ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών Θεματική Ενότητα Διοίκηση Επιχειρήσεων & Οργανισμών ΔΕΟ 13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος 008-009 ΤΕΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ (Ημερομηνία, ώρα) Να απαντηθούν 5 από τα 6 θέματα. Όλα τα θέματα είναι ισότιμα και το κάθε θέμα αντιστοιχεί στο 0% του τελικού βαθμού Η τελική βαθμολογία της εξέτασης δίδεται με άριστα το 10, με ένα δεκαδικό ψηφίο. Η σχετική βαρύτητα κάθε υπο-ερώτησης, δίνεται ως ποσοστό (επί του θέματος). Η χρήση παραδειγμάτων και διαγραμμάτων συνιστάται ακόμη και όπου δεν απαιτείται ρητά. Η συνεργασία ή/και αντιγραφή επισύρουν μηδενισμό των γραπτών των εμπλεκομένων. ΑΠΑΓΟΡΕΥΟΝΤΑΙ ΤΑ ΚΙΝΗΤΑ ΤΗΛΕΦΩΝΑ
Θέμα 1 Μια Επιχείρηση κατασκευάζει ένα Προϊόν του οποίου το οριακό ολικό κόστος MC ακολουθεί διωνυμική σχέση με την κατασκευαζόμενη ποσότητα Q: MC( q) 7,5q 300q 9.000, σε το ελάχιστο ολικό κόστος είναι 50.000 ενώ η τιμή πώλησης του Προϊόντος ισούται με: p( q) 10q 1.500, σε ανά μονάδα προϊόντος Αν η επιχείρηση λειτουργούσε σε συνθήκες ελάχιστου ολικού κόστους, θα είχε έξοδα 50.000. Να βρείτε: (A)τη συνάρτηση καθαρού κέρδους Κ(q), αν η Επιχείρηση πουλάει όλη την ποσότητα που κατασκευάζει. (50%) (B) τη βέλτιστη ποσότητα qopt, που μεγιστοποιεί το καθαρό κέρδος Κ(q) (50%) ΛΥΣΗ (A) ΚΠΠ για την TC(q): dtc( qc ) MC( qc ) 0 dq q q 0 7,5 c 300 c 9.000 q c 300 300 4 7,5 ( 9000) 7,5 300 360000 300 600 15 15 60 0 απορριπτεται qc 0 40 qc 0 0 0 ΚΔΠ για την TC(q): dmc( qc ) 15 qc 300 0 (ελαχιστο) dq TC( q) MC( q) dq 7,5 q 300q 9.000 dq TC( q 0) 50.000 c 3, 5 q 150q 9.000q FC FC 3 50.000, 5 0 150 0 9.000 0 100.000 FC FC = 150.000
( q) TR( q) TC( q) q p( q) TC( q) 10 1.500,5 3 150 9.000 150.000 q q q q q 3 10 1.500,5 150 9.000 150.000 q q q q q 3 (q) = -,5 q - 30 q + 10.500 q - 150.000 (B) ΚΠΠ για το ( q) d( q ) dtr( q ) ( q) TR( q) TC( q) και 0 MC( q ) dq dq q q q 10 1.500 7,5 300 9.000 7,5 60 10.500 0 q q q q 7,5 60 60 4 7,5 ( 10.500) 41, 630 0 απορριπτεται q = 33,630 33, 630 0 ΚΔΠ για την C(q): d C q d TR q dmc q ( ) ( ) ( ) dq dq dq 40 15q 300 564, 44 0 (μεγιστο) Τελικα, C(q ) = C(33,630) = 74099 Κ TC, TR, =TR-TC 500000 400000 300000 00000 100000 0-100000 -00000 TC= MCdq TR=qp =TR-TC max min TC 0 10 0 30 40 50 60 ποσότητα (q) Γράφημα των συναρτήσεων κόστους (δε ζητείται)
Θέμα Ο ελληνικός στρατός διαθέτει για τις στολές των φαντάρων σε τρία μεγέθη, βάσει του παρακάτω πίνακα: S: ανάστημα < 165cm M: 165cm - 190cm L: ανάστημα > 190cm (A) Στρατιωτική μονάδα θα δεχτεί 300 νέους στρατεύσιμους και θέλει να παραγγείλει τις αναγκαίες στολές. Αν είναι γνωστό ότι το ανάστημα των στρατεύσιμων ακολουθεί κανονική κατανομή με μέσο ύψος 180cm και τυπική απόκλιση 1cm, πόσες στολές θα πρέπει να παραγγελθούν από κάθε μέγεθος; (50%) (B) Από τους 1 φαντάρους ενός θαλάμου, ποια η πιθανότητα τουλάχιστον 4 απ αυτούς να φορούν L; (50%) (A) Λ Υ Σ Η Θ Ε Μ Α Τ Ο Σ Έστω Χ η τ.μ. που μετρά το ύψος ενός νέου σε ηλικία στράτευσης (σε cm). Δίνεται ότι X N(180,1 ) 165cm είναι. Τότε η πιθανότητα ένας φαντάρος να έχει ύψος κάτω του X 165 180 P( X 165) P( ) P( Z 1.5) 1 P( Z 1.5) 1 0,8944 0,1056 1, όπου Z N (0, 1). Όμοια, X 190 180 P( X 190) P( ) P( Z 0.83) 1 P( Z 0.83) 1 0,7967 0, 033 1. Άρα P(165 X 190) 1 P( X 165) P( X 190) 1 0,1056 0, 033 0, 6911. Με βάση τις παραπάνω πιθανότητες, οι 300 στολές που θα παραγγελθούν πρέπει να κατανεμηθούν ανά μέγεθος ως S: 300 * P( X 165) 300 * 0,1056 31, 68 δηλ. 3 M: 300 * P(165 X 190) 300* 0, 6911 07.33 δηλ. 07 L: 300 * P( X 190) 500* 0, 033 60, 99 δηλ. 61
(B) Έστω Υ η τ.μ. που μετρά το πλήθος των φαντάρων ενός θαλάμου 1 ατόμων που φορούν L. Τότε η Υ ακολουθεί τη διωνυμική κατανομή Y B(1, p), Υ=0,1,..., 1, με p P( X 190) 0, 033 0.0. Έτσι το ζητούμενο είναι όπου Τελικά P( Y 4) 1 [ P( Y 0) P( Y 1) P( Y ) P( Y 3)], 1 1! P Y p p 0 0!1! 0 1 0 1 ( 0) (1 ) 0, (1 0, ) 0,0687 1 P Y 1 1 11 ( 1) 0, (1 0, ) 0,06 1 P Y 10 ( ) 0, (1 0, ) 0,835 1 P Y 3 3 9 ( 3) 0, (1 0, ) 0,36,,. P( Y 4) 1 [ P( Y 0) P( Y 1) P( Y ) P( Y 3)] =0,054. Άρα η ζητούμενη πιθανότητα είναι 0.54%.,,
Θέμα 3 Καθημερινά, ο ιδιοκτήτης μιας μικρής αλυσίδας super market, ξεκινά από το κτίριο που βρίσκονται τα γραφεία της επιχείρησής του προκειμένου να επισκεφθεί και να ελέγξει ένα από τα τέσσερα super market που διαθέτει. Στο παρακάτω δίκτυο, ο κόμβος 1 αναπαριστά το κτίριο των γραφείων, οι κόμβοι έως 5 τα τέσσερα super market, οι ακμές του δικτύου διαδρομές, ενώ οι τιμές πάνω στις ακμές εκφράζουν το χρόνο της διαδρομής σε λεπτά. Με βάση τα στοιχεία αυτά, να εφαρμοσθεί η κατάλληλη τεχνική δικτυωτής ανάλυσης προκειμένου να βρεθούν οι συντομότερες διαδρομές μετάβασης από τα γραφεία της επιχείρησης σε καθένα από τα super market. Η τεχνική που θα επιλεγεί θα πρέπει να αναφερθεί με σαφήνεια και η διαδικασία επίλυσης του προβλήματος να περιγραφεί επαρκώς. (100%) Λύση Πρόκειται για πρόβλημα εύρεσης της συντομότερης διαδρομής όπου πρέπει να εντοπιστεί η συντομότερη διαδρομή από τον κόμβο 1, που είναι η αφετηρία, προς κάθε άλλο κόμβο του δικτύου. Πρώτος λυμένος κόμβος καθίσταται η αφετηρία με απόσταση 0 (από τον εαυτό της). 1 η επανάληψη: Κόμβοι με προσωρινές διαδρομές: κόμβος, με απόσταση 30 από την αφετηρία απευθείας, και κόμβος 3, με απόσταση 40 (ομοίως). Στο σύνολο των μονίμων εισέρχεται ο κόμβος με ελάχιστη απόσταση 30 μονάδες, οπότε το σύνολο των μονίμων κόμβων γίνεται {1, }. η επανάληψη:
Αναπροσαρμόζουμε τις μεταβάσεις λόγω της εισαγωγής του κόμβου στους μόνιμους. κόμβος 3, παραμένει το 40 από την αφετηρία απευθείας, αφού μέσω του η απόσταση είναι 30 + 68 =98 και δεν είναι καλύτερη, κόμβος 4, με απόσταση 30 + 3= 6 μέσω του κόμβου, κόμβος 5, με απόσταση 30 + 55= 85 μέσω του κόμβου. Μόνιμος καθίσταται ο κόμβος 3 που έχει προσωρινή απόσταση από την αφετηρία τη μικρότερη μεταξύ αυτών με προσωρινή απόσταση, δηλαδή 40 μονάδες απευθείας, οπότε το σύνολο των μονίμων είναι τώρα το {1,, 3}. 3 η επανάληψη: Αναπροσαρμόζουμε τις μεταβάσεις λόγω της εισαγωγής του κόμβου 3 στο σύνολο των μονίμων. κόμβος 4, παραμένει η απόσταση 6 μέσω του κόμβου αφού μέσω του 3 η απόσταση είναι 40 + 6 = 66 και δεν είναι καλύτερη, κόμβος 5, βελτιώνεται μέσω του κόμβου 3 αφού 40 + 38 = 78 < 85, άρα η νέα απόσταση είναι 78 μέσω του 3. Από τους κόμβους με προσωρινό μήκος διαδρομής μόνιμος γίνεται ο κόμβος 4 με ελάχιστη απόσταση από την αφετηρία 6 μονάδες μέσω του κόμβου, οπότε το σύνολο μονίμων είναι τώρα {1,, 3, 4}. 4 η επανάληψη: Αναπροσαρμόζουμε τις μεταβάσεις λόγω της εισαγωγής του κόμβου 4 στο σύνολο των μονίμων. κόμβος 5, βελτιώνεται μέσω του κόμβου 4 αφού 6 + 1 = 74 < 78, άρα η νέα απόσταση είναι 74 μέσω του 4. Μόνιμος γίνεται ο κόμβος 5 με απόσταση από την αφετηρία 74 μονάδες μέσω του κόμβου 4 και το σύνολο μονίμων γίνεται {1,, 3, 4, 5}. Όλοι οι κόμβοι έγιναν μόνιμοι και διαδικασία ολοκληρώνεται. Η τιμή που αντιστοιχεί σε λεπτά για κάθε κόμβο είναι αυτή που βρέθηκε προηγουμένως ως άριστη για τον καθένα από αυτούς ενώ για να εντοπίσουμε την άριστη διαδρομή για κάθε κόμβο εργαζόμαστε οπισθοδρομικά. Για παράδειγμα η άριστη διαδρομή για τον κόμβο 5 είναι η εξής: Στον 5 το άριστο «κόστος» μετάβασης είναι 74 λεπτά και επιτεύχθηκε μέσω του 4. Στον 4 φτάσαμε με άριστο τρόπο μέσω του ενώ ο έγινε μόνιμος με άριστη μετάβαση απευθείας από την αφετηρία. Άρα η άριστη διαδρομή είναι 1 4 5. Με όμοιο τρόπο εντοπίζουμε τις άριστες διαδρομές για όλους τους κόμβους. Παρακάτω δίνονται οι συντομότερες διαδρομές και οι αποστάσεις από την αφετηρία (δηλαδή τα λεπτά ταξιδιού) για όλους τους κόμβους, με τη σειρά που έγιναν μόνιμοι.
