ΚΕΝΤΡΙΚΑ ΠΕΔΙΑ ΔΥΝΑΜΕΩΝ

ΜΑΘΗΜΑ 10 ο ΚΕΝΤΡΙΚΑ ΠΕΔΙΑ ΔΥΝΑΜΕΩΝ Είναι σαν µια δύναµη που πηγάζει από τον Ήλιο 1 Johannes Kepler (16 ος αιώνας) Η θεωρία των κεντρικών πεδίων δυνάµμεων είναι µμάλλον η πρώτη πλήρης µμαθη- µματική θεωρία που, µμε τη συµμβολή του Νεύτωνα και των µμεταγενέστερών του, ανταποκρίθηκε σε ένα βασικό αµμφίπλευρο ζητούµμενο της Κλασικής Μηχανικής Αφενός να υπολογιστούν οι τροχιές που έχει τη δυνατότητα να διαγράψει ένα σώµμα υπό την επίδραση κεντρικών δυνάµμεων και αφετέρου να υπολογιστούν οι κεντρικές δυνάµμεις που έχουν τη δυνατότητα να προκαλέσουν γνωστές από την παρατήρηση τροχιές των σωµμάτων Ο Νεύτωνας, µμε τη θεµμελιώδη εξίσωση της κίνησης και το νόµμο της παγκόσµμιας έλξης, ανέδειξε αυτό το ζητούµμενο και οδήγησε το θέµμα της κίνησης των ουρανίων σωµμάτων σε απλή υπολογιστική διαδικασία στο πλαίσιο της Κλασικής Μηχανικής Κάθε κεντρικό πεδίο δυνάµμεων χαρακτηρίζεται από την ύπαρξη ενός κέντρου, της πηγής του πεδίου, όπου συντρέχουν οι φορείς των δυνάµμεων και από το ότι η έντασή τους σε κάθε σηµμείο του χώρου εξαρτάται αποκλειστικά από το πόσο απέχει αυτό το σηµμείο από την πηγή του πεδίου Ο ορισµμός αυτός αποκτά το νόηµμά του από τη φυσική ισοτροπία του χώρου και καθιστά εµμφανές το ότι πρόκειται για πεδία δυναµμικού που διαµμερίζουν το χώρο γύρω από την πηγή τους σε σφαιρικές ισοδυναµμικές επιφάνειες Η θεώρηση των κεντρικών πεδίων δυνάµμεων, ήδη από τα µμέσα του 19 ου αιώνα, έδωσε τη δυνατότητα ερµμηνείας άλλων φαινοµμένων πέρα από το γνωστικό πλαίσιο της Κλασικής Μηχανικής 2 1 Johannes Kepler, Harmonices Mundi, 1619 2 André-Marie Ampère, Sur la théorie des forces centrales, 1831

252 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Β : ΠΕΔΙΑ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ 101 Η κλασική θεώρηση των κεντρικών πεδίων δυνάμεων Ένα πεδίο δυνάµμεων ορισµμένο στον ευκλείδειο χώρο: F : 3 3 καλείται κεντρικό όταν οι φορείς των δυνάµμεών του συντρέχουν σε ένα κοινό σηµμείο, την πηγή του πεδίου, και το µμέτρο τους εξαρτάται αποκλειστικά από την απόσταση των σηµμείων εφαρµμογής τους από την πηγή του πεδίου Στο ευκλείδειο σύστηµμα αναφοράς, τοποθετηµμένο στην πηγή του πεδίου, θεω- ρώντας το µμοναδιαίο ακτινικό διάνυσµμα, προκύπτει η εξής έκφραση: F(x) = f (r) e r Ο συναρτησιακός συντελεστής που υπεισέρχεται στην έκφραση του κεντρικού πεδίου εξαρτάται αποκλειστικά από το µμέτρο του διανύσµματος θέσης που υπο- δεικνύει το εκάστοτε σηµμείο εφαρµμογής της δύναµμης 1 Πρόκειται για συνεχή συνάρτηση µμιας θετικής πραγµματικής µμεταβλητής και από την παράγουσά της ορίζεται, µμε προσέγγιση προσθετικής σταθεράς, η συνάρτηση δυναµμικού: U(x) = f (r)dr : F(x) = U(x) Τα κεντρικά πεδία διακρίνονται σε ελκτικά ή απωστικά ανάλογα µμε το πρόσηµμο του συναρτησιακού τους συντελεστή: f (r) < 0 ή f (r) > 0 Σχηµματική παράσταση ελκτικού και απωστικού κεντρικού πεδίου δυνάµμεων 1 Στο ευκλείδειο σύστηµμα αναφοράς, θεωρώντας το διάνυσµμα θέσης κάθε σηµμείου του χώρου, εκτός της πηγής του κεντρικού πεδίου, προκύπτει: r = x 1 e1 + x 2 e2 + x 3 e3 r r = (x 1 2 + x 2 2 + x 3 2 ) 1/2 e r = r / r Έτσι, υπάρχει η δυνατότητα της ακόλουθης εναλλακτικής έκφρασης των κεντρικών πεδίων: F(x) = φ(r) r όπου φ(r) = f (r) / r Συχνά, ο συναρτησιακός συντελεστής που υπεισέρχεται στην έκφραση του κεντρικού πεδίου και συνακόλουθα η συνάρτηση δυναµμικού δεν ορίζονται στην πηγή του

