Matematiniai modeliai ir jų korektiškumas
|
|
- Ζώσιμος Ελευθερόπουλος
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 1 skyrius Mtemtinii modelii ir jų korektiškums 1.1. Mtemtinių uždvinių klsifikcij Mtemtinis modelivims yr svrbus nujs žinių gvimo būds, kuris vis džniu nudojms sprendžint technologinius uždvinius, tirint gmtos ir socilinius procesus. Tikydmi šį metodą nudojme nujusius mtemtikos psiekimus, kit vertus mtemtinis modelivims formulvo ir formuluoj nujus mtemtikos uždvinius, įtkoj pčios mtemtikos vystymąsi. Mtemtinių modelių bendroji schem. Pirmiusi ptrsime lbi bendrą mtemtinių uždvinių sprendimo schemą. Piškinsime, kokius reiklvimus turėtų tenkinti bet koks mtemtinis modelis, kd jį glėtume nudoti modeliuodmi relius procesus, technologinius įrenginius ir socilinius reiškinius. Trkime, kd turime prdinius duomenis u, td nudodmi psirinktąjį lgoritmą pibrėžime uždvinio sprendinį v = R(u). Šime pibrėžime kol ks neptikslinme, kip sudroms mtemtinis modelis ir jį relizuojntis lgoritms (šį pibrėžimą tenkin netgi tokie egzotiški lgoritmi, kip strologinės prognozė r tsitiktinis spėjims). 1.1 pvyzdys. Tiesinių lygčių sistem. Spręsime tiesinių lygčių sistemą AX = F, 1
2 2 1 SKYRIUS. MATEMATINIAI MODELIAI IR JŲ KOREKTIŠKUMAS či prdinius duomenis sudro n n dydžio mtric A ir vektorius F, o reiki rsti vektorių X. Nudodmi bendrąją schemą, pžymėsime u = (A, F), v = X. Uždvinio sprendinį pibrėžime tokiu būdu X = A 1 F, kur A 1 yr tvirkštinė mtric, tenkinnti sąlygą AA 1 = I. Jokio konkretus lgoritmo, kip skičiuoti tvirkštinę mtricą kol ks nenurodome. Skykime, kd prdinii duomenys u prikluso metrinei erdvei U, o sprendinys v metrinei erdvei V. Atstumus trp dviejų elementų šiose erdvėse titinkmi žymėsime ρ U (u 1, u 2 ), ρ V (v 1, v 2 ) Korektiški suformuluots uždvinys Apibrėžime du pirmuosius reiklvimus, kuriuos turi tenkinti korektišks mtemtinis uždvinys. 1. Kiekvienm elementui u U egzistuoj sprendinys v = R(u) V. 2. Toks sprendinys yr vienintelis. Pvyzdžiui, jei mtricos A determinnts nelygus nuliui, ti tiesinių lygčių sistem turi vienintelį sprendinį bet kokiems vektorims F. Tčiu jei deta = 0, ti toki sistem turi sprendinį (netgi ne vienintelį) tik tm tikriems vektorims F. Trečisis reiklvims yr tiesiogii susijęs su mtemtinio modelivimo poreikiis. Dugelis reiškinių psižymi svybe, kd, esnt pnšioms prdinėms sąlygoms, stebime lbi rtimus rezulttus. Tokią svybę džni vdinme stbilumu. Todėl ntūrlu reikluti, kd ir titinkmi mtemtinii modelii būtų stbilūs. Stbilums tiesiogii siejsi su sprendinio tolydži priklusomybe nuo prdinių duomenų. Apibrėžims. Sprendinio v = R(u) V, u U rdimo uždvinys vdinms stbiliu metrinėse erdvėse (V, U), jei bet kokim ε > 0 egzistuoj toks
3 1.1. MATEMATINIŲ UŽDAVINIŲ KLASIFIKACIJA 3 δ(ε) > 0, kd imdmi u 1, u 2 U, tenkinnčius nelygybę ρ U (u 1, u 2 ) δ(ε), gunme įvertį ρ V (v 1, v 2 ) ε, či v 1 = R(u 1 ), v 2 = R(u 2 ), v 1, v 2 V. Td formuluojme trečiąjį korektiškų uždvinių reiklvimą. 3. Uždvinys yr stbilus metrinėse erdvėse (V, U). Toki svybė lbi svrbi, ki uždvinio sprendinio ieškome skitiniis metodis. Td tenk proksimuoti prdinius duomenis ir uždvinio opertorių, tčiu šią pklidą glime pdryti kiek norim mž δ(ε). Jei uždvinys yr stbilus, ti gunme tikslus sprendinio rtinį, kuris skirisi nuo tikslus sprendinio tik dydžiu ε. Uždvinio korektiškums prikluso nuo metrinių erdvių poros (V, U) prinkimo. Vienose erdvėse jis yr korektišks, kitose ne. Ti susiję su informcijos pie uždvinio prdinius duomenis ir sprendinį kiekiu. Tokius pvyzdžius pteiksime kitme skirsnyje. Korektiškų uždvinių pibrėžimą pirmsis suformulvo prncūzų mtemtiks Žks Admrs (Hdmrd) Nekorektiškų uždvinių pvyzdžii Egzistuoj dug mtemtinių modelių, pršnčių mus dominnčius reiškinius, bet netenkinnčių pteiktojo korektiškų uždvinių pibrėžimo. Ti nereiški, kd mes nespręsime tokių uždvinių, tik būtin ptikslinti uždvinio pibrėžimą, nes klsikinii sprendimo metodi ju nepknkmi. Svrbu mokėti pžinti nekorektiškus uždvinius ir sukurti specilius jų sprendimo metodus. Pirmiusi pteiksime bendrąją schemą, tinkmą dugeliui uždvinių, sprendžimų mtemtinio modelivimo metodu. Mus domin uždvinio Av T = u T, u T U, v T V sprendinys. Trkime, kd tikslus sprendinys v T V egzistuoj ir yr vienintelis. Džniusii vietoj tikslių prdinių duomenų u T turime tik jų rtinį u U, pvyzdžiui, šiuos duomenis gunme tlikdmi eksperimentus r mtvimus. Todėl neišvengimi tsirnd prdinių duomenų pklidos, js įvertinme metrinės erdvės U, kurioje pibrėžti prdinii duomenys, metrikoje: ρ U (u, u T ) δ, δ > 0.
4 4 1 SKYRIUS. MATEMATINIAI MODELIAI IR JŲ KOREKTIŠKUMAS Todėl relii sprendžime modifikuotą uždvinį Av = u. Td gli susidryti kelios neplnkios situcijos: Tokiems prdinims duomenims u U uždvinio sprendinys v = A 1 u V neegzistuoj, t.y. u AV. Reiki suglvoti, kip pibrėžti pibendrintąjį rb kvzi- sprendinį v = R(u), kuris egzistuotų visiems prdinims duomenims u U ir būtų tm tikr prsme rtims tikslim sprendiniui v T. Jei sprendinys (gl būt tik pibendrintsis) egzistuoj, jis gli nekonverguoti į tikslų sprendinį v T, ki δ 0, t.y. mžus prdinių duomenų pokyčius titink kiek norim dideli sprendinio pokyčii. Dbr pteiksime pvyzdžius uždvinių, kuriuos ju ngrinėjome mtemtinės nlizės kurse, ir įrodysime, kd jie nekorektiški. 1. Išvestinės skičivims. Reiki rsti diferencijuojmos funkcijos u T (t) C 1 (D), D = [0, 2π] išvestinę, ki šios funkcijos reikšmes žinome tik su pklid (tsirndnči, pvyzdžiui, dėl mtvimo prietiso skirimosios gebos). Pžymėkime v T (t) = u T (t) funkcijos u T(t) išvestinę. Trkime, kd vietoj funkcijos u T (t) turime tik jos rtinį u(t) = u T (t) + ε sin(ωt), ε, ω > 0. Ngrinėkime tolydžių funkcijų metrinę erdvę C(D), ki tstums pibrėžims tip: ρ C (u 1, u 2 ) = mx t D u 1(t) u 2 (t). Šioje metrinėje erdvėje tstums trp funkcijų u(t) ir u T (t) yr ρ C (u, u T ) ε. Tigi mūsų turimi prdinii duomenys u(t) mži skirisi nuo tikslių prdinių duomenų u(t), ki prmetrs ε yr mžs skičius. Pirmiusi pstebėsime, kd išvestinę v(t) = u (t) glime pskičiuoti bet kokioms prmetrų ε, ω reikšmėms, t.y. nereiki ieškoti pibendrintojo sprendinio (šiuo tveju pibendrintos išvestinės) pibrėžimo.
