Από ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2012 ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Α ΘΕΜΑ 1 ο Η UCC είναι μια μικρή εταιρεία παραγωγής εντομοκτόνων. Σε κάποιο σημείο του εργοστασίου της έχει κατασκευάσει ένα τεράστιο βαρέλι χωρητικότητας 100,000 λίτρων στο οποίο αποθηκεύει κάποιο δηλητηριώδες χημικό συστατικό το οποίο χρησιμοποιεί στην παραγωγή των εντομοκτόνων. Συνήθως το βαρέλι γεμίζει μέχρι του επιπέδου των 80,000 έως 90,000 λίτρων και στη συνέχεια το περιεχόμενό του κατευθύνεται μέσω μιας σειράς σωλήνων προς άλλα σημεία του εργοστασίου, όπου και αναμιγνύεται με άλλα συστατικά προκειμένου να δημιουργηθούν τα εντομοκτόνα. Στο σχήμα, ο κόμβος 1 παριστά το βαρέλι, οι κόμβοι 2 έως 6 τα σημεία μίξης (παραγωγής των εντομοκτόνων), και ο κόμβος 7 την περιοχή όπου καταλήγουν τα απόβλητα της παραγωγικής διαδικασίας, σ ένα μεγάλο ασφαλή σημείο ταφής τους. Η ροή του χημικού μέσα στις σωλήνες είναι σχετικά αργή και σε καμία περίπτωση δεν φτάνει τη δυναμικότητα των σωλήνων. Εν τούτοις, το πλάνο ασφάλειας της UCC απαιτεί την ύπαρξη μιας διαδικασίας έκτακτης εκκένωσης του βαρελιού προς το σημείο ασφαλούς ταφής. Στην περίπτωση αυτή, η εταιρεία πρέπει να κλίσει τις βαλβίδες στα σημεία μίξης σε τρόπο ώστε το δηλητηριώδες περιεχόμενο του βαρελιού να αδειάσει το δυνατόν συντομότερα. Ο πίνακας που ακολουθεί, δίνει τη ροή του κάθε σωλήνα σε χιλιάδες λίτρα το λεπτό. Προς 1 2 3 4 5 6 7 1 10 10 2 1 8 6 3 1 12 4 4 3 7 5 2 8 6 4 3 2 2 7 Χρησιμοποιείστε την κατάλληλη τεχνική της δικτυωτής ανάλυσης προκειμένου να βρείτε ποιες βαλβίδες πρέπει να ανοίξουν και ποιες να κλίσουν, καθώς επίσης και μια εκτίμηση του χρόνου που απαιτείται προκειμένου να αδειάσει πλήρως το περιεχόμενο του βαρελιού στο σημείο ασφαλούς ταφής. ΘΕΜΑ 2 ο Εταιρείες πετρελαιοειδών και φυσικού αερίου σχεδιάζουν τη δημιουργία μίας κοινοπραξίας με σκοπό την κατασκευή ενός αγωγού φυσικού αερίου ο οποίος θα διατρέχει αρκετές ευρωπαϊκές χώρες διανέμοντας αέριο που προέρχεται από διάφορες πηγές. Στο δίκτυο του σχήματος κάθε χώρα παριστάνεται από έναν κόμβο ενώ οι ακμές παριστάνουν κόστος διασύνδεσης μεταξύ χωρών σε εκατομμύρια ευρώ.
1. Το αρχικό σχέδιο περιλαμβάνει την κατασκευή ενός αγωγού με όσο γίνεται μικρότερο κόστος, που θα ξεκινά από τον κόμβο 1 (που είναι το κύριο σημείο εισόδου φυσικού αερίου στην Ευρώπη) και θα καταλήγει στον κόμβο 10 (που είναι ο κύριος καταναλωτής χώρα φυσικού αερίου στην Ευρώπη). Χρησιμοποιείστε την κατάλληλη μέθοδο δικτυωτής ανάλυσης για να απαντήσετε στο ερώτημα αυτό. Ποιες άλλες χώρες επωφελούνται από τη υλοποίηση του σχεδίου αυτού; 2. Μετά την υλοποίηση του αρχικού σχεδίου που περιγράφτηκε στο πιο πάνω ερώτημα, η ΕΕ προχωρά στην εκπόνηση νέου σχεδίου, συνολικής διασύνδεσης και των 10 χωρών του «χάρτη» ώστε όλες να έχουν πρόσβαση σε φυσικό αέριο. Βρείτε στην περίπτωση αυτή τον κατάλληλο τρόπο σύνδεσης και των υπολοίπων στο υπάρχον δίκτυο, ώστε να έχετε συνολική διασύνδεση με το μικρότερο συνολικό κόστος. (Το αρχικό σχέδιο σύνδεσης της χώρας 10 με τη χώρα εισόδου του φυσικού αερίου, 1, έχει βέβαια ήδη υλοποιηθεί και υπάρχει, οπότε τις ήδη υλοποιημένες ακμές του αρχικού σχεδίου αναγκαστικά θα πρέπει να τις κρατήσετε στη λύση σας). ΘΕΜΑ 3 ο Εταιρεία παραγωγής όπλων επιθυμεί να προγραμματίσει την παραγωγή της καραμπίνας κυνηγίου GEXT965 για τους τρεις πρώτους μήνες του επόμενου έτους. Σύμφωνα με τις προβλέψεις του τμήματος marketing, η ζήτηση αναμένεται να φτάσει τα 200, 300 και 100 τεμάχια αντίστοιχα, με την παραγωγική της δυναμικότητα να είναι ίση με 240 καραμπίνες τον μήνα. (Υποθέτουμε ότι η παραγόμενη ποσότητα ενός μήνα μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να καλύψει μέρος ή και ολόκληρη τη ζήτηση του συγκεκριμένου μήνα ή να αποθηκευτεί για να πουληθεί αργότερα). Το κόστος παραγωγής εκάστης καραμπίνας εκτιμάται σε 200 για τον μήνα Ιανουάριο, 180 για τον Φεβρουάριο και 240 για τον Μάρτιο. Επιπλέον, λόγω του έντονου ανταγωνισμού, η εταιρεία θεωρεί αδιανόητο να μην ικανοποιήσει, έστω και αργοπορημένα, το σύνολο των παραγγελιών που έλαβε, γεγονός το οποίο την επιβαρύνει με 60/καραμπίνα/μήνα καθυστέρησης. Από την άλλη μεριά, μια καραμπίνα η οποία παραμένει στην αποθήκη ως απόθεμα, έχει κόστος διατήρησης 10 τον μήνα. Υποδείξτε ένα πρόβλημα μεταφοράς προκειμένου να βρεθεί η παραγωγική διαδικασία της GEXT965 με το μικρότερο δυνατό συνολικό (: και των τριών μηνών δηλαδή) κόστος. ΘΕΜΑ 4 ο Εταιρεία παραγωγής air-conditioners επιθυμεί να προγραμματίσει την παραγωγή του μοντέλου LIV323 για τους τρεις μήνες του καλοκαιριού. Σύμφωνα με τις προβλέψεις του τμήματος marketing, η ζήτηση αναμένεται να φτάσει τα 2000, 3000 και 1000 τεμάχια αντίστοιχα, με την παραγωγική της δυναμικότητα να είναι ίση με 2400 air-conditioner τον μήνα. (Υποθέτουμε ότι η παραγόμενη ποσότητα ενός μήνα μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να καλύψει μέρος ή και ολόκληρη τη ζήτηση του συγκεκριμένου μήνα ή να αποθηκευτεί για να πουληθεί αργότερα). Το κόστος παραγωγής εκάστου air-conditioner εκτιμάται σε 300 για τον μήνα Ιούνιο, 270 για τον Ιούλιο και 360 για τον Αύγουστο. Επιπλέον, λόγω του έντονου ανταγωνισμού, η εταιρεία θεωρεί αδιανόητο να μην ικανοποιήσει, έστω και αργοπορημένα, το σύνολο των παραγγελιών που έλαβε, γεγονός το οποίο την επιβαρύνει με 60/air-conditioner/μήνα