ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΛΟΓΙΣΜΟ ΤΩΝ ΜΕΤΑΒΟΛΩΝ. Β. Κουμούσης Καθηγητής ΕΜΠ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΛΟΓΙΣΜΟ ΤΩΝ ΜΕΤΑΒΟΛΩΝ Β. Κουμούσης Καθηγητής ΕΜΠ ΑΘΗΝΑ ΜΑΡΤΙΟΣ 1998

Εισαγωγή Ορισμένες αρχές, πού ονομάζονται ενεργειακές αρχές ή παραλλακτικές αρχές (vritionl principles), παίζουν βασικό ρόλο στη μελέτη των κατασκευών και πιο γενικά στη μελέτη των παραμορφώσιμων σωμάτων. Τέτοιες είναι ή αρχή των υνατών έργων, η αρχή της ελάχιστης υναμικής ενέργειας, ή αρχή του Hmilton για τη υναμική κ.ά. Το βασικό πλεονέκτημα των ενεργειακών αρχών και μεθόων είναι ότι ανάγουν το πρόβλημα της στατικής και υναμικής ισορροπίας των παραμορφώσιμων σωμάτων από ιανυσματικό πρόβλήμα (σύνθεση υνάμεων ροπών) σε πρόβλημα βαθμωτών μεγεθών έργο εσωτερικών και εξωτερικών υνάμεων. Η μαθηματική ιατύπωση των αρχών αυτών οηγεί στην αναζήτηση μίας ή περισσοτέρων αγνώστων συναρτήσεων, μίας ή περισσοτέρων μεταβλητών πού κάνουν στάσιμη την τιμή (μέγιστο, ελάχιστο ή σαγματικό σημείο) ενός συγκεκριμένου ολοκληρώματος. Το ολοκλήρωμα αυτό γενικά είναι μιά συνάρτηση των αγνώστων συναρτήσεων και των παραγώγων τους και ονομάζεται συναρτησιακό ή συναρτησιοειές, (π.χ. ή υναμική ενέργεια είναι ένα συναρτησιακό του οποίου η τιμή εξαρτάται από την εκλογή των συναρτήσεων ( x x, x ), ( i 1,,3 ) i, 1 3 ) και ανήκει σε μιά οικογένεια αποεκτών μετατοπίσεων που ικανοποιούν τις συνοριακές συνθήκες του προβλήματος. Η αρχή της ελάχιστης υναμικής ενέργειας ορίζει ότι οι συναρτήσεις εκείνες πού κάνουν ελάχιστη την τιμή του συναρτησιακού αποτελούν τις πραγματικές μετατοπίσεις του σώματος. Η περιοχή των μαθηματικών πού ασχολείται με την εύρεση των στάσιμων τιμών ενός συναρτησιακού υπό τη μορφή ορισμένου ολοκληρώματος ονομάζεται Λογισμός των Μεταβολών (clcls of vritions). Όπως στη μελέτη των ακρότατων συναρτήσεων μίας ή περισσοτέρων μεταβλητών μας ενιαφέρει να ιατυπώσουμε ικανές και αναγκαίες συνθήκες τις οποίες ικανοποιούν τα σημεία στα οποία οι συναρτήσεις λαμβάνουν τις μέγιστες ή ελάχιστες τιμές τους, έτσι και στο Λογισμό των Μεταβολών επιιώκουμε να ιατυπώσουμε αναγκαίες και ικανές συνθήκες πού πρέπει να πληρούν οι συναρτήσεις γιά να λάβει το συναρτησιακό τις στάσιμες τιμές του. Η φύση του στάσιμου σημείου (μέγιστο, ελάχιστο ή σαγματικό σημείο) καθορίζεται συνήθως από το φυσικό πρόβλημα.

