ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Ο 9. ΡΟΗ ΠΟΛΥΜΕΡΙΚΩΝ ΤΗΓΜΑΤΩΝ ΣΕ ΑΓΩΓΟΥΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Ο 9. ΡΟΗ ΠΟΛΥΜΕΡΙΚΩΝ ΤΗΓΜΑΤΩΝ ΣΕ ΑΓΩΓΟΥΣ 9.. ΙΞΩ ΕΣ Το ιξώδες αποτελεί εκείνη την ιδιότητα του ρευστού που αντιπροσωπεύει αντίσταση στη ροή. Πιο συγκεκριµένα, κάποιος πιο τεχνικός ορισµός θα αναφερόταν στην αντίσταση σε ροή διάτµησης και στην ονοµασία διατµητικό ιξώδες. Έστω ρευστό µεταξύ δύο επίπεδων παράλληλων πλακών εµβαδού A και ανοίγµατος Η, όπως φαίνεται στο επόµενο Σχήµα 9.. A U F u Σχήµα 9-: Απλή διάτµηση Η απαιτούµενη δύναµη για να κινηθεί η επάνω πλάκα µε ταχύτητα U είναι: AU F (9-) Το πηλίκο F/A ονοµάζεται διατµητική τάση τ και το πηλίκο U/ αντιπροσωπεύει την κλίση (βαθµίδα) ταχύτητας du/d, και ονοµάζεται ρυθµός διάτµησης &γ. Εποµένως, µπορούµε να γράψουµε: du τ η d ηγ& (9-) όπου η είναι ο συντελεστής του (διατµητικού) ιξώδους. Στο σύστηµα µονάδων SI η µονάδα ιξώδους είναι το Pa. s. Ισχύει ότι Pa. s 0 poise. Tο ιξώδες του αέρα είναι περίπου 0-5 Pa. s, το ιξώδες του νερού 0-3 Pa. s, διαφόρων αλειφών 0 Pa. s, συροπιών 0 0 Pa. s, τηγµάτων πλαστικών 0 0 5 Pa. s,

ΡΟΕΣ ΙΑ ΜΕΣΟΥ ΑΓΩΓΩΝ ζύµης 0 3 0 5 Pa. s, τυριών 0 7 0 8 Pa. s. Για τα υγρά το ιξώδες µειώνεται µε αύξηση της θερµοκρασίας. Για τήγµατα πολυµερών το ιξώδες µειώνεται µε την αύξηση του ρυθµού διάτµησης (du/d) λόγω µοριακών ευθυγραµµίσεων και αποπεριελίξεων (disetaglemets) των αλυσίδων. Χαρακτηριστική τιµή του ιξώδους αποτελεί το οριακό ιξώδες για µηδενικό ρυθµό διάτµησης ( &γ 0), που συχνά συµβολίζεται µε η 0. Το ιξώδες µηδενικής διάτµησης (όπως αναµένεται) αποτελεί συνάρτηση του µοριακού βάρους του πολυµερούς. Αυτή η σχέση φαίνεται σχηµατικά στο παρακάτω διάγραµµα. 9-. log η0 κλίση 3.4 κλίση M c log M w Σχήµα 9-: Σχέση µεταξύ ιξώδους µηδενικού ρυθµού διάτµησης και µοριακού βάρους για γρραµµικά πολυµερή. για M w < M c η 0 K M για M w > M c η 0 K M w 3.4 Σαν κρίσιµο µοριακό βάρος M c θεωρείται εκείνο το µοριακό βάρος όπου αρχίζουν να γίνονται αισθητές οι περιελίξεις (etaglemets). Το M c ποικίλει από πολυµερές σε πολυµερές και εξαρτάται από το µοριακό βάρος µεταξύ περιελίξεων (M e ) και από την ακαµψία των αλυσίδων. Ορισµένες τυπικές τιµές δίνονται στον παρακάτω πίνακα.

ΡΟΕΣ ΙΑ ΜΕΣΟΥ ΑΓΩΓΩΝ 3 Πίνακας 0-: Κρίσιµο µοριακό βάρος για περιελίξεις. ΠΟΛΥΜΕΡΕΣ M e M c PE 50 3800 PMMA 8000 7500 PS 9000 36000 Για το χαρακτηρισµό των πολυµερών συχνά χρησιµοποιείται το ιξώδες διαλύµατος. Όταν ένα πολυµερές διαλύεται σε κάποιο διαλύτη, το ιξώδες του διαλύµατος αυξάνει µε τη συγκέντρωση C. Tα ιξώδη του καθαρού διαλύτη και του διαλύµατος µπορούν να µετρηθούν χρονοµετρώντας τη ροή τους µέσα από τριχοειδή σωλήνα. Για τον περαιτέρω χαρακτηρισµό των πολυµερών γίνεται χρήση των επόµενων ιδιοτήτων που ορίζονται ως εξής: Σχετικό (relative) ιξώδες ηsolutio ηr (9-3) η solvet ηsolutio ηsolvet Ειδικό (specific) ιξώδες ηsp ηr (9-4) η Αναγόµενο (reduced) ιξώδες η red solvet ηsp (9-5) C Εσωτερικό (iheret) ιξώδες η ih ηr l C (9-6) Εγγενές (itrisic) ιξώδες [ η] η sp (9-7) C C 0 Tο εγγενές ιξώδες βρίσκεται µε γραφική παράσταση του όρου η sp του C και ακόλουθη προέκταση σε µηδενική συγκέντρωση. C σαν συνάρτηση Tο επωνοµαζόµενο µοριακό βάρος µέσου ιξώδους (βλ. κεφάλαιο ) βρίσκεται από την εξίσωση των Mark-ouwik: [ η] α KM (9-8) όπου K και α είναι σταθερές που προσδιορίζονται πειραµατικά και δίνονται στη βιβλιογραφία για διάφορα συστήµατα.

