Το σώµα Σ του σχήµατος (α) έχει µάζα και µπορεί να ολισθαίνει πάνω σε λείο οριζόντιο έδαφος. Ένα µικρό σφαιρίδιο µάζας m κινείται αρχικά πάνω στο οριζόντιο τµήµα του σώµατος µε ταχύτητα v 0 και όταν φθάσει στο σηµείο Γ αρχίζει να κινείται στο κυκλικό του τµήµα που έχει την µορφή λείου τεταρτο κυκλίου ακτίνας R. i) Να βρείτε την µέγιστη τιµή της ταχύτητας, ώστε το σφαιρίδιο να µη εγκαταλείψει το τεταρτοκύκλιο. ii) Να βρείτε το µέτρο της ώστε το σφαιρίδιο εγκαταλείποντας το τεταρτοκύκλιο στο σηµείο Α, να φθάσει σε ύψος hr υπεράνω του οριζόντιου τµήµατος του σώµατος. iii) Να δείξετε ότι το σφαιρίδιο µετά από κάποιο χρόνο αφότου εγκατέλειψε το σώµα θα συγκρουσθεί µε αυτό στο σηµείο Α και να βρεθεί ο χρόνος αυτός. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας. ΛΥΣΗ: i) Έστω ότι το σφαιρίδιο φθάνει στιγµιαία σε ύψος h<r, υπεράνω του οριζόντιου τµήµατος του σώµατος (Σ). Στην περίπτωση αυτή το σφαι ρίδιο είναι συνεχώς σε επαφή µε το τεταρτοκύκλιο και όταν βρεθεί στην ανώτατη θέση του Μ, η κατακόρυφη συνιστώσα v της ταχύτητάς του στο σύστηµα αναφοράς του εδάφους θα είναι µηδέν, ενώ η αντίστοιχη οριζόντια συνιστώσα του v θα είναι ίση µε την ταχύτητα V του σώµατος, διότι εκεί νη τη στιγµή η σχετική ταχύτητα του σφαιριδίου ως πρός το τεταρτοκύκλιο είναι µηδέν. Όµως το σύστηµα σώµα-σφαιρίδιο είναι µονωµένο κατά την ορι Σχήµα α. ζόντια διεύθυνση, οπότε ισχύει κατά τον χρόνο κίνησης του σφαιριδίου από Γ σε Μ η αρχή διατήρησης της ορµής, δηλαδή ισχύει η σχέση:
mv + V mv + V V(m + ) V /(m + ) (1) Εφαρµόζοντας εξάλλου για το σύστηµα το θεώρηµα διατήρησης της µηχανι κής ενέργειας παίρνουµε τη σχέση: (m + )V (1) + mgh (m + ) m (m + ) + mgh v 0 mv 0 m + + gh v 0 # 1 - " m $ & gh m + % m + gh h g(m + ) () Όµως πρέπει: () h R g(m + ) R v 0 gr(m + ) gr(m + ) (ma) gr(m + ) (3) Αν λοιπόν ισχύει <(ma), τότε το σφαιρίδιο θα φθάνει στιγµιαία σε ύψος h<r και τα µεγέθη h, θα συνδέονται µε την σχέση (). ii) Εξετάζουµε την περίπτωση που το σφαιρίδιο εγκαταλείπει το τεταρτοκύκ λιο στην θέση Α φθάνοντας στιγµιαία σε ύψος hr υπεράνω του οριζοντίου τµήµατος του σώµατος. Τότε στο σύστηµα αναφοράς του εδάφους το σφαιρί διο στη θέση Α θα έχει οριζόντια ταχύτητα v και κατακόρυφη ταχύτητα v y, Σχήµα β. οπότε στη συνέχεια θα εκτελεί πλάγια βολή διαγράφοντας παραβολική τροχιά όπως φαίνεται στο σχήµα (β), ενώ το σώµα θα κινείται οριζόντια µε σταθερή ταχύτητα V. Εφαρµόζοντας για το σύστηµα σώµα σφαιρίδιο την