5 1.1. MATEMATINIŲ UŽDAVINIŲ KLASIFIKACIJA 5 Trkime, kd metrinėje erdvėje V nudojme tą pčią metriką C(D). Td pskičiuotoji išvestinės reikšmė skirisi nuo tikslios išvestinės dydžiu ρ C (v, v T ) = mx εω cos(ωt) = εω. t D Prinkus pknkmi didelį prmetrą ω, šis skirtums gli būti kiek norim didelis, net ki ε yr mžs skičius. Tigi išvestinės skičivims tokioje metrinių erdvių poroje (U, V ) yr nekorektišks uždvinys. Psirinkę kitą metrinę erdvę U, glime guti ir korektišką uždvinį. Pvyzdžiui, trkime kd u(t) C 1 (D) yr tolydžii diferencijuojmos funkcijos ir tstums trp dviejų funkcijų pibrėžims tip: ( ρ C 1(u 1, u 2 ) = mx u1 (t) u 2 (t) + u 1(t) u 2(t) ). t D Kdngi teisings įvertis ρ C (v, v T ) ρ C 1(u, u T ), ti sprendinys v(t) = u (t) tolydžii prikluso nuo prdinių duomenų. Įrodėme, kd išvestinės skičivims yr korektišks uždvinys, ki turime metrinių erdvių porą (U, V ) = (C 1 (D), C(D). Tčiu ptikrinti, kd eksperimentinii duomenys u(t) prikluso tokii metrinei erdvei U = C 1 (D) yr sudėting, tigi ši metrinė erdvė netinkm, ki modeliuojme relius fizinius rb technologinius procesus. 2. Furjė eilutės sumvims. Skičiuokime eilutės f T (t) := n cos(nt), n=0 0 t π sumą. Šio uždvinio prdinius duomenis sudro funkcijos f T (t) Furjė koeficienti u T = { n, n = 0, 1,...} U. Erdvėje U pibrėžime l 2 tstumo funkciją: ( ρ l2 (u 1, u 2 ) = ( 1n 2n ) 2) 1/2. n=0 Trkime, kd vietoj u T turime koeficientus c n = n + ε n, n 1, c 0 = 0,
6 6 1 SKYRIUS. MATEMATINIAI MODELIAI IR JŲ KOREKTIŠKUMAS td sumuojme eilutę f(t) := n=0 c n cos(nt). n=0 Metrinėje erdvėje l 2 biejų eilučių koeficienti skirisi dydžiu: ( ε 1 := ρ l2 (u T, u) = ( n c n ) 2) 1/2 ( 1 ) 1/2 π 2 = ε = ε n 2 6. Psirinkę mžą skičių ε, šį skirtumą glime pdryti kiek norim mžu, t.y. prdinii duomenys bus rtimi viens kitm. Tčiu eilučių sumos skirsis dydžiu 1 f(t) f T (t) = ε n cos(nt). Tigi tstums ρ l2 (f, f T ) negli būti pdryts kiek norim mžu prenknt mžą ε, nes dešinėje lygybės pusėje esnti eilutė diverguoj, jeigu t = 0: ε N n=1 n=1 n=1 1 ε lnn, N. n Tigi, jei V = C(D), ti Furjė eilutės sumvims yr nekorektišks uždvinys, nes neišpildyts sprendinio stbilumo reiklvims. Jeigu tstumą trp funkcijų f(t) ir f T (t) pibrėžime nudodmi V = L 2 (0, π) metriką: ( π ( ρ L2 (f 1, f 2 ) = f1 (t) f 2 (t) ) ) 2 1/2, dt 0 0 ti tokioje metrinių erdvių poroje (U, V ) Furjė eilutės sumvimo uždvinys ju korektišks, nes, nudodmi Prsevlio teoremą, gunme lygybę ( π ( δ(ε 1 ) := f(t) ft (t) ) ) 2 1/2 ( π dt = 2 ( n c n ) 2) 1/2 π = ε Integrlinių lygčių sprendims. Šiuolikinė nerdomosios dignostikos, medicinos (pvz. tomogrfijos) prtūr pded guti svrbią informciją, kurios neglime tiesiogii išmtuoti r tirti, o nudojme tik nesunkii mtuojmų pglbinių chrkteristikų r požymių rezulttus. Tokių metodų mtemtinis modelis pršoms integrline lygtimi Av := b n=0 K(x, s)v(s)ds = u(x), c x d,
7 1.1. MATEMATINIŲ UŽDAVINIŲ KLASIFIKACIJA 7 či v(s) V yr ieškomoji funkcij, u(x) U eksperimentinii mtvimo duomenys, o funkcij K(x, s) chrkterizuoj mtvimo prtūrą (ji yr žinom). Imdmi skirtingus režimus x [c, d] tliekme seriją mtvimų u(x), x [c, d] (pvyzdžiui rentgeno spinduliis peršviečime tą ptį objektą įviriomis kryptimis), td iš jų rndme funkciją v(s). 1 pstb. Funkcijos u(t) išvestinės skičivimo uždvinį irgi glime užršyti kip integrlinę lygtį t 0 v(s)ds = u(t) u(0). Kdngi vietoj tikslių prdinių duomenų u T (x) turime tik pytikslius eksperimentinius duomenis u(x) U, ti integrlinės lygties Av = u, u(x) U sprendinys v V gli ir neegzistuoti, jei u(x) AV. Tigi šiuo tveju gli būti neišpildyt ir pirmoji korektiškų uždvinių pibrėžimo sąlyg. Pvyzdžiui, tip bus td, ki K(x, s) yr tolydžii diferencijuojm pgl x funkcij, o eksperimente gutoji funkcij u(x) nėr diferencijuojm. Či ju neglime tikyti klsikinio sprendinio pibrėžimo v = A 1 u, nes toks sprendinys egzistuoj tik td, ki u(x) išvestinė yr tolydi funkcij. Reiki nutrti, kip pibrėšime sprendinį, kd jis egzistuotų ir neglodiems prdinims duomenims. Kitoje pskitoje pteiksime tokių pibrėžimų pvyzdžius. Tčiu net ir td, ki pytikslii prdinii duomenys u(x) AV, sprendinys gli netenkinti stbilumo sąlygos. Trkime, kd tstums trp dviejų funkcijų metrinėje erdvėje U pibrėžts formule ( d ( ρ U (u 1, u 2 ) = u1 (x) u 2 (x) ) ) 2 1/2, dx c t.y. turime U = L 2 [c, d] erdvę, o sprendinio pokyčius vertinsime V = C[, b] metrikoje: ρ C (v 1, v 2 ) = mx v 1 (x) v 2 (x). x b Trkime, kd pytikslii prdinii duomenys yr tokie: u(x) = u T (x) + M b K(x, s)sin(ωs)ds, M, ω > 0.