καθυστέρησης. Από την άλλη μεριά, ένα air-conditioner το οποία παραμένει στην αποθήκη ως απόθεμα, έχει κόστος διατήρησης 100 τον μήνα. Υποδείξτε ένα πρόβλημα μεταφοράς προκειμένου να βρεθεί η παραγωγική διαδικασία του LIV323 με το μικρότερο δυνατό συνολικό (: και των τριών μηνών δηλαδή) κόστος. ΘΕΜΑ 5 ο Ένας πετυχημένος συγγραφέας διαπραγματεύεται με τον εκδότη του το συμβόλαιο για ένα καινούργιο μυθιστόρημα. Οι στρατηγικές τόσο του συγγραφέα όσο και του εκδότη περιλαμβάνουν ποικίλες προτάσεις που σχετίζονται με τα δικαιώματα, με τα ποσοστά από την πιθανή μεταφορά του μυθιστορήματος στον κινηματογράφο, προκαταβολές πληρωμών κλπ. Στους πίνακες που ακολουθούν μελετούνται δύο διαφορετικά σενάρια (οι αριθμοί παριστάνουν τις αναμενόμενες χρηματικές εισροές (αμοιβή), σε χιλιάδες ευρώ, του συγγραφέα (παίκτης Α) από κάθε συνδυασμό στρατηγικών με εκείνες του εκδότη (παίκτης Β)). Σενάριο Α Συγγραφέας (Α) Εκδότης (Β) Β1 Β2 Β3 Β4 Α1 200 300 100 500 Α2 400 100 600 0 Α3 140 200 80 400 Σενάριο Β Συγγραφέας (Α) Εκδότης (Β) Β1 Β2 Β3 Α1 100-100 300 Α2 0 400 100 Α3 300-200 500 Α4-300 600-200
1. Χωρίς να διαγράψετε τις υποδεέστερες στρατηγικές, εφαρμόστε το κριτήριο minimax στον πίνακα πληρωμών, για να διαπιστώσετε την ύπαρξη ή όχι σημείου ισορροπίας. 2. Να εφαρμόσετε την κατάλληλη μεθοδολογία προκειμένου να προσδιορίσετε την άριστη στρατηγική για κάθε παίκτη καθώς και την αναμενόμενη αμοιβή του συγγραφέα. Να διατυπώσετε τα αποτελέσματά σας με σαφήνεια, αποδίδοντας και το κατάλληλο φυσικό νόημα. ΘΕΜΑ 6 ο Ο Γεώργιος Παπαδόπουλος, νέος επικεφαλής της γραμματείας πληροφοριακών συστημάτων του υπουργείου Οικονομικών, υποσχέθηκε ότι το έργο της εγκατάστασης του νέου υπολογιστικού συστήματος στο υπουργείο θα ολοκληρωθεί σε 18 εβδομάδες, διαφορετικά θα παραιτηθεί. Η όλη διαδικασία εμπλέκει 14 δραστηριότητες (με την κωδική ονομασία A, B,, Ν) των οποίων οι χρονικές αλληλεξαρτήσεις μαζί με το χρόνο υλοποίησης της κάθε μίας εξ αυτών (σε εβδομάδες) δίνονται στο κατωτέρω διάγραμμα. 1. Παραθέστε πίνακα του οποίου γραμμές θα είναι οι δέκα τέσσερις (14) δραστηριότητες του έργου και στήλες ο ενωρίτερος χρόνος έναρξης, ο ενωρίτερος χρόνος λήξης, ο βραδύτερος χρόνος έναρξης και ο βραδύτερος χρόνος λήξης εκάστης εξ αυτών. Υποδείξτε την κρίσιμη διαδρομή και υπολογίστε τον (ελάχιστο) χρόνο ολοκλήρωσης του έργου. 2. Στη συνέχεια, υποθέστε ότι ο χρόνος που υπολογίσατε στο προηγούμενο ερώτημα, είναι ο αναμενόμενος χρόνος ολοκλήρωσης του έργου του οποίου η τυπική απόκλιση εκτιμήθηκε στις 2 εβδομάδες. Ποια είναι η πιθανότητα το έργο αυτό να ολοκληρωθεί σε 18 εβδομάδες; Εάν ο κ. Παπαδόπουλος ήθελε να είναι 99% βέβαιος ότι το έργο θα ολοκληρωθεί χωρίς τον κίνδυνο της παραίτησής του, ποιο χρόνο έπρεπε να είχε προσδιορίσει για την υλοποίησή του; Δίνεται: P(0 Z 1.21) = 0.3869, P(0 Z 2.24) = 0.4875, P(0 Z 1.65) = 0.4505, P(0 Z 1.00) = 0.3413 ΘΕΜΑ 7 ο Η Lockhead Aircraft Co προετοιμάζεται για την ανάπτυξη ενός νέου μαχητικού αεροπλάνου για λογαριασμό της αεροπορίας των ΗΠΑ. Στο συμβόλαιο που έχει υπογράψει με το Υπουργείο Άμυνας έχει δεσμευτεί για την υλοποίηση του εγχειρήματος εντός 92 εβδομάδων, αλλιώς υποχρεώνεται στην καταβολή προστίμων. Η όλη διαδικασία εμπλέκει 10 δραστηριότητες (με την κωδική ονομασία A, B,, J) των οποίων οι χρονικές αλληλεξαρτήσεις δίνονται στο κατωτέρω διάγραμμα. Δίνεται ακόμα πίνακας με το χρόνο υλοποίησης της κάθε μίας εξ αυτών (σε εβδομάδες). Απαιτούμενος χρόνος υλοποίησης των δραστηριοτήτων (εβδομάδες) A B C D E F G H I J 32 28 36 16 32 54 17 20 34 18
1. Παραθέστε πίνακα του οποίου γραμμές θα είναι οι δέκα (10) δραστηριότητες του έργου και στήλες ο ενωρίτερος χρόνος έναρξης, ο ενωρίτερος χρόνος λήξης, ο βραδύτερος χρόνος έναρξης και ο βραδύτερος χρόνος λήξης εκάστης εξ αυτών. Υποδείξτε την κρίσιμη διαδρομή και υπολογίστε τον (ελάχιστο) χρόνο ολοκλήρωσης του έργου. 2. Στη συνέχεια, υποθέστε ότι ο χρόνος που υπολογίσατε στο προηγούμενο ερώτημα, είναι ο αναμενόμενος χρόνος ολοκλήρωσης του έργου του οποίου η τυπική απόκλιση εκτιμήθηκε στις 6.6 εβδομάδες. Ποια είναι η πιθανότητα το έργο αυτό να ολοκληρωθεί σε 92 εβδομάδες; Εάν η Lockhead θέλει να είναι 95% βέβαιη ότι το έργο θα ολοκληρωθεί χωρίς να υποχρεωθεί στην καταβολή προστίμου, ποιο χρόνο έπρεπε να είχε προσδιορίσει για την υλοποίησή του στην προσφορά της; Δίνεται: P(0 Z 1.21) = 0.3869, P(0 Z 2.24) = 0.4875, P(0 Z 1.65) = 0.4505, P(0 Z 1.00) = 0.3413
ΘΕΜΑ 1 ο Καθώς η ανάλυση επικεντρώνεται στη μεταφορά ολόκληρου του περιεχομένου του βαρελιού προς το σημείο ασφαλούς ταφής, πρόκειται για πρόβλημα εύρεσης της μέγιστης ροής από ένα κόμβο-πηγή (1) προς ένα κόμβο-δέκτη (7): Ξεκινάμε λοιπόν επιλέγοντας αυθαίρετα ένα μονοπάτι με θετική (μη μηδενική) δυναμικότητα ροής από την πηγή προς το δέκτη. Ένα τέτοιο μονοπάτι είναι για παράδειγμα το μονοπάτι 1-2-4-7. Η μέγιστη δυναμικότητα ροής του μονοπατιού αυτού είναι ίση με 7 μονάδες όπως καθορίζεται από την ακμή του με την μικρότερη δυναμικότητα ροής, δηλαδή την ακμή 4-7 (min{10, 8, 7} = 7). Έτσι, στέλνουμε 7 χιλιάδες λίτρα μέσω του μονοπατιού αυτού από την πηγή 1 προς το δέκτη 7 και αναπροσαρμόζουμε κατάλληλα τις ροές των ακμών που συμμετέχουν. Στο σχήμα 1 απεικονίζεται η πρώτη επανάληψη. Μετά τον κόμβο 1 σημειώνουμε μονοπάτι και ροή. Συνολική ροή: 7 μονάδες (χιλιάδες λίτρα χημικού συστατικού).