αρχή διατήρησης της ορµής κατά τον χρόνο κίνησης του σφαιριδίου από Γ σε Α και κατά την οριζόντια διεύθυνση παίρνουµε τη σχέση: mv + V (4) Την στιγµή που το σφαιρίδιο εγκαταλείπει το τεταρτοκύκλιο η σχετική του ταχύτητά του ως προς αυτό είναι κατακόρυφη, δηλαδή η οριζόντια συνιστώ σα της σχετικής του ταχύτητας ως προς το τεταρτοκύκλιο είναι µηδενική. Αυτό σηµαίνει ότι η ταχύτητα V είναι ίση µε την v, οπότε η (4) γράφεται: mv + v v /(m + ) (5) Eξάλλου το θεώρηµα διατήρησης της µηχανικής ενέργειας κατά το χρονικό διάστηµα που το σφαιρίδιο κίνείται από τη θέση Α µέχρι την υψηλότερη θέση Δ της τροχιάς του, δίνει τη σχέση: mv + V + Rmg mv 0 (5) ( + m) v + Rmg + m m (m + ) + Rmg mv 0 m (m + ) + Rmg m(m + ) m + 4Rgm(m + ) 4Rgm(m + ) m 4Rg(m + ) (6) iii) To σφαιρίδιο από τη στιγµή που θα εγκαταλείψει το τεταρτοκύκλιο κίνείται κατά την οριζόντια διεύθυνση µε σταθερή ταχύτητα v, αλλά µε την ίδια ταχύτητα κινείται οριζοντίως και το τεταρτοκύκλιο που σηµαίνει ότι το σφαιρίδιο κάθε στιγµή βρίσκεται στην κατακόρυφη του σηµείου Α και όταν η παραβολική του τροχια τµήσει την οριζόντια διεύθυνση που διέρχε ται από το Α θα συναντήσει το Α. Αυτό θα συµβεί ύστερα από χρόνο t α, όπου t α ο χρόνος κίνησης του σφαιριδίου από Α σε Γ, δηλαδή o ζητούµενος χρόνος t * θα είναι: t * t v y / g (7) H ταχύτητα v y θα βρεθεί αν εφαρµόσουµε για το σφαιρίδιο το θεώρηµα δια τήρησης της µηχανικής ενέργειας κατα τον χρόνο κίνησής του από Α σε Γ, οπότε παίρνουµε τη σχέση: mv + mv y mv + mg(r - R) mv y mgr v y gr (8)
Συνδυάζοντας τις σχέσεις (7) και (8) παίρνουµε: t * gr /g R/g P.. fysikos ικρό σφαιρίδιο µάζας m, προσκρούει κατακό ρυφα πάνω στη λεία κεκλιµένη επιφάνεια µιας σφήνας µάζας, η οποία ηρεµεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Eάν η κρούση είναι ελαστι κή, ποια πρέπει να είναι η γωνία κλίσεως της κεκλιµένης επιφά νειας της σφήνας, ώστε το σφαιρίδιο να αναπηδήσει οριζόντια; O χρόνος της κρούσεως θα θεωρηθεί πολύ µικρός. ΛYΣH: Έστω v 1 η κατακόρυφη ταχύτητα πρόσπτωσης του σφαιριδίου πά νω στην κεκλιµένη έδρα της σφήνας και v η οριζόντια ταχύτητα ανάκλα σης του σφαιριδίου. Στο πολύ µικρό χρονικό διάστηµα Δt της κρούσεως του σφαιριδίου (Δt 0) η µοναδική δύναµη που ενεργεί πάνω σ αυτό κατά τη διεύθυνση της κεκλιµένης έδρας της σφήνας είναι η αντίστοιχη συνιστώ σα m g του βάρους του σφαιριδίου, οπότε εφαρµόζοντας για το σφαιρίδιο κατά τη διεύθυνση και για το χρόνο Δt το θεώρηµα ωθησης-ορµής παίρ νουµε: m v m v 1 + m g t m v m v 1 v v 1 v συνφ v 1 ηµφ v v 1 ηµφ/συνφ v v 1 εφφ (1) (διότι Δt 0) Eξάλλου το σύστηµα σφαιρίδιο-σφήνα είναι µηχανικά µονωµέ νο κατά την οριζόντια διεύθυνση στη διάρκεια του χρόνου Δt, οπότε ισχύει για το σύστηµα αυτό η αρχή διατήρησης της ορµής, δηλαδή θα έχουµε: 0 + 0 V + m v V -m v (1) V mv / V mv 1 "# / () όπου V η ταχύτητα της σφήνας αµέσως µετά την κρούση του σφαιριδίου πάνω σ αυτή. Όµως η κρούση είναι ελαστική, οπότε για το σύστηµα σφαιρίδιο-σφήνα ισχύει το θεώρηµα διατήρησης της κινητικής ενέργειας, δηλαδή ισχύει:
