Προηγμένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών

Προηγμένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών Το εκπαιδευτικό υλικό που ακολουθεί αναπτύχθηκε στα πλαίσια του έργου «Προηγμένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών», του Μέτρου «Εισαγωγή και Αξιοποίηση των νέων Τεχνολογιών στην Εκπαίδευση» του Επιχειρησιακού Προγράμματος Κοινωνία της Πληροφορίας

Ποσοτικές Μέθοδοι για τη λήψη Διοικητικών Αποφάσεων ΙΙ Το εκπαιδευτικό υλικό βασίζεται στο εγκεκριμένο από το Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων περίγραμμα του μαθήματος Ποσοτικές Μέθοδοι για τη λήψη Διοικητικών Αποφάσεων ΙΙ. Συντάκτης: Βασίλειος Α. Δημητρίου MSc στην Στατιστική & Επιχειρησιακή Έρευνα Υποψήφιος διδάκτορας στον Τομέα Στατιστικής & Επιχειρησιακής Έρευνας Α.Π.Θ. Προηγμένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο 1.2., Κοινωνία της Πληροφορίας 2

Διοίκηση-Προγραμματισμός Έργων ΕΡΓΟ ονομάζουμε την παραγωγή ενός ή πολύ λίγων προϊόντων μεγάλου μεγέθους, πολυπλοκότητας και αξίας όπως: προϊόντα της αεροναυπηγικής και ναυπηγικής βιομηχανίας, κτιριακές εγκαταστάσεις και μεγάλα έργα υποδομής, π.χ. δρόμους, λιμάνια, γέφυρες κ.λ.π. που κατασκευάζουν μεγάλες τεχνικές εταιρίες. Γενικότερα ωστόσο, με τον όρο ΕΡΓΟ ΡΓΟ εννοούμε επιπλέον και προϊόντα συστημάτων παραγωγής, που εμφανίζουν σημαντικές ομοιότητες με τη διαδικασία του προγραμματισμού και της υλοποίησης των τεχνικών έργων. Τέτοια προϊόντα είναι συνήθως η παροχή πολύπλοκων υπηρεσιών, όπως ο σχεδιασμός και η υλοποίηση ερευνητικών ή αναπτυξιακών προγραμμάτων, η ανάπτυξη μιας νέας υπηρεσίας στα πλαίσια μιας υφιστάμενης επιχείρησης, η υλοποίηση ενός νέου επενδυτικού σχεδίου, οι εργασίες συντήρησης μιας μεγάλης κατασκευής Προηγμένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο 1.2., Κοινωνία της Πληροφορίας 3

Διοίκηση-Προγραμματισμός Έργων Βασικά χαρακτηριστικά ενός έργου είναι ότι: αποτελείται από ένα σύνολο από αλληλοεξαρτώμενες μεταξύ τους εργασίες, που όλες μαζί έχουν σκοπό την επίτευξη συγκεκριμένων στόχων σε προκαθορισμένη χρονική περίοδο, χρησιμοποιώντας μια μεγάλη ποικιλία περιορισμένων συνήθως πόρων (εξοπλισμού και ανθρώπινου δυναμικού) η ολοκλήρωση του έργου εξαρτάται από την πολυπλοκότητα των σχέσεων αλληλεξάρτησης των εργασιών αυτών καθώς επίσης και από το χρόνο εκτέλεσής τους Οι αυτοτελείς αυτές εργασίες στις οποίες αναλύεται ένα έργο είναι γνωστές ως ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ του έργου Προηγμένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο 1.2., Κοινωνία της Πληροφορίας 4

Διοίκηση-Προγραμματισμός Έργων Στο χρονικό προγραμματισμό ενός έργου δεν μας πειράζει το πλήθος των δραστηριοτήτων του, αλλά Μας δημιουργεί επιπρόσθετη δυσκολία το γεγονός ότι υπάρχει εξάρτηση μεταξύ των δραστηριοτήτων, δηλαδή υπάρχει συγκεκριμένη σειρά και προτεραιότητα στον τρόπο με τον οποίο οι δραστηριότητες πρέπει να εκτελεστούν π.χ. δεν μπορεί να φτιάξει κανείς την σκεπή ενός σπιτιού αν δεν το έχει κτίσει πρώτα! οι διαθέσιμοι πόροι (εξοπλισμός, υλικά και ανθρώπινο δυναμικό) είναι συνήθως προκαθορισμένοι και πρέπει να γίνει η βέλτιστη ως προς το χρόνο χρήση τους Προηγμένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο 1.2., Κοινωνία της Πληροφορίας 5