ΡΟΕΣ ΙΑ ΜΕΣΟΥ ΑΓΩΓΩΝ 4 9.. ΨΕΥ ΟΠΛΑΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΠΟΛΥΜΕΡΩΝ ( ΙΑΤΜΗΤΙΚΗ ΛΕΠΤΥΝΣΗ) Ο νόµος του Nεύτωνα για το ιξώδες γράφεται τ διατµητικη& ταση & (Pa) µ ( du / d) ρυθµος & διατµησης & ( / s) (9-9) µ > Pa s [ ] Το ιξώδες αντιπροσωπεύει αντίσταση στη ροή. Για Νευτωνικά ρευστά αποτελεί σταθερά (ανεξάρτητη από το ρυθµό διάτµησης). Για πολυµερικά διαλύµατα και τήγµατα το ιξώδες µειώνεται µε την αύξηση του ρυθµού διάτµησης. Αυτή η συµπεριφορά ονοµάζεται ΙΑΤΜΗΤΙΚΗ ΛΕΠΤΥΝΣΗ και οφείλεται σε ευθυγράµµιση και αποπεριέλιξη των µακρών πολυµερικών αλυσίδων όταν υπόκεινται σε διάτµηση. Για τα πολυµερή δεν µπορούµε να µιλάµε για σταθερά ιξώδους µ αλλά µάλλον για διατµητικη& ταση & (Pa) ιξωδες & ρυθµος & διατµησης & ( / s) τ τ η γ συναρτηση & du d & του γ & (9-0) Ένας απλός τρόπος για την προσαρµογή δεδοµένων ιξώδους για πολυµερικά τήγµατα είναι ο εκθετικός νόµος των Ostwald-de Waele b) ή τ & mγ (9-a) η mγ& (9- m > [Pa.s ] και > σταθερά (αδιάστατη). Ο συντελεστής m ονοµάζεται ΕΙΚΤΗΣ ΣΥΝΕΠΕΙΑΣ (όσο µεγαλύτερο το m τόσο πιο ιξώδες το τήγµα) και ο εκθέτης ονοµάζεται ΕΙΚΤΗΣ ΡΕΟΛΟΓΙΚΗΣ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑΣ και δείχνει το βαθµό µη Νευτωνικής συµπεριφοράς του ρευστού ( σηµαίνει Νευτωνικό ρευστό, ενώ για πολυµερή µε συµπεριφορά ΙΑΤΜΗΤΙΚΗΣ ΛΕΠΤΥΝΣΗΣ, < ). Ο εκθετικός νόµος δίνει: η m+ ( ) log log log γ& Ο δείκτης συνέπειας m ισούται µε το ιξώδες η όταν &γ s.

ΡΟΕΣ ΙΑ ΜΕΣΟΥ ΑΓΩΓΩΝ 5 Σε διάγραµµα log-log, η vs &γ δίνει ευθεία µε κλίση (-). 0000. κλίση - 000 η (Pa.s) 00 η m (για γ s - ) Tυπικά εδοµένα 0 0. 0 00 000. γ (s - ) Σχήµα 9-3: Τυπική καµπύλη ιξώδους πολυµερούς Ο εκθετικός νόµος επιτρέπει καλή προσαρµογή δεδοµένων ιξώδους για µεγάλους ρυθµούς διάτµησης, αλλά για χαµηλούς ρυθµούς διάτµησης τα πολυµερή συµπεριφέρονται σαν Νευτωνικά ρευστά µε σταθερό ιξώδες (π.χ. για τιµές ρυθµού διάτµησης &γ < 3 s - ). Ο εκθετικός νόµος ισχύει και δίνει καλά αποτελέσµατα για τις περισσότερες διεργασίες πολυµερών, επειδή τα &γ είναι συνήθως µεταξύ 00 s - και 5000 s -. Ο δείκτης συνέπειας m εξαρτάται εκθετικά από τη θερµοκρασία. Μια συνηθισµένη σχέση που χρησιµοποιείται για την περιγραφή αυτής της εξάρτησης είναι η παρακάτω εκθετική [ ( )] m m ep b T T 0 0 όπου m o είναι ο δείκτης συνέπειας στη θερµοκρασία αναφοράς T o. TΥΠΙΚΕΣ ΤΙΜΕΣ Για πολυµερικά τήγµατα σε συνήθεις συνθήκες επεξεργασίας ισχύουν:

ΡΟΕΣ ΙΑ ΜΕΣΟΥ ΑΓΩΓΩΝ 6 m,000-00,000 Pa.s 0. - 0.8 b 0.0-0. o C - Για σύνηθες πολυστυρένιο (PS) του εµπορίου παρατίθενται οι επόµενες τιµές που προήλθαν από προσαρµογή δεδοµένων ιξώδους στον εκθετικό νόµο. m o 0,800 Pa.s 0.36 T o 00 o C b 0.0 o C - Η τιµή b 0.0 o C - αντιπροσωπεύει µείωση ιξώδους κατά 0% για αύξηση θερµοκρασίας 0 o C. Σηµείωση: Για ισοθερµοκρασιακές ροές µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε το µοντέλο του εκθετικού νόµου για το ιξώδες και να επιλύσουµε προβλήµατα πρακτικού ενδιαφέροντος µε αναλυτικές µεθόδους λύσης. 9.3. ΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΙΑΤΗΡΗΣΗ ΟΡΜΗΣ Κατά τη διάρκεια της ροής αναπτύσονται τάσεις είτε εφαπτοµενικά (διατµητικές) είτε κάθετα (κάθετες) στις επιφάνειες. F A ΙΑΤΜΗΤΙΚΗ ΤΑΣΗ F/A F A ΚΑΘΕΤΗ ΤΑΣΗ F/A Σχήµα 9.4. Αντιπροσώπευση διατµητικών και κάθετων τάσεων

ΡΟΕΣ ΙΑ ΜΕΣΟΥ ΑΓΩΓΩΝ 7 Η πίεση είναι κάθετη τάση. Ορισµένοι τεχνικοί υπολογισµοί µπορούν να γίνουν εύκολα για απλά πεδία διατµητικής ροής. Για παράδειγµα, αν το ιξώδες του ρευστού είναι γνωστό, η δύναµη που απαιτείται για την κίνηση της µιας πλάκας σε ροή µεταξύ επίπεδων παραλλήλων πλακών (βλ. παρακάτω σχήµα) δίνεται από τη σχέση A U F u Σχήµα 9.5. Απλή διάτµηση F τ U A η A (9-) Αν έχουµε (σχεδόν) παράλληλο πεδίο ροής µεταξύ δύο συγκεντρικών κυλίνδρων, R U Σχήµα 9.6. Περιστροφική ροή διάτµησης µπορούµε εύκολα να υπολογίσουµε τη ροπή (T 0 ) από τη σχέση όπου R απόσταση από τον άξονα περιστροφής. T F R AR 0 τ (9-3) Η ισχύς (P 0 ) που απαιτείται για να περιστραφεί ο µέσα κύλινδρος δίνεται από τη σχέση P 0 FU τau (9-4) Για την επίλυση γενικών προβληµάτων ροής πρέπει να θεωρήσουµε την εξίσωση διατήρησης της ορµής που γράφεται µε λόγια:

ΡΟΕΣ ΙΑ ΜΕΣΟΥ ΑΓΩΓΩΝ 8 δυναµεις & δυναµεις & δυναµεις & δυναµεις & ιξωδων & αδρανειας & πιεσης & + + ( ) βαρυτητας & (9-5) τασεων & Mαθηµατικά η παραπάνω εξίσωση γράφεται ως εξής: ρ t ~ + P+ τ + ρg (9-6) Οι όροι του αριστερού σκέλους της εξίσωσης αντιπροσωπεύουν δυνάµεις αδράνειας, ενώ οι όροι του δεξιού σκέλους αντιπροσωπεύουν δυνάµεις πίεσης, δυνάµεις (ιξωδών) τάσεων και δυνάµεις βαρύτητας, αντίστοιχα. Τα πολυµερή σε κατάσταση τήγµατος χαρακτηρίζονται από εξαιρετικά υψηλά ιξώδη (περίπου ένα εκατοµµύριο φορές πιο ιξώδη από το νερό). Ο αριθµός Reolds (ReρD/µ) είναι πολύ µικρός κάτω από συνήθεις συνθήκες επεξεργασίας (Re0-4 0 - ). Εποµένως, η ροή των πολυµερών είναι πάντοτε ΣΤΡΩΤΗ. Οι δυνάµεις συναγωγής (αδράνειας) δεν είναι σηµαντικές ("ΕΡΠΟΥΣΑ ΡΟΗ"). Οι δυνάµεις βαρύτητας είναι συνήθως αµελητέες. Η ροή κυριαρχείται από την ισορροπία δυνάµεων πίεσης και ιξώδους (τάσεων). ~ 0 P + τ (9-7) Η πίεση P αποτελεί ΒΑΘΜΩΤΟ µέγεθος. Η ταχύτητα ( z) κατευθύνσεις, και z.,, αποτελεί ΙΑΝΥΣΜΑ µε 3 συνιστώσες στις Οι τάσεις ορίζονται σαν το πηλίκο ύναµη/εµβαδό, και µπορούν να είναι κάθετες ή εφαπτοµενικές (διατµητικές). Οι τάσεις αποτελούν ΤΑΝΥΣΤΗ µε 9 συνιστώσες: τ τ τ ~ τ τ τ τ τ τ τ z z z z zz Σύµβαση γραφής των συνιστωσών των τάσεων: τ ij (9-8) Ο πρώτος δείκτης είναι κάθετος στο επίπεδο όπου δρά η τάση, ενώ ο δεύτερος δείκτης αναφέρεται στην κατεύθυνση της τάσης.

