ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Θεωρία Διαταραχών Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος

Σχετικά έγγραφα
Χρονοανεξάρτητη Μη-Εκφυλισμένη Θεωρία Διαταραχών

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Εκφυλισμένη Θεωρία Διαταραχών Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Εφαρμογές Θεωρίας Διαταραχών Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος

Θεωρία Διαταραχών ΙΙ: Εκφυλισμένες Καταστάσεις

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Κεντρικά Δυναμικά Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Σωμάτιο σε Ηλεκτρομαγνητικό Πεδίο Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Spin Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Πρόσθεση Στροφορμών Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Συστήματα Πολλών Σωματίων Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Σκέδαση Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος

Εφαρμογές Θεωρίας Διαταραχών σε Υδρογόνο: Λεπτή Υφή, Φαινόμενο Zeeman, Υπέρλεπτη Υφή

Δομή Διάλεξης. Οι τελεστές της τροχιακής στροφορμής στην αναπαράσταση της θέσης. Τελεστές δημιουργίας και καταστροφής για ιδιοκαταστάσεις στροφορμής

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Σύγxρονη Φυσική II. Το άτομο του Υδρογόνου Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Μ. Μπενής

Δομή Διάλεξης. Εύρεση ακτινικού μέρους εξίσωσης Schrödinger. Εφαρμογή σε σφαιρικό πηγάδι δυναμικού απείρου βάθους. Εφαρμογή σε άτομο υδρογόνου

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Σύγxρονη Φυσική II. Κεντρικά Δυναμικά Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Μ. Μπενής

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Σύγxρονη Φυσική II. Κβαντομηχανική σε τρεις διαστάσεις Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Μ.

Κβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 17: Εφαρμογή στην αναπαράσταση τελεστών με μήτρα και εισαγωγή στον συμβολισμό Dirac

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Σύγxρονη Φυσική II. Ατομική Δομή ΙΙ Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Μ. Μπενής

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Σύγxρονη Φυσική II. Ατομική Δομή ΙΙΙ Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Μ. Μπενής

Εισαγωγή σε προχωρημένες μεθόδους υπολογισμού στην Επιστήμη των Υλικών

Nobel Φυσικής για Κβαντική Ηλεκτροδυναμική

και χρησιμοποιώντας τον τελεστή A r P αποδείξτε ότι για

Κβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 19: Εισαγωγή στα τετραγωνικά δυναμικά. Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής

Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής Κβαντομηχανική ΙΙ

1 p p a y. , όπου H 1,2. u l, όπου l r p και u τυχαίο μοναδιαίο διάνυσμα. Δείξτε ότι μπορούν να γραφούν σε διανυσματική μορφή ως εξής.

Μικροβιολογία & Υγιεινή Τροφίμων

Κβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 33: Εφαρμογές στο άτομο του υδρογόνου. Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής

Κβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 18: Εφαρμογή στον συμβολισμό Dirac. Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής

ΓΕΝΙΚΗ ΚΑΙ ΑΝΟΡΓΑΝΗ ΧΗΜΕΙΑ

ΗΜΙΑΓΩΓΑ ΥΛΙΚΑ: ΘΕΩΡΙΑ-ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Χρονοεξαρτώμενη Θεωρία Διαταραχών Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος

Κβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 25: Μαθηματική μελέτη του κβαντικού αρμονικού ταλαντωτή. Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής

ΘΕΜΑΤΑ ΚΒΑΝΤΙΚΗΣ ΙΙ. Θέμα 2. α) Σε ένα μονοδιάστατο πρόβλημα να δείξετε ότι ισχύει

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Πιθανότητες. Συνδυαστική Ανάλυση Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 12: Κριτήρια Σύγκλισης Σειρών. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

. Να βρεθεί η Ψ(x,t).

Κβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 26: Ολοκλήρωση της αλγεβρικής μεθόδου για την μελέτη του αρμονικού ταλαντωτή

Κβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 13: Σύστημα δύο ενεργειακών επιπέδων. Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής

Κβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 21: Δέλτα πηγάδι δυναμικού. Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής

Δομή Διάλεξης. Ορισμός Ολικής Στροφορμής. Σχέση βάσης ολικής στροφορμής (j,m j ) με βάση επιμέρους στροφορμών (m 1,m 2 )

Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι

Λογισμός 3. Ενότητα 19: Θεώρημα Πεπλεγμένων (γενική μορφή) Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Κβαντικό Σωμάτιο σε Ηλεκτρομαγνητικό Πεδίο

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Σύγxρονη Φυσική II. Μοριακή Δομή ΙΙ Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Μ. Μπενής

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Σύγxρονη Φυσική II. Στατιστική Φυσική Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Μ. Μπενής

Αρμονικός Ταλαντωτής

Κβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 15: Η έννοια του κυματοπακέτου στην Kβαντομηχανική. Τερζής Ανδρέας Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής

Εκκλησιαστικό Δίκαιο. Ενότητα 10η: Ιερά Σύνοδος της Ιεραρχίας και Διαρκής Ιερά Σύνοδος Κυριάκος Κυριαζόπουλος Τμήμα Νομικής Α.Π.Θ.

Κβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 9: Χρονοεξαρτώμενη εξίσωση Schro dinger. Τερζής Ανδρέας Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής

Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι

Κλασική Ηλεκτροδυναμική

Θεωρία Χρονοεξαρτώμενων Διαταραχών

Κβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 12: Ασκήσεις. Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής

Κβαντική Μηχανική ΙΙ. Ενότητα 6: Άτομα σε μαγνητικά πεδία Αθανάσιος Λαχανάς Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής

Κεφάλαιο 16: Εφαρμογές Θεωρίας Διαταραχών σε Υδρογόνο

Κβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 10: Ερμιτιανοί τελεστές και εισαγωγή στους μεταθέτες. Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής

ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 6: Ακρότατα Συνάρτησης. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής

Ηλεκτρισμός & Μαγνητισμός

Ιστορία της μετάφρασης

Μαθηματικά και Φυσική με Υπολογιστές

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ ΙΙ

( x) Half Oscillator. Σωμάτιο βρίσκεται υπό την επίδραση του δυναμικού

Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Ηλεκτρισμός & Μαγνητισμός

Προσομοιώσεις και οπτικοποιήσεις στη μαθησιακή διαδικασία

Κβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 4: Εξίσωση Schro dinger. Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 15: Ολοκληρώματα Με Ρητές Και Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής

Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 1: Συναρτήσεις και Γραφικές Παραστάσεις. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 07. ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ΚΑΙ ΤΟ ΑΤΟΜΟ ΤΟΥ ΥΔΡΟΓΟΝΟΥ

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ ΙI. Άδειες Χρήσης. Δείκτες Διδάσκοντες: Αν. Καθ. Δ. Παπαγεωργίου, Αν. Καθ. Ε. Λοιδωρίκης

Λογιστική Κόστους Ενότητα 12: Λογισμός Κόστους (2)

ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ. Ασκήσεις Κεφαλαίου Ι

ΗΜΙΑΓΩΓΑ ΥΛΙΚΑ: ΘΕΩΡΙΑ-ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ

Κβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 7: Διερεύνηση εξίσωσης Schro dinger και απειρόβαθο πηγάδι δυναμικού. Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής

Ηλεκτρισμός & Μαγνητισμός

Κβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 31: Εφαρμογές και η ακτινική εξίσωση του ατόμου του υδρογόνου. Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 8: Εφαρμογές Σειρών Taylor. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι

Εργαστήριο Χημείας Ενώσεων Συναρμογής

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 16: Ολοκλήρωση Τριγωνομετρικών Συναρτήσεων, Γενικευμένα Ολοκληρώματα Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής

Ατομική και Μοριακή Φυσική

Θεσμοί Ευρωπαϊκών Λαών Ι 19 ος -20 ος αιώνας

ΓΕΝΙΚΗ ΚΑΙ ΑΝΟΡΓΑΝΗ ΧΗΜΕΙΑ

Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας

Εφαρμοσμένη Στατιστική

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους

Εφαρμοσμένη Βελτιστοποίηση

Μαγνητικά Υλικά Υπεραγωγοί

Μετασχηματισμοί Καταστάσεων και Τελεστών

ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΚΑ ΥΛΙΚΑ. Ενότητα 1: ΑΤΟΜΑ ΚΑΙ ΔΕΣΜΟΙ ΛΙΤΣΑΡΔΑΚΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΤΗΜΜΥ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Πιθανότητες. Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας

Εκκλησιαστικό Δίκαιο

ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Λογισμός 4. Ενότητα 5: Το Θεώρημα του Fubini. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών

Δηλαδή. Η Χαμιλτονιανή του περιστροφέα μέσα στο μαγνητικό πεδίο είναι

Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 7: Σειρές Taylor, Maclaurin. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Transcript:

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κβαντική Θεωρία ΙΙ Θεωρία Διαταραχών Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.

Χρονοανεξάρτητη Μη-Εκφυλισμένη Θεωρία Διαταραχών

Δομή Διάλεξης Ανασκόπηση συμβολισμού Dirac Διαταραχές σε σύστημα δύο καταστάσεων Η γενική μέθοδος μη-εκφυλισμένης θεωρίας διαταραχών Εφαρμογή: Διαταραχή ατόμου υδρογόνου από ομογενές ηλεκτρικό πεδίο: Φαινόμενο Stark Σύνοψη Λυμένες και Άλυτες Ασκήσεις

Ορισμός Προβλήματος Έστω Χαμιλτονιανή της μορφής Η=Η 0 +Η 1 με ιδιοκαταστάσεις και ιδιοτιμές που δεν μπορούν να βρεθούν αναλυτικά. Θέλουμε να βρούμε προσεγγιστικά σωστές ιδιοκαταστάσεις και ιδιοτιμές. Έστω ότι: Η 0 έχει γνωστές ιδιοκαταστάσεις και ιδιοτιμές και Η 1 << Η 0 Θέλουμε να βρούμε προσεγγιστικά σωστές ιδιοκαταστάσεις και ιδιοτιμές της Η=Η 0 +Η 1 Μπορούμε να τις βρούμε χρησιμοποιώντας τις ιδιοκαταστάσεις και ιδιοτιμές της Η 0 και την μέθοδο των διαταραχών.

Υπενθύμιση συμβολισμού Dirac: Ορθοκανονικότητα Έστω σύστημα ιδιοκαταστάσεων Χαμιλτονιανής: Ορθοκανονικό: Ορθοκανονικό σε 3D: Ορθοκανονικότητα στον χώρο των spin (spinors): Ορθοκανονικότητα γενικά (συμβολισμός Dirac): Ανάπτυγμα κατάστασης σε πλήρη βάση ιδιοκαταστάσεων της Η: Με χρήση ορθοκανονικότητας βρίσκουμε (1D):

Υπενθύμιση συμβολισμού Dirac: Αναπτυγμα σε ιδιοκαταστασεις Ανάπτυγμα κατάστασης σε πλήρη βάση ιδιοκαταστάσεων της Η: Με χρήση ορθοκανονικότητας βρίσκουμε (1D): Με χρήση ορθοκανονικότητας βρίσκουμε (3D): Με χρήση ορθοκανονικότητας βρίσκουμε (spinor): Με χρήση ορθοκανονικότητας βρίσκουμε (γενικός συμβολισμός Dirac): Άρα το αναπτυγμα γράφεται (γενικός συμβολισμός Dirac): Ισχύει ακόμα προφανώς ότι:

Υπενθύμιση συμβολισμού Dirac: Στοιχεία πίνακα τελεστών Ανάπτυγμα κατάστασης σε πλήρη βάση ιδιοκαταστάσεων της Η: Αναμενόμενη τιμή τελεστή Α: όπου (1D) όπου (3D) όπου (spinor) όπου (γενικός συμβολισμός Dirac):

Υπενθύμιση συμβολισμού Dirac: Στοιχεία πίνακα τελεστών Γενικός συμβολισμός Dirac: Τελεστής μονάδα Από τον ορισμό του Ερμιτειανού συζυγή προκύπτει:

Διαταραχές σε σύστημα δύο κατaστάσεων Έστω αδιατάραχτη Χαμιλτονιανή δύο γνωστών ορθοκανονικών ιδιοκαταστάσεων χωρίς εκφυλισμό: Έστω το πρόβλημα ιδιοτιμών της διαταραγμένης Χαμιλτονιανής: Ανάπτυγμα της Ψ Ε σε ιδιοκαταστάσεις της Η 0 : i=1,2

Διαταραχές σε σύστημα δύο κατaστάσεων 1 H H 1 1 E 1 H H 2 2 E E 1 E 0 1 0 1 E 1 E 1 H 1 1 E 1 H 2 2 E E 1 E 1 1 1 E E e 1 E e 2 E 0 1 11 12 όπου 2 H H 1 1 E 2 H H 2 2 E E 2 E 0 1 0 1 E 2 E 2 H 1 1 E 2 H 2 2 E E 2 E 2 1 1 E E e 2 E e 1 E 0 * 2 22 12 Ερμητιανός

Διαταραχές σε σύστημα δύο κατaστάσεων Άρα για το πρόβλημα ιδιοτιμών της διαταραγμένης Χαμιλτονιανής: Αναπτύξαμε και βρήκαμε: Ειδική περίπτωση: Από μηδενισμό ορίζουσας παίρνουμε: 2 2 2 E E E E e 0 E E E E E E e 0 1 2 12 1 2 1 2 12 +7a (εξετάστε και e 11 0, e 22 0)

Εύρεση Διαταραγμένων Ιδιοτιμών Άρα οι ιδιοτιμές της διαταραγμένης Χαμιλτονιανής είναι: Ανάπτυγμα ως προς την μικρή παράμετρο: Βρίσκουμε: (1) όπου έγινε χρήση της σχέσης: 2 4 e12 E 1 E2 1 E 2 1 E2 1 2... E E 1 2 2 (1) +7b (βρείτε και την επόμενη διόρθωση)

Εύρεση Διαταραγμένων Ιδιοκαταστάσεων Για κάθε διαταραγμένη ιδιοτιμή λύνουμε το σύστημα E E 1 E e 2 E 0 1 12 e 1 E E E 2 E 0 * 12 2 12 * E 1 E1 ' E 1 E2 e12 1 1 1 12 1 1 1 1 1 e12 e12 E 1 E2 E E ' 1 E ' e 2 E ' 0 2 E ' 1 E ' 1 E ' 1 E ' e 2 e 2 E ' 1 ' * 12 1 E1 E1 E2

Δείξαμε ότι: Εύρεση Διαταραγμένων Ιδιοκαταστάσεων e 2 E ' 1 ' * 12 1 E1 E1 E2 Όμοια δείχνουμε ότι: e 2 E ' 1 E ' 12 2 2 E1 E2 +7c Μικρή πρόσμιξη από άλλη αδιατάραχτη ιδιοκατάσταση Για να είναι ακριβή τα αναπτύγματα θα πρέπει: +7d: Δοκιμάστε να βρείτε την ακριβή λύση. που συνήθως ισχύει αν H 0 >>H 1.