Διοίκηση-Προγραμματισμός Έργων Στην περίπτωση λοιπόν της σχεδίασης και του προγραμματισμού της ολοκλήρωσης ενός έργου, τα προβλήματα που προκύπτουν και ζητούμε να επιλυθούν είναι: Προβλήματα σχετικά με το χρόνο : Ποιος είναι ο χρόνος που θα χρειαστούμε για την ολοκλήρωση του έργου; Ποιος είναι ο χρόνος έναρξης και λήξης κάθε μιας δραστηριότητας, έτσι ώστε να πετύχουμε το μικρότερο δυνατό χρόνο ολοκλήρωσης του έργου; Αν καθυστερήσει η εκτέλεση κάποιας δραστηριότητας, θα επηρεαστεί ο χρόνος ολοκλήρωσης του έργου συνολικά και με ποιο τρόπο; Ποια είναι η πιθανότητα να ολοκληρωθεί το έργο μέσα σε συγκεκριμένο χρονικό διάστημα; Προηγμένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο 1.2., Κοινωνία της Πληροφορίας 6

Διοίκηση-Προγραμματισμός Έργων Προβλήματα σχετικά με το κόστος και τα μέσα παραγωγής : Ποιαείναιταμέσαπαραγωγής(ανθρώπινο δυναμικό, εξοπλισμός, υλικά, εγκαταστάσεις, χρήματα κ.λ.π.) που θα χρειαστούμε για την ολοκλήρωση του έργου, σε ποια ποσότητα και πότε; Πόσο θα μας κοστίσει το έργο συνολικά; Μπορεί αυτό το κόστος να μειωθεί; Ποιο είναι το ελάχιστο πρόσθετο κόστος που απαιτείται για τη συντόμευση της ολοκλήρωσης του έργου; Πώς μπορούμε να αντιμετωπίσουμε προβλήματα διαθεσιμότητας των μέσων παραγωγής και με ποιες χρονικές και οικονομικές επιπτώσεις; Προηγμένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο 1.2., Κοινωνία της Πληροφορίας 7

Διοίκηση-Προγραμματισμός Έργων Για να απαντηθούν τα προηγούμενα προβλήματα, έχουν αναπτυχθεί μέθοδοι, που είναι γνωστές γενικά με τον όρο Μέθοδοι Δικτυωτής Ανάλυσης, επειδή χρησιμοποιούν όλες κατάλληλα δικτυωτά διαγράμματα (δίκτυα) για να απεικονίσουν γραφικά τα διάφορα δομικά στοιχεία ενός έργου (δραστηριότητες). Οι μέθοδοι αυτές αποσκοπούν στην δημιουργία ενός χρονοδιαγράμματος αλληλουχίας των δραστηριοτήτων. Για τη χρήση τους θα πρέπει να γνωρίζει κανείς εάν: Η χρονική διάρκεια κάθε δραστηριότητας θεωρείται γνωστή (παίρνει σταθερή τιμή) Η χρονική διάρκεια κάθε δραστηριότητας θεωρείται ότι παίρνει τιμές με βάση κάποια κατανομή πιθανότητας, αποτελεί δηλαδή τυχαία μεταβλητή Προηγμένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο 1.2., Κοινωνία της Πληροφορίας 8

PERT/CPM Οιπιοσημαντικέςαπότιςμεθόδουςαυτέςείναι: ΗμέθοδοςCPM (Critical Path Method) στη μέθοδο CPM, υποθέτουμε ότι οι χρόνοι ολοκλήρωσης των δραστηριοτήτων και του έργου συνολικά είναι μεγέθη γνωστά με βεβαιότητα και εξαρτώνται αποκλειστικά από τα μέσα (και το κόστος), που διαθέτουμε για την ολοκλήρωσή τους. ΗμέθοδοςPERT (Program Evaluation and Review Technique) στη μέθοδο PERT λαμβάνουμε ιδιαίτερα υπόψη μας την αβεβαιότητα στους χρόνους ολοκλήρωσης των δραστηριοτήτων, με την υπόθεση ότι οι χρόνοι αυτοί είναι τυχαίες μεταβλητές που ακολουθούν συγκεκριμένη (γνωστή) θεωρητική κατανομή πιθανότητας. Προηγμένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο 1.2., Κοινωνία της Πληροφορίας 9

PERT/CPM Οι δύο αυτές μέθοδοι έχουν πολλά κοινά χαρακτηριστικά και ομοιότητες, σε σημείο που σήμερα πλέον χρησιμοποιούνται αδιακρίτως για τη διοίκηση έργων με το όρο μέθοδος PERT/CPM. ένας συνδυασμός των δυο μεθόδων χρησιμοποιείται από τα διαφορά λογισμικά πακέτα για την επίλυση προβλημάτων διοίκησης έργων με ονομασία PERT/CPM. Οι τεχνικές PERT/CPM καταφέρνουνναδώσουναπαντήσειςστα περισσότερα από τα προαναφερθέντα προβλήματα. Έχουν χρησιμοποιηθεί για τον προγραμματισμό σπουδαίων έργων, όπως Ολυμπιακοί Αγώνες Κατασκευή και συντήρηση μεγάλων οδικών αρτηριών π.χ. Εγνατία Οδός Προηγμένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο 1.2., Κοινωνία της Πληροφορίας 10

ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΟΥ ΕΡΓΟΥ ΚΑΙ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ ΤΟΥ ΔΙΚΤΥΟΥ Για τη διαμόρφωση του δικτύου ενός έργου είναι απαραίτητο να προηγηθεί η ανάλυση του έργου στα επί μέρους δομικά του στοιχεία, από τα οποία αυτό συντίθεται. Η ανάλυση αυτή περιλαμβάνει : την αναγνώριση και καταγραφή όλων των εργασιώνδραστηριοτήτων, που πρέπει να εκτελεστούν, την εκτίμηση του χρόνου εκτέλεσης κάθε μιας εργασίας ξεχωριστά και την καταγραφή των τεχνολογικών περιορισμών, που υπάρχουν στη σειρά εκτέλεσής τους: ποιες δραστηριότητες προ-απαιτούνται να ολοκληρωθούν πριν την εκτέλεση κάθε νέας δραστηριότητας. Προηγμένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο 1.2., Κοινωνία της Πληροφορίας 11

Παράδειγμα: Κατασκευή αυτοκινήτου Στον πίνακα της επόμενης διαφάνειας φαίνονται: οι δραστηριότητες που συνθέτουν το έργο (έχει γίνει απλούστευση των δραστηριοτήτων για τις ανάγκες του μαθήματος). ο χρόνος ολοκλήρωσης της κάθε δραστηριότητας, ο οποίος έχει εκτιμηθεί με βεβαιότητα και αναγράφεται σε ημέρες οι δραστηριότητες που πρέπει να ολοκληρωθούν (προαπαιτούμενες) πριν την έναρξη κάθε δραστηριότητας. Προηγμένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο 1.2., Κοινωνία της Πληροφορίας 12

Κατασκευή αυτοκινήτου Δραστηριότητα Α Β Περιγραφή κατασκευή πλαστικών και γυάλινων εξαρτημάτων κατασκευή μεταλλικών εξαρτημάτων Προαπαιτούμενες δραστηριότητες Διάρκεια σε ημέρες - 4-2 κατασκευή κονσόλας, Γ Α 10 καθισμάτων Δ κατασκευή μηχανής-moter Β 6 σύνδεση του συστήματος Ε Β 10 διεύθυνσης τοποθέτηση συστ.διευθ. και Ζ Γ, Δ 4 καθισμάτων στο αυτοκίνητο τοποθέτηση μηχανής και Η Γ, Δ, Ε 8 έλεγχος καλής λειτουργίας οι δραστηριότητες Γ, Δ πρέπει να ολοκληρωθούν πριν την έναρξη της Ζ Προηγμένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο 1.2., Κοινωνία της Πληροφορίας 13

Διαμόρφωση του δικτύου Τη μορφή των τεχνολογικών περιορισμών, που υπάρχουν στη σειρά εκτέλεσης των δραστηριοτήτων του έργου, τηνπεριγράφουμεσυνήθωςγραφικάμεένα δίκτυο. Ένα δίκτυο αποτελείται: από βέλη, που απεικονίζουν δραστηριότητες και από κόμβους, που απεικονίζουν γεγονότα. Τα γεγονότα είναι χρονικά σημεία, που σηματοδοτούν την έναρξη ή/και τη λήξη των δραστηριοτήτων. Ένα γεγονός συμβαίνει μόνο όταν όλες οι δραστηριότητες, που καταλήγουν σ' αυτό έχουν ήδη ολοκληρωθεί. Επίσης, μια δραστηριότητα μπορεί να ξεκινήσει, μόνο όταν συμβεί το γεγονός έναρξής της. Τα δίκτυα αυτής της μορφής είναι γνωστά με τον όρο τοξωτά δίκτυα (Activity On Arrow) (υπάρχουν ωστόσο και τα Κομβικά δίκτυα-activity On Node) Προηγμένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο 1.2., Κοινωνία της Πληροφορίας 14

Διαμόρφωση του δικτύου Σε ένα τοξωτό δίκτυο λοιπόν, παριστάνουμε: τη δραστηριότητα με ένα βέλος χωρίς κλίμακα, το γεγονός με ένα κόμβο, συνήθως τετράγωνου σχήματος, με έναν μοναδικό αύξοντα αριθμό στο κάτω μέρος του τετραγώνου δεξιά.π.χ. δραστηριότητα A (4) Η περιγραφή της τηςδραστηριότητας και καιτης χρονικής διάρκειάς της, της, πάνω πάνωστο στοβέλος i j Πάντα i<j στην αρίθμηση των γεγονότων Γεγονός i:γεγονός έναