Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου 00 Επώυμο συοπτικές εδεικτικές λύσεις Όομα ΑΜ_( ψηφία) Ημ/ία Αίθουσα Α 4 Σύολο Η εξέταση αποτελείται από 4 Θέματα Κάθε θέμα αξίζει μοάδες Το άριστα είαι 0 μοάδες και η βάση 5 Δικαιολογήστε πλήρως τις απατήσεις σας Καλή επιτυχία
Πολλά από τα ακόλουθα ερωτήματα ατιμετωπίζοται με διάφορους τρόπους που δε εξατλούμε στις λύσεις αυτές Δοκιμάστε α βρείτε και άλλες λύσεις Σε παρέθεση ααφέρουμε μερικές άμεσα σχετιζόμεες ασκήσεις από το υλικό της eclass Θέμα Έστω A = 4 (06 μο) Εξετάστε α ο A είαι διαγωίσιμος x (08 μο) Βρείτε, σε περίπτωση που υπάρχει, μοαδιαίο πίακα U ώστε ο U AU α είαι άω τριγωικός (08 μο) Έστω f : η γραμμική απεικόιση με f ( xy, ) = ( x+ y,x+ y) Εξετάστε α υπάρχει διατεταγμέη βάση του ως προς τη οποία ο ατίστοιχος πίακας της f είαι ο A 00 9 4 (08 μο) Δείξτε ότι ϕ( A) 0 για κάθε c, όπου ϕ ( x) = ( x 6)( x x + c) x Έχουμε χa( x) = det = ( x ) 4 x και ο A έχει μοαδική ιδιοτιμή το Επειδή dim V () = rank( A I) = rank = = m(), ο A δε είαι διαγωίσιμος ( από Ασκήσεις) Επειδή το χ ( x A ) = ( x ) είαι γιόμεο πρωτοβάθμιω παραγότω στο [ x ], ξέρουμε ότι υπάρχει x U με τις ζητούμεες ιδιότητες Έχουμε V () = Επαυξάουμε το σύολο σε ορθοκαοική βάση του, πχ τη, Θέτοτας U = ξέρουμε ότι ο U είαι μοαδιαίος και επίσης ότι ο U AU είαι άω τριγωικός (4 από Ασκήσεις6) Ως προς τη συήθη διατεταγμέη βάση e του ο ατίστοιχος πίακας της f είαι ( f : e) = Α υπάρχει διατεταγμέη βάση a του με ( f : a) = A, τότε οι πίακες και A είαι όμοιοι, πράγμα άτοπο αφού έχου διαφορετικά ίχη ( από Ασκήσεις5) 4 Επειδή χ ( x A ) = ( x ), το ελάχιστο πολυώυμο του A διαιρεί το χ A( x ) στο [ x] και ο A δε είαι διαγώιος, συμπεραίουμε ότι το ελάχιστο πολυώυμο του A είαι το ( ) ( ) ma x = x Α ϕ ( A) = 0, τότε το ( x ) διαιρεί το ϕ ( x) στο [ x] 00 9 και άρα διαιρεί το ψ ( x) = x x + c Τότε το είαι ρίζα του ψ ( x) και της
99 8 8 9 παραγώγου ψ ( x) = 00x 9 x = x (00x 9) Το τελευταίο είαι άτοπο (Βλ λύση της d και 4c της Εργασίας4)
Θέμα Α) Έστω f : (07 μο) Αφού δείξετε ότι η γραμμική απεικόιση με f( x, y, z) = ( x, y,0) f = f, εξετάστε α η f είαι διαγωίσιμη (08 μο) Αφού δείξετε ότι ο υπόχωρος του που παράγεται από τα διαύσματα (,0,0),(0,,0) είαι f ααλλοίωτος, βρείτε το χαρακτηριστικό πολυώυμο και το ελάχιστο πολυώυμο του περιορισμού f : της f στο ( * ) ( * ) Β) Έστω A, H = A+ A και S = A A (05 μο) Δείξτε ότι ο