ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΖΥΓΩΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ [Κεφ : Η Έννοια του Μιγαδικού Αριθμού - Κεφ : Πράξεις στο Σύνολο C των Μιγαδικών του σχολικού βιβλίου] ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Η έννοια του μιγαδικού Το σύνολο των μιγαδικών Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού είναι πάντα μη αρνητικό, δηλαδή α 0 για κάθεα R Αυτό έχει σαν συνέπεια οι εξισώσεις της μορφής x = α, με α< 0 να μην έχουν λύσεις στο σύνολο R των πραγματικών αριθμών όπως για παράδειγμα η εξίσωση x =, x R Για να ξεπεράσουμε αυτό το πρόβλημα διευρύνουμε το σύνολο R των πραγματικών αριθμών σε ένα σύνολο C, το οποίο να έχει τις ίδιες πράξεις με το R, τις ίδιες ιδιότητες των πράξεων αυτών και στο οποίο να υπάρχει μία τουλάχιστον ρίζα της εξίσωσης x = Δηλαδή στο C θα υπάρχει ένα στοιχείο, το οποίο λέγεται φανταστική μονάδα, συμβολίζεται με i και θα έχει την ιδιότητα i = Οπότε το καινούργιο αυτό σύνολο C θα έχει ως στοιχεία: Όλους τους πραγματικούς αριθμούς Όλα τα στοιχεία της μορφής β i, που είναι γινόμενα των στοιχείων του R με το i Όλα τα αθροίσματα της μορφής α+β i, με α και β R Τα στοιχεία του C λέγονται μιγαδικοί αριθμοί και το C σύνολο των μιγαδικών αριθμών Επομένως: Το σύνολο C των μιγαδικών αριθμών είναι ένα υπερσύνολο του R στο οποίο: Επεκτείνονται οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού έτσι ώστε να έχουν τις ίδιες ιδιότητες όπως και στο R, με το μηδέν (0) να είναι το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης και το ένα () το ουδέτερο στοιχείο του πολλαπλασιασμού Υπάρχει ένα στοιχείο i τέτοιο ώστε i =
Κάθε στοιχείο του C γράφεται κατά μοναδικό τρόπο με την μορφή =α+β i, όπου α, β R Παρατηρήσεις Ένας μιγαδικός που είναι στη μορφή α+βi, α, β R λέμε ότι είναι στην κανονική μορφή Για τον μιγαδικό =α+βi, α, β R το α λέγεται πραγματικό μέρος του και συμβολίζεται με Re(), δηλαδή Re() = α, ενώ το β λέγεται φανταστικό μέρος του και συμβολίζεται με Im(), δηλαδή Im() = β 3 Στην περίπτωση όπου το πραγματικό μέρος του μιγαδικού είναι μηδέν τότε αυτός λέγεται φανταστικός αριθμός και θα έχει τη μορφή =βi, β R Το σύνολο των φανταστικών αριθμών συμβολίζεται με I 4 Στην περίπτωση όπου το φανταστικό μέρος του μιγαδικού είναι μηδέν τότε αυτός λέγεται πραγματικός αριθμός και θα έχει τη μορφή =α, α R 5 R Im() = 0 Άρα για να δείξουμε ότι ένας μιγαδικός είναι πραγματικός αρκεί να δείξουμε ότι το φανταστικό του μέρος είναι μηδέν 6 I Re() = 0 Άρα για να δείξουμε ότι ένας μιγαδικός είναι φανταστικός αρκεί να δείξουμε ότι το πραγματικό του μέρος είναι μηδέν 7 R Im() 0 8 I Re() 0 Προφανώς οποιοσδήποτε πραγματικός και φανταστικός αριθμός γράφεται στην μορφή α+βi, α, β R Για παράδειγμα ο πραγματικός = 8 γράφεται: = 8 + 0i ενώ ο φανταστικός = 7i γράφεται = 0 7i
Ισότητα μιγαδικών Έστω =α+β i και = γ+δi α, β, γ, δ R Επειδή κάθε μιγαδικός αριθμός γράφεται με μοναδικό τρόπο στη μορφή κ+λ i, δύο μιγαδικοί θα είναι ίσοι όταν έχουν ίσα πραγματικά μέρη και ίσα φανταστικά μέρη Δηλαδή: = α+β i=γ+δi α=γκαιβ=δ Επειδή 0 = 0 + 0i, ένας μιγαδικός θα είναι ίσος με το μηδέν όταν έχει και πραγματικό και φανταστικό μέρος ίσο με το μηδέν, δηλαδή: = 0 α+β i= 0 α= 0 και β= 0 Παρατηρήσεις Η διάταξη στο C δεν ισχύει 0 Re() 0 ή Im() 0, δηλαδή ένας μιγαδικός θα είναι διαφορετικός του μηδενός όταν δεν μηδενίζεται ταυτόχρονα το πραγματικό και το φανταστικό του μέρος 3
