα», Εκδόσεις Παπασωτηρίου, 5 η έκδοση, Αθήνα 2010: Σχήμα 8.1. 6

οπότε το κέρδος ενισχυτή με ανάδραση A δίνεται από την εξίσωση A xo A x 1 A, s όπου η ποσότητα A ονομάζεται κέρδος βρόχου, επειδή είναι το κέρδος ενός σήματος που κυκλοφορεί στον βρόχο, ενώ η ποσότητα 1 A ονομάζεται ποσό ανάδρασης, γιατί είναι το ποσό κατά το οποίο ελαττώνεται το κέρδος του ενισχυτή με ανάδραση. A 1 Παρατήρηση: αν A 1, τότε A, δηλαδή το κέρδος με ανάδραση A εξαρτάται σχεδόν αποκλειστικά από τον αντίστροφο συντελεστή ανάδρασης 1/. Αυτό γενικά ισχύει για τελεστικούς όπου A 1 αρκεί να μην ισχύει ταυτόχρονα 1. Τέλος, ισχύει ότι x o A xs, και 1 A A x xo x xs. 1 A Άρα, για A 1 ισχύει ότι x xs, δηλαδή xi 0, οπότε λέμε ότι το σήμα ανάδρασης ακολουθεί το σήμα πηγής. Η ποσότητα xs x καλείται και σήμα σφάλματος. 3.1.1 Άσκηση 8.1 2 1. Βρείτε μια έκφραση για το β. 2. Εάν Α=10^4, βρείτε το λόγο R2/R1 έτσι ώστε A = 10. 3. Πόσο είναι το ποσό ανάδρασης σε db? 4. Εάν Vs=1 Volt, βρείτε τα Vo, V, Vi. 5. Εάν το Α μειωθεί κατά 20%, ποια η αντίστοιχη μείωση του A? 2 A. Sedra, K. Smith, «Μικροηλεκτρονικά Κυκλώματα», Εκδόσεις Παπασωτηρίου, 5 η έκδοση, Αθήνα 2010: Σχήμα Α8.1. 7

ΛΥΣΗ Αν θεωρήσουμε ως σήμα την τάση στους διάφορους κόμβους του κυκλώματος, παρατηρούμε ότι το σχήμα είναι άμεση εφαρμογή του γενικού σχήματος για αρνητική ανάδραση. Πράγματι, ο τελεστικός παίζει το ρόλο του αθροιστή και του ενισχυτή ταυτόχρονα. Στην πράξη δεν θα είναι πάντα τόσο εύκολα τα πράγματα και χρειάζεται προσπάθεια για να βρούμε την αντιστοιχία με το γενικό σχήμα της αρνητικής ανάδρασης. Η έκφραση για τον συντελεστή ανάδραση βρίσκεται ως εξής: Έστω ότι η τάση στην αρνητική είσοδο του τελεστικού είναι V (σήμα ανάδρασης). Επειδή στον τελεστικό δεν ρέει ρεύμα, η τάση αυτή θα είναι ίση με i*r1, όπου i ρεύμα που ρέει στα άκρα της R1 με φορά προς τη γη. Θα ισχύει i = Vo/(R2+R1), οπότε β = V/Vo = R1/(R1+R2). Αφού Α=10^4 και A=10, θα πρέπει να ισχύει β=(10^3-1)/10^4=0.0999, οπότε 1 + R2/R1 = 1/0.0999 => R2/R1 = 9.01. Εναλλακτικά, αν θεωρηθεί ότι Α*β>>1, τότε β~=0.1 οπότε 1 + R2/R1 ~= 1/0.1 => R2/R1 ~= 9. Το ποσό της ανάδρασης είναι 1+Α*β = 1 + (10^4)*0.0999 = 1000, οπότε 20*log10(1+A*β) = 60 db (πολλαπλασιάζουμε με 20 επειδή είναι σήμα τάσης). Επίσης, Vo = A*Vs = 10 Volt, V = Vs*A*β/(1+Α*β) = Vs*(10^4)*0.0999/(1000) => V = Vs*999/1000 => V = 0.999 Volt, και συνεπώς Vi=Vs-V => Vi = 0.001 Volt. Μείωση Α κατά 20 % σημαίνει ότι το νέο Α θα είναι ίσο με 8*(10^3), οπότε το νέο A θα είναι ίσο με A = 8*(10^3)/(1+8*(10^3)*0.0999) => Εφόσον, A = 9.998 προκύπτει ότι η μείωση είναι (10 9.998)*100/10 % = 0.02 %. 3.2 Ιδιότητες αρνητικής ανάδρασης. 3.2.1 Απευαισθητοποίηση κέρδους Η δυνατότητα απευαισθητοποίησης του κέρδους ενισχυτή με ανάδραση προκύπτει από τις σχέσεις A A da 1 A da 1 1 A 1 A (1 A ) 1 A A 1 2 (1 A ) (1 A ) 1 1 A' ( )' 1 A 1 A 2 1 A (1 A )' 1 A (1 A ) 2 da da (1 A ) 2 2 Επίσης ισχύει ότι A A οπότε διαιρώντας κατά μέλη προκύπτει ότι 1 A 8

da 1 da. A 1 A A Αυτό πρακτικά σημαίνει ότι η ευαισθησία του A είναι μικρότερη από την ευαισθησία του A κατά έναν παράγοντα ίσο με το ποσό ανάδρασης. Στην προηγούμενη άσκηση αυτό θα σήμαινε ότι π.χ. αν το A μειωθεί κατά 20%, τότε το A θα μειωθεί κατά (1/1000)*20%=0.02 %, δηλαδή από 10 θα γίνει 9.998. 3.2.2 Επέκταση εύρους ζώνης Οι ενισχυτές συνήθως έχουν μια βαθυπερατή συνάρτηση μεταφοράς, δηλαδή ένα κέρδος το οποίο διατηρείται μέχρι μια άνω-συχνότητα και μετά σταδιακά εξασθενεί. Μια βαθυπερατή συνάρτηση μεταφοράς γράφεται ως A(s) = ao/(s+ωo), που μπορεί να γραφτεί και ως Όπου είναι η άνω συχνότητα 3 db και Am As (), 1 s / o A m, το κέρδος DC. Οπότε, αν προστεθεί κλάδος ανάδρασης με συντελεστή (ανεξάρτητο από τη συχνότητα), τότε η συνάρτηση μεταφοράς του συνολικού κυκλώματος θα γίνει Am Am As () 1 s/ H 1 s/ H A () s 1 As ( ) Am 1 s/ H Am 1 1 s/ H 1 s/ H Am Am 1 Am 1 s/ s H Am 1 (1 A ) H Άρα, έχει μειωθεί το κέρδος DC κατά ένα ποσοστό ίσο με το ποσό ανάδρασης, ενώ κατά το ίδιο ποσοστό έχει αυξηθεί το εύρος ζώνης του ενισχυτή! Άρα, το γινόμενο κέρδους-εύρους ζώνης παραμένει σταθερό. m 3.2.3 Άσκηση 8.2. Στο κύκλωμα της άσκησης 8.1, έστω ότι ο ενισχυτής έχει κέρδος DC (ανοιχτού βρόχου) ίσο με 10^4, πτώση 6dB/οκτάβα (=ένας πόλος) και άνω συχνότητα 3 db ίση με 100 Hz. Βρείτε το κέρδος DC και την άνω-συχνότητα 3 db για τον ενισχυτή με ανάδραση αν R1=1 kω και R2=9 kω. 9

Ισχύει ότι β=r1/(r1+r2), άρα β=0.1. Συνεπώς, 1+Αβ=1001, οπότε το κέρδος DC γίνεται ίσο με 10^4/1001 = 9.99, ενώ η άνω-συχνότητα 3 db γίνεται ίση με 100*1001 = 100.1 khz. 10

4. Ζητήματα Ευστάθειας Στο κλασσικό κύκλωμα ανάδρασης Σχήμα 2: Τυπική τοπολογία ανάδρασης 3 τα A και είναι γενικά συναρτήσεις της συχνότητας, δηλαδή A() s και () s. Η συνάρτηση μεταφοράς κλειστού βρόχου γίνεται Για φυσικές συχνότητες s As () A () s 1 A( s) ( s). j παίρνουμε A(j ) A (j ) 1 A(j ) (j ). Το κέρδος βρόχου A είναι ένας μιγαδικός αριθμός που είναι ίσος με L( j) A( j ) ( j) abs L( j) exp j ( ). Έστω 180, όπου 180 είναι η συχνότητα για την οποία ( 180) 180. Θα ισχύει L( j ) L( j ), δηλαδή το κέρδος βρόχου είναι πραγματικός αριθμός με 180 180 αρνητικό πρόσημο. Άρα, το ποσό ανάδρασης θα γίνει ίσο με1 L( j180), δηλαδή η ανάδραση γίνεται θετική. Για την συχνότητα για την οποία ( 180) 180, έχει πολύ μεγάλη σημασία το ποσό ανάδρασης 1 L( j180) και κατά συνέπεια το κέρδος βρόχου L( j180) L( j180). Αν L( j180) 1 τότε το ποσό ανάδρασης 1 L( j180) είναι μικρότερο της μονάδας αλλά μεγαλύτερο από το μηδέν, δηλαδή 01 L( j180) 1. Κατά συνέπεια, το κέρδος κλειστού βρόχου, A ( j ), είναι μεγαλύτερο από το 3 A. Sedra, K. Smith, «Μικροηλεκτρονικά Κυκλώματα», Εκδόσεις Παπασωτηρίου, 5 η έκδοση, Αθήνα 2010: Σχήμα Α8.1. 11

κέρδος ανοιχτού βρόχου, A( j ). Αυτό γενικά σημαίνει ότι το κέρδος πολύ μεγάλη τιμή, αλλά ακόμη ο ενισχυτής δεν είναι ασταθής. A θα έχει Αν, όμως, L( j180) 1, τότε προκύπτει ότι 1 L( j180) 0, δηλαδή ο παρονομαστής του κέρδους κλειστού βρόχου μηδενίζεται, άρα το κέρδος κλειστού βρόχου απειρίζεται. Άρα, ακόμη και αν xs 0 θα είναι xo 0, δηλαδή το κύκλωμα θα έχει κάποια έξοδο ακόμη και για μηδενική είσοδο. Το ποιά θα είναι ακριβώς αυτή η έξοδος θα το δούμε στην συνέχεια. Ποιοτικά, θεωρήστε ότι xs 0, και ότι λόγω θορύβου δημιουργείται ένα σήμα xi Xiexp( j 180). Το σχετικό σήμα ανάδρασης θα είναι ίσο με x X exp( j) A( j180) ( j180) xi. Ωστόσο, αφού A( j180) ( j180) 1, θα ισχύει x xi, δηλαδή στην έξοδο του δικτύου ανάδρασης θα δημιουργείται συνεχώς το σήμα x xi. Μετά την εισαγωγή αρνητικού προσήμου από τον αθροιστή, παρατηρούμε ότι το συγκεκριμένο σήμα θα επαναδημιουργείται συνεχώς στην είσοδο του ενισχυτή. Άρα, αν L( j180) 1 θα έχουμε διατηρούμενες ταλαντώσεις ακόμη και για μηδενική είσοδο, ενώ για οποιαδήποτε είσοδο θα έχουμε ένα σήμα εξόδου το οποίο διαρκώς θα μεγαλώνει (άπειρο κέρδος κλειστού βρόχου), μέχρι κάποια μη-γραμμικότητα να περιορίσει το φαινόμενο. Τί γίνεται όμως στην περίπτωση όπου L( j180) 1; Σε αυτήν την περίπτωση, το κέρδος κλειστού βρόχου αποκτά αντίθετο πρόσημο σε σχέση με το κέρδος ανοιχτού βρόχου. Πέρα από αυτό, επειδή η ανάδραση έχει γίνει θετική, παρατηρούμε το εξής: Αν το σήμα εισόδου μηδενιστεί και εμφανιστεί κάποιο σήμα x X exp( j ), τότε στην είσοδο του αθροιστή δημιουργείται το σήμα i i 180 x A j j x ( 180) ( 180) i. Επειδή όμως 180 180 A( j ) ( j ) R και ταυτόχρονα A( j180) ( j180) 1, προκύπτει ότι x xi, άρα μετά τον αθροιστή (εφαρμογή αρνητικού προσήμου), στην είσοδο του ενισχυτή εμφανίζεται ένα σήμα με μέτρο μεγαλύτερο από το xi. Άρα, έχουμε ταλαντώσεις που αυξάνονται ως προς το πλάτος τους (ισχύς). Αυτό πρακτικά σημαίνει ότι ακόμη και χωρίς είσοδο, θα έχουμε ταλαντώσεις που αυξάνονται, μέχρι κάποια μη-γραμμικότητα να περιορίσει το φαινόμενο. 4.1 Παράδειγμα: Έστω Α=1, β=-1 -> Αβ=-1. Τί γίνεται στην περίπτωση όπου xs=1? Πάνω στον βρόχο παίρνω xi=1, xo=1, x=-1, xi=1-(-1)=2, xo=2, x=-2, xi=3, xo=3, x=-3, xi=4,, δηλαδή έχω αυξανόμενες ταλαντώσεις. Ομοίως, έστω Α=2, β=-1, -> Αβ=-2 Αν xs=1, παίρνω xi=1, xo=2, x=-2, xi=3, xo=6, x=-6, xi=7, xo=14, x=-14, xi=15,, δηλαδή έχω και πάλι αυξανόμενες ταλαντώσεις. 12

Αν όμως xs=0, τότε στην περίπτωση όπου Αβ=-1 έχω διατηρούμενες ταλαντώσεις ενώ στην περίπτωση όπου Αβ<-1 έχω αυξανόμενες ταλαντώσεις. 4.2 Μηχανισμός: (1) Χρήση θετικής ανάδρασης με κέρδος βρόχου μεγαλύτερο της μονάδας για να δημιουργηθούν ταλαντώσεις ικανού πλάτους μέχρι να... (2) επενεργήσουν μη-γραμμικότητες, να εξισωθεί το κέρδος κλειστού βρόχου με τη μονάδα, και να διατηρηθούν οι ταλαντώσεις. 4.3 Ευστάθεια και πόλοι κέρδους κλειστού βρόχου As () Το κέρδος κλειστού βρόχου όπως είπαμε γράφεται ως A () s. Τα 1 A( s) ( s) μηδενικά του A () s δίνονται από την εξίσωση As () 0, ενώ οι πόλοι του A () s δίνονται από την εξίσωση 1 As ( ) (s) 0. Θυμίζουμε ότι για να είναι ευσταθής μια συνάρτηση μεταφοράς πρέπει καταρχήν να ισχύει P>Z, δηλαδή Ν=Z-P<=0, όπου P ο αριθμός των πόλων και Ζ ο αριθμός των μηδενικών. Η διαφορά Ν πρέπει να είναι μικρότερη ή ίση του μηδενός. Από εκεί και πέρα, έχει σημασία πού βρίσκονται οι πόλοι της συνάρτησης μεταφοράς. Για να το βρούμε αυτό λύνουμε την εξίσωση 1 As ( ) (s) 0. Έστω ότι * 1 A( s) (s) ( s a)( s a ), όπου * a ο συζυγής μιγαδικός του a και a 0 jn. As () Συνεπώς, θα ισχύει ότι A () s. * ( s a)( sa ) Επειδή οι συναρτήσεις 1 1 ( sa)( sb) ab exp( at) exp( bt) είναι ζεύγος μετασχηματισμού Laplace, θα ισχύει ότι η κρουστική απόκριση του κέρδους κλειστού βρόχου θα περιέχει όρους της μορφής exp( t) exp( t) exp( j t) exp( j t) cos( j t) 2 j 0 0 n n n n jn Δηλαδή, θα έχουμε μια ταλάντωση σε συχνότητα ω n, με περιβάλλουσα exp( 0t). 13

Εάν οι πόλοι είναι στο αριστερό ημιεπίπεδο του s, (βλ. αργότερα: το διάγραμμα Nyquist του A() s () s δεν θα περικλείει το σημείο (-1,0)), τότε 0 0 και η περιβάλλουσα μηδενίζεται καθώς t. Άρα αν εμφανιστεί κάποια ταλάντωση από θόρυβο αυτή εξασθενεί εκθετικά και έχουμε ευστάθεια. Εάν οι πόλοι βρίσκονται πάνω στον άξονα των φανταστικών, (βλ. αργότερα: το διάγραμμα Nyquist του A() s () s περνάει ακριβώς από το σημείο (-1,0)), τότε σo=0 και η περιβάλλουσα έχει σταθερό μέτρο καθώς t. Άρα, αν εμφανιστεί κάποια ταλάντωση από θόρυβο αυτή διατηρείται. Άρα έχουμε αστάθεια. Αν, πάλι, εισάγουμε κάποια είσοδο, έστω και μικρή, η έξοδος απειρίζεται. Τέλος, εάν οι πόλοι βρίσκονται στο δεξιό ημιεπίπεδο του s (βλ. αργότερα: τότε το διάγραμμα Nyquist του A() s () s θα περικλείει το σημείο (-1,0) 2 φορές επειδή είναι 2 οι πόλοι του κέρδους κλειστού βρόχου A () s άρα 2 τα μηδενικά της 1 A( s) ( s), τότε 0 0 και η περιβάλλουσα απειρίζεται καθώς t. Άρα αν εμφανιστεί κάποια ταλάντωση από θόρυβο αυτή μεγενθύνεται εκθετικά και έχουμε αστάθεια. Η ταλάντωση αυξάνεται μέχρι κάποια μη-γραμμικότητα να επιδράσει και να την περιορίζει σε κάποιο σταθερό πλάτος. Αυτό ισοδυναμεί με κίνηση των πόλων από το δεξιό ημιεπίπεδο πάνω στον άξονα των φανταστικών (βλ. αργότερα: και ταυτόχρονα με κίνηση του διαγράμματος Nyquist του A() s () s ώστε να μην περικλείει πλέον το σημείο (-1,0) αλλά να περνάει από αυτό). Σχήμα 3: Ευστάθεια και πόλοι κέρδους κλειστού βρόχου 4 4 A. Sedra, K. Smith, «Μικροηλεκτρονικά Κυκλώματα», Εκδόσεις Παπασωτηρίου, 5 η έκδοση, Αθήνα 2010: Σχήμα Α8.29. 14

Σχήμα 4: Διάγραμμα Nyquist και ευστάθεια 5 4.4 Διαγράμματα Nyquist και ευστάθεια Το αν είναι ευσταθής ή όχι μια συνάρτηση, μπορούμε να το δούμε από τους πόλους As () της, όπως π.χ. για την A () s. Εναλλακτικά, μπορούμε να το δούμε 1 A( s) ( s) από το διάγραμμα Nyquist της A() s () s. Το διάγραμμα Nyquist είναι ένα διάγραμμα της A() s () s για 0 0 (και άρα για s j ), για όλα τα. Έχει φορά αρνητική, δηλαδή δεξιόστροφα, επειδή είναι προβολή του βρόχου Nyquist (Nyquist contour) ο οποίος περιλαμβάνει ένα μονοπάτι από s j έως s j και από ένα ημικύκλιο με ακτίνα r jτο οποίο ξεκινάει από το σημείο s j και κατευθύνεται στο σημείο s j δεξιόστροφα, δηλαδή περικλείει όλο το δεξί μιγαδικό ημιεπίπεδο. Η προβολή του βρόχου Nyquist πάνω στην A() s () s δεν είναι άλλο από το διάγραμμα της A( j) ( j ) καθώς s j και. Το κριτήριο ευστάθειας Nyquist προβλέπει ότι η συνάρτηση 1 A( s) ( s) έχει τόσα μηδενικά στο δεξί μιγαδικό ημιεπίπεδο όσες φορές το διάγραμμα Nyquist της A() s () s περικλείει το (-1,0) δεξιόστροφα. Άρα, αφού τα μηδενικά της 1 A( s) ( s) είναι οι πόλοι της A () s, προκύπτει ότι μπορούμε να βρούμε πόσους πόλους έχει η A () s στο δεξιό ημιεπίπεδο από το πόσες φορές η A() s () s περικλείει το σημείο (-1,0) 5 A. Sedra, K. Smith, «Μικροηλεκτρονικά Κυκλώματα», Εκδόσεις Παπασωτηρίου, 5 η έκδοση, Αθήνα 2010: Σχήμα Α8.28. 15

δεξιόστροφα (το πόσες φορές η A() s () s τέμνει τον αριστερό ημιάξονα x x αντιστοιχεί στον συνολικό αριθμό των πόλων της A () s, δηλαδή τον αριθμό των μηδενικών της 1 A( s) ( s) (τα οποία μπορεί να είναι είτε στο δεξί είτε στο αριστερό ημιεπίπεδο, είτε και πάνω στον φανταστικό άξονα y y)). 4.5 Οι 3 τρόποι με τους οποίους κρίνουμε την ευστάθεια ενός κυκλώματος Αν οι πόλοι της A () s βρίσκονται στο δεξί μιγαδικό ημιεπίπεδο τότε αυτή είναι ασταθής με αυξανόμενες ταλαντώσεις. Αν οι πόλοι βρίσκονται στον φανταστικό άξονα τότε είναι ασταθής με διατηρούμενες ταλαντώσεις. Αν οι πόλοι βρίσκονται στο αριστερό μιγαδικό ημιεπίπεδο τότε είναι ευσταθής. Αντιστοίχως, αν το διάγραμμα Nyquist της A() s () s ) περικλείει το (-1,0) δεξιόστροφα τότε το κέρδους κλειστού βρόχου είναι συνάρτηση ασταθής με αυξανόμενες ταλαντώσεις. Αν περνάει από το (-1,0) τότε είναι ασταθής με διατηρούμενες ταλαντώσεις. Τέλος, αν δεν το περικλείει δεξιόστροφα τότε είναι ευσταθής. Τέλος, αν για 180 είναι L( j ) 1, τότε έχουμε ευστάθεια (εξασθενούμενες ταλαντώσεις) 180 L( j180) 1, τότε έχουμε αστάθεια αλλά με διατηρούμενες ταλαντώσεις για μηδενική είσοδο (ωστόσο έχουμε άπειρη έξοδο για οσοδήποτε μικρή είσοδο) L( j180) 1, τότε έχουμε και πάλι αστάθεια αλλά με αυξανόμενες ταλαντώσεις ακόμη και για μηδενική είσοδο (και, φυσικά, άπειρη έξοδο για οσοδήποτε μικρή είσοδο) 16

4.6 Άσκηση 8.10. 10 Έστω As () 4 1 s /10 3. Ποιό το κέρδος dc? Πόσους πόλους έχει ο ενισχυτής; Ποιές οι τιμές τους; Έστω ότι ανάδραση με σταθερό β(s)=β. Ποιά η συχνότητα 180? Δείξτε ότι υπάρχει cr για το οποίο αν cr ο ενισχυτής είναι ευσταθής, ενώ αν cr τότε ο ενισχυτής είναι ασταθής. ΛΥΣΗ Το κέρδος dc είναι A(s=0) = 10^3=1000. Ο ενισχυτής έχει 3 πόλους, και όλοι έχουν 4 την ίδια τιμή 10. Είναι δε βαθυπερατός ενισχυτής (όπως οι περισσότεροι). p Με την ανάδραση, το κέρδος βρόχου ισούται με A(s)*β(s), δηλαδή 3 10 4 As () () s 1 s /10. Ορίζουμε L( j) A( j ) ( j) και ψάχνουμε την 180 για την οποία ( ) 180 L 180, όπου L ( ) phase( L( j)). 4 4 Ισχύει ότι 1 s/10 X exp( j ( )), όπου ( ) arctan( /10 ). Προφανώς, ( ) 3 ( ) 4 L, επειδή ο όρος 1 s /10 είναι στον παρονομαστή και υψωμένος ^3. Άρα, λύνουμε την ( ) 3 ( ) 180 και παίρνουμε L 4 4 4 ( ) 60 arctan( /10 ) 60 /10 3 3 10. 4 Άρα, 180 310. Στην συχνότητα αυτή το μέτρο του κέρδους βρόχου είναι ίσο με 3 3 3 3 10 10 10 10 1000 / 8 125 2 4 4 3 3 1 j 310 /10 1 j 3 1 j 3 Για να είναι ευσταθής ο ενισχυτής θα πρέπει L( j180) 1 125 1 0.008. Αν 0.008 τότε ο ενισχυτής παρουσιάζει διατηρούμενες ταλαντώσεις, ενώ αν 0.008 τότε ο ενισχυτής παρουσιάζει αυξανόμενες ταλαντώσεις. 17