Ο συνήθης τρόπος ιατύπωσης των ιαφορικών εξισώσεων που ιέπουν τη συμπεριφορά ενός φορέα είναι η αποκοπή σε τυχαία θέση ενός απειροστού τμήματος του σώματος επί του οποίου εφαρμόζονται οι εξωτερικές και εσωτερικές υνάμεις καθώς και η μεταβολή τους για στοιχειώη επαύξηση. Επί του απειροστού τμήματος εφαρμόζονται οι απαιτήσεις στατικής ή υναμικής ισορροπίας. Οι εσωτερικές υνάμεις προσιορίζονται από ορισμούς αλλά και παραοχές που αναφέρονται στο πείο των μετακινήσεων. Με τον τρόπο αυτό ιατυπώνονται οι ιαφορικές εξισώσεις που ιέπουν το πρόβλημα. Η γενική λύση των ιαφορικών εξισώσεων ανάλογα με την τάξη τους περιέχουν και άγνωστες σταθερές ολοκλήρωσης οι οποίες προσιορίζονται από τις αρχικές ή/και συνοριακές συνθήκες. Με τη μέθοο αυτή η ιατύπωση των συνοριακών συνθηκών προκύπτει από τη φύση του προβλήματος. Πολλές φορές η ιατύπωση των συνοριακών συνθηκών με βάση την φυσική συμπεριφορά συμβαίνει να μην είναι συμβατή με τις παραοχές του προβλήματος και να ισουναμεί με απώλειες ενέργειας. Προκύπτει έτσι η ανάγκη προσφυγής σε μια μεθοολογία που να παράγει αφενός τις ιαφορικές εξισώσεις του προβλήματος αλλά παράλληλα και το σύνολο των αποεκτών συνοριακών συνθηκών ή αρχικών συνθηκών που είναι ενεργειακά συμβατές με τις παραοχές της συγκεκριμένης θεώρησης. Τη μεθοολογία αυτή προσφέρει ο Λογισμός των Μεταβολών. Στις απλές θεωρίες της Αντοχής των Υλικών, (όπως η τεχνική θεωρία κάμψεως της οκού κλπ.) η πρώτη μέθοος ίει χωρίς υσκολίες τα σωστά αποτελέσματα, αλλά σε συνθετότερες θεωρίες της αντοχής των υλικών με αποκορύφωμα τις θεωρίες κελυφών η παραγωγή των συνεπών συνοριακών συνθηκών είναι αύνατη με βάση την φυσική εποπτεία. Στις περιπτώσεις αυτές ο λογισμός των μεταβολών αποεικνύεται το αλάνθαστο συστηματικό μέσο για την παραγωγή των ιαφορικών εξισώσεων και του συνόλου των αποεκτών συνοριακών συνθηκών. Χαρακτηριστικό παράειγμα είναι ότι από τις περίπου πενήντα θεωρίες κελυφών που είχαν ιατυπωθεί στη εκαετία του 196 λιγότερες από επτά ήσαν συμβατές με τις παραοχές τους. Τέλος οι ενεργειακές μέθοοι μπορούν να χρησιμοποιηθούν αποτελεσματικά και στην εύρεση προσεγγιστικών λύσεων. Η μέθοος Ryleigh-Ritz, Glerkin και η μέθοος των πεπερασμένων στοιχείων είναι ύο πολύ ιαεομένες ενεργειακές μέθοοι γιά την εύρεση προσεγγιστικών λύσεων. 3

