TEMA 1: FUNCIÓNS. LÍMITES E CONTINUIDADE

Transcript

1 TEMA 1: FUNCIÓNS. LÍMITES E CONTINUIDADE Conceptos preliminres Unh función é unh relción entre dús mgnitudes, de tl mneir que cd vlor d primeir lle sign un único vlor d segund. Se A e B son dous conuntos, que chmremos conunto inicil e conunto finl, respectivmente, unh función, f, de A en B, f: A B, relcion cd elemento de A cun único elemento de B. Se A está relciondo con b B se escribe f() b e dise que b é ime de e que é ntiime de b. Chámse dominio dunh función f, e se represent por Dom(f), ó conunto formdo polos elementos de A que teñen ime: Dom(f) { A / f() B} Un elemento clquer do conunto Dom(f) se represent pol letr e se denomin vrible independente. Cd elemento de Dom(f) ten por ime, medinte función f, un elemento de B que se represent por y i é vrible dependente. Isto se epres escribindo y f(). Chámse percorrido ou ime dunh función, se represent por Im f, ó conunto formdo pols imes dos elementos do dominio Im f {f() / Dom(f)} Se nunh función o conunto inicil e conunto finl están formdos por números reis, entón se di que é unh función rel de vrible rel, f: R R, f: D R R yf() A representción gráfic dunh función permite visulizr dun modo clro e preciso o seu comportmento. O conunto dos pres de números (, y) determindos pol función recibe o nome de grfo ou gráfic d función. Pr obter os pres bst con dr vlores á vrible independente, i obter os correspondentes d vrible dependente y, formndo sí unh tábo de vlores d función. Unh vez obtidos os pres de números, se representn nun sistem de eies crtesinos, que consiste en dous eies perpendiculres que se cortn nun punto, chmdo orien de coordends, e representdo por O; o eie horizontl recibe o nome de eie de bsciss, i nel se representn os vlores d vrible independente; o eie verticl recibe o nome de eie de ordends, i nel se representn os vlores d vrible dependente. Cd pr de números corresponde un punto do plno. Unindo todos los puntos, se obtén gráfic d función. b f()

2 Funcións elementis 1. Funcións polinómics: Teñen por epresión lébric un polinomio, é dicir: f() n n + n-1 n O dominio de clquer función polinómic sempre é R, Dom(f) R Dentro ds función polinómics teñen especil relevnci s funcións lineis e s funcións cudrátics. 1.1 Función linel: Ten por epresión y f() m + n, (en sentido estrico, cndo n, se chmrí función fín) A sú gráfic é unh rect, que pol orie se n é m é pendente d rect, tnente do ángulo que form rect co prte positiv do eie de bsciss n é ordend no orie, é o punto onde gráfic cort ó eie de ordends Se m, se reduce y n, se trt dunh función constnte cui gráfic é unh rect horizontl Dús rects que sen prlels teñen mesm pendente Se dús rects son perpendiculres, s sús pendentes verificn que m 1-1/m As rects verticis, prlels ó eie de ordends, teñen por ecución, e non son funcións 1. Función cudrátic: Ten por epresión un polinomio de segundo gro, y f() + b + c A sú gráfic é unh prábol con eie de simetrí prlelo ó eie OY Se >, prábol é conve ( bre hci rrib ) e se < prábol é cóncv ( bre hci bio ) Cort ó eio OX ns solucións d ecución + b + c Cort ó eio OY no punto (,c) vértice será o punto V(V, V y ), con V -b/ e pr clculr V y se sustitue V n epresión d función eie de simetrí é rect -b/ Eemplo: y -3

3 . Funcións rcionis: A sú epresión lébric é o cociente de dous polinomios P( ) y f() Q( ) O dominio dunh función rcionl está formdo polos número reis ecepto os que nuln o denomindor: Dom(f) R { / Q() } Un cso prticulr dests funcións son s funcións de proporcionlidde invers, yk/, cui gráfic son hipérbols equiláters > < 3. Funcións irrcionis: A epresión é y f() n g ( ) O dominio será: Dom(f) R no cso de que n se impr Dom(f) R { / g() < } no cso de que n se pr 4. Función epoñencil: A epresión é y f(), onde é positivo e distinto de 1 Dom(f) R Im(f) R +, (s imes son sempre positivs) Se >1 función crece medid que ument Se <1 función decrece medid que ument

