Οικονομικά Μαθηματικά Ενότητα 9: Διηνεκείς Ράντες Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής
Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο TEI Δυτικής Μακεδονίας» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3
Σκοποί ενότητας Να κατανοήσει ο φοιτητής τις έννοιες των διηνεκών ράντων. 4
Περιεχόμενα ενότητας Διηνεκείς ράντες. Σχετικά παραδείγματα-ασκήσεις. 5
Διηνεκείς Ράντες (1) Διηνεκείς είναι οι ράντες που το πλήθος των όρων τους είναι άπειρο. Η παρούσα αξία της ληξιπροθέσμου διηνεκούς ράντας, δηλαδή η αξία όλων των όρων της ράντας στην αρχή της ράντας, είναι ίση με την προεξόφληση των όρων της. Έστω ότι καταβάλλεται στο τέλος κάθε περιόδου κεφάλαια αξίας 1 ευρώ, για άπειρες περιόδους με επιτόκιο i. Η παρούσα αξία της ράντα αυτής ισούται με την άθροιση των παρουσών αξιών των αντίστοιχων καταβολών. Για παράδειγμα, η παρούσα αξία ενός ευρώ που θα έχει καταβληθεί στο τέλος της πρώτης περιόδου θα είναι ίση: 6
Διηνεκείς Ράντες (2) Κ 0 =Κ t (1+i) t Κ 0 = 1 (1+i) 1 Επίσης, η παρούσα αξία ενός ευρώ που θα έχει καταβληθεί στο τέλος της δεύτερης περιόδου θα είναι ίση: Κ 0 =Κ t (1+i) t Κ 0 = 1 (1+i) 2 Αν, λοιπόν, θέσουμε όπου 1 (1+i) = y τότε οι παρούσες αξίες των ευρώ που θα έχουν καταβληθεί στο τέλος της πρώτης, της δεύτερης περιόδου, της τρίτης κ.ο.κ θα είναι αντίστοιχα ίσες. Y =1 (1+i) 1, Y 2 =1 (1+i) 2, Y 3 =1 (1+i) 3, Y n-1 =1 (1+i) n-1 Και Y n =1 (1+i) n 7
Διηνεκείς Ράντες (3) Διάγραμμα 1. Διηνεκείς Ράντες Εάν συμβολίσουμε την παρούσα αξία μιας ληξιπρόθεσμης πρόσκαιρης ράντας μιας νομισματικής μονάδας με a j όπου ο άπειρος αριθμός των περιόδων και i το επιτόκιο, τότε η παρούσα ή αλλιώς αρχική αξία a j της παραπάνω ράντα θα ισούται με το άθροισμα των επιμέρους παρουσών αξιών των όρων της ράντας, δηλαδή a jn =(1 (1+i) 1 ) + (1 (1+i) 2 + (1 (1+i) 3 +,...+ (1 (1+i) n-1 + (1 (1+i) n 8
Διηνεκείς Ράντες (4) Ή a j = Υ + Υ 2 + Υ 3 +...+Υ n-1 + Υ n Η παράσταση στο δεύτερο μέλος της εξίσωσης είναι γεωμετρική πρόοδος με πρώτο όρο α = Υ, λόγο λ = Υ. Γνωρίζουμε ότι το άθροισμα μιας γεωμετρικής προόδου είναι ίσο με: Σ = [(α(πρώτος όρος) ] 1-λ (λόγος)) Κατ αντιστοιχία η παρούσα αξία της υπό εξέτασης ράντας θα είναι ίση με: a j =Y + (Y) 2 + (Y) 3 +,...+ (Y) n-1 + (Y) n = Y 1-Y 9
