Επίλυση ελλειπτικών διαφορικών εξισώσεων με πεπερασμένες διαφορές

Επίλυση ελλειπτικών διαφορικών εξισώσεων με πεπερασμένες διαφορές Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ Δημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών και Χημικών Διεργασιών Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας, 38334 Βόλος Δεκέμβριος 01 59

41 Εισαγωγή πρότυπες εξισώσεις Οι πλέον συνηθισμένες ελλειπτικές εξισώσεις με πλήθος εφαρμογών σε πολλά επιστημονικά και τεχνολογικά πεδία είναι οι εξισώσεις Laplace u 0 (411) και Poison u f (41) όπου xx yy zz συντεταγμένων), f f x, y, z u u ο Λαπλασιανός τελεστής (σε καρτεσιανό σύστημα x, y, z η άγνωστη εξαρτημένη μεταβλητή και μία γνωστή συνάρτηση Άλλες ελλειπτικές εξισώσεις που είναι αντιπροσωπευτικές και συναντώνται αρκετά συχνά είναι η εξίσωση Helmholtz uku 0 (413) και η διαρμονική εξίσωση 4 u u f (414) Οι ελλειπτικές εξισώσεις περιγράφουν προβλήματα οριακών τιμών, δηλαδή φαινόμενα ισορροπίας σε μόνιμα (όχι χρονικά μεταβαλλόμενα) προβλήματα όπως βαρυτικά πεδία, ηλεκτροστατικά πεδία, μόνιμη θερμική αγωγή, ιδανική ή πλήρως ανεπτυγμένη συνεκτική ροή, ελαστικότητα, κτλ Οι ελλειπτικές εξισώσεις ορίζονται σε κλειστά πεδία ορισμού με την εξαρτημένη μεταβλητή να ορίζεται με οριακές συνθήκες τύπου Dirichlet, Newmann ή μικτές (Robin) στο κλειστό όριο του πεδίου ορισμού Όταν οι εξισώσεις και οι οριακές συνθήκες είναι διαχωρίσιμες τότε επιλύονται με τη απλή μέθοδο διαχωρισμού των μεταβλητών, ενώ όταν είναι μη διαχωρίσιμες επιλύονται με αναπτύγματα Fourier ή μέσω της επίλυσης του σχετιζόμενου (συγγενούς) προβλήματος χαρακτηριστικών τιμών Σε πολλές περιπτώσεις η αναλυτική επίλυση των ελλειπτικών μερικών διαφορικών εξισώσεων είναι ιδιαίτερα επίπονη ή ακόμη και αδύνατη Στις περιπτώσεις αυτές οι εξισώσεις επιλύονται αριθμητικά Η πλέον 60

διαδεδομένη υπολογιστική μέθοδος επίλυσης είναι η μέθοδος των πεπερασμένων διαφορών Η μέθοδος έχει διατυπωθεί με λεπτομέρεια στο ο Κεφάλαιο, στην αριθμητική επίλυση προβλημάτων δύο οριακών τιμών, επίσης ελλειπτικού χαρακτήρα που περιγράφονται από συνήθεις διαφορικές εξισώσεις Τώρα η μέθοδος των πεπερασμένων διαφορών επεκτείνεται και εφαρμόζεται στην επίλυση ελλειπτικών μερικών διαφορικών εξισώσεων, όπως οι εξισώσεις (411-414) Το σημαντικό πλεονέκτημα των υπολογιστικών μεθόδων σε σχέση με τις αναλυτικές εστιάζεται στο γεγονός ότι οι υπολογιστικές μέθοδοι δύνανται να εφαρμοσθούν και να επιλύσουν μη γραμμικές διαφορικές εξισώσεις Αντίθετα οι αναλυτικές μέθοδοι επικεντρώνονται, με ελάχιστες εξαιρέσεις, στην επίλυση γραμμικών μερικών διαφορικών εξισώσεων και σε κάθε περίπτωση η αναλυτική επίλυση μη γραμμικών εξισώσεων αποτελεί ένα ιδιαίτερα δύσκολο πεδίο που απαιτεί εξειδικευμένες μαθηματικές τεχνικές Βεβαίως στο παρόν κεφάλαιο θα επικεντρωθούμε, για εκπαιδευτικούς λόγους, στην υπολογιστική επίλυση γραμμικών εξισώσεων Επίσης, έχοντας στη διάθεσή μας την αναλυτική και υπολογιστική λύση του ιδίου προβλήματος μπορούμε να συγκρίνουμε τα υπολογιστικά προσεγγιστικά αποτελέσματα με τα αντίστοιχα αναλυτικά και να αξιολογήσουμε και να πιστοποιήσουμε την αριθμητική μεθοδολογία Όμως, θα πρέπει να είναι σαφές ότι οι προτεινόμενες υπολογιστικές προσεγγίσεις μπορούν με μικρές τροποποιήσεις να εφαρμοσθούν και σε μη γραμμικές εξισώσεις 4 Εξισώσεις πεπερασμένων διαφορών πέντε και εννέα σημείων Όπως και στη περίπτωση των συνήθων διαφορικών εξισώσεων, έτσι και τώρα η εφαρμογή της μεθόδου των πεπερασμένων διαφορών περιλαμβάνει τρία βήματα Το πρώτο βήμα αφορά την διακριτοποίηση του πεδίου ορισμού του προβλήματος και την αντικατάστασή του με το υπολογιστικό πλέγμα Το δεύτερο βήμα συνδέεται με την διακριτοποίηση της μερικής διαφορικής εξίσωσης και των οριακών συνθηκών στους κόμβους του πλέγματος Τέλος το τρίτο βήμα περιλαμβάνει την επίλυση του 61

