ΗΥ118 Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό Εξάμηνο 2016 4 η Σειρά Ασκήσεων - Λύσεις Άσκηση 4.1 [1 μονάδα] Βρείτε όλα τα διατεταγμένα ζεύγη στη σχέση R από το Α={0,1,2,3} στο Β={0,1,2,3,4} όπου (a,b) R αν και μόνο αν: a. a + b = 3. b. a διαιρεί τ ο b. c. a - b = 0. d. ΜΚΔ(a, b) = 1. e. ΕΚΠ(a, b) = 6. a. {(0, 3), (1, 2), (2, 1), (3, 0)} b. {(1, 0), (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 0), (2, 2), (2, 4), (3, 0), (3, 3)} c. {(0, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 3)} d. {(0, 1), (1, 0), (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 4)} e. {(2, 3), (3, 2)} Άσκηση 4.2 [1.5 μονάδα] Δίνονται οι παρακάτω σχέσεις επι του συνόλου των ακεραίων: (x,y) R αν και μόνο αν: 1. Το x διαιρεί ακέραια το y 2. x y 3. y=x+1 ή y=x-1 4. x=y 2 5. xy 1 Έχουν οι παραπάνω σχέσεις την ανακλαστική, συμμετρική, αντισυμμετρική ή μεταβατική ιδιότητα; Δικαιολογείστε τις απαντήσεις σας
1. Είναι ανακλαστική (κάθε αριθμός διαιρεί τον εαυτό του) Δεν είναι συμμετρική (2 6 αλλά 6 2) Δεν είναι αντισυμμετρική (1-1 και -1 1 αλλά 1-1) Είναι μεταβατική (αν x y και y z εύκολα αποδεικνύεται ότι x z) 2. Δεν είναι ανακλαστική. (1,1) R Είναι συμμετρική μια και αν x y τότε και y x Δεν είναι αντισυμμετρική ((2,3) και (3,2) R αλλά δεν ισχύει ότι 2=3) Δεν είναι μεταβατική μια και 1 2 και 2 1 αλλά δεν ισχύει ότι 1 1 3. 4. Δεν είναι ανακλαστική. (1,1) R Είναι συμμετρική μια και οι x = y + 1 και y = x 1 είναι ισοδύναμες εξισώσεις Δεν είναι αντισυμμετρική ((2,3) και (3,2) R αλλά δεν ισχύει ότι 2=3) Δεν είναι μεταβατική μια και (1,2) R και (2,1) R αλλά (1,1) R Δεν είναι ανακλαστική: (2,2 ) R Δεν είναι συμμετρική (9, 3) R αλλά (3,9) R Είναι αντισυμμετρική ((x,y) R και (y,x) R αν και μόνο αν x=y=0 ή x=y=1 Δεν είναι μεταβατική μια και (16, 4) R and (4, 2) R αλλά (16,2) R 5. Δεν είναι ανακλαστική (0,0) R Είναι συμμετρική μια και xy = yx. Δεν είναι αντισυμμετρική ((2,3) και (3,2) R αλλά δεν ισχύει ότι 2=3) Είναι μεταβατική γιατί αν (a, b) R και (b, c) R, τότε και (a, c) R (παρατηρείστε ότι αν xry τότε x,y ομόσημα) Άσκηση 4.3 [1 μονάδα] 1. Έστω R η σχέση του «διαιρεί» επί του συνόλου των θετικών ακεραίων (a,b) R a b. Βρείτε a. την R 1 (Την αντίστροφη σχέση της R) και b. (Το συμπλήρωμα της R) 2. Έστω η σχέση ισοδυναμίας R επί του συνόλου των πραγματικών αριθμών R={(x,y) ο x-y είναι ακέραιος} Ποια είναι η κλάση ισοδυναμίας του 1 για την R
1.a. R 1 = {(b, a) a b} = {(a, b) b a} 1.b ={(a,b) a b}. 2. Το σύνολο των ακεραίων Z Άσκηση 4.4 [1.5 μονάδες] 1. Σχεδιάστε τα διαγράμματα Hasse για τη σχέση διαιρετότητας στα παρακάτω σύνολα a. {1,2,3,6,12,24} b. {2,4,6,12,24,36} 2. Σχεδιάστε το διάγραμμα Hasse της σχέσης που αναπαριστά ο παρακάτω πίνακας 3. Σχεδιάστε τον κατευθυνόμενο γράφο της σχέσης που αναπαριστά το παρακάτω διάγραμμα Hasse 1.a.
