ρωτήσεις ανάπτυξης. α) πό το ορθογώνιο τρίγωνο, έχουµε: - () λλά R, R, αφού η γωνία 0. () γίνεται: (R) - R R - R R Άρα R cm H πλευρά α του ισοπλεύρου τριγώνου είναι α 6 cm. β) Το 6 7 cm. B A H O. κεντρική γωνία ω του κανονικού ν-γώνου δίδεται από τον τύπο: ω 60 60 60, ν Ν - {, }. Με ω 6 έχουµε: 6 ή ν,5. ν ν 6 Άρα δεν υπάρχει τέτοιο κανονικό πολύγωνο.. α) Ισχύει + 80 cm () ν x είναι η πλευρά του τετραγώνου, τότε από το Πυθαγόρειο θεώρηµα στο τρίγωνο έχουµε: + ή (R) x + x ή R O R x ή x R. Άρα x R () A B 0 πό () και () έχουµε: R 80 ή R ή R 0 cm β) πλευρά x του τετραγώνου είναι: x 0 0 cm Άρα τετραγώνου λ κύκλου 0 π (0 cm ) cm 600 cm π 800 cm, άρα λ π 8
. α) Ισχύει - cm () ν x η πλευρά του τετραγώνου, τότε: R x ή x R () () λόγω της () γίνεται: R - R ή R ( - ) ή R - ( - ( + ) ( + ) ) ( + - ) ή R 6 ( + ) cm β) E πr π [6 ( + )] ή 7π ( + ) cm 5. α) Ισχύει λ + λ 96 cm () µε λ R, λ R, η σχέση () γίνεται: R + R 96 ή R ( + ) 96 ή R 96 + ( 96 ( + R 96 ( - ) cm β) α R 96 ( R 96 ( - α - ) - ) ( ) ή ) - ή ) α 8 ( α 8 ( - 6 - ) cm ) cm 6. Το εξάγωνο που σχηµατίζεται από τα µέσα Κ των πλευρών του κανονικού εξαγώνου Ζ είναι το ΘΙΚΛΜ. Συγκρίνοντας τα τρίγωνα Θ, ΘΙ, παρατηρούµε ότι έχουν Θ Θ Ι και γωνίες B 0. Ζ Λ Μ Ι Θ 8
Άρα αυτά είναι ίσα και άρα Θ ΘΙ. πίσης, η γωνία ΘΙ 0. ενικεύοντας ισχύει Θ ΘΙ Μ και Θ Ι Κ 0. Άρα το εξάγωνο ΘΙΚΛΜ είναι κανονικό. 7. Τα δύο κανονικά οκτάγωνα είναι όµοια πολύγωνα και ο λόγος οµοιότητας λ ισούται µε το λόγο των αποστηµάτων τους, δηλαδή λ α 8 α 8. α) λόγος των περιµέτρων του ισούται µε το λόγο οµοιότητας, δηλαδή Π. Π' β) λόγος των εµβαδών τους ισούται µε το τετράγωνο του λόγου της οµοιότητάς τους, δηλαδή 9. ' 6 8. α) Στο ορθογώνιο τρίγωνο εφαρµόζουµε Πυθαγόρειο θεώρηµα και έχουµε: - ή 8 - ( ) 6-6 6. ω Άρα cm και λ ν 8 cm β) Στο τρίγωνο, η 8 cm, δηλαδή R λ ν είναι ισόπλευρο, άρα γωνία 60. γ) Το πλήθος των πλευρών ν του κανονικού πολυγώνου είναι: ν 60 ω ή ν 60 60. Άρα το τρίγωνο ή ν 6, πρόκειται δηλαδή για κανονικό εξάγωνο. 8
9. α) πλευρά 6 cm είναι η πλευρά του κανονικού εξαγώνου του εγγεγραµµένου στον κύκλο (, R). Άρα λ 6 R 6 cm. ποµένως η πλευρά λ R 6 cm. β) λ 6 6 cm Ζ ω Θ α 6 R 6 cm λ R 6 cm Θ α R 6 cm. ποµένως: λ λ 6 6 (ABΖ) (A) 6 () (O) 6 Θ, Θ 0. α) Στο τρίγωνο η είναι διάµεσος (αφού ) και ύψος (αφού η γωνία 90 ως εγγεγραµµένη γωνία που βαίνει σε ηµικύκλιο). Άρα το τρίγωνο είναι ισοσκελές και άρα. β) Στο τρίγωνο οι γωνίες A E 5. Άρα η γωνία 90. Άρα η είναι εφαπτοµένη του κύκλου στο σηµείο. γ) () A R R R 8
