Σεµινάριο Αυτοµάτου Ελέγχου Μάθηµα Ολική συνάρτηση µεταφοράς ιάγραµµα ροής Τύπος του Maso Καλλιγερόπουλος
ιάγραµµα ροής Σύνθετα διαγράµµατα βαθµίδων πολλαπλών συστηµάτων οδήγησαν στην ανάγκη να βρεθεί απλούστερη παράσταση των συστηµάτων αυτών Μια τέτοια απλούστευση είναι τα διαγράµµατα ροής Το διάγραµµα ροής (sigal flow graph) ενός συστήµατος είναι ένα οµοίωµα του συστήµατος, ισοδύναµο του διαγράµµατος βαθµίδων, όπου τα µεγέθη του συστήµατος συµβολίζονται µε κόµβους (odes) και οι βαθµίδες του συστήµατος συµβολίζονται µε κλάδους (braches) ή βέλη (arrows) που χαρακτηρίζουν τη µετάβαση από έναν κόµβο σε έναν άλλο Η µετάβαση αυτή συµβολίζεται µαθηµατικά µε τη συνάρτηση µεταφοράς, ή γενικότερα τη σχέση µετάβασης κλάδου (brach gai) θεµελιακή σχέση ενός απλού διαγράµµατος ροής είναι X = G X
Άλγεβρα διαγραµµάτων ροής Οι παρακάτω κανόνες καθορίζουν τις µαθηµατικές σχέσεις στα διαγράµµατα ροής Σύνδεση εν σειρά Σύνδεση παράλληλα Σηµείο άθροισης Σύνδεση κλειστού συστήµατος
Ολική συνάρτηση µεταφοράς διαγράµµατος ροής Τύπος του Maso Η ολική συνάρτηση µεταφοράς (total trasfer fuctio) ενός σύνθετου συστήµατος µπορεί να υπολογιστεί από το διάγραµµα ροής του µε µία µαθηµατική σχέση που ονοµάζεται τύπος του Maso (Maso s gai rule) και είναι G = N = Η εφαρµογή του τύπου αυτού απαιτεί αρχικά την αποσαφήνιση των όρων που αφορούν διαδροµές µέσα στο δεδοµένο διάγραµµα ροής ιαδροµή ή δρόµος (path) του διαγράµµατος ροής ορίζεται µία διαδοχή κλάδων ίδιας φοράς που οδηγούν από έναν κόµβο σε έναν άλλο Οι διαδροµές χωρίζονται σε ανοιχτές και κλειστές Ανοιχτή διαδροµή (ope path) ονοµάζεται εκείνη που ξεκινά από έναν κόµβο X i και καταλήγει σε έναν άλλο X j, χωρίς να επανέλθει στον κόµβο από τον οποίο ξεκίνησε ή σε κόµβο από τον οποίο διήλθε Η σχέση µετάβασης ή η συνάρτηση µεταφοράς ανοιχτής διαδροµής (path gai ή trasmittace) ij είναι το γινόµενο των επιµέρους συναρτήσεων µεταφοράς των κλάδων της πχ = GGG
Ολική ανοιχτή διαδροµή ή ανοιχτή διαδροµή εισόδου-εξόδου (total path) ονοµάζεται κάθε ανοιχτή διαδροµή που ξεκινά από τον κόµβο εισόδου και καταλήγει στον κόµβο εξόδου του συστήµατος πχ Οι σχέσεις µετάβασης των ολικών ανοιχτών διαδροµών του διαγράµµατος ροής είναι = και GGGG = GG6 Κλειστή διαδροµή ή βρόχος (loop) ονοµάζεται η διαδροµή που καταλήγει στον κόµβο από τον οποίο ξεκίνησε πχ Η σχέση µετάβασης της κλειστής διαδροµής του διαγράµµατος ροής είναι = GG Απλός βρόχος (simple loop) ονοµάζεται µια κλειστή διαδροµή που αποτελείται από έναν κλάδο πχ Η σχέση µετάβασης του απλού βρόχου είναι =
