ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΣΑΛΑΝΣΩΗ ΜΕ ΑΡΧΙΚΗ ΦΑΗ

ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΣΑΛΑΝΣΩΗ ΜΕ ΑΡΧΙΚΗ ΦΑΗ Αρχική θάζε Οη ζρέζεηο x= Aεκσt π = π max ζπλσt α = - α max εκσt ηζρύνπλ, όηαλ ηε ρξνληθή ζηηγκή t=0 ην ζώκα δηέξρεηαη από ηε ζέζε ηζνξξνπίαο (x=0) θαη θηλείηαη θαηά ηε ζεηηθή θνξά (π>0). Αλ όκσο γηα αξρή ησλ ρξόλσλ t=0 πάξνπκε ηελ ζηηγκή πνπ ην ζώκα βξίζθεηαη ζε έλα δηαθνξεηηθό ζεκείν πρ. ζην x =+Α παξαηεξνύκε πσο ε ζρέζε x= Aεκσt γηα t=0 δίλεη x= Aεκ0 => x=0 θαη όρη x =+Α. Σηελ πεξίπησζε απηή πξνζζέηνπκε ζηελ θάζε θ=σt κηα θαηάιιειε ηηκή γσλίαο θ 0 ώζηε γηα t=0 ε ζρέζε x= Aεκ(σt +θ 0 ) λα δίλεη ηελ ηηκή ηεο απνκάθξπλζεο πνπ βξίζθεηαη ην ζώκα. Ζ θάζε ηεο ηαιάλησζεο ζηελ πεξίπησζε απηή ζα είλαη : θ = σt +θ 0 όπνπ θ ν είλαη ε θάζε ηεο ηαιάλησζεο ηε ρξνληθή ζηηγκή t=0 θαη γη απηό νλνκάδεηαη αρχική θάζε. Γηα ηελ αξρηθή θάζε ηζρύεη: 0 θ ν <2π ηε γσλία θ ν θαη θάζε ηε γσλία θ = σt +θ 0 Εξιζώζεις ηες Α.Α.Σ. με αρχική θάζε: Μηα ηαιάλησζε έρεη αξρηθή θάζε ζε θάζε πεξίπησζε πνπ γηα t=0 δεν είναι x=0 θάζε θ = σt +θ 0 αξρηθή θάζε : Γηα t=0 => θ = θ 0 εμίζσζε απνκάθξπλζεο : x = Aεκ (σt +θ 0 ) εμίζσζε ηαρύηεηαο : π = π max ζπλ (σt +θ 0 ) εμίζσζε επηηάρπλζεο : α = - α max εκ (σt +θ 0 ) ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 Πνηα ηηκή έρεη ε αξρηθή θάζε κηαο ηαιάλησζεο όηαλ γηα t=0 είλαη: α) x=0 θαη π>0 β) x=0 θαη π<0 γ) x=+α δ) x=-α ε) x=+a/2 κε π>0 ζη) x=+a/2 κε π<0 δ) x=-a/2 κε π>0 ε) x= -A/2 κε π<0 ΚΕΦ.1 ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΣΑΛΑΝΣΩΗ (ΚΙΝΗΜΑΣΙΚΗ ΚΑΙ ΔΤΝΑΜΙΚΗ ΠΡΟΕΓΓΙΗ) Επιμέλεια: Μπαμπάτσικος Φώτης Σελίδα 1