8 8 1 SKYRIUS. MATEMATINIAI MODELIAI IR JŲ KOREKTIŠKUMAS Įvertinsime prdinių duomenų pklidą [ d ( b 2dx ] 1/2. ρ U (u, u T ) = M K(x, s)sin(ωs)ds) c Ngrinėkime tvejį, ki funkcij K(x, s) yr diferencijuojm pgl s ir išvestinė K s C yr prėžt iš viršus. Integruodmi dlimis, gunme lygybę b K(x, s)sin(ωs)ds = 1 ( K(x, s)cos(ωs) b b ω + Tigi prdinių duomenų pokyčius įvertinme nelygybe δ := ρ U (u, u T ) CM ω. K ( ) ) x, s cos(ωs)ds. s Prinkę pknkmi didelį prmetrą ω, šiuos pokyčius glime pdryti kiek norim mžis. Tčiu tokiems prdinims duomenims tstums trp sprendinių erdvės C[, b] metrikoje ρ C[,b] (v, v T ) := mx s b v(s) v T(s) = M mx s b sin(ωs) = M yr kiek norim didelis, jei M didelis skičius. Tigi neišpildyt sprendinio tolydžios priklusomybės nuo prdinių duomenų sąlyg. Integrlinės lygties sprendimo uždvinys nekorektišks net ir td, ki sprendinius pibrėžime L 2 (, b) metrinėje ervėje (šioje erdvėje prdinių duomenų pokyčius glime pdryti kiek norim mžis). Psinudojme pprstomis trigonometrinėmis formulėmis: sin 2 x = 1 cos(2x), sin(2x) sin(2y) = 2 sin(x y)cos(x + y), 2 td gunme lygybę: ( b ( ρ L2 (v, v T ) = v(s) vt (s) ) ) 2 1/2 ( b ds = M ) 1/2 sin 2 (ωs)ds ( b = M 1 2 2ω sin( ω(b ) ) cos ( ω(b + ) )) 1/2 = CM. Tigi ρ L2 (v, v T ) gli būti kiek norim didelis, o ρ U (u, u T ) kiek norim mžs, titinkmi prinkus ω ir M. Vėl neišpildyt sprendinio tolydžios priklusomybės nuo prdinių duomenų sąlyg.
9 1.1. MATEMATINIŲ UŽDAVINIŲ KLASIFIKACIJA 9 4. Admro pvyzdys. Šį uždvinį ngrinėjo Ž. Admrs, formuluodms korektiškų mtemtinių uždvinių reiklvimus. Srityje spręsime dvimtę Lplso lygtį D = {(x, y) : < x <, 0 y < Y } 2 v x v = 0, (1.1) y2 ki užduotos prdinės sąlygos v v(x,0) = 0, = ϕ(x), < x <. (1.2) y y=0 Prdinius duomenis ir sprendinį ngrinėsime tolydžiųjų funkcijų metrinėse erdvėse C ir C(D), kurių metrikos yr pibrėžtos tip: ρ C (ϕ 1, ϕ 2 ) = sup ϕ 1 (x) ϕ 2 (x), <x< ρ C(D) (v 1, v 2 ) = sup v 1 (x, y) v 2 (x, y). (x,y) D Jeigu prdinė funkcij ϕ T (x) 0, ti (1.1) (1.2) uždvinio sprendinys v T (x, y) 0. Pkeitę prdinę sąlygą į ϕ(x) = 1 sinx, gunme tokį uždvinio sprendinį v(x, y) = 1 sin(x)sinh(y), > 0. 2 Prinkdmi pknkmi didelį skičių, tstumą trp prdinių duomenų ρ C (ϕ, ϕ T ) = sup 1 sin x 1 = <x< glime pdryti kiek norim mžu. Tčiu tstums trp sprendinių ρ C(D) (v, v T ) = sup 1 2 sin(x)sinh(y) 1 = 2 sinh(y ) (x,y) D gli būti kiek norim dideliu, ki prenkme didelį skičių. Tigi tokio uždvinio sprendinys nėr stbilus prdinių duomenų tžvilgiu, todėl jis nekorektišks. 2 pstb. Lplso lygčii korektišką uždvinį gunme, ki vietoj ntrosios prdinės sąlygos formuluojme krštinę sąlygą tške y = Y, pvyzdžiui v(x, Y ) = ϕ(x).
10 101 SKYRIUS. MATEMATINIAI MODELIAI IR JŲ KOREKTIŠKUMAS 5. Diferencilinės lygties koeficientų rdims. Lbi džni tenk spręsti tvirkštinį koeficientų rdimo uždvinį. Eksperimente mtuojme tm tikrus sprendinio funkcionlus, o turime rsti ne tik ptį sprendinį, bet ir diferencilinės lygties koeficientus. Ngrinėkime prdinį-krštinį prbolinio tipo uždvinį, modeliuojntį tempertūros u(x, t) psiskirstymą vienmčime strype. Turime diferencilinę lygtį cρ u t = 2 u + f(x, t), (t, x) (0, T] (0, 1), x2 prdinę sąlygą tempertūri u(x,0) = u 0 (x), x [0, 1], ir dvi krštines sąlygs (mtuojme tempertūrą strypo gluose): u(0, t) = µ 0 (t), u(1, t) = µ 1 (t), t (0, T]. Šilumos tlpumo ir medžigos tnkio koeficienti c, ρ, bei išorinio šilumos šltinio tnkio funkcij f(x, t) yr žinomos. Reiki rsti funkciją u(x, t) ir difuzijos koeficientą. 3 pstb. Iš mtemtinės fizikos kurso žinome, kd prbolinis diferencilinis uždvinys yr korektišks (vienintelis sprendinys egzistuoj ir tolydžii prikluso nuo prdinių duomenų, ki prmetrs irgi yr žinoms). Norėdmi rsti (u, ), ppildomi mtuojme dr vieną sprendinio funkcionlą, pvyzdžiui šilumos srutą u = ν(t), x x=0 t (0, T]. Glim įrodyti, kd gutsis uždvinys nėr stbilus, tigi jis nekorektišks. Egzistuoj dug svrbių tikomųjų uždvinių, ki reiki rsti mtemtinio modelio koeficientus, o turime tik eksperimentinius mtvimus. Tokie uždvinii džniusii nekorektiški, todėl svrbu išmokti efektyvii spręsti šiuos uždvinius.
5 paskaita. 5.1 Kompaktiškosios aibės Sąvokos
5 pskit 5.1 Kompktiškosios ibės 5.1.1 Sąvokos Iš mtemtinės nlizės kurso žinome dvi svrbis prėžtu reliu ju skičiu ibiu svybes. Pirmoji Bolcno-Vejerštrso teorem: bet kuri beglinė prėžt reliu ju skičiu ibė
Διαβάστε περισσότεραLabai svarbi tiesiniu operatoriu šeima kompaktiškieji operatoriai. Jiems skirtas paskutinysis?? skyrelis.