4.7 Επίδραση της ανάδρασης στους πόλους ενός ενισχυτή 4.7.1 Ενισχυτής με απόκριση ενός πόλου Έστω () s, δηλαδή ότι ο συντελεστής ανάδρασης είναι ανεξάρτητος από τη συχνότητα, και έστω επίσης ότι ο ενισχυτής μας είναι βαθυπερατός και έχει 1 πόλο A0 σε συχνότητα p. Η συνάρτηση μεταφοράς θα είναι As (), όπου A 0 το 1 s / p κέρδος dc. Όπως φαίνεται, ο ενισχυτής αυτός έχει εύρος ζώνης p. Με την ανάδραση, το κέρδος κλειστού βρόχου γίνεται ίσο με A0 As () 1 A0 A () s. 1 As ( ) ( s) s 1 (1 A ) Παρατηρούμε ότι το κέρδος dc μειώνεται κατά μια ποσότητα 1 A0, και ότι το εύρος ζώνης αυξάνεται κατά μια ποσότητα 1 A0. p 0 Σχήμα 5: Επίδραση της ανάδρασης στους πόλους ενός ενισχυτή 6 Από το Σχήμα 5 παρατηρούμε ότι η μετατόπιση πόλου συνοδεύεται από μείωση του κέρδους. Επίσης, παρατηρούμε ότι τα A() s και A () s συμπίπτουν για μεγάλες συχνότητες. Ταυτόχρονα, είναι φανερή η αύξηση του εύρους ζώνης με κόστος την μείωση του κέρδους. Επίσης, ο πόλος του ενισχυτή με ανάδραση μετατοπίζεται πάντα αριστερότερα από τον πόλο του ενισχυτή χωρίς ανάδραση. Άρα, ο ενισχυτής με ανάδραση σε αυτήν την περίπτωση θα είναι ευσταθής άνευ όρων. 6 A. Sedra, K. Smith, «Μικροηλεκτρονικά Κυκλώματα», Εκδόσεις Παπασωτηρίου, 5 η έκδοση, Αθήνα 2010: Σχήμα Α8.30. 18

4.7.2 Άσκηση 8.11. Έστω τελεστικός με έναν πόλο στα 100 Hz, κέρδος dc ίσο με 10^5 σε ανάδραση με β=0.01. Κατά ποιό παράγοντα μετακινεί η ανάδραση αυτόν τον πόλο; Εάν το β πάρει τιμή τέτοια ώστε το κέρδος dc κλειστού βρόχου να γίνει ίσο με 1, σε ποιά συχνότητα μετακινείται ο πόλος; Α) Κατά το ποσό ανάδρασης 1+Αo*β = 1+10^5*0.01=1001. Πράγματι, το κέρδος A0 5 ανοιχτού βρόχου θα είναι ίσο με As () όπου A0 10 και p 100. Άρα, 1 s / p A0 /1 A0 το κέρδος κλειστού βρόχου γίνεται ίσο με A () s. s 1 (1 A ) Ο νέος πόλος θα είναι ίσος με 100*(1+1000)=100*1001=100100Hz=100.1 khz. Β) Το κέρδος dc κλειστού βρόχου ισούται με Αο/(1+Αο*β), άρα πρέπει να ισχύει Αο/(1+Αο*β)=1 => Αο=1+Αο*β => β=(αο-1)/αο=0.99999 Με αυτήν την τιμή, ο νέος πόλος θα είναι ίσος με 5 2 5 (1 A ) 100 (1 10 0.99999) 100 (1 99999) 10 10 10MHz. p 0 p 0 19

5. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 1 1 1 ( sa)( sb) ab at bt Θέλουμε να δείξουμε ότι e e Απόδειξη: Από πίνακες είναι γνωστό ότι FsGs () () t () gt () () gt ( ) d. t 1 e s a at u() t και ότι Άρα, 1 1 1 t at bt a b( t) ( e u( t)) ( e u( t)) e u( ) e u( t) d ( sa)( sb) ( sa) ( sb) t bt ( ba) e e u( ) u( t ) d Αφού για 0 είναι u( ) 0 το τελευταίο ολοκλήρωμα θα γίνεται t bt ( ba) e e u( ) u( t ) d 0. Επίσης, η u(t ) είναι η u( ) καθρεφτισμένη προς τον y y και μετατοπισμένη δεξιά ( ba) κατά t, άρα η συνάρτηση e u( ) u( t ) στο διάστημα 0<τ<t θα είναι ίση με την e ( ba) Άρα, προκύπτει ότι Άρα (για τ<0 θα είναι u(τ)=0 και για τ>t θα είναι u(τ)=0). t t bt ( b a) bt ( b a) ( ) ( ) 0 0, και συνεχίζοντας τις πράξεις e e u u t d e e d οπότε προκύπτει ότι t bt ( ba) bt 1 ( ba) t 1 at bt e e d e e 1 e e 0 b a b a. 1 1 e ( sa)( sb) ba at e bt, 1 1 at bt e e ( sa)( sb) ab. 20

6. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 2 21