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2 Πόζνο ρξόλνο απαηηείηαη γηα ηελ απ' επζείαο κεηάβαζε ελόο ζώκαηνο πνπ θάλεη Α.Α. Τ. α) Από Α ζην +Α β) Από Α/2 ζην +Α/2 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3 Yιηθό ζεκείν εθηειεί απιή αξκνληθή ηαιάλησζε θαη ε απνκάθξπλζή ηνπ από ηελ ζέζε ηζνξξνπίαο ηνπ δίλεηαη από ηελ εμίζσζε x = Α εκ( σt + θ ν ). α. Να ππνινγίζεηε ηηο ηηκέο ησλ κεγεζώλ Α, σ, θ Ο αλ γλσξίδεηε όηη ε απόζηαζε ησλ αθξαίσλ ζέζεσλ ηνπ πιηθνύ ζεκείνπ είλαη d=0,2 m θαη γηα t=0 είλαη x=0,05 m θαη π= - 3 m / s. β. Να βξείηε ηε ρξνληθή ζηηγκή t=0 ηελ επηηάρπλζε ηνπ πιηθνύ ζεκείνπ. γ.να παξαζηήζεηε γξαθηθά, ζε ζπλάξηεζε κε ηελ απνκάθξπλζε ρ από ηε ζέζε ηζνξξνπίαο ηνπ, ηε ζπληζηακέλε δύλακε πνπ αζθείηαη ζην πιηθό ζεκείν, αλ ε κάδα ηνπ είλαη m=0,l Kg. Απ. α. A=0,lm, σ=20rad/s, θ 0= 5π/6 β. α= -20m/s 2, γ. επζεία ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 4 Σώκα κάδαο m= 1kg, εθηειεί απιή αξκνληθή ηαιάλησζε. Ζ εμίζσζε ηεο απνκάθξπλζεο ηνπ ζώκαηνο από ηε ζέζε ηζνξξνπίαο ηνπ είλαη: x=0,1ζπλ20t (SI) α. Να δηθαηνινγήζεηε όηη ε ηαιάλησζε έρεη αξρηθή θάζε θαη λα πξνζδηνξίζεηε ηελ ηηκή ηεο. β. Να γξάςεηε ηελ εμίζσζε ηεο ηαρύηεηαο ηνπ ζώκαηνο ζε ζπλάξηεζε κε ην ρξόλν. γ. Να ππνινγίζεηε ηε κέγηζηε ηηκή ηεο δύλακεο επαλαθνξάο. dp δ. Να ππνινγίζεηε ην ξπζκό κεηαβνιήο ηεο νξκήο ηνπ ζώκαηνο ηε ρξνληθή ζηηγκή t= Τ/12, όπνπ Τ ε dt πεξίνδνο ηαιάλησζεο ηνπ ζώκαηνο. Απ: α)π/2 β) π=2ζπλ(20t + π/2) (SI) γ) -20 3 kgm/s 2 ΚΕΦ.1 ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΣΑΛΑΝΣΩΗ (ΚΙΝΗΜΑΣΙΚΗ ΚΑΙ ΔΤΝΑΜΙΚΗ ΠΡΟΕΓΓΙΗ) Επιμέλεια: Μπαμπάτσικος Φώτης Σελίδα 2

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 5 Σώκα κάδαο m= 1kg εθηειεί απιή αξκνληθή ηαιάλησζε. Ζ γξαθηθή παξάζηαζε ηεο επηηάρπλζεο α ηνπ ζώκαηνο ζε ζπλάξηεζε κε ην ρξόλν θαίλεηαη ζην δηάγξακκα ηνπ ζρήκαηνο. α. Να ππνινγίζεηε ηε γσληαθή ζπρλόηεηα ηεο ηαιάλησζεο. β. Να ππνινγίζεηε ηε ζηαζεξά επαλαθνξάο ηεο ηαιάλησζεο. γ. Να δηθαηνινγήζεηε όηη ε ηαιάλησζε έρεη αξρηθή θάζε θαη λα πξνζδηνξίζεηε ηελ ηηκή ηεο. δ. Να γξάςεηε ηελ εμίζσζε ηεο ηαρύηεηαο ηνπ ζώκαηνο ζε ζπλάξηεζε κε ην ρξόλν. Γίλεηαη: π 2 =10 Απ: α) π rad/s 10Ν/m β) 10Ν/m π/2 γ) π/2 δ) π=0,1ζπλ(πt + π/2) (SI) ΚΕΦ.1 ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΣΑΛΑΝΣΩΗ (ΚΙΝΗΜΑΣΙΚΗ ΚΑΙ ΔΤΝΑΜΙΚΗ ΠΡΟΕΓΓΙΗ) Επιμέλεια: Μπαμπάτσικος Φώτης Σελίδα 3