ΡΟΕΣ ΙΑ ΜΕΣΟΥ ΑΓΩΓΩΝ 9 τ zz τ z τ z τ z τ τ z τ z τ τ Σχήµα 9.7. Κυβικό στοιχείο ρευστού που δείχνει τι σδιάφορες τάσεις τ, τ, τ zz > Κάθετες τάσεις τ, τ, τ z, τ z, τ z, τ z > ιατµητικές τάσεις Για διδιάστατη ροή η ισορροπία δυνάµεων φαίνεται στο παρακάτω σχήµα: P τ τ + τ z P P + Σχήµα 9.8. Επίπεδη ροή (plaar flow) Έτσι έχουµε P P z P + z τ τ + z τ z 0 (9-9) το οποίο δίνει P τ 0 + (9-0) Σε ροή µονής κατεύθυνσης υπάρχει ισορροπία της πίεσης στην κατεύθυνση ροής µε την αντίθετη διατµητική τάση. Συµβολικά αυτό γράφεται ως εξής:

ΡΟΕΣ ΙΑ ΜΕΣΟΥ ΑΓΩΓΩΝ 0 ( & & ) διατµητικηταση ( & & ) ( & & & ) P 0 + κατευθυνσηροης κατευθυνση καθετη στη ροη (9-) Η παραπάνω έκφραση αποτελεί απλούστευση της εξίσωσης διατήρησης της ορµής για έρπουσα ροή: ~ 0 P + τ (9-) Η γενική εξίσωση διατήρησης της ορµής αποτελεί ανυσµατική εξίσωση (δηλ. έχει συνιστώσες στις κατευθύνσεις, και z). Για διδιάστατες ροές η γενική εξίσωση ορµής γράφεται P τ τ 0 + + (9-3) P τ τ 0 + + (9-4) και η εξίσωση διατήρησης της µάζας (εξίσωση συνέχειας) γράφεται + 0 (9-5) Για ροές ΜΟΝΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ µπορεί εύκολα να αποδειχτεί ότι τελικά αποµένει µια µόνο εξίσωση (στην κατεύθυνση της ροής), δηλ. για ροή µόνο στην κατεύθυνση, P τ τ επειδή 0, 0, 0 (9-6) P τ έχουµε 0 + (9-7)

ΡΟΕΣ ΙΑ ΜΕΣΟΥ ΑΓΩΓΩΝ 9.3.. ΡΟΕΣ ΜΟΝΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (UNIDIRECTIONA FOWS) Οι παρακάτω τύποι ροής είναι ιδιαίτερης σηµασίας σε πρακτικές εφαρµογές. Πρόκειται για ροές ρευστών σε µια µόνο κατεύθυνση. ΕΠΙΠΕ Η ΡΟΗ (στη -κατεύθυνση) AΞΟΝΟΣΥΜΜΕΤΡΙΚΗ ΡΟΗ (στη z-κατεύθυνση) ΑΚΤΙΝΙΚΗ ΡΟΗ µεταξύ δίσκων (στην r-κατεύθυνση) ΑΚΤΥΛΙΚΗ ΡΟΗ COUETTE (ΟΠΙΣΘΕΛΚΟΥΣΑ) (στη θ-κατεύθυνση) Οι εξισώσεις διατήρησης για τις απλές αυτές ροές παραθέτονται στα παρακάτω. 9.3... Επίπεδη Ροή P τ -κατεύθυνση: 0 + όπου τ η 9.3... Aξονοσυµµετρική Ροή r z P z r r z-κατεύθυνση: 0 + ( r τ ) όπου τ η z rz r rz

ΡΟΕΣ ΙΑ ΜΕΣΟΥ ΑΓΩΓΩΝ 9.3..3. Ακτινική Ροή (Συµπίεσης) z συµπίεση r P r z r-κατεύθυνση 0 + ( τ ) όπου τ η r zr z zr 9.3..4. ακτυλική Ροή Couette θ P r θ r r (θ-κατεύθυνση) 0 + ( r τr θ ) όπου τ η θ r θ r r r και για ρευστά που υπακούουν τον εκθετικό νόµο η & m γ

ΡΟΕΣ ΙΑ ΜΕΣΟΥ ΑΓΩΓΩΝ 3 9.4. PΟΗ ΥΠΟ ΠΙΕΣΗ ΡΕΥΣΤΟΥ ΕΚΘΕΤΙΚΟΥ ΝΟΜΟΥ ΜΕΤΑΞΥ ΠΑΡΑΛΛΗΛΩΝ ΠΛΑΚΩΝ P W Η Σχήµα 9.9. Επίπεδη ροή µεταξύ δύο παράλληλων πλακών P τ Εξίσωση Ορµής: 0 + P Βαθµίδα πίεσης: P Εκθετικός νόµος: τ η m γ m & (9-8) (9-9) (9-30) Η απόλυτη τιµή χρειάζεται επειδή µερικές φορές / παίρνει αρνητικές τιµές, και (-) < 0 για τα πολυµερή. Έτσι έχουµε, τ P (9-3) P τ + C (9-3) m P + C (9-33) Αφού 0 στο 0 (από συµµετρία) C 0 m P (9-34)