Στάσιμες Τιμές Συναρτήσεως μιας Μεταβλητής Από την ανάλυση γνωρίζουμε τα παρακάτω. Λέμε ότι. μιά συνάρτηση μίας ανεξάρτητης μεταβλητής y f(x) ιάστημα πού περιέχει το σημείο και ισχύει έχει σχετικό μέγιστο ένα σημείο x c όταν υπάρχει ένα ανοικτό x c στο όποίο η f (x) γιά όλες τις τιμές είναι ορισμένη f ( c) f ( x) για όλες τις τιμές του x στο ιάστημα αυτό. Επίσης λέμε ότι μιά συνάρτηση μίας ανεξάρτητης μεταβλητής y f (x) έχει σχετικό ελάχιστο σ ένα σημείο x, όταν υπάρχει ένα ανοικτό ιάστημα πού περιέχει το σημείο x στο οποίο η f (x) είναι ορισμένη και ισχύει f ( ) f ( x) γιά όλες τις τιμές του x στο ιάστημα αυτό. Ας θεωρήσουμε τη συνάρτηση f (x) η όποία έχει συνεχείς παραγώγους οποιασήποτε τάξεως στη γειτονιά ενός σημείου x x για την οποία θέλουμε να ιατυπώσουμε τις συνθήκες για τις οποίες η συνάρτηση αυτή έχει μέγιστο ή ελάχιστο στο σημείο αυτό. Τη συνάρτηση αυτή αναπτύσσουμε σε σειρά Tylor γύρω από το σημείο x x, οπότε έχουμε: 3 f ( x) 1 f ( x) 1 f ( x) 3 f ( x) f ( x ) x x ( x x ) ( ) ( )... x x x x 3 x x x x! 3! (1) Τη ιαφορά ( x x ) μπορούμε να τη ιαλέξουμε όσο μικρή θέλουμε ώστε η ιαφορά των συναρτήσεων να μπορεί να εκφραστεί με επιθυμητή ακρίβεια ως: f ( x) f ( x) f ( x ) x x ( x x ) () Για να είναι η τιμή f ( x ) σχετικό μέγιστο, είναι αναγκαίο η ιαφορά f x) f ( x ) να ( είναι ένας μη θετικός αριθμός για όλες τις τιμές του x στη γειτονιά του x. Επειή η ιαφορά ( x x) μπορεί να είναι οτιήποτε ηλ. θετική, μηέν ή αρνητική, προκύπτει ότι η τιμή της πρώτης παραγώγου στο σημείο x θα πρέπει να είναι μηενική και συνεπώς η αναγκαία συνθήκη για να είναι η τιμή f ( x ) σχετικό μέγιστο είναι: 4

f ( x) xx (3) Με την ίια λογική προκύπτει ότι η παραπάνω σχέση αποτελεί αναγκαία συνθήκη για να είναι η f ( x ) σχετικό ελάχιστο. Αντικαθιστώντας την σχέση (3) στην (1) προκύπτει: 3 1 f ( x) 1 f ( x) 3 f ( x) f ( x ) ( ) ( )... x x x x 3 x x x x! 3! (4) Μπορούμε επίσης να επιλέξουμε τη ιαφορά x x ) αρκετά μικρή ώστε για οποιαήποτε ( επιθυμητή ακρίβεια η παραπάνω σχέση να προσεγγίζεται από την ακόλουθη: 1 f ( x) f ( x) x! f ( x ) ( x x x ) (5) Για να είναι η f ( x ) σχετικό μέγιστο είναι αναγκαίο η ιαφορά f x) f ( x ) να είναι ( αρνητική για κάθε σημείο x στη γειτονιά του x. Έτσι για να ισχύει η σχέση (5) είναι φανερό ότι η εύτερη παράγωγος στο σημείο όρος ( x x ) είναι πάντα θετικός, ηλ: x θα πρέπει να είναι αρνητική καθόσον ο f ( x) xx < (6) Όμοια από την σχέση (5) γίνεται φανερό ότι για να είναι η τιμή f ( x ) σχετικό ελάχιστο θα πρέπει να ισχύει: f ( x) xx > (7) 5

Αν τώρα υπάρχουν τιμές του x που μηενίζουν την πρώτη και εύτερη παράγωγο τότε η ανάπτυξη κατά Tylor θα πρέπει να προσεγγιστεί για επιθυμητή ακρίβεια από την τρίτη παράγωγο στο σημείο x από την σχέση: 1 f ( x) f ( x) x 3! 3 3 f ( x ) ( x 3 x x ) (8) Στη περίπτωση αυτή το πρόσημο της ιαφοράς f x) f ( x ) είναι ιαφορετικό για ( x < x και x > x. Το σημείο αυτό ονομάζουμε σημείο καμπής ή σαγματικό σημείο. Βασικό λήμμα του λογισμού των μεταβολών Αν G (x) είναι μια συνεχής συνάρτηση στο ανοικτό ιάστημα (, ) και ικανοποιεί τη σχέση: G x) η( x) ( (9) για κάθε συνάρτηση η(x), η οποία είναι συνεχής και μηενίζεται στα σημεία x τότε στο ιάστημα < x < θα πρέπει να ισχύει: x και G( x) (1) Cornt R. n Hilert D. Methos of Mthemticl Physics. Vol. I Interscience Plishers, Inc. New York, 1953, pg 185. 6

