Συμμετρία μορίων και θεωρία ομάδων

Συμμετρία μορίων και θεωρία ομάδων

Συμμετρία πολυατομικών μορίων Τι μας χρειάζεται; Προβλέπει τη φαματοκοπία και τη υμπεριφορά ατόμων και μορίων Πράξεις Συμμετρίας: κινήεις του μορίου κατά τις οποίες η τελική γεωμετρία του μορίου είναι ίδια με την αρχική.. Ταυτότητα ή : καμία πράξη. Περιτροφή τάξης n, n : περιτροφή ως προς άξονα κατά γωνία π/n b b η γωνία περιτροφής είναι 8 ο π/ άρα n

l l l l N Pt l l 9 o Pt l l 5 l F l Pt B l l F F κύριοι και δευτερεύοντες άξονες περιτροφής. Όλοι οι δευτερεύοντες άξονες είναι υποχρεωτικά κάθετοι προς τον κύριο άξονα.. Κατοπτριαμός ως προς επίπεδο b b

F B F F ó h F B F ó v F ó v ó d ó v h οριζόντιο επίπεδο v κατακόρυφο επίπεδο d διεδρικό ή κατακόρυφο δίεδρο επίπεδο ó d. Πράξη (ανατροφή) ως προς κέντρο υμμετρίας i. b l l i l l b

5. S n : Άξονας τροφοκατοπτριμού.. Περιτροφή n που ακολουθείται από κατοπτριμό ε επίπεδο κάθετο τον άξονα περιτροφής. b b b S S á â á â á â Το επίπεδο δεν είναι απαραίτητο να είναι πραγματικό τοιχείο υμμετρίας ä ä ã ã l l l 8 o ó S h l l l ó h

Θεωρία ομάδων υμμετρίας Ομάδα είναι μία υλλογή πράξεων υμμετρίας που έχει τις εξής ιδιότητες:. Ένα μέλος της είναι η πράξη της ταυτότητας Ε.. Το γινόμενο Α*Β δύο μελών Α και Β μιας ομάδας αποτελεί επίης μέλος της ίδιας ομάδας.. Η πράξη του πολλαπλαιαμού είναι προεταιριτική Α*(Β*Γ)(Α*Β)*Γ ΠΡΟΣΟΧΗ!! Α*Β Β*Α. Για κάθε μέλος (Ζ) της ομάδας υπάρχει αντίτροφος (Ζ ) έτι ώτε Ζ *Ζ Ζ ΖΕ BTAGJ B B T A G J B J G A T T T G B J A A A J G BT GGTAJ B J J A T B G Το τοιχείο της ταυτότητας είναι το Β Υπάρχουν αντίτροφοι, π.χ. Για το J είναι το G διότι J*G G*J B Όλα τα γινόμενα είναι τοιχεία της ομάδας Ιχύει *(T*G) * B και (*Τ)*G J*G B άρα *(T*G) (*Τ)*G

Μεταχηματιμός Ομοιότητας ορίζεται ως το γινόμενων τριών πράξεων, δύο εκ των οποίων είναι αντίτροφες Ζ *Χ*ΖΥ Οι πράξεις Χ και Υ που υνδέονται με μεταχηματιμό ομοιότητας ονομάζονται υζυγείς πράξεις. Η τάξη (clss) είναι το πλήρες ύνολο των υζυγών πράξεων μιας ομάδας. BTAGJ B B T A G J B J G A T T T G B J A A A J G BT GGTAJ B J J A T B G B T A G J Τα G και J είναι υζυγή και ανήκουν την ίδια τάξη. * G * B G Κάθε μέλος της ομάδας είναι υζυγές με τον εαυτόν του. * G * J * G * T J Εάν το Α είναι υζυγές με το Β, τότε και το Β είναι υζυγές * G * A J με το Α. * G * G G * G * J G Εάν το Α είναι υζυγές με τα Β και Γ, τότε τα Β και Γ είναι υζυγή μεταξύ τους.

() () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z N ó () ó () ó () Τάξη Τάξη Τάξη ά ξεις,, () (), (),,,, Τ

Βαθμός (order)( μιας ομάδας είναι ο αριθμός των πράξεων υμμετρίας που περιέχει Βαθμός6 BTAGJ BBTAGJ B J G A T T T G B J A A A J G BT GGTAJ B J J A T B G Υποομάδα είναι ένα υπούνολο των πράξεων μιας ομάδας που αποτελούν μικρότερη ομάδα {Β, } βαθμός {Β,, G, J} βαθμός BTAGJ BBTAGJ B J G A T T T G B J A A A J G BT GGTAJ B J J A T B G BTAGJ B B T A G J B J G A T T T G B J A A A J G BT GGTAJ B J J A T B G BGJTA B B G J T A GGJBTA J JBGAT ATBJG T T A G B J A A T J G B ΠΡΟΣΟΧΗ: Ο βαθμός μιας τυχόν υποομάδας είναι πάντοτε ακέραιος διαιρέτης του βαθμού της κύριας ομάδας π.χ. 6 ** δηλ ή ή

Τάξη και βαθμός ομάδας υμμετρίας Τάξη και βαθμός ομάδας υμμετρίας oμάδα έχει τοιχεία(πράξεις) υμμετρίας:,,,,,, d, d Για να τοποθετήουμε τις πράξεις υμμετρίας ε τάξεις, λαμβάνουμε οποιαδήποτε πράξη υμμετρίας, (π.χ. ) και εκτελούμε όλους τους μεταχηματιμούς ομοιότητας Ζ *Χ*ΖΥ ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( d d d d d ó d ó d ó v ó v Οι πράξεις υμμετρίας και είναι υζυγείς. Επομένως ανήκουν την ίδια τάξη, βαθμού. Η ομάδα έχει 5 τάξεις Ε ;, ; ;, ; d, d

l l l 8 o ó S h * h h * h * n S n S i l l l ó h i F F B F F - o B F F * * n n F F B B F F F F

* * * l l l l l l Pt l l Pt 9 o 8 o l l Pt l l 8 o l l Pt l l ó v ó v Οι άξονες (ή οι πράξεις υμμετρίας) και είναι μη ιοδύναμοι γιατί δεν υπάρχει πράξη υμμετρίας η οποία να μεταφέρει τον ένα άξονα τον άλλο. Όταν n περιττός (άξονας n ), τότε υπάρχουν n ιούναμοι άξονες περιτροφής. l l Pt l l Όταν n άρτος (άξονας n ), τότε υπάρχουν n/ και n / ιοδύναμοι άξονες.

Ομάδες ημειακής υμμετρίας (point( groups) : Ανήκουν μόρια με μόνη πράξη υμμετρίας την ταυτότητα Ε l F N Βαθμός i : Ανήκουν μόρια με πράξεις υμμετρίας Ε και i (κέντρο υμμετρίας) OO O O OO Βαθμός s : Ανήκουν μόρια με πράξεις υμμετρίας Ε και h (επίπεδο υμμετρίας) N Βαθμός

n : Ανήκουν μόρια με πράξεις υμμετρίας Ε και n (άξονας υμμετρίας) Βαθμός è O è Γενικά: Βαθμός n O nv : Ανήκουν μόρια με πράξεις υμμετρίας, n και n v v επίπεδα v Βαθμός O v άξονας v Γενικά: Βαθμός n

Πίνακας πολλαπλαιαμού ή γινομένων της ομάδας v v v v v v v v v v * O b b O O b v v v v v v * v O b b b v O v O v v v v v v v v v v v v v v v v v Πίνακας πολλαπλαιαμού της ομάδας.

nh : Ανήκουν μόρια με πράξεις υμμετρίας, n και ένα h (οριζόντιο) δηλ. επίπεδο υμμετρίας κάθετο τον κύριο άξονα n O l O h Βαθμός l O : O O Βαθμός 6 h n : n- h : S n n * h : n- Βαθμός: n