ΡΟΕΣ ΙΑ ΜΕΣΟΥ ΑΓΩΓΩΝ 4 Προσοχή σε ένα λεπτό σηµείο εδώ: Tο δεξί σκέλος της εξίσωσης είναι αρνητικό, και εποµένως πρέπει να είναι αρνητικό. m P (9-35) ( ) m P C + + + (9-36) Μετά την εφαρµογή της συνθήκης µη ολίσθησης 0 στο Η και ανακατάταξη, το προφίλ της ταχύτητας δίνεται από m P + + + (9-37) Η µέγιστη ταχύτητα στο κέντρο για 0 δίνεται από m P ma + + (9-38) και ma + (9-39) Η µέση ταχύτητα δίνεται από dzd dzd d d avg ma + + (9-40) και avg + + + (9-4) Η ογκοµετρική παροχή ανά µονάδα πλάτους δίνεται από Q W m P + + avg (9-4)

ΡΟΕΣ ΙΑ ΜΕΣΟΥ ΑΓΩΓΩΝ 5 και και η πτώση πίεσης δίνεται από + Q + W + (9-43) ή P m + Q W ( + ) (9-44) ( ) P m + + Q W Από την προηγούµενη σχέση είναι εύκολο να δούµε ότι η τάση είναι γραµµική (9-45) Η µέγιστη τιµή συµβαίνει στο τοίχωµα τ P (9-46) τ w P (9-47) Το αρνητικό πρόσηµο απλά δείχνει ότι όταν η ποσότητα αυτή πολλαπλασιάζεται µε το εµβαδόν, προκύπτει δύναµη που εξασκείται από την πλάκα στο ρευστό, που έχει φορά προς την αρνητική -κατεύθυνση. Η δύναµη που εξασκείται από το ρευστό στο διαβρεχώµενο τοίχωµα πρέπει εποµένως να είναι θετική. Η γραµµική συµπεριφορά των διατµητικών τάσεων στο ρευστό εκφράζεται συνήθως σαν τ (9-48) όπου το τ w λαµβάνεται συµβατικά σαν θετική ποσότητα. τ w Ο ρυθµός διάτµησης δίνεται από + + γ& ma + ma (9-49) Ο ρυθµός διάτµησης στο τοίχωµα δίνεται από (απόλυτη τιµή) ή & ma γ w + (9-50)

ΡΟΕΣ ΙΑ ΜΕΣΟΥ ΑΓΩΓΩΝ 6 + avg &γ w (9-5) ή + Q &γ w 4W (9-5) Η µέγιστη διατµητική τάση στο τοίχωµα δίνεται επίσης από τw η γw γ m m + ma m Q + & & (9-53) 4W 9.6. PΟΗ ΥΠΟ ΠΙΕΣΗ ΡΕΥΣΤΟΥ ΕΚΘΕΤΙΚΟΥ ΝΟΜΟΥ ΣΕ ΚΥΛΙΝ ΡΙΚΟ ΑΓΩΓΟ r P z Σχήµα 9.0. Ροή δια µέσου κυλινδρικού αγωγού (plaar flow) Εξίσωση ορµής: 0 P ( ) + z r r r τ rz (9-54) P z P P r τ rz +C (9-55) (9-56) τ rz m r z r z (9-57) Οριακή συνθήκη: z r 0, 0 r r R, z 0 Η επίλυση δίνει τα παρακάτω:

ΡΟΕΣ ΙΑ ΜΕΣΟΥ ΑΓΩΓΩΝ 7 z r ma R + (9-58) + R P ma + m avg Q π 3 + m (9-59) + (9-60) 3 + ma DP + 3 R (9-6) ή 3 P m + Q R π ( 3 ) + (9-6) ( 3+ ) Q P mr 3+ π (9-63) για έχουµε τη γνωστή σχέση age-poiseuille για Νευτωνικά ρευστά. Ροές υπό πίεση αναφέρονται επίσης σαν ροές Poiseuille.

ΡΟΕΣ ΙΑ ΜΕΣΟΥ ΑΓΩΓΩΝ 8 9.5. ΠΡΟΦΙΛ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ < διατµητική λέπτυνση Nευτωνικό > διατµητική πάχυνση Σχήµα 9.. Κατανοµές ταχύτητας για εκθετικά ρευστά Για ρευστά διατµητικής λέπτυνσης, το προφίλ της ταχύτητας είναι πιο εµβολικό από το παραβολικό προφίλ των Νευτωνικών ρευστών. Από τις προηγούµενες σχέσεις προκύπτει ότι η διατµητική τάση είναι γραµµική συνάρτηση της ακτίνας τ rz P r (9-64) Η µέγιστη τιµή συµβαίνει στο τοίχωµα P R τ w (9-65) Για τη σηµασία του αρνητικού πρόσηµου, βλ. το παράδειγµα της προηγούµενης παραγράφου (ροή µεταξύ δύο παράλληλων πλακών). Η γραµµικότητα της διατµητικής τάσης εκφράζεται συχνά σαν: τ r (9-66) R και το τ w λαµβάνεται σαν θετικό. Ο ρυθµός διάτµησης δίνεται από: τ w + + z r R R R γ & ma ma r r + Ο ρυθµός διάτµησης στο τοίχωµα δίνεται από (απόλυτη τιµή): (9-67)