Κόμβος Συντομότερη Διαδρομή Ελάχιστη απόσταση από αφετηρία (λεπτά ταξιδιού) 1 0 (αφετηρία) 1 30 3 1 3 40 4 1 4 6 5 1 4 5 74
Θέμα 4 Στον πίνακα παρουσιάζονται η προσφερόμενη ποσότητα Q d και αντίστοιχες τιμές P ενός προϊόντος: Q Q P s d 150 50 10 75 350 5 Q s, η ζητούμενη ποσότητα (A) Να προσδιοριστούν οι συναρτήσεις ζήτησης και προσφοράς, αν υποτεθεί ότι είναι γραμμικές συναρτήσεις. (5%) (B) Να βρεθεί η τιμή και η ποσότητα ισορροπίας. (5%) (Γ) Να υπολογιστεί η ελαστικότητα ζήτησης στο σημείο ισορροπίας. (5%) (Δ) Έστω ότι κράτος αυξάνει την τιμή του προϊόντος κατά 5% επιδοτώντας τους παραγωγούς. Να βρεθεί το ύψος της επιδότησης και το συνολικό κόστος αυτής της πολιτικής. (5%) Λύση α) Η συνάρτηση ζήτησης προσδιορίζεται από την επίλυση των εξισώσεων: 50 10. 350 5. Η λύση των εξισώσεων δίνει 0 και 450. Επομένως η συνάρτηση ζήτησης είναι: Qd 450 0P Ομοίως η συνάρτηση προσφοράς βρίσκεται από την επίλυση των εξισώσεων: 150 10. 75 5. Η λύση των εξισώσεων δίνει 15 και 0. Επομένως η συνάρτηση προσφοράς είναι: Q 15P β) Οι συναρτήσεις ζήτησης και προσφοράς προσδιορίζουν την τιμή και την ποσότητα ισορροπίας στην αγορά του προϊόντος (πχ. Qs Qd ): * 450 * 450 0P 15P P 1,86 Q 193. 35 γ) Η ελαστικότητα ζήτησης δίνεται από τον τύπο: dqd P d dp Q Από τη συνάρτηση ζήτησης ισχύει: dq d 0 dp Επομένως η ελαστικότητα ζήτησης είναι: 1,86 d 0 1,33 193 δ) Μια αύξηση της τιμής κατά 5% σημαίνει ότι η καινούργια αγοραία τιμή του s
προϊόντος θα είναι περίπου: P 16,1. Σε αυτή την τιμή η προσφερόμενη ποσότητα είναι: Q s 15(16,1) 41,5 Για να αγοραστεί αυτή η ποσότητα, η αγοραία τιμή θα πρέπει να είναι: ˆ 450 41,5 P 10, 43 0 0 Επομένως το κράτος επιδοτεί τους παραγωγούς με d 16,110, 43 5, 67 νομισματικές μονάδες ανά μονάδα προϊόντος. Το συνολικό κόστος αυτής της πολιτικής είναι TC 5,67. 41,5 1369,31
Θέμα 5 Για τις ανάγκες της διερεύνησης της κατανομής εισοδημάτων κάποιας περιοχής, ο διευθυντής της ΔΟΥ της περιοχής αυτής αποφάσισε δειγματοληπτικά να μελετήσει το φορολογητέο εισόδημα των κατοίκων της περιοχής. Έτσι επέλεξε ένα δείγμα 100 δηλώσεων του τελευταίου έτους. Από το δείγμα αυτό προέκυψαν τα κάτωθι στοιχεία. Φορολογητέο εισόδημα (σε χιλιάδες ευρώ) Αριθμός δηλώσεων [10 0) 14 [0 30) 4 [30 40) 4 [40-50) 15 [50 60) 13 [60 70] 