RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS

RESOLUIÓN DE TRIÁNGULOS Páin 03 REFLEXION E RESOLVE Prolem Pr lulr ltur dun árore, podemos seguir o proedemento que utilizou Tles de Mileto pr lulr ltur dun pirámide de Eipto: omprr sú somr o dun vr vertil u lonitude é oñeid. Fino ti seguindo este método e sendo que: vr mide m, somr d vr mide 37 m, somr d árore mide 5 m. Pr soluionr este prolem utilizrís semellnz de dous triángulos. 37 5 5 37 6,65 m m 5 m L ltur del árol es de 6,65 m. 37 m Prolem ernrdo oñee distni á que está d árore e os ángulos e, e quere lulr distni á que está de rme. ì ì Dtos: 63 m; o ; 3 o Pr resolver o prolem, primeiro reliz un deuo esl : 000 ( m mm). Despois, mide lonitude do segmento e, desfendo esl, oterás distni á que ernrdo está de rme. mm Desiendo l esl: m 63 m 3 ì ì

Prolem 3 nlogmente podes resolver estoutro: ernrdo ve desde sú s o stelo e dí. oñee s distnis os dous lugres, pois fio o mino pé moits vees; e quere ser distni ì do stelo á dí. Pr iso dee, previmente, medir o ángulo. Dtos: 00 m; ì 700 m; 0 o. Utiliz gor esl :0 000 (00 m m). 00 m m 00 m m 700 m 7 m,7 m ò 70 m 700 m 7 m 0 00 m m NOT: El triángulo está onstruido l 50% de su tmño. Prolem lul, plindo o teorem de Pitágors: ) Os ldos iguis dun triángulo retángulo isósele u ipotenus mide. ) ltur dun triángulo equilátero de ldo. Fi todos os álulos mntendo os rdiis. Dees egr ás seguintes soluións: y 3 y

UNIDDE ) + ) y + ( ) y y 3 3 Páin 0. lul tg se ses que sen 0,39. Fino, tmén, on luldor. os (sen ) 0,39 0,9 sen tg 0, os on luldor: sß0,39 t { Ÿ ««}. lul os se ses que tg,. Fino, tmén, on luldor. s + s/, Resolviendo el sistem se otiene s 0,79 y 0,6. on luldor: s t, { Ÿ\ \ } Páin 05. Sendo que o ángulo está no.º udrnte (90 <<0) e sen 0,6, lul os e tg. 0,6 t os 0,6 0,7 0,6 tg 0,79 0,7. Sendo que o ángulo está no 3.º udrnte (0 < < 70) e os 0,3, lul sen e tg. s 0,3 t sen (0,3) 0,56 0,56 tg 0,67 0,3 3

3. Sendo que o ángulo está no.º udrnte (70 <<360) e tg 0,9, lul sen e os. s t 0,9 s/ 0,9 El sistem tiene dos soluiones: s + s 0,6; 0,7 s 0,6; 0,7 Teniendo en uent dónde está el ángulo, l soluión es l primer: sen 0,6, os 0,7. omplet no derno seguinte táo e mplí pr os ángulos 0, 5, 0, 70, 300, 35, 330 e 360. 0 30 5 60 90 0 35 50 0 sen 0 / / 3/ os 3/ 0 tg 0 3/3 údte d representión dos ángulos nun irunfereni goniométri. 0 30 5 60 90 0 35 50 0 sen 0 / / 3/ 3/ / / 0 os 3/ / / 0 / / 3/ tg 0 3/3 3 3 3/3 0 0 5 0 70 300 35 330 360 sen / / 3/ 3/ / / 0 os 3/ / / 0 / / 3/ tg 3/3 3 3 3/3 0 Páin 06. Indi s rzóns trigonométris do ángulo 397: ) Otendo epresión do ángulo no intervlo [0, 360). ) Otendo epresión do ángulo no intervlo ( 0, 0]. ) Diretmente o luldor. ) 397 6 360 + 37 ) 397 7 360 3 sen 397 sen 37 0, sen 397 sen ( 3) 0, os 397 os 37 0,5 os 397 os ( 3) 0,5 tg 397 tg 37,5 tg 397 tg ( 3),5

UNIDDE. Ps d un dos seguintes ángulos o intervlo [0, 360) e o intervlo ( 0, 0]: ) 396 ) 9 ) 65 d) 3 95 e) 7 6 f ) 90 Se trt de epresr el ángulo de l siguiente form: k o k, donde k Ì 0 ) 396 396 360 36 ) 9 9 360 3 ) 65 65 360 5 5 360 75 d) 3 95 3 95 0 360 95 95 360 65 e) 7 6 7 6 360 5 f) 90 90 5 360 0 undo emos, por ejemplo, 7 6 7 6 360, por qué tommos? Porque, previmente, emos relizdo l división 7 6 / 360 { }. Es el oiente entero. Páin 07 LINGUXE MTEMÁTI. Di o vlor ds seguintes rzóns trigonométris sen preguntrllo á luldor. Despois, ompróo o sú ud: ) sen(37 Ò 360 30) ) os( 5 Ò 360 + 0) ) tg( Ò 360 35) d) os(7 Ò 0 + 35) ) sen (37 360 30) sen ( 30) sen 30 ) os ( 5 360 + 0) os (0) ) tg ( 360 35) tg ( 35) tg 35 d) os (7 0 + 35) os ( 0 0 + 35) os ( 360 5) os ( 5) os 5. Repite o luldor estes álulos: st P 0 { } st P 0 { } Epli os resultdos. omo é posile que dig que o ángulo u tnente vle 0 0 é 90 se 90 non ten tnente? Es un ángulo que difiere de 90 un ntidd tn pequeñ que, pesr de ls mus ifrs que l luldor mnej, l redonderlo d 90. 5

