Labai svarbi tiesiniu operatoriu šeima kompaktiškieji operatoriai. Jiems skirtas paskutinysis?? skyrelis.

Transcript

1 13 pskit 13.1 Tiesinii opertorii Šime skyriuje ngrinėjmos normuotu ju erdviu tiesinės funkcijos tiesinii opertorii. Bigtinės dimensijos erdvėms, kip mtysime, jie pršomi mtricomis. Tigi tiesiniu opertoriu teorij yr ntūrlus mtricu teorijos pibendrinims bstrkčioms tiesinėms erdvėms. Tip tvirkštinis opertorius (jm skirts?? skyrelis) pibendrin tvirkštinę mtricą, jungtinis opertorius (jm skirts?? skyrelis) trnsponuotą mtricą. Tikydmi Bero teoremą pie ktegorijs, įrodysime kertinius funkcinės nlizės rezulttus: tolygiojo prėžtumo principą ir uždrojo grfiko teoremą. Lbi svrbi tiesiniu opertoriu šeim kompktiškieji opertorii. Jiems skirts pskutinysis?? skyrelis Sąvokos ir svybės Trkime, E, F tiesinės normuotos erdvės virš to pties skliru kūno K, T funkcij, pibrėžt ibėje D(T ) E ir įgyjnti reikšmes erdvėje F. Funkcij T vdinm tiesiniu opertoriumi, jei ibė D(T ) yr tiesinė; T (αx + βy) = αt (x) + βt (y) su bet kuriis x, y D(T ) ir α, β K. Vietoj T (x) ršysime T x, jei tik ti nekels pinivos. Aibė D(T ) vdinm opertorius T pibrėžimo sritimi, o ibė R(T ) = {T x : x D(T )} = T (D(T )) reikšmiu ibe. Priminsime, kd tvizdis T : D(T ) F yr tolydus tške x D(T ), jei kiekvieną ε > 0 titink toks δ > 0, kd T x T y ε, ki y D(T ) ir x y < δ. Atvizdis T tolydus, jei jis tolydus kiekvienme tške.

2 Ptikrinti tolydumą džni lengviu psinudojus ekvivlenčiu pibrėžimu ribu terminis: T tolydus tške x td ir tik td, ki lim n T x n = T x su kiekvien sek (x n ) D(T ), kurios rib lim n x n = x. Atvizdis T vdinm prėžtu, jei jis kiekvieną prėžtą ibę tvizduoj į prėžtą teorem. Jei F : D(T ) F tiesinis opertorius, ti šie teiginii yr ekvivlentūs: 1) T tolydus nulyje; 2) T tolydus; 3) T prėžts; 4) egzistuoj toks skičius M 0, kd T (x) M x, su visis x D(T ). Įrodyms. Šios teoremos įrodyms ekvivlentus?? teoremos įrodymui, todėl pliekms skitytojui vietoj prtimo. Remintis 13.1 teorem, tiesinim tolydžim opertoriui T : D(T ) F, skičius T = inf{m 0 : T x M x su visis x D(T )} yr bigtinis. Jis vdinms opertorius T norm. Džni nudojmi šie ekvivlentūs opertorius normos pibrėžimi: T = T = T = sup T x ; x D(T ): x =1 T x sup x D(T ):x 0 x ; sup T x. x D(T ): x 1 Iš opertorius normos pibrėžimo išpluki nelygybė T x T x teising su visis x D(T ). (13.1) Dvieju opertoriu S : D(S) F ir T : D(T ) F sum S + T pibrėžt ibėje D(S + T ) = D(S) D(T ): (S + T )(x) = Sx + T x, x D(S + T ). 2