πίακας H είαι Ερμιτιαός ( μο) Δείξτε ότι α κάθε ιδιοδιάυσμα του H είαι ιδιοδιάυσμα του S, τότε ο πίακας A είαι καοικός Α Έχουμε f ( xyz,, ) = f( xy,,0) = ( xy,,0) = f( xyz,, ) για κάθε xyz,, οπότε f = f Από τη τελευταία σχέση έπεται ότι mf ( x) x x και άρα το mf ( x ) είαι γιόμεο διακεκριμέω μοικώ πρωτοβάθμιω παραγότω στο [ x], δηλαδή η f είαι διαγωίσιμη Σημείωση: Φυσικά το δεύτερο σκέλος του ερωτήματος θα μπορούσε α απατηθεί με το υπολογισμό τω ιδιοδιαυσμάτω της f ( από Ασκήσεις ή d από Ασκήσεις5) Αρκετοί φοιτητές απάτησα το ερώτημα Α ως εξής Ο πίακας της f ως προς τη συήθη 0 0 βάση του είαι ο 0 0, που είαι διαγώιος, και άρα η f είαι διαγωίσιμη 0 0 0 0 0 0 0 Επειδή 0 0 0 0 =, έχουμε f = f 0 0 0 0 0 0 Α Παρατηρούμε ότι f (,0,0) = (,0,0) και f (0,,0) = (0,,0) και άρα ο είαι f ααλλοίωτος και επίσης f = (η ταυτοτική απεικόιση στο ) Έχουμε dim = Άρα το χαρακτηριστικό και το ελάχιστο πολυώυμο της f είαι ατίστοιχα ( x ) και x * * * * * * * Β H = ( A+ A ) = ( A + ( A ) ) = ( A + A) = H Β Από το υποερώτημα έπεται ότι υπάρχει ορθοκαοική βάση του C αποτελούμεη από ιδιοδιαύσματα του H Από τη υπόθεση έχουμε ότι αυτά είαι ιδιοδιαύσματα του S Επειδή A = H + S προκύπτει εύκολα (ελέγξτε το) ότι αυτά είαι ιδιοδιαύσματα του A Δηλαδή ο A έχει ιδιοδιαύσματα που αποτελού ορθοκαοική βάση του C Άρα ο A είαι καοικός
Θέμα Εξετάστε ποιες από τις ακόλουθες προτάσεις είαι σωστές ή λαθασμέες Σε κάθε περίπτωση δώστε μια απόδειξη ή έα ατιπαράδειγμα (Κάθε υποερώτημα αξίζει 06 μο) Έστω uv, δυο διαφορετικά ιδιοδιαύσματα του A που ατιστοιχού στη ιδιοτιμή λ Τότε το u v είαι έα ιδιοδιάυσμα του A που ατιστοιχεί στη λ Α λ είαι μια ιδιοτιμή του A και μ είαι μια ιδιοτιμή του B, τότε το λμ είαι μια ιδιοτιμή του AB Έστω A έας ατιστρέψιμος πίακας Α λ είαι μια ιδιοτιμή του A, τότε λ 0 και το λ είαι μια ιδιοτιμή του A 4 4 4 4 Υπάρχει συμμετρικός πίακας A με χαρακτηριστικό πολυώυμο το x x 4 4 4 5 Κάθε A με A = I 4 είαι διαγωίσιμος Σωστό όπως ξέρουμε από τη θεωρία Α Au = λu και Av = λv, τότε Au ( v) = Au Av= λu λv= λ( u v) Επειδή από τη υπόθεση u v 0, το u v είαι έα ιδιοδιάυσμα του A που ατιστοιχεί στη λ 0 Λάθος Α A = 0 0 και 0 0 B = 0, τότε το λ = είαι ιδιοτιμή του A, το μ = 0 0 είαι ιδιοτιμή του B αλλά το λμ = δε είαι ιδιοτιμή του AB καθώς AB = 0 0 (9 από Ασκήσεις) Σωστό Α Av= λv με v 0, τότε A ( Av) = A ( λv), δηλαδή v= λa v απ όπου έπεται ότι λ 0 Άρα A v= v, όπου