Páin 09. lul s rzóns trigonométris de 55, 5, 5, 5, 35, 305 e 35 prtir ds rzóns trigonométris de 35: sen 35 0,57; os 35 0,; tg 35 0,70 55 90 35 ò 55 y 35 son omplementrios. sen 55 os 35 0, os 55 sen 55 0,57 ( Tmién tg 55,3 tg 35 0,70 sen 55 0, tg 55,3 os 55 0,57 ) 5 90 + 35 sen 5 os 35 0, os 5 sen 35 0,57 tg 5,3 tg 35 0,70 5 35 5 0 35 ò 5 y 35 son suplementrios. sen 5 sen 35 0,57 os 5 os 35 0, tg 5 tg 35 0,70 5 35 5 0 + 35 sen 5 sen 35 0,57 os 5 os 35 0, tg 5 tg 35 0,70 5 35 35 70 35 sen 35 os 35 0, os 35 sen 35 0,57 sen 35 os 35 tg 35,3 os 35 sen 35 tg 35 0,70 35 35 6

UNIDDE 305 70 + 35 sen 305 os 35 0, os 305 sen 35 0,57 sen 305 os 35 tg 305,3 os 305 sen 35 tg 35 305 35 35 360 35 ( 35) sen 35 sen 35 0,57 os 35 os 35 0, sen 35 sen 35 tg 35 tg 35 0,70 os 35 os 35 35 35. Determin s rzóns trigonométris de 35, 56 e 3, utilizndo luldor só pr lulr rzóns trigonométris de ángulos omprendidos entre 0 e 90. 35 360 sen 35 sen 0,039 os 35 os 0,999 tg 35 (*) tg 0,039 (*) sen 35 sen tg 35 tg os 35 os 56 0 sen 56 sen 0,067 os 56 os 0,935 tg 0,5 OTR FORM DE RESOLVERLO: 56 90 + 66 sen 56 os 66 0,067 os 56 sen 66 0,935 tg 56 0,5 tg 66,60 3 360 sen 3 sen 0,3090 os 3 os 0,95 tg 3 tg 0,39 7

3. Deu, sore irunfereni goniométri, ángulos que umprn s seguintes ondiións e estim, en d so, o vlor ds restntes rzóns trigonométris: ) sen, 3 tg > 0 ) os, > 90 ) tg, os < 0 d) tg, os < 0 ) sen / < 0 tg > 0 sen / os 0,6 os < 0 é3. er udrnte tg 0,5 ) os 3/ > 90º sen 0,66 os 3/ é. udrnte tg 0, ) tg < 0 os < 0 sen 0,7 os 0,7 sen > 0 é. udrnte tg d) tg > 0 os < 0 sen 0,9 os 0,5 sen < 0 é3. er udrnte tg Páin. s seguintes proposts están referids triángulos retángulos que, en todos os sos, se designn por, e onde é o ángulo reto. ) Dtos: 3 m, 57. lul. ) Dtos: 3 m, 57. lul. ) Dtos: 50 m, 30 m. lul y. d) Dtos: 35 m, 3. lul. e) Dtos: 35 m, 3. lul. ) os os 7,3 m ) sen sen 6, m

UNIDDE ) + 396,69 m tg 0, 39 3' 57'' d) tg 56,0 m tg e) sen 66,05 m sen. Pr determinr ltur dun poste fstámonos 7 m d sú se e despois medimos o ángulo que form visul o punto máis lto o orizontl, o que otemos un vlor de 0. nto mide o poste? tg 0 7 7 tg 0 5,7 m 0 7 m 3. lul áre deste udrilátero. Suestión: Párteo en dous triángulos. 6 m 3 m 0 7 m 9 m 9 3 sen 0 3 97,3 m 7 6 sen 0,67 m 3 m 0 9 m 6 m El áre es l sum de y :,0 m 7 m 9

Páin 3. Nun triángulo oñeemos 6, 7 m e 3 m. lul lonitude do ldo. H 7 os 6 6,3 m H 7 sen 6 59, m H H 9,75 m H + H 6,3 m + 9,75 m 5, m 7 m 6 H 3 m. Nun triángulo MNP oñeemos M 3, N 3 e NP 7 m. lul MP. PH sen 3 PH 7 sen 3 3,05 m 7 PH PH 3,05 sen 3 MP 60,9 m MP sen 3 sen 3 M P 7 m 3 3 H N 3. Nun triángulo oñeemos 0 m, 33 m e 53. lul lonitude do ldo. H os 53,0 m 0 m? 53 H 33 m H sen 53 5,97 m H H 0,96 m H + H 6,35 m. Estmos en, medimos o ángulo io o que se ve o edifiio (), despois fstámonos 0 m e volvemos medir o ángulo (35). l oids que é ltur do edifiio e que distni nos topmos del? Oserv ilustrión: 35 0 m 0

UNIDDE tg d tg d tg 35 (d + 0)tg 35 d + 0 0 tg 35 d tg (d + 0) tg 35 d 39,90 m tg tg 35 d tg 5,97 m L ltur es 5,97 m. L primer distni es 39,90 m, y or, después de lejrnos 0 m, estmos 79,90 m. Páin. Repite demostrión nterior no so de que otuso. Ten en ont que: se sen (0 ) sen H (0 ) H sen sen sen sen (0 ) sen sen sen sen sen. Demostr detlldmente, seándote n demostrión nterior, seguinte relión: sen sen Lo demostrmos pr ángulo gudo. (Si fuese un ángulo otuso rzonrímos omo en el ejeriio nterior). Trzmos l ltur desde el vértie. sí, los triángulos otenidos H y H son retángulos.