3 Skliro α K ir opertorius T : D(T ) F sndug αt pibrėžt ibėje D(T ) : (αt )(x) = αt x, x D(T ). Lengv įsitikinti, kd tiesiniu tolydžiu opertoriu sum yr tiesinis tolydus opertorius ir jo normi teisings įvertis S + T S + T. (13.2) Tikri, trkime, opertorii S : D(S) F, T : D(T ) F yr tiesinii tolydūs. Imdmi x D(S) D(T ) su norm x 1, gunme (T + S)x = T x + Sx T x + Sx T + S. Vdinsi, opertorius (T + S) yr prėžts ir jo normi teising (13.2) nelygybė. Tip pt lengv ptikrinti, kd αt yr tiesinis tolydus opertorius, jei T tiesinis tolydus ir α K. Be to, αt = α T. Trkime, E, F, G normuotos erdvės, T : E F, S : F G tiesinii opertorii. Jei D(S) R(T ), ti sndug ST vdinms opertorius pibrėžts lygybe ST (x) = S(T x), ki x D(T ) E. Akivizdu, kd opertorius ST tvizduoj erdvę E į erdvę G ir yr tiesinis. Jis tolydus, jei bu opertorii T ir S tolydūs. Šiuo tveju ST S T. Anlogiški glime pibrėžti sumą ir sndugą dugiu nei dvieju opertoriu Tiesiniu tolydžiu opertoriu pvyzdžii 13.1 pvyzdys. Normuotoje erdvėje E pibrėžkime I E x = x, ki x E. Opertorius I E : E E vdinms tptinguoju. Akivizdu, kd jis yr tiesinis tolydus ir jo norm lygi vienm pvyzdys. Šime pvyzdyje išngrinėsime bigtinimčiu erdviu tiesinius opertorius. Pirmiusi įrodysime šį rezulttą. 3

4 13.2 teorem. Jei E bigtinimtė erdvė, ti kiekviens tiesinis opertorius T : E F tolydus. Įrodyms. Skykime, dim E = m ir {e 1, e 2,..., e m } erdvės E bzė. Imkime bet kurį x E ir konverguojnčią į x seką (x n ) E. Trkime, x = m α ke k ir x n = m α nke k, n N. Kdngi konvergvims bigtinimtėje erdvėje yr ekvivlentus kiekvienos koordinčiu sekos konvergvimui, ti lim n α nk = α k, ki k = 1,..., m. Kit vertus, jei T : E F tiesinis opertorius, ti T x = m α kt e k ir T x n = m α nkt e k. Iš šiu išrišku mtome, kd lim T x n = n t.y. opertorius T tolydus. lim α nkt e k = n α k T e k = T x, Dbr, trkime, bi erdvės E ir F yr bigtinimtės m = dim E, n = dim F. Tegu e 1,..., e m E erdvės E bzė, o f 1,..., f n F erdvės F bzė. Jei x E, o y F ti x = x k e k, y = y k f k. Ngrinėkime tiesinį opertoriu T : E F ir trkime, T x = y. Tiesiškums reiški, kd ( m ) y = T x k e k = x k T (e k ). Kiekvieną elementą T e k užršę bzėje (f j ), gunme y = T (e k ) = y j f j = t jk f j, k = 1,..., m, x k T (e k ) = ( m t jk x k )f j. 4 ( ) x k t jk f j =

5 Kdngi bzės elementi f 1,..., f n tiesiški nepriklusomi, ti iš pstrosios nelygybės išvedmme tokį sąryšį trp elementu x ir y = T x koordinčiu : y j = t jk x k, j = 1,..., n. Ti yr, elemento y koordintes y 1,..., y n gunme elemento x koordintes x 1,..., x m pveikę mtric t 11 t 12 t 1m t 21 t 22 t 2m A =..., t n1 t n2 t nm y 1 x 1 y 2 x 2. y n = A. x m. Tigi, kiekvieną tiesinį opertoriu T : E F titink m n mtric A = (t ij ). Ir tvirkščii, kiekvieną m n mtricą (t ij ) titink tiesinis opertorius T : E F, pibrėžts formule T x = t kj x k f j, ki x = m x ke k. Tip, bigtinimčiu tiesiniu erdviu tiesinius opertorius įprst sutptinti su juos titinknčiomis mtricomis, t. y. T = (t jk ). Opertorius T = (t kj ) norm prikluso nuo erdviu E ir F normu. Išngrinėkime porą tveju. Priminsime, kd erdvę R n su norm x = mx k x k, ki x = (x k ), žymime l m, o su norm x = m x k l m 1. ) Ngrinėkime T = (t jk ) : l m l n. Įrodysime, kd Pžymėkime T = mx j L = mx j t jk. t jk. 5

