ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-9) ΜΕΡΟΣ 7: ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ & ΙΔΙΟΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΟΠΟΙΗΣΗ ΠΙΝΑΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΙΣ ΠΑΡΑΔΟΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΗΡΑΚΛΕΙΟ 009
ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ & ΙΔΙΟΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΟΡΙΣΜΟΣ: Έστω ένας τετραγωνικός πίνακας. Το διάνυσμα x με x 0 είναι ένα ιδιοδιάνυσμα του ανν λ τ.ω. x = λx. Ο αριθμός λ ονομάζεται ιδιοτιμή του. Παρατήρηση: x = λx x λx = 0 ( λi) x = 0, και από τον παραπάνω ορισμό θέλουμε x 0, άρα: {ο λ είναι μια ιδιοτιμή του } ανν {το σύστημα ( λi) x = 0 έχει μη-μηδενικές λύσεις (άπειρες) λύσεις}. Επομένως, {ο λ είναι μια ιδιοτιμή του } ανν det( λi ) = 0 Δηλαδή: {ο λ είναι μια ιδιοτιμή του } ανν N ( λi ) { 0} ΟΡΙΣΜΟΣ: Ο μηδενόχωρος N ( λi) λέγεται ιδιόχωρος του ως προς την ιδιοτιμή λ και συμβολίζεται V ( ). Δηλαδή: λ V ( ) = N ( λi) λ Σημείωση: Ο ιδιόχωρος Vλ ( ) περιέχει το 0 μαζί με όλα τα ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν σε μια συγκεκριμένη ιδιοτιμή λ. ΟΡΙΣΜΟΣ: {Γεωμετρική πολλαπλότητα της ιδιοτιμής λ } = dim Vλ ( ) = = dim N ( λi ) = r( λi ) ΟΡΙΣΜΟΣ: Ο υπολογισμός της ορίζουσας det( λi ) δίνει ένα πολυώνυμο βαθμού ως προς λ, το οποίο ονομάζεται χαρακτηριστικό πολυώνυμο του και συμβολίζεται ως X ( λ). Δηλαδή: X ( λ) det( λi ) Η εξίσωση X ( λ ) = 0 ονομάζεται χαρακτηριστική εξίσωση του, και η επίλυση της δίνει τις ιδιοτιμές του. Παρατήρηση: Η τιμή του X (0) είναι ίση με την ορίζουσα του. Δηλ. X(0) det ΒΗΜΑΤΑ ΕΥΡΕΣΗ ΙΔΙΟΤΙΜΩΝ & ΙΔΙΟΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ) Υπολογισμός του πίνακα [ λ ] της παραμέτρου λ από την κύρια διαγώνιο. ) Υπολογισμός της det( λi ) 3) Επίλυση της εξίσωσης det( λ ) = 0 ιδιοτιμές του I, ο οποίος προκύπτει από τον με την αφαίρεση I. Οι ρίζες αυτού του πολυωνύμου είναι οι
4) Για κάθε ιδιοτιμή, βρίσκουμε μια βάση του ιδιόχωρου Vλ ( ) = N ( λi), λύνοντας το ομογενές σύστημα ( λi ) x = 0 Παράδειγμα: Βρείτε τις ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του πίνακα: Λύση = 4 3. λi 0 = λ = λ 4 3 0 4 3 λ Χαρακτηριστικό πολυώνυμο του : X ( λ) = det( λi ) = ( λ)(3 λ) 8= λ 4λ 5 χαρακτηριστική εξίσωση του επίλυση λ = det( λi) = 0 λ 4λ 5 = 0 ιδιοτιμές του λ = 5 -------------------------------------------------------- Για την ιδιοτιμή λ =, έχουμε: λ ( λ 0 0 I) x = 0 x = x = 4 3 λ y 0 4 4 y 0 Όμως: ( ) 4 4 = U (+) 0 0 Άρα: x = 0 0 0 y 0 Βασική μεταβλητή: x Ελεύθερη μεταβλητή: y η εξίσωση: x + y= 0 x= y Άρα, ο ιδιόχωρος V ( ) έχει διανύσματα της μορφής x = y y y δηλ. x = y, y και {μια βάση του y ( ) V } = { } Δηλαδή τα ιδιοδιανύσματα του που αντιστοιχούν στην ιδιοτιμή λ = είναι όλα τα πολλαπλάσια του με οποιοδήποτε πραγματικό αριθμό 0 y. -------------------------------------------------------- Για την ιδιοτιμή λ = 5, έχουμε: λ ( λ 0 4 0 I) x = 0 x = x = 4 3 λ y 0 4 y 0