H Por tnto, tenemos: sen sen sen sen sen sen sen sen Páin 5 3. Resolve o mesmo prolem nterior ( m, 30) tomndo pr os seguintes vlores:,5 m, m, 3 m, m. Xustifi grfimente por que se oteñen, segundo os sos, ningun soluión, un soluión ou dús soluións.,5 m,5 0,5 sen, ) 3 sen sen sen sen 30,5 30 m,5 m Imposile, pues sen é [, ] siempre! No tiene soluión. on est medid,,5 m, el ldo nun podrí tor l ldo.

UNIDDE m sen 0,5 sen 90 sen sen sen 30 m 30 m Se otiene un úni soluión. 3 m 3 0,5 sen 0, 6 ) sen sen 30 3 ' 37," 3 ',9" 3 m 30 m 3 m Ls dos soluiones son válids, pues en ningún so ourre que + > 0. m sen 0,5 sen 0,5 sen 30 30 Un soluión válid. 50 m 30 m L soluión 50 no es válid, pues, en tl so, serí + 0. Imposile! 3

Páin 7. Resolve os seguintes triángulos: ) m; 6 m; 0 m ) m; 7 m; 0 ) m; 6 m; 5 m d) m; 3 m; 05 e) m; 5 y 60 f) 5 m; 35 ) + os 6 + 0 6 0 os 56 + 00 30 os 56 + 00 os 0,665 30 30' 33" m 6 m 0 m + os 56 + 00 0 os + 00 56 os 0,05 0 9 5' 57,5" + + 0 0 3 37' 9,5" ) + os 7 + 7 os 0 9 + 35,9 97,06 7, m 7 sen sen sen 7 sen 0 sen 0,6 7, 7, sen 0 m 5 7',3" 6 5' 5,7" No válid 0 7 m (L soluión no es válid, pues + > 0). 0 ( + ) 5' 5,7"

UNIDDE ) + os 6 36 + 5 6 5 os 36 + 5 6 os 0,05 60 9 5' 57,5" + os 36 6 + 5 5 os 6 + 5 36 os 0,665 0 30' 33" 0 ( + ) 3 37' 9,5" (NOT: ompárese on el prtdo ). Son triángulos semejntes). 6 m 5 m m d) + os 6 + 9 3 os 05 3, 5,59 m sen sen 5,59 sen 05 sen sen 05 sen 0,69 5,59 3 m 05 m (L soluión no es válid, pues + > 0). 0 ( + ) 3 6' 3,7" e) 0 ( + ) 75 sen sen sen 75 3 3' 5,3" 36 6' 3,7" sen 5 sen 5,93 m sen 75 sen sen sen 75 No válid sen 60 sen 60 sen 75 3,59 m 5

f) 0 ( + ) 0 5 sen sen sen 0 sen 35 5 sen 35 3,05 m sen 0 omo 3,05 m 5. s ses dun trpeio miden 7 m e 0 m, e un dos seus ldos, 7 m. O ángulo que formn s rets sore s que se enontrn os ldos non prlelos é de 3. lul o que mide o outro ldo e áre do trpeio. Los triángulos P y DP son semejntes, luego: P 0 + 7 7 0 ( + 7) 0 7 3 plindo el teorem del oseno en el triángulo P tenemos: + y y os 3 0 0 + y 0y os 3 0 y 6,96y y 0 m 7 m y 0 No válido y 6,96 m z 7 m De nuevo, por semejnz de triángulos, tenemos: D D 0 7 DP 0 (z + 6,96) 7 6,96 P 6,96 z + 6,96 0z,7 z,7 m mide el otro ldo, D, del trpeio. omo PD es un triángulo isóseles donde sí: z D P 7 m, entones: D 3 sen 3 ò z sen 3,7 sen 3 6,9 + 7 + 0 Áre D 6,9,93 m 6

UNIDDE 6. Un ro pide soorro e reíense os seus sinis en dús estións de rdio, e, que distn entre si 50 km. Desde s estións mídense os seguintes ángulos: 6 e 53. que distni de d estión onsiders que ì ì se enontr o ro? 0 6 53 6 50 km 53 sen 50 sen 6 sen sen sen sen 36, km 50 sen 53 sen sen sen sen sen 0, km 7. Pr lulr ltur dun gloo, relizmos s mediións indids n figur. nto dist o gloo do punto? nto do punto? que ltur está o gloo? 63 G 90 H 75 7 0 m H 90 75 7 63 0 m ì G 0 7 63 5 0 0 sen 63 5, m dist el gloo del punto. sen 63 sen 5 sen 5 0 0 sen 7 6,9 m dist el gloo del punto. sen 7 sen 5 sen 5 sen 75 5, sen 75,3 m es l ltur del gloo. 5, 7