6 Kdngi T x = mx j y j mx j t jk x k x mx j t jk = L x, ti, T L. Tegu j 0 yr toks indekss su kuriuo L = m t j 0 k. Vektoriu x 0 = (x 01,..., x 0m ) pibrėškime imdmi Akivizdu, kd x 0 = 1. Todėl x 0k = signt j0 k, k = 1,..., m. m T T x 0 = mx t jk x 0k t j0 kx 0k = j b) Ngrinėkime T = (t jk ) : l m 1 ln 1. Šiuo tveju Pžymėkime Vėl glime vertinti T x = y j T = mx k M = mx k t jk. t jk. t jk x k todėl T M. Tegu k 0 yr toks indekss su kuriuo M = t jko. t j0 k = L. ( ) t jk x k M x, Pėmę vektoriu x 0 = (0,..., 0, 1, 0,..., 0), ki vienetuks yr k 0 vietoje, gunme T T x 0 = t jk x 0k = M. 6

7 13.3 pvyzdys. Opertorius T L(E, F) vdinms bigtinimčiu, jei jo reikšmiu ibė yr bigtinimtė, t.y. dim R(T ) <. Imkime opertoriu T : E F, T = z 0 f 0, ki f 0 E, z 0 F, pibrėžtą formule T x = z 0 f 0 (x) = f 0 (x)z 0, x E. Akivizdu, kd T yr tiesinis tolydus ir jo norm z 0 f 0 = z 0 f teiginys. Opertorius T L(E, F) bigtinimtis td ir tik td, ki jis išreiškims bigtine sum T = či z 1,..., z n F, f 1,..., f n E. z k f k, (13.3) Įrodyms. Pknkmums. Akivizdu, kd opertorius, pršoms (13.3) formule yr bigtinimtis. Būtinums. Trkime, dim(r(t )) = n. Kdngi R(T ) tiesinė erdvė, egzistuoj tokiu n tiesiški nepriklusomu vektoriu, skykime, z 1,..., z n, kd kiekvieną y R(T ) vienreikšmiški glime išreikšti y = T x = k z k. (13.4) Remintis?? išvd, elementms z 1,..., z n egzistuoj funkcionli g 1,..., g n F, kurie tenkin lygybes g k (z j ) = δ kj, k, j = 1,..., n. Todėl k = g k (T x) su kiekvienu k = 1,..., n. f k : E K, imdmi Apibrėžkime funkcionlus f k (x) = g k (T x), x E, k = 1,..., n. Nesunku įsitikinti, kd f k E su visis k = 1,..., n. Dbr (13.3) išpluki iš (13.4). Bigtinimčii opertorii yr tolydūs. Ti kivizdu iš tik ką įrodytos ju reprezentcijos teoremos. 7

8 Lbi reikšmingą vietą tiesiniu tolydžiu ju opertoriu teorijoje užim integrlinii opertorii, veikintys funkciju erdvėse. Pprsčiusis integrlinis opertorius funkciji f, pibrėžti intervle [, b] (či inetervls [, b] gli tip pt būti (, ), (, b] rb [, )), priskiri funkciją Kf pgl formulę Kf(s) = k(s, t)f(t)dt, s [, b]. (13.5) Dvieju rgumentu funkcij k vdinm integrlinio opertorius K brnduoliu. Atsižvelgint į brduolio svybes, gunmi opertorii veikintys įviriose funkciju erdvėse. Jie vdinmi integrliniis Fredholmo opertoriis. Keletą pvyzdžiu išngrinėsime detliu pvyzdys. Šime pvyzdyje integrlinį Fredholmo opertoriu pibrėšime tolydiniu funkciju erdvėje C[, b]. Skykime, k : [, b] [, b] R tolydžioji funkcij. (13.5) lygtimi, ki f C[, b], pibrėžims tiesinis tolydus opertorius K : C[, b] C[, b]. Be to, K = mx s b Opertorius K tiesiškums kivizdus. Pžymėkime Iš nelygybės Kf mx s b M = mx s b k(s, t) dt. (13.6) k(s, t) dt. k(s, t)f(t)dt f mx s b k(s, t) dt = M f išpluki opertorius T tolydums ir įvertis K M. Liek įrodyti priešingą nelygybę. Kdngi integrls k(s, t) dt yr tolydi rgumento s funkcij, ti egzistuoj toks s 0 [, b] su kuriuo M = k(s 0, t) dt. Ngrinėkime funkcionlą F : C[, b] R, pibrėžtą formule F (f) = k(s 0, t)f(t)dt, f C[, b]. 8