Ανεξάρτητες κλειστές διαδροµές (o-touchig loops) πχ ονοµάζονται εκείνες που δεν διαθέτουν κοινό κόµβο Οι κλειστές διαδροµές, είναι ανεξάρτητες, ενώ οι διαδροµές, και, δεν είναι Μετά από τους ορισµούς αυτούς, τα στοιχεία του τύπου του Maso ορίζονται G η ολική συνάρτηση µεταφοράς του συστήµατος, µία µερική συνάρτηση µεταφοράς, δηλαδή η σχέση µετάβασης µίας από τις =,, N ολικές ανοιχτές διαδροµές του διαγράµµατος, η σχέση µετάβασης µίας κλειστής διαδροµής, το άθροισµα των σχέσεων µετάβασης όλων των κλειστών διαδροµών του διαγράµµατος, το γινόµενο των σχέσεων µετάβασης δύο ανεξάρτητων κλειστών διαδροµών, το άθροισµα των γινοµένων των σχέσεων µετάβασης όλων των ανεξάρτητων κλειστών διαδροµών ανά δύο, το γινόµενο των σχέσεων µετάβασης τριών ανεξάρτητων κλειστών διαδροµών, κλπ η ολική ορίζουσα του διαγράµµατος ροής που υπολογίζεται από τη σχέση =, µία µερική ορίζουσα του διαγράµµατος ροής, δηλαδή εκείνη που αντιστοιχεί στην ολική ανοιχτή διαδροµή και υπολογίζεται ως η ολική ορίζουσα του διαγράµµατος ροής που προκύπτει αν από το ολικό διάγραµµα ροής αφαιρεθεί η διαδροµή που αντιστοιχεί στην Κατά την αφαίρεση αυτή οι κλειστές διαδροµές που έχουν κοινό κλάδο ή κοινό κόµβο µε την αφαιρούµενη ολική διαδροµή καταργούνται και οι συναρτήσεις µεταφοράς τους,, µηδενίζονται Η µερική ορίζουσα προκύπτει τότε από την ολική ορίζουσα παίρνοντας υπόψη αυτόν το µηδενισµό 6
Παραδείγµατα Παράδειγµα ίνεται το διάγραµµα ροής Είσοδος U, έξοδος Y Ανοιχτή διαδροµή εισόδου-εξόδου είναι µία = GGG Τρεις είναι οι κλειστές διαδροµές =, = GG και = GGG Μεταξύ αυτών ανεξάρτητες είναι µόνο οι και Ενώ οι διαδροµές, έχουν κοινό κόµβο και οι διαδροµές, έχουν κοινούς κλάδους, άρα δεν είναι ανεξάρτητες Η ολική ορίζουσα είναι = ( G G G G G G G ) = ( ) Η µερική ορίζουσα = εφόσον µε την αφαίρεση της διαδροµής δεν αποµένει κλειστός βρόχος (δηλαδή γίνονται = = 0 ) = Άρα η ολική συνάρτηση µεταφοράς είναι G G G G = ( G G G G G ) G G = 7
Παράδειγµα ίνεται σύνθετο διάγραµµα ροής Ολικές ανοιχτές διαδροµές = GG, M M = GGGG6 = και Κλειστές διαδροµές =, = G και G = Μεταξύ αυτών ανεξάρτητες είναι οι, και,, εφόσον οι, έχουν κοινό κόµβο Ολική ορίζουσα = ( ) ( ) Μερικές ορίζουσες = ( ) εφόσον οι διαδροµές, έχουν κοινό κόµβο και µε την αφαίρεση της διαδροµής γίνεται = 0, = εφόσον µε την αφαίρεση της δεν θίγονται οι κλειστές διαδροµές και = εφόσον οι διαδροµές,, και, έχουν κοινό κλάδο και µε την αφαίρεση της γίνονται = = 0 Άρα η ολική συνάρτηση µεταφοράς είναι G = ( ), Όπου = ( G G ) ( G G ) = ( ) G ( ) G = ( )( G G ), = ( G G ), = και = Άρα G G G M M G G G G 6 = G G 8
ιάγραµµα ροής Τύπος του Maso Σύνοψη ιάγραµµα ροής Ο τύπος του Maso G = N = Όπου µία ολική ανοιχτή διαδροµή (συνολικά N ) µία κλειστή διαδροµή δύο ανεξάρτητες κλειστές διαδροµές (όταν δεν έχουν κοινό κόµβο), τρεις ανεξάρτητες κλειστές διαδροµές (όταν δεν έχουν κοινό κόµβο), η ολική ορίζουσα = µία µερική ορίζουσα (χωρίς την ανοιχτή διαδροµή ) 9