Στάσιμη Τιμή Συναρτησιακού μιας Συναρτήσεως μιας Μεταβλητής Θα λέμε ότι ένα σύνολο συναρτήσεων μιας μεταβλητής ~ ( x ) είναι αποεκτό στο ιάστημα < x < όταν οι συναρτήσεις αυτές έχουν τις ακόλουθες ιιότητες: α) Έχουν συνεχείς παραγώγους ευτέρας τάξεως στο ανοικτό ιάστημα (, ) ) Λαμβάνουν εομένες τιμές στα σημεία x και x Δηλαή ~ ( ) ~ και ( ) ~ ~ (11) Ένας απλός τρόπος να παράγουμε ένα αποεκτό σύνολο συναρτήσεων ~ ( x ) είναι να προσθέσουμε σε μια αποεκτή συνάρτηση (x) ένα μικρό πολλαπλάσιο μιας αυθαίρετης συναρτήσεως η( x ) στο ιάστημα < x < η οποία έχει συνεχείς παραγώγους ευτέρας τάξεως σ αυτό και μηενίζεται στα σημεία x και x. Δηλαή ~ ( x) ( x) εη( x ) (1) ( ) η( ) η (1) Είναι φανερό ότι για μιά εομένη συνάρτηση η(x) στη σχέση (1) η συνάρτηση ~ ( x ) αντιπροσωπεύει μια μονοπαραμετρική οικογένεια αποεκτών συναρτήσεων μιας μεταβλητής. Οι αποεκτές συναρτήσεις ~ ( x ) που λαμβάνονται από την σχέση (1) για ιάφορες απειροστές τιμές του ε ονομάζονται μεταβολές της συναρτήσεως (x). Επομένως σε κάθε σημείο μέγεθος. x οι μεταβολές της συναρτήσεως ιαφέρουν κατά ένα απειροστό 7

Στη παράγραφο αυτή θα θεωρήσουμε συναρτησιακά μιας μόνο συναρτήσεως μιας ανεξάρτητης μεταβλητής με εομένες τιμές στα άκρα που έχουν την ακόλουθη μορφή: I x ~, ~ ' (, ) (13) όπου ~ είναι μιά συνάρτηση του x πού ανήκει σε ένα σύνολο αποεκτών συναρτήσεων και ~ η παράγωγός της. Η συνάρτηση των συναρτήσεων έχει συνεχείς εύτερες παραγώγους ως προς τις τρεις μεταβλητές ~, ~ ' x,. Είναι φανερό ότι η τιμή του I εξαρτάται από την εκλογή της συνάρτησης ~ ( x ). Θα εχθούμε ότι μέσα στο σύνολο των αποεκτών συναρτήσεων υπάρχει μία συνάρτηση η οποία κάνει τη τιμή του I στάσιμη και ότι η συνάρτηση αυτή, χωρίς να βλάπτεται η γενικότητα, είναι η εομένη συνάρτηση η(x) που κάνει στάσιμη την τιμή του συναρτησιακού από το σύνολο των συναρτήσεων (1) θέτοντας το ε ίσο με μηέν. (x). Έτσι για οποιαήποτε I λαμβάνεται Εάν ηλώσουμε με I ~ την τιμή του I που αντιστοιχεί σε μιά συνάρτηση ~ ( x ) και χρησιμοποιήσουμε τη σχέση (1) λαμβάνουμε: ~ ' I ( ε) ~, ~ ) ( x, ) ( x, εη, ' εη' (14) Για μια εομένη συνάρτηση ηκαι την ζητούμενη συνάρτηση, το ολοκλήρωμα στη σχέση (14) μπορεί να θεωρηθεί ως συνάρτηση της παραμέτρου ε. Με την παραοχή ότι η συνάρτηση I ~ () ε έχει συνεχείς παραγώγους οποιασήποτε τάξεως, μπορούμε να την αναπτύξουμε σε σειρά Tylor ως προς ε, γύρω από τη θέση ε. Κατά τον τρόπο αυτό προκύπτει: ~ ~ ~ I I ( ) I () ε ~ 1 I ε ε ε ε ε... (15) Με βάση τα όσα αναπτύχθηκαν για τα ακρότατα μιας συναρτήσεως μίας μεταβλητής, η συνάρτηση I ~ () ε λαμβάνει στάσιμη τιμή όταν: 8