Γεωμετρική παράσταση μιγαδικού Κάθε μιγαδικό αριθμό =α+β i μπορούμε να τον αντιστοιχίσουμε σε ένα σημείο M ( αβ, ) ενός καρτεσιανού επιπέδου αλλά και αντιστρόφως κάθε σημείο M αβ, του καρτεσιανού επιπέδου μπορούμε να το ( ) αντιστοιχίσουμε σε έναν μιγαδικό αριθμό σημείο M ( αβ, ) λέγεται εικόνα του μιγαδικού συμβολίζεται M() =α+β i Το α+β i και To επίπεδο αυτό ονομάζεται μιγαδικό επίπεδο λέγεται πραγματικός άξονας αφού ανήκουν σε αυτόν τα σημεία ( ) Ο xx M α,0 που είναι οι εικόνες των πραγματικών αριθμών =α+ 0i, α R Άν α> 0 τότε είναι ο θετικός ημιάξονας Ox ενώ αν α< 0 είναι ο αρνητικός ημιάξονας Ox λέγεται φανταστικός άξονας αφού ανήκουν σε αυτόν τα σημεία ( ) O yy M 0,β που είναι οι εικόνες των φανταστικών αριθμών = 0 +βi, β R Άν β> 0 τότε είναι ο θετικός ημιάξονας Oy ενώ αν β< 0 είναι ο αρνητικός ημιάξονας Oy Ένας μιγαδικός =α+β i παριστάνεται επίσης και με την διανυσματική ακτίνα OM του σημείου M ( αβ, ) Αν Re() = Im() τότε η εικόνα του βρίσκεται στη διχοτόμο της ης και 3 ης γωνίας των αξόνων, δηλαδή στην ευθεία y= x Αν Re() = Im() τότε η εικόνα του βρίσκεται στη διχοτόμο της ης και 4 ης γωνίας των αξόνων, δηλαδή στην ευθεία y= x Οι εικόνες των, θα ανήκουν σε ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων Το ίδιο θα ισχύει για τους, 4
Πράξεις στο Σύνολο των Μιγαδικών Πρόσθεση ( ) ( ) ( ) ( ) + = α+β i + γ+δ i = α+γ + β+δ i Οπότε αν τα σημεία M ( αβ, ) και M ( γδ, ) είναι οι εικόνες των αντιστοίχως στο μιγαδικό επίπεδο, τότε το άθροισμα ( ) ( ) με το σημείο M ( α+γ, β+δ ) =α+β i και =γ+δ i + = α+γ + β+δ i παριστάνεται Eπομένως OM = OM+ OM, δηλαδή η διανυσματική ακτίνα του αθροίσματος των μιγαδικών και είναι το άθροισμα των διανυσματικών ακτίνων τους Αφαίρεση ( ) ( ) ( ) ( ) = α+βi γ+δ i = α γ + β δ i = + = α γ + β δ i παριστάνεται με Αντίστοιχα με την πρόσθεση η διαφορά ( ) ( ) ( ) το σημείο M ( α γ, β δ ) 5
Έτσι όπως φαίνεται και στο σχήμα θα ισχύει: OM = OM OM, δηλαδή η διανυσματική ακτίνα της διαφοράς των μιγαδικών και είναι η διαφορά των διανυσματικών ακτίνων τους Πολλαπλασιασμός Για να πολλαπλασιάσουμε δυο μιγαδικούς και που είναι στην κανονική μορφή κάνουμε τις πράξεις, δηλαδή: = α + βi γ + δ i = αγ + αδ i + βγ i + βi δ i = ( ) ( ) ( )( ) αγ + αδ i+ βγ i+ βδ i = αγ + αδ i+ βγi βδ = ( αγ βδ ) + ( αδ + βγ )i Άρα αν ( ) ( ) = αγ βδ + αδ + βγ i =α+β i και = γ+δi, α, β, γ, δ R, τότε: + = ( α+β ) + ( γ+δ ) = ( α+γ ) + ( β+δ ) ( ) ( ) ( ) ( ) = ( αγ βδ ) + ( αδ + βγ ) i i i i = α+βi γ+δ i = α γ + β δ i = 0 = 0 ή = 0 Παρατηρήσεις Αν Re( ) = 0, δεν θα ισχύει πάντα: Re( ) Re( ) = 0 Aν Im( ) = 0, δεν θα ισχύει πάντα: Im( ) Im( ) = 0 Re(+ ) = Re( ) + Re( ) Im(+ ) = Im( ) + Im( ) 6
