Οικονομικά Μαθηματικά Ενότητα 6: Επιτόκιο Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)
Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο TEI Δυτικής Μακεδονίας» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3
Σκοποί ενότητας Να κατανοήσει ο φοιτητής τις έννοιες του ονομαστικού και πραγματικού επιτοκίου. 4
Περιεχόμενα ενότητας Ονομαστικό επιτόκιο. Πραγματικό επιτόκιο. Σχετικά παραδείγματα-ασκήσεις. 5
Ονομαστικό επιτόκιο Ονομαστικό επιτόκιο είναι το ετήσιο επιτόκιο που συνήθως ανακοινώνουν τα πιστωτικά ιδρύματα για τα σχετικά προϊόντα τους (δάνεια, πιστωτικές κάρτες κλπ.), ανεξαρτήτως του ανατοκισμού που μπορεί να εφαρμόζεται σε κάποιο από αυτά. 6
Πραγματικό επιτόκιο (1) Πραγματικό επιτόκιο είναι το ετήσιο επιτόκιο που υπολογίζεται με βάση τον ανατοκισμό που ισχύει σε κάθε περίπτωση και συνεπώς αντανακλά την πραγματική χρονική αξία του χρήματος. Π.χ. μια τράπεζα ανακοινώνει ονομαστικό επιτόκιο 12 % και ανατοκίζει τα χρέη των πιστωτικών καρτών κάθε εξάμηνο. Αυτό σημαίνει ότι τα 1.000 ευρώ χρέους μετά ένα εξάμηνο θα έχουν τελική αξία Κ 1 =Κ 0 (1+επιτ. εξαμ.) 1 =1.000*1,06=1.060. το ποσό αυτό κεφαλαιοποιείται και επανατοκίζεται για το επόμενο εξάμηνο πάλι με 6 %, δηλαδή 1.060*1,06=1.123,6. Στο τέλος του έτους η αξία των 1.000 ευρώ θα είναι: 1.000 * (1+(0,12 2)) 2 =1.000 * (1,06) 2 =1.123,6 7
Πραγματικό επιτόκιο (2) Εάν ο ανατοκισμός γινόταν ετησίως τότε η αξία του χρέους στο τέλος του έτους θα ήταν Κ 1 =Κ 0 (1+0,12) 1 = 1.000*1,12 =1.120 ευρώ, δηλαδή θα ήταν κατά 3 ευρώ μικρότερη από την παραπάνω περίπτωση του εξαμηνιαίου ανατοκισμού. Η διαφορά των 3 ευρώ οφείλεται στον ανατοκισμό, τα 1000 ευρώ με την κεφαλαιοποίηση των τόκων (60 ευρώ) στο τέλος του εξαμήνου γίνονται 1.060, στη συνέχεια το ποσό αυτό τοκίζεται για ένα ακόμη εξάμηνο με αποτέλεσμα μεγαλύτερο τόκο συγκριτικά με την περίπτωση που o τόκος αφορά στο ποσό των 1.000 ευρώ καθ όλη τη διάρκεια του έτους. Το πραγματικό, λοιπόν, ετήσιο επιτόκιο είναι το επιτόκιο που δίνει τελική αξία ίση με 1.123,6 ευρώ, δηλαδή ενσωματώνει τον ανατοκισμό στις ορισθείσες περιόδους. 8
Τύπος εύρεσης πραγματικού επιτοκίου Ο τύπος εύρεσης του πραγματικού επιτοκίου είναι: i = (1+(r v)) v -1 = (1+(0,12 2)) 2-1 = 0,1236 i - πραγματικό επιτόκιο r - ονομαστικό επιτόκιο v αριθμός περιόδων ανατοκισμού 9