ΑΚΗΕΙ 1. Έλα πιηθό ζεκείν θάλεη Α.Α.Τ. ζύκθσλα κε ηελ εμίζσζε x = - 5εκ 2πt κε x ζε cm θαη t ζε sec. Να βξείηε ηελ απνκάθξπλζε ηνπ πιηθνύ ζεκείνπ από ηε ζέζε ηζνξξνπίαο ηε ρξνληθή ζηηγκή t = 1, 25 sec. Απ. x= - 5cm 2. 'Έλα πιηθό ζεκείν πνπ θάλεη A.A.T. πιάηνπο A = 10cm ηε ρξνληθή ζηηγκή t=0 sec έρεη απνκάθξπλζε x = +5 3 cm. Να βξείηε ηελ αξρηθή θάζε θ 0 Απ. θ 0 =π/3 ή θν = 2π/3 rad 3. 'Δλα πιηθό ζεκείν πνπ θάλεη α.α.η. πιάηνπο Α=10 cm ηε ρξνληθή ζηηγκή t=0sec έρεη απνκάθξπλζε x = -5 3 cm θαη ζεηηθή ηαρύηεηα. Να βξείηε ηελ αξρηθή θάζε θν. Απ. θν = 5π/3 rad 4. 'Έλα πιηθό ζεκείν θάλεη α.α.η. Ζ ηαρύηεηά ηνπ έρεη ηηκέο π 1 = 6m / sec θαη π 2 = 8m / sec, όηαλ αληίζηνηρα ε απνκάθξπλζή ηνπ είλαη ρ 1 = 4m θαη ρ 2 = 3m. Να βξείηε ην πιάηνο Α θαη ηελ πεξίνδν Τ ηεο θίλεζεο. Απ. Α = 5m, Τ=π sec 5. Ζ εμίζσζε θίλεζεο πιηθνύ ζεκείνπ πνπ θάλεη απιή αξκνληθή ηαιάλησζε δίλεηαη από ηε ζρέζε x =Α εκ(σt +θν). Να βξείηε ηα Α, σ, θν, αλ ην κήθνο ηεο ηξνρηάο ηνπ είλαη d=20cm θαη ηε ρξνληθή ζηηγκή t=0 ε απνκάθξπλζε x= + 5cm θαη ε ηαρύηεηα π = +20 3 cm / sec. Απ: Α = l0 cm, θν = +π/6 rad, σ=4rad/ sec 6. Υιηθό ζεκείν θάλεη α.α.η. κε ζπρλόηεηα f=20 Hz θαη πιάηνο A= l0 cm. Τε ρξνληθή ζηηγκή t=0 ε απνκάθξπλζε είλαη x=5cm θαη ε ηαρύηεηά ηνπ αξλεηηθή. Να βξείηε ηελ απνκάθξπλζε ρ ηε ρξνληθή ζηηγκή t = 0,125 sec. Απ. x 1 = -5cm 7. 'Έλα πιηθό ζεκείν θάλεη α.α.η. κε πιάηνο A= 10 cm θαη πεξίνδν T=6sec. Να ππνινγίζεηε ην ειάρηζην ρξνληθό δηάζηεκα πνπ ρξεηάδεηαη γηα λα πάεη ην πιηθό ζεκείν από ηε ζέζε κε x 1 = -5cm ζηε ζέζε κε x 2 = +5cm. Απ. t=1sec 8. 'Έλα ζώκα εθηειεί απιή αξκνληθή ηαιάλησζε κε πιάηνο Α= l0 cm θαη ζπρλόηεηα f = 0,25Ζz. Τε ΚΕΦ.1 ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΣΑΛΑΝΣΩΗ (ΚΙΝΗΜΑΣΙΚΗ ΚΑΙ ΔΤΝΑΜΙΚΗ ΠΡΟΕΓΓΙΗ) Επιμέλεια: Μπαμπάτσικος Φώτης Σελίδα 4