Γενίκευση:Θεωρία Διαταραχών Έστω αδιατάραχτο σύστημα: n=1,,n Ορθοκανονικότητα: Διαταραγμένο σύστημα: Προβάλλοντας στην αδιατάραχτη βάση m> έχουμε: Αναπτύσσουμε την Ψ Ε στην αδιατάραχτη βάση m> και έχουμε: k k k k 1ˆ k k k=1,,n +7e όπου

Γενίκευση:Θεωρία Διαταραχών Δείξαμε ότι: όπου Επιλέγουμε ως μικρή παράμετρο αναπτύγματος την (τις): m=1,,n Αναζητούμε διαταραγμένες ιδιοτιμές της μορφής: Αναζητούμε διαταραγμένες ιδιοκαταστάσεις με αναπτυγματα της μορφής: όπου

Ανάπτυγμα Διαταραγμένων ιδιοκαταστάσεων Αναζητούμε διαταραγμένες ιδιοτιμές της μορφής: Αναζητούμε διαταραγμένες ιδιοκαταστάσεις με αναπτυγματα της μορφής: όπου δεν επιβιώνει σε Ο(ε) επιβιώνει μόνο ο όρος με k=n (O(1)xΟ(ε)) +7f m n m=n +7g

Διαταραγμένες Ιδιοενέργειες και Ιδιοκαταστάσεις m=n E=E n Διαταραγμένη ιδιοτιμή n: +7h Ψ E =Ψ n Αποδεικνύεται η διατήρηση ορθοκανονικότητας σε Ο(ε) (το διαταραγμένο σύστημα ιδιοκαταστάσεων είναι και αυτό ορθοκανονικό:<ψ m Ψ n >=δ mn +O(ε 2 )) ++7i

Εφαρμογή: Το φαινόμενο Stark Αδιατάραχτο σύστημα: Άτομο υδρογόνου Διαταραχή: Εξωτερικό ηλεκτρικό πεδίο Αγνοούμε το spin αφού η Η 1 μετατίθεται με το spin (τα spinors δεν αλλάζουν) Αδιατάραχτες ιδιοενέργειες και ιδιοκαταστάσεις: Ε nlm, Ψ nlm Διαταραγμένη ιδιοτιμή nlm: +7j Φαινόμενο Stark

Κανόνες Επιλογής Φαινόμενο Stark E:Ποιοι όροι του αθροίσματος μηδενίζονται ( κανόνες επιλογής selection rules); κανόνας επιλογής για m

Κανόνες Επιλογής για l E:Ποιοι όροι του αθροίσματος μηδενίζονται ( κανόνες επιλογής selection rules); Αποδεικνύεται ότι: ++7k ++7l

Κανόνες Επιλογής για l E:Ποιοι όροι του αθροίσματος μηδενίζονται ( κανόνες επιλογής selection rules); Ψ nlm σφαιρικά συμμετρική +7m Άρα για να μη μηδενίζονται οι οι όροι θα πρέπει +7n Άρα η μετατόπιση των διαταραγμένων σταθμών μέχρι 2 η τάξη είναι

Ηλεκτρική Πολωσιμότητα (Polarizability) Άρα η μετατόπιση των διαταραγμένων σταθμών μέχρι 2 η τάξη είναι Όροι γραμμικοί με το Ε μηδενίζονται λόγω κανόνων επιλογής (δευτεροβάθμιο (quadratic) φαινόμενο Stark) Ηλεκτρική πολωσιμότητα α (ορισμός): +7o

Πρόβλημα με τον Εκφυλισμό Όταν υπάρχει εκφυλισμός με την αρχική (αδιατάρακτη) κατάσταση τότε η ενεργειακή μετατόπισή της απειρίζεται: E nlm E n' l ' m' Η μόνη μη εκφυλισμένη κατάσταση για το υδρογόνο είναι η n=1 (l=0,m=0) Άρα η παραπάνω μέθοδος διαταραχών (μη εκφυλισμένη) μπορεί να εφαρμοστεί για το υδρογόνο αλλά μόνο στην θεμελιώδη κατάσταση. όπου