13 pskit 13.1 Tiesinii opertorii Šime skyriuje ngrinėjmos normuotu ju erdviu tiesinės funkcijos tiesinii opertorii. Bigtinės dimensijos erdvėms, kip mtysime, jie pršomi mtricomis. Tigi tiesiniu opertoriu
Διαβάστε περισσότεραMatematinės analizės egzamino klausimai MIF 1 kursas, Bioinformatika, 1 semestras,
MIF kurss, Bioinformtik, semestrs, 29 6 Tolydžios tške ir intervle funkciju pibrėžimi Teorem Jei f C[, ], f() = A , ti egzistuoj toks c [, ], kd f(c) = 2 Konverguojnčios ir diverguojnčios eikutės
Διαβάστε περισσότερα2015 M. MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija. I dalis
PATVIRTINTA Ncionlinio egzminų centro direktorius 0 m. birželio d. įskymu Nr. (..)-V-7 0 M. MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA Pgrindinė sesij I dlis Užd. Nr. 4 7
Διαβάστε περισσότερα2.6. IŠVESTINĖ, DIFERENCIJAVIMAS
6 IŠVESTINĖ DIFERENCIJAVIMAS 61 Išvestiės sąvok Fukcijos išvestiės sąvok yr mtemtikos istrumets kurio reikšmę suku įvertiti Glbūt ti glim plygiti su vidus degimo vriklio sukūrimu Diferecijuoti pprsčiusis
Διαβάστε περισσότερα1 SKYRIUS. Laplaso transformacija 2 SKYRIUS. Integralinės lygtys
1 SKYRIUS. Lplo trnformcij 3 1. Integrlinė trnformcijo..................... 3 2. Lplo trnformcij........................ 3 2.1. Lplo trnformcijo vybė.............. 4 2.2. Lplo trnformcijo tikym prendžint
Διαβάστε περισσότεραPlokštumų nusakymas kristale
Kristlų struktūrinės nlizės metodi Plokštumų nuskyms kristle Kristlų nizotropij dro didelę įtką puslidininkinių prietisų prmetrms. Nuo puslidininkinių plokštelių kristlogrfinės orientcijos prikluso tokie
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 4 dalis
Matematika 1 4 dalis Analizinės geometrijos elementai. Tiesės plokštumoje lygtis (bendroji, kryptinė,...). Taško atstumas nuo tiesės. Kampas tarp dviejų tiesių. Plokščiosios kreivės lygtis Plokščiosios
Διαβάστε περισσότερα2.7. VIDURINIŲ REIKŠMIŲ TEOREMOS, JŲ TAIKYMAI
.7. VIDURINIŲ REIKŠMIŲ TEOREMOS, JŲ TAIKYMAI 7.. Ferm teorem. (Pierre de Fermt, 6-665, http://www-history.mcs.std.c.uk/~history/mthemticis/fermt.html). Jei fukcij, pibrėžt itervle I vidiime jo tške turi
Διαβάστε περισσότεραMatematika PIRMOJI KNYGA. Išplėstinis kursas. Vadovėlis gimnazijos IV klasei
Mtemtik Išplėstinis kurss Vdovėlis gimnzijos IV klsei PIRMOJI KNYGA Turinys Trigonometrinės funkcijos 5 Rdininis kmpo mts Posūkio kmpi 5 Bet kokio kmpo sinuss, kosinuss, tngents ir kotngents 9 Funkcijos
Διαβάστε περισσότεραX galioja nelygyb f ( x1) f ( x2)
Monotonin s funkcijos Tegul turime funkciją f : A R, A R. Apibr žimas. Funkcija y = f ( x) vadinama monotoniškai did jančia (maž jančia) aib je X A, jei x1< x2 iš X galioja nelygyb f ( x1) f ( x2) ( f
Διαβάστε περισσότεραLIETUVOS JAUNŲJŲ MATEMATIKŲ MOKYKLA
LIETUVOS JAUNŲJŲ MATEMATIKŲ MOKYKLA 6 tem. SĄLYGINĖS TAPATYBĖS IR NELYGYBĖS 009 0 Teorinę medžigą prengė ei šeštąją užduotį sudrė Vilnius pedgoginio universiteto doents Juos Šinkūns Įrodmo uždvinii r vieni
Διαβάστε περισσότεραP. Kasparaitis. Vaizdų ir signalų apdorojimas. Filtrai
P Ksritis Vidų ir signlų dorojims Filtri 8 Filtri Sitmeninii filtri Aibrėžims Sitmeninis filtrs ti mtemtiši ibrėžt sistem, sirt sitmeninim signlui modifiuoti Sitmeninio signlo [ tvidvimą į žymėime ti:
Διαβάστε περισσότεραNEAPIBRĖŽTINIS INTEGRALAS su MAPLE. Aleksandras KRYLOVAS
NEAPIBRĖŽTINIS INTEGRALAS su MAPLE Aleksndrs KRYLOVAS TURINYS. PIRMYKŠTĖ FUNKCIJA IR NEAPIBRĖŽTINIS INTEGRALAS 6.. PIRMYKŠTĖS FUNKCIJOS APIBRĖŽIMAS 6.. NEAPIBRĖŽTINIO INTEGRALO SAVOKA 7.. NEAPIBRĖŽTINIO
Διαβάστε περισσότεραDviejų kintamųjų funkcijos dalinės išvestinės
Dviejų kintamųjų funkcijos dalinės išvestinės Dalinės išvestinės Tarkime, kad dviejų kintamųjų funkcija (, )yra apibrėžta srityje, o taškas 0 ( 0, 0 )yra vidinis srities taškas. Jei fiksuosime argumento
Διαβάστε περισσότεραI.4. Laisvasis kūnų kritimas
I4 Laisvasis kūnų kitimas Laisvuoju kitimu vadinamas judėjimas, kuiuo judėtų kūnas veikiamas tik sunkio jėos, nepaisant oo pasipiešinimo Kūnui laisvai kintant iš nedidelio aukščio h (dau mažesnio už Žemės
Διαβάστε περισσότεραI dalis KLAUSIMŲ SU PASIRENKAMUOJU ATSAKYMU TEISINGI ATSAKYMAI
008 M. FIZIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija Kiekvieno I dalies klausimo teisingas atsakymas vertinamas tašku. I dalis KLAUSIMŲ SU PASIRENKAMUOJU ATSAKYMU TEISINGI
Διαβάστε περισσότεραVilniaus universitetas. Edmundas Gaigalas A L G E B R O S UŽDUOTYS IR REKOMENDACIJOS
Vilniaus universitetas Edmundas Gaigalas A L G E B R O S UŽDUOTYS IR REKOMENDACIJOS Vilnius 1992 T U R I N Y S 1. Vektorinė erdvė............................................. 3 2. Matricos rangas.............................................
Διαβάστε περισσότεραL A TEX 2ε. mathematica 5.2
Διδασκων: Τσαπογας Γεωργιος Διαφορικη Γεωμετρια Προχειρες Σημειωσεις Πανεπιστήμιο Αιγαίου, Τμήμα Μαθηματικών Σάμος Εαρινό Εξάμηνο 2005 στοιχεοθεσια : Ξενιτιδης Κλεανθης L A TEX 2ε σχεδια : Dia mathematica
Διαβάστε περισσότερα0.1. Bendrosios sąvokos
.1. BENDROSIOS SĄVOKOS 1.1. Bendrosios sąvokos.1.1. Diferencialinės lygtys su mažuoju parametru F ) x n),x n 1),...,x,x,t;ε =, xt;ε) C n T), T [,+ ), < ε ε ) F x n) t;ε),x n 1) t;ε),...,x t;ε),xt;ε),t;ε,
Διαβάστε περισσότεραK F = F 2 /F 1 = l 1 /l 2. (1)
Stiprinims 1. Mechninės jėgos F stiprinims 1.1. Archimedo sverts. O l 2 F 2 T l 1 m P = m g F 1 1 pv. K F = F 2 /F 1 = l 1 /l 2. (1) či: P sunkio jėg; T įtempimo (tmprumo) jėg; F 1, 2 titinkmi poveikio
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKOS BRANDOS EGZAMINO PROGRAMA
PATVIRTINTA Lietuvos Respublikos švietimo ir mokslo ministro 0 m. liepos d. įskymu Nr. V-97 MATEMATIKOS BRANDOS EGZAMINO PROGRAMA I. BENDROSIOS NUOSTATOS. Mtemtikos brndos egzmino progrmos (toliu Progrm)
Διαβάστε περισσότεραTemos. Intervalinės statistinės eilutės sudarymas. Santykinių dažnių histogramos brėžimas. Imties skaitinių charakteristikų skaičiavimas
Pirmasis uždavinys Temos. Intervalinės statistinės eilutės sudarymas. Santykinių dažnių histogramos brėžimas. Imties skaitinių charakteristikų skaičiavimas Uždavinio formulavimas a) Žinoma n = 50 tiriamo
Διαβάστε περισσότεραKengura Tarptautinio matematikos konkurso užduotys ir sprendimai. Junioras
Kengur 013 Trptutinio mtemtikos konkurso užduotys ir sprendimi Juniors KENGŪROS KONKURSO ORGANIZAVIMO KOMITETAS KENGŪRA 013 TARPTAUTINIO MATEMATIKOS KONKURSO UŽDUOTYS IR SPRENDIMAI Autorius ir sudrytojs
Διαβάστε περισσότεραLituoti plokšteliniai šilumokaičiai XB
Apršyms XB yr vriu lituoti plokštelinii šilumokičii, skirti nudoti centrlizuoto šildymo ir vėsinimo sistemose, pvyzdžiui, uitinio kršto vndens ruošimo sistemoje, šilumos punkte tskirti šilumos tinklus
Διαβάστε περισσότεραSprendinio kompleksinis pavidalas: z = a exp(iϕ) = a (cos ϕ + i sin ϕ). Plokščiosios bangos lygtis:
ĮVADAS Į BANGINĘ ŠVISOS TORIJĄ 7 ĮVADAS Į BANGINĘ ŠVISOS TORIJĄ 1.1. HARMONINIAI VIRPSIAI. MONOCHROMATINĖS BANGOS Hrmoninii virpesii r periodinii fizikinio ddžio kitimi like, nuskomi sinuso (rb kosinuso)
Διαβάστε περισσότεραVIDURINIO UGDYMO BENDROSIOS PROGRAMOS: MATEMATIKA
Vidurinio ugdymo bendrųjų progrmų 3 prieds VIDURINIO UGDYMO BENDROSIOS PROGRAMOS: MATEMATIKA I. BENDROSIOS NUOSTATOS 1. Ugdymo srities pskirtis 1.1. Mtemtik psulio pžinimo instruments leidžintis ugdyti
Διαβάστε περισσότεραDiržinė perdava. , mm;
6.. Diržinė erdv Šime oskyryje diržinės erdvos greiteigio skriemlio (mžojo) geometrinii ir jėginii rmetri žymimi tini indeks, o lėteigio (didžiojo) tini indeks. Šime oskyryje teikt trecinių diržinių erdvų
Διαβάστε περισσότεραtaip: Q m : m Z, n N, t.y. aibę sudaro trupmenos n
SKYRIUS AIBĖS IR FUNKCIJOS Aibės ir jų veiksmi Kiekvieme gmtos moksle esm tiek tiesos, kiek esm mtemtikos IKts Aibės sąvok mtemtikoje likom pirmie, es legvi suvokim ir eturi pibrėţimo Ji vrtojm ir ksdieiime
Διαβάστε περισσότεραSpecialieji analizės skyriai
Specialieji analizės skyriai. Trigonometrinės Furje eilutės Moksle ir technikoje dažnai susiduriame su periodiniais reiškiniais, apibūdinamais periodinėmis laiko funkcijomis: f(t). 2 Paprasčiausia periodinė
Διαβάστε περισσότερα1.4. Rungės ir Kuto metodas
.4. RUNGĖS IR KUTO METODAS.4. Rungės ir Kuto metodas.4.. Prediktoriaus-korektoriaus metodas Palyginkime išreikštinį ir simetrinį Eulerio metodus. Pirmojo iš jų pagrindinis privalumas tas, kad išreikštinio
Διαβάστε περισσότεραElektronų ir skylučių statistika puslaidininkiuose
lktroų ir skylučių statistika puslaidiikiuos Laisvų laidumo lktroų gracija, t.y. lktroų prėjimas į laidumo juostą, gali vykti kaip iš dooriių lygmų, taip ir iš valtiės juostos. Gracijos procsas visuomt
Διαβάστε περισσότεραd dx x 2 = 2x d dx x 3 = 3x 2 d dx x n = nx n 1
d dx x 2 = 2x d dx x 3 = 3x 2 d dx x n = nx n1 x dx = 1 2 b2 1 2 a2 a b b x 2 dx = 1 a 3 b3 1 3 a3 b x n dx = 1 a n +1 bn +1 1 n +1 an +1 d dx d dx f (x) = 0 f (ax) = a f (ax) lim d dx f (ax) = lim 0 =
Διαβάστε περισσότεραΑόριστο Ολοκλήρωµα ρ. Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου
Αόριστο Ολοκλήρωµα ρ. Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου Ακ. Ετος 2018-2019 Θεωρούµε µια συνάρτηση f : I R, όπου το I είναι διάστηµα του R. Ορισµός Μια συνάρτηση F : I R λέγεται αντιπαράγωγος ή αρχική συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΤαλαντώσεις 6.1 Απλή Αρµονική Ταλάντωση σε µία ιάσταση Ελατήριο σε οριζόντιο επίπεδο Σχήµα 6.1
6 Ταλαντώσεις 6.1 Απλή Αρµονική Ταλάντωση σε µία ιάσταση 6.1.1 Ελατήριο σε οριζόντιο επίπεδο Υποθέτουµε ότι το ελατήριο έχει αρχικό µήκος µηδέν, ιδανικό ελατήριο. F=-kx x K M x Σχήµα 6.1 ιαστάσεις µεγεθών
Διαβάστε περισσότεραm r = F m r = F ( r) m r = F ( v) F = F (x) m dv dt = F (x) vdv = F (x)dx d dt = dx dv dt dx = v dv dx
m r = F m r = F ( r) m r = F ( v) x F = F (x) m dv dt = F (x) d dt = dx dv dt dx = v dv dx vdv = F (x)dx 2 mv2 x 2 mv2 0 = F (x )dx x 0 K = 2 mv2 W x0 x = x x 0 F (x)dx K K 0 = W x0 x x, x 2 x K 2 K =
Διαβάστε περισσότεραAuthor : Πιθανώς έχει κάποιο λάθος Supervisor : Πιθανώς έχει καποιο λάθος.
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ Τμήμα Φυσικής 1ο Σετ Ασκήσεων Γενικών Μαθηματικών ΙΙ Author : Βρετινάρης Γεώργιος Πιθανώς έχει κάποιο λάθος Supervisor : Χ.Τσάγκας 19 Φεβρουαρίου 217 ΑΕΜ: 14638 Πιθανώς
Διαβάστε περισσότερα0.1. Bendrosios sąvokos
0.1. BENDROSIOS SĄVOKOS 1 0.1. Bendrosios sąvokos 0.1.1. Diferencialinės lygtys su mažuoju parametru F ) x n),x n 1),...,x,x,t;ε = 0, xt;ε) C n T), T [0,+ ), 0 < ε ε 0 ) F x n) t;ε),x n 1) t;ε),...,x t;ε),xt;ε),t;ε
Διαβάστε περισσότεραa; b 2 R; a < b; f : [a; b] R! R y 2 R: y : [a; b]! R; ( y (t) = f t; y(t) ; a t b; y(a) = y : f (t; y) 2 [a; b]r: f 2 C ([a; b]r): y 2 C [a; b]; y(a) = y ; f y ỹ ỹ y ; jy ỹ j ky ỹk [a; b]; f y; ( y (t)
Διαβάστε περισσότεραa; b 2 R; a < b; f : [a; b] R! R y 2 R: y : [a; b]! R; ( y (t) = f t; y(t) ; a t b; y(a) = y : f (t; y) 2 [a; b]r: f 2 C ([a; b]r): y 2 C [a; b]; y(a) = y ; f y ỹ ỹ y ; jy ỹ j ky ỹk [a; b]; f y; ( y (t)
Διαβάστε περισσότεραIII. MATRICOS. DETERMINANTAI. 3.1 Matricos A = lentele žymėsime taip:
III MATRICOS DETERMINANTAI Realiu ju skaičiu lentele 3 Matricos a a 2 a n A = a 2 a 22 a 2n a m a m2 a mn vadinsime m n eilės matrica Trumpai šia lentele žymėsime taip: A = a ij ; i =,, m, j =,, n čia
Διαβάστε περισσότεραlim f n(x) = f(x) 1 ǫ < n ln ǫ N (ǫ, x) = ln ( )
ΟΜΟΙΟΜΟΡΦΗ ΣΥΓΚΛΙΣΗ Εστω {f n x), n N} µια ακολουθία συναρτήσεων ορισµένων στο διάστηµα I = [, b] ή, b] ή [, b) ή, b) ) ΟΡΙΣΜΟΣ Η ακολουθία συναστήσεων συγκλίνει σηµειακά point wise convergence) στην συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραF (x) = kx. F (x )dx. F = kx. U(x) = U(0) kx2
F (x) = kx x k F = F (x) U(0) U(x) = x F = kx 0 F (x )dx U(x) = U(0) + 1 2 kx2 x U(0) = 0 U(x) = 1 2 kx2 U(x) x 0 = 0 x 1 U(x) U(0) + U (0) x + 1 2 U (0) x 2 U (0) = 0 U(x) U(0) + 1 2 U (0) x 2 U(0) =
Διαβάστε περισσότερα1. Individualios užduotys:
IV. PAPRASTOSIOS DIFERENCIALINĖS LYGTYS. Individualios užduots: - trumpa teorijos apžvalga, - pavzdžiai, - užduots savarankiškam darbui. Pirmosios eilės diferencialinių lgčių sprendimas.. psl. Antrosios
Διαβάστε περισσότερα2009 m. matematikos valstybinio brandos egzamino VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija 1 6 uždavinių atsakymai
M. MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA PATVIRTINTA Nacionalinio egzaminų centro direktoriaus -6- įsakymu Nr. (..)-V-8 m. matematikos valstybinio brandos egzamino VERTINIMO
Διαβάστε περισσότεραcos t dt = 0. t cos t 2 dt = 1 8 f(x, y, z) = (2xyz, x 2 z, x 2 y) (2xyz) = (x2 z) (x 2 z) = (x2 y) 1 u du =
ΛΥΣΕΙΣ. Οι ασκήσεις από το βιβλίο των Marsden - Tromba. 1. 7.1.()(b) σ (t) (cos t sin t 1) οπότε σ (t) και σ f(x y z) ds π (c) σ (t) i + tj οπότε σ (t) 1 + 4t και σ f(x y z) ds 1 t cos 1 + 4t dt 1 8 cos
Διαβάστε περισσότεραMÉTHODES ET EXERCICES
J.-M. MONIER I G. HABERER I C. LARDON MATHS PCSI PTSI MÉTHODES ET EXERCICES 4 e édition Création graphique de la couverture : Hokus Pokus Créations Dunod, 2018 11 rue Paul Bert, 92240 Malakoff www.dunod.com
Διαβάστε περισσότεραMolekulare Ebene (biochemische Messungen) Zelluläre Ebene (Elektrophysiologie, Imaging-Verfahren) Netzwerk Ebene (Multielektrodensysteme) Areale (MRT, EEG...) Gene Neuronen Synaptische Kopplung kleine
Διαβάστε περισσότερασ (9) = i + j + 3 k, σ (9) = 1 6 k.