αλγεβρικού συστήματος που διαμορφώνεται από τις εξισώσεις πεπερασμένων διαφορών Ας εξετάσουμε σαν παράδειγμα την πρότυπη εξίσωση Poisson u x u y 1 (41) στο συνεχές πεδίου ορισμού : 0 x 1, 0 y A και u 0 στο όριο του πεδίου ορισμού (βλέπε Σχήμα 41) Το παραπάνω πρόβλημα αντιπροσωπεύει διάφορες απλές εφαρμογές μία εκ των οποίων είναι και η ροή ρευστού εντός ορθογώνιου αγωγού όπου A είναι ο λόγος των δύο u u x y η άγνωστη ταχύτητα του πλευρών του ορθογωνίου και, ρευστού Όλες οι ποσότητες είναι σε αδιάστατη μορφή y=a u=0 u 1 y=0 x=0 x=1 Σχήμα 41: Πεδίο ορισμού και οριακές συνθήκες Το πρώτο βήμα εφαρμογής της μεθόδου περιλαμβάνει την επιλογή του υπολογιστικού πλέγματος Διαιρούμε τις αποστάσεις 0 x 1 και 0 y A κατά μήκος των αξόνων x και y σε I και J ίσα τμήματα αντίστοιχα Το μήκη των ευθυγράμμων τμημάτων κατά μήκος των αξόνων x και y έχουν μήκος 1 x και I y A J Τα σημεία που ορίζουν την αρχή και το τέλος κάθε διαστήματος προσδιορίζονται από τις σχέσεις x x ix i 0,1,, I i 0, (4) και y y jy, j 0,1,, J j 0 (43) 6

Από τα σημεία xi και y j φέρνουμε παραλλήλους προς τους άξονες x και y αντίστοιχα, με αποτέλεσμα το συνεχές πεδίο ορισμού να αντικατασταθεί από το υπολογιστικό πλέγμα που απαρτίζεται από I J ίσα ορθογώνια, οι κορυφές των οποίων ονομάζονται κόμβοι και αποτελούν τα δομικά στοιχεία του πλέγματος (βλέπε Σχήμα 4) Ο κάθε κόμβος i, j του πλέγματος προσδιορίζεται από το ζεύγος σημείων xi, y j, για i 0, 1,, I και j 0,1,, J Συνολικά έχουμε I 1 J 1 κόμβους οι τιμές της εξαρτημένης μεταβλητής στους κόμβους του πλέγματος ορίζονται από τις σχέσεις 0 0 Αντίστοιχα, u xi, yj u x ix, y iy u i, j, i 0,1,, I, j 0,1,, J (44) u Οι άγνωστες τιμές θα προκύψουν από την υπολογιστική επ ίλυση του i, j προβλήματος Οι κόμβοι που βρίσκονται εντός του ονομάζονται εσωτερικοί κόμβοι ή για λόγους συντομίας απλώς κόμβοι, ενώ οι κόμβοι που βρίσκονται στο ονομάζονται οριακοί κόμβοι Όταν το υπολογιστικό πλέγμα αποτελείται από μικρό αριθμό κόμβων τότε χαρακτηρίζεται σαν αραιό πλέγμα (coa rse grid), ενώ στην αντίθετη περίπτωση, όταν δηλαδή x 1 πυκνό πλέγμα (fine grid) και y A, τότε χαρακτηρίζεται σαν y Κόμβος (i,j) y J y J-1 y J- y j+1 y j y j-1 y y 1 y 0 x 0 x 1 x x i-1 x i x i+1 x I- x I-1 x I x Σχήμα 4: Υπολογιστικό πλέγμα και κόμβοι πλέγματ ος 63

Το επόμενο βήμα περιλαμβάνει την διατύπωση της εξίσωσης πεπερασμένων διαφορών σε κάθε εσωτερικό κόμβο του πλέγματος Προσεγγίζουμε την μερική διαφορική εξίσωση (41) στον τυχαίο κόμβο i, j του πλέγματος και γράφουμε u x u y i, j i, j 1, i 0,1,, I, j 0,1,, J (45) Στη συνέχεια, επιλέγουμε να προσεγγίσουμε τις δεύτερες παραγώγους με κεντρώες εκφράσεις πεπερασμένων διαφορών ης τάξης, κάτι που αποτελεί πάγια τακτική στη περίπτωση των ελλειπτικών εξισώσεων Επομένως η (45) γράφεται στη διακριτοποιημένη μορφή u u u u u u x y i1, j i, j i1, j i, j1 i, j i, j1 για 1, (46) I και j 1,, J 1 Η αλγεβρική εξίσωση (46) i,1,, 1 ονομ άζεται εξίσωση πεπερασμένων διαφορών πέντε σημείων, αφού η κάθε μία από τις εξισώσεις αυτές εμπλέκει την ποσότητα u σε πέντε κόμβους (στον κόμβο i, j και στους τέσσερις γειτονικούς i, 1 1, j και i j ) Η ακρίβεια του σχήματος είναι ης τάξης, δηλαδή το σφάλμα είναι του O x, y Εφαρμόζοντας την (46) σε κάθε εσωτερικό κόμβο πλέγματος σχηματίζεται ένα αλγεβρικό σύστημα με I 1 J 1 εξισώσεις Ο αριθμός τω αγνώστων είναι ο ίδιος, αφού στ ο συγκεκριμένο παράδειγμα οι οριακές συνθήκες είναι τύπου Dirichlet και επομένως οι τιμές του u στους οριακούς κόμβους είναι γνωστές Όταν οι οριακές συνθήκες είναι τύπου Newmann ή μικτές τότε η διαδικασία της διακριτοποίησης συνεχίζεται με την διατύπωση εξισώσεων πεπερασμένων διαφορών στους οριακούς κόμβους του πλέγματος (βλέπε Παράγραφο 45) Στην ειδική περίπτωση που το υπολογιστικό πλέγμα επιλέγεται έτσι ώστε x y h, τότε η εξίσωση (46) γράφεται στην απλούστερη μορφή 4u i, j u i 1, j u i 1, j u i, j 1 u i, j 1 h (47) 64

