ΙΩΝΙΣΜ ΕΩΜΕΤΡΙΣ ΥΚΕΙΟΥ 3/0/0 ΕΝΕΙΚΤΙΚΕΣ ΠΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜ ο ) Να αποδείξετε ότι δύο χορδές ενός κύκλου είναι ίσες αν και µόνο αν τα αποστήµατά τους είναι ίσα. Θεωρία, σελίδα 46 σχολικού βιβλίου Θεώρηµα III ) Χαρακτηρίστε ως σωστή (Σ) ή ως λάθος () καθεµία από τις επόµενες προτάσεις. Σε κάθε ισοσκελές τρίγωνο η διχοτόµος της γωνίας της κορυφής είναι και διάµεσος και ύψος. Σ Σε κάθε ισοσκελές τρίγωνο η διάµεσος είναι και ύψος και διχοτόµος. Ένα τρίγωνο είναι οξυγώνιο όταν έχει µία γωνία οξεία. Η µεσοκάθετος ισαπέχει από τις πλευρές της. ύο τρίγωνα που έχουν και τις τρεις γωνίες τους ίσες µία προς µία,είναι ίσα. ύο ορθογώνια τρίγωνα που έχουν την υποτείνουσα και µια γωνία αντίστοιχα ίσες µία προς µία, είναι ίσα. ΘΕΜ ο ) Να συµπληρώσετε τα κενά : (0 µονάδες) Η ευθεία ε που είναι κάθετη στο ευθύγραµµο τµήµα και διέρχεται από το µέσο του λέγεται μεσοκάθετος του ευθύγραµµου τµήµατος Κάθε σημείο της μεσοκαθέτου ενός ευθύγραμμου τμήματος έχει την χαρακτηριστική ιδιότητα να ισαπέχει από τα άκρα του, και αντίστροφα, δηλαδή κάθε σημείο που ισαπέχει από τα άκρα ενός τμήματος ανήκει στη μεσοκάθετό του.
Κάθε σημείο της διχοτόμου μιας γωνίας έχει την χαρακτηριστική ιδιότητα να ισαπέχει από τις πλευρές της και αντίστροφα, δηλαδή κάθε εσωτερικό σημείο μιας γωνίας που ισαπέχει από της πλευρές, είναι σημείο της διχοτόμου της. Το μοναδικό κάθετο τμήμα ΟΚ που άγεται από το κέντρο Ο προς τη χορδή λέγεται απόστημα της χορδής και έχει την ιδιότητα να διχοτομεί τη χορδή και το αντίστοιχο τόξο της. ) Κυκλώστε το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση και αιτιολογήστε την απάντησή σας. ν οι διχοτόµοι των γωνιών και ενός ισόπλευρου τριγώνου τέµνονται στο, τότε το τρίγωνο είναι. Ισόπλευρο. Ισοσκελές. Ορθογώνιο Δ. Σκαληνό Ε. Τίποτα από τα παραπάνω Το τρίγωνο είναι ισοσκελές οπότε = και επειδή φέραμε τις διχοτόμους τους θα είναι και = ( ως μισά ίσων γωνιών ) Δηλαδή το τρίγωνο Δ θα είναι ισοσκελές. Έστω ευθεία ε και σηµείο εκτός αυτής. ν ε και ε (, σηµεία της ε ) τότε :. B. B. = πό σηµείο εκτός ευθείας διέρχεται µοναδική κάθετος στην ευθεία. ν, είναι χορδές ενός κύκλου (Κ) και ΚΕ, ΚΖ είναι αντίστοιχα τα αποστήµατά τους τότε :. B = ΚΕ = ΚΖ. B = ΚΕ ΚΖ. B = ΚΕ = ΚΖ ύο χορδές ενός κύκλου είναι ίσες αν και µόνο αν τα αποστήµατά τους είναι ίσα.