ΜΑΘΗΜΑ 10 ο : ΚΕΝΤΡΙΚΑ ΠΕΔΙΑ ΔΥΝΑΜΕΩΝ 253 Ελκτικό κεντρικό πεδίο δυνάµμεων F(x) = f (r) e r, f (r) < 0 Απωστικό κεντρικό πεδίο δυνάµμεων F(x) = f (r) e r, f (r) > 0 102 Η ενέργεια και η στροφορμή στα κεντρικά πεδία δυνάμεων Στα κεντρικά πεδία δυνάµμεων, κατά την κίνηση µμιας σηµμειακής µμάζας, ισχύουν οι θεµμελιώδεις αρχές διατήρησης της µμηχανικής ενέργειας και της στροφορµμής Θεώρηµα Δ ιατήρηση της στροφορµής και της ενέργειας στα κεντρικά πεδία Κατά την κίνηση µιας σηµειακής µάζας σε κεντρικό πεδίο δυνάµεων, η στροφορµή της ως προς την πηγή του πεδίου διατηρείται σταθερή και η τροχιά της εξελίσσεται µε σταθερή ενεργειακή τιµή στο κάθετο επίπεδο προς το σταθερό διάνυσµα της στροφορµής της Στις καρτεσιανές και στις πολικές συντεταγµένες του επιπέδου της κίνησης της σηµειακής µάζας, η σταθερή ενεργειακή της τιµή και το µέτρο της σταθερής στροφορµής της εκφράζονται αντίστοιχα ως εξής : = U(ζ 1 (t),ζ 2 (t)) + 1 2 m( ζ 1 2 (t) + ζ 2 2 (t)) = m(ζ 1 (t) ζ 2 (t) ζ 1 (t)ζ 2 (t)) = U(r(t)) + 1 2 m(r 2 (t) + r 2 (t) θ 2 (t)) = mr 2 (t) θ 2 (t) Καρτεσιανές και πολικές συντεταγµμένες στο επίπεδο κίνησης της σηµμειακής µμάζας Απόδειξη Η ροπή της ασκούµμενης κεντρικής δύναµμης στη σηµμειακή µμάζα ως προς την πηγή του πεδίου είναι πάντα σε κάθε σηµμείο του χώρου µμηδενική: Λ(t) = r (t) F(x) = r (t) f (r) e r = 0

254 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Β : ΠΕΔΙΑ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Συνεπώς, κατά τη διάρκεια της κίνησης της σηµμειακής µμάζας, η στροφορµμή της ως προς την πηγή του πεδίου είναι σταθερή: 1 Ω(t) = r (t) p(t) = Άρα, η τροχιά της σηµμειακής µμάζας εξελίσσεται εξολοκλήρου στο επίπεδο που είναι κάθετο στο σταθερό διάνυσµμα της στροφορµμής της και ορίζεται από την πηγή του πεδίου και την αρχική θέση και ταχύτητα της σηµμειακής µμάζας: 2 Π Το σταθερό αυτό διάνυσµμα της στροφορµμής της σηµμειακής µμάζας υπολογίζεται εξαρχής από τις αρχικές συνθήκες της θέσης και της ταχύτητάς της: = m r (0) r (0) Στις καρτεσιανές συντεταγµμένες του επιπέδου της κίνησης της σηµμειακής µμάζας η έκφραση του µμέτρου της σταθερής στροφορµμής της υποδεικνύει ότι: = m(ζ 1 (t) ζ 2 (t) ζ 1 (t)ζ 2 (t)) και περνώντας στις πολικές συντεταγµμένες προκύπτει η αξιοσηµμείωτη σχέση: = mr 2 (t) θ 2 (t) Στα κεντρικά πεδία δυνάµμεων η τροχιά µμιας σηµμειακής µμάζας εξελίσσεται στο επίπεδο που είναι κάθετο στο σταθερό διάνυσµμα της στροφορµμής της ως προς την πηγή του πεδίου 3 1 Το συµμπέρασµμα αυτό προκύπτει λαµμβάνοντας υπόψη ότι: dω(t) = Λ(t) dt Στο ίδιο συµμπέρασµμα οδηγεί ο απευθείας υπολογισµμός της χρονικής παραγώγου της στροφορµμής: dω(t) = r (t) p(t) + r (t) p(t) = r (t) ( f (r) e dt r (t)) = f (r) r (t) e r (t) = 0 Ω(t) = Ω o 2 Λαµμβάνοντας υπόψη τη σταθερότητα της στροφορµμής, ένας απλός υπολογισµμός υποδεικνύει: < Ω(t), r (t) > = < r (t) p(t), r (t) > = < p(t), r (t) r (t) > = 0 r (t) 3 Στην περίπτωση µμηδενικής αρχικής ταχύτητας ή γενικότερα µμηδενικής στροφορµμής, η σηµμειακή µμάζα κινείται ευθύγραµμµμα, ελκτικά ή απωστικά, σε άξονα που διέρχεται από την πηγή του πεδίου