Ασκήσεις από το Διανυσματικός Λογισμός των Marsden - romba και από το alculus του Apostol. 1. Βρείτε τα διανύσματα της ταχύτητας και της επιτάχυνσης και την εξίσωση της εφαπτομένης για κάθε μία από τις
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Βέλτιστου Ελέγχου Ασκήσεις
Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Θεωρία Βέλτιστου Ελέγχου Νικόλαος Καραμπετάκης Τμήμα Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη, Οκτώβριος 3 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Cretive
Διαβάστε περισσότεραFUNKCIJOS. veiksmu šioje erdvėje apibrėžkime dar viena. a = {a 1,..., a n } ir b = {b 1,... b n } skaliarine sandauga
VII DAUGELIO KINTAMU JU FUNKCIJOS 71 Bendrosios sa vokos Iki šiol mes nagrinėjome funkcijas, apibrėžtas realiu skaičiu aibėje Nagrinėsime funkcijas, kurios apibrėžtos vektorinėse erdvėse Tarkime, kad R
Διαβάστε περισσότεραγ 1 6 M = 0.05 F M = 0.05 F M = 0.2 F M = 0.2 F M = 0.05 F M = 0.05 F M = 0.05 F M = 0.2 F M = 0.05 F 2 2 λ τ M = 6000 M = 10000 M = 15000 M = 6000 M = 10000 M = 15000 1 6 τ = 36 1 6 τ = 102 1 6 M = 5000
Διαβάστε περισσότεραPaprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS
Paprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS prof. Artūras Štikonas Paskaitų kursas Matematikos ir informatikos fakultetas Diferencialinių lygčių ir skaičiavimo matematikos katedra Naugarduko g. 24, LT-3225 Vilnius,
Διαβάστε περισσότεραTeor imov r. ta matem. statist. Vip. 94, 2016, stor
eor imov r. ta matem. statist. Vip. 94, 6, stor. 93 5 Abstract. e article is devoted to models of financial markets wit stocastic volatility, wic is defined by a functional of Ornstein-Ulenbeck process
Διαβάστε περισσότερα( () () ()) () () ()
ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ /011 1 Έστω r = r( t = ( x( t ( t z( t t I = [ a b] συνάρτηση C τάξης και r = r( t = r ( t = x ( t + ( t z ( t είναι μία διανυσματική + Nα αποδείξετε ότι: d 1 1
Διαβάστε περισσότεραPaprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS
Paprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS prof. Artūras Štikonas Paskaitų kursas Matematikos ir informatikos fakultetas Taikomosios matematikos institutas, Diferencialinių lygčių katedra Naugarduko g. 24, LT-3225
Διαβάστε περισσότεραΦυσική για Μηχανικούς
Φυσική για Μηχανικούς Απλή Αρμονική Ταλάντωση Εικόνα: Σταγόνες νερού που πέφτουν από ύψος επάνω σε μια επιφάνεια νερού προκαλούν την ταλάντωση της επιφάνειας. Αυτές οι ταλαντώσεις σχετίζονται με κυκλικά
Διαβάστε περισσότεραΔιαφορικές Εξισώσεις.
Διαφορικές Εξισώσεις. Εαρινό εξάμηνο 2015-16. Λύσεις του έβδομου φυλλαδίου ασκήσεων. 1. Λύστε την παρακάτω δ.ε. με τη δοσμένη αρχική συνθήκη. Σχεδιάστε τις χαρακτηριστικές καθώς και το γράφημα της λύσης
Διαβάστε περισσότεραAlterazioni del sistema cardiovascolare nel volo spaziale
POLITECNICO DI TORINO Corso di Laurea in Ingegneria Aerospaziale Alterazioni del sistema cardiovascolare nel volo spaziale Relatore Ing. Stefania Scarsoglio Studente Marco Enea Anno accademico 2015 2016
Διαβάστε περισσότεραΑπειροστικός Λογισμός ΙΙ, εαρινό εξάμηνο Φυλλάδιο ασκήσεων επανάληψης.
Απειροστικός Λογισμός ΙΙ, εαρινό εξάμηνο 2016-17. Φυλλάδιο ασκήσεων επανάληψης. 1. Για καθεμία από τις παρακάτω συναρτήσεις ελέγξτε βάσει του ορισμού της παραγωγισιμότητας αν είναι παραγωγίσιμη στο αντίστοιχο
Διαβάστε περισσότεραm i N 1 F i = j i F ij + F x
N m i i = 1,..., N m i Fi x N 1 F ij, j = 1, 2,... i 1, i + 1,..., N m i F i = j i F ij + F x i mi Fi j Fj i mj O P i = F i = j i F ij + F x i, i = 1,..., N P = i F i = N F ij + i j i N i F x i, i = 1,...,
Διαβάστε περισσότεραĮžanginių paskaitų medžiaga iš knygos
MATEMATINĖ LOGIKA Įžanginių paskaitų medžiaga iš knygos Aleksandras Krylovas. Diskrečioji matematika: vadovėlis aukštųjų mokyklų studentams. Vilnius: Technika, 2009. 320 p. ISBN 978-9955-28-450-5 1 Teiginio
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 3 dalis
Matematika 1 3 dalis Vektorių algebros elementai. Vektorių veiksmai. Vektorių skaliarinės, vektorinės ir mišriosios sandaugos ir jų savybės. Vektoriai Vektoriumi vadinama kryptinė atkarpa. Jei taškas A
Διαβάστε περισσότερα2008 m. matematikos valstybinio brandos egzamino VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija
008 M MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA 008 m matematikos valstybinio brandos egzamino VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija 7 uždavinių atsakymai I variantas Užd
Διαβάστε περισσότερα06 Geometrin e optika 1
06 Geometrinė optika 1 0.1. EIKONALO LYGTIS 3 Geometrinėje optikoje įvedama šviesos spindulio sąvoka. Tai leidžia Eikonalo lygtis, kuri išvedama iš banginės lygties monochromatinei bangai - Helmholtco
Διαβάστε περισσότεραΠ Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α
Α Ρ Χ Α Ι Α Ι Σ Τ Ο Ρ Ι Α Π Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α Σ η µ ε ί ω σ η : σ υ ν ά δ ε λ φ ο ι, ν α µ ο υ σ υ γ χ ω ρ ή σ ε τ ε τ ο γ ρ ή γ ο ρ ο κ α ι α τ η µ έ λ η τ ο ύ
Διαβάστε περισσότεραΦυσική για Μηχανικούς
Φυσική για Μηχανικούς Εικόνα: Σταγόνες νερού που πέφτουν από ύψος επάνω σε μια επιφάνεια νερού προκαλούν την ταλάντωση της επιφάνειας. Αυτές οι ταλαντώσεις σχετίζονται με κυκλικά κύματα που απομακρύνονται
Διαβάστε περισσότεραAx = b. 7x = 21. x = 21 7 = 3.