Σχήμα 1 1 η επανάληψη Συνεχίζουμε με το μονοπάτι (αυθαίρετα) 1 3 5 7, που έχει θετική (μη μηδενική) δυναμικότητα ροής από την πηγή προς το δέκτη. Η δυναμικότητα ροής του μονοπατιού αυτού είναι ίση με 8 μονάδες που καθορίζεται από την ακμή 5 7 που έχει την ελάχιστη δυναμικότητα ροής ανάμεσα στις ακμές του μονοπατιού. Έτσι, μπορούμε να στείλουμε 5 χιλιάδες λίτρα του δηλητηριώδους χημικού συστατικού από το μονοπάτι αυτό. Αναπροσαρμόζουμε τις ροές των ακμών. Στο σχήμα 2 απεικονίζεται η δεύτερη επανάληψη, ενώ έχουμε διατηρήσει και την πρώτη επανάληψη (χωρίς βέλη). Συνολική ροή: 7 + 8 = 15 χιλιάδες λίτρα χημικού συστατικού. Σχήμα 2 2 η επανάληψη
Συνεχίζουμε, επιλέγοντας τώρα το μονοπάτι 1 3 6 7. Η δυναμικότητα ροής του μονοπατιού είναι ίση με 2 μονάδες και καθορίζεται από την ακμή 6 7 που έχει την ελάχιστη δυναμικότητα ροής ανάμεσα στις ακμές του μονοπατιού. Έτσι, αποστέλλονται 2 χιλιάδες λίτρα από το μονοπάτι αυτό από την πηγή προς το δέκτη και στη συνέχεια γίνεται αναπροσαρμογή στις ροές των ακμών. Στο σχήμα 3 απεικονίζεται η τρίτη επανάληψη, ενώ έχουν διατηρηθεί οι προηγούμενες επαναλήψεις. Συνολική ροή μέχρι τώρα: 7 + 8 + 2 = 17 χιλιάδες λίτρα χημικού συστατικού. Σχήμα 3 3 η επανάληψη Η άριστη λύση Από το σχήμα 3 διαπιστώνουμε ότι δεν υπάρχει άλλο μονοπάτι με θετική (μη μηδενική) δυναμικότητα ροής από την πηγή προς το δέκτη, οπότε η μέγιστη ροή ισούται με 17 χιλιάδες λίτρα. Συνεπώς, σε περίπτωση έκτακτης ανάγκης, θα πρέπει να ανοίξουν οι βαλβίδες οι οποίες συνδέουν τα σημεία (κόμβους) 1-2, 1-3, 2-4, 3-5, 3-6, 4-7, 5-7 και 6-7. Εάν το βαρέλι ήταν γεμάτο με 100,000 λίτρα θα χρειαζόταν περί τα 100,000/17,000 = 5.88 λεπτά για να αδειάσει όλο το περιεχόμενό του στο ασφαλές σημείο ταφής. Σημείωση Από τη φύση του αλγορίθμου της μέγιστης ροής, είναι πολύ πιθανόν να μην υπάρχει μόνο μία συγκεκριμένη και μοναδική σειρά στη ροή των επαναλήψεων και στη συλλογή των μονοπατιών, αφού σε κάθε επανάληψη, το μονοπάτι με θετική (μη μηδενική) δυναμικότητα ροής από την πηγή προς το δέκτη, προσδιορίζεται αυθαίρετα. Μάλιστα, υπάρχουν εναλλακτικά μονοπάτια τα οποία επίσης επιτυγχάνουν τη μέγιστη ροή και αυτό συμβαίνει σχεδόν πάντα στα προβλήματα αυτού του τύπου. Σε κάθε περίπτωση όμως, στην άριστη λύση η μέγιστη ροή πρέπει να είναι 17 μονάδες και αυτή έπρεπε να εντοπιστεί, ταυτόχρονα με τις κατάλληλες ροές επάνω στις ακμές.