Το τελευταίο βήμα της μεθόδου είναι η επίλυση του συστήματος (46) ή του (47) με άμεσες ή επαναληπτικές τεχνικές και ο υπολογισμός των u για i,1,, I 1 και j 1,, J 1 i, j Μια σύντομη ανακεφαλαίωση των μεθόδων επίλυσης αλγεβρικών συστημάτων γίνεται στην επόμενη παράγραφο Εάν η ακρίβεια των αποτελεσμάτων είναι μείζονος σημασίας τότε βελτιώνουμε την ακρίβεια του αριθμητικού σχήματος χρησιμοποιώντας εκφράσεις πεπερασμένων διαφορών με ακρίβεια ανώτερη της ης τάξης Βεβαίως, στη περίπτωση αυτή κάθε εξίσωση i, j εμπλέκει την ποσότητα u στον κεντρικό κόμβο i, j και σε πε ρισσότερους από τέσσερις γε ιτονικούς κόμβους Τυπικό παράδειγμα είναι το σχήμα εννέα σημείων Για x y h η εξίσωση πεπερασμένων διαφορών εννέα σημείων που προσεγγίζει την (41) γράφεται στη μορφή u u u u i1, j1 i1, j1 i1, j1 i1, j1 4 u u u u 0u h i, j1 i1, j i1, j i, j1 i, j (48) Το σχήμα εννέα σημείων είναι ακριβείας 4 ης τάξης O x, y 4 4 σχήματα των πέντε και εννέα σημείων είναι τα πλέον συνηθισμένα Τα Η επέκταση της συγκεκριμένης μεθοδολογίας σε τρεις διαστάσεις μπορεί να γίνει χωρίς δυσκολία Βεβαίως αυξάνει ο αριθμός των κόμβων ανά εξίσωση Οι εκφράσεις των πέντε και εννέα σημείων ανάγονται σε εξισώσεις πεπερασμένων διαφορών επτά και είκοσι επτά σημείων αντίστοιχα Σημειώνεται τέλος, ότι ακολουθώντας με συνέπεια τους κανόνες και τις διαδικασίες που θεσπίσαμε στην επίλυση της εξίσωσης Poisson (41), μπορούμε να επιλύσουμε με τη μέθοδο των πεπερασμένων διαφορών έναν μεγάλο αριθμό ελλειπτικών εξισώσεων 65

43 Επίλυση συστημάτων Η υπολογιστική επίλυση ενός προβλήματος με τη μέθοδο των πεπερασμένων διαφορών, αλλά και άλλων υπολογιστικών μεθόδων όπως οι μέθοδοι των πεπερασμένων όγκων, των πεπερασμένων στοιχείων, των φασματικών μεθόδων, κτλ, καταλήγουν στην αντικατάσταση της ή των μερικών διαφορικών εξισώσεων που περιγράφουν το πρόβλημα με ένα σύστημα αλγεβρικών εξισώσεων Η επίλύση του αλγεβρικού συστήματος αποτελεί το τελευταίο βήμα της υπολογιστικής μεθοδολογίας Επίσης, επειδή τις τελευταίες δεκαετίες μας ενδιαφέρει η επίλυση σύνθετων προβλημάτων σε δύο ή τρεις διασ τάσεις, αποτελεί σύνηθες φαινόμενο η τάξη του προκύπτοντος συστήματος να είναι 5 10 ή 6 10, δηλαδή το σύστημα να αποτελείται από εκατοντάδες χιλιά δες ή εκατομμύρια εξισώσεις Το σύστημα (47) λόγω της απλής δομής του αποτελεί ένα από τα πρότυπα συστήματα στη συστηματική μελέτη και σύγκριση αριθμητικών μεθόδων επίλυσης γραμμικών συστημάτων Οι νέες αριθμητικές τεχνικές που προκύπτουν θα πρέπει να επιλύουν, σε σχέση με τις υπάρχουσες τεχνικές, αλγεβρικά συστήματα όπως το (47) σε ακόμα μικρότερο χρόνο με ακόμα μικρότερες ανάγκες μνήμης Τα συστήματα που προκύπτουν με την εφαρμογή της μεθόδου των πεπερασμένων διαφορών έχουν, τα εξής δύο χαρακτηριστικά: 1 οι πίνακες των συντελεστών είναι αραιοί πίνακες Δηλαδή, τα στοιχεία του πίνακα στη μεγάλη πλειοψηφία τους είναι μηδενικά Για παράδειγμα, σε κάθε εξίσωση του στο σύστημα (46) έχουμε μόνο πέντε μη μηδενικά στοιχεία Καθώς ο αριθμός των κόμβων αυξάνει ο πίνακας των συντελεστών γίνεται όλο και περισσότερο αραιός Η απόλυτη τιμή του διαγωνίου στοιχείου κάθε σειράς του πίνακα είναι μεγαλύτερη ή ίση με το άθροισμα των απόλυτων τιμών υπολοίπων στοιχείων της ίδιας σειράς, δηλαδή 66

N aij aii i1,,, N (431) j1 ji όπου η καθαρή ανισότητα ισχύει για τους κόμβους που συνορεύουν με οριακούς κόμβους, στη περίπτωση των οριακών συνθηκών Divichlet ή για τους οριακούς κόμβους στις περιπτώσεις των οριακών συνθηκών Newmamm και μικτών Πρόκειται λοιπόν για πίνακες με διαγώνια κυρίαρχα στοιχεία Οι αριθμητικές τεχνικές επίλυσης αλγεβρικών συστημάτων που προκύπτουν από την εφαρμογή των μεθόδων των πεπερασμένων διαφορών πρέπει να λαμβάνουν υπόψη τα δύο παραπάνω χαρακτηριστικά αλλά και άλλα συμπληρωματικά στοιχεία των συγκεκριμένων συστημάτων (τριδιαγώνιοι πίνακες, συμμετρικοί πίνακες, θετικά ορισμένοι πίνακες κτλ) Επομένως η υπολογιστικά αποτελεσματική επίλυση αυτών των συστημάτων κάθε άλλο παρά τετριμμένη μπορεί να θεωρείται και αποτελεί ανοικτό πεδίο έρευνας από τα μέσα του προηγούμενου αιώνα (1950) μέχρι και σήμερα Η επίλυση γραμμικών αλγεβρικών συστημάτων με συμβατικές τεχνικές έχει εξετασθεί ενδελεχώς στο αντίστοιχο κεφάλαιο του μαθήματος «Αριθμητική Ανάλυση» του 3 ου εξαμήνου Θα γίνει μια σύντομη αναφορά στις τεχνικές που έχουν μελετηθεί, ενώ στην επόμενη παράγραφο θα εξετασθεί η νέα επαναληπτική μέθοδος ADI Οι αριθμητικές μέθοδοι επίλυσης συστημάτων διαχωρίζονται σε δύο μεγάλες κατηγορίες: α) στις άμεσες και β) στις επαναληπτικές Γενικά, οι άμεσες μέθοδοι απαιτούν αριθμό πράξεων της τάξης 3 N, ενώ οι επαναληπτικές μέθοδοι απαιτούν αριθμό πράξεων της τάξης επανάληψη, όπου ανά ο αριθμός των εξισώσεων του συστήματος Επομένως, μια επαναληπτική μέθοδος για να θεωρηθεί υπολογιστικά ελκυστική θα πρέπει να συγκλίνει σε λιγότερες από επαναλήψεις N N N 67