ΘΕΜ 3 ο ) Στο παρακάτω σχέδιο υπάρχουν δύο κατοικίες και. Σε ποιο σηµείο του δρόµου πρέπει να τοποθετηθεί στάση λεωφορείου, ώστε να µην αδικείται κανένας από τους κατοίκους ; Η στάση του λεωφορείου πρέπει να γίνει σε σηµείο της µεσοκαθέτου του ευθύγραµµου τµήµατος, έτσι ώστε να ισαπέχει από τα χωριά. Εποµένως, η στάση πρέπει να γίνει στο σηµείο Κ. K A ) Θεωρούµε ισοσκελές τρίγωνο ( = ). Προεκτείνουµε τη βάση του και προς τα δύο µέρη κατά ίσα τµήµατα =Ε.Να αποδειχτούν : ) Ότι το τρίγωνο Ε είναι ισοσκελές. = Ε ( Π Π) Ε ) = ισοσκελές ) = Ε υπόθεση ( ) ως παραπληρωµατικές 3) = των ίσων γωνιών = Σε δύο ίσα τρίγωνα απέναντι από ίσες πλευρές βρίσκονται ίσες γωνίες και αντίστροφα, εποµένως = Ε Ε ισοσκελές ) Τα σηµεία και Ε ισαπέχουν από τις ευθείες των ίσων πλευρών ( δηλαδή ότι ισαπέχουν από τις ευθείες και αντίστοιχα ).
Κ = Ε Κ Ε ) Είναι ορθογώνια ( Κ = = 90 ) 0 ) = Ε ( ερώτηµα ) 3) = Ε (αφού = Ε) Σε δύο ίσα τρίγωνα απέναντι από ίσες πλευρές βρίσκονται ίσες γωνίες και αντίστροφα οπότε Κ = Ε ΘΕΜ 4 ο ) Σε κύκλο ( Ο, ρ ) θεωρούµε τις ίσες χορδές και, οι προεκτάσεις των οποίων τέµνονται στο Μ. ν ΟΚ και Ο τα αποστήµατα των χορδών και αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι : Κ Ο Μ )Κ = Τ ο απόστηµα διχοτοµεί τη χορδή ( συγκεκριµένα ο φορέας του αποστήµατος είναι µεσοκάθετος της χορδής ) εποµένως Κ = Κ και =. Θα έχουµε : = ή Κ = δηλαδή Κ = ή απλά θα είναι Κ = ως µισά ίσων τµηµάτων. )Τα τρίγωνα ΜΟΚ και ΜΟ είναι ίσα Μ Ο Κ = Μ Ο ) Είναι ορθογώνια ( Κ = = 90 ) ( ) ) ΟΚ = Ο Ως αποστήµατα των ίσων χορδών 3) ΟΜ = ΟΜ ( κοινή ) 3) Μ =Μ και Μ =Μ φού ΜΟΚ = ΜΟ απέναντι από ίσες πλευρές βρίσκονται ίσες γωνίες και αντίστροφα. Εποµένως ΜΚ = Μ. Θα έχουµε:μ = ΜΚ + Κ = Μ + = Μ ή απλά Μ = Μ ως άθροισµα ίσων τµηµάτων. Όπως είδαµε ΜΚ = Μ ή Μ + Κ = Μ +, όµως Κ = εποµένως Μ = Μ ή απλά ως διαφορά ίσων τµηµάτων
) Θεωρούµε γωνία x O y, τα σηµεία, της πλευράς Οx και τα σηµεία, της πλευράς Οy τέτοια ώστε Ο = Ο και Ο = Ο. ν Μ είναι το σηµείο τοµής των τµηµάτων και, να αποδείξετε ότι : O Μ A y x α) Τα τρίγωνα Ο και Ο είναι ίσα, Ο = Ο ( Π Π ) ) Ο = Ο (υπόθεση) ) Ο = Ο (υπόθεση) 3) Ο = Ο (κοινή) β) τα τρίγωνα Μ και Μ είναι ίσα πό την ισότητα τριγώνων στο α) ερώτηµα, προκύπτει ότι = και =, εποµένως: Μ = Μ ( Π ) ) ( ως παραπληρωµατικές ίσων γωνιών) = ) = 3) = ( ως διαφορά ίσων τµηµάτων ) γ) η ΟΜ είναι διχοτόµος της x O y. πό το δεύτερο ερώτηµα προκύπτει ότι Μ = Μ οπότε : Ο Μ = ΟΜ (Π Π Π) ) Μ = Μ ) ΟΜ = ΟΜ ( κοινή ) 3) Ο = Ο ( υπόθεση) Εποµένως Ο = Ο δηλαδή η ΟΜ είναι διχοτόµος της x O y.