D n : Ανήκουν μόρια με πράξεις υμμετρίας, n και n άξονες κάθετους τον κύριο άξονα n L L L o L L L D Βαθμός: 6 n περιττός,τότε n ιοδύναμοι άξονες. n άρτιος, τότε n/ και n / ιοδύναμοι άξονες. D nh nh : Ανήκουν μόρια με πράξεις υμμετρίας, n, n άξονες κάθετους τον κύριο άξονα n και h (οριζόντιο επίπεδο) δηλαδή επίπεδο υμμετρίας κάθετο τον κύριο άξονα n Βαθμός: F ó v F B F F ó h B F F F ó v B F ó v F

D nd nd : Ανήκουν μόρια με πράξεις υμμετρίας, n, n άξονες κάθετους τον κύριο άξονα n και n d (κατακόρυφα δίεδρα επίπεδα), δηλαδή επίπεδα υμμετρίας που περιέχουν τον κύριο άξονα n ó d ó d D d D d Υπάρχουν άξονες κάθετοι τον και περνούν από το μέο του δεμού -

Ιδιαίτερες Ομάδες D h : Ανήκουν γραμμικά μόρια με άξονες υμμετρίας κάθετους το δεμό. v : Όλα τα υπόλοιπα γραμμικά μόρια Τ d : Ανήκουν τα τετραεδρικά μόρια Ο h : Ανήκουν τα οκταεδρικά μόρια μέλη 5 τάξεις 8 μέλη τάξεις Ι h : Ανήκουν τα εικοαεδρικά μόρια Κ μέλη h : ανήκουν τα άτομα με φαιρική υμμετρία τάξεις

Διάγραμμα Ροής για αναγνώριη Σημειακής Ομάδες Συμμετρίας Ιδιαίτερη Ομάδα; OXI NAI v, D h, T d, O h, I h? n (n>) OXI? NAI OXI NAI? NAI? h NAI OXI D nh s? i? h NAI OXI NAI i nh OXI OXI D nd NAI? v? v NAI nv OXI OXI D n n

Αλλένιο. Ιδιαίτερη ομάδα? ΟΧΙ. n (n>)? NAI κατά μήκος των δεμών.? ΝΑΙ. h?oxi 5. v? NAI v Το μόριο έχει D d υμμετρία

Βενζόλιο 6 6. Ιδιαίτερη ομάδα? ΟΧΙ. n (n>)? NAI 6, διέρχεται από το κέντρο του δακτυλίου.? ΝΑΙ 6, διέρχονται από το μέον απέναντι πλευρών και ενώνουν απέναντι άτομα. h? ΝΑΙ Το μόριο έχει D 6h υμμετρία

F? v OO (γραμμικό) D h l O l s (επίπεδο) h D h

Μερικές ιδιότητες πινάκων Α.. m.. m.. m............... n n n.. mn [ ] ij Πίνακας με m κολώνες και n ειρές ( ij είναι τα τοιχεία του πίνακα). Τάξη ή διάταη ενός πίνακα ορίζεται ως m n. Τετραγωνικός πίνακας: Όταν m n Διαγώνια τοιχεία ενός τετραγωνικού πίνακα: ij όπου i j (,, mn ) Δύο πίνακες A [ ij ] και B [b ij ] είναι ίοι, όταν είναι ταυτόημοι, δηλαδή όταν ij b ij για όλα τα i και j. Πρόθεη και αφαίρεη πινάκων [ c ] [ ] ± [ b ] pq pq pq Οι δύο πίνακες πρέπει να έχουν την ίδια τάξη ± b b b b ± b ± b ± b ± b

Πολλαπλαιαμός ενός πίνακα με έναν αριθμό c [ ] [ c ] [ c] [ ] c ij ij ij ij c c c c c Πολλαπλαιαμός δύο πινάκων A c ij ( i [ ] ( m p) B [ b ] p ij k ik b kj i b j + i ( p n) b j,,,..., m και j,,,..., n) ij +... + ip b A B pj ( m n) b b b b b b b b + + b b b b + + b b b b + + b b