~ I ε ε (16) Η παραπάνω σχέση αποτελεί την αναγκαία συνθήκη για να έχει το συναρτησιακό I ~ ( ε) μέγιστη ή ελάχιστη τιμή σχετικά με τις τιμές που αντιστοιχούν στις συναρτήσεις ~ ( x ) οι οποίες παράγονται με βάση την σχέση (1) για μικρές τιμές του ε. Αντικείμενο του λογισμού των μεταβολών είναι η εύρεση των συνθηκών κάτω από τις οποίες το συναρτησιακό I ~ () ε ακολουθώντας την παρακάτω ιαικασία: λαμβάνει στάσιμη τιμή. Αυτό μπορεί να προκύψει Αντικαθιστώντας τη σχέση (l4) στην (16) λαμβάνουμε: ~ I ~ ~ ε ~ ~ ε ε ε ε ε ε (17) Από την σχέση (1) παραγωγίζοντας ως προς ε λαμβάνουμε: ~ ~ η, ε ε η (18) Επίσης ιαπιστώνοντας ότι για ε η συνάρτηση ~ και η ~ έχουμε: ~, ~ ε ε (19) Έτσι η σχέση (17) μπορεί να γραφεί: ~ I ε ~ η ~ η ε () Ολοκληρώνοντας κατά παράγοντες τον εύτερο όρο του ολοκληρώματος της σχέσης () και χρησιμοποιώντας τη σχέση (18) λαμβάνουμε: 9

) ( ) ( ~ η η ε ε x x I (1) Με τη βοήθεια του βασικού λήμματος του λογισμού των μεταβολών προκύπτει ότι: () Για συγκεκριμένο συναρτησιακό ),, ( x η σχέση () παράγει μιά ιαφορική εξίσωση ευτέρας τάξεως ως προς την άγνωστη συνάρτηση. Η εξίσωση () ονομάζεται εξίσωση Eler-Lgrnge. (x) 1

Στάσιμη Τιμή Συναρτησιακού μιας Συναρτήσεως μιας Μεταβλητής - μη προκαθορισμένες τιμές στα Συνοριακά Σημεία Στην προηγούμενη παράγραφο ασχοληθήκαμε με το πρόβλημα της ευρέσεως της ιαφορικής εξισώσεως, την οποία ικανοποιεί η συνάρτηση που κάνει την τιμή του συναρτησιακού I ( x, ~, ~ ) στάσιμη, όταν οι τιμές () και () είναι εομένες στα ακραία σημεία του ιαστήματος < x <. (x) Οι συνθήκες που και ορίζονται για την συνάρτηση x (x) στα ακραία σημεία x και ονομάζονται κινηματικές συνοριακές συνθήκες. Στην παράγραφο αυτή θα επεκτείνουμε την εφαρμογή του λογισμού των μεταβολών στο πρόβλημα της ευρέσεως ιαφορικής εξισώσεως για τη συνάρτηση συναρτησιακού της μορφής (13) με την ιαφορά ότι η τιμή στο ένα ή και στα ύο ακραία σημεία (x) που κάνει στάσιμη την τιμή ενός (x) x και x. μπορεί να λάβει οποιαήποτε Θεωρούμε ένα σύνολο αποεκτών συναρτήσεων με την ακόλουθη μορφή: ~ ( x) ( x) εη( x ) (3) όπου η(x) είναι μια αυθαίρετη συνάρτηση με συνεχείς παραγώγους μέχρι και ευτέρας τάξεως και με τις τιμές η () και η () εομένες. Αντικαθιστώντας την σχέση (3) στην (13) και ακολουθώντας ανάλογη πορεία με αυτή πού ακολουθήσαμε στην προηγούμενη παράγραφο λαμβάνουμε: ~ I ε ε η η ( x) ( x) (4) Η σχέση (4) πρέπει να ισχύει για οποιαήποτε εκλογή της συναρτήσεως συνέπεια για συναρτήσεις η(x) οι οποίες μηενίζονται στα άκρα η(x) κατά x και x. Για 11