ΘΕΜΑ 2 ο ερώτημα 1: Πρόκειται για πρόβλημα εύρεσης της συντομότερης διαδρομής. Πρώτος λυμένος κόμβος καθίσταται η αφετηρία με απόσταση 0 (από τον εαυτό της). Κόμβοι με προσωρινές διαδρομές: κόμβος 2, με «απόσταση» 400 εκατομμύρια ευρώ από την αφετηρία, κόμβος 4, με «απόσταση» 520 εκατομμύρια ευρώ από την αφετηρία και κόμβος 8, με «απόσταση» 750 εκατομμύρια ευρώ ομοίως. Στο σύνολο των μονίμων κόμβων εισέρχεται ο κόμβος 2 με ελάχιστη «απόσταση» 400 μονάδες οπότε το σύνολο των μονίμων κόμβων γίνεται {1, 2}. Αναπροσαρμόζουμε τις μεταβάσεις λόγω της εισαγωγής του κόμβου 2 στους μόνιμους: κόμβος 4, με «απόσταση» 520 μονάδες, απευθείας από την αφετηρία, κόμβος 8, με «απόσταση» 750 μονάδες, απευθείας από την αφετηρία, κόμβος 3, με «απόσταση» 850 μονάδες, μέσω του 2, και κόμβος 4, με «απόσταση» 890 μονάδες, μέσω του 2. Η είσοδος του κόμβου 2 δεν βελτίωσε την προσέγγιση προς τον κόμβο 4 (ήταν 520 έγινε 890). Μόνιμος καθίσταται ο κόμβος 4 που έχει προσωρινή «απόσταση» από την αφετηρία τη μικρότερη μεταξύ αυτών με προσωρινή «απόσταση», δηλαδή 520 εκατομμύρια ευρώ απευθείας από την αφετηρία, οπότε το σύνολο των μονίμων είναι τώρα το {1, 2, 4}. Αναπροσαρμόζουμε τις μεταβάσεις λόγω της εισαγωγής του κόμβου 4 στο σύνολο των μονίμων: κόμβος 8, με «απόσταση» 750 μονάδες, απευθείας από την αφετηρία, κόμβος 3, με «απόσταση» 850 μονάδες, μέσω του 2, κόμβος 3, με «απόσταση» 1100 μονάδες, μέσω του 4, κόμβος 5, με «απόσταση» 830 μονάδες, μέσω του 4, και κόμβος 8, με «απόσταση» 760 μονάδες, μέσω του κόμβου 4. Η είσοδος του κόμβου 4 δεν βελτίωσε την προσέγγιση ούτε προς τον κόμβο 3 (ήταν 850 έγινε 1100), αλλά ούτε προς τον κόμβο 8 (ήταν 750 έγινε 760). Από τους κόμβους με προσωρινό «μήκος» διαδρομής μόνιμος γίνεται ο κόμβος 8 με ελάχιστη «απόσταση» 750 εκατομμύρια ευρώ απευθείας από την αφετηρία, οπότε το σύνολο μονίμων είναι τώρα {1, 2, 4, 8}. Αναπροσαρμόζουμε τις μεταβάσεις λόγω της εισαγωγής του κόμβου 8 στο σύνολο των μονίμων: κόμβος 3, με «απόσταση» 850 μονάδες, μέσω του 2, κόμβος 5, με «απόσταση» 830 μονάδες, μέσω του 4, κόμβος 5, με «απόσταση» 1090 μονάδες, μέσω του 8, κόμβος 7, με «απόσταση» 1020 μονάδες, μέσω του 8, και κόμβος 10, με «απόσταση» 1090 μονάδες, μέσω του 8. Η είσοδος του κόμβου 8 δεν βελτίωσε την προσέγγιση προς τον κόμβο 5 (ήταν 830 έγινε 1090). Μόνιμος γίνεται ο κόμβος 5 με «απόσταση» από την αφετηρία 830 εκατομμύρια ευρώ μέσω του κόμβου 4 και το σύνολο μονίμων γίνεται {1, 2, 4, 8, 5}. Αναπροσαρμόζουμε τις μεταβάσεις λόγω της εισαγωγής του κόμβου 5 στο σύνολο των μονίμων: κόμβος 3, με «απόσταση» 850 μονάδες, μέσω του 2, κόμβος 7, με «απόσταση» 1020 μονάδες, μέσω του 8, κόμβος 10, με «απόσταση» 1090 μονάδες, μέσω του 8, κόμβος 3, με «απόσταση» 1040 μονάδες, μέσω του 5, κόμβος 6, με «απόσταση» 1005 μονάδες, μέσω του 5, και
κόμβος 7, με «απόσταση» 1090 μονάδες, μέσω του 5. Η είσοδος του κόμβου 5 δεν βελτίωσε την προσέγγιση ούτε προς τον κόμβο 3 (ήταν 850 έγινε 1040), αλλά ούτε προς τον κόμβο 7 (ήταν 1020 έγινε 1090). Μόνιμος γίνεται ο κόμβος 3 με «απόσταση» από την αφετηρία 850 εκατομμύρια ευρώ μέσω του κόμβου 2 και το σύνολο μονίμων γίνεται {1, 2, 4, 8, 5, 3}. Αναπροσαρμόζουμε τις μεταβάσεις λόγω της εισαγωγής του κόμβου 3 στο σύνολο των μονίμων: κόμβος 7, με «απόσταση» 1020 μονάδες, μέσω του 8, κόμβος 10, με «απόσταση» 1090 μονάδες, μέσω του 8, κόμβος 6, με «απόσταση» 1005 μονάδες, μέσω του 5, και κόμβος 6, με «απόσταση» 970 μονάδες, μέσω του 3. Η είσοδος του κόμβου 3 βελτίωσε την προσέγγιση προς τον κόμβο 6 (ήταν 1005 έγινε 970). Μόνιμος γίνεται ο κόμβος 6 με «απόσταση» από την αφετηρία 970 εκατομμύρια ευρώ μέσω του 3 και το σύνολο μονίμων γίνεται {1, 2, 4, 8, 5, 3, 6}. Αναπροσαρμόζουμε τις μεταβάσεις λόγω της εισαγωγής του κόμβου 6 στο σύνολο των μονίμων: κόμβος 7, με «απόσταση» 1020 μονάδες, μέσω του 8, κόμβος 10, με «απόσταση» 1090 μονάδες, μέσω του 8, κόμβος 7, με «απόσταση» 1220 μονάδες, μέσω του 6, και κόμβος 9, με «απόσταση» 1220 μονάδες μέσω του 6. Η είσοδος του κόμβου 6 δεν βελτίωσε την προσέγγιση προς τον κόμβο 7 (ήταν 1020 έγινε 1220). Μόνιμος γίνεται ο κόμβος 7 με «απόσταση» από την αφετηρία 1020 εκατομμύρια ευρώ μέσω του 8 και το σύνολο μονίμων γίνεται {1, 2, 4, 8, 5, 3, 6, 7}. Αναπροσαρμόζουμε τις μεταβάσεις λόγω της εισαγωγής του κόμβου 7 στο σύνολο των μονίμων: κόμβος 10, με «απόσταση» 1090 μονάδες, μέσω του 8, κόμβος 9, με «απόσταση» 1220 μονάδες μέσω του 6, κόμβος 9, με «απόσταση» 1255 μονάδες, μέσω του κόμβου 7, και κόμβος 10, με «απόσταση» 1340 μονάδες μέσω του 7. Η είσοδος του κόμβου 7 δεν βελτίωσε την προσέγγιση ούτε προς τον κόμβο 9 (ήταν 12200 έγινε 1255), αλλά