ΡΟΕΣ ΙΑ ΜΕΣΟΥ ΑΓΩΓΩΝ 9 ή ή &γ ma γ & w + (9-68) R 3 + &γ w R w avg 3 + 4Q 3 4 πr (9-69) (9-70) Η µέγιστη διατµητική τάση στο τοίχωµα δίνεται επίσης από ή + τ w ηγ& w & γ ma m m w R (9-7) τ w 3 + m 4Q 4 πr (9-7) 3 Ο όρος 4Q/πR 3 χρησιµοποιείται στην παραπάνω εξίσωση επειδή αντιπροσωπεύει το ρυθµό διάτµησης για Nευτωνικά ρευστά (). Για µη Νευτωνικά ρευστά αναφέρεται συνήθως σαν φαινοµενικός ρυθµός διάτµησης.

ΡΟΕΣ ΙΑ ΜΕΣΟΥ ΑΓΩΓΩΝ 0 9.6. ΠΤΩΣΗ ΠΙΕΣΗΣ ΣΕ ΚΩΝΙΚΕΣ ΣΧΙΣΜΕΣ ΚΑΙ ΚΟΛΟΥΡΟΥΣ ΚΩΝΟΥΣ (PRESSURE DROP IN TAPERED SITS AND TUBES) Κόλουροι κώνοι και σχισµές (slits or trucated coes) συχνά χηησιµοποιούνται στις διεργασίαες και τη ρεολογία πολυµερών. 9.6.. ΡΟΗ ΙΑ ΜΕΣΟΥ ΚΩΝΙΚΗΣ ΣΧΙΣΜΗΣ (TAPERED SIT) 0 z θ Σχήµα 9-: Ροή δια µέσου κωνικής σχισµής (tapered slit) S Αρχίζουµε µε την εξίσωση για την πτώση πίεσης για ροή µεταξύ δύο παράλληλων πλακών: P m + Q W Για µία σχισµή απειροελάχιστου µήκους dz, dp m + Q W + + 0 όπου 0 z για µία κωνική (συστολική) σχισµή (tapered slit). Ολοκλήρωση µεταξύ z0 και z δίνει: P P P 0 dz (9-73) (9-74)

ΡΟΕΣ ΙΑ ΜΕΣΟΥ ΑΓΩΓΩΝ Ορίζοντας m Q P + + W 0 Μπορούµε να γράψουµε ότι: + S, cot θ 0 S cot θ 0 (9-75) (9-76) P m cot θ Q + W + 0 (9-77) Η εξίσωση αυτή ισχύει κάτω από την παραδοχή ότι έχουµε ροή µεταξύ σχεδόν παράλληλων πλακών (earl parallel flow). Είναι µία πολύ καλή παραδοχή για γωνίες συστολής µέχρι θ 5 o (θ είναι η µισή γωνία συστολής). Μπορούµε επίσης να δείξουµε ότι ο ρυθµός τάνυσης (stretch rate) κατά µήκος του επίπεδου συµµετρίας δίνεται από: ε& taθ dz + Q dz + W ma (9-78) 9.6.. ΡΟΗ ΙΑ ΜΕΣΟΥ ΚΟΛΟΥΡΟΥ ΚΏΝΟΥ (TRUNCATED CONE) r R 0 z R θ Σχήµα 9-3: Ροή δια µέσου κόλουρου κώνου (tapered coe) S Αρχίζοντας από

ΡΟΕΣ ΙΑ ΜΕΣΟΥ ΑΓΩΓΩΝ ( 3+ ) Q dp mr + 3 π dz (9-79) η οποία δίνει την πτώση πίεσης δια ροή δια µέσου κυλινδρικού αγωγούµήκους dz. Ορίζοντας R0 R R R0 z (9-80) και ολοκληρώνουµε από z0 µέχρι z, µπορούµε να πάρουµε: ή m Q P P0 P + 3 3 π 3 R R 0 R R 3 0 (9-8) m cot θ Q R P + R 3 3 0 3 π R 0 3 (9-8) Αυτή η έκφραση ισχύει για σχεδόν παράλληλη ροή ((earl parallel flow)assumptio, που είναι µία καλή παραδοχή για γωνίες συστολής µέχρι θ 5 o (θ είναι η µισή γωνία συστολής). Μπορούµε επίσης να δείξουµε ότι ο ρυθµός τάνυσης (stretch rate) κατά µήκος του άξονα συµµετρίας δίνεται από: taθ ε& dz 3 + Q 3 dz + πr (9-83) ma 9.6.3. ΟΠΙΣΘΕΛΚΟΥΣΑ ΡΟΗ ΜΕΤΑΞΥ ΕΠΙΠΕ ΩΝ ΠΛΑΚΩΝ (DRAG FOW BETWEEN FAT PATES) Η οπισθέλκουσα ροή µεταξύ δύο παράλληλων πλακών (επίσης γνωστή σαν επίπεδη ροή Couette) συµβαίνει όταν µία από τις δύο πλάκες µετακινείται µε ταχύτητα 0 ενώ η άλλη παραµένει στάσιµη. εν υπάρει κλίση πίεσης σ αυτή τη ροή. 0 Σχήµα 9-4: Flow betwee flat plates

ΡΟΕΣ ΙΑ ΜΕΣΟΥ ΑΓΩΓΩΝ 3 P τ 0 + τ 0 (9-84) τ cost m d d d d d d cost cost (9-85) η οποία δίνει C+ C (9-86) Οριακή συνθήκη : 0, 0 Οριακή συνθήκη :, o Εφαρµγή τςν οριακών συνθηκών δίνει την κατανοµή ταχύτητας ( o /) (9-87) Η µέση τχύτητα δίνεται από: avg (/) o (9-88) Η ογκοµετρική παροχή για ένα κανάλι πάχους W θα είναι: Q(/) o W (9-89) Αυτή η έκφραση δίνει το ποσό του ρευστού που παρασύρεται από την κίνηση της κινούµενης πλάκας.

