A A N A B P Y A 9 5 ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Dopple Ακίνητη πηγή ομαλά κινούμενος παρατηρητής Η ακίνητη πηγή ταλαντώνεται με σχνότητα και παράγει εγκάρσια κύματα στην επιφάνεια γρού. Τα κύματα διαδίδονται με ταχύτητα. Στο παραπάνω στιγμιότπο, σε ποια από τις προτεινόμενες θέσεις, ομαλά κινούμενος παρατηρητής με σταθερή ταχύτητα, μικρότερη της, μετράει για τη σχνότητα το διερχόμενο κύματος τιμή ίση με τη σχνότητα ταλάντωσης της πηγής ; Γιώργος Ντούβαλης & Στέλιος Χατζηθεοδωρίδης, Οκτώβριος 4
Στη θέση ο παρατηρητής θα λαμβάνει περισσότερα από μέγιστα κύματος το δετερόλεπτο. Στη θέση ο παρατηρητής θα λαμβάνει λιγότερα από μέγιστα κύματος το δετερόλεπτο. Μεταξύ των θέσεων 3, 4 και 5, ο παρατηρητής θα λαμβάνει μέγιστα κύματος το δετερόλεπτο, μάλλον, στη θέση 5, λόγω σμμετρίας. Για να επιβεβαιώσομε την ορθότητα της απάντησης θα μελετήσομε αναλτικά το παρακάτω πρόβλημα: y A A + + O S Σχήμα Στο ορθοκανονικό σύστημα σντεταγμένων το σχήματος, η ακίνητη πηγή βρίσκεται στη θέση S,, ταλαντώνεται εγκάρσια με σχνότητα και παράγει ένα μέγιστο κύματος κάθε δετερόλεπτα. Έστω ότι τις χρονικές στιγμές με,,,, η πηγή βρίσκεται στην ακραία θέση της ταλάντωσής της, πάνω από την επιφάνεια ηρεμίας το γρού, και παράγει ένα μέγιστο κύματος. Έστω, επίσης, ότι ο παρατηρητής κινείται πάνω στον άξονα, προς τα θετικά, με σταθερή ταχύτητα και με εξίσωση κίνησης:, οπότε περνάει από την αρχή των αξόνων τη χρονική στιγμή. Με το χρόνο τα μέγιστα κύματος εξελίσσονται σε κκλικά μέτωπα κύματος, των οποίων η ακτίνα αξάνεται με ταχύτητα,, και τα οποία κάποια στιγμή σναντούν τον κινούμενο παρατηρητή. Παραδείγματος χάριν, το μέγιστο πο παράγεται τη χρονική στιγμή, θα σναντήσει τον παρατηρητή στη θέση, τη χρονική στιγμή, όπο είναι η απόσταση πο πρέπει να καλύψει το μέτωπο κύματος από τη στιγμή της δημιοργίας το μέχρι τη στιγμή πο θα σναντήσει τον παρατηρητή. Γιώργος Ντούβαλης & Στέλιος Χατζηθεοδωρίδης, Οκτώβριος 4
Γιώργος Ντούβαλης & Στέλιος Χατζηθεοδωρίδης, Οκτώβριος 4 3 Ερώτηση Πού και πότε θα σναντήσει τον παρατηρητή το μέτωπο κύματος πο δημιοργήθηκε τη χρονική στιγμή ; Σύμφωνα με την εξίσωση κίνησης το παρατηρητή: όπο: πο αφού πρέπει να είναι θετικό ακόμη και στην περίπτωση πο. Εξ.() Οπότε το μέτωπο κύματος ατό θα σναντήσει τον παρατηρητή τη χρονική στιγμή: Εξ.()
Γιώργος Ντούβαλης & Στέλιος Χατζηθεοδωρίδης, Οκτώβριος 4 4 Καθώς περνάει από τη θέση: Εξ.(3) Το αμέσως επόμενο μέγιστο κύματος παράγεται τη χρονική στιγμή και σναντά τον παρατηρητή στη θέση τη χρονική στιγμή, πο πολογίζονται από τις εξισώσεις 3 και αντίστοιχα θέτοντας. Ο παρατηρητής λαμβάνει τα δύο μέτωπα κύματος το ένα μετά το άλλο με χρονική διαφορά: Εξ.(4) Η χρονική διαφορά αντιστοιχεί σε σχνότητα κύματος, πο αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής,. Έστω ότι η πηγή βρίσκεται πάνω στον άξονα, μπροστά από τον παρατηρητή. Στην περίπτωση ατή,, και. Η Εξ.(4) γράφεται: και αντιστοιχεί σε (σταθερή με το χρόνο) σχνότητα Έστω ότι η πηγή βρίσκεται πάνω στον άξονα, πίσω από τον παρατηρητή. Στην περίπτωση ατή,, και. Η Εξ.(4) γράφεται: Και αντιστοιχεί σε (σταθερή με το χρόνο) σχνότητα