ρξνληθή ζηηγκή t=0, ε απνκάθξπλζε ηνπ ζώκαηνο είλαη x= + l0cm. Εεηείηαη: α. Πόζε είλαη ε αξρηθή θάζε ηεο ηαιάλησζεο ; β. Πνηα ρξνληθή ζηηγκή ην ζώκα έρεη γηα δεύηεξε θoξά απνκάθξπλζε x 1 = -5cm θαη ζεηηθή θνξά θίλεζεο; Απ. α. θν =π/2, β. t 1 =20/3sec 9.'Δλα ζώκα κάδαο m=1 Kgr εθηειεί απιή αξκνληθή ηαιάλησζε κε πιάηνο Α= 2m θαη πεξίνδν Τ= lsec. Τε ρξνληθή ζηηγκή t=0 ην ζώκα έρεη απνκάθξπλζε x = 3 m θαη αξλεηηθή ηαρύηεηα. Να γξάςεηε ηελ εμίζσζε ηεο δύλακεο επαλαθνξάο πνπ αζθείηαη ζην ζώκα. Γίλεηαη: π 2 = 10 Απ. F = -80εκ(2πt + 2 ) 3 10. Έλα πιηθό ζεκείν εθηειεί απιή αξκνληθή ηαιάλησζε κε πιάηνο Α = 5cm θαη θπθιηθή ζπρλόηεηα rad σ = 100.Τε ρξνληθή ζηηγκή t=0 ην πιηθό ζεκείν θηλείηαη ζηνλ αξλεηηθό εκηάμνλα κε ηαρύηεηα sec u π = + 2 max ζεκείνπ., όπνπ π max ην πιάηνο ηεο ηαρύηεηαο. Να γξάςεηε ηελ εμίζσζε ηεο απνκάθξπλζεο ηνπ πιηθνύ 5 Απ. x=5εκ(100t + ) (cm) 6 11. 'Έλα ζώκα εθηειεί απιή αξκνληθή ηαιάλησζε κε πιάηνο Α= 6cm. Τε ρξνληθή ζηηγκή t=0 ην ζώκα έρεη απνκάθξπλζε ρ= + 3cm θαη ηαρύηεηα π= -15 ηεο ηαρύηεηαο ηνπ ζώκαηνο. 3 cm / sec. Να γξαθνύλ νη εμηζώζεηο ηεο απνκάθξπλζεο θαη 5 5 Απ. ρ=6εκ(5t + ) (cm.), π=30ζπλ(5t + ) (cm.) 6 6 12. 'Έλα πιηθό ζεκείν θάλεη απιή αξκνληθή ηαιάλησζε. Ζ εμίζσζε ηεο ηαρύηεηαο ηνπ πιηθνύ ζεκείνπ είλαη π= -4εκ( 2t - 6 ) ( ην t ζε sec, ην π ζε cm/sec ). Εεηείηαη: α. Ζ αξρηθή θάζε ηεο ηαιάλησζεο. β. Ζ απνκάθξπλζε ηνπ πιηθνύ ζεκείνπ ηε ρξνληθή ζηηγκή t = π/4 sec. Απ. α. θν =π/3, β. x=lcm 13.Σώκα κάδαο m=2kgr θάλεη απιή αξκνληθή ηαιάλησζε κε πιάηνο Α= 50 cm. 'Όηαλ ε απνκάθξπλζε ηνπ ζώκαηνο είλαη x=30 cm, ην κέηξν ηεο δύλακεο επαλαθνξάο είλαη F= 15Ν. Να βξεζεί ην κέηξν ηεο ηαρύηεηαο ηνπ ζώκαηνο, όηαλ ε απνκάθξπλζε ηνπ είλαη x. Απ. π = 2 m/sec ΚΕΦ.1 ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΣΑΛΑΝΣΩΗ (ΚΙΝΗΜΑΣΙΚΗ ΚΑΙ ΔΤΝΑΜΙΚΗ ΠΡΟΕΓΓΙΗ) Επιμέλεια: Μπαμπάτσικος Φώτης Σελίδα 5