Παράδειγμα 1 Η τελική αξία των 1.000 μετά ένα έτος με επιτόκιο 0,1236 θα είναι Κ 1 =Κ 0 (1+0,1236) 1 = 1.000*1,1236 =1.123,6 ευρώ ίση δηλαδή με την πραγματική του αξία. Εάν η περίοδος ανατοκισμού ήταν ακόμη μικρότερη το πραγματικό επιτόκιο θα ήταν ακόμη μεγαλύτερο, καθώς η κεφαλαιοποίηση των τόκων θα πραγματοποιείται συχνότερα. Για παράδειγμα, στην περίπτωση του μηνιαίου ανατοκισμού το πραγματικό επιτόκιο θα ήταν ίσο: i = (1+(r v)) v -1 = (1+(0,12 12)) 12-1 = 0,1268 και η τελική αξία Κ 1 =Κ 0 (1+0,1268) 1 = 1.000*1,1236 =1.126,8 10
Παράδειγμα 2 (1) Στον παρακάτω πίνακα είναι εμφανές το μεγαλύτερο αποτέλεσμα που παράγεται από τον υψηλότερο αριθμό περιόδων ανατοκισμού. Πίνακας 1. Δεδομένα παραδείγματος 2 11
Παράδειγμα 2 (2) Με την ίδια λογική υπολογίζεται και το πραγματικό επιτόκιο για περιόδους μεγαλύτερες του έτους (όπου T τα έτη του πραγματικού επιτοκίου). Ο τύπος υπολογισμού είναι: 1+(r v)) vτ -1 12
Παράδειγμα 3 Μια επένδυση απέδωσε 500 % σε ένα διάστημα 20 ετών. Ποιο ονομαστικό επιτόκιο ανατοκιζόμενο μηνιαία μπορεί να δώσει αυτή την απόδοση; Λύση 500 % ή 5 είναι το πραγματικό επιτόκιο των 20 ετών Οι μήνες στην περίοδο των 20 ετών είναι 12 * 20 = 240 I = (1+(r v)) vτ -1 5= (1+(r 12)) 12-20 )-1 5+1 = (1+(r 12)) 240 6 1/240 =1 +(r 12) r = 0,09 ή 9% 13
Παράδειγμα 4 Να βρεθεί το ονομαστικό επιτόκιο όταν το πραγματικό επιτόκιο είναι 12 % και ο ανατοκισμός πραγματοποιείται κάθε δίμηνο. Λύση i = (1+(r v)) v -1 0,12 = (1+(r 6)) 6 )-1 1+0,12 = (1+(r 6)) 6 1,12 1/6 =1 +(r 6) (r 6 ) = 0,019 r = 0,114 ή 11,4 % ονομαστικό επιτόκιο 14
Παράδειγμα 5 Μια τράπεζα προσφέρει πιστωτικές κάρτες με ονομαστικό επιτόκιο 16 % και μηναίο ανατοκισμό. Εάν ένας πελάτης δημιουργήσει χρέος 5.000 ευρώ, τι ποσό θα οφείλει μετά από 3,5 χρόνια. Λύση 1 ος Τρόπος r = Ονομαστικό Επιτόκιο = 0,10 i = 0,16/12 = 0,013 το μηνιαίο επιτόκιο Περίοδοι = 3,5 χρόνια = 12 * 3,5 = 42 Η τελική αξία μετά 3,5 έτη είναι: Κ 42 =Κ 0 (1+0,013) 42 = 5.000 * 1,72027 = 8.601 2ος Τρόπος Υπολογισμός του πραγματικού επιτοκίου i = (1+(r v)) v -1 = [1+(0,16 12)] 12 )-1 = 0,1676 Η τελική αξία θα είναι ίση με Κ n = (1,17) 3,5 * 5.000 = 8.601 15
Βιβλιογραφία Σαριαννίδης, Ν. & Μποντζίδου, Ε. (2010). Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά. ISBN 978-960-92844-0-0. Σόρμας, Α. & Σαριαννίδης, Ν. (2010). Οικονομικά Μαθηματικά. ISBN 978-960-92844-2-4. 16