Στις άμεσες μεθόδους συμπεριλαμβάνονται, μεταξύ άλλων οι παρακάτω: Απαλοιφή Gauss Η απαλοιφή Gauss αποτελεί την πλέον διαδεδομένη και κλασσική μεθοδολογία άμεσης επίλυσης αλγεβρικών συστημάτων Ο αναγκαίος αριθμός πράξεων είναι ιδιαίτερα μεγάλος και σε πολλές περιπτώσεις η χρήση της απαλοιφής Gauss σε τυπικούς προσωπικούς υπολογιστές γίνεται ιδιαίτερα δυσχερής Τονίζεται επίσης ότι η απαλοιφή Gauss πρέπει να γίνεται με οδήγηση Διαφορετικά, ο αλγόριθμος είναι ασταθής και σε περιπτώσεις αριθμητικά ιδιόμορφων συστημάτων οδηγεί σε λάθος αποτελέσματα Απαλοιφή Gauss-Jordan Πρόκειται για μια απλή επέκταση της απαλοιφής Gauss με τα ίδια ακριβώς χαρακτηριστικά (αριθμός πράξεων, πλεονεκτήματα μειονεκτήματα, κτλ) Αλγόριθμος Thomas Ο αλγόριθμος Thomas εφαρμόζεται μόνο σε τριδιαγώνια συστήματα και στην περίπτωση αυτή αποτελεί την πλέον αποτελεσματική μεθοδολογία επίλυσης Παραγοντοποιήσεις LU και LDU Ο πίνακας συντελεστών A γράφεται σαν γινόμενου ενός κάτω τριγωνικού πίνακα L και ενός άνω τριγωνικού πίνακα U με μονάδες στη διαγώνιο Τα άγνωστα στοιχεία των πινάκων L και σχέσεων που βασίζονται στη βασική σχέση πίνακες L και U U υπολογίζονται μέσω αναγωγικών A LU Αφού βρεθούν οι το σύστημα επιλύεται με τη χρήση ενός ενδιαμέσου άγνωστου διανύσματος y ως εξής: Ax bluxblyb, όπου Ux y για το Πρώτα επιλύουμε για το ενδιάμεσο διάνυσμα και στη συνέχεια x Με μικρή τροποποίηση της παραγοντοποίησης LU προκύπτει η παραγοντοποίηση LDU (A LDU y ) Τα τυπικά χαρακτηριστικά των 68

παραγοντοποιήσεων LU και LDU παραμένουν όπως και στην απαλοιφή Gauss Αλγόριθμος Cholesky Στη περίπτωση που ο πίνακας A είναι συμμετρικός προκύπτει, εφαρμόζοντας την παραγοντοποίηση LU, ότι ο πίνακας U L Η ιδιότητα αυτή είναι ιδιαίτερα σημαντική και μειώνει δραστικά τον αναγκαίο αριθμό πράξεων Η μεθοδολογία είναι γνωστή σαν αλγόριθμος Cholesky και αποτελεί μία από τις πλέον αποτελεσματικές μεθόδους επίλυσης συστημάτων με συμμετρικούς πίνακες συντελεστών T Σχετικά με τις άμεσες μεθόδους σημειώνεται ότι, με εξαίρεση τους αλγόριθμους Thomas και Cholesky, οι υπόλοιπες τεχνικές, τουλάχιστον στην κλασσική τους μορφή, δεν εκμεταλλεύονται την ειδική δομή των αλγεβρικών συστημάτων και θα πρέπει να χρησιμοποιούνται με φειδώ, μόνο για πιλοτικούς σκοπούς ή στη περίπτωση μικρών συστημάτων N 10 ( ) Τα τελευταία χρόνια έχουν αναπτυχθεί βελτιωμένες και εξειδικευμένες άμεσες μέθοδοι όπως ο γρήγορος μετασχηματισμός Fourier (Fast Fourier Transform, FFT) Όταν οι πίνακες συντελεστών είναι αριθμητικά ιδιόμορφοι η προτεινόμενη τεχνική είναι η μέθοδος διάσπασης (αποκλεισμού) των ιδιόμορφων τιμών (Singular Value Decomposition, SVD) Περνούμε τώρα στη δεύτερη κατηγορία μεθόδων επίλυσης, αυτή των επαναληπτικών τεχνικών Στην επίλυση μεγάλων συστημάτων οι επαναληπτικές μέθοδοι εφόσον διατυπωθούν σωστά φαίνεται να έχουν περισσότερες δυνατότητες από τις άμεσες μεθόδους Η υπεροχή τους οφείλεται στο γεγονός ότι οι περισσότερες επαναληπτικές μέθοδοι αξιοποιούν τα δύο βασικά χαρακτηριστικά των συστημάτων που προκύπτουν από την μέθοδο των πεπερασμένων διαφορών (αραιοί και διαγώνια κυρίαρχοι πίνακες) Οι περισσότερες επαναληπτικές τεχνικές βασίζονται στην διατύπωση αναγωγικών τύπων επαναληπτικού χαρακτήρα 69