4 5. Función logrítmic:a epresión é y f() log, onde é positivo e 1 Dom(f) (, + ), (o logritmo dos negtivos e do non son números reis) Im(f) R Se >1 é crecente Se <1 é decrecente Cort ó eie OX no punto (1,) A función logrítmic de bse é función invers d epoñencil de bse 6. Funcións trigonométrics - Función seno: y f() sen - Función coseno: y f() cos - Función tnente: y f() tg O dominio ds funcións seno e coseno é R π O dominio d función tnente é R { ± kπ, k Z }

5 IDEA DO CONCEPTO DE LÍMITE O concepto de límite dunh función nun punto é un dos máis importntes en mtemátics, sirve pr responder á pregunt: A que vlor se proim vrible dependente cndo vrible independente se proim un certo vlor?. Por eemplo: Considermos función y f() + 1, queremos sber que vlor se proim vrible y cndo vrible se proim 3. Se fcemos unhs tábos de vlores temos: f()? f()? D primeir tábo, deducimos que cndo nos proimmos 3 pol esquerd función tom vlores próimos 7, isto quere dicir que o límite lterl pol esquerd d función f no punto 3 é 7, e se escribe: lim f ( ) 7 3 D segund tábo, deducimos que cndo nos proimmos 3 pol dereit función tom vlores próimos 7, isto quere dicir que o límite lterl pol dereit d función f no punto 3 é 7, e se escribe: lim f ( ) Polo tnto, podemos dicir que cndo nos proimmos 3 función tom vlores próimos 7, é dicir, o límite d función no punto 3 é 7 lim f ( ) 3 7 A epresión lim f ( ) b, que se le o límite de f() cndo tende é b, quere dicir que se tom vlores próimos o número entón os correspondentes vlores de f() se proimn o número b. Evidentemente, pr que eist o límite nun punto teñen que eistir os límites lteris e ser iguis e o límite dunh función nun punto, se eiste, é único

6 Eemplo: Considermos función prte enteir de, y f() E() (mior dos números enteiros menores ou iguis que ) f() f() 3 Por tnto: lim f() 1 e lim f() + logo non eiste lim f() É importnte comprender que pr que o límite dunh función en se b, non fi flt sber o que ocorre ectmente no punto e si o que ocorre o seu rredor. De feito, unh función pode non estr definid no punto e si ter límite nese punto. Límites infinitos e límites no infinito Diremos que o límite dunh función no punto é +, lim f() +, cndo os vlores d vrible independente se chegn ó vlor entón os correspondentes vlores de f() se fn cd vez máis grndes. E: f() 1/ f() Polo tnto: lim f() + De form nálog se define lim f(), cndo os vlores d vrible independente se chegn ó vlor entón os vlores correspondentes de f() se fn cd vez máis grndes en vlor bsoluto pero negtivos.

7 Diremos que o límite d función f() cndo tende + é b, lim f() + b, se cndo os vlores d vrible independente se están fcendo cd vez miores entón os correspondentes vlores de f() se chegn ó vlor b De mneir nálog se definen: lim f() lim f() b, lim f() +, lim f() + + e + 1 Por eemplo: f() f() Entón: lim f() 1 + Propieddes dos límites Sen f e g dús funcións tles que: lim f() A e lim g() (sempre que teñn sentido os resultdos obtidos) se verific que: B, entón

8 Opercións con epresións infinits ( + ) + l + ( + ) + ( + ) ( ) + l ( ) + ( ) ( ) + + ( + ) ( ± l) ± ( + ) ( + ) + ( ) ( ± l) ( ) + ( ) l ± ± ± ± ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) l > 1 ( + ) ( ) ( + l) ( l) + + l l ( + ) ( ) + < l < 1 l l ( + ) ( ) + Ests igulddes so teñen sentido entendéndos como límites Indetermincións,,,,,, 1, En erl, pr clculr o límite dunh función nun punto, estúdse cr que vlor tenden os vlores d función ns proimiddes do punto. Se o sustituir o vlor de polo vlor o que tende se obteñen resultdos con sentido, estremos nun cso dun límite determindo e o proceso concluirá; se o relizr sustitución se obtén lgún tipo de indeterminción, estremos nte un cso indetermindo e deberá mnipulrse epresión pr conseguir outr epresión equivlente n que s opercións que prezn teñn sentido. Vemos como se poden resolver lgúns csos: 1. Pr clculr límites cndo tende -, e co fin de evitr confusións de signo, se pode utilizr seguinte iguldde: lim f() lim f( ) +. Polinomios no infinito: Pr clculr o límite no infinito dun polinomio, bst con considerr o termo de mior gro (o resultdo será ± dependendo do signo do coeficiente principl)