Páin EXERIIOS E PROLEMS PROPOSTOS PR PRTIR Relión entre rzóns trigonométris lul s demis rzóns trigonométris do ángulo (0 < < 90) utilizndo s relións fundmentis: 3 3 ) sen ) os ) tg 3 d) sen e) os 0,7 f) tg 3 ) sen + os 3 + os os 3 ( ) os sen 3/ tg os / 3 ) sen + sen ( ) sen / tg / ) + tg 3 ) 7 + ( os os os sen d) os ( ( 7 7 ) 3 ) os os os 7 7 3 3 sen 7 7 7 os 55 os 6 55 3/ 3 55 tg 55/ 55 e) sen (0,7) sen 0,6 sen 0,69 0,69 tg 0,96 0,7 7 7

UNIDDE f) + 3 os os os 0 0 sen 9 3 sen 0 0 0 3 0 0 0 0 Sendo que o ángulo é otuso, omplet seguinte táo: sen os tg 0,9 0,5 0, 0, 0,75 sen os tg 0,9 0,6 0,99 0,6 0,5 0,96 0,39 0, 0, 0, 0,7 0,,36 0,75,5 0,75 0,57 ) ) ) d) e) f) ) sen + os 0,9 + os os 0,9 os 0,536 os 0,39 7 otuso os < 0 tg sen,36 os (Se podrín lulr diretmente on l luldor sen 0,9, teniendo en uent que el ángulo está en el segundo udrnte). ) + tg + 0,565 os 0,6 os 0, os os tg sen sen tg os ( 0,75) ( 0,) 0,6 os ) sen os 0,0 0,956 sen 0,99 tg sen 0,99,5 os 0, d) sen os 0,6 0,36 sen 0,6 tg sen 0,6 0,75 os 0, (NOT: es el mismo ángulo que el del prtdo )). e) os sen 0,5 0,75 os 0,7 tg sen 0,5 0,57 os 0,7 9

f) + tg + 6 os 0,059 os 0, os sen tg os ( ) ( 0,) 0,96 3 Indi s restntes rzóns trigonométris de : ) sen /5 < 70 ) os /3 tg < 0 ) tg 3 < 0 sen < 0 ) sen < 0 é 3. er udrnte os < 0 < 70 tg > 0 os sen 6 9 3 os 5 5 5 /5 tg sen os 3/5 3 ) os > 0 tg < 0 sen < 0 é. udrnte sen os 5 5 sen 9 9 3 5 tg sen os ) tg < 0 < 0 é. udrnte sen > 0 os < 0 tg + 9 + 0 os os os 0 0 0 sen os 0 0 tg sen tg os ( 3) ( ) 3 0 0 Epres un ángulo do primeiro udrnte: ) sen 50 ) os 35 ) tg 0 d) os 5 e) sen 35 f ) tg 0 g) tg 30 )os 00 i) sen 90 ) 50 0 30 sen 50 sen 30 ) 35 0 5 os 35 os 5 ) 0 0 + 30 sen 0 sen 30 tg 0 os 0 os 30 tg 30 d) 55 70 5 os 55 sen 5 0

UNIDDE e) 35 360 5 sen 35 sen 5 f ) 0 0 60 sen 0 sen 60 tg 0 os 0 os 60 tg 60 ( sen 0 os 30 Tmién 0 90 + 30 tg 0 os 0 sen 30 tg 30 ) g) 30 360 0 sen 30 sen 0 tg 30 os 30 os 0 tg 0 ) 00 0 + 0 os 00 os 0 i) 90 70 + 0 sen 90 os 0 (Tmién 90 360 70 sen 90 sen 70) 5 Se sen 0,35 e < 90, determin: ) sen (0 ) )sen ( + 90) ) sen (0 + ) d) sen (360 ) e) sen (90 ) f) sen (360 + ) ) sen (0 ) sen 0,35 ) sen ( + 90) os sen + os os 0,35 0,775 ò os 0,9 sen ( + 90) os 0,9 ) sen (0 + ) sen 0,35 d) sen (360 ) sen 0,35 e) sen (90 ) os 0,9 (luldo en el prtdo ) f) sen (360 + ) sen 0,35 6 Se tg /3 e 0 < < 90, determin: ) sen ) os ) tg (90 ) d) sen (0 ) e) os (0 + ) f) tg (360 ) ) tg sen sen tg os os os tg + 3 + os 9 9 3 os 9 3 3 3 3 3 3 3 sen tg os 3 3 3 3

) luldo en el prtdo nterior: os 3 3 3 ) tg (90 ) sen (90 ) os os (90 ) sen d) sen (0 ) sen 3 3 3 e) os (0 + ) os 3 3 3 f) tg (360 ) sen (360 ) sen tg os (360 ) os 3 7 lul o luldor o ángulo : ) sen 0,75 < 70 ) os 0,37 > 0 ) tg,3 sen < 0 d) os 0,3 sen < 0 ) on l luldor 35' 5" é. udrnte sen < 0 omo dee ser é 3. er udrnte < 70 Luego 0 + 35' 5" 35' 5" ) on l luldor: ' 56,3" os < 0 > 0 é 3. er udrnte 360 ' 56,3" 7' 3,7" ) tg,3 > 0 sen < 0 os < 0 é 3. er udrnte on l luldor: tg,3 5 ' 7,39" 0 + 5 ' 7,39" 3 ' 7,"