9 Psinudoję?? pvyzdžiu, su kiekvienu ε > 0 rsime tokią funkciją f ε C[, b], kd f ε 1 ir F (f ε ) F ε = Tigi K K(f ε ) k(s 0, t) dt ε = M ε. k(s 0, t)f ε (t)dt M ε. Kdngi ε > 0 lisvi psirenkms, ti K M ir (13.6) lygybė įrodyt pvyzdys. Šime pvyzdyje integrlinį Fredholmo opertoriu ngrinėsime integruojmu funkciju erdvėje L 1 (, b). Pprstumo dėlei vėl trkime, kd funkcij k : [, b] [, b] R tolydi. Susilpninti šią sąlygą pliekme skitytojui vietoj prtimo. Lygtimi (13.5) ki f L 1 (, b), pibrėžims tiesinis tolydus opertorius K 1 : L 1 (, b) L 1 (, b), kurio norm yr K 1 = mx t b k(s, t) ds. (13.7) Akivizdu, kd opertorius K 1 pibrėžts korektiški, t. y., K 1 f L 1 (, b) su visomis f L 1 (, b). Jo tiesiškums tip pt kivizdus. Pžymėkime M 1 = mx t b k(s, t) ds. Pritikę Fubinio teoremą pie integrvimo tvrkos sukeitimą, išvedme K 1 f = k(s, t)f(t)dt ds [ ] k(s, t) ds f(t) dt M 1 f, su visis f L 1 (, b). Vdinsi, K 1 M 1. Kip ir pereitme pvyzdyje, prinkime t 0 [, b] tokį, kd M 1 = k(s, t 0 ) ds. Psinudoję funkcijos k tolydumu, kiekvienm ε > 0 rsime tokį δ > 0, kd k(s, t ) k(s, t) < ε, ki s s < δ, t t < δ. 9

10 Trkime, tški t 1, t 2 [, b] yr tokie, kd t 0 [t 1, t 2 ] ir 0 < t 2 t 1 < δ. Apibrėžkime funkciją f 0 (t) = { 1 t 2 t 1, ki t [t 1.t 2 ], 0, kitur. Akivizdu, kd funkcij f 0 L 1 (, b) ir jos norm f 0 = 1. Todėl K 1 K 1 f 0 = 1 t 2 t 1 1 t 2 t 1 t2 t 1 t2 t 1 k(s, t)f 0 (t)dt ds = k(s, t)dt ds 1 t 2 t 1 t2 t 1 k(s, t 0 )dt ds k(s, t 0 ) k(s, t) dtds = M 1 ε(b ). Iš či išpluki, K 1 M 1 ir tuo pčiu (13.7). Atskirs integrliniu Fredholmo opertoriu tvejis yr integrlinii Voltero opertorii, nuskomi lygybe K 2 f(s) = s k(s, t)f(t)dt, s [, b]. (13.8) Juos glime interpretuoti kip Fredholomo opertorius su tokiu brnduoliu k, kurim k(s, t) = 0, ki t > s Erdvė L(E, F) Tiesiniu tolydžiu opertoriu T : E F ibę pžymėkime L(E, F) teorem. Aibė L(E, F) yr tiesinė erdvė, o tvizdis : L(E, F) R opertoriui priskirintis jo normą tos erdvės norm. Be to, jei F Bncho erdvė, ti ir normuot erdvė L(E, F) Bncho. Įrodyms. Ju pereitme skyrelyje įsitikinome, kd erdvė L(E, F) yr tiesinė (S + T L(E, F), αt L(E, F), jei S, T L(E, F), α K). Dbr trkime, F Bncho erdvė ir (T n ) erdvės L(E, F) Koši sek. Skykime, ε > 0 ir N 10