Έστω το σύστημα Ax b Προσθέτοντας και στις δύο πλευρές του συστήματος το διάνυσμα Qx έχουμε Ax b Ax Qx Qx b Qx Q A x b 1 1 1 1 xq Q A xq b I Q A xq b που γράφεται στην γενική επαναληπτική μορφή n1 n x Gx k (43) n όπου είναι ο αριθμός επανάληψης, είναι ο πίνακας επανάληψης, k 1 Q b και τα διανύσματα τιμές του αγνώστου διανύσματος μετά από 1 G I Q A n x και αντίστοιχα Αφού κάνουμε μια αρχική εκτίμηση n 1 x δηλώνουν τις n και n 1 επαναλήψεις 0 x εφαρμόζουμε τον επαναληπτικό αλγόριθμο (43) Η επαναληπτική διαδικασία ολοκληρώνεται όταν όλες οι τιμές του x έχουν συγκλίνει στην επιθυμητή ακρίβεια, δηλαδή όταν ικανοποιούν το κριτήριο τερματισμού x n1 n i όπου x n1 x i i max, (433α) max το μέγιστο επιτρεπτό σχετικό σφάλμα Πολλές φορές χρησιμοποιούμε εναλλακτικά κριτήρια τερματισμού όπως απόλυτο σφάλμα n1 n i i max το μέγιστο x x (433β) ή την Ευκλείδεια νόρμα N n1 n x i xi max (433γ) i1 Ο πίνακας επανάληψης G είναι μείζονος σημασίας σε σχέση με τη γρήγορη ή αργή σύγκλιση ή απόκλιση του επαναληπτικού n αλγορίθμου Εάν ορίσουμε το διάνυσμα του σφάλματος μετά από n n επαναλήψεις σαν την διαφορά ανάμεσα στην αριθμητική λύση x και την αναλυτική λύση x, δηλαδή n n x x, (434) 70

εύκολα προκύπτει ότι n n1 n n G G G 0 (435) Παίρνοντας μία οποιαδήποτε νόρμα της (434) μπορούμε να εκτιμήσουμε την διάδοση του αρχικού σφάλματος μετά από επαναλήψεις: n n 0 n 0 G G (436) Επομένως η διάδοση του σφάλματος εξαρτάται άμεσα από την νόρμα του πίνακα επανάληψης G G Αποδεικνύεται ότι 1 G όταν G 1 n, όπου η φασματική ακτίνα του πίνακα επανάληψης Επομένως, η επαναληπτική μέθοδος θα συγκλίνει μόνο όταν G G 1 και βεβαίως όσο μικρότερη είναι η φασματική ακτίνα τόσο γρηγορότερη θα είναι η σύγκλιση της επαναληπτικής διαδικασίας G 1 Αντίθετα όταν επιλογή λοιπόν του πίνακα G (ή του η επαναληπτική διαδικασία θα αποκλίνει Η ) είναι καθοριστικής σημασίας και η κάθε επαναληπτική μέθοδος ορίζεται ανάλογα με την μορφή του πίνακα στον γενικό επαναληπτικό αλγόριθμο (43) Q G Ακολουθεί μία σύντομη ανασκόπηση των τεσσάρων πλέον διαδεδομένων επαναληπτικών αλγορίθμων Καταρχήν ο πίνακας συντελεστών A του συστήματος Ax L και είναι ένας διαγώνιος, ένας κάτω τριγωνικός και ένας άνω U b διασπάται σε τρεις πίνακες A DL U, όπου D, τριγωνικός πίνακας και ο κάθε ένας από αυτούς περιλαμβάνει τα αντίστοιχα στοιχεία του πίνακα A Στη συνέχεια οι επαναληπτικές τεχνικές Jacobi (J), Gauss Seidel (GS), Successive Over Relaxation (SOR) και Symmetric Successive Over Relaxation (SSOR) διατυπώνονται ως εξής: Jacobi n n 1 x D 1 LU x D 1 b ή 71

N 1 i i ij a ii j1 ji n1 n x b a x j Gauss Seidel n n1 x D L 1 Ux D L 1 b ή 1 1 i N xi bi aijxj aijx j aii j1 ji1 n1 n1 n Successive Over Relaxation (SOR) n1 1 n 1 1 x DL U Dx DL b ή i1 N n1 1 n 1 n xi bi aijxj aijxj 1 x i a ii j1 ji1 n Symmetric Successive Over Relaxation (SSOR) n1/ 1 n 1 1 x DL U Dx DL b 1 n1 1 n1/ 1 x DU L Dx DU b ή i1 N n1/ 1 n 1/ n xi bi aijxj aijxj 1 x i a ii j1 ji1 n x 1 b ax ax x i1 N n1 n 1/ n 1 1/ i i ij j ij j a i ii j1 ji1 1 n Κλείνοντας την σύντομη αναδρομή σε τεχνικές επίλυσης συστημάτων θα πρέπει να αναφέρουμε και τη μέθοδο Newton που αποτελεί τον πλέον διαδεδομένο αλγόριθμο επίλυσης μη γραμμικών συστημάτων Η αριθμητική επίλυση μη γραμμικών διαφορικών εξισώσεων οδηγεί στην διατύπωση μη γραμμικών εξισώσεων πεπερασμένων 7