v 0, και το είαι μια ιδιοτιμή του λ λ A (8 από Ασκήσεις) 4 Λάθος Επειδή ο A είαι συμμετρικός πραγματικός πίακας, όλες οι ιδιοτιμές του είαι 4 πραγματικές Όμως το χαρακτηριστικό πολυώυμο x x= x( x )( x + x+ ) του A έχει και μη πραγματικές ρίζες (c από Εργασία5) 4 5 Σωστό Επειδή το x = ( x+ i)( x i)( x+ )( x ) ααλύεται σε γιόμεο διακεκριμέω πρωτοβάθμιω παραγότω στο C [ x], το ίδιο συμβαίει για το m ( x ) καθώς m x x Άρα ο A είαι διαγωίσιμος (d από Ασκήσεις5) ( ) 4 A A
Θέμα 4 Α) (06 μο) Έστω V έας πεπερασμέης διάστασης -διαυσματικός χώρος με εσωτερικό γιόμεο, :V V και, υπόχωροι του V με V = Δείξτε ότι α w, w = 0 για κάθε wi i, i =,, τότε = Β) Θεωρούμε το διαυσματικό χώρο εφοδιασμέο με το σύηθες εσωτερικό γιόμεο Έστω V ο υπόχωρος του που παράγεται από τα διαύσματα v= (0,,0), v = (,,4) (08 μο) Να βρεθεί μια ορθοκαοική βάση B του V (08 μο)να επεκταθεί η ορθοκαοική βάση B (βλ προηγούμεο υποερώτημα) σε μια ορθοκαοική βάση του (08 μο)να ααλυθεί το u = (5,,0) ως u= v+ v, όπου v V, v V Α Από w, w = 0 για κάθε wi i, i =,, έπεται ότι Ξέρουμε ότι dim = dimv dim, οπότε από V = έπεται ότι dim = dim Επειδή, παίρουμε = (8 από Ασκήσεις7) Β Εφαρμόζοτας τη ορθοκαοικοποίηση Gram-Schmidt στο ζεύγος v = (0,,0), v = (,,4), βρίσκουμε τη ορθοκαοική βάση u= (0,,0), u = (,0, 4) του V ( από Ασκήσεις6) 5 Β ος τρόπος Επιλέγουμε μια βάση του που περιέχει τα u= (0,,0), u = (,0, 4), 5 u, u, v όπου v = (,0,0) Ότι αυτή είαι βάση προκύπτει από το γεγοός ότι τα πχ τη { } u, u, v είαι γραμμικά αεξάρτητα (πχ η ορίζουσά τους είαι μη μηδεική) και = Εφαρμόζουμε σε αυτή τη μέθοδο Gram-Schmidt (5 από Ασκήσεις6) dim ος τρόπος Ξέρουμε ότι κάθε τρία μη μηδεικά και αά δύο κάθετα διαύσματα στο είαι βάση του Με βάση αυτή τη παρατήρηση, βρίσκουμε έα μη μηδεικό v = ( x, y, z) που είαι κάθετο στα u, u που βρήκαμε στο Β λύοτας το γραμμικό σύστημα u, v = u, v = 0ως προς x, yz, Το σύολο u, u, v είαι μια ορθοκαοική v βάση του (5 από Ασκήσεις6) ος τρόπος Έστω u = ( 4,0,) Με πράξεις επαληθεύεται ότι τα σύολο 5 B = u, u, u είαι ορθοκαοική βάση του { } Β Έχουμε τη ορθοκαοική βάση {,, } u u u του από το προηγούμεο ερώτημα, όπου u= (0,,0), u = (,0, 4), u = ( 4,0,) Από τα ερωτήματα Β και Β έπεται 5 5 ότι ο V παράγεται από το u Επειδή τα u, u, u συγκροτού ορθοκαοική βάση του ξέρουμε ότι u u, u u u, u u u, u u v u, u u u, u u V = + + Θέτουμε = + και v = u, u u V, οπότε v= u+ u, v = 4u