1.b 2. 3. Άσκηση 4.5 [0.6 μονάδα] Δίνεται η σχέση R ={(1, 1),(1, 2),(2, 1),(2, 2),(3, 4),(4, 1),(4, 4)} επί του {1,2,3,4} a. Βρείτε τη μεταβατική κλειστότητα R * της R.
b. Σχεδιάστε τον κατευθυνόμενο γράφο για την R και την R * a. R * ={(1, 1),(1, 2),(2, 1),(2, 2),(3, 4),(4, 1),(4, 4),(3,1),(3,2),(4,2)} b. Άσκηση 4.6 [0.6 μονάδα) Έστω R={(1,1),(1,3),(2,1),(3,2)} επί του {1,2,3} Δώστε την αναπαράσταση πίνακα a. για την R b. την ανακλαστική κλειστότητα της R και c. τη συμμετρική κλειστότητα της R
a. b. c. Άσκηση 4.7 (0.8 μονάδα) Έστω σχέση R από το Α στο Β. Αποδείξτε ότι ( ) =, όπου το συμπλήρωμα της R Έστω (b,a) () (a,b) () (από τον ορισμό της αντίστροφης σχέσης) (a,b) R (b,a) R -1 (από τον ορισμό του συμπληρώματος) (από τον ορισμό της αντίστροφης σχέσης) (b,a) ( από τον ορισμό του συμπληρώματος) Άσκηση 4.8 (1.5 μονάδες) Έστω S σύνολο και για Α,Β (S) ορίζουμε Α Β να σημαίνει Α Β. Είναι η σχέση αυτή σχέση μερικής διάταξης στο (S); Εξηγείστε το. Υπόδειξη: Θεωρείστε περιπτώσεις, το S να είναι κενό, να έχει ένα στοιχείο ή να έχει περισσότερα του ενός στοιχεία. Περίπτωση 1. S=. Τότε το (S) περιέχει μόνο ένα στοιχείο, το. Σ αυτή την περίπτωση η σχέση είναι μερική διάταξη μια και: Προφανώς Α Α για όλα τα Α (S) μια και 0= (Ανακλαστική) Αν Α Β και Β Ατότε Α=Β μια και το (S) περιέχει μόνο ένα στοιχείο (Αντισυμμετρική) Αν Α Β και Β C, τότε Α C μια και αναγκαστικά A=B=C και όπως είπαμε προηγουμένως Α Α (Μεταβατική)
Περίπτωση 2. S =1. Σ αυτή την περίπτωση το (S) = {,S} περιέχει 2 στοιχεία. Και πάλι η σχέση είναι μερική διάταξη μια και: Α Α για όλα τα Α (S) επειδή Α Α (Ανακλαστική) Αν Α Β και Β Α τότε Α Β και Β Α, άρα Α = Β. Μια και το (S) δεν περιλαμβάνει διαφορετικά σύνολα ίδιου πληθικού αριθμού, συνεπάγεται ότι Α=Β (Αντισυμμετρική) Έστω ότι Α Β και Β C. Αν Α=, τότε Α =0 C, οπότε Α C. Αν Α=S, τότε Α Β σημαίνει ότι Β=S και Β C σημαίνει ότι C=S, άρα A=B=C=S και Α C (Μεταβατική) Περίπτωση 3. S 2 Σ αυτή την περίπτωση η δεν είναι σχέση μερικής διάταξης γιατί δεν είναι αντισυμμετρική Αν θεωρήσουμε a,b S με a b, τότε {α} {b} επειδή {a} {b}. Για τον ίδιο λόγο {b} {a}. Ωστόσο {a} {b} Άσκηση 4.9 (1.5 μονάδες) Έστω η σχέση R={(m,n): m,n Z, m n (mod 3)} (Υπενθύμιση: m n (mod 3) 3 (m-n)) 1. 1. Αποδείξτε ότι είναι σχέση ισοδυναμίας 2. Βρείτε τις κλάσεις ισοδυναμίας για την R 3. Βρείτε τη διαμέριση του Z που προκύπτει από αυτές τις κλάσεις ισοδυναμίας Η σχέση είναι ανακλαστική ((a,a) R α Z Είναι συμμετρική (αν m n (mod 3) (m-n)=3k (n-m)=-3k 3 (n-m) n m (mod 3) Είναι μεταβατική: (αν a b (mod 3) και b c (mod 3) τότε (a-b)=3k, b-c=3m άρα προσθέτοντας κατά μέλη- a-c=3(k+m) a c(mod3) Άρα είναι σχέση ισοδυναμίας 2. Διαλέγουμε ένα τυχαίο στοιχείο του Z, έστω το 0.
[0]R={,-6,-3,0,3,6, } Διαλέγουμε ένα τυχαίο στοιχείο του Z -[0] R, έστω το 1 [1] R={,-5,-2,1,4,7 } Διαλέγουμε ένα τυχαίο στοιχείο του Z -([0] R [1] R), έστω το 5 [5] R={..., -4, -1, 2, 5, 8,... } Z -([0] R [1] R [5] R)= άρα δεν υπάρχουν άλλες κλάσεις ισοδυναμίας 3. Τα [0] R, [1] R, [5] R αποτελούν μια διαμέριση του Z