διαφορών Τότε, τα προκύπτοντα μη γραμμικά αλγεβρικά συστήματα επιλύονται συνήθως με τη μέθοδο Newton ή με παραλλαγές της μεθόδου Η μέθοδος Newton έχει αναπτυχθεί λεπτομερώς στο μάθημα της Αριθμητικής Ανάλυσης του 3 ου εξαμήνου Οι παραπάνω επαναληπτικές μέθοδοι σε συνδυασμό με την μέθοδο ADI, που θα εξετάσουμε στην επόμενη παράγραφο καλύπτουν πλήρως τις ανάγκες επίλυσης συστημάτων στο πλαίσιο του μαθήματος Όταν όμως η πολυπλοκότητα του προβλήματος αυξάνει είναι αναγκαίο να ανατρέξουμε σε πιο εξειδικευμένες και αναβαθμισμένες τεχνικές όπως οι μέθοδοι Conjugate Gradient (CG) και Ελαχιστοποίησης Υπολοίπων (Minimal Residual, MINRES και Generalized Minimal Residual, GMRES) Τέλος, σημειώνεται ότι οι κλασσικές όπως και οι πιο εξειδικευμένες μέθοδοι επανάληψης αποκτούν νέα δυναμική όταν συνδυασθούν με μεθόδους πολλαπλών πλεγμάτων (Multigrid Methods) 45 Οριακές συνθήκες μικτού τύπου και ακανόνιστα όρια Οι οριακές συνθήκες που συνοδεύουν τις μερικές διαφορικές εξισώσεις είναι τύπου Dirichlet ή τύπου Neumann ή μικτού τύπου Όταν οι οριακές συνθήκες είναι τύπου Dirichlet τότε οι τιμές της εξαρτημένης μεταβλητής στα όρια είναι γνωστές και η επίλυση του προβλήματος γίνεται μόνο για τους εσωτερικούς κόμβους Όταν όμως είναι τύπου Neumann ή μικτού τύπου τότε οι τιμές της εξαρτημένης μεταβλητής στα όρια είναι άγνωστες και αποτελούν πλέον τμήμα της υπολογιστικής λύσης Στις περιπτώσεις αυτές είναι αναγκαίο, εφαρμόζοντας εκφράσεις πεπερασμένων διαφορών, οι αναλυτικές οριακές συνθήκες να αντικατασταθούν με εξισώσεις πεπερασμένων διαφορών που λύνονται μαζί με τις υπόλοιπες εξισώσεις Πρόκειται για μια διαδικασία που ανάλογα με το πρόβλημα και την ζητούμενη ακρίβεια, απαιτεί ιδιαίτερη προσοχή ώστε να μην αλλοιώνεται η ακρίβεια όλου του αριθμητικού σχήματος 73

Έστω ότι ζητείται η λύση της εξίσωσης Laplace, ορισμού 0 x, y 1 u 0, στο πεδίο y 0 με οριακές συνθήκες τύπου Dirichlet στα όρια, y 1 και x 1, ενώ στο όριο x 0 η οριακή συνθήκη είναι μικτού τύπου u u x (451) όπου οι ποσότητες και είναι γνωστές Υπάρχουν δύο βασικές μεθοδολογίες διατύπωσης εξισώσεων πεπερασμένων διαφορών στα όρια του προβλήματος ώστε ο τελικός αριθμός των αγνώστων να ισούται με τον αριθμό των αλγεβρικών εξισώσεων Η διακριτοποίηση στο όριο x 0 φαίνεται στο Σχήμα 43 j+1 j j-1 x=0 x=δx x=δx (i=0) (i=1) (i=) Σχήμα 43: Διακριτοποίηση στο όριο x 0 Η απλούστερη μεθοδολογία είναι η αντικατάσταση της οριακής συνθήκης με μια εξίσωση πεπερασμένων διαφορών Για παράδειγμα αντικαθιστώντας τον πρώτο όρο της εξίσωσης (451) με μια πρόδρομη έκφραση πεπερασμένων διαφορών 1 ης τάξης προκύπτει για τον τυχαίο οριακό κόμβο 0, j η εξίσωση πεπερασμένων διαφορών u1, j u0, j xu0, j x O x (45) Εναλλακτικά, προσεγγίζοντας τη πρώτη παράγωγο με μια πρόδρομη έκφραση πεπερασμένων διαφορών ης τάξης βρίσκουμε u, j 4u1, j 3u0, j xu0, j x O x (453) 74

Η (45) ή εναλλακτικά η (453) επιλύονται μαζί με τις εξισώσεις των εσωτερικών κόμβων Παρατηρούμε ότι η (45) έχει ακρίβεια 1 ης τάξης και επομένως αλλοιώνεται η συνολική ακρίβεια του αριθμητικού σχήματος που συνήθως είναι ης τάξης, ενώ αντίθετα η (453) έχει ακρίβεια ης τάξης και είναι συμβατή ως προς την ακρίβεια με τις εξισώσεις πεπερασμένων διαφορών για τους εσωτερικούς κόμβους Μια δεύτερη βελτιωμένη μεθοδολογία είναι αυτή που βασίζεται όχι μόνο στην οριακή συνθήκη αλλά και στη διαφορική εξίσωση Με τον τρόπο αυτό εξασφαλίζεται η συμβατότητα των εξισώσεων πεπερασμένων διαφορών μεταξύ εσωτερικών και οριακών κόμβων όχι μόνο ως προς την ακρίβεια αλλά και ως προς την δομή των εξισώσεων Χρησιμοποιώντας το ανάπτυγμα Taylor u x u 1, j 0, j 0, j x x 0, j 3 u u x O x (454) βρίσκουμε ότι u u u u x O x 1, j 0, j x x x 0, j (455) Αντικαθιστώντας στην (455) την πρώτη παράγωγο από την οριακή συνθήκη (451) προκύπτει ότι u x u 1, j x1u0, j bx O x x (456) Στη συνέχεια προσεγγίζουμε την εξίσωση Laplace με εκφράσεις πεπερασμένων διαφορών στους οριακούς κόμβους 0, j, j 1,, J 1 Η δεύτερη παράγωγος αντικαθίσταται με την (456) και προκύπτει η u xx εξίσωση πεπερασμένων διαφορών x u u u u x1u bx 0, j 1,, J 1 y 0, j1 0, j 0, j1 1, j 0, j (457) Η χρήση της εξίσωσης (457) θα οδηγήσει σε καλύτερα αποτελέσματα σε σχέση με την εξίσωση (45) αλλά η ακρίβεια παραμένει 1 ης τάξης Εάν συμπεριλάβουμε στο ανάπτυγμα (454) όρους 3 ης τάξης τότε η ακρίβεια 75