Διηνεκείς Ράντες (5) Διαιρούμε αριθμητή και παρονομαστή με Υ και απλοποιούμε a j = [(Υ Υ] / [(1-Υ) Υ] = 1 (1/Y Υ/Υ) = 1 / ((1/Υ)-1) Ανατικαθιστούμε όπου Υ = 1/ (1+i): a j = 1 (1/(1/ (1+i))-1) = (1/(1+i) -1) ) = 1/i Εάν οι όροι της ράντας είναι ίση με R νομισματικές μονάδες τότε η παρούσα αξία της ράντας θα είναι ίση με: A j = R* a j = R/ i Με ανάλογο τρόπο αποδικνύεται ότι όταν οι όροι R αυξάνονται κάτα σταθερό ρυθμό (ποσοστό) g τότε η παρούσα αξία δίνεται από τον τύπο: A j = R / (i-g) 10
Παράδειγμα 1 1. Μια επιχείρηση θέλει να χορηγεί επ άπειρο βοήθεια 1.0 ευρώ στην τοπική κοινότητα όπου βρίσκεται το εργοστάσιο τής. Αν το ετήσιο επιτόκιο είναι 9% και οι καταβολές γίνονται στο τέλος κάθε χρόνου ποια η αξία της βοηθειας σήμερα. Λύση: R= 1.0 και επιτοκιο i=0,09 Α j = R* a j = R/i = 1.0 / 0,09 = 1.111.111 ευρώ. 11
Παράδειγμα 2 (1) 2. Ένας επενδυτής αγοράζει ένα διαμέρισμα με τη συμφωνία να καταβάλει ετήσιες επιταγές των 20.0 ευρώ, στο τέλος κάθε χρόνου, για τα επόμενα 10 χρόνια. Να βρεθεί το ικανό ετήσιο ύψος ενοικίων στο διηνεκές που θα καλύψει το κόστος αγοράς. Το επιτόκιο αγοράς για το ακίνητο έχει υπολογιστεί στο 7 %. Λύση Η άσκηση περιλαμβάνει μια ληξιπρόθεσμη ράντα, αφορά στις καταβολές των 20.0 και μια διηνεκής καθώς υποθέτουμε ότι τα ενοίκια θα τα εισπράττουμε επ άπειρο. Η ληξιπρόθεσμη ράντα είναι ίση με: 12
Παράδειγμα 2 (2) A 0,07 10 = R* a 0,07 10 *[(1-(1/ (1+i) n ))] / i = 20.0 *[(1-(1/ (1+0,07) 10 ))] / 0,07 A 0,07 10 = 20.0 * [(1-(1/ (1,967151)] / 0,07 = 140.4 ευρώ 13
Παράδειγμα 2 (3) Συνεπώς η αξία του σπιτιού σήμερα (παρούσα αξία) είναι ίση με 140.4 ευρώ. Μέσω της διηνεκούς ράντας αναζητούμε το ύψος των ενοικιών που θα καλύψει την προαναφερόμενη αξία αγοράς των 140.4 ευρώ. Η παρούσα αξία της διηνεκούς ράντας είναι ίση με: Αj = R* aj Α 0,07 = R / I 140.4 = (R /0,07) R=140.4*0,07 = 9.828 ευρώ Επομένως, η αξία αγοράς του σπιτιού (140.4 ευρώ) μπορεί να αποσβεστεί από ετήσιο ενοίκιο αξίας 9.828 ευρώ. 14
Παράδειγμα 3 (1) 3. Μια εταιρία ανέλαβε την πραγματοποίηση έργου κόστους 5.0.0 ευρώ το οποίο υπολογίζεται να αποδίδει 3.0 ευρώ κάθε χρόνο (εισροές). Με ποιο επιτόκιο προεξόφλησης η καθαρή παρούσα αξία του έργου θα είναι 1.5.0 ευρώ. Λύση Στην ενότητα 2.4 είχαμε ορίσει ότι η διαφορά της τρέχουσας (παρούσας) αξίας μιας επένδυσης από το τρέχον κόστος της ονομάζεται Καθαρή Παρούσα Αξία (Κ.Π.Α.). Επιπλέον, υποθέτουμε ότι μια επιχείρηση έχει ισόβια (άπειρη) διάρκεια και επομένως οι εισροές (κέρδη) των 3.0 ευρώ θα λαμβάνονται στο διηνεκές, δηλαδή οι 3.0 ευρώ αντικατοπτρίζουν την παρούσα αξία των κερδών. Συνεπώς, ισχύει η ισοδυναμία: 15