Υπολογισμός Πολωσιμότητας Θεμελιώδους Κατάστασης aκτίνα Bohr Ενεργειακές Διαφορές

Υπολογισμός Πολωσιμότητας Θεμελιώδους Κατάστασης Υπολογισμός αθροίσματος: Οι επιπλέον όροι είναι 0 Αναμενόμενη τιμή r 2 : +7p Η ακριβής τιμή είναι 15% μικρότερη

Σύνοψη Ο συμβολισμός Dirac γενικεύει και ενοποιεί τον συμβολισμό κυματοσυναρτήσεων και spinors στην κβαντομηχανική Με χρήση της θεωρίας διαταραχών μπορούμε να βρούμε προσεγγιστικά σωστές, ιδιοκαταστάσεις και ιδιοτιμές της Η=Η 0 +Η 1 όταν Η 1 <<Η 0 με την προϋπόθεση ότι είναι γνωστές οι ιδιοκαταστάσεις/ιδιοτιμές της αδιατάραχτης Χαμιλτονιανής Η 0. Η απλούστερη μορφή της θεωρίας διαταραχών είναι αυτή που αναφέρεται σε χρονοανεξάρτητα δυναμικά και σε αδιατάραχτες καταστάσεις που δεν είναι ενεργειακά εκφυλισμένες. Το φαινόμενο Stark αποτελεί μια εφαρμογή της μη εκφυλισμένης θεωρίας διαταραχών σε άτομο υδρογόνου που διαταράσσεται από ασθενές ομογενές πεδίο. Μπορεί να υπολογιστεί κατά προσέγγιση η ενεργειακή μετατόπιση της θεμελιώδους κατάστασης καθώς και η αναπτυσσόμενη ηλεκτρική πολωσιμότητα.

Άσκηση 1 Η δυναμική σωματίου καθορίζεται από το δυναμικό: για μικρό b βρείτε τις διαταραγμένες ενέργειες του σωματίου Οι αδιατάραχτες ιδιοτιμές ενέργειας είναι (b=0): Η πρώτης τάξης διαταραχή δίνει: αφού +7q

Άσκηση 2 Η δυναμική σωματίου καθορίζεται από το δυναμικό: για μικρό b βρείτε τις διαταραγμένες ενέργειες του σωματίου Το αδιατάραχτο δυναμικό (αρμονικός ταλαντωτής) είναι της μορφής: Με ιδιοκαταστάσεις: όπου και ιδιοενέργειες: Οι ιδιοκαταστάσεις που ικανοποιούν τις οριακές συνθήκες και μηδενίζονται για x=0 αντιστοιχούν σε περιττό n (n=2ν+1).

Άσκηση 2 Με ιδιοκαταστάσεις: όπου και ιδιοενέργειες: Οι ιδιοκαταστάσεις που ικανοποιούν τις οριακές συνθήκες και μηδενίζονται για x=0 αντιστοιχούν σε περιττό n (n=2ν+1). Η ενεργειακή μετατόπιση σε πρώτη τάξη θεωρίας διαταραχών είναι: +7r (1) Από πίνακες ολοκληρωμάτων βρίσκουμε: Άρα (2) (1), (2)

Άσκηση 3 Αρμονικός ταλαντωτής βρίσκεται σε ομογενές ηλεκτρικό πεδίο και έχει Χαμιλτονιανή: Συγκρίνετε την ακριβή λύση του προβλήματος ιδιοτιμών με την προσεγγιστική θεωρίας διαταραχών. Ακριβής λύση: Με συμπλήρωση του τετραγώνου παίρνουμε: Ορίζουμε: Άρα η εξίσωση Schrodinger γίνεται:

Άσκηση 3 Άρα η εξίσωση Schrodinger γίνεται: Αρμονικός Ταλαντωτής Ιδιοκαταστάσεις: Ιδιοτιμές: Μετατοπισμένες στον άξονα των x (με κέντρο qf/k) Μετατοπισμένες κατά (qf) 2 /2k Θεωρία Διαταραχών: x ~