των εκφράσεων πεπερασμένων διαφορών για τη δεύτερη παράγωγο θα είναι ης τάξης και συμβατή με την ακρίβεια του αριθμητικού σχήματος Στην ειδική περίπτωση της ομογενούς οριακής συνθήκης Neumann ) η εξίσωση (457) και επομένως, όλο το αριθμητικό σχήμα ( 0 είναι ακρίβειας ης τάξης (βλέπε Παράγραφο 5) Από τα παραπάνω παραδείγματα φαίνεται ότι η διατύπωση εξισώσεων πεπερασμένων διαφορών στα όρια του προβλήματος είναι μια διαδικασία σύνθετη και επίπονη αλλά τελείως απαραίτητη ώστε να εξασφαλίζεται η αξιοπιστία του αριθμητικού σχήματος Στο σημείο αυτό θα αναφερθούμε συνοπτικά στη περίπτωση των μη κανονικών ορίων Όταν η γεωμετρία του προβλήματος είναι απλή τότε είναι σχετικά απλό να επιλέξουμε το υπολογιστικό πλέγμα με τρόπο ώστε οι οριακοί κόμβοι του πλέγματος να ευρίσκονται πάνω στο φυσικό όριο του προβλήματος Όμως πολλές φορές αυτό δεν είναι εφικτό όπως όταν έχουμε καμπυλόγραμμα φυσικά όρια και χρησιμοποιούμε ορθογώνια πλέγματα Στην περίπτωση αυτή αναφερόμεθα στα όρια του προβλήματος σαν μη κανονικά όρια Το αντικείμενο της ορθολογικής προσαρμογής του πλέγματος στα φυσικά όρια του προβλήματος αποτελεί σύγχρονο πεδίο έρευνας που αντιμετωπίζεται με την εφαρμογή σύνθετων μαθηματικών και υπολογιστικών εργαλείων Στη παράγραφο αυτή θα παρουσιάσουμε μία πολύ απλή μεθοδολογία που μπορεί να καλύψει μερικώς το συγκεκριμένο πρόβλημα Έστω ότι ζητείται η υπολογιστική λύση της εξίσωσης Laplace σε ένα χωρίο που περικλείεται από ένα καμπυλόγραμμο όριο με οριακές συνθήκες Dirichlet Το υπολογιστικό πλέγμα είναι ορθογώνιο Τμήμα του καμπυλόγραμμου ορίου και του υπολογιστικού πλέγματος φαίνονται στο Σχήμα 44, όπου επίσης ορίζονται και τα σημεία τομής του ορίου με το υπολογιστικό πλέγμα Παρατηρούμε ότι πάνω στο φυσικό όριο του προβλήματος δεν έχουμε κόμβους Στην συγκεκριμένη περίπτωση αυτό δεν αποτελεί ιδιαίτερο πρόβλημα αφού οι οριακές συνθήκες είναι τύπου Dirichlet Όμως, παρατηρούμε επίσης ότι υπάρχουν εσωτερικοί κόμβοι, 76

όπως ο κόμβος 1 που δεν ισαπέχει από τα γειτονικά του σημεία Η διατύπωση των εξισώσεων πεπερασμένων διαφορών για κόμβους όπως ο κόμβος 1 θα γίνει με μία μεθοδολογία ελαφρώς τροποποιημένη σε σχέση με την γενικευμένη μεθοδολογία για τους υπόλοιπους εσωτερικούς κόμβους A ah h bh B 3 1 h Σχήμα 44: Καμπυλόγραμμο όριο και ορθογώνιο υπολογιστικό πλέγμα Θεωρούμε x y h και ορίζουμε τις αποστάσεις ανάμεσα στον κόμβο 1 και στους κόμβους Α και Β με h και h αντίστοιχα, όπου, 1 Εφαρμόζοντας αναπτύγματα Taylor και διατηρώντας όρους μέχρι και ης τάξης έχουμε ότι h 3 ua u1 huy uyy Oh! (458α) h 3 u3 u1huy uyy Oh! (458β) h 3 ub u1 hux uxx Oh! (458γ) και h 3 u3 u1hux uxx Oh! (458δ) Συνδυάζοντας τις εξισώσεις (458) καταλήγουμε στην εξής προσέγγιση της εξίσωσης Laplace στον κόμβο 1: 77

u u u u3 ua u u B 1 x y h 1 1 1 1 1 1 (459) Στη συνέχεια η διαδικασία επαναλαμβάνεται για όλους τους κόμβους του πλέγματος που είναι αντίστοιχοι του κόμβου 1 και γειτνιάζουν με το φυσικό όριο Βεβαίως θα πρέπει να ληφθεί υπόψη ότι η ακρίβεια της (459) είναι 1 ης τάξης Η αντίστοιχη επεξεργασία όταν εμπλέκονται οριακές συνθήκες Newmann ή μικτές είναι αρκετά πιο πολύπλοκη Oh 46 Κυλινδρικές και σφαιρικές συντεταγμένες Μέχρι τώρα η μέθοδος των πεπερασμένων διαφορών έχει επικεντρωθεί στην επίλυση διαφορικών εξισώσεων στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Στη παρούσα παράγραφο παρουσιάζονται οι βασικές τροποποιήσεις στη μεθοδολογία ώστε η μέθοδος να επεκταθεί αρχικά σε κυλινδρικές και στη συνέχεια σε σφαιρικές συντεταγμένες Έστω ότι ζητείται η αριθμητική επίλυση της εξίσωσης Laplace u 1u 1 u u 0, (461) r r r r z 0 r R, 0, 0 z L, με οριακές στο πεδίο ορισμού : συνθήκες τύπου Dirichlet,,0 ur,, L u0,,,z u1 ur,0, z ur,, z u u r u R και Το πεδίο ορισμού του προβλήματος και το αντίστοιχο υπολογιστικό πλέγμα απεικονίζονται στο Σχήμα 45 Το πλέγμα είναι τρισδιάστατο και ο κάθε κόμβος i, j, k του πλέγματος προσδιορίζεται από τη τριάδα σημείων i, j, k j 0,1,, J και 0,1, r z, για i 0,1,, I, k, K Συνολικά έχουμε I 1 J 1 K 1 κόμβους Αντίστοιχα οι τιμές της εξαρτημένης μεταβλητής στους κόμβους του πλέγματος ορίζονται από τις σχέσεις,, u r,, z u ir, j, kz ui j k (46) 78