Παράδειγμα 3 (2) ΚΠΑ = Αj - C ΚΠΑ = R/i C 1.5.0 = (3.0 / i) -50 1.5.0 +5.0.0 = = (3.0 / i) i= 3.0 / 6.5.0 = 0,046154 H περιουσία της επιχείρηση θα αυξηθεί, από την ανάληψη του έργου, κατά 1.5.0 ευρώ σε τρέχουσες αξίες, με επιτόκιο προεξόφλησης 4,61%. Να σημειωθεί ότι το επιτόκιο εμπερικλείει τους κινδύνους που συνοδεύουν την επιχείρηση και ως εκ τούτου το 4,61% θεωρείται πολύ χαμηλό. Αν τελικώς το επιτόκιο κινδύνου (της αγοράς) για το έργο είναι μεγαλύτερο η απόδοση θα είναι χαμηλότερη από την αναμενόμενη. 16
Παράδειγμα 4 4. Ο ιδιοκτήτης ακινήτου αναμένει ετήσιο εισόδημα 10.0, στο τέλος κάθε χρόνου, από είσπραξη ενοικίων. Επίσης προσδοκά ότι το εισόδημα αυτό θα αυξάνει 5 % στο διηνεκές. Ποια θα είναι η παρούσα αξία του διαμερίσματος αν το επιτόκιο προεξόφλησης είναι 11 %. Λύση Ό όρος της διηνεκούς ράντας είναι R=10.0, το επιτόκιο i = 11 % και ο ρυθμός αύξησης g = 5%. Α j = R / (i-g) = 10.0 / (0,11-0,05) = 166.667 ευρώ Συνεπώς, η αξία αγοράς του διαμερίσματος θα είναι 166.667 ευρώ. 17
Παράδειγμα 5 (1) 5. Μια εταιρία ανέλαβε ένα έργο το οποίο πρόκειται να ολοκληρωθεί σε 10 έτη με κόστος 50.0 ευρώ στο τέλος κάθε έτους. Οι εισροές από τις δραστηριότητες του έργου θα αρχίσουν να πραγματοποιούνται ένα έτος μετά από την ολοκλήρωσή του. Επίσης, η εταιρία προβλέπει 5 % αύξηση των εισροών (κερδών) κάθε έτος. Αν το επιτόκιο της αγοράς είναι 9 %, ποιο θα πρέπει να είναι το ύψος των εισροών στο πρώτο έτος λειτουργίας για να μπορέσει να καλύψει το κόστος; Λύση Η άσκηση περιλαμβάνει δυο ράντες, η πρώτη είναι ληξιπρόθεσμη, αφορά στο κόστος του έργου, η δεύτερη είναι διηνεκής με σταθερό ρυθμό αύξησης του σχετικού όρου και αφορά στις εισροές του έργου. Η αρχική αξία του κόστους με βάση το ετήσιο κόστος R=50.0, επιτόκιο i = 0,09, για 10 έτη και χρήση του συντελεστή, Α 0,09 10 = R* a 0,06 15 = 50.0 *8,06 = 430.0 ευρώ 18
Παράδειγμα 5 (2) Η δεύτερη ράντα, που αφορά τον προσδιορισμό των εισροών ένα έτος μετά την περίοδο κόστους, είναι διηνεκής με σταθερό ρυθμό ανάπτυξης του όρου της R. Η προεξόφληση των όρων της εν λόγω ράντας με τον γνωστό τύπο Α j = R / (i-g) υπολογίζει την αξία της στο έτος 10 και άρα είναι απαραίτητη η περεταίρω προεξόφληση του αποτελέσματος κατά 10 ακόμη περιόδους, ώστε αυτό να εξισωθεί με την παρούσα αξία του κόστους 403.0. 19