14.Υιηθό ζεκείν κάδαο m=20 gr θάλεη απιή αξκνληθή ηαιάλησζε πιάηνπο Α = 4cm κε πεξίνδν Τ=0,2 sec. Τε ρξνληθή ζηηγκή t=0, ην πιηθό ζεκείν βξίζθεηαη ζηε ζέζε ηεο κέγηζηεο ζεηηθήο απνκάθξπλζεο. Να γξάςεηε ηελ εμίζσζε ηεο δύλακεο επαλαθνξάο. Γίλεηαη: π 2 = 10. Απ. F =-8.Η0 4 εκ(η0πt + 2 ) (cm.) 15.'Δλα ζώκα θάλεη απιή αξκνληθή ηαιάλησζε κε πιάηνο Α= 20cm θαη πεξίνδν Τ= 1sec. Τε ρξνληθή ζηηγκή t =0, ε απνκάθξπλζε ηνπ ζώκαηνο είλαη x= + 20 cm. Εεηείηαη: α. Πνηα είλαη ε εμίζσζε ηεο απνκάθξπλζεο ηνπ ζώκαηνο; β. Πνηνο είλαη ν ειάρηζηνο ρξόλνο θίλεζεο ηνπ ζώκαηνο από ηε ζέζε κε απνκάθξπλζε x= + 20 cm ζηε ζέζε κε απνκάθξπλζε x= - 10 cm; Απ. α. x=20εκ(2πt + 2 ) (cm), β. Γt =1/3 sec 16.Yιηθό ζεκείν εθηειεί Α.Α.Τ.θαη πεξλάεη από δύν ζεκεία ηεο ηξνρηάο ηνπ, Α θαη Β πνπ απέρνπλ απόζηαζε d = 20 2 cm, κε ηελ ίδηα ηαρύηεηα. Γηα ηε κεηάβαζε από ην ζεκείν Α ζην Β απαηηείηαη ρξνληθό δηάζηεκα t 1 =4s. Μεηά ην πέξαζκά ηνπ από ην Β, ην πιηθό ζεκείν ρξεηάδεηαη ρξνληθό δηάζηεκα t 2 =4 s γηα λα πεξάζεη πάιη από ην ζεκείν Β, θηλνύκελν κε αληίζεηε θνξά. Να βξείηε : α. ηελ πεξίνδν ηεο ηαιάλησζεο β. ην πιάηνο ηεο ηαιάλησζεο Απ. α. 16 s, β. 20 cm 17.'Έλα ζώκα εθηειεί απιή αξκνληθή ηαιάλησζε πιάηνπο A=0,5m κε πεξίνδν T=2s. Τν ζώκα δηέξρεηαη από ην κέζν ηεο ηξνρηάο ηνπ ηε ρξνληθή ζηηγκή t 1 =1s, θηλνύκελν θαηά ηελ ζεηηθή θνξά. α) Να γξάςεηε ηελ εμίζσζε ηεο απνκάθξπλζεο ηνπ ζώκαηνο. β) Να ππνινγίζεηε ηελ επηηάρπλζε ηνπ ζώκαηνο ηε ρξνληθή ζηηγκή t 2 = 1,5s. Γίλεηαη: π 2 = 10. Απ: α) x=0,5εκ(πt+π), (ην x ζε m θαη ην t ζε s) β) α= - 5m/s 2 ΚΕΦ.1 ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΣΑΛΑΝΣΩΗ (ΚΙΝΗΜΑΣΙΚΗ ΚΑΙ ΔΤΝΑΜΙΚΗ ΠΡΟΕΓΓΙΗ) Επιμέλεια: Μπαμπάτσικος Φώτης Σελίδα 6