LIETUVOS JAUNŲJŲ MATEMATIKŲ MOKYKLA 6 tem. SĄLYGINĖS TAPATYBĖS IR NELYGYBĖS 009 0 Teorinę medžigą prengė ei šeštąją užduotį sudrė Vilnius pedgoginio universiteto doents Juos Šinkūns Įrodmo uždvinii r vieni iš pčių sunkiusių mtemtikos uždvinių. Ne išimtis ir lgių ei nelgių įrodmo uždvinii. Prisiminkime kd lgė...... R R kuri glioj visoje reiškinių... R... R pirėžimo endroje sritje vdinm tpte. Pvdžiui lgė r tptė nes ji glioj su visomis reliųjų skičių ir poromis. O lgė nėr tptė. Šioje temoje ngrinėsime tptių ir nelgių įrodmo uždvinius kuriuose kintmieji r susieiti ppildomomis sąlgomis. Tokios tptės vdinmos sąlginėmis tptėmis o nelgės sąlginėmis nelgėmis. I. Bendros sąlginių tptių ir sąlginių nelgių įrodmo uždvinių sprendimo teorijos nėr. Džni ppildomoji sąlg sąlgos pertvrkom tol kol gunm įrodomoji lgė. Krtis viens lgės...... R R reiškins tsižvelgus į ppildomąją sąlgą sąlgs pertvrkoms tol kol gunms ntrsis reiškins. pvds. Įrodsime kd ki. Sprendims. ūds. Lgę pkėlę kuu gunme. Vdinsi. ūds. Reiškinį pertvrkome tip:. Psinudoję sąlg gunme kd. pvds. Įrodsime kd jei. Sprendims. Ppildomąją sąlgą pertvrkome tip:. Gvome įrodomąją lgę. pvds. Įrodsime kd 0 jei. Sprendims. Kdngi 0 0 ir 0 ti. 0 Ppildomąją sąlgą pduginę iš gunme: 0.
pvds. Įrodsime kd jei. 0 Sprendims. Iš sąlgos išsireiškę gunme: 6 0 6 6 0 6 0 6 6 6 0 0 0 0 00 0. 6 6 6 0 Lgė glim tik td ki ir 0. 0 0 pvds. Įrodsime kd jeigu ir 0. Sprendims. Tegul u v w. Td u v w ir 0 r uv uw vw 0. u v w Lgę u v w pkėlę kvdrtu gunme: u v w u v w uv uw vw u v w. Vdinsi. 6 pvds. Relieji skičii ir tenkin lges. Įrodsime kd 7 7 7. Sprendims. Ppildomąsis sąlgs pertvrkome tip:. Tigi relieji skičii ir r kvdrtinės lgties t t 0 sprendinii ki D 0 7 0; tigi ki 0 7 0. Šios nelgės sprendinii sudro intervlą 7 ;. Anlogiški įrodom kd 7 7 ; ir ;. II. Įrodnt sąlgines nelges krtis glim psinudoti šiomis nelgėmis: ;. Jos gunmos tip: Akividu kd 0 t... Šią nelgę sudėję su tpte gunme: t... Lgė glim tik td ki.
Nelges sudėję su tpte gunme: t... Lgė glim tik td ki. 7 pvds. Įrodsime kd jei. Sprendims. Tegul. Td. Kdngi ti. Lgė glim tik td ki. 9 pvds. Įrodsime kd 00 jeigu ir > 0 > 0 > 0. Sprendims. Psinudoję nelge gunme:. 00 Lgė glim tik td ki. III. Dug įdomių uždvinių glim išspręsti tiknt sąršį trp neneigimų skičių ritmetinio ir geometrinio vidurkių. Priminsime kd neneigimų skičių n... ritmetinis vidurkis n A n n... r ne mžesnis už tų skičių geometrinį vidurkį... n n n G t.. ; n G n A lgė glim tik td ki.... n Plčiu pie vidurkius ir jų tikmą iškinm [] ir [] kngelėse. 9 pvds. Įrodsime kd jeigu. Įrodms. Kdngi ti. Lgė glim tik td ki.
0 pvds. Įrodsime kd 6 jeigu ir > 0 > 0 > 0. Sprendims. Atsižvelgę į sąlgą kiekvieną nelgės kiriosios pusės duginmąjį pertvrkome tip: du krtus pritikėme ritmetinio ir geometrinio vidurkių nelgę. Lgė glim tik td ki. Anlogiški gunme kd. Lgės glimos tik td ki. Suduginę tris gutąsis nelges turėsime: 6 6. Lgė glim tik td ki. pvds. Rskime mžiusią reiškinio S reikšmę ki ir > 0 > 0 > 0. Sprendims. Kdngi S 6 6 6 ti S mž. 6 ki t... Tčiu td >. Tikėtin kd šis reiškins mžiusią reikšmę įgj ki. Todėl ieškosime tokio skičius α kd gliotų lgė. Ki α α α turime:. Iš či α. Tigi α S 9 9 9 9 6 6 pritikėme nelgę trp šešių teigimų skičių ritmetinio ir geometrinio vidurkių ir nelges trp trijų teigimų skičių ritmetinio ir geometrinio vidurkių. Tigi S mž.. pvds. Rskime reiškinio S didžiusią reikšmę ki ;. Sprendims. Kdngi ti. Lgė glim tik td ki ir t.. ki 0. Tčiu 0 0 0. Tikėtin kd ngrinėjms reiškins įgs didžiusią reikšmę ki t.. ki. Todėl reiškinį pertvrkome tip: S.