ΜΑΘΗΜΑ 10 ο : ΚΕΝΤΡΙΚΑ ΠΕΔΙΑ ΔΥΝΑΜΕΩΝ 255 Τα κεντρικά πεδία διαθέτουν συνάρτηση δυναµμικού και στο χώρο των θέσεων και ταχυτήτων της σηµμειακής µμάζας ορίζεται η συνάρτηση ενέργειας: E : 3 3, E(x, x) = U(x) + K( x) Στα κεντρικά πεδία, όπως σε όλα τα πεδία δυναµμικού, η συνάρτηση ενέργειας διατηρεί σταθερή τιµμή κατά µμήκος της τροχιάς της σηµμειακής µμάζας: E(x(t), x(t)) = U(x(t)) + 1 2 m x(t)2 = Η σταθερή αυτή ενεργειακή τιµμή της σηµμειακής µμάζας υπολογίζεται εξαρχής από τις αρχικές συνθήκες της θέσης και της ταχύτητάς της: = U(x(0)) + 1 2 m x(0)2 Στις καρτεσιανές συντεταγµμένες του επιπέδου της κίνησης της σηµμειακής µμάζας η έκφραση της σταθερής ενεργειακής τιµμής υποδεικνύει ότι: = U(ζ 1 (t),ζ 2 (t)) + 1 2 m( ζ 1 2 (t) + ζ 2 2 (t)) και περνώντας στις πολικές συντεταγµμένες προκύπτει η αξιοσηµμείωτη σχέση: = U(r(t)) + 1 2 m(r 2 (t) + r 2 (t) θ 2 (t)) 103 Ο νόμος των εμβαδών στα κεντρικά πεδία δυνάμεων Θεώρηµα Η σταθερότητα της εµβαδικής ταχύτητας στα κεντρικά πεδία 1 Κατά την κίνηση µιας σηµειακής µάζας σε κεντρικό πεδίο δυνάµεων, το διάνυσµα της θέσης της σε ισόχρονα διαστήµατα σαρώνει ισοεµβαδικά χωρία στο επίπεδο της κίνησής της και η εµβαδική ταχύτητα σάρωσης αυτών των χωρίων ορίζεται από το σταθερό µέτρο της στροφορµής της Ο νόµμος των εµμβαδών στα κεντρικά πεδία δυνάµμεων 1 Ο Johannes Kepler παρατηρώντας τις κινήσεις των πλανητών ανακάλυψε εµμπειρικά αυτόν το νόµμο, το 1609, ο οποίος ισχύει σε όλα τα κεντρικά πεδία δυνάµμεων και µμόνο σε αυτά

256 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Β : ΠΕΔΙΑ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Απόδειξη Στα κεντρικά πεδία δυνάµμεων, κατά την κίνηση µμιας σηµμειακής µμά- ζας, το διάνυσµμα της θέσης της σαρώνει µμε την πάροδο του χρόνου ένα χωρίο στο επίπεδο της κίνησής της και ο ρυθµμός µμεταβολής του εµμβαδού του χωρίου αυτού ορίζει την εµμβαδική ταχύτητα της σηµμειακής µμάζας: C(t) = ds(t) dt Στις πολικές συντεταγµμένες του επιπέδου της κίνησης της σηµμειακής µμάζας, ο ορισµμός της εµμβαδικής ταχύτητας οδηγεί στην ακόλουθη διαφορική σχέση: ds(t) = C(t)dt ds(t) = 1 r(t) ( r(t)dθ(t) ) = 1 2 2 r 2 (t) θ(t)dt Από εδώ προκύπτει η έκφραση της εµμβαδικής ταχύτητας: C(t) = 1 2 r 2 (t) θ(t) Κατά την κίνηση της σηµμειακής µμάζας, η στροφορµμή της διατηρείται σταθερή και στις πολικές συντεταγµμένες του επιπέδου της κίνησής της προκύπτει: = mr 2 (t) θ 2 (t) Έτσι προκύπτει η σταθερότητα της εµμβαδικής ταχύτητας της σηµμειακής µμάζας και ο νόµμος των εµμβαδών του Kepler που ισχύει σε όλα τα κεντρικά πεδία: Ct () =Ω /2m o 104 Οι εξισώσεις της κίνησης στα κεντρικά πεδία δυνάμεων Στα κεντρικά πεδία δυνάµμεων, όπως ήδη γνωρίζουµμε, η τροχιά µμιας σηµμειακής µμάζας εξελίσσεται σε ένα επίπεδο που ορίζεται από την πηγή του πεδίου και τις αρχικές συνθήκες της θέση και της ταχύτητάς της Η εξίσωση του Νεύτωνα, η οποία διέπει την κίνηση της σηµμειακής µμάζας, θα εκφραστεί πλέον στις πολικές συντεταγµμένες του επιπέδου εξέλιξης της τροχιάς της Θεώρηµα Εξισώσεις της κίνησης στα κεντρικά πεδία Σε κάθε κεντρικό πεδίο δυνάµεων : F(x) = f (r) e r οι εξισώσεις που διέπουν την κίνηση µιας σηµειακής µάζας εκφράζονται στις πολικές συντεταγ- µένες του επιπέδου εξέλιξης της τροχιάς της ως εξής: m r(t) mr(t) θ 2 (t) = f (r) και r(t) θ(t) + 2 r(t) θ(t) = 0