11 toks sveiksis skičius, kd T n T m < ε, ki n, m N. Jeigu x E ir n, m N, ti T n x T m x = (T n T m )x T m T n x ε x. Iš či išpluki, kd (T n x) erdvės F Koši sek. Kdngi erdvė F yr piln, ti sek (T n x) konverguoj. Skykime, T x = lim n T nx. Ši lygybe pibrėžims tvizdis T : E F. Įrodysime, kd T L(E, F) ir lim n T n = T. Skykime, x, y E, α, β K. Remintis pibrėžimu, T (αx + βy) = lim T n(αx + βy) = n α lim T nx + β lim T ny = n n αt x + βt y. Ti įrodo, kd tvizdis T yr tiesinis. Kdngi T x T n x = lim m T mx T n x = lim m (T mx T n x), ti Iš či T x T m x = lim m T mx T n x. T x T n x ε x. Šis įvertis teisings su visis x E ir n N. Tigi T x T x T N x + T N ε x + T N x = (ε + T N ) x. Iš či mtome, kd tvizdis T prėžts, t.y. T L(E, F). Kdngi T n T = jei n N, ti lim n T n = T. sup T n x T x ε, x: x 1 11

12 Tolygiojo prėžtumo princips 13.4 teorem. (Bncho Šteinhuzo.) Skykime, E, F Bncho erdvės, T L(E, F). Jei su kiekvienu x E ibė {T x; T T } prėžt, ti prėžt ir ibė T, t.y. egzistuoj toks bigtinis skičius C > 0, kd T C su visis T T. Įrodyms. Pžymėkime A n = {x E : T x n su visis T T }, n N. Pirmiusi įsitikinkime, kd ibės A n uždros. Jei (x n ) ibės A m elementu konverguojnti sek ir x = lim k x k, ti T x k m su visis T T, k N. Be to, lim k T x k = T x. Iš či mtome, kd T x m. Tigi x A m. Vdinsi, ibė A m uždr. Iš ibiu A m pibrėžimo išpluki, kd E = n=1 A n. Remintis erdvės E pilnumu ir Bero teorem pie ktegorijs, egzistuoj toks m N, kd ibė A m kur nors tiršt erdvėje E, t. y. egzistuoj toks rutulys, skykime, S r (x 0 ), kd S r (x 0 ) A m. Tegu x E, x < r. Kdngi x + x 0 A m, nes x + x 0 S r (x 0 ), ti T x = T (x + x 0 x 0 ) T (x + x 0 ) + T x 0 2m. Imdmi bet kurį x 0, gunme T x = Tigi T 4m/r su visis T T. ( rx ) 2 x T 4m 2 x r r x. Bncho Šteinhuzo teorem tip pt vdinm tolygiojo prėžtumo principu. Lbi svrbios šios jos išvdos išvd. Trkime, E, F Bncho erdvės ir (T n ) L(E, F). Jei su kiekvienu fiksuotu x E sek (T n (x)) konverguoj erdvėje F ti egzistuoj toks skičius C > 0, kd sup T n C. n 12

13 13.2 išvd. Trkime, E Bncho erdvė ir (F n ) E. Jei su kiekvienu fiksuotu x E sek (F n (x)) konverguoj, ti egzistuoj toks skičius C > 0, kd sup F n C. n Uždrojo grfiko teorem Trkime, E, F tiesinės normuotos erdvės, T tiesinis opertorius, pibrėžts ibėje D(T ) E ir reikšmes įgyjntis erdvėje F pibrėžims. Tiesinis opertorius T : D(T ) F vdinms uždruoju, jei su kiekvien toki sek (x n ) D(T ), kd būtini x D(T ) ir T x = y. lim x n = x erdvėje E, n lim T x n = y erdvėje F, n Šį pibrėžimą geriu suprsime įsivedę opertorius grfiko sąvoką. Priminsime, kd E F = {(x, y) : x E, y F} tiesinė normuot erdvė, kurioje tiesinės opercijos ir norm pibrėžimos formulėmis (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 ) = (x 1 + x 2, y 1 + y 2 ), α(x, y) = (αx, αy), (x, y) = x + y. Be to, jei E ir F Bncho erdvės, ti ir erdvė E F Bncho (įsitikinkite) pibrėžims. Aibė G(T ) = {(x, T x) : x D(T )} E F vdinm tvizdžio T grfiku. Teisings toks ekvivlentus uždrojo opertorius pibrėžims lem. Tiesinis opertorius T : D(T ) F yr uždrs td ir tik td, ki jo grfiks G(T ) uždr erdvės E F ibė. 13