mv 1 + 0 mv + V mv 1 mv + V (3) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1), () και (3) παίρνουµε τη σχέση: mv 1 mv 1 " # + (mv 1 "# / ) 1 " # + m" # / 1 " #(1 + m/ ) " # /( + m) "# /( + m) P.. fysikos Hλεκτρόνιο συγκρούεται µετωπικά µε ακίνητο πυρήνα µάζας, µε αποτέλεσµα να αποθηκεύεται στον πυρήνα ένα χαρακτηρηστικό ποσό ενέργειας W 0. Eάν η µάζα του ηλεκτρο νίου είναι m, να βρεθεί η ελάχιστη ταχύτητα που πρέπει να έχει το ηλεκτρόνιο. Yπόδειξη: Nα εφαρµόσετε για το σύστηµα των συγκρουόµενων σω µατιδίων την αρχή διατήρησης της ορµής και την αρχή διατήρησης της ενέργειας. ΛYΣH: Eστω η ταχύτητα του ηλεκτρονίου κατά τη στιγµή της σύγκρου σής του µε τον ακίνητο πυρήνα και v, V oι ταχύτητες του ηλεκτρονίου και του πυρήνα αντιστοίχως, µετά την κρούση. Eφαρµόζοντας για το σύστηµα ηλεκτρόνιο-πυρήνας την αρχή διατήρησης της ορµής και την αρχή διατήρη σης της ενέργειας, παίρνουµε τις σχέσεις: Σχήµα 79 και V - mv mv V - (1) / V / + mv / + W 0 V + mv + W 0 () Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και () παίρνουµε: V + m[(v - )/ m] + W 0 V + ( V + m - mv )/ m + W 0
m mv + V - V + m + mw 0 (m + )V - V + mw 0 0 (3) H σχέση (3) είναι εξίσωση δεύτερου βαθµού ως προς V και πρέπει να έχει ρίζες πραγµατικές, δηλαδή πρέπει η διακρίνουσά της να είναι µη αρνητική, που σηµαίνει ότι: 4 m - 4(m + )mw 0 0 4 m 8( + m)mw 0 ( + m)w 0 W 0 ( + m)/m W 0 ( + m)/m v min W 0 ( + m)/m P.. fysikos Ένα πυροβόλο µάζας, µπορεί να οπισθοδρο µεί ανεµπόδιστα πάνω στην οριζόντια βάση του. Kατά τη στιγµή της εκπυρσοκρότησης η γωνία κλίσεως της κάννης ως προς τον ορίζοντα είναι φ. Ποιά γωνία σχηµατίζει η ταχύτητα του βλήµατος µε τον ορίζοντα, τη στιγµή που εξέρχεται από την κάννη του πυρο βόλου και ποιός είναι ο λόγος της κινητικής ενέργειας του πυροβόλου, προς την κινητική ενέργεια του βλήµατος; Δίνεται η µάζα m του βλήµατος. ΛYΣH: Έστω v η ταχύτητα του βλήµατος, ως προς το οριζόντιο έδαφος, κατά την στιγµή που βγαίνει από το στόµιο της κάνης του πυροβόλου και V η οριζόντια ταχύτητα ανάκρουσης του πυροβόλου. Eπειδή το σύστηµα πυρ οβόλο - βλήµα στην διάρκεια της κίνησης του βλήµατος µέσα στην κάνη του πυροβόλου δεν δέχεται οριζόντιες εξωτερικές δυνάµεις, η ορµή του συστή µατος πυροβόλο-βλήµα κατά την οριζόντια διεύθυνση ' διατηρείται σταθε ρή, δηλαδή ισχύει η σχέση: 0 + 0 mv - V mv V mvσυνθ V (1) όπου v η οριζόντια συνιστώσα της ταχύτητας v του βλήµατος και θ η γωνία του διανύσµατος v µε την οριζόντια διεύθυνση '. Eξάλλου η σχετική ταχύτητα v " του βλήµατος, ως προς την κάνη του πυροβόλου, έχει τη διεύθυνση της κάννης, δηλαδή σχηµατίζει µε την οριζόντια διεύθυνση γωνία φ και ισχύει η διανυσµατική σχέση: v " v + (- V ) Aπό το σκιασµένο τρίγωνο του σχήµατος, µε εφαρµογή του νόµου των ηµι τόνων παίρνουµε τη σχέση:
V µ(" - #) v µ# V v µ(" - #) µ# (1) m"#$ %µ($ - &) %µ& m"#$ %µ$"#& - "#$%µ& "#$ mµ" #$%&'(" - µ" "#$%&' (µ' (m / + 1) "# "$ (m / + 1) () Eξάλλου για τις κινητικές ενέργειες του πυροβόλου και του βλήµατος, κατά τη στιγµή που το βλήµα βγαίνει από την κάνη του πυροβόλου, ισχύουν οι σχέσεις: K V /#% $ mv / &% (:) K V mv (1) K V m(v/m#$%&) K m#$%& (3) Όµως ισχύει η τριγωνοµετρική ταυτότητα "# $ 1 + %& $ -1, οπότε η (3) γράφεται: K m & 1 ) () ( + ' 1 + #$ %* K m & 1 ) ( + (4) ' 1 + (1 + m/) #$ % * Παρατήρηση: Eάν >>m, τότε το πηλίκο m/ είναι πολύ µικρότερο της µονάδος, οπότε θα ισχύει 1+m/ 1 Έτσι οι σχέσεις () και (4) παίρνουν αντιστοίχως τη µορφή: εφθ εφφ θ φ και K m & 1 ) ( + m,-. % ' 1 + #$ % * P.. fysikos ια σφαίρα Σ 1 στερεώνεται στο άκρο ενός µη εκτατού νήµατος, του οποίου το άλλο του άκρο δένεται σε σταθερό σηµείο. ιά άλλη σφαίρα Σ της ίδιας µάζας m µε τη Σ 1, συγκρού
εται ελαστικά µε τη Σ 1, όταν αυτή βρίσκεται στη θέση ισορροπίας της. Kατά τη στιγµή της κρούσεως η σφαίρα Σ έχει ταχύτητα µέτ ρου v, της οποίας ο φορέας σχηµατίζει µε το νήµα γωνία φπ/6 και διέρχεται από το κέντρο της Σ 1, έχει δε φορά προς τα κάτω. i) Nα βρεθεί η ταχύτητα της σφαίρας Σ, αµέσως µετά την κρούση. ii) Nα βρεθεί η ώθηση της τάσεως του νήµατος, για το χρονικό διά στηµα της κρούσεως, µε την προϋπόθεση ότι οι αντίστοιχες ωθή σεις των βαρών των δύο σφαιρών είναι ασήµαντες. Oι δύο σφαίρες θα θεωρηθούν λείες. ΛYΣH: i) Eπειδή οι δύο σφαίρες είναι λείες, οι δυνάµεις κρούσεως κατά την επαφή τους, θα έχουν φορέα τη διάκεντρο των δύο σφαιρών, δηλαδή θα είναι συνευθειακές της ταχύτητας v, γεγονός που σηµαίνει ότι, η ταχύτητα v ' της Σ αµέσως µετά την κρούση θα έχει φορέα τη διάκεντρο των σφαιρών. Eξάλλου η ταχύτητα V της Σ 1 αµέσως µετά την κρούση είναι οριζόντια, λό γω της εξάρτησής της από το κατακόρυφο νήµα. Aκόµη όλες οι εξωτερικές δυνάµεις που δέχονται οι δύο σφαίρες (βάρη των σφαιρών και τάση του νήµατος) στη διάρκεια της κρούσεώς τους είναι κατακόρυφες και εποµένως κατά την οριζόντια διεύθυνση η ορµή του συστήµατος λίγο πριν την κρούση είναι ίση µε την ορµή του αµέσως µετά την κρούση, δηλαδή ισχύει η σχέση: mv + 0 -mv + mv v -v + V vηµφ -v'ηµφ + V v/ -v'/ + V v V - v' v + v V (1) Όµως η κρούση των δύο σφαιρών είναι ελαστική, οπότε ισχύει το θεώρηµα διατήρησης της κινητικής ενέργειας, δηλαδή θα έχουµε:
mv + 0 mv' + mv v v + V v - v V (v + v )(v - v ) V () Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και () παίρνουµε: (V" 0) V(v - v ) V (1) v - v V/ v - v (v + v')/4 4v - 4v v + v 3v 5v v' 3v/5 (3) ii) Για να υπολογίσουµε την ώθηση της τάσεως του νήµατος, κατά τη διάρ κεια της κρούσεως των δύο σφαιρών, εφαρµόζουµε το θεώρηµα ωθησηςορµής για το σύστηµα των δύο σφαιρών, κατά την κατακόρυφη διεύθυνση, οπότε θα έχουµε: P " # T + # w m v ' m v + " T + 0 m(v συνφ + vσυνφ) T (4) όπου T η ζητούµενη ώθηση της τάσεως του νήµατος για το χρονικό διά στηµα της κρούσεως και w η αντίστοιχη ώθηση του βάρους κάθε σφαίρας, η οποία σύµφωνα µε την διατύπωση της άσκησης είναι περίπου µηδέν. Συνδυάζοντας την προηγούµενη σχέση µε την (4) και θέτοντας φπ/6, έχου µε: " m 3v T $ # 5 3 + v 3 % ' & 4 3mv 5 P.. fysikos