ΜΑΘΗΜΑ 10 ο : ΚΕΝΤΡΙΚΑ ΠΕΔΙΑ ΔΥΝΑΜΕΩΝ 257 Απόδειξη Στη µμιγαδική θεώρηση του επιπέδου της κίνησης της σηµμειακής µμά- ζας, η θέση της δηλώνεται κάθε χρονική στιγµμή ως εξής: zt () () i t () = rt e θ Η ταχύτητα και η επιτάχυνση της σηµμειακής µμάζας υπολογίζονται ως εξής: z(t) = r(t)e iθ (t) z(t) = r(t)e iθ (t) + r(t) θ(t)e i(θ (t)+π /2) z(t) = ( r(t) r(t) θ 2 (t))e iθ + ( 2 r(t) θ(t) + r(t) θ(t) )e i(θ (t)+π /2) Από εδώ προκύπτει η αποσύνθεσή τους σε ακτινική και εγκάρσια συνιστώσα: r (t) = r(t) e r + r(t) θ(t) e θ ( ) e r + 2 r(t) θ(t) + r(t) r (t) = r(t) r(t) θ 2 (t) ( θ(t) ) e θ Συνεπώς, η εξίσωση του Νεύτωνα που διέπει την κίνηση της σηµμειακής µμάζας: F(x)m = f (r) e r m r (t) = f (r) er εκφράζεται στις πολικές συντεταγµμένες του επιπέδου της κίνησης ως εξής: m r(t) mr(t) θ 2 (t) = f (r) και r(t) θ(t) + 2 r(t) θ(t) = 0 Αποσύνθεση της ταχύτητας και της επιτάχυνσης σε ακτινικές και εγκάρσιες συνιστώσες 105 Το ενεργό δυναμικό και η αναγωγή σε μονοδιάστατη κίνηση Σε κάθε κεντρικό πεδίο δυνάµμεων: F(x) = f (r) e r γνωρίζουµμε ήδη την έκφραση των εξισώσεων της κίνησης µμιας σηµμειακής µμάζας στις πολικές συντεταγµμένες του επιπέδου όπου εξελίσσεται η τροχιά της: m r(t) mr(t) θ 2 (t) = f (r) και r(t) θ(t) + 2 r(t) θ(t) = 0 Επίσης, γνωρίζουµμε ότι ισχύει ο νόµμος των εµμβαδών του Kepler, ο οποίος ανα- δεικνύει τη σταθερότητα του µμέτρου της στροφορµμής της σηµμειακής µμάζας: = m r 2 (t) θ(t)

258 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Β : ΠΕΔΙΑ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Ο νόµμος αυτός εµμπεριέχεται στη δεύτερη από τις εξισώσεις που διέπουν την κί- νηση της σηµμειακής µμάζας στο κεντρικό πεδίο 1 Συνδυαζόµμενος µμε την πρώτη εξίσωση οδηγεί σε µμια εξίσωση ενός βαθµμού ελευθερίας στην οποία υπεισέρχε- ται µμόνο η αποµμάκρυνση της σηµμειακής µμάζας από την πηγή του πεδίου: m r(t) = f (r) + Ω 2 o / mr 3 (t) Συγκεκριµμένα, εισάγοντας το µμονοδιάστατο ενεργό δυναµμικό : V(r) = U(r) + 2 / 2mr 2 προκύπτει η εξίσωση µμιας ιδεατής µμονοδιάστατης ακτινικής κίνησης: m r(t) + dv dr = 0 Πόρισµα Αναγωγή στη µονοδιάστατη ακτινική κίνηση Κατά την κίνηση µιας σηµειακής µάζας σε κεντρικό πεδίο δυνάµεων, η απόστασή της από την πηγή του πεδίου µεταβάλλεται όπως στη µονοδιάστατη ακτινική κίνηση που ορίζεται από το ενεργό δυναµικό και διέπεται από την εξίσωση : m r(t) + dv dr = 0 Απόδειξη Το συµμπέρασµμα προκύπτει απευθείας από την προφανή ισοδυναµμία: m r(t) + dv dr = 0 m r(t) = f (r) + Ω 2 / mr 3 (t) o Το µμονοδιάστατο ενεργό δυναµμικό, σε αντίθεση προς το δυναµμικό του κεντρι- κού πεδίου, εξαρτάται από το µμέτρο της στροφορµμής της σηµμειακής µμάζας, άρα από την αρχική της θέση και την αρχική της ταχύτητα Ο παρατηρητής που µμε- τέχει στην κίνηση της επιβατικής ακτίνας, θα συµμπεριλάβει στην εξίσωση της µμονοδιάστατης ιδεατής κίνησης τη φυγόκεντρη δύναµμη, η οποία εξαρτάται από τη γωνιακή ταχύτητα της στροφικής κίνησης της επιβατικής ακτίνας 2 1 Η εξίσωση αυτή απορρέει από το νόµμο των εµμβαδών που ισχύει στα κεντρικά πεδία: = mr 2 (t) θ(t) d ( mr 2 (t) θ(t) ) = 0 r(t) θ(t) + 2 r(t) θ(t) = 0 dt και µμε δεδοµμένη την έκφραση του µμέτρου της στροφορµμής της σηµμειακής µμάζας προκύπτει: m r(t) mr(t) θ 2 (t) = f (r) m r(t) = f (r) + Ω 2 o / mr 3 (t) 2 Η φυγόκεντρη δύναµμη υπεισέρχεται σε αυτή την εξίσωση ως εξής: V(r) = U(r) + 2 / 2mr 2 dv dr = du dr Ω 2 / mr 3 dv o dr = du dr mr ω 2 m r(t) + dv dr = mrω 2