Η πράξη του πολλαπλαιαμού πινάκων είναι προεταιριτική Α*(Β*Γ)(Α*Β)*Γ Η πράξη του πολλαπλαιαμού πινάκων δεν είναι πάντα αντιμεταθετική Α*Β Β*Α Αντίτροφος ενός πίνακας: Για πίνακα Ζ υπάρχει ο αντίτροφος πίνακας Ζ, έτι ώτε Z * Z Z* Z Συζυγείς πίνακες: είναι πίνακες της ίδιας τάξης, οι οποίοι υνδέονται με πράξη ομοιότητας. Δηλαδή, εάν οι πίνακες Α και Β είναι υζυγείς, τότε υπάρχει πάντα ένας πίνακας R, τέτοιος ώτε A R * B* R

Το ίχνος ή χαρακτήρας ενός τετραγωνικού πίνακα ορίζεται από το άθροιμα των τοιχείων τις διαγωνίου χ A χ A + + +... + A 9 jj 6 8 χ A ( ) jj j Μερικές ιδιότητες των χαρακτήρων. χ( A * B) χ(b* A) ακόμα και όταν Α* Β Β* Α. Οι υζυγείς πίνακες έχουν τον ίδιο χαρακτήρα χ (A) χ(r BR) χ(br R) χ(b) χ(b)

D B A Ημιδιαγώνιος πίνακας (κατά μπλοκ) ή τετραγωνικά διαγώνιος Μπλοκ: μικροί τετραγωνικοί πίνακες (A, B,, D) 9 5 8 7 8 Όταν οι μικροί τετραγωνικοί πίνακες δεν μπορούν να διαγωνοποιηθούν παραπέρα ονομάζονται μη αναπαραγωγήιμοι

Πράξεις Συμμετρίας και Πίνακες Πράξεις Συμμετρίας και Πίνακες z y x R R R R R R R R R z y x RB A Πίνακας Ανάκλαης Επιπέδου Πίνακας Ανάκλαης Επιπέδου xy xy z y x z y x z y x (xy) Μια πράξη υμμετρίας, μετακινεί κάποιο άτομο από κάποια θέη (x,y,z) ε κάποια άλλη (x,y,z). Με μεταβολή αυτή της γεωμετρίας μπορεί να περιγραφή με κάποιον πίνακα πίνακα (x,y,z) (x,y,z)) z x y Πίνακας Ταυτότητας Πίνακας Ταυτότητας z y x z y x z y x Αναπαράταη της Ε Αναπαράταη της (xy)

Αναπαράταη ομάδων Αναπαράταη ομάδων Ένα ύνολο πινάκων, ο καθένας από τους οποίους αντιτοιχεί ε μια πράξη υμμετρίας της ομάδας. Οι πίνακες υποκαθιτούν αριθμητικά τις πράξεις υμμετρίας για κάθε τοιχείο υμμετρίας. v v v v v v v v v v v v v Ομάδα Ομάδα με πράξεις υμμετρίας με πράξεις υμμετρίας Ε,, ( xz xz ), ), ( yz yz ) O x z y Αναπαράταη της

5 5 5 5 5 5 5 Επειδή, όο αυξάνεται ο αριθμός των ατόμων, τόο το μέγεθος των πινάκων μεγαλώνει, για να απλουτεύουμε τις πράξεις μεταχηματίζουμε τους πίνακες που περιγράφουν τις πράξεις υμμετρίας ώτε οι νέοι πίνακες να είναι ημιδιαγώνιοι ( τετραγωνικά διαγώνιοι). N M L K J I G F D B A f e d c b f e d c b f e d c b f e d c b f e d c b f e d c b 6 6 6 6 6 6 5 5 5 5 5 Οι απλουτεύεις αυτές επιτυγχάνονται με μεταχηματιμούς ομοιότητας Ζ *Χ*ΖΥ Η πράξεις (πίνακες) Χ και Υ που υνδέονται με μεταχηματιμό ομοιότητας ονομάζονται υζυγείς πράξεις. Η τάξη είναι το ύνολο των υζυγών πράξεων μιας ομάδας Οι μικροί τετραγωνικοί πίνακες κατά μήκος της διαγωνίου ονομάζονται μηαναγωγήιμες παρατάεις (ΜΑΠ).