Όμως: 4 4 4 = U (+) 0 0 Άρα: 4 x = 0 0 0 y 0 Βασική μεταβλητή: x Ελεύθερη μεταβλητή: y η εξίσωση: 4x + y= 0 x= y Άρα, ο ιδιόχωρος V 5 ( ) έχει διανύσματα της μορφής x = y y y δηλ. x = y /, y και {μια βάση του y 5 ( ) / V } = { } Δηλαδή τα ιδιοδιανύσματα του που αντιστοιχούν στην ιδιοτιμή λ = 5 είναι όλα τα πολλαπλάσια του / με οποιοδήποτε πραγματικό αριθμό 0 y. -------------------------------------------------------- ΠΡΟΣΟΧΗ: Αν λ μια ιδιοτιμή του, τότε το ( λi) x = 0 έχει άπειρες λύσεις. Έτσι, όταν λύνετε μια άσκηση και δεν βρίσκετε άπειρες λύσεις για ένα σύστημα ( λi) x = 0, πιθανόν να έχετε βρει λάθος ιδιοτιμές (αν δεν έχετε κάνει λάθος κάπου αλλού). ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΙΔΙΟΤΙΜΩΝ & ΙΔΙΟΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ Έστω ένας τετραγωνικός πίνακας με ιδιοτιμές λ, λ,, λ ) λ+ λ + + λ = tr( ) (άθροισμα ιδιοτιμών = άθροισμα στοιχείων κύριας διαγωνίου) ) λ λ λ = det (γινόμενο ιδιοτιμών = det ) 3) det = 0 ανν {τουλάχιστον μία ιδιοτιμή ίση με 0} 4) Οι ιδιοτιμές ενός διαγώνιου ή ενός τριγωνικού (άνω ή κάτω) είναι τα στοιχεία της κύριας διαγωνίου. π.χ. ο 0 3 4 έχει λ =, λ = 3, λ3 = 3 0 0 3 0 0 π.χ. ο 0 0 έχει λ =, λ =, λ3 = 5 0 0 5 T 5) Οι λ, λ,, λ είναι ιδιοτιμές και του 6) Αν ο είναι αντιστρέψιμος τότε,,, είναι οι ιδιοτιμές του λ λ λ και V/ ( ) V ( ),, λ λ λ i i i
(δηλαδή, αν x ιδιοδιάνυσμα του που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή λ i, θα είναι και ιδιοδιάνυσμα του που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή /λ i ) 7) Ο με έχει τις ιδιοτιμές λ, λ,, λ και V ( ) V ( ), λ, λ i λi i (δηλαδή, αν x ιδιοδιάνυσμα του που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή λ i, θα είναι και ιδιοδιάνυσμα του που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή λ i ) 8) Έστω α οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός. Τότε οι αλ, αλ,, αλ είναι οι ιδιοτιμές του πίνακα α. Επιπλέον: Vαλ ( α ) Vλ ( ), λ i i i εφόσον α 0 (δηλαδή, αν x ιδιοδιάνυσμα του που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή λ i, θα είναι και ιδιοδιάνυσμα του α που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή αλ i ) 9) Για δύο οποιεσδήποτε διαφορετικές ιδιοτιμές λi, λ j (με λ i λ j ) ισχύει ότι: V ( ) V ( ) = 0 λi λj ΠΟΡΙΣΜΑ: Ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν σε διαφορετικές ιδιοτιμές (λi λ j ) είναι γραμμικώς ανεξάρτητα ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- { } ΟΜΟΙΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ ΟΡΙΣΜΟΣ: Δύο τετραγωνικοί πίνακες B, είναι όμοιοι ανν υπάρχει αντιστρέψιμος πίνακας P τ.ω. P P= B Ιδιότητες όμοιων πινάκων Αν B, όμοιοι πίνακες, δηλ. P P= B, τότε: det = det B X( λ) = XB( λ) B = P P, Απόδειξη της det = det B : ( ) P P= B det P P = det B (det P )(det )(det P) = det B Απόδειξη της (det )(det P ) = det B det = det B det P B = P P: ( ) ( )( ) ( ) P P= B P P = B P P P P P P = B ( ) ( ) ( ) φορές P PP PP PP P= B P II IP= B