ΜΑΘΗΜΑ 10 ο : ΚΕΝΤΡΙΚΑ ΠΕΔΙΑ ΔΥΝΑΜΕΩΝ 259 Το αξιοσηµμείωτο συµμπέρασµμα που απορρέει από τη θεώρηση του ενεργού δυ- ναµμικού έχει να κάνει µμε την ενεργειακή τιµμή της µμονοδιάστατης κίνησης και εκείνης που αποκτά η σηµμειακή µμάζα κατά την κίνησή της στο κεντρικό πεδίο Πόρισµα Ενεργειακή αναγωγή στη µονοδιάστατη ακτινική κίνηση Κατά την κίνηση µιας σηµειακής µάζας σε κεντρικό πεδίο δυνάµεων, η σταθερή ενεργειακή της τιµή είναι ίδια µε εκείνη που θα είχε αν εκτελούσε τη µονοδιάστατη ακτινική κίνηση που ορίζεται από το ενεργό δυναµικό Απόδειξη Η ενεργειακή τιµμή της µμονοδιάστατης κίνησης εκφράζεται ως εξής: = V(r(t)) + 1 2 m r 2 (t) Η ενεργειακή τιµμή της σηµμειακής µμάζας κατά την κίνησή της στο κεντρικό πεδίο εκφράζεται στις πολικές συντεταγµμένες του επιπέδου κίνησης ως εξής: = U(r(t)) + 1 2 m(r 2 (t) + r 2 (t) θ 2 (t)) Η έκφραση του ενεργού δυναµμικού και του µμέτρου της σταθερής στροφορµμής: οδηγούν στο συµμπέρασµμα: = U(r) + 1 2 m r 2 (t) + = m r 2 (t) θ(t) 2 2mr 2 (t) = V(r) + 1 2 m r 2 (t) = 106 Δακτύλιοι επιτρεπτής κίνησης στα κεντρικά πεδία δυνάμεων Στα κεντρικά πεδία δυνάµμεων, γνωρίζουµμε ήδη ότι, κατά την κίνηση της σηµμει- ακής µμάζας, η απόστασή της από την πηγή του πεδίου µμεταβάλλεται όπως στη µμονοδιάστατη κίνηση η οποία ορίζεται µμε τη θεώρηση του ενεργού δυναµμικού Επίσης, η ενεργειακή τιµμή της µμονοδιάστατης κίνησης είναι ίδια µμε εκείνη της σηµμειακής µμάζας, άρα η µμέγιστες τιµμές του ενεργού δυναµμικού δεν είναι δυνατό να υπερβούν την ενεργειακή τιµμή της σηµμειακής µμάζας: V(r) Γράφηµμα ενεργού δυναµμικού και ενεργειακή τιµμή της σηµμειακής µμάζας

260 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Β : ΠΕΔΙΑ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Στο επίπεδο κίνησης της σηµμειακής µμάζας ορίζονται συνακόλουθα ένας ή περισ- σότεροι οµμόκεντροι δακτύλιοι γύρω από την πηγή του πεδίου, οι ακτίνες των οποίων υποδεικνύονται από τις ρίζες της εξίσωσης: V(r) = Οι αρχικές συνθήκες της θέσης και της ταχύτητας της σηµμειακής µμάζας καθορί- ζουν το ενεργό δυναµμικό και την ενεργειακή της τιµμή, και συνακόλουθα τους δακτύλιους στους οποίους είναι εφικτή η κίνησή της Συγκεκριµμένα, η τροχιά θα εξελιχθεί σε έναν από αυτούς τους δακτυλίους και θα είναι φραγµμένη ή θα εξελιχθεί πέρα από τον ακραίο δακτύλιο που η ακτίνα του υποδεικνύεται από τη µμεγαλύτερη ρίζα αυτής της εξίσωσης Η σηµμειακή µμάζα δεν έχει δυνατότητα διείσδυσης στο εσωτερικό του κύκλου του οποίου η ακτίνα δίνεται από τη µμι- κρότερη θετική ρίζα αυτής της εξίσωσης Η φορά της τροχιάς της είναι πάντα σταθερή, αφού η γωνιακή της ταχύτητα διατηρεί σταθερό πρόσηµμο, όπως υπο- δεικνύει η ακόλουθη συνεπαγωγή: = m r 2 (t) θ(t) ω(t) := θ(t) = / mr 2 (t) Δακτύλιος επιτρεπτής κίνησης της σηµμειακής µμάζας Αν η τροχιά εξελίσσεται σε έναν από τους δακτυλίους, τα σηµμεία όπου συναντά διαδοχικά τον εσωτερικό και εξωτερικό κύκλο του υποδεικνύουν αντίστοιχα τη µμικρότερη και µμεγαλύτερη απόσταση στην οποία θα βρεθεί η σηµμειακή µμάζα από την πηγή του πεδίου κατά τη διάρκεια της κίνησής της Έτσι ορίζονται τα περίκεντρα και τα απόκεντρα της κίνησης που καλούνται αψίδες της τροχιάς και εκεί µμηδενίζεται η ακτινική συνιστώσα της ταχύτητας της σηµμειακής µμάζας: υ(t) = r(t) e r + r(t) θ(t) e θ Συνεπώς, η τροχιά όταν διέρχεται από τις αψίδες συναντά εφαπτοµμενικά τους κύκλους του δακτυλίου της κίνησης της σηµμειακής µμάζας µμε ταχύτητα: στα περίκεντρα : υ π (t) = mr min eθ, στα απόκεντρα : υ α (t) = mr max eθ