τέτοια εκλογή της θα πρέπει να είναι: η(x) ο πρώτος όρος στο εξιό μέλος της σχέσεως (4) μηενίζεται, άρα η( x) (5) Από την τελευταία σχέση, χρησιμοποιώντας το βασικό λήμμα του λογισμού των μεταβολών, λαμβάνουμε την γνωστή εξίσωση Eler-Lgrnge (6) Αντικαθιστώντας την παραπάνω σχέση στην (4) λαμβάνουμε η( x) (7) Επειή η συνάρτηση η(x) είναι αυθαίρετη στα άκρα και, για να ισχύει πάντοτε η παραπάνω σχέση θα πρέπει να ισχύουν οι σχέσεις: x (8) x (9) Οι συνθήκες (8, 9) στα άκρα ονομάζονται φυσικές συνοριακές συνθήκες. Η εξίσωση Eler- Lgrnge είναι για τη περίπτωση αυτή μιά συνήθης ιαφορική εξίσωση ευτέρας τάξεως ως προς την συνάρτηση (x) η γενική λύση της οποίας θα περιλαμβάνει ύο σταθερές ολοκληρώσεως οι οποίες θα υπολογίζονται από την ικανοποίηση των εομένων συνοριακών συνθηκών. 1

Σε μερικά προβλήματα οι συνοριακές συνθήκες είναι κινηματικές, ηλαή οι τιμές της συναρτήσεως (x) ίονται στα ακραία σημεία x και x. Σε άλλα προβλήματα οι συνοριακές συνθήκες είναι φυσικές, ηλαή η λύση της ιαφορικής εξίσωσης πρέπει να ικανοποιεί τις σχέσεις (8, 9). Τέλος σε άλλα προβλήματα οι συνοριακές συνθήκες μπορεί να είναι μικτές, ηλ. κινηματική συνθήκη στο ένα άκρο και φυσική συνθήκη στο άλλο. 13

Τελεστής έλτα Στην παράγραφο αυτή θα παρουσιάσουμε ένα πιο συνοπτικό τρόπο ιατύπωσης των προβλημάτων εύρεσης των ακραίων τιμών των συναρτησιακών με την εισαγωγή του τελεστή. Ορίζουμε τη μεταβολή της συναρτήσεως (x) ως εξής: ~ ( x) ( x) εη( x ) (3) Είναι φανερό ότι ο τελεστής παριστάνει μια αυθαίρετη μεταβολή της τιμής της (x) για μια ορισμένη τιμή του x. Παρατηρούμε ότι σε προβλήματα με κινηματικές συνοριακές συνθήκες; ηλαή σε προβλήματα που οι συναρτήσεις ~ ( x ) λαμβάνουν εομένες τιμές στα ακραία σημεία x και x η μεταβολή της (x) πρέπει να μηενίζεται στα σημεία αυτά. Σε προβλήματα με φυσικές συνοριακές συνθήκες οι συναρτήσεις ~ ( x ) λαμβάνουν αυθαίρετες τιμές στα ακραία σημεία μεταβολή της (x) εν μηενίζεται σε αυτά τα σημεία. x και x και κατά συνέπεια η Σχ.. Μεταβολή μιας συναρτήσεως 14