UNIDDE d) os 0,3 > 0 sen < 0 é. udrnte on l luldor: os 0,3 76 ' 0,5" 76 ' 0,5" 3 7' 9,6" Resoluión de triángulos retángulos Resolve os seguintes triángulos retángulos ( 90) lulndo medid de todos os elementos desoñeidos: ) 5 m, m. Hll,,. ) 3 m, 37. Hll,,. ) 7 m, 5. Hll,,. d) 5, km, 7. Hll,,. ) + 5 + 69 3 m 5 tg 0,6 37',5 90 67 ',5" m 5 m ) 90 37 53 3 3 sen 7,5 m sen 37 3 3 tg 57,06 m tg 37 37 3 m ) 90 5 3 7 7 os 3, m os 5 tg 7 tg 5, m 7 5 7 m 3

d) 90 7 9 sen 5, sen 7 5, km 5, os 5, os 7,9 km 5, 5, km 7 9 Se queremos que un int trnsportdor de 5 metros eleve rg t un ltur de 5 metros, que ángulo se deerá inlinr int? 5 sen 0,6 36 5',6" 5 5 m 5 m 0 Un esd de m está poid nun prede formndo un ángulo de 50 o n. lul ltur á que eg e distni que sepr sú se d prede. m 50 d sen 50,53 m d os 50 d,9 m O ldo dun romo mide m e o ángulo menor deste é de 3. nto miden s digonis do romo? m 9 y 3 sen 9 os 3 y y sen 9,6 m d 5, m os 9 7,6 m D 5, m

UNIDDE lul proeión do segmento 5 m sore ret r nos seguintes sos: ) 7 ) 50 r ' ' ) 5 d) 90 '' ) os '' 5 os 7,6 m ) '' 5 os 5 9,6 m ) '' 5 os 5,9 m d) '' 5 os 90 0 m 3 ) lul ltur orrespondente o ldo en d un dos seguintes triángulos: I II III m 7 m 5 m 3 3 m 5 m m ) lul áre de d triángulo. ) I) sen 7 7,9 m II) sen 3 5 3,5 m III) sen 3, m 7,9 ) I) 7,7 m 5 3,5 II) 99,3 m, III),5 m No triángulo, D é ltur reltiv o ldo. os dtos d figur, indi os ángulos do triángulo. 3 m m D, m En En ì D: sen ' 37''; D 90 ' 3'' 3 ì D : tg 5 7' ''; D 6 3' '', Ángulos: 3' 35''; ' 37''; 5 7' '' 5

5 Desde un punto P eterior un irunfereni de 0 m de rio, tráznse s tnentes es irunfereni que formn estre si un ángulo de 0. lul distni de P d un dos puntos de tneni. 0 m O 0 P En OP 0 : tg 0 P P 7,7 m Distni de P d uno de los puntos de tngeni: 7,7 m Páin 3 Teorem dos senos 6 lul e no triángulo no que: 55, 0, 5 m. 50 0 5 m 0 (55 + 0) 5 5,33 m sen sen sen 55 sen 5 sen 5 9,6 m sen sen 0 sen 5 7 lul o ángulo e o ldo no triángulo no que: 50, 3 m, m. 3 sen sen sen 50 sen 3 m sen 50 sen 3 50 m 0 ( + ) 93 9' 5'' 3 sen 93 9' 5'' sen sen sen 50 9,9 m 36 50' 6 '' (Tiene que ser < ) 6

UNIDDE Resolve os seguintes triángulos: ) 35 7 m ) 05 30 m m ) 7 sen 35 0 (35 + ) 03; 0 m sen sen sen 03 sen 7 sen,67 m sen sen 03 sen 05 ) sen 35 5' 9''; 39 3' 5'' sen sen 30 sen 30 sen 39 3' 5'' 9,79 m sen sen 05 9 Dous migos situdos en dous puntos, e, que distn 500 m, ven torre ì ì dun igre,, io os ángulos 0 e 55. Que distni i entre d un deles e igre? 0 (0 + 55) 5 0 55 500 m sen 0 sen 55 500 sen 5 3,6 m 500 sen 5, m L distni de l iglesi es de, m, y l de l iglesi, 3,6 m. Teorem do oseno 0 lul no triángulo, no que:, 7, m, 5,3 m. 5,3 m 7, m + os 7, + 5,3 7, 5,3 os 0, m Determin os ángulos do triángulo no que m, m, 35 m. m m 35 m + 35 35 os + 35 os 5 3' '' 35 + 35 + 35 35 os os 3 7' '' 35 0 ( + ) 7' 5'' 7

Resolve os seguintes triángulos: ) 3 m 7 m 0 ) 5 m 57 m 65 ) 3 m m 3 m ) 3 +7 3 7 os 0,9 m 7 3 +,9 3,9 os 9 56' '' 0 ( + ) 0 3' 5'' ) 5 + 57 5 57 os 65 79,7 m 57 5 + 79,7 5 79,7 os 0 ' 5'' 0 ( + ) 7 ' 55'' ) 3 + 3 3 os 3 + 3 3 3 os 0 ( + ) 33 0' 35'' 30 0' 9'' 7 ' 56'' 3 Desde port d miñ s,, veo o ine,, que está 0 m, e o quioso, K, que está 5 m, io un ángulo K 0. Que distni i en- ì tre o ine e o quioso? 0 m 0 5 m K 0 +5 0 5 os 0 77, m es l distni entre el ine y el kiosko. Resoluión de triángulos lquer Resolve os seguintes triángulos: ) 00 m 7 63 ) 7 m 70 35 ) 70 m 55 m 73 d) m 00 m 0 e) 5 m 30 m 0 m f) 00 m 5 m 50 m g) 5 m 9 m 30 ) 6 m m 57