ΡΟΕΣ ΙΑ ΜΕΣΟΥ ΑΓΩΓΩΝ 4 9.6.4. ΣΥΝ ΙΑΣΜΕΝΗ ΡΟΗ ΠΙΕΣΗΣ ΚΑΙ ΟΠΙΣΘΕΛΚΟΥΣΑΣ ΜΕΤΑΞΥ ΥΟ ΠΑΡΑΛΛΗΛΩΝ ΠΛΑΚΩΝ Η κλίση πίεσης µπορεί να βοηθάει ή να αντιτίθεται στην οπισθέλκουσα ροή όπως δείχνεται παρακάτω: P 0 P 0 >P dp d P aidig P 0 P 0 <P dp d P opposig Σχήµα 9-5: Ροή µεταξύ παράλληλων πλακών Η εξίσωση κίνησης είναι: P τ 0 + (9-90) Η εξίσωση εκθετικού ρευστού (power-law) γράφεται ως: τ m d d d η d d d (9-9) Αυτή µπορεί να αντικατασταθεί στην εξίσωση 9-90. Οµως δεν µπορεί να λυθεί αναλυτικά. Επειδή αυτή η ροή είναι σηµαντική από πρακτικής πλευράς, παρουσιάζουµε την λύση για ένα Νευτώνειο ρευστό,. Γι αυτή την περίπτωση έχουµε: P 0 + η (9-9) όπου η µ είναι το Νευτώνειο ιξώδες (Newtoia viscosit). Οριακές συνθήκες: 0, 0,

ΡΟΕΣ ΙΑ ΜΕΣΟΥ ΑΓΩΓΩΝ 5 Η κλίση πίεσης είναι γενικά P P P0 P (9-93) Λύνοντας αυτή την εξίσωση, παίρνουµε, P + µ ( ) (9-94) Τυπικές κατανοµές ταχύτητας απεικονίζονται στο Σχήµα 9-5. Η ογκοµετρική παροχή για πλάτος W είναι: Ολοκήρωση δίνει: Q W d 0 (9-95) Q W + 6 µ P (9-96) ή σε όρους κλίσης πίεσης Q W 6 µ dp d (9-97) Αυτή µπορεί να ολοκληρωθεί για να δώσει την πίεση σαν συνάρτηση του : P Q P µ W ( ) 0 3 0 (9-98)

ΡΟΕΣ ΙΑ ΜΕΣΟΥ ΑΓΩΓΩΝ 6 9.7. Ο ΡΟΛΟΣ ΤΗΣ ΙΞΩ ΟΥΣ ΑΠΩΛΕΙΑΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ (TE ROE OF ISCOUS DISSIPATION) Για να λύσουµε προβλήµατα σε ανισόθερµες ροές (o-isothermal flows), χρειαζόµαστε την εξίσωση διατήρησης της ενέργειας. Για µόνιµη ροή: Για επίπεδη ροή: frictioal heat heat + heat covectio coductio geeratio (9-99) heat covectio ρc T p (9-00) per uit volume heat coductio T k per uit (9-0) volume Η ιξώδης απώλεια ενέργειας οφέιλεται στην τριβή λόγω του ιξώδους του ρευστού. Για εκθετικό ρευστό frictioal eerg volume force velocit F volume area legth F du τ area legth d (9-0) τ m du d du d (9-0) Ετσι, Για επίπεδη ροή: frictioal heat geeratio per uit volume m du d du d (9-03)

ΡΟΕΣ ΙΑ ΜΕΣΟΥ ΑΓΩΓΩΝ 7 ρc p T T k m d + d d d (9-03) και παρόµοια για αξονοσυµµετρική ροή σε κυλινδρικό αγωγό: ρc p z T z k r T + m d r r r dr z z d dr (9-04) Για Νευτώνεια ρευστά (Newtoia fluids ), η ιξώδης απώλεια µπορεί να εκφρασθεί ως µ(du/d). Οι παραπάνω εξισώσεις είναι διαφορικές εξισώσεις (P.D.E.'s) και µπορούν να λυθούν µόνο µε αριθµητικές µεθόδους π.χ. πεπερασµένες διαφορές ή πεπερασµένα στοιχεία (fiite differeces or fiite elemets). Για πλήρως ανεπτυγµένη οπισθέλκουσα ροή (full-developed drag) µεταξύ δύο επίπεδων πλακών δεν έχουµε συναγωγή (covectio). Σχήµα 9-6: Ροή µεταξύ παράλληλων πλακών Εξίσωση ενέργειας: T 0 k + m d d Υποθέτουµε Νευτώνειο ρευστό (), d d (9-05) T 0 + d k µ (9-06) d Η κατανοµή ταχύτητας είναι γραµµική d (9-07) d T 0 + k µ (9-08) Οριακή συνθήκη : 0, TT 0