. α) A 60 - ( AB + B + ) 60-60 - 90-0 90 Θ Άρα A B 90. Άρα οι χορδές και είναι ίσες και επιπλέον // ( B 05, 75 ). Άρα ισοσκελές τραπέζιο. β) AB 60, άρα η χορδή AB λ 6 R B 90, άρα η χορδή λ R 0, άρα η χορδή λ R A 90, άρα η χορδή λ R γ) ( + ) Θ () λλά α 6 Άρα Θ + Θ R R, Θ α R R R ( + ) + () λόγω της () και του (β) ερωτήµατος γίνεται: (R + R R ( + ) R ) ( + ) () 85
. α) λ, λ, δ R (δ διαγώνιος του τετραγώνου ) R Άρα δ R AB ή AB ή R λ ή λ R και λ R. λ (R ) R β) λ λ (R) R. H απόσταση λ λ ΚΛ Κ + Λ R α 6 + α 6 α 6 λλά λ 6 R λ. R. Κ Λ Άρα ΚΛ λ.. α) Έχουµε µε R cm: λ 6 cm, Θ α 6 α cm, Ζ λ cm cm Θ Άρα Ζ 6 6 β) Θ 7 cm 7 Ζ - EZB - Ζ 7 7 - - 7. Άρα 7 cm. Ζ 86
5. α) H κεντρική γωνία ω του κανονικού εγγεγραµµένου πολυγώνου είναι: ω L ή ω 0. λλά ισχύει ω πλευρών του κανονικού πολυγώνου. Άρα ν 60 µε ν τον αριθµό των ν 60, ν 0 β) πλευρά λ του ισοπλεύρου τριγώνου είναι λ R και το απόστηµά του α R. Άρα το εµβαδόν του υπολογίζεται: R R R ή E cm 6. α) λ 6 R OH α 6 R Ζ 6 AB R 6 R R Ζ β) E πr - Ζ πr - R πr - R R (π - ) 7. α) ακτίνα του κύκλου είναι α. Άρα το εµβαδόν του κύκλου είναι: α πα π () β) Το εµβαδό του τετραγώνου είναι: E α () Με αφαίρεση της () από τη () έχουµε το ζητούµενο εµβαδό: α - πα α - πα α ( - π) α 87
8. α) ν λ είναι η πλευρά του τετραγώνου, τότε λ R ή λ 6 cm. ποµένως (6 ) cm 7 cm. β) H ακτίνα του εξωτερικού κύκλου είναι R 6 cm και η ακτίνα του εσωτερικού κύκλου είναι ρ π 6 λ π ( ) cm. Άρα ο λόγος των εµβαδών τους είναι: 6 8 9. α) είναι πλευρά ισοπλεύρου τριγώνου εγγεγραµµένου σε κύκλο. Άρα 0. ποµένως: S AB π R 0 πr 80 β) ια το εµβαδό του κυκλικού τοµέα έχουµε: o π R R E κ.τοµ. 0 π o 60 0. α) Στο ορθογώνιο τρίγωνο Κ µε R και Κ εφαρµόζουµε R πυθαγόρειο θεώρηµα και έχουµε: R Κ R 88
Κ - Κ R R - R - R Άρα Κ ισοσκελές. Άρα 5, άρα E π R AOB 60 90 R R R και εποµένως το ορθογώνιο τρίγωνο Κ είναι + 90. ποµένως: πr () β) [ E - ] () AOB λλά R () πό () και () η σχέση () γίνεται: [ πr - R ] R (π - ). α) ια τον υπολογισµό του εµβαδού του µικρότερου κυκλικού τµήµατος αφαιρούµε από το εµβαδό του κυκλικού τοµέα το εµβαδό του τριγώνου. E AOB π R 90 60 πr () R () Το ζητούµενο εµβαδόν σύµφωνα µε τις (), () είναι: πr - R R (π - ) () β) ια τον υπολογισµό του µεγαλύτερου κυκλικού τµήµατος αφαιρούµε από το εµβαδό του κύκλου το εµβαδό της σχέσης () και έχουµε: πr - R (π - ) R (π + ) 89