ΜΑΘΗΜΑ 10 ο : ΚΕΝΤΡΙΚΑ ΠΕΔΙΑ ΔΥΝΑΜΕΩΝ 261 107 Η φύση των τροχιών στα κεντρικά πεδία δυνάμεων Ο υπολογισµμός της τροχιάς µμιας σηµμειακής µμάζας σε ένα κεντρικό πεδίο δυνά- µμεων, µμε δεδοµμένες τις αρχικές συνθήκες της θέσης και της ταχύτητάς της, επι- τυγχάνεται µμε την αξιοποίηση πληροφοριών που παρέχονται από τις αρχές δι- ατήρησης της ενέργειας και της στροφορµμής και από το ενεργό δυναµμικό Θεώρηµα Η έκφραση των τροχιών της κίνησης στα κεντρικά πεδία Στα κεντρικά πεδία δυνάµεων, η χρονική εξέλιξη της τροχιάς µιας σηµειακής µάζας και η πολική της έκφραση υπολογίζονται στις πολικές συντεταγµένες του επιπέδου κίνησης ως εξής: 1 t t o = ± m 2 r(t) du θ θ r(t o ) o = ± V(u) 2m r(θ ) r(θ r 2 o ) du V(u) Απόδειξη Η ενεργειακή σχέση της µμονοδιάστατης κίνησης οδηγεί σε µμια δια- φορική εξίσωση χωριζόµμενων µμεταβλητών από όπου απορρέει το συµμπέρασµμα: = V(r) + 1 2 m r 2 (t) dr dt = ± 2 m V(r) Επίσης, από την έκφραση του σταθερού µμέτρου της στροφορµμής προκύπτει: = mr 2 dθ dr dr dt = ± mr 2 dθ dr 2 m V(r) 2m dθ dr = ± r 2 V(r) Πόρισµα Στα κεντρικά πεδία δυνάµεων, η πολική έκφραση της τροχιάς µιας σηµειακής µάζας υποδεικνύει ότι στους δακτυλίους επιτρεπτής κίνησης η γωνία που ορίζεται από την πηγή του πεδίου και τις διαδοχικές αψίδες είναι πάντα ίδια : Θ = 2m r max dr r r 2 min V(r) Η γωνία µμεταξύ δυο διαδοχικών αψίδων στο δακτύλιο κίνησης της σηµμειακής µμάζας 1 Γενικά, ο υπολογισµμός αυτών των ολοκληρωµμάτων είναι περίπλοκος και όχι προφανής