9 3. Rcionis no infinito: Neste cso resultrá indeterminción, pr desfcel pódese dividir numerdor e denomindor pol máim potenci de que prece n frcción. O cálculo do límite pode relizrse máis rápido considerndo só os termos de mior gro do numerdor e denomindor, sí: O resultdo será, se o gro do denomindor é mior O resultdo será ±, se o gro do denomindor é menor ( o signo dependerá dos signos dos coeficientes principis) O resultdo será o cociente dos coeficientes principis, se os gros son iguis 4. Indeterminción, con. Se clculn os límites lteris e o resultdo será ±, se os dous límites lteris dn o mesmo, ou que non eiste se os límites lteris non son iguis. 5. Diferenz de epresións infinits. Cndo result epresión hi ocsións en que se pode operr epresión e outrs en que convén multiplicr e dividir pol epresión conugd. 6. Indeterminción 1. Pr resolver est indeterminción utilizremos definición do número e: 1 e lim 1 + f () + f() Trnsformndo epresión que teñmos podemos chegr unh epresión dese tipo. Tmén se pode utilizr seguinte regr: f() lim f() g() lim g() (f() 1) e Not: Os csos de indeterminción resólvense, en erl, medinte técnics que se estudn en uniddes posteriores (Regr de L Hopitl)

10 ASÍNTOTAS As síntots dunh función son rects ás que se proim función cndo tende un vlor rel ou ±,é dicir, son rects tles que distnci entre gráfic d función e rect tende cero cndo distnci ó orie de coordends tende infinito. Poden ser horizontis, verticis ou oblicus. Asíntots horizontis A rect y k é unh síntot horizontl d función f se eiste lgún dos límites seguintes: lim f() k ± Pr sber se proimción á síntot é por rrib ou por bio se estudi o signo de f() k cndo ± Asíntots verticis A rect é unh síntot verticl d función f se eiste polo menos lgún dos seguintes límites: lim f() ±, lim f() ±, lim f() ± + A situción d gráfic d función con relción á síntot se obtén clculndo os límites lteris e vendo si vlen + ou Asíntots oblicus A rect y m + n é unh síntot oblicu d función f se eiste lgún dos seguintes límites: lim (f() m n) Pr clculr m e n:. ± m n f() lim ± lim (f() ± m)

11 Pr sber se proimción é por rrib ou por bio se estudi o signo de f() (m + n) cndo ± Observcións: - Unh función non pode ter máis de dús síntots horizontis ou oblicus, é dicir, A.H. + A.O. - Unh función pode ter infinits síntots verticis - A gráfic d función pode cortr ás síntots horizontis e oblicus nun ou vrios puntos - Ns funcións rcionis simplificds, s síntots verticis se clculn tomndo os vlores que nuln o denomindor - Pr que unh función rcionl teñ síntots oblicus é necesrio que o gro do numerdor se unh unidde mior que o gro do denomindor. Neste cso, pr clculr síntot bst con fcer división enteir Eercicio: Estudir s síntots e posición d gráfic respecto dels de: f ( ) f ( ) 1 1 f ( ) + 1 f ( ) f ( ) f ( ). 1