Lgė glim tik td ki. Tigi S didž.. Turime: S 6 9. S didž. ki. UŽDAVINIAI SAVARANKIŠKAM DARBUI Spręsdmi juos esnt reiklui remkitės pteiktis nurodmis. Sprendimų pteikti nereiki! Įrodkite tptes ir nelges:. jei ; 6 jei ;.. jei ;. > jei < ir ;. jei 0; 6. p p p jei trikmpio krštinių ilgii o p trikmpio perimetrs; 6 6 7. 7 0 jei ; 6 6. jei ; 9. jei ; 0. > jei ir > 0 > 0;. 9 jei ir > 0 > 0;. 9 jei ir ; 6. 6 jei ir > 0 > 0 > 0;. d d d d 0 jei d ir > 0 > 0 > 0 d > 0;. 9 jei ir > 0 > 0 > 0;
6. ir 9 jei ir > 0 > 0 > 0; 7. 0. i... ; jei ir i > 0. t jei t ir 0 0 0 t 0; 9. jei ir > 0 > 0 > 0; 0. jei ir > 0 > 0 > 0;. 7 jei ir > 0 > 0;. jei ir 0 0 0;. jei ir > 0 > 0 > 0;. jei ir > 0 > 0 > 0; Nurodmi. Grupuodmi ir psinudoję sąlg 0 įrodkite kd 0; lgė glim tik td ki ± ; 6. Įrodkite kd p p... ir t. t. 9. Nudokitės prieštros metodu. 0. Lgę pdlinkite iš ir remkitės nelgėmis > ir >... nelge. Suduginkite ir psinudokite. Skičims ir tikkite vidurkių nelgę.. Remkitės vidurkių nelgėmis.. Psteėję kd remkitės vidurkių nelgėmis. 6
7 6. Skičims ir tikkite vidurkių nelgę; Skičims tikkite vidurkių nelgę ir remkitės nelge. 7. Nelgės kiriosios pusės dugiklius pertvrkti tip:... ir t. t.; jiems pritikę nelges trp ritmetinio ir geometrinio vidurkių gutąsis nelges suduginkite.. Skičims ir t tikkite vidurkių nelgę. 9. Psteėję kd ir nelgės kiriosios pusės kiekvieną dėmenį pertvrkkite tip: ir nelges sudėkite. 0. Tegul. S Td S. Tikkite vidurkių nelges.. Reiškinį pertvrkkite tip: 6 6 ir tikkite vidurkių nelges.. Kiriosios nelgės pusės kiekvieną nrį pertvrkkite tip: 9... ir tikkite vidurkių nelges.. Reiškinims 9 9 9 tikkite sąršius trp vidurkių ir gutąsis nelges sudėkite.. Reiškinims ir tikkite sąršius trp vidurkių ir gutąsis nelges sudėkite.
ŠEŠTOJI UŽDUOTIS 9. Įrodkite kd 0 7 jeigu 7 ir. 0. Įrodkite kd jei.. Relieji skičii ir tenkin lges 0. Įrodkite kd.. Įrodkite kd jeigu 0 ir... Įrodkite kd jeigu. 6. Įrodkite kd jei ir > 0 > 0. 7. Įrodkite kd 7 jeigu ir > 0 > 0 > 0.. Įrodkite kd jei ir > 0 > 0 > 0. 9. Rskite mžiusią reiškinio reikšmę ki ir > 0 > 0 > 0. 0. Rskite reiškinio didžiusią reikšmę jeigu. Litertūr.. V. Vitkus. Vidurkii. Junjm mtemtikui. Dnielius leidkl Vilnius 00 9 9.. J. Šinkūns. Vidurkii ir jų tikmi. Junjm mtemtikui. Dnielius leidkl Vilnius 007 9 9 9 99. Šeštosios užduoties sprendimus pršome išsiųsti iki 00 m. lpkričio d. mokklos dresu: Lietuvos junųjų mtemtikų mokkl Mtemtikos ir informtikos metodikos ktedr VU Mtemtikos ir informtikos fkultets Nugrduko g. LT-0 Vilnius. Mūsų mokklos interneto svetinės dress: www.mif.vu.lt/ljmm/ LIETUVOS JAUNŲJŲ MATEMATIKŲ MOKYKLOS TARYBA