ούτε προς τον κόμβο 10 (ήταν 1090 έγινε 1340). Ο κόμβος 10 εισέρχεται στους μονίμους με ελάχιστη «απόσταση» 1090 εκατομμύρια ευρώ, μέσω του κόμβου 8. Επομένως το ελάχιστο κόστος κατασκευής είναι 1090 εκατομμύρια ευρώ. Για να βρούμε το βέλτιστο μονοπάτι ελέγχουμε οπισθοδρομικά την επίλυση, ξεκινώντας από τον κόμβο 10 ο οποίος μας παραπέμπει στον κόμβο 8 και αυτός στη συνέχεια στην αφετηρία. Κατά συνέπεια, από την υλοποίηση του σχεδίου επωφελείται και η χώρα την οποία παριστά ο κόμβος 8. ερώτημα 2: Πρόκειται για πρόβλημα εύρεσης του ελάχιστου ζευγνύοντος δέντρου, στο οποίο όμως οι κόμβοι {1, 8, 10} είναι συνδεδεμένοι. Ο πλησιέστερος μη συνδεδεμένος κόμβος στους {1, 8, 10} είναι ο κόμβος 4 με την ακμή 8-4 μήκους 240. Έτσι, συνδεδεμένοι είναι τώρα οι κόμβοι {1, 8, 10, 4}. Ο επόμενος πλησιέστερος κόμβος είναι ο κόμβος 9, με την ακμή 10-9 μήκους 260, οπότε συνδεδεμένοι είναι τώρα οι κόμβοι {1, 8, 10, 4, 9}. Ο πλησιέστερος στους συνδεδεμένους είναι ο κόμβος 7, με την ακμή 9-7, μήκους 235. Το σύνολο των
συνδεδεμένων κόμβων είναι τώρα {1, 8, 10, 4, 9, 7}. Επόμενος συνδέεται ο κόμβος 6 με τον κόμβο 7, μέσω της ακμής 7-6 μήκους 250, οπότε το σύνολο των συνδεδεμένων κόμβων είναι το {1, 8, 10, 4, 9, 7, 6}. (Η σύνδεση θα μπορούσε να γίνει και μέσω του ιδίου μήκους ακμής 9-6). Ο επόμενος κόμβος που συνδέεται είναι ο κόμβος 3, με τον κόμβο 6, μέσω της ακμής 6-3 με μήκος 120. Το σύνολο των συνδεδεμένων κόμβων γίνεται {1, 8, 10, 4, 9, 7, 6, 3}. Επόμενος συνδέεται ο κόμβος 5 με τον κόμβο 6 με την ακμή 6-5 μήκους 175, οπότε το σύνολο γίνεται {1, 8, 10, 4, 9, 7, 6, 3, 5}. Τελευταίος συνδέεται ο κόμβος 2 με την ακμή 1-2 μήκους 400. Το άθροισμα των ακμών που χρησιμοποιήθηκαν είναι 2770 και είναι το ελάχιστο συνολικό, κάτω από τις προϋποθέσεις που τέθηκαν:
ΘΕΜΑ 3 ο Ξεκινάμε ορίζοντας τους σταθμούς προέλευσης και προορισμού. Συγκεκριμένα έχουμε: Σταθμοί προέλευσης Σημείο 1: παραγωγή μηνός Ιανουαρίου (s 1 = 240) Σημείο 2: παραγωγή μηνός Φεβρουαρίου (s 2 = 240) Σημείο 3: παραγωγή μηνός Μαρτίου (s 3 = 240) Σταθμοί προορισμού Σημείο 1: ζήτηση μηνός Ιανουαρίου (d 1 = 200) Σημείο 2: παραγωγή μηνός Φεβρουαρίου (d 2 = 300) Σημείο 3: παραγωγή μηνός Μαρτίου (d 3 = 100) Σημείο 4: εικονική ζήτηση (d 4 = 120) Σχετικά με το κόστος μεταφοράς, έχουμε τις παρακάτω περιπτώσεις: a) "Μεταφορά" μεταξύ της παραγωγής του Ιανουαρίου και της ζήτησης του ίδιου μήνα μεταφράζεται σε κατασκευή του προϊόντος τον Ιανουάριο και πώληση τον ίδιο μήνα. Η ζήτηση του Ιανουαρίου η οποία καλύπτεται από την παραγωγή του Ιανουαρίου έχει κόστος 200 (c 11 ). Ανάλογα, για τους μήνες Φεβρουάριο και Μάρτιο, οι τιμές είναι c 22 = 180 και c 33 = 240. b) "Μεταφορά" μεταξύ της παραγωγής του Ιανουαρίου και της ζήτησης του Μαρτίου για παράδειγμα, σημαίνει κατασκευή του προϊόντος τον Ιανουάριο και πώληση τον Μάρτιο. Συνεπώς το κόστος c 13 δημιουργείται από το άθροισμα του κόστους παραγωγής ενός όπλου τον Ιανουάριο με το κόστος αποθήκευσης για δύο μήνες (= 200 + 10 + 10). Ανάλογα προκύπτουν οι τιμές c 12 και c 23. c) "Μεταφορά" μεταξύ της παραγωγής του Μαρτίου και της ζήτησης του Ιανουαρίου για παράδειγμα, σημαίνει κατασκευή του προϊόντος τον Μάρτιο και πώληση τον Ιανουάριο προκειμένου να καλύψει όμως ζήτηση του Ιανουαρίου. Συνεπώς το κόστος c 31 δημιουργείται από το άθροισμα του κόστους παραγωγής ενός όπλου τον Μάρτιο με την ποινή μη έγκαιρης παράδοσης για δύο μήνες (= 240 + 60 + 60). Ανάλογα προκύπτουν οι τιμές c 32 και c 21. d) Το κόστος προς τον εικονικό σταθμό ζήτησης είναι φυσικά μηδενικό, αφορά προϊόντα τα οποία δεν πρόκειται να κατασκευαστούν. Με αυτή τη συλλογιστική διαμορφώνεται η ακόλουθη δομή (tableau) προβλήματος μεταφοράς. Ιανουάριος Φεβρουάριος Μάρτιος Ιανουάριος Φεβρουάριος Μάρτιος Εικονικός 200 210 2200 0 240 180 190 0 360 300 240 0 240 240 240 200 300 100 120 720 Από τη βέλτιστη λύση (δεν ζητείται) προκύπτει ότι: τον Ιανουάριο πρέπει να κατασκευαστούν 240 όπλα, 200 εκ των οποίων θα καλύψουν τη ζήτηση του Ιανουαρίου και 40 θα αποθηκευτούν για ένα μήνα προκειμένου να καλύψουν μέρος της ζήτησης του Φεβρουαρίου (x 11 = 200, x 12 = 40). Εδώ η συνολική προσφορά για τους τρεις μήνες είναι 720 όπλα ενώ η συνολική ζήτηση 600, και συνεπώς θα πρέπει να προσθέσουμε έναν εικονικό σταθμό προορισμού με ζήτηση 720-600 = 120 όπλα.
τον Φεβρουάριο πρέπει να κατασκευαστούν 240 όπλα τα οποία θα καλύψουν ένα άλλο μέρος της ζήτησης του Φεβρουαρίου (x 22 = 240). τον Μάρτιο πρέπει να κατασκευαστούν 120 όπλα, 100 εκ των οποίων θα καλύψουν τη ζήτηση του Μαρτίου και 20 θα καλύψουν (αναδρομικά) την υπόλοιπη ζήτηση του Φεβρουαρίου (x 32 = 20, x 33 = 100, x 34 = 120).