Δυνάμεις μιγαδικού Οι δυνάμεις ενός μιγαδικού με ακέραιο εκθέτη ορίζονται ακριβώς όπως και στους πραγματικούς αριθμούς, δηλαδή: ν ν =, =, και γενικά = για κάθε θετικό ακέραιο ν, με ν > 0 ν Επίσης αν 0 τότε ορίζουμε = και = για κάθε θετικό ακέραιο ν ν Για τις δυνάμεις των μιγαδικών αριθμών ισχύουν οι ίδιες ιδιότητες που ισχύουν και για τις δυνάμεις των πραγματικών αριθμών Δυνάμεις του i Για τις δυνάμεις του i έχουμε: 0 3 i =, i = i, i =, i = i i= i και μετά το i 4 οι τιμές του i ν επαναλαμβάνονται Άρα για να υπολογίσουμε μία συγκεκριμένη δύναμη του i, γράφουμε τον εκθέτη ν στη μορφή 4ρ+υ όπου ρ το πηλίκο και υ το υπόλοιπο της ευκλείδιας διαίρεσης ( 0 υ 3) του ν με το 4, οπότε έχουμε: ( ) ν 4ρ+υ 4ρ υ 4 ρ υ ρ υ i i i i i i i i υ = = = = = αν υ = 0 i αν υ = = αν υ = i αν υ = 3 7
Συζυγείς Ιδιότητες συζυγών Αν =α+βi, α, β R τότε ο μιγαδικός συμβολίζεται: =α+β i=α β i α β i ονομάζεται συζυγής του Τώρα που ορίσαμε το συζυγή, μπορούμε να δούμε το πηλίκο δύο μιγαδικών Πηλίκο α+β i και θα α+βi Για να εκφράσουμε το πηλίκο = με γ+δ i γ+δi 0, στη μορφή κ+λ i, πολλαπλασιάζουμε αριθμητή και παρανομαστή με τον συζυγή του παρανομαστή και έτσι έχουμε: ( α+βi)( γ δi) ( )( ) α+βi = = = γ+δi γ+δi γ δi αγ αδ + βγ βδ γ δ i i i i i ( i) αγ + βδ βγ αδ γ +δ γ +δ + i αγ αδ + βγ + βδ = = γ +δ Δηλαδή: αγ + βδ βγ αδ = + i γ +δ γ +δ Ιδιότητες συζυγών Αν =α+β i και ) + = + Απόδειξη: =γ+δ i είναι δύο μιγαδικοί, τότε: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + = α+β i + γ+δ i = α+γ + β+δ i= α+γ β+δ i= ( α β i) + ( γ δ i) = + ) = 3) = 8
=, 0 4) + + + = + + + 5) ν ν = 6) ν ν 7) ( ) ( ) Παρατηρήσεις: =, όπου ν ακέραιος ν Αν =α+βi, α, β R, τότε: ν R = Επομένως για να δείξουμε ότι ένας μιγαδικός αριθμός είναι πραγματικός αρκεί να δείξουμε ότι είναι ίσος με τον συζυγή του και αντιστρόφως = ( α+βi)( α β i) =α +β δηλαδή R 3 + = ( α+β i) + ( α β i) = α δηλαδή + R + + Άρα + = α α= Re() = = α+βi α β i = β i δηλαδή I 4 ( ) ( ) Άρα = βi β= Im() = i i 5 I = Επομένως για να δείξουμε ότι ένας μιγαδικός αριθμός είναι φανταστικός αρκεί να δείξουμε ότι είναι αντίθετος με τον συζυγή του και αντιστρόφως 6 = 7 = = 8 =, 0 9 Οι εικόνες του και του είναι συμμετρικές ως προς τον xx 0 Οι εικόνες των,,, στο μιγαδικό επίπεδο είναι κορυφές ορθογωνίου παραλληλογράμμου Οι εικόνες των,, στο μιγαδικό επίπεδο είναι κορυφές ορθογωνίου τριγώνου + = + ( ) + = + 3 ( ) 3 3 4 ( ) 3 3 ( ) 3 3 5 ( ) 3 3 ( ) + = + + = + 6 ( i) ( i)( i) +α = α = +α α 9
Επίλυση της εξίσωσης α +β +γ= 0 με αβ,, γ R και α 0 Κάθε εξίσωση δευτέρου βαθμού με πραγματικούς συντελεστές έχει πάντα λύση στο C Όπως και στην αντίστοιχη περίπτωση στο R, τη μετασχηματίζουμε, με τη μέθοδο συμπλήρωσης τετραγώνου, στη μορφή: β + = α 4α όπου = β 4αγ η διακρίνουσα της εξίσωσης Έχουμε τις εξής περιπτώσεις: Αν > 0 τότε η εξίσωση έχει δύο πραγματικές λύσεις:, = β ± α β Aν = 0 τότε η εξίσωση έχει μία διπλή πραγματική λύση: = α β ± i 3 Aν < 0 τότε η εξίσωση έχει δύο μιγαδικές λύσεις:, = α οι οποίες μάλιστα θα είναι και συζυγείς Παρατηρήσεις: Ισχύουν και σε αυτήν την περίπτωση οι τύποι του Vietta δηλαδή: β γ + = και = α α Επειδή οι και είναι συζυγείς, θα ισχύουν επίσης: β β γ γ + =, + =, =, = α α α α 3 Το τριώνυμο α +β +γ θα παραγοντοποιείται στη μορφή: ( ) ( ) ( ) ( ) α +β +γ =α =α 4 Αν θέλουμε να παραγοντοποιήσουμε ένα πολυώνυμο ως προς με πραγματικούς συντελεστές χρησιμοποιούμε το σχήμα Horner 0