Αναπαραγωγίιμη αναπαράταη (ΑΠ) διάταης της ομάδας. Διαγωνοποιημένος πίνακας. Αποτελείται από μία ΑΠ διάταης και μία ΜΑΠ διάταης για κάθε πράξη υμμετρίας,,, ) ( ), ( ), ( ), ( Γ χ χ χ χ,,,,,, ) ( ), ( ), ( ), ( Γ Γ Γ χ χ χ χ,,,,,,,,, Γ Γ Γ

Ιδιότητες των ΜΑΠ. Ο αριθμός των ΜΑΠ μιας ομάδας είναι ίος με τον αριθμό των τάξεων της ομάδας.. Το άθροιμα των τετραγώνων των διατάεων των ΜΑΠ μιας ομάδας είναι ίο με τον βαθμό της ομάδας (h). l l + l + l +... i i. Σε μια ΜΑΠ, οι χαρακτήρες όλων των πινάκων που αντιτοιχούν ε πράξεις υμμετρίας της ίδιας τάξης είναι ταυτόημοι.. Το άθροιμα των τετραγώνων των χαρακτήρων οποιαδήποτε ΜΑΠ είναι ίο με τον βαθμό της ομάδας. Γ R [χ ( ) ( R )] h Γ ΜΑΠ, R πράξεις υμμετρίας 5. Οι χαρακτήρες δύο διαφορετικών ΜΑΠ είναι ορθογώνιοι. R χ ( Γ ) ( R) χ ( R) ( Γ ) ( Γ ) Γ h

Ιδιότητες των ΜΑΠ (παράδειγμα) - Η ομάδα έχει τέερις τάξεις:,, ( xz ), ( yz ). Επομένως, ύμφωνα με την ιδιότητα, υπάρχουν ΜΑΠ για την ομάδα. - Σύμφωνα με την ιδιότητα : l + l l l + + Η μοναδική λύη της εξίωης είναι l l l l. Επομένως, η ομάδα έχει μονοδιάτατες ΜΑΠ. - Επειδή οι ΜΑΠ είναι μονοδιάτατες, οι χαρακτήρες για κάθε ΜΑΠ είναι η ίδια η ΜΑΠ. Συνεπώς, οι χαρακτήρες μιας ΜΑΠ μπορεί να θεωρηθούν οι υνιτώες ενός ανύματος τον τετραδιάτατο χώρο. - Η απλούτερης ΜΑΠ με χαρακτήρες είναι αυτή που αντιτοιχεί την Ε. Γ - Σύμφωνα με την ιδιότητα : ( ) [ χ Γ ( R)] R Η οποία αληθεύει μόνον όταν κάθε χ(r) ±.

Οι χαρακτήρες των υπολοίπων ΜΑΠ μπορούν να βρεθούν με την εφαρμογή της ιδιότητας. Για να είναι ορθογώνιος η κάθε μια από τις ΜΑΠ με τη Γ, θα πρέπει δύο χαρακτήρες να είναι + και δύο χαρακτήρες. Γ Γ Γ Γ Όλες οι ΜΑΠ είναι αμοιβαία ορθογώνιες. Γ * Γ ()() + ( )() + ( )( ) + ()( ) Η ΜΑΠ Γ ονομάζεται πλήρως υμμετρική, γιατί όλοι οι χαρακτήρες της είναι χ(r) + Οι χαρακτήρες μιας ΜΑΠ είναι ακέραιοι αριθμοί και δείχνουν το αποτέλεμα μιας πράξης υμμετρίας R ε μια υνάρτηη. - Χαρακτήρας + δείχνει ότι η πράξη υμμετρίας R αφήνει τη υνάρτηη αμετάβλητη (υμμετρική). - Χαρακτήρας - δείχνει ότι η πράξη υμμετρίας R αντιτρέφει τη υνάρτηη (αντιυμμετρική).