Άσκηση 3 +7t x ~ +7s που αποδίδει πλήρως το ακριβές αποτέλεσμα Για τις ιδιοκαταστάσεις έχουμε:

Άσκηση 3 Άσκηση: Συγκρίνετε την ακριβή ιδιοκατάσταση με αυτήν που προκύπτει από την διόρθωση πρώτης τάξης. Είναι η διαφορά αναμενόμενη;

Άσκηση 4 Ο σχετικιστικός αρμονικός ταλαντωτής έχει δυναμικό της μορφής: και κινητική ενέργεια: +7u Θεωρόντας τον σχετικιστικό όρο ~p 4 σαν διαταραχή βρείτε την ενεργειακή διόρθωση της θεμελιώδους κατάστασης Η διαταραχή της Χαμιλτονιανής γράφεται ως: Συναρτήσει των τελεστών α + και α αυτή γράφεται ως: Για τον μεταθέτη των τελεστών α + και α έχουμε: Αναπτύσσουμε την παρένθεση της διαταραχής:

Άσκηση 4 Αναπτύσσουμε την παρένθεση της διαταραχής: Για την διαταραχή 1 ης τάξης οι όροι που συνεισφέρουν είναι: Για την διαταραχή 1 ης τάξης έχουμε: +7u Για την θεμελιώδη κατάσταση (n=0) παίρνουμε:

Άλυτες Ασκήσεις 1. Εφαρμόστε θεωρία διαταραχών στην Χαμιλτονιανή και βρείτε τις διαταραγμένες ιδιοκαταστάσεις και ιδιοτιμές στην ελάχιστη μη μηδενική τάξη. 2. Θεώρείστε σωμάτιο μάζας m και φορτίου e σε δυναμικό της μορφής: Για μικρό λ βρείτε την διαταραχή 1 ης ταξης στην θεμελιώδη ενέργεια του υδρογόνου 3. Βρείτε την ενεργειακή διαταραχή 1 ης τάξης για σωμάτιο σε κουτί απείρου βάθους που διαταράσσεται από ομογενές σταθερό ηλεκτρικό πεδίο

Άλυτες Ασκήσεις 4. Έστω αδιατάρακτη Χαμιλτονιανή της μορφής Η 0 =h 0 σ z (σωμάτιο με spin σε μαγνητικό πεδίο στην διεύθυνση z χωρίς τροχιακή στροφορμή). Έστω διαταραχή της μορφής Η 1 =h 1 σ χ όπου σ χ και σ y οι πίνακες του Pauli. Με ακριβή διαγονοποίηση της Χαμιλτονιανής βρείτε τις ακριβείς ιδιοενέργειες. Μετά εφαρμόστε θεωρία διαταραχών και βρείτε τις διαταραγμένες (δύο) ιδιοενέργειες μέχρι την 2 η τάξη. 4. Αποδείξτε τις σχέσεις που δεν αποδείξαμε στην διάλεξη e 2 E ' 1 E ' Ψ m Ψ n >=δ mn +O(ε 2 )) 12 2 2 E1 E2

Τέλος Ενότητας

Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

Σημειώματα

Σημείωμα Ιστορικού Εκδόσεων Έργου Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση 1.0. Έχουν προηγηθεί οι κάτωθι εκδόσεις: Έκδοση 1.0 διαθέσιμη εδώ. http://ecourse.uoi.gr/course/view.php?id=1213.

Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων, Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος. «Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Θεωρία Διαταραχών». Έκδοση: 1.0. Ιωάννινα 2014. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: http://ecourse.uoi.gr/course/view.php?id=1213.

Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά Δημιουργού - Παρόμοια Διανομή, Διεθνής Έκδοση 4.0 [1] ή μεταγενέστερη. [1] https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/.