Στην περίπτωση πο η πηγή βρίσκεται εκτός το άξονα η σχνότητα πο μετράει ο παρατηρητής δεν είναι σταθερή με το χρόνο. Από την Εξ.(4) για να ισχύει θα πρέπει. Για να σμβαίνει ατό θα πρέπει ο παρατηρητής να περνάει από την αρχή των αξόνων. Λαμβάνει το ένα μέγιστο λίγο πριν φτάσει στην αρχή των αξόνων και το αμέσως επόμενο μέγιστο λίγο μετά αφού περάσει από την αρχή των αξόνων. Με βάση τα προηγούμενα, αξιολογώντας τις προτεινόμενες 5 θέσεις στην αρχική ερώτηση, οι θέσεις και απορρίπτονται αθωρεί, ενώ από τις θέσεις 3, 4 και 5 μόνο η 5 έχει ελπίδες να ικανοποιεί τη σνθήκη. Μετατροπή των πεπερασμένων διαφορών σε σνεχείς μεταβλητές Έστω ότι ο παρατηρητής Α λαμβάνει ένα μέγιστο όταν βρίσκεται στη θέση και το αμέσως επόμενο μέγιστο όταν ατός βρίσκεται στη θέση, όπο. Θα ποθέσομε ότι και. Σνεπώς, από την εξίσωση 4, έχομε: Εξ.(5) Γιώργος Ντούβαλης & Στέλιος Χατζηθεοδωρίδης, Οκτώβριος 4 5
y S θ A θ A O Σχήμα Στο σχήμα ορίζομε τη γωνία, έτσι ώστε όταν ο παρατηρητής έρχεται από το η γωνία να είναι μηδενική ενώ όταν ο παρατηρητής απομακρύνεται προς το η γωνία να είναι 8. Με τη βοήθεια της γωνίας, οπότε η Εξ.(5) γράφεται: Εξ.(6) y S θ A θ O A Σχήμα 3 Στο σχήμα 3 φαίνεται η προβολή της ταχύτητας το παρατηρητή πάνω στον άξονα πο σνδέει κάθε στιγμή τις θέσεις παρατηρητή πηγής. Είναι όταν ο παρατηρητής πλησιάζει προς την πηγή ενώ όταν ο παρατηρητής απομακρύνεται από την πηγή. Σνεπώς η Εξ.(6) γράφεται: Εξ.(7) Γιώργος Ντούβαλης & Στέλιος Χατζηθεοδωρίδης, Οκτώβριος 4 6
Η Εξ.(7) πολογίζει τη σχνότητα πο θα μετρήσει ο παρατηρητής A όταν τα μέγιστα πο δημιοργήθηκαν από την πηγή στη θέση, φτάσον στη θέση το παρατηρητή. Από την Εξ.(7) προκύπτει ότι για είναι. Ο παρατηρητής μετράει για τη σχνότητα το διερχόμενο κύματος τιμή ίση με τη σχνότητα ταλάντωσης της πηγής, στη θέση, τη στιγμή δηλαδή πο διέρχεται από την αρχή το ορθογωνίο σστήματος Oy. Στη θέση ατή η ταχύτητα το παρατηρητή είναι κάθετη στον άξονα πο τον σνδέει με την πηγή, οπότε είναι και άρα. Γραφική παράσταση της εξάρτησης της σχνότητας από το χρόνο Θα κατασκεάσομε το γράφημα της εξάρτησης της σχνότητας πο μετράει ο παρατηρητής από το χρόνο. Πρέπει όμως να ορίσομε ισοδύναμες αδιάστατες μεταβλητές: Εξ.(8) Στον οριζόντιο άξονα το γραφήματος, η αδιάστατη μεταβλητή θα μετράει το χρόνο. Στον κάθετο άξονα το γραφήματος η αδιάστατη μεταβλητή θα μετράει τη σχνότητα. Η ποσότητα θα είναι σταθερή παράμετρος. Γιώργος Ντούβαλης & Στέλιος Χατζηθεοδωρίδης, Οκτώβριος 4 7
Η πηγή ακινητεί εκτός το άξονα των και πάνω στον άξονα των y στη θέση y. Ο παρατηρητής κινείται με σταθερή ταχύτητα πάνω στον άξονα. Η σχνότητα ταλάντωσης της πηγής είναι. Τα παραγόμενα αρμονικά κύματα διαδίδονται στο μέσον με ταχύτητα. Η σχνότητα πο μετράει ο παρατηρητής τη χρονική στιγμή είναι και δεν είναι σταθερή με το χρόνο. Ο παρατηρητής περνάει από την αρχή των αξόνων τη χρονική στιγμή μηδέν και τότε ο παρατηρητής μετράει για τα διερχόμενα κύματα σχνότητα. Τα μέτωπα κύματος πο φτάνον στον παρατηρητή τη στιγμή, έχον παραχθεί από την πηγή τη χρονική στιγμή. Ισχύει ή Γιώργος Ντούβαλης & Στέλιος Χατζηθεοδωρίδης, Οκτώβριος 4 8