3 s st 3 r 3 t r 3 3 t s st t 3t s 3 3 r 3 3 st t t r 3 s t t r r r t st t rr 3t r t 3 3 rt3 3 t 3 3 r st 3 t 3 tr 3 r t3 t 3 s st t Ax = b. s t 3 t 3 3 r r t n r A tr 3 rr t 3 t n ts b 3 t t r r t x 3
Διαβάστε περισσότεραOdred eni integrali. Osnovne osobine odred enog integrala: f(x)dx = 0, f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx.
Odred eni integrli Osnovne osobine odred enog integrl: fx), fx) fx) b c fx), fx) + c fx), 4 ) b αfx) + βgx) α fx) + β gx), 5 fx) F x) b F b) F ), gde je F x) fx), 6 Ako je f prn funkcij fx) f x), x R ),
Διαβάστε περισσότεραA 1 A 2 A 3 B 1 B 2 B 3
16 0 17 0 17 0 18 0 18 0 19 0 20 A A = A 1 î + A 2 ĵ + A 3ˆk A (x, y, z) r = xî + yĵ + zˆk A B A B B A = A 1 B 1 + A 2 B 2 + A 3 B 3 = A B θ θ A B = ˆn A B θ A B î ĵ ˆk = A 1 A 2 A 3 B 1 B 2 B 3 W = F
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 1 Πραγματικοί Αριθμοί 1.1 Σύνολα
x + = 0 N = {,, 3....}, Z Q, b, b N c, d c, d N + b = c, b = d. N = =. < > P n P (n) P () n = P (n) P (n + ) n n + P (n) n P (n) n P n P (n) P (m) P (n) n m P (n + ) P (n) n m P n P (n) P () P (), P (),...,
Διαβάστε περισσότεραr r t r r t t r t P s r t r P s r s r r rs tr t r r t s ss r P s s t r t t tr r r t t r t r r t t s r t rr t Ü rs t 3 r r r 3 rträ 3 röÿ r t
r t t r t ts r3 s r r t r r t t r t P s r t r P s r s r P s r 1 s r rs tr t r r t s ss r P s s t r t t tr r 2s s r t t r t r r t t s r t rr t Ü rs t 3 r t r 3 s3 Ü rs t 3 r r r 3 rträ 3 röÿ r t r r r rs
Διαβάστε περισσότερα2.5. KLASIKINĖS TOLYDŽIŲ FUNKCIJŲ TEOREMOS
.5. KLASIKINĖS TOLYDŽIŲ FUNKCIJŲ TEOREMOS 5.. Pirmoji Bolcao Koši teorema. Jei fucija f tolydi itervale [a;b], itervalo galuose įgyja priešigų želų reišmes, tai egzistuoja tos tašas cc, ( ab ; ), uriame
Διαβάστε περισσότεραMatematinės analizės konspektai
Matematinės analizės konspektai (be įrodymų) Marius Gedminas pagal V. Mackevičiaus paskaitas 998 m. rudens semestras (I kursas) Realieji skaičiai Apibrėžimas. Uždarųjų intervalų seka [a n, b n ], n =,
Διαβάστε περισσότεραΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 3//7/2013 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ
ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 3//7/013 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΤΗΣ: ΒΑΡΣΑΜΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΩΡΕΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 Σώμα μάζας m=0.1 Kg κινείται σε οριζόντιο δάπεδο ευθύγραμμα με την
Διαβάστε περισσότεραMATEMATINĖ LOGIKA. Įžanginių paskaitų medžiaga iš knygos
MATEMATINĖ LOGIKA Įžanginių paskaitų medžiaga iš knygos Aleksandras Krylovas. Diskrečioji matematika: vadovėlis aukštųjų mokyklų studentams. Vilnius: Technika, 2009. 320 p. ISBN 978-9955-28-450-5 Teiginio
Διαβάστε περισσότερα4.1 Skaliarinė sandauga erdvėje R n Tarkime, kad duota vektorinė erdvė R n. Priminsime, kad šios erdvės elementai yra vektoriai vektoriu
IV DEKARTO KOORDINAČIU SISTEMA VEKTORIAI 41 Skaliarinė sandauga erdvėje R n Tarkime, kad duota vektorinė erdvė R n Priminsime, kad šios erdvės elementai yra vektoriai α = (a 1,, a n ) Be mums jau žinomu
Διαβάστε περισσότερα(ii) x[y (x)] 4 + 2y(x) = 2x. (vi) y (x) = x 2 sin x
ΕΥΓΕΝΙΑ Ν. ΠΕΤΡΟΠΟΥΛΟΥ ΕΠΙΚ. ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙΙ» ΠΑΤΡΑ 2015 1 Ασκήσεις 1η ομάδα ασκήσεων 1. Να χαρακτηρισθούν πλήρως
Διαβάστε περισσότεραd 2 y dt 2 xdy dt + d2 x
y t t ysin y d y + d y y t z + y ty yz yz t z y + t + y + y + t y + t + y + + 4 y 4 + t t + 5 t Ae cos + Be sin 5t + 7 5 y + t / m_nadjafikhah@iustacir http://webpagesiustacir/m_nadjafikhah/courses/ode/fa5pdf
Διαβάστε περισσότερα( () () ()) () () ()
ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ /011 1 Έστω r = r( t = ( x( t, ( t, z( t, t I = [ a, b] συνάρτηση C τάξης και r = r( t = r ( t = x ( t + ( t z ( t είναι μία διανυσματική + Nα αποδείξετε ότι:
Διαβάστε περισσότεραFDMGEO4: Antros eilės kreivės I
FDMGEO4: Antros eilės kreivės I Kęstutis Karčiauskas Matematikos ir Informatikos fakultetas 1 Koordinačių sistemos transformacija Antrosios eilės kreivių lgtis prastinsime keisdami (transformuodami) koordinačių
Διαβάστε περισσότεραKetvirtos eilės Rungės ir Kutos metodo būsenos parametro vektoriaus {X} reikšmės užrašomos taip:
PRIEDAI 113 A priedas. Rungės ir Kuto metodas Rungės-Kutos metodu sprendiamos diferencialinės lygtys. Norint skaitiniu būdu išspręsti diferencialinę lygtį, reikia žinoti ieškomos funkcijos ir jos išvestinės
Διαβάστε περισσότεραΛΥΣΕΙΣ 6. a2 x 2 y 2. = y
ΛΥΣΕΙΣ 6. Οι ασκήσεις από το βιβλίο των Marsden - romba. 7.5. Θεωρούμε την παραμετρικοποίηση rx, y = x, y, a 2 x 2 y 2, όπου το x, y διατρέχει τον δίσκο στο xy-επίπεδο που ορίζεται από την x 2 +y 2 a 2.