Στο Σχ. βλέπουμε την συνάρτηση (x) και μια αποεκτή συνάρτηση που κάνει ακρότατη την τιμή του συναρτησιακού ~ ( x ) που. αντιστοιχούν σε ένα πρόβλημα με κινηματικές συνοριακές συνθήκες. Σε ένα τυχόν σημείο x η μεταβολή ορίζεται ως η κατακόρυφη απόσταση μεταξύ των συναρτήσεων ~ ( x ) και (x). Θα προχωρήσουμε στον ορισμό της μεταβολής της παραγώγου και του ολοκληρώματος μιας συναρτήσεως ως εξής: ~ ~ x x x x ( ) x (31) ( ) ~ ~ (3) Είναι φανερό ότι ο τελεστής αντιμετατίθεται με τον ιαφορικό και ολοκληρωτικό τελεστή. Γενικώς μπορούμε να είξουμε ότι για αρκετά μικρές μεταβολές ο τελεστής συμπεριφέρεται σαν ιαφορικός τελεστής για παράειγμα θεωρούμε την μεταβολή της συναρτήσεως n. Εξ ορισμού έχουμε: n n n ( ) ( ) n1 O( ) n n n n n1 n( n 1) n ( )... n (33) όπου ο όρος O( ) αναφέρεται στους όρους που περιέχουν μεταβολές ευτέρας και μεγαλύτερης τάξεως. Έτσι για αρκετά μικρές μεταβολές έχουμε: n n n1 (34) Θεωρούμε τη συνάρτηση ( x, ~, ~ ) η οποία έχει συνεχείς παραγώγους ευτέρας τάξεως ως προς τις μεταβλητές x, ~, ~. Χρησιμοποιώντας τον τελεστή και αναφερόμενοι στη σχέση (13) μπορούμε να γράψουμε τη συνάρτηση αυτή ως εξής: ( x, ~, ~ ) ( x,, ) (35) 15

Η μεταβολή της συνάρτησης σ ένα σημείο x ορίζεται ως εξής: ( x,, ) ( x,, ) (35) Σε οποιοήποτε σημείο x η συνάρτηση ( x,, ) μπορεί να αναπτυχθεί σε σειρά Tylor γύρω από την και κατά συνέπεια θα έχουμε: ( x,, ) ( x,, ) O( ) (36) όπου O( ) περιλαμβάνει όλους τους όρους της σειράς ευτέρας και ανώτερης τάξης. Για μικρές μεταβολές η μεταβολή της ίεται από τη σχέση: ( 1) (37) και ονομάζεται πρώτη μεταβολή του. Θα επεκτείνουμε τον ορισμό της μεταβολής μιας συναρτήσεως στη μεταβολή ενός συναρτησιακού. Θα ορίσουμε την μεταβολή του συναρτησιακού I μιας συναρτήσεως (x) και της πρώτης παραγώγου της ως εξής: x,, ) ( x,, I ) ( (38) Αντικαθιστώντας τη σχέση ( 37 ) στην (38) λαμβάνουμε: I (1) I O( ) (39) Για αρκετά μικρές τιμές του και η μεταβολή του I γίνεται: 16

I I (1) (4) Η σχέση (4) ονομάζεται πρώτη μεταβολή του συναρτησιακού I. Με παραγοντική ολοκλήρωση της παραπάνω σχέσης προκύπτει: I I (1) (41) Ας υποθέσουμε ότι η συνάρτηση κάνει το συναρτησιακό ακρότατο (ελάχιστο ή μέγιστο). Τότε είναι φανερό ότι και οι ύο όροι της σχέσεως θα πρέπει να μηενίζονται και επιπλέον η τιμή του εύτερου όρου θα πρέπει να μηενίζεται και στο σημείο (x) x και στο x. Δηλαή: (4) x (43) x (44) που αποτελούν την εξίσωση Eler-Lgrnge και τις φυσικές συνοριακές συνθήκες στα άκρα. Προκύπτει έτσι ότι η χρήση του τελεστή είναι ισούναμη με την ανάπτυξη των προηγούμενων παραγράφων είναι όμως σημαντικά απλούστερη στην ιατύπωση και ιαχείρισή της. 17