14 Įrodyms. Trkime, T uždrsis opertorius ir sek (x n ) D(T ) yr toki, kd lim n x n = x ir lim n T x n = y. Iš lygybės (x n, T x n ) (x, y) = x n x + T x n y (13.9) išpluki lim n (x n, T x n ) = (x, y) erdvėje E F. Kdngi grfiks G(T ) yr uždr tos erdvės ibė, ti (x, y) G(T ). Ti yr x D(T ) ir T x = y. Dbr trkime, ibė G(T ) E F - uždr. Tegu ((x n, T x n )) G(T ) ir lim (x n, T x n ) = (x, y). (13.10) n Iš (13.10) išpluki, kd lim n x n = x ir lim n T x n = y. Pgl prielidą x D(T ) ir T x = y. Tigi (x, y) = (x, T x) G(T ). Akivizdu, kd bet kuris tiesinis tolydus tvizdis T : E F yr uždrs. Atvirkščis teiginys yr šioje uždrojo grfiko teoremoje teorem. Trkime, E, F Bncho erdvės, T : E F uždrs tiesinis tvizdis. Tuomet ) egzistuoj tokios teigimos konstntos M ir r, su kuriomis T x M, ki x r. b) T L(E, F). Įrodyms. Pirmiusi pstebėkime, kd iš (b) išpluki iš (). Tikri, jei x E ir x 0, pėmę z = rx/2 x turime, kd z < r todėl T z M. Bet T z = rt x/2 x, todėl T x 2Mr 1 x. Liek psiremti 13.1 teorem. Norėdmi įrodyti (), pibrėžkime Td E n = {x E : T x < n}, n = 1, 2,... E = E n. n=1 Kdngi E Bncho erdvė, ibė E yr ntrosios ktegorijos pgl Bero teoremą. Vdinsi egzistuoj bent vien ibė, skykime, E k kuri nėr niekur 14

15 netiršt. Ti reiški, kd tos ibės uždrinyje [E k ] yr netuščis rutulys. Skykime, S t (x 0 ) = {x : x x 0 < t} [E k ]. Nemžindmi bendrumo, glime likyti, kd x 0 E k (kitip reiktu centrą šiek tiek pstumti). Iš šio sąryšio išpluki, kd ibė E k x 0 yr tiršt rutulyje S t = {x : x < t}. Tikri, jei x S t ti x + x 0 S t (x 0 ), todėl kiekvieną ε > 0 titink toks z E k su kuriuo x + x 0 z < ε. Pstebėję, kd z x 0 E 2k, ki z E k, nes T (z x 0 ) T z + T x 0 < 2k, gunme, kd E 2k tiršt ibėje S t. Kdngi x E m td ir tik td, ki x/m E 1, ibė E 1 tiršt rutulyje S r = {x : x < r = t/2k} ir su kiekvienu α, ibė E α tiršt rutulyje S αr. Tegu δ (0, 1) lisvi psirenkms skičius. Įrodysime, kd S r E 1/(1 δ). (13.11) To mums ir reiki, nes (13.11) reiški, kd T x < (1 δ) 1, ki x < r. Tegu x S r. Kdngi E 1 tiršt rutulyje S r, egzistuoj x 1 E 1 S r toks, kd x x 1 < δr. Svo ruožtu, ti reiški kd x 1 x S δr. Dbr psinudokime tuo, kd ibė E δ tiršt rutulyje S rδ. Reiški egzistuoj toks x 2 U δ su kuriuo x 2 + x 1 x < δ 2 r, t.y. x 2 + x 1 x S δ 2 r. Tęsdmi šį procesą rsime x n+1 E δ n S δ n r su kuriuo n+1 x k x < δ n+1 r. Kdngi x n+1 E δ n ti T x n+1 δ n. 15

16 Todėl T k x i i=j k i=j j 1 1 δk j+1 T x j δ 1 δ 0 ki k, j. Vdinsi, T k i=1 x i yr Koši sek. Kdngi erdvė F piln, egzistuoj y F prie kurio t sek konverguoj. Kdngi, be to, k x i x < δ k r 0 i=1 ir opertorius T uždrs, ti T x = y. Be to, y T x i i=1 i=1 δ i 1 = 1 1 δ. Teorem įrodyt. 16