Παράδειγμα 5 (3) Διάγραμμα 2. Διάγραμμα παραδείγματος 5 Παρούσα αξία του κόστους 403.0 = [R / (i-g) ] / (1+i) 10 403.0 = [R / (0,09-0,05) ] / (1,09) 10 Παρούσα αξία Προεξόφληση για 10 έτη του κόστους ισοδυναμία στο έτος 0 403.0* (1,09) 10 = [R / 0,04 ] R = 38.161,9 ευρώ Το έργο θα πρέπει να αποφέρει 38.161,9 ευρώ στο πρώτο έτος λειτουργίας του (11 έτος), με ρυθμό αύξησης των κερδών 5% στο διηνεκές, για να καλυφθεί το κόστος του 403.0 ευρώ. 20
Παράδειγμα 6 (1) 6. Να βρεθεί η αξία των εξαμηνιαίων καταβολών διηνεκούς ράντα που αντικαθιστούν προκαταβλητέα τριμηνιαία ράντα όρου 3.0 ευρώ διάρκειας 5 ετών. Το ονομαστικό επιτόκιο είναι 12% Λύση: Η άσκηση περιλαμβάνει μια διηνεκή ράντα, στην οποία πρέπει να προσδιορίσουμε την αξία των εκαμηνιαίων καταβολών και μια προκαταβλητέα ράντα τριμηνιαίου όρου με ονομαστικό επιτόκιο 12%. Κατ αρχήν, στην προκαταβλητέα ράντα θα προσδιοριστεί το τριμηνιαίο επιτόκιο, αφού οι καταβολές είναι τριμηνιαίες και θα υπολογιστεί η παρούσα αξία με την οποία στην συνέχεια θα εξισωθεί η διηνεκής ράντα. Τρομηνιαίο επιτόκιο= 0,12 / 4 (τρίμηνα του έτους) = 0,03. Ο αριθμός των περιόδων είναι 5 έτη *4 τριμηνα = 20. όρος της ράντας R=3.0. Συντελεστής διόρθωσης (1+i) ώστε η προκαταβλητέα ράντα να μετατραπεί σε ληξιπρόθεσμη. Η παρούσα αξία της προκαταβλητέας ράντας είναι ίση: 21
Παράδειγμα 6 (2) A 0,03 20 = (1+i) * R* a 0,03 20 *[(1-(1/ (1+i) n ))] / i = (1+0,3)*3.0 *[(1-(1/ (1+0,03) 20 ))] / 0,03 A 0,03 20 = 1,03*3.0 * [(1-(1/ (1,806)] / 0,03 = 45.971 ευρώ Συνεπώς, παρούσα αξία της προκαταβλητέας ράντας είναι 44.631 ευρώ. Μέσω της διηνεκούς ράντας αναζητούμε το ύψος των καταβολών που θα καλύψει την προαναφερόμενη αξία αγοράς των 45.971 ευρώ. Ηα παρούσα αξία της διηνεκούς ράντας με επιτόκιο 0,12 / 2 (δίμηνα του έτους) = 0,06 είναι ίση με: 22
Παράδειγμα 6 (3) Α j = R * a j A 0,06 = K/i 45.971= K/0,06 R = 45.971*0,06= 2.758,2 ευρώ. Επομένως, η αξία των εξαμηνιαίων καταβολών θα είναι 2677.86 ευρώ. 23
Βιβλιογραφία Σαριαννίδης, Ν. & Μποντζίδου, Ε. (2010). Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά. ISBN 978-960-92844-0-0. Σόρμας, Α. & Σαριαννίδης, Ν. (2010). Οικονομικά Μαθηματικά. ISBN 978-960-92844-2-4. 24