Γενικεύσεις Η μεταβολή μιας συναρτήσεως της περισσοτέρων μιας παραγώγων της π.χ. και της ευτερης παραγώγου, προκύπτει κατά ανάλογο τρόπο το ολικό ιαφορικό της συναρτήσεως ως εξής: (45) Η μεταβολή ενός συναρτησιακού της συναρτήσεως θα είναι: I (46) Η παραγοντική ολοκλήρωση καθενός από τους όρους ίει: (47) (48) και (49) Προσθέτοντας τις παραπάνω σχέσεις προκύπτει: 18

I (5) Χρησιμοποιώντας το βασικό λήμμα του λογισμού των μεταβολών προκύπτουν αφενός η εξίσωση Eler-Lgrnge και αφετέρου οι φυσικές και κινηματικές συνθήκες του προβλήματος ως εξής: (51) Από τις ύο τελευταίες σχέσεις προκύπτει ότι στα σύνορα x και x x και x η η (5) 19

ΕΦΑΡΜΟΓΗ: ΤΕΧΝΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΜΨΕΩΣ ΔΟΚΟΥ Για την ανάπτυξη της θεωρίας κάμψεως της οκού όπως και για κάθε θεωρία της αντοχής των υλικών, ξεκινάμε με τη θεώρηση ενός πείου μετακινήσεων που βασίζεται σε παραοχές που αποβλέπουν στην ικανοποιητική απόοση της κύριας καταπόνησης του σώματος. Το πείο μετακινήσεων για την οκό επιλέγεται ως εξής: 1 3 ( x) 1 w( x) s w( x) z (1) Είναι φανερό ότι όλες οι ελαστικές παραμορφώσεις που αναπτύσσονται με βάση το παραπάνω πείο μετακινήσεων είναι μηενικές εκτός της ε xx. Επιπλέον η καμπτική παραμόρφωση εκφράζεται συναρτήσει του x ηλ. της τεταγμένης του κεντροβαρικού άξονα της οκού. Σχ. 3 Αμφιέρειστη οκός με ομοιόμορφα κατανεμημένο φορτίο Το παραπάνω πείο μετακινήσεων εν είναι απαλλαγμένο λαθών ακόμα και στα πλαίσια της θεωρίας των μικρών παραμορφώσεων. Οι τάσεις στις πλαϊνές πλευρές της οκού όπου εν υπάρχουν φορτία αναμένονται μηενικές, όπως επίσης και στη κάτω παρειά. Αν θεωρήσουμε όμως ένα ομογενές ισότροπο ελαστικό υλικό με καταστατικό νόμο συμπεριφοράς το γενικευμένο νόμο του Hooke τότε από την μαθηματική θεωρία της ελαστικότητας έχουμε:

τ yy τ zz νe ε ( 1 ν )(1 ν ) xx () Για να μηενίσουμε τις τάσεις αυτές θα πρέπει να θεωρήσουμε ένα υλικό με λόγο Poisson ν. Επιπλέον το παραπάνω πείο μετακινήσεων ίνει μηενική ιατμητική τάση γεγονός που αντίκειται στην ισορροπία κατά τον κάθετο στον κεντροβαρικό άξονα της οκού. τ xy Η ολική υναμική ενέργεια της οκού ίνεται από την σχέση: I L EI w qw (3) περιλαμβάνει την ελαστική ενέργεια από ροπές κάμψεως και το έργο του εξωτερικού ομοιόμορφου φορτίου. Οι εξίσωση Eler-Lgrnge για το συγκεκριμένο συναρτησιακό είναι: w w w (4) όπου EI w qw οκού προκύπτει ως εξής: EI w qw ή ( ) και άρα η εξίσωση της ( EIw ) ( ) q (4) ή για σταθερό ΕΙ EIw IV q (5) Οι αποεκτές κινηματικές και φυσικές συνοριακές συνθήκες προκύπτουν ως εξής: 1

w ή EIw M (6) w w M ή Q (7) w w Δηλαή η κλίση της ελαστικής γραμμής ή η ροπή θα πρέπει να είναι μηενική και η βύθιση ή η τέμνουσα θα πρέπει να μηενίζεται στα άκρα. Από τους συνυασμούς των παραπάνω κινηματικών και φυσικών συνοριακών τιμών προκύπτουν τα ιάφορα προβλήματα της οκού.