12 CONTINUIDADE A ide de que unh función é continu nun punto cndo se pode debur sen levntr o lpis do ppel o psr por ese punto, ou cndo é unh función que non present sltos nin burcos nese punto, son proimcións intuitivs ó concepto de continuidde. Ests primeirs proimcións poden clrr ides e fcilitr decisión sobre se unh función cumpre ou non est propiedde, pero é preciso definir de form mtemátic o concepto de continuidde. Unh función f é continu nun punto do seu dominio se lim f() f() A definición implic que se ten que cumprir que: - Eiste límite d función no punto - A función está definid en, eiste f() - Ambos vlores son iguis Cndo so eist ou coincid o límite pol dereit, diremos que é continu pol dereit. Anlogmente pr esquerd. Unh función é continu no intervlo (, b) cndo o é en cd un dos seus puntos i é continu no intervlo [, b] cndo o é en (, b) e demis é continu pol dereit en e continu pol esquerd en b Cndo unh función non é continu nun punto diremos que é descontinu nese punto, e podemos distinguir distintos tipos de descontinuidde: E: 1. Descontinuidde evitble: eiste o límite pero non coincide con f() lim f() f(). Descontinuidde de 1ª especie ou de slto: Eisten os límites lteris, pero non son iguis l lim f() lim f() 1 l + Neste cso se chm slto d función l 1 l. Se os dous límites lteris son finitos dise que é unh descontinuidde de slto finito, e se lgún deles é infinito, dise que é unh descontinuidde de slto infinito. E: f() + 3 se 1 se < 1

13 3. Descontinuidde de ª especie: Cndo lgún (ou mbos) dos límites lteris non eiste E: f() 1 sen se se Propieddes ds funcións continus 1. Se f() e g() son funcións continus en entón tmén son continus en s funcións: f + g, f g, f g e f/g (se g() ). A función polinómic, y P(), é continu en todo R P() 3. A función rcionl, y, é continu en todo R ecepto os puntos Q() que nuln o denomindor 4. A función irrcionl, y n P (), é continu no seu dominio 5. A función eponencil, y, é continu en todo R 6. A función logritmo, y log, é continu en (, + ) 7. En erl, s funcións elementis son continus no seu dominio 8. Se f() é continu en e g() é continu no punto f() entón función compost g o f é continu en Teorem de Bolzno Se f é unh función continu nun intervlo pechdo [, b] e o signo de f() é distinto do signo de f(b) entón eiste polo menos un c (, b) tl que f(c) O teorem estblece que si os puntos (, f()) e (b, f(b)) dunh función continu están en diferentes ldos do eio OX entón gráfic d función cort ó eie OX en polo menos un punto.

14 Se considermos ecución f(), con f ns hipóteses de Bolzno, o teorem grntiz eistenci de polo menos unh solución (ríz) d ecución no intervlo (, b). O teorem de Bolzno grntiz que eiste polo menos un punto que cumpre que f(c), pero non di que ese punto se único, pode drse o cso no que eistn vrios puntos de corte d función co eio OX Se non se cumpren s hipóteses do teorem de Bolzno entón non podemos firmr nd, é dicir, non podemos grntizr que non eiste nin que eiste un punto c con f(c) Teorem dos vlores intermedios Se f unh función continu no intervlo pechdo [, b] e se k un vlor comprendido entre f() e f(b), entón eiste un c (, b) tl que f(c) k Teorem de Weierstrss Se f unh función continu no intervlo pechdo [, b] entón f lcnz máimo e mínimo bsoluto nese intervlo. Eercicios:

15 1) Comprob que s seguintes funcións cortn ó eio OX i estblece un intervlo onde este incluído un punto de corte ) f() b) f() cos c) f() e 16 d) f() cos + 1 ) Comprob se función f() e tom o vlor 3/ nlgún punto do intervlo (-1, ) 3) Pódese plicr o teorem de Bolzno á función f() tg no intervlo π 3π 4,? 4 4) Dd función f() e + 3ln(1 + ) ustific se podemos segurr que sú gráfic cort o eio OX nlgún punto do intervlo [-1, ] 5) Se unh función é continu e estrictmente decrecente en [, b], onde lcnzrá o máimo e mínimo bsoluto? 4 6) A función f() verific que f(-) -4 e f(3) 1 e non eiste un punto + 1 do intervlo [-, 3] onde f() se nule. Contrdice este feito o teorem de Bolzno? 7) Sen f e g funcións continus en [, b] con f( )< g() e f(b) > g(b). Xustific que eiste un punto do intervlo [, b] onde coincide o vlor de f e g. 8) Determin os vlores de e b pr que función sen + se 3 < f () + b se cumpr o teorem de Bolzno en [-3,3] se < 3 9) Comprob se ecución 3 + cos 3 ten lgunh solución rel.