ΘΕΜΑ 4 ο Ξεκινάμε ορίζοντας τους σταθμούς προέλευσης και προορισμού. Συγκεκριμένα έχουμε: Σταθμοί προέλευσης Σημείο 1: παραγωγή μηνός Ιουνίου (s 1 = 2400) Σημείο 2: παραγωγή μηνός Ιουλίου (s 2 = 2400) Σημείο 3: παραγωγή μηνός Αυγούστου (s 3 = 2400) Σταθμοί προορισμού Σημείο 1: ζήτηση μηνός Ιουνίου (d 1 = 2000) Σημείο 2: παραγωγή μηνός Ιουλίου (d 2 = 3000) Σημείο 3: παραγωγή μηνός Αυγούστου (d 3 = 1000) Σημείο 4: εικονική ζήτηση (d 4 = 1200) Σχετικά με το κόστος μεταφοράς, έχουμε τις παρακάτω περιπτώσεις: e) "Μεταφορά" μεταξύ της παραγωγής του Ιουνίου και της ζήτησης του ίδιου μήνα μεταφράζεται σε κατασκευή του προϊόντος τον Ιούνιο και πώληση τον ίδιο μήνα. Η ζήτηση του Ιουνίου η οποία καλύπτεται από την παραγωγή του Ιουνίου έχει κόστος 300 (c 11 ). Ανάλογα, για τους μήνες Ιούλιο και Αύγουστο, οι τιμές είναι c 22 = 270 και c 33 = 360. f) "Μεταφορά" μεταξύ της παραγωγής του Ιουνίου και της ζήτησης του Αυγούστου για παράδειγμα, σημαίνει κατασκευή του προϊόντος τον Ιούνιο και πώληση τον Αύγουστο. Συνεπώς το κόστος c 13 δημιουργείται από το άθροισμα του κόστους παραγωγής ενός air-conditioner τον Ιούνιο με το κόστος αποθήκευσης για δύο μήνες (= 300 + 100 + 100). Ανάλογα προκύπτουν οι τιμές c 12 και c 23. g) "Μεταφορά" μεταξύ της παραγωγής του Αυγούστου και της ζήτησης του Ιουνίου για παράδειγμα, σημαίνει κατασκευή του προϊόντος τον Αύγουστο και πώληση τον Αύγουστο προκειμένου να καλύψει όμως ζήτηση του Ιουνίου. Συνεπώς το κόστος c 31 δημιουργείται από το άθροισμα του κόστους παραγωγής ενός air-conditioner τον Αύγουστο με την ποινή μη έγκαιρης παράδοσης για δύο μήνες (= 360 + 60 + 60). Ανάλογα προκύπτουν οι τιμές c 32 και c 21. h) Το κόστος προς τον εικονικό σταθμό ζήτησης είναι φυσικά μηδενικό, αφορά προϊόντα τα οποία δεν πρόκειται να κατασκευαστούν. Με αυτή τη συλλογιστική διαμορφώνεται η ακόλουθη δομή (tableau) προβλήματος μεταφοράς. Ιούνιος Ιούλιος Αύγουστος Ιούνιος Ιούλιος Αύγουστος Εικονικός 300 400 500 0 330 270 370 0 480 420 360 0 2400 2400 2400 2000 3000 1000 1200 7200 Από τη βέλτιστη λύση (δεν ζητείται) προκύπτει ότι: τον Ιούνιο πρέπει να κατασκευαστούν 2400 air-conditioners, 2000 εκ των οποίων θα καλύψουν τη ζήτηση του Ιουνίου και 400 θα αποθηκευτούν για ένα μήνα προκειμένου να καλύψουν μέρος της ζήτησης του Ιουλίου (x 11 = 2000, x 12 = 400). Εδώ η συνολική προσφορά για τους τρεις μήνες είναι 7200 air-conditioners ενώ η συνολική ζήτηση 6000, και συνεπώς θα πρέπει να προσθέσουμε έναν εικονικό σταθμό προορισμού με ζήτηση 7200-6000 = 1200 air-conditioners.
τον Ιούλιο πρέπει να κατασκευαστούν 2400 air-conditioners τα οποία θα καλύψουν ένα άλλο μέρος της ζήτησης του Ιουλίου (x 22 = 2400). τον Αύγουστο πρέπει να κατασκευαστούν 1200 air-conditioners, 1000 εκ των οποίων θα καλύψουν τη ζήτηση του Αυγούστου και 200 θα καλύψουν (αναδρομικά) την υπόλοιπη ζήτηση του Ιουλίου (x 32 = 200, x 33 = 1000, x 34 = 1200).
ΘΕΜΑ 5 ο (Α σενάριο) Ερώτημα 1 Πρόκειται για ένα παίγνιο δύο παικτών μηδενικού αθροίσματος. Όπως βλέπουμε στoν παρακάτω πίνακα, η εφαρμογή του κριτηρίου minimax απευθείας στον πίνακα πληρωμών του παίκτη Α χωρίς διαγραφή των υποδεέστερων στρατηγικών, αδυνατεί να μας δώσει αμιγείς στρατηγικές και υποδεικνύει την ανυπαρξία σημείου ισορροπίας. Πράγματι, η Maximin τιμή του παίκτη Α (Συγγραφέας) είναι ίση με 100 (τομή των στρατηγικών Α1 και Β3) και η Minimax τιμή του παίκτη Β (Εκδότης) είναι ίση με 300 (τομή των στρατηγικών Α1 και Β2). Β1 Β2 Β3 Β4 Row Min Maximin Α1 200 300 100 500 100 100 Α2 400 100 600 0 0 Α3 140 200 80 400 80 Col Max 400 300 600 500 Minimax 300 100 300 Ερώτημα 2 Αφού δεν υπάρχει κοινό σημείο ισορροπίας (δηλαδή δεν υπάρχουν αντίστοιχες αμιγείς στρατηγικές που θα μπορούσαν να ισορροπήσουν οι δύο παίκτες) θα προχωρήσουμε στον εντοπισμό μεικτών στρατηγικών. Συνεχίζουμε με τη διαγραφή των υποδεέστερων στρατηγικών. Η στρατηγική Α3 διαγράφεται ως υποδεέστερη της Α1, οπότε ο πίνακας πληρωμών μειώνεται στον ακόλουθο πίνακα διάστασης 2 3, όπου δεν υπάρχουν άλλες υποδεέστερες στρατηγικές. Β1 y1 Β2 y2 Β3 y3 Β4 Y4 Α1 x 200 300 100 500 Α2 1-x 400 100 600 0 Στη συνέχεια, εφαρμόζουμε τη γραφική μέθοδο επίλυσης. Ονομάζουμε x την πιθανότητα ο παίκτης Α να ακολουθήσει τη στρατηγική του Α1, οπότε (1-x) είναι η πιθανότητα να ακολουθήσει την Α2. Για τον παίκτη Β ονομάζουμε y1 την πιθανότητα να ακολουθήσει τη στρατηγική του Β1, y2 να εφαρμόσει την Β2, y3 να εφαρμόσει την Β3, και y4 να εφαρμόσει την Β4. Προφανώς y1+y2+y3+y4 =1. Για τον παίκτη με δύο στρατηγικές (δηλαδή τον Α) έχουμε τις ακόλουθες σχέσεις: V(A, B1) = 200x + 400(1-x) = 400-200x, V(A, B2) = 300x + 100(1-x) = 100 + 200x, V(A, B3) = 100x + 600(1-x) = 600-500x και V(A, B4) = 500x + 0(1-x) = 500x. Σύρουμε δύο παράλληλους κατακόρυφους άξονες με ίδια κλίμακα μέτρησης που απέχουν μεταξύ τους μία μονάδα και οι οποίοι αντιπροσωπεύουν την αξία για τον παίκτη Α. Ο οριζόντιος άξονας παριστάνει τις τιμές της πιθανότητας x. Μετά φέρουμε τα ευθύγραμμα τμήματα που παριστάνουν τις πληρωμές στον παίκτη Α (δηλαδή τα V(A, Bi), i=1,2,3,4)) ανάλογα με τη στρατηγική που εφαρμόζει ο Β και την πιθανότητα εφαρμογής από τον παίκτη Α είτε της Α1 είτε της Α2. Για να χαράξουμε τα τέσσερα αυτά ευθύγραμμα τμήματα αρκεί να συνδέσουμε τις αντίστοιχες τιμές των δύο αξόνων από τον πίνακα πληρωμών. Δηλαδή, για να χαράξουμε την ευθεία που αντιστοιχεί στο V(A, B1) συνδέουμε το 400 με το 200, για το V(A, B2) συνδέουμε το 100 με το 300, για το V(A, B3) συνδέουμε το 600 με το 100 και για την ευθεία V(A, B4) συνδέουμε το 0 με το 500.
Επειδή ο παίκτης Α επιλέγει maximin στρατηγική, αυτό συνεπάγεται ότι επιλέγει το μέγιστο από τα ελάχιστα. Δηλαδή θα ακολουθήσει την τεθλασμένη γραμμή που βρίσκεται στην κατώτερη περιοχή του σχήματος και η οποία παρουσιάζεται με έντονες κόκκινες γραμμές. Επάνω σ αυτήν, θα επιλέξει το υψηλότερο σημείο. Ως εκ τούτου, οι στρατηγικές Β1 και Β4 από την πλευρά του παίκτη Β απορρίπτονται αφού δεν συμμετέχουν στον καθορισμό του maximin σημείου και το πρόβλημα γίνεται πρόβλημα διάστασης 2 2 με τον ακόλουθο πίνακα πληρωμών στον οποίο αντικαταστήσαμε τις πιθανότητες y2 και y3 με y και 1-y αντίστοιχα: Β2 y Β3 1-y Α1 x 300 100 Α2 1-x 100 600 Στο σχήμα, με διακεκομμένη γραμμή σημειώνεται το σημείο στο οποίο βρίσκεται η βέλτιστη τιμή της πιθανότητας x 1 και η αντίστοιχη τιμή του παιγνίου στον κατακόρυφο άξονα (V). Για να εντοπίσουμε όμως με ακρίβεια τις τιμές συνεχίζουμε αλγεβρικά. Επιλύουμε λοιπόν το παίγνιο ως πρόβλημα διάστασης 2 2: εξισώνουμε τις V(A, B2) και V(A, B3) και έχουμε 100 + 200x = 600-500x που δίνει 700x = 500. Άρα x = 5/7 και 1-x = 2/7. Η τιμή του παιγνίου βρίσκεται με αντικατάσταση των πιθανοτήτων σε οποιοδήποτε από τα V(A, B2) ή V(A, B3) δηλαδή είναι V = 100 + 200(5/7) = 1700/7 242.86. Για τον παίκτη B έχουμε ότι V(B, A1) = V(B, A2) δηλαδή 100 + 200y = 600-500y, που δίνει y = 5/7 και 1-y = 2/7. Αν αντικαταστήσουμε τις πιθανότητες αυτές είτε στο V(B, A1) είτε στο V(B, A2) θα πρέπει να πάρουμε τιμή του παιγνίου ίση με V =1700/7 που βρήκαμε πριν και πράγματι έτσι είναι. Συνοψίζοντας, το αποτέλεσμα είναι το εξής: Μεικτή στρατηγική για τον παίκτη Α (Συγγραφέας): (5/7, 2/7, 0) Μεικτή στρατηγική για τον παίκτη Β (Εκδότης): (0, 5/7, 2/7, 0) Τιμή του παιγνίου V = 1700/7 Επομένως, μακροπρόθεσμα, αναμένεται ότι η αμοιβή του συγγραφέα ανέρχεται κατά μέσο όρο περί τα 242.860 ευρώ. Αυτό σημαίνει ότι εάν πολλά τέτοια συμβόλαια υπογραφούν καθώς εξελίσσεται ο χρόνος, το παραπάνω μοντέλο δίνει την μέση απόδοση και τη βέλτιστη στρατηγική για τους δύο παίκτες.
ΘΕΜΑ 5 ο (Β σενάριο) Ερώτημα 1 Πρόκειται για ένα παίγνιο δύο παικτών μηδενικού αθροίσματος. Όπως βλέπουμε στoν παρακάτω πίνακα, η εφαρμογή του κριτηρίου minimax απευθείας στον πίνακα πληρωμών του παίκτη Α χωρίς διαγραφή των υποδεέστερων στρατηγικών, αδυνατεί να μας δώσει αμιγείς στρατηγικές και υποδεικνύει την ανυπαρξία σημείου ισορροπίας. Πράγματι, η Maximin τιμή του παίκτη Α (Συγγραφέας) είναι ίση με 100 (τομή των στρατηγικών Α3 και Β3) και η Minimax τιμή του παίκτη Β (Εκδότης) είναι ίση με 120 (τομή των στρατηγικών Α1 και Β3). Β1 Β2 Β3 Row Min Maximin Α1 100-100 300-100 Α2 0 400 100 0 0 Α3 300-200 500-200 Α4-300 600-200 -300 Col Max 300 600 500 Minimax 300 0 300 Ερώτημα 2 Αφού δεν υπάρχει κοινό σημείο ισορροπίας (δηλαδή δεν υπάρχουν αντίστοιχες αμιγείς στρατηγικές που θα μπορούσαν να ισορροπήσουν οι δύο παίκτες) θα προχωρήσουμε στον εντοπισμό μεικτών στρατηγικών. Συνεχίζουμε με τη διαγραφή των υποδεέστερων στρατηγικών. Δεν υπάρχει υποδεέστερη στρατηγική από την πλευρά του παίκτη Α. Από την πλευρά του παίκτη Β η στρατηγική Β3 είναι υποδεέστερη της Β1. Έτσι, μειώνεται η διάσταση του πίνακα πληρωμών ο οποίος δίνει τον ακόλουθο πίνακα διάστασης 4 2, όπου δεν υπάρχουν άλλες υποδεέστερες στρατηγικές. Β1 y 1 Β2 y 2 Α1 100-100 Α2 0 400 Α3 300-200 Α4-300 600 Στη συνέχεια εφαρμόζουμε τη γραφική διαδικασία επίλυσης. Ονομάζουμε y 1 την πιθανότητα ο παίκτης Β να ακολουθήσει τη στρατηγική Β1 και y 2 την πιθανότητα να εφαρμόσει τη στρατηγική Β2 με y 1 + y 2 = 1. Για τον παίκτη Β που έχει δύο στρατηγικές διατυπώνουμε τις ακόλουθες σχέσεις: V(B, A1) = 100y 1-100y 2 = 200y 1-100 V(B, A2) = 0y 1 + 400y 2 = -400y 1 + 400 V(B, A3) = 300y 1-200y 2 = 500y 1-200 V(B, A4) = -300y 1 + 600y 2 = -900y 1 + 600 Φέρουμε δύο παράλληλους κατακόρυφους άξονες με ίδια κλίμακα μέτρησης που απέχουν μεταξύ τους μία μονάδα και οι οποίοι αντιπροσωπεύουν τις δύο στρατηγικές του παίκτη B. Ο οριζόντιος άξονας παριστάνει τις τιμές της πιθανότητας y. Στη συνέχεια φέρουμε τα ευθύγραμμα τμήματα που παριστάνουν τις πληρωμές στον παίκτη Α, δηλαδή τα V(B, Ai), i=1,2,3,4 που βρήκαμε παραπάνω. Για να χαράξουμε τα τέσσερα αυτά ευθύγραμμα τμήματα αρκεί να συνδέσουμε τις αντίστοιχες τιμές από τον πίνακα πληρωμών στους δύο άξονες και πιο συγκεκριμένα, για να χαράξουμε την ευθεία που αντιστοιχεί στο V(B, A1) συνδέουμε το -100 με το 100, για το V(B, A2) συνδέουμε το 400 με το 0, για το V(B, A3) συνδέουμε το -200 με το 300 και για την ευθεία V(B, A4) συνδέουμε το 600 με το -300.
Επειδή ο παίκτης Β επιλέγει minimax στρατηγική, αυτό σημαίνει ότι επιλέγει το ελάχιστο από τα μέγιστα. Άρα θα ακολουθήσει την τεθλασμένη γραμμή που βρίσκεται στην ανώτερη περιοχή του σχήματος και η οποία παρουσιάζεται με έντονη κόκκινη γραμμή. Επάνω σ αυτήν, θα επιλέξει το χαμηλότερο (minimax) σημείο, δηλαδή όπως σημειώνεται, το σημείο Κ. Συνεπώς, οι στρατηγικές A1 και Α4 του παίκτη A απορρίπτονται αφού δεν συμμετέχουν στον καθορισμό του minimax σημείου (Κ) και η διάσταση του προβλήματος γίνεται 2x2 με τον ακόλουθο πίνακα πληρωμών στον οποίο αντικαταστήσαμε τις πιθανότητες y 1 και y 2 με y και 1-y αντιστοίχως. Επίσης προσθέσαμε τις πιθανότητες x και 1-x για τις υποδεικνυόμενες στρατηγικές, Α2 και Α3 (αντιστοίχως) του παίκτη Α. Β1 y Β2 1-y Α2 x 0 400 Α3 1-x 300-200 Στο σχήμα, με τα πράσινα βέλη σημειώνεται το σημείο στο οποίο βρίσκεται η βέλτιστη τιμή της πιθανότητας y που είναι 0.67 και η αντίστοιχη τιμή του παιγνίου στον κάθετο άξονα (V=133.33). Για να εντοπίσουμε όμως με ακρίβεια τις τιμές συνεχίζουμε αλγεβρικά. Επιλύουμε λοιπόν το παίγνιο ως πρόβλημα διάστασης 2 2. Για τον παίκτη B έχουμε ότι V(B, A2)=V(B, A3) από όπου προκύπτει ότι: 0y + 400(1-y) = 300y - 200(1-y) που δίνει 900y = 600. Άρα y = 2/3 (όπως φαίνεται και στο σχήμα) και 1-y = 1/3. Η τιμή του παιγνίου βρίσκεται με αντικατάσταση των πιθανοτήτων αυτών σε οποιοδήποτε από τα V(Β, Α2) ή V(Β, Α3) δηλαδή είναι V = 400 (1/3) = 400/3 (όπως φαίνεται και στο σχήμα). Για τον παίκτη Α, έχουμε ότι: V(A, B1) = 0x + 300(1-x) = 300-300x V(A, B2) = 400x - 200(1-x) = 600x - 200 Θέτοντας V(A, B1) = V(A, B2) παίρνουμε 900x = 500, άρα x = 5/9 οπότε 1-x = 4/9. Η τιμή του παιγνίου επαληθεύεται ξανά με αντικατάσταση των πιθανοτήτων αυτών σε οποιοδήποτε από τα V(A, B1) ή V(A, B2) δηλαδή είναι για παράδειγμα: V = V(A, B1) = 300-300 (5/9) = 400/3 (η τιμή αυτή φαίνεται και στο σχήμα). Συνοψίζοντας, το αποτέλεσμα είναι το εξής : Μεικτή στρατηγική για τον παίκτη Α: (0, 5/9, 4/9, 0)
Μεικτή στρατηγική για τον παίκτη Β: (2/3, 1/3, 0) Τιμή του παιγνίου V = 400/3. Επομένως, μακροπρόθεσμα, αναμένεται ότι η αμοιβή του συγγραφέα ανέρχεται κατά μέσο όρο στα 400/3 χιλιάδες ευρώ. Αυτό σημαίνει ότι εάν πολλά τέτοια συμβόλαια υπογραφούν καθώς εξελίσσεται ο χρόνος, το παραπάνω μοντέλο δίνει την μέση απόδοση και τη βέλτιστη στρατηγική για τους δύο παίκτες.
ΘΕΜΑ 6 ο Ερώτημα 1 ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ ΕΝΩΡΙΤΕΡΟΣ ΧΡΟΝΟΣ ΒΡΑΔΥΤΕΡΟΣ ΧΡΟΝΟΣ ΧΡΟΝΙΚΟ ΠΕΡΙΘΩΡΙΟ ΕΝΑΡΞΗΣ ΛΗΞΗΣ ΕΝΑΡΞΗΣ ΛΗΞΗΣ A 0 6 1 7 1 B 0 3 0 3 0 C 0 4 0 4 0 D 6 10 7 11 1 E 3 10 3 10 0 F 4 8 8 12 4 G 4 10 4 10 0 H 10 13 11 14 1 I 6 11 9 14 3 J 10 14 10 14 0 K 8 11 12 15 4 L 10 15 10 15 0 M 14 20 14 20 0 N 15 20 15 20 0 Χρόνος ολοκλήρωσης του έργου: 20 εβδομάδες Κρίσιμες διαδρομές: B E J M και C G L N (δείτε και το διάγραμμα Gantt του έργου)
Ερώτημα 2 Η τ.μ. Χ = Χρόνος Ολοκλήρωσης του Έργου ακολουθεί την κανονική κατανομή με μέση τιμή μ = 20 και διακύμανση σ 2 = 4. Άρα: X-20 18-20 Prob X 18 Prob Prob Z 1.00 0.5 Prob 0 Z 1.00 0.5 0.3413 0.1587 2 2 δηλαδή, η πιθανότητα το έργο αυτό να ολοκληρωθεί σε 18 εβδομάδες είναι περίπου 16%. Επιπλέον, επειδή: X-20 a-20 a-20 Prob X a 0.99 Prob 0.99 2.24 a 24.48 2 2 2 προκειμένου ο κ. Παπαδόπουλος να είναι 99% βέβαιος ότι το έργο θα ολοκληρωθεί χωρίς να υποχρεωθεί σε παραίτηση, θα έπρεπε να είχε προσδιορίσει για την υλοποίησή του χρόνο περί των 24.5 εβδομάδων.
ΘΕΜΑ 7 ο Ερώτημα 1 ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ ΕΝΩΡΙΤΕΡΟΣ ΧΡΟΝΟΣ ΒΡΑΔΥΤΕΡΟΣ ΧΡΟΝΟΣ ΧΡΟΝΙΚΟ ΠΕΡΙΘΩΡΙΟ ΕΝΑΡΞΗΣ ΛΗΞΗΣ ΕΝΑΡΞΗΣ ΛΗΞΗΣ A 0 32 14 46 14 B 0 28 0 28 0 C 32 68 46 82 14 D 28 44 33 49 5 E 28 60 34 66 6 F 28 82 28 82 0 G 44 61 49 66 5 H 61 81 80 100 19 I 61 95 66 100 5 J 82 100 82 100 0 Κρίσιμη διαδρομή: B F J Χρόνος ολοκλήρωσης του έργου: 100 εβδομάδες Ερώτημα 2 Η τ.μ. Χ = Χρόνος Ολοκλήρωσης του Έργου ακολουθεί την κανονική κατανομή με μέση τιμή μ = 100 και διακύμανση σ 2 = 6.6 2. Άρα: X-100 92-100 Prob X 92 Prob Prob Z 1.21 0.5 Prob 0 Z 1.21 0.5 0.3869 0.1131 6.6 6.6 δηλαδή, η πιθανότητα το έργο αυτό να ολοκληρωθεί σε 92 εβδομάδες είναι περίπου 11.3%. Επιπλέον, επειδή: X-100 a-100 a-100 Prob X a 0.95 Prob 0.95 1.65 a 110.89 6.6 6.6 6.6 προκειμένου η Lockhead να είναι 95% βέβαιη ότι το έργο θα ολοκληρωθεί χωρίς να υποχρεωθεί στην καταβολή προστίμου, θα έπρεπε να είχε προσδιορίσει για την υλοποίησή του στην προσφορά της χρόνο περί των 111 εβδομάδων.