UNIDDE ) 0 ( + ) 70 sen sen 00 sen 70 sen 7 00 sen 7 77,3 m sen 70 00 00 sen 63 9, m sen 70 sen 63 sen 70 ) 0 ( + ) 75 7 7 sen 70 6,5 m sen 75 sen 70 sen 75 7 7 sen 35 0,09 m sen 75 sen 35 sen 75 ) 70 + 55 70 55 os 73 5 673,7 75,3 m 70 55 + 75,3 55 75,3 os os 55 + 75,3 70 0,5 6 3' 9," 55 75,3 0 ( + ) 6' 0,6" d) + 00 00 os 0 79,6 m + os os + os,6 + 00,6 00 0,969 ' 5,5" 0 ( + ) 37 5' 55,5" e) + os os + 30 + 0 5 0,7 3 37' 9," 30 0 os + 5 + 0 30 0,665 30' 33" 5 0 0 ( + ) 9 5' 57,6" f) os + 5 + 50 00 0,9 3 39' 3," 5 50 os + 00 + 50 5 0,0575 93 7' 6,7" 00 50 0 ( + ) 5 ' 3,9" 9

5 g) 9 9 sen 30 sen 0,596 sen 30 sen 5 7 ' 6," 5 3' 3," L soluión no es válid, pues + > 0. 0 ( + ) 3' 3," 5 5 sen 7,5 m sen 30 sen sen 30 ) 6 6 sen 57 sen 0,690 sen 57 sen 3 5' 35,7" ',3" L soluión no es válid, pues + > 0. 0 ( + ) ',3" sen 9,5 m sen 57 sen sen 57 PR RESOLVER 5 Un esttu de,5 m de lto está olod sore un pedestl. Desde un punto do n vese o pedestl io un ángulo de 5 e esttu, io un ángulo de 0. lul ltur do pedestl. tg 5 y y,5 + tg 55 y y tg 5,5 + tg 55,5 + tg 5 tg 55,5 tg 5 tg 55,5 tg 5 + tg 5 0,5 m (el pedestl) tg 55 tg 5,5 m 0 5 y 30

UNIDDE 6 Un vión vo entre dús iddes, e, que distn 0 km. s visuis desde o vión e formn ángulos de 9 e 3 o orizontl, respetivmente. que ltur está o vión? V (vión) 9 0 km 3 tg 9 tg 9 tg 3 0 0 tg 3 tg 3 tg 9 0 tg 3 tg 3 0 tg 3 tg 9 tg 9 tg 3 0 tg 3 tg 9 7, km tg 3 + tg 9 7 Determin o ldo do otógono insrito e do otógono irunsrito nun irunfereni de rio 5 m. 360 5 5 m l 30' 5 sen 30',9 m 5 Ldo del otógono insrito: l 3, m 5 30' y tg 30' y,07 m 5 Ldo del otógono irunsrito: l', m 5 m y l' 3

lul os ldos e mis os ángulos do triángulo. 7 m 50 3 m D e D. Pr l- No triángulo retángulo D, indi e D. En D, indi ulr, ses que + + 0. En D: 3 3 os 50,7 m os 50 D tg 50 D 3 tg 50 3,6 m 3 En D : D 3,6 sen 0,53 30 56' 59" 7 7 D os D 7 os 6 m 7 sí, y tenemos: 50 7 m 0 ( + ) 99 3' " 30 56' 59" D + D 9 m,7 m 9 Nun irunfereni de rio 6 m trzmos un ord 3 m do entro. ì Indi o ángulo O. P O triángulo O é isósele. O P 3 m 6 m O OP 3 m O 6 m ì OP 90 ì 3 ì os PO PO 60 6 ì ì O PO 60 0 3

UNIDDE 30 Pr lolizr un emisor lndestin, dous reeptores, e, que distn entre eles 0 km, orientn s sús ntens r o punto onde está emisor. Ests direións formn on ángulos de 0 e 65. que distni de e se enontr emisor? E 0 0 km 65 E 0 ( + ) 75 plindo el teorem de los senos: sen 0 sen 65 0 0 sen 0 sen 75 sen 75 6,65 km dist de. 0 0 sen 65 sen 75 sen 75 9,3 km dist de. 3 Nun destrmento de fútol olóse o lón nun punto situdo 5 m e m de d un dos postes d porterí, uo no é de 7 m. io que ángulo luls que se ve porterí desde ese punto? (porterí) 7 m 5 m m (lón) plindo el teorem del oseno: + os os + + 5 7 0,5 60 5 33

Páin 3 lul áre e s lonitudes dos ldos e d outr digonl: ì D ì 50. lul os ldos do triángulo D e sú áre. Pr lulr outr digonl, onsider o triángulo D. 50 0 m D Los dos triángulos en que l digonl divide l prlelogrmo son igules. Luego strá resolver uno de ellos pr lulr los ldos: 50 m 0 0 ( + ) 0 sen 50 sen 50 sen 0 sen 0,7 m sen 0 sen 0 sen 0 sen 0 6,6 m sí: D 6,6 m D,7 m Pr lulr el áre del triángulo : sen 50 sen 50 sen 50 6,6 sen 50 Áre 5,5 m El áre del prlelogrmo será: Áre D Áre 5,5 9 m Pr lulr l otr digonl, onsideremos el triángulo D: plindo el teorem del oseno: D 6,6 +,7 6,6,7 os 70 93, D 3,9 m 50 + 0 70 6,6 m 70,7 m D 3