P P= B P P= B φορές Παρατήρηση: Αφού X( λ) = XB( λ) συνεπάγεται ότι δύο όμοιοι πίνακες έχουν τις ίδιες ιδιοτιμές Σημείωση: Το αντίστροφο των παραπάνω ιδιοτήτων δεν ισχύει. Για παράδειγμα, αν δύο πίνακες B, έχουν det = det B δεν συνεπάγεται ότι είναι και όμοιοι. ΔΙΑΓΩΝΙΟΠΟΙΗΣΗ ΠΙΝΑΚΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ: Ένας τετραγωνικός πίνακας είναι διαγωνιοποιήσιμος ανν είναι όμοιος με διαγώνιο πίνακα D. Δηλαδή, αν υπάρχει αντιστρέψιμος πίνακας P τ.ω. P P= D. Τότε λέμε ότι ο P διαγωνιοποιεί τον. ΠΡΟΤΑΣΗ: {Ο είναι διαγωνιοποιήσιμος} ανν {έχει γραμμικώς ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα}, δηλαδή ανν dim Vλ ( ) + dim V ( ) dim V ( ) λ + + λ ρ = όπου λ, λ,, λρ (με ρ ) όλες οι διαφορετικές μεταξύ τους ιδιοτιμές του Παρατήρηση: έχουμε δει ότι ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν σε διαφορετικές ιδιοτιμές είναι γραμμικώς ανεξάρτητα. Άρα, αν ο έχει διαφορετικές μεταξύ τους ιδιοτιμές τότε διαγωνιοποιείται. ΠΡΟΣΟΧΗ: το αντίστροφο δεν ισχύει. Αν κάποια ιδιοτιμή είναι διπλή, τριπλή κλπ, τότε το αν ο διαγωνιοποιείται ή όχι εξαρτάται από το πόσα γραμμικώς ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα μπορούμε να βρούμε συνολικά για όλες τις ιδιοτιμές. ΠΡΟΤΑΣΗ: Αν ο είναι διαγωνιοποιήσιμος τότε ο πίνακας P που διαγωνιοποιεί τον έχει ως στήλες γραμμικώς ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα του και ο διαγώνιος D έχει στη διαγώνιο τις αντίστοιχες ιδιοτιμές του, δηλαδή: P= x x x [ ] πίνακας με στήλες τις συνιστώσες των ιδιοδιανυσμάτων & λ 0 0 0 λ 0 D = 0 0 λ Σημ. Οι ιδιοτιμές λ j είναι τοποθετημένες στον D με την ίδια σειρά που είναι τα ιδιοδιανύσματα στον P. Δηλαδή, το ιδιοδιάνυσμα x της ης στήλης του P αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή λ, το ιδιοδιάνυσμα x της ης στήλης του P αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή λ, κ.ο.κ.
ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Αν ο είναι διαγωνιοποιήσιμος, από τη σχέση P P= D συνεπάγεται ότι P P= D,. Πολλαπλασιάζοντας και τα δύο μέλη της τελευταίας σχέσης με P από αριστερά και P από δεξιά, έχουμε: PP PP = PDP = PDP λ 0 0 0 λ 0 Όμως: D =, 0 0 λ και άρα μπορούμε εύκολα να υπολογίσουμε υψηλές δυνάμεις του, χωρίς να χρειάζεται να κάνουμε τους πολλαπλασιασμούς. φορές 000 Για παράδειγμα, αν θέλουμε τον, βρίσκουμε πρώτα τους PP, και 000 λ 0 0 000 000 0 λ 0 D =, και κατόπιν εκτελούμε τον πολλαπλασιασμό τριών 000 0 0 λ 000 000 πινάκων: = PD P ΒΗΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΟΠΟΙΗΣΗΣ ΠΙΝΑΚΩΝ ) Υπολογισμός του πίνακα [ λ ] της παραμέτρου λ από την κύρια διαγώνιο. ) Υπολογισμός του X ( λ) det( λi ) I, ο οποίος προκύπτει από τον με την αφαίρεση 3) Επίλυση της εξίσωσης X ( λ ) = 0. Οι διαφορετικές ρίζες λ, λ,, λρ (με ρ ) αυτού του πολυωνύμου είναι οι ιδιοτιμές του 4) Βρίσκουμε μια βάση B λ του Vλ ( ) = N ( λ I ) Βρίσκουμε μια βάση B του Vλ ( ) = N ( λ I ) Βρίσκουμε μια βάση 5) Θεωρούμε το σύνολο λ λ ρ B του Vλ ( ) = N ( λρi ) ρ B= B B B λ λ λρ 6) Αν το B έχει διανύσματα τότε ο είναι διαγωνιοποιήσιμος, αλλιώς όχι. 7) Αν ο είναι διαγωνιοποιήσιμος, δηλαδή αν B = { x, x,, x} τότε: λ 0 0 0 λ 0 P= [ x x x ] & D = 0 0 λ πίνακας με στήλες τις συνιστώσες των ιδιοδιανυσμάτων