10 ΣΥΝΟΛΟ 100 (A) Να υπολογισθεί ο αριθμητικός μέσος, η διάμεσος και η διακύμανση των εισοδημάτων αυτών. (80%) Στη συνέχεια ο διευθυντής της ΔΟΥ θέλει να διερευνήσει το ύψος των εσόδων αν σε αυτούς τους φορολογούμενους, ανεξάρτητα από τον φόρο που πληρώνουν, έκανε και μία συμπληρωματική κράτηση ύψους % επί του φορολογητέου εισοδήματος της κάθε δήλωσης. (B) Πόσο θα ήταν το συνολικό ποσό που θα εισέπραττε η υπηρεσία από την συμπληρωματική κράτηση; (0%) Λύση Ύψος εισοδήματος (σε χιλιάδες ευρώ) Αριθμός δηλώσεων f i mi fimi 10 0 14 15 10 14 0 30 4 5 600 38 30 40 4 35 840 6 40-50 15 45 675 77 50 60 13 55 715 90 60 70 10 65 650 100 ΣΥΝΟΛΟ 100 3690 Fi (i)
Μέσος X k i1 k i1 f m i f i i = 3690 36,9 χιλιάδες Ευρώ ή 36.900 Ευρώ 100 Διάμεσος Εντοπισμός της θέσης του Μ: 100/=50, Συνεπώς η διάμεσος βρίσκεται στην 3 η τάξη (μεταξύ 30 και 40 χιλιάδες Ευρώ). M L n / FM 50 F =30+10 1 M = L3 fm f3 50 38 =35 χιλιάδες Ευρώ 4 Διακύμανση S k 36,9 6 f m X f m 3339 35, 74 99 99 f 1 i i i i i1 i1 n i1 i (ii) Το συνολικό ποσό που θα εισέπραττε η ΔΟΥ από την συμπληρωματική κράτηση θα ήταν: k 0, 0* f m 0, 0* 3690 73,8 χιλιάδες Ευρώ ή 73800 Ευρώ i1 i i
Θέμα 6 Δύο εταιρείες κινητής τηλεφωνίας Α και Β μοιράζονται το μεγαλύτερο μερίδιο της αγοράς σε κάποια χώρα που ανέρχεται σε 1,5 δις ευρώ ετήσιο τζίρο. Οι δύο εταιρείες ετοιμάζουν τη διαφημιστική καμπάνια του καλοκαιριού και ο ακόλουθος πίνακας πληρωμών δίνει τα αναμενόμενα έσοδα της εταιρείας Α (σε εκατομμύρια ευρώ) ανάλογα με την στρατηγική που θα επιλέξει, σε συνδυασμό με τη στρατηγική που θα επιλέξει η ανταγωνίστρια εταιρεία Β. Στρατηγικές Εταιρείας Β Στρατηγικές Εταιρείας Α Β1 Β Β3 Α1 70 600 830 Α 580 910 70 Α3 580 600 500 (A) Εφαρμόστε το κριτήριο minimax στον παραπάνω πίνακα χωρίς να διαγράψετε καμία υποδεέστερη στρατηγική και διατυπώστε τα συμπεράσματά σας. (0%) (B) Προσδιορίστε την άριστη στρατηγική για την κάθε πλευρά, καθώς επίσης και την τιμή του παιγνιδιού. Όπου χρειάζεται, να διατηρήσετε τέσσερα δεκαδικά ψηφία στους υπολογισμούς σας. (80%) Λύση A. Πρόκειται για παίγνιο σταθερού αθροίσματος όπου το άθροισμα είναι ο συνολικός τζίρος που μοιράζονται οι δύο εταιρείες. Η εφαρμογή του κριτηρίου minimax στον δοθέντα πίνακα πληρωμών δίνει τα ακόλουθα αποτελέσματα. Στρατηγικές