262 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Β : ΠΕΔΙΑ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Πόρισµα Στα κεντρικά πεδία δυνάµεων, η χρονική έκφραση της τροχιάς µιας σηµειακής µάζας υποδεικνύει ότι στους δακτυλίους επιτρεπτής κίνησης κάθε άξονας που ορίζεται από την πηγή του πεδίου και µια αψίδα είναι άξονας συµµετρικής επανάληψης ενός τµήµατος της τροχιάς: Τ = r max dr 2m r min V(r) Αυτό δεν σηµμαίνει ότι η τροχιά εµμφανίζει οπωσδήποτε καθολική περιοδικότητα, γιατί τότε θα όφειλε µμετά κάθε περίοδο να επανέλθει στην αρχική της θέση Το αν η τροχιά θα κλείσει εξαρτάται από τις διαδοχικές θέσεις των αψίδων στον εσωτερικό και εξωτερικό κύκλο του δακτυλίου και συγκεκριµμένα από το αν µμε- τά ένα ακέραιο πλήθος επαναλήψεων η γωνία τους θα καλύψει ή όχι ένα ακέ- ραιο πλήθος περιστροφών γύρω από την πηγή του πεδίου Θεώρηµα Η φύση των τροχιών στους δακτυλίους επιτρεπτής κίνησης Κατά την κίνηση µιας σηµειακής µάζας σε κεντρικό πεδίο δυνάµεων, αν η τροχιά της είναι φραγ- µένη τότε θα εµφανίσει καθολική περιοδικότητα και θα επανέλθει στην αρχική της θέση µε ίδια ταχύτητα αν και µόνο αν η γωνία των διαδοχικών αψίδων της στο δακτύλιο της κίνησής της είναι ρητό πολλαπλάσιο του 2π, ενώ σε αντίθετη περίπτωση η τροχιά δεν θα κλείσει και θα είναι τοπολογικά παντού πυκνή στο εσωτερικό του δακτυλίου της εξέλιξής της Εξέλιξη φραγµμένων τροχιών σε ένα δακτύλιο κίνησης στα κεντρικά πεδία δυνάµμεων Το πρακτικό συµμπέρασµμα βρίσκεται στο ότι αν είναι γνωστό το τµμήµμα µμιας κλειστής φραγµμένης τροχιάς µμεταξύ δυο διαδοχικών αψίδων, η συµμµμετρία της θα οδηγήσει στην πλήρη γνώση της Έτσι, προκύπτει το ερώτηµμα της αναγνω- ρισιµμότητας των κεντρικών πεδίων στα οποία οι φραγµμένες τροχιές είναι πάντα κλειστές και συνακόλουθα εµμφανίζουν καθολική περιοδικότητα Θεώρηµα 1 Τα µόνα κεντρικά πεδία δυνάµεων στα οποία οι φραγµένες τροχιές είναι πάντα κλειστές ορίζονται από τις ακόλουθες συναρτήσεις δυναµικού : Δ υναµικό Kepler : U(r) = k / r, Δ υναµικό Hooke : U(r) = k r 2, k > 0 1 Το σηµμαντικό αυτό θεώρηµμα απέδειξε ο Γάλλος µμαθηµματικός Joseph Louis François Bertrand (1822-1900), CR Acad Sc Paris, vol 77, p 849, 1873

ΜΑΘΗΜΑ 10 ο : ΚΕΝΤΡΙΚΑ ΠΕΔΙΑ ΔΥΝΑΜΕΩΝ 263 108 Κυκλικές τροχιές στα κεντρικά πεδία δυνάμεων Σε ένα κεντρικό πεδίο δυνάµμεων: F(x) = f (r) er, οι αρχικές συνθήκες της θέσης και της ταχύτητας µμιας σηµμειακής µμάζας που θα της επιβάλουν να διαγράψει κυκλική τροχιά στο επίπεδο της κίνησής της, αντι- στοιχούν στις θέσεις ισορροπίας της µμονοδιάστατης κίνησης η οποία ορίζεται στην επιβατική ακτίνα µμε τη θεώρηση του ενεργού δυναµμικού: V(r) = U(r) + 2 / 2mr 2 Πράγµματι, κατά την περιστροφή της επιβατικής ακτίνας, κάθε θέση ισορροπίας της µμονοδιάστατης κίνησης διατηρεί σταθερή απόσταση από την πηγή του πε- δίου, οπότε η σηµμειακή µμάζα διαγράφει κυκλική τροχιά στο επίπεδο της κίνησής της Οι θέσεις ισορροπίας της µμονοδιάστατης κίνησης εντοπίζονται στην επιβα- τική ακτίνα εκεί όπου το ενεργό δυναµμικό λαµμβάνει τις ακρότατες τιµμές του: V (r o ) = 0 και V (r o ) 0 Οι ακτίνες αυτών των τροχιών ορίζονται από τις θετικές ρίζες της εξίσωσης: dv dr = 0 f (r) + Ω 2 / mr 3 = 0 f (r)r 3 = Ω 2 o o /m Η αρχική θέση της σηµμειακής µμάζας οφείλει λοιπόν να απέχει από την πηγή του πεδίου όσο υποδεικνύουν οι θετικές ρίζες αυτής της εξίσωσης και η αρχική της ταχύτητα να έχει µμηδενική ακτινική συνιστώσα Προφανώς, η εξίσωση αυτή δέχεται θετικές ρίζες µμόνο στα ελκτικά κεντρικά πεδία και η κυκλικότητα της τροχιάς διασφαλίζεται όταν η ενεργειακή τιµμή της σηµμειακής µμάζας συµμπίπτει µμε µμια από τις ακρότατες τιµμές του ενεργού δυναµμικού Στην περίπτωση αυτή, όταν πρόκειται για ελάχιστη τιµμή η κυκλική τροχιά είναι ευσταθής και όταν πρόκειται για µμέγιστη τιµμή η κυκλική τροχιά είναι ασταθής Η ευστάθεια ή αστάθεια της κυκλικής τροχιάς ελέγχεται µμε τοπική διαταραχή των αρχικών συνθηκών της θέσης και της ταχύτητας της σηµμειακής µμάζας Η διαταραχή αυτή επηρεάζει την ενεργειακή της τιµμή και τη στροφορµμή της, άρα το ενεργό δυναµμικό χωρίς όµμως να έχει επίπτωση στη φύση των ακρότατων τιµμών του Η ευστάθεια ή όχι της κυκλικής τροχιάς υποδεικνύεται από την ευ- στάθεια ή όχι του αντίστοιχου σηµμείου ισορροπίας της µμονοδιάστατης κίνησης, άρα από το αν το ενεργό δυναµμικό λαµμβάνει εκεί ελάχιστη ή µμέγιστη τιµμή: V (r o ) > 0 ή V (r o ) < 0 Η συνθήκη που χαρακτηρίζει την ευστάθεια ή αστάθεια των κυκλικών τροχιών στα κεντρικά πεδία δυνάµμεων διατυπώνεται συνακόλουθα ως εξής:

264 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Β : ΠΕΔΙΑ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ < V (r o ) = f (r o ) 3Ω 2 o / mr 4 0 ευσταθεια o = f (r o ) 3 f (r o ) / r o > 0 ασταθεια Η σηµμειακή µμάζα διαγράφει την κυκλική τροχιά στο επίπεδο της κίνησής της µμε σταθερή γωνιακή ταχύτητα που υπολογίζεται ως εξής: = m r 2 (t) θ(t) ω o = θ(t) = / mr o 2 ω o 2 = f (r o ) /mr o και από εδώ υπολογίζεται το σταθερό µμέτρο της ταχύτητάς της ως εξής: υ(t) = r o ω o = / mr o υ o 2 = f (r o ) r o / m V V E 0 E 0 0 r 0 r Η κυκλική τροχιά είναι ευσταθής όταν η ενεργειακή τιµμή συµμπίπτει µμε την ελάχιστη τιµμή του ενεργού δυναµμικού και ασταθής όταν συµμπίπτει µμε τη µμέγιστη τιµμή του ενεργού δυναµμικού Για παράδειγµμα, στα κεντρικά πεδία δυνάµμεων: F(x) = f (r) e r f (r) = k / r n, k > 0, n, οι αντίστοιχες συναρτήσεις δυναµμικού προκύπτουν ως εξής: k U(x) = f (r)dr = r dr n H συνθήκη που χαρακτηρίζει την ευστάθεια ή αστάθεια των κυκλικών τροχιών µμιας σηµμειακής µμάζας σε αυτά τα κεντρικά πεδία υποδεικνύει ότι: V (r o ) = f (r o ) 3 f (r o ) / r o = k 3 n n r o n < 3 ευσταθεια n > 3 ασταθεια Γραφική παράσταση συναρτήσεων ενεργού δυναµμικού για διάφορες τιµμές του n

ΜΑΘΗΜΑ 10 ο : ΚΕΝΤΡΙΚΑ ΠΕΔΙΑ ΔΥΝΑΜΕΩΝ 265 109 Από τη γνώση της τροχιάς στην αναγνώριση του κεντρικού πεδίου Στα κεντρικά πεδία δυνάµμεων, αν είναι γνωστή από τις φυσικές παρατηρήσεις η τροχιά ενός σώµματος τότε είναι εφικτός ο προσδιορισµμός του πεδίου: F(x) = f (r) e r Πράγµματι, ξέρουµμε ότι οι αρχικές συνθήκες της θέσης και της ταχύτητας µμιας σηµμειακής µμάζας ορίζουν τη σταθερή τιµμή του µμέτρου της στροφορµμής: Θέτοντας r = 1/ u διαπιστώνουµμε ότι: = mr 2 (t) θ(t) άρα d 2 r dt 2 dr dt = dr dθ dθ dt = dr dθ mr = 2 m = dr dt = dr dθ dθ dt = dr u 2 dθ m du dθ = Ω 2 u 2 o d 2 u m 2 dθ 2 Από την εξίσωση του Νεύτωνα, εκφρασµμένη στις πολικές συντεταγµμένες του επιπέδου της κίνησης της σηµμειακής µμάζας, προκύπτει η εξίσωση: m r(t) mr(t) θ 2 (t) = f (r) και από εδώ προσδιορίζεται µμονοσήµμαντα ο συναρτησιακός συντελεστής: 2 u 2 f (1/ u) = m d 2 u dθ + u 2 Ο Kepler από την παρατήρηση των κινήσεων των πλανητών οδηγήθηκε στην εικασία ότι οι τροχιές τους είναι ελλειπτικές µμε πολική έκφραση: p r = 1+ ε cosθ, 0 < ε < 1 Θέτοντας r = 1/ u προκύπτει η ακόλουθη έκφραση της τροχιάς: u = ε cosθ +1/ p Αντικαθιστώντας στην προαναφερθείσα έκφραση του συναρτησιακού συντε- λεστή του κεντρικού πεδίου προκύπτει: 2 = k r, k / o f() r / =Ω p, και έτσι έχουµμε την έκφραση του δυναµμικού Kepler : U( r) = k/ r

266 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Β : ΠΕΔΙΑ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ 1010 Παραδείγματα και υπολογιστική πρακτική του 10 ου μαθήματος Τα παραδείγµματα που ακολουθούν έχουν σκοπό την υπολογιστική εξοικείωση µμε τις κινήσεις µμιας σηµμειακής µμάζας σε κεντρικά πεδία δυνάµμεων