ΡΟΕΣ ΙΑ ΜΕΣΟΥ ΑΓΩΓΩΝ 8 Οριακή συνθήκη :, TT Ολοκληρώνοντας µπορούµε να πάρουµε, T T T T + 0 µ + k 0 ( ) (9-09) Η κατανοµή θερµοκρασίας απεικονίζεται στο Σχήµα 9-7: T T 0 T T T 0 T 0 Σχήµα 9-7: Ροή µεταξύ επίπεδων πλακών και απεικόνιση της ιξώδους απώλειας ενέργειας Για T 0 T, η µέγιστη θερµοκρασία συµβαίνει στη θέση /. µ T T k ma 0 + (9-0) 8 Για ένα πολυµερικό τήγµα υποθέτουµε µ 000 Pa-s, k0. W/mK και 0 cm/s, παίρνουµε µ T T T ( ) k 000 C ma ma 0 0. 5 8 8 0. (9-) Αυτό δείχνει µία σηµαντική αύξηση θερµοκρασίας λόγω της ιξώδους απώλειας ενέργειας. Αναλυτικές λύσεις υπάρχουν για εκθετικά ρευστά διά µέσου -D κανάλια και σωλήνες κάτω από την παραδοχή ροής θερµικά πλήρως ανεπτυγµένης (thermall fulldeveloped flow). Αυτό σηµαίνει ότι το σχήµα της κατανοµής της θερµοκρασίας δεν αλλάζει, αν και η θερµοκρασία αυτή καθ εαυτή αλλάζει.

ΡΟΕΣ ΙΑ ΜΕΣΟΥ ΑΓΩΓΩΝ 9 D Σχήµα 9-8: Θερµικά πλήρως ανεπτυγµένη ροή. Το σχήµα της κατανοµής της θερµοκρασίας δεν αλλάζει, αν και η θερµοκρασία αυτή καθ εαυτή αλλάζει. Ο υπολογισµός της κατανοµής θερµοκρασίας όπως αναπτύσεται µπορεί να γίνει αριθµητικά µε την λύση των διαφορικών εξισώσεων (FOWCAD ). Υπάρχει ένα εύκολος τρόπος για να υπολογίσουµε προσεγγιστικά την µέση αύξηση της θερµοκρασίας (όχι την κατανοµή της). Υποθέτοντας αδιαβατικές συνθήκες (adiabatic coditios), µπορούµε να υποθέσουµε ότι όλη η µηχανική ενέργεια µετατρέπεται σε θερµότητα (αδιαβατικές συνθήκες σηµαίνει καθόλου απώλεια ενέργειας από το τοίχωµα). Μπορούµε να γράψουµε ότι: δύναµη ταχύτητα ρυθµ ός µ άζας C p T force velocit mass flow rate C p T Αλλά, Q ταχύτητα ; πί εση επιφάνεια δύναµη επιφάνεια Ετσι, ( ) PQ ρ QC T P T ρcp p

ΡΟΕΣ ΙΑ ΜΕΣΟΥ ΑΓΩΓΩΝ 30 Αυτό δίνει µία µέση αύξηση θερµοκρασίας στην έξοδο του καναλιού εάν η διαφορά πίεσης µεταξύ εισόδου και εξόδου είναι P. Παράδειγµα: Ροή σε ένα αγωγό προκαλεί πτώση πίεσης P0 MPa για ένα πολυµερικό τήγµα µε ρ 000 kg/m 3 και C p 000 J/kg C. Υπολόγισε την αύξηση θερµοκρασίας λόγω της ιξώδους απώλειας ενέργειας. Λύση: 6 P 0 0 T 5 C ρc 000 000 p Η κατανοµή της θερµοκρασίας θα είναι όπως φαίνεται στο Σχήµα 9-9, αλλά η µέση θερµοκρασία θα αυξηθεί περίπου 5 C. 5 C 3 C (appro.) P0 P0 MPa C Σχήµα 9-9: Ροή µεταξύ δύο παράλληλων πλακών και η επίδραση της ιξώδους απώλειας ενέργειας. Πτώσεις πίεσης σε αγωγούς µπορεί να είναι και µέχρι 00 MPa (συνήθως 0 ~ 40 MPa για εκβολή-etrusio). Σε πιέσεις περίπου 50 MPa, ( T) visc µπορεί να είναι και 5 o C(!). Αυτό αντιστοιχεί σε µείωση του ιξώδους περίπου 30-40% (εξαρτάται από το πολυµερές). Μπορούµε έτσι να υπολογίσουµε το νέο ιξώδες λόγω αύξησης της θερµοκρασίας από: ( ) η m ep b T γ& 0 Και να ξαναυπολογίσουµε το νέο P ( T) visc P κλπ, µέχρι η διαδικασία να συγκλίνει. Η µέθοδος αυτή θα δώσει έναν πιο ακριβή υπολογισµό της αύξησης της θερµοκρασίας.