Πράξεις Συμμετρίας Πίνακες Χαρακτήρων v v d A z z z ΜΑΠ A R z B x y x(x y ) B xy xyz (x,y), (Rx,Ry) (xz, yz) (xz, yz ), [x(x y ), y(x y )] Γ x,y,z A(Σ): χαρακτήρες μονοδιάτατες ΜΑΠ υμμετρικές ΜΑΠ ως προς n B: μονοδιάτατες ΜΑΠ αντιυμμετρικές ΜΑΠ ως προς n Ε (Π), T (Δ): διδιάτατες και τριδιάτατες ΜΑΠ, : υμμετρικές και αντίυμμετρικές ΜΑΠ ως προς, : υμμετρικές και αντίυμμετρικές ΜΑΠ ως προς h, [(+), ( )]: υμμετρικές και αντίυμμετρικές ΜΑΠ ως προς g, u : υμμετρικές και αντίυμμετρικές ΜΑΠ ως προς i

Πράξεις Συμμετρίας v v d A z z z ΜΑΠ A R z B x y x(x y ) B xy xyz (x,y), (Rx,Ry) (xz, yz) (xz, yz ), [x(x y ), y(x y )] Γ x,y,z χαρακτήρες Βάεις των ΜΑΠ x, y, z αντιπροωπεύουν τις καρτειανές υντεταγμένες R x, R y, R z αντιπροωπεύουν περιτροφές γύρω από τους αντίτοιχους άξονες x, y, z. Οι τρεις τελευταίες τήλες αποτελούν τις βάεις των ΜΑΠ. π.χ. λέμε ότι ο z ανήκει την ΜΑΠ Α, ή ότι έχει Α υμμετρία, ή ότι μεταχηματίζεται από τις αντίτοιχες πράξεις υμμετρίας της ΜΑΠ Α.

z (x,y,z) x y [] z z [] z z i[] z z xy) [] z z ( [] x x [] x x i[] x x xy) [] x x ( y [] y y [] y y i[] y y xy) [] y y ( y z z x i ( xy ) z x x y z z ( z ) xy x y i x y x y

Προδιοριμός ΜΑΠ v v (xy) v (yz) A A - - B - - B - - Γ ( Γ ) i h R χ(r)χ ( Γ ) i ( R) ( R) α(γ i ) : # των ΜΑΠ Γ i h : Ο βαθμός της ομάδας χ(r) : χαρακτήρας της ΑΠ Χ (Γi) (R) : χαρακτήρας της ΜΑΠ (R) : Ο βαθμός της τάξης (υντελετής της πράξης υμμετρίας) ( A ( A ( B ( B ) ) ) ) χ( ) χ( () + () ( + + ( ) + ( ) ) ( + ( ) + + ( ) ) ( + ( ) + ( ) + ) ) χ(vxz) χ(v yz) + () + () 8 Οι ΜΑΠ είναι Α και Β Γ A B

v v A A - - Γ ( A ( A ) ) ( ) χ( ) χ( ) χ( ) v () + () () + () () 6 6 6 ( + + ( ) ) 6 ( + + ( ) + ) 6 6 8 6 Οι ΜAΠ είναι Α, Α και Ε Γ A A

Ευθέα Γινόμενα ΜΑΠ D A A - - A x A A A x A - A A x - A x A A A x - x A+A+ Το ευθύ γινόμενο δύο ΜΑΠ είναι μία αναγωγήιμη παράταη που μπορεί να αναχθεί ε γραμμικό υνδυαμό ΜΑΠ. Η αναγωγήιμη παράταη του ευθέως γινομένου προδιορίζεται από το γινόμενο των χαρακτήρων κάθε τάξης (πράξης υμμετρίας). Στα ευθέα γινόμενα ιχύει η προεταιριτική ιδιότητα. Η ΜΑΠ ενός γινομένου Γ Α Γ Β περιέχει την πλήρως υμμετρική ΜΑΠ, μόνον όταν Γ Α Γ Β. ΠΡΟΣΟΧΗ! Ο βαθμός της τάξης δεν χρηιμοποιείται το ευθύ γινόμενο