i+1,j+1,k+1 u 1 u 0 u u 0 i+1,j+1,k i,j+1,k i,j+1,k+1 i,j,k i+1,j,k i+1,j,k+1 i,j,k+1 Σχήμα 45: Πεδίο ορισμού και υπολογιστικό πλέγμα Η εξίσωση (461) διακριτοποιείται στον τυχαίο κόμβο του πλέγματος i, j, k : 1 1 u u u u r r r r z i,j,k i i,j,k i i,j,k i,j,k 0, (463) Εφαρμόζοντας κεντρώες σχέσεις πεπερασμένων διαφορών και παρατηρώντας ότι ri i r προκύπτει η εξίσωση πεπερασμένων διαφορών ui 1, jk, ui, jk, ui 1, jk, 1 ui 1, jk, ui 1, jk, r ir r 1 u u u u u u ir z i, j1, k i, j, k i, j1, k i, j, k1 i, j, k i, j, k1 i1,,, I 1 j 1,,, J 1 και k 1,,, K 1 για, 0 (464) Παρατηρούμε ότι σε κάθε εξίσωση πεπερασμένων διαφορών έχουμε επτά μη μηδενικούς όρους Το αλγεβρικό σύστημα (464) επιλύεται με μία επαναληπτική μέθοδο και προκύπτουν οι άγνωστες ποσότητες κόμβους u i, j, k στους εσωτερικούς Η εφαρμογή της μεθόδου των πεπερασμένων διαφορών σε κυλινδρικές συντεταγμένες απαιτεί ιδιαίτερη προσοχή όταν κρίνεται αναγκαία η διατύπωση εξισώσεων πεπερασμένων διαφορών για τους κόμβους που βρίσκονται στον άξονα r 0 Σημειώνεται ότι ο Λαπλασιανός 79

τελεστής δεν ορίζεται για r 0 Θα εξετάσουμε το θέμα αυτό στην ειδική περίπτωση της αξονοσυμμετρικής συμμετρίας Έστω ότι ζητείται η αριθμητική επίλυση της εξίσωσης Laplace u 1 u u 0, r r r z (465) στο πεδίο ορισμού : 0 r R, 0 z L, με οριακές συνθήκες τύπου Dirichlet ur,0 ur, L 0,, z u0 u R στην εξωτερική επιφάνεια του κυλίνδρου και τη συνθήκη συμμετρίας u r r 0 0 στο άξονα συμμετρίας Το πεδίο ορισμού και το αντίστοιχο πλέγμα απεικονίζονται στο Σχήμα 46 z=l z=l 0 r=0 r=r u r =0 u o z=0 z=0 r=0 0 r=r Σχήμα 46: Αξονοσυμμετρικό υπολογιστικό πλέγμα Θεωρώντας r z η εξίσωση πεπερασμένων διαφορών προκύπτει εύκολα τροποποιώντας κατάλληλα την (464) και γράφεται στη μορφή 1 1 1 ui1, k1 ui 1,k 4uik, uik, 1 uik, 1 0 i i i1,,, I 1 και k 1,,, K 1 (466) Η εξίσωση (466) ισχύει για τους εσωτερικούς κόμβους του πλέγματος που βρίσκονται στον άξονα του κυλίνδρου εκτός βέβαια από τους κόμβους r 0, αφού για r 0 ο 80

δεύτερος όρος της εξίσωσης (465) απειρίζεται Το σύστημα (466) δεν αποτελεί ένα κλειστό αλγεβρικό σύστημα, αφού ο αριθμός των αγνώστων είναι μεγαλύτερος του αριθμού των εξισώσεων Το πρόβλημα αυτό παρακάμπτεται εφαρμόζοντας τη συμμετρική οριακή συνθήκη στο r 0 Δηλαδή u r r 0 u u 0 u u 1, k 0, k 1, k 0, k, k 1,,, K 1 (467) Με τις εξισώσεις (467) κλείνει το αλγεβρικό σύστημα (464) και ο υπολογισμός των αγνώστων είναι εφικτός Όμως η (467) είναι 1 ης τάξης και αλλοιώνει την ακρίβεια του αριθμητικού σχήματος (466) που είναι ης τάξης Η ανακολουθία αυτή διορθώνεται ως εξής Παρατηρούμε ότι καθώς το r 0 και ο αριθμητής του δεύτερου όρου της (465) επίσης τείνει στο μηδέν Εφαρμόζοντας τον κανόνα του Ηospital παρατηρούμε ότι u lim r u (468) r0 r r Αντικαθιστώντας το αποτέλεσμα αυτό στην εξίσωση (465) προκύπτει στο r 0 η αναλυτική εξίσωση u u rr zz 0 Η (469) ορίζεται στο (469) r 0 r z και εφαρμόζοντας κεντρώες πεπερασμένες διαφορές σε συνδυασμό με τη συμμετρία της λύσης ως προς τον άξονα του κυλίνδρου (βλέπε Παράγραφο 5) προκύπτει η εξίσωση πεπερασμένων διαφορών ( ) u, k u1, k u1, k1 u1, k u1, k 0, k 1,,, K 1 (4610) Οι εξισώσεις (4610) είναι ης τάξης και είναι συμβατές ως προς την ακρίβεια και ως προς την δομή με τις εξισώσεις (466) των υπολοίπων εσωτερικών κόμβων Το προς επίλυση αλγεβρικό σύστημα απαρτίζεται από τις εξισώσεις (466) και (4610) Η επίλυση ελλειπτικών εξισώσεων σε σφαιρικές συντεταγμένες ακολουθεί τους ίδιους ακριβώς κανόνες όπως στις κυλινδρικές συντεταγμένες 81