Διαβάστε περισσότεραMesh Parameterization: Theory and Practice
Mesh Parameterization: Theory and Practice Kai Hormann, Bruno Lévy, Alla Sheffer To cite this version: Kai Hormann, Bruno Lévy, Alla Sheffer. Mesh Parameterization: Theory and Practice. This document is
Διαβάστε περισσότεραΟλοκλήρωση. Ολοκληρωτικός Λογισμός μιας μεταβλητής Ι
Ολοκλήρωση Ολοκληρωτικός Λογισμός μιας μεταβλητής Ι Το ζητούμενο Είδαμε μεθόδους υπολογισμού για το πώς μεταβάλλονται οι συναρτήσεις στιγμιαία. Αν αθροίσουμε αυτές τις στιγμιαίες μεταβολές θα έχουμε ένα
Διαβάστε περισσότεραΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ. Θετικής - Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Φυσική Γ Λυκείου ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ. Επιμέλεια: ΘΕΟΛΟΓΟΣ ΤΣΙΑΡΔΑΚΛΗΣ
ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ Θετικής - Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Φυσική Γ Λυκείου Επιμέλεια: ΘΕΟΛΟΓΟΣ ΤΣΙΑΡΔΑΚΛΗΣ e-mail: info@iliaskos.gr www.iliaskos.gr - f= f= f t+ 0 ) max
Διαβάστε περισσότεραΚβαντομηχανική Ι Λύσεις προόδου. Άσκηση 1
Κβαντομηχανική Ι Λύσεις προόδου Άσκηση 1 ψ(x) = A Sin (k x), < x < α) Sin (k x) = eikx e ikx i Mε πιθανές τιμές ορμής p = ± ħk, από τον τύπο του De Broglie. Kαθεμιά έχει πιθανότητα 50%. b) p = ψ p ψ =
Διαβάστε περισσότεραx(t) = (x 1 (t), x 1 (t),..., x n (t)) R n R [a, b] t 1:1 c 2 : x(t) = (x(t), y(t)) = (cos t, sin t), t 0, π ]
συνεχές τόξο (arc) - τροχιά R [a, b] t 1:1 επί x(t) = (x 1 (t), x 1 (t),..., x n (t)) R n x i (t), i = 1, 2,..., n συνεχείς συναρτήσεις, π.χ c 1 : x(t) = (x(t), y(t)) = (1 t, 1 t), t [0, 1] [ c 2 : x(t)
Διαβάστε περισσότεραŁs t r t rs tø r P r s tø PrØ rø rs tø P r s r t t r s t Ø t q s P r s tr. 2stŁ s q t q s t rt r s t s t ss s Ø r s t r t. Łs t r t t Ø t q s
Łs t r t rs tø r P r s tø PrØ rø rs tø P r s r t t r s t Ø t q s P r s tr st t t t Ø t q s ss P r s P 2stŁ s q t q s t rt r s t s t ss s Ø r s t r t P r røs r Łs t r t t Ø t q s r Ø r t t r t q t rs tø
Διαβάστε περισσότεραΦυσική για Μηχανικούς
Φυσική για Μηχανικούς Απλή Αρμονική Ταλάντωση Εικόνα: Σταγόνες νερού που πέφτουν από ύψος επάνω σε μια επιφάνεια νερού προκαλούν την ταλάντωση της επιφάνειας. Αυτές οι ταλαντώσεις σχετίζονται με κυκλικά
Διαβάστε περισσότεραIV. FUNKCIJOS RIBA. atvira. intervala. Apibrėžimas Sakysime, kad skaičius b yra funkcijos y = f(x) riba taške x 0, jei bet kokiam,
41 Funkcijos riba IV FUNKCIJOS RIBA Taško x X aplinka vadiname bet koki atvira intervala, kuriam priklauso taškas x Taško x 0, 2t ilgio aplinka žymėsime tokiu būdu: V t (x 0 ) = ([x 0 t, x 0 + t) Sakykime,
Διαβάστε περισσότερα1 String with massive end-points
1 String with massive end-points Πρόβλημα 5.11:Θεωρείστε μια χορδή μήκους, τάσης T, με δύο σημειακά σωματίδια στα άκρα της, το ένα μάζας m, και το άλλο μάζας m. α) Μελετώντας την κίνηση των άκρων βρείτε
Διαβάστε περισσότεραΕΡΓΑΣΙΑ 6. Ημερομηνία Παράδοσης: 29/6/09
ΕΡΓΑΣΙΑ 6 Ημερομηνία Παράδοσης: 9/6/9 1. Ένας ομογενώς φορτισμένος μονωτικός κυκλικός δίσκος ακτίνας με συνολικό φορτίο τοποθετείται στο επίπεδο xy. Να βρείτε το ηλεκτρικό πεδίο σε σημείο P που βρίσκεται
Διαβάστε περισσότεραRemigijus Leipus. Ekonometrija II. remis
Remigijus Leipus Ekonometrija II http://uosis.mif.vu.lt/ remis Vilnius, 2013 Turinys 1 Trendo ir sezoniškumo vertinimas bei eliminavimas 4 1.1 Trendo komponentės vertinimas ir eliminavimas........ 4 1.2
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : ΕΝΑΛΛΑΣΣΟΜΕΝΟ ΡΕΥΜΑ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : ΕΝΑΛΛΑΣΣΟΜΕΝΟ ΡΕΥΜΑ 1 Μια μαθηματική συνάρτηση f(t) χαρακτηρίζεται ως εναλλασσόμενη όταν: Όταν η τιμή παίρνεις θετικές και αρνητικές τιμές (εναλλάσσεται) σε σχέση με το χρόνο. Όταν η εναλλαγή
Διαβάστε περισσότερα(i) f(x, y) = xy + iy (iii) f(x, y) = e y e ix. f(z) = U(r, θ) + iv (r, θ) ; z = re iθ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ (ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ) 6 Νοεμβρίου 07 Αναλυτικές συναρτήσεις Άσκηση (i) Δείξτε ότι η συνάρτηση f(z) είναι αναλυτική σε χωρίο D του μιγαδικού επιπέδου εάν και μόνο εάν η if(z) είναι αναλυτική
Διαβάστε περισσότερα!"#$ % &# &%#'()(! $ * +
,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + ,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + 6 7 57 : - - / :!", # $ % & :'!(), 5 ( -, * + :! ",, # $ %, ) #, '(#,!# $$,',#-, 4 "- /,#-," -$ '# &",,#- "-&)'#45)')6 5! 6 5 4 "- /,#-7 ",',8##! -#9,!"))
Διαβάστε περισσότεραQ π (/) ^ ^ ^ Η φ. <f) c>o. ^ ο. ö ê ω Q. Ο. o 'c. _o _) o U 03. ,,, ω ^ ^ -g'^ ο 0) f ο. Ε. ιη ο Φ. ο 0) κ. ο 03.,Ο. g 2< οο"" ο φ.
II 4»» «i p û»7'' s V -Ζ G -7 y 1 X s? ' (/) Ζ L. - =! i- Ζ ) Η f) " i L. Û - 1 1 Ι û ( - " - ' t - ' t/î " ι-8. Ι -. : wî ' j 1 Τ J en " il-' - - ö ê., t= ' -; '9 ',,, ) Τ '.,/,. - ϊζ L - (- - s.1 ai
Διαβάστε περισσότεραB G [0; 1) S S # S y 1 ; y 3 0 t 20 y 2 ; y 4 0 t 20 y 1 y 2 h n t: r = 10 5 ; a = 10 6 ei n = ỹi n y i t n ); i = 1; 3: r = 10 5 ; a = 10 6 ei n = ỹi n y i t n ); i = 2; 4: r = 10 5 ; a = 10 6 t = 20
Διαβάστε περισσότεραΣυνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι ΣΔΕ Bernoulli, Riccati, Ομογενείς. Διαφορικές Εξισώσεις Bernoulli, Riccati και Ομογενείς
Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι ΣΔΕ Bernoulli, Riccati, Ομογενείς Διαφορικές Εξισώσεις Bernoulli, Riccati και Ομογενείς Οι εξισώσεις Bernoulli αποτελούν την κλάση των μη γραμμικών διαφορικών εξισώσεων
Διαβάστε περισσότερα