όπου οι ιδιοτιμές λ j είναι τοποθετημένες στον D με την ίδια σειρά που είναι τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα στον P. ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Αν επιπλέον θέλουμε να υπολογίσουμε τον με, τότε βρίσκουμε λ 0 0 πρώτα τον P 0 λ 0 (π.χ. με απαλοιφή Gauss-Jorda) και τον D =, και 0 0 λ κατόπιν εκτελούμε τον πολλαπλασιασμό τριών πινάκων: = PD P 3 4 3 3 ΑΣΚΗΣΗ: Έστω ο πίνακας με = 0. 4 3 α) Να βρεθούν το χαρακτηριστικό πολυώνυμο X ( λ ) και οι ιδιοτιμές του. β) Δείξτε ότι ο διαγωνιοποιείται και βρείτε ένα πίνακα P που τον διαγωνιοποιεί, καθώς και τον αντίστοιχο διαγώνιο D. 80 γ) Βρείτε τον. δ) Υπολογίστε άμεσα την ορίζουσα det με χρήση του X ( λ ) που βρήκατε. Λύση Δηλαδή: 3 X ( λ) = ( λ+ )( λ + 7λ + 8) = λ + 6λ + 5λ + 8 λ =(διπλή) X ( λ) = 0 ( λ + ) ( λ 8) = 0 λ = 8 Επομένως, οι ιδιοτιμές του είναι οι: λ = (διπλή) & λ = 8
4 4 x 0 Άρα: ( λi3) x = 0 Ux = 0 0 0 0 y= 0 0 0 0 z 0 Βασική μεταβλητή: x Ελεύθερες μεταβλητές: yz, η εξίσωση: 4x + y+ 4z = 0 x = y z Άρα, ο ιδιόχωρος V ( ) x ( y/) z έχει διανύσματα της μορφής y= y z z x / δηλ. y= y + z0, yz, z 0 και B = {μια βάση του V ( ) / } =, 0 0 5 4 x 0 Άρα: ( λi3) x = 0 Ux = 0 0 36/5 8/5 y= 0 0 0 0 z 0 Βασικές μεταβλητές: x, y Ελεύθερη μεταβλητή: z η 36 8 εξίσωση: y+ z = 0 y = z 5 5 η εξίσωση: 5x + y+ 4z = 0 5x+ z+ 4z = 0 x = z Άρα, ο ιδιόχωρος V8 ( ) x z έχει διανύσματα της μορφής y= z/ z z
x δηλ. y = z /, z z και B 8 = {μια βάση του V 8 ( )} = / / Έστω το σύνολο B= B B 8 =, 0, / 0 Το B έχει 3 διανύσματα, και άρα ο έχει 3 γραμμικώς ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα, το οποίο επειδή 3= συνεπάγεται ότι ο είναι διαγωνιοποιήσιμος. Ένας πίνακας που διαγωνιοποιεί τον είναι ο / P = 0 / (ο πίνακας με στήλες τα διανύσματα του B) 0 και αντίστοιχος διαγώνιος που είναι όμοιος με τον μέσω της σχέσης = PDP 0 0 είναι ο D = 0 0 (ο πίνακας με τις ιδιοτιμές στη διαγώνιο τοποθετημένες 0 0 8 με την ίδια σειρά που είναι τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα στον P ) * 80 80 80 γ) Ο μπορεί να υπολογιστεί από τη σχέση: = PD P. Έχουμε: 80 ( ) 0 0 0 0 80 80 D = 0 ( ) 0 = 0 0 80 40 0 0 8 0 0 και /9 8/9 /9 4/9 /9 5/9 4/9 /9 4/9 P = (που βρίσκεται π.χ. με απαλοιφή Gauss-Jorda) Άρα: 80 / 0 0 /9 8/9 /9 = 0 /0 0 4/9 /9 5/9 0 40 0 0 4/9 /9 4/9 * Σημείωση: αν εναλλάξουμε δύο στήλες του P προκύπτει ένας άλλος πίνακας που επίσης διαγωνιοποιεί τον και ο αντίστοιχος διαγώνιος έχει υποστεί την ίδια εναλλαγή στηλών. / 0 0 π.χ. για P = / 0 έχουμε D = 0 8 0 0 0 0
4 4 4 5+ 4 9 9 9 4 40 4 80 + 8 = 9 9 9 4 4 4 4 5+ 9 9 9 δ) Έχουμε: det = X (0), η οποία επειδή det = 8 3 X ( λ ) = λ + 6 λ + 5 λ+ 8, δίνει: Παρατήρηση: επίσης, μπορούμε να υπολογίσουμε την det και από το γινόμενο των ιδιοτιμών: det = ( )( )8 = 8 (προσοχή την ιδιοτιμή λ = που είναι διπλή τη χρησιμοποιούμε δύο φορές. Αντίστοιχα, αν είχαμε μια τριπλή ιδιοτιμή θα τη χρησιμοποιούσαμε τρεις φορές, κ.ο.κ.)