Εταιρείας Β Στρατηγικές Εταιρείας Α Β1 Β Β3 Ελάχιστο Γραμμών maxmin Α1 70 600 830 600 600 Α 580 910 70 580 Α3 580 600 500 500 Μέγιστο Στηλών 70 910 830 minmax 70 Παρατηρούμε ότι η maximin τιμή είναι ίση με 600 στην τομή των στρατηγικών Α1- Β και η minimax τιμή είναι ίση με 70 στην τομή των στρατηγικών Α1-Β1. Επομένως δεν υπάρχει ισορροπία, δηλαδή δεν υπάρχουν αμιγείς στρατηγικές. B. Το πρόβλημα είναι διάστασης 33 επομένως για να το λύσουμε προχωράμε πρώτα στη διαγραφή όσων περισσοτέρων υποδεέστερων στρατηγικών μπορούμε. Η στρατηγική Α3 διαγράφεται επειδή είναι υποδεέστερη τόσο της Α όσο και της Α1. Στη συνέχεια, μπορεί να διαγραφεί η στρατηγική Β3 διότι καθίστανται υποδεέστερη της Β1 (τα στοιχεία των στηλών της που έχουν απομείνει μετά τη διαγραφή της Α3 είναι μεγαλύτερα από τα αντίστοιχα της Β1).
Συνοψίζοντας, ο πίνακας πληρωμών μειώνεται στον ακόλουθο πίνακα διάστασης ( δεν υπάρχουν άλλες υποδεέστερες στρατηγικές). Β1 Β Α1 70 600 Α 580 910 Αν τώρα, ονομάσουμε x την πιθανότητα η εταιρεία Α να ακολουθήσει τη στρατηγική της Α1, τότε (1-x) είναι η πιθανότητα να ακολουθήσει την Α. Ομοίως, αν y η πιθανότητα η εταιρεία Β να ακολουθήσει τη στρατηγική της Β1, (1-y) θα είναι η πιθανότητα να ακολουθήσει τη στρατηγική Β: Β1 y Β 1-y Α1 x 70 600 Α 1-x 580 910 Για την εταιρεία Α έχουμε ότι V(A, B1) = 70x + 580(1-x) = 140x + 580, και V(A, B) = 600x + 910(1-x) = -310x + 910. Θέτουμε V(A, B1) = V(A, B) οπότε:140x + 580 = -310x + 910, δηλαδή 450x = 330 που δίνει x=11/15 ( 0,7333) άρα 1-x = 4/15 ( 0,666) Η τιμή του παιγνίου βρίσκεται με αντικατάσταση των πιθανοτήτων σε οποιοδήποτε από τα V(A, B1) ή V(A, B) δηλαδή είναι V = 600 0.73 + 910 0.7 = 68,6667. Για εταιρεία Β έχουμε ότι V(B, A1)=V(B, A) δηλαδή 10y +600 = -330y + 910 που δίνει 450y = 310 οπότε y= 0,6888 και 1-y = 0,3111.
Ανακεφαλαιώνοντας, το αποτέλεσμα του παιγνίου έχει ως ακολούθως: Μεικτή στρατηγική για την εταιρεία Α: (0,7333, 0,666, 0) Μεικτή στρατηγική για την εταιρεία Β: (0,6888, 0,3111, 0) Τιμή του παιγνίου V = 68,6667 Αν εφαρμοστούν οι άριστες στρατηγικές, αναμένεται ότι μακροπρόθεσμα η εταιρεία Α θα αποκομίζει περίπου 68,67 εκατομμύρια ευρώ του συνολικού τζίρου ενώ η εταιρεία Β θα έχει τζίρο 817,33 εκατομμύρια ευρώ τζίρο. Καλή Επιτυχία!