UNIDDE 33 Dous ros prten dun porto on rumos distintos que formn un ángulo de 7. O primeiro se ás 0 d mñá un veloidde de 7 nós, e o segundo se ás 30 min, un veloidde de 6 nós. Se o lne dos seus equipos de rdio é de 50 km, poderán poñerse en ontto ás 3 d trde? (Nó mill / or; mill 50 m). P 7 L distni que reorre d uno en ese tiempo es: ro ro P 7 50 m/ 5 57 50 m P 6 50 m/ 3,5 6 350 m Neesrimente, > P y > P, luego: > 6 350 m omo el lne de sus equipos de rdio es 50 000 m, no podrán ponerse en ontto. (NOT: Puede lulrse on el teorem del oseno 9 3,7 m). 3 Nun retángulo D de ldos m e m, trázse desde un perpendiulr á digonl, e desde D, outr perpendiulr á mesm digonl. Sen M e N os puntos onde ess perpendiulres ortn á digonl. lul lonitude do segmento MN. D N m M m No triángulo, indi. No triángulo M, indi M. Ten en ont que: MN M Los triángulos ND y M son igules, luego N M omo MN N M, entones: MN M Por tnto, st on lulr en el triángulo y M en el triángulo M. 35

En : + 0 (por el teorem de Pitágors) lulmos En M : tg,5 56 ' 35," (en ): M os M os (56 ' 35,"), m Por último: MN M,, 5,6 m, m 35 lul ltur d árore QR de pé inesile e máis io ó punto de oservión, os dtos d figur. Q 30 0 R P 50 m P' Llmemos e y ls medids de l ltur de ls dos prtes en que qued dividid l torre según l figur dd; y llmemos z l distni de P l torre. Q y R z 30 0 P 50 m P' tg z tg z tg 30 (z + 50) tg 30 z + 50 z tg (z + 50) tg 30 50 tg 30 z tg z tg 30 + 50 tg 30 z 5,3 m tg tg 30 Sustituyendo en z tg 5,3 tg 60, m y Pr lulr y: tg 0 y z tg 0 5,3 tg 0 9,7 m z Luego: QR + y 79, m mide l ltur de l torre. 36

UNIDDE 36 lul ltur de QR, uo pé é inesile e máis lto ó punto onde se enontr o oservdor, os dtos d figur. Q R P 3 P' 50 m Llmemos l distni del punto más lto l líne orizontl del oservdor; y, l distni de l se de l torre l mism líne; y z, l distni R'P, omo se indi en l figur. tg ( + ) tg 0 z tg 0 z tg 3 (z + 50) tg 3 z + 50 50 tg 3 z tg 0 (z + 50) tg 3 z 5, tg 0 tg 3 Sustituyendo en z tg 0 5, tg 0,37 m Pr lulr y: y tg y z tg z Q 5, tg 7, m Por tnto: QR y 7,97 m mide l ltur de l torre. y R R' z P 3 50 m P' UESTIÓNS TEÓRIS 37 Epli se s seguintes igulddes referids o triángulo son verddeirs ou flss: ) ) os sen 3) ) sen 5) tg tg 6) tg 7) sen os 0 ) os 9) 0) sen ) sen tg tg sen os ) os 37

) Verdder, pues sen ) Verdder, pues os os 3) Fls, pues tg tg ) Fls, pues sen sen 5) Verdder, pues tg tg 6) Verdder, pues tg tg 7) Verdder, pues sen os 0 ) Verdder, pues os 9) Fls, pues tg tg sen sen 0) Verdder, pues sen + os omo os sen os sen ) Fls, pues sen os (porque? ) sen / ) Verdder, pues os / 3 Pro que nun triángulo lquer se verifi: R sen sen sen R é o rio d irunfereni irunsrit. Trz o diámetro desde un dos vérties do triángulo. pli o teorem dos senos nos triángulos e '. ' O plimos el teorem de los senos en los triángulos y ': En sen sen sen ' En ' sen ' sen ' 3

UNIDDE Suede que: ' (ángulos insritos en un irunfereni que rn el mismo ro) ' R ' 90 (medid de ángulos insritos en un irunfereni) R R L iguldd qued: R sen sen 90 sen Por último, sustituyendo en l primer epresión, se otiene el resultdo: R sen sen sen 39 Pro que só eiste un triángulo on estes dtos: 3 m,,5 m, 60 Eiste lgún triángulo on estes dtos?: 35, 3 m, 3 m + os,5 ( ) + os 60 3,5 3 + 3 3 + 0,75 0 3,5 m 3 ± 3 3 3 m 60 3 m L euión de segundo grdo solo tiene un ríz. Solo y un soluión. (NOT: Tmién se pueden estudir ls dos soluiones que slen pr on el teorem del seno y ver que un de ells no es válid, pues quedrí + > 0). Podemos resolverlo on el teorem del oseno, omo ntes, o on el teorem del seno. Resolvemos este prtdo on el segundo método meniondo: 3 3 sen sen sen sen 35 3 sen 35 sen 3 sen 35 90 Pero: + 35 + 90 > 0 Imposile! Luego l soluión no es válid y, por tnto, onluimos que no y ningún triángulo on esos dtos. 39

Páin 5 PR FONDR 0 Dús vís de tren de, m de no rúznse formndo un romo. Se un ángulo de orte é de 0, nto vlerá o ldo do romo?,, sen 0 l, m l sen 0, m 0 l 0 Pr lulr distni entre dous puntos inesiles e, fimos dous puntos e D tles que D 300 m, e medimos os seguintes ángulos: ì ì D 5 D 0 lul. ì D ì 6 3 D 5 3 0 300 m 6 Si onoiésemos y, podrímos llr. lulemos, pues, y : on el teorem del oseno en En el triángulo D: 0 65 6 69 Por el teorem del seno: 300 sen 69 D 300 sen 65 9, m sen 65 sen 69 65 6 300 m En el triángulo D: D 0 7 300 m 0 0 7 6 Por el teorem del seno: 300 sen 6 sen 0 300 sen 0,0 m sen 6 0

UNIDDE Podemos entrrnos y en el triángulo y plir el teorem del oseno: 9, +,0 9,,0 os 3 636,09 56,96 m 9, m 3,0 m Nun írulo de 5 m de rio, lul áre omprendid entre un ord de 0 m de lonitude e o diámetro prlelo el. I 0 m II III 5 m Podemos dividir l zon somred en tres, de form que: I III setores irulres de ángulo desonoido. II triángulo isóseles de ldos igules 5 m y de ldo desigul 0 m. En II: lulemos l ltur desde : 5 + 0 5 0, m sí: Áre II se Ò ltur 0,, m lulemos el ángulo (el ángulo desigul) plindo el teorem del oseno: 0 5 + 5 5 5 os os 5 + 5 0 0, ) 3 37',3" 5 5 En I: onoido podemos lulr fáilmente: 0 ',9" Y, on esto, el áre: Áre I π r π 5 9,6 m 360 360 Por último, el áre pedid será: T Áre II + Áre I, + 9,6 T 30,0 m

3 Dús irunferenis son tnentes eteriormente e os seus rios miden 9 m e m. lul o ángulo,, que formn s tnentes omúns. O' 9 O P Os rios formn os tnentes dous triángulos retángulos. omo OP +, tense: sen y sen + lul e despois. 9 7 + OP + sen + O'P 9 + + + 7 + sen 9 7 + 9 (7 + ) 9 ( + ) + 7 + 6 36 9 3 5 6, m Sustituyendo por su vlor: sen + + 6, 0, 0,36 37',5" sí: 5 ' 3" UTOVLIIÓN. Dun triángulo retángulo oñeemos ipotenus m e o teto 7 m. Determin os seus ángulos gudos. m 7 sen 35 ' 7 '' 90 5 ' 53'' 7 m

UNIDDE. Epres un ángulo do primeiro udrnte s rzóns trigonométris dos seguintes ángulos: 5, 07, 3, 56 sen 5 sen (0 6) sen 6 os 5 os 6 tg 5 tg 6 sen 07 sen (0 + 7) sen 7 os 07 os 7 tg 07 tg 7 sen 3 sen (360 ) sen os 3 os tg 3 tg sen 56 sen (360 6 + 96) sen 96 sen (360 6) sen 6 os 56 os 6 tg 56 tg 6 3. Se sen /5 e > 90, lul sen determinr o ángulo : ) os ) tg ) sen (0 + ) d) os (90 + ) e)tg (0 ) f) sen (90 + ) ) os sen os 6 os 9 3 os ± 5 5 5 3 os 5 /5 ) tg 3/5 3 ) sen (0 + ) sen 5 d) os (90 + ) sen e) tg (0 ) tg 3 f) sen (90 + ) os. Se tg 3,5, indi on ud d luldor, epréso omo un ángulo do intervlo [0, 360) e otén o seu seno e o seu oseno. st3.5 ± { \ } Hy dos soluiones: sen 0,96; os 0,7 sen 0,96; os 0,7 5 56' 3'' 05 56' 3'' 3 5 5 3

5. lul áre do triángulo. 0 m 3 m 3 m 0 m ltur: sen 0 sen 9,39 m 0 3 9,39 Áre 50, m 6. No lto dun edifiio en onstruión i un guindstre de m. Desde un punto do n vese o punto máis lto do guindstre io un ángulo de 50 on respeto á orizontl e o punto máis lto do edifiio io un ángulo de 0 o orizontl. lul ltur do edifiio. m 0 50 tg 0 + tg 50 tg 50 tg 0,3 m tg 50 tg 0,3 tg 0 9,5 m L ltur del edifiio es 9,5 m. tg0 tg 50 + tg 0 7. Resolve o triángulo nestes sos: ) 9 m, 33 m, ) 5 m, m, 30 ) on el teorem del oseno, llmos : 9 + 33 9 33 os 60,9 9 m 33 m,7 m Del mismo modo, llmos : 33 9 +,7 9,7 os os 0,5 97 9' 0 ( + ) 3 5'

UNIDDE ) Hllmos on el teorem de los senos: 30 5 5 m sen sen sen sen 30 sen m 0,6 Hy dos soluiones: 59' 9'' 37 0' 5'' 07 0' 5'' 59' 9'' sen 30 sen 07 0' 5'',0 m,9 m sen 30 sen 59' 9''. Dous migos están nun pri 50 m de distni e no mesmo plno vertil un ppventos que se enontr vondo entre os dous. Nun momento ddo, un veo un ángulo de elevión de 50 e o outro un ángulo de 3. Que distni i de d un eles o ppventos? 0 (50 + 3) 9 50 9 50 m 3 Hllmos y on el teorem de los senos: sen 50 sen sen 50 sen 9,9 m 50 9, m sen sen sen 3 sen 9 Ls distnis de d uno l omet son,9 m y 9, m, respetivmente. 9. Os ldos dun prlelogrmo miden m e 3 m e formn un ángulo de 5. lul lonitude d digonl mior. 0 5 d lulmos d plindo el teorem del oseno: 5 m d + 3 3 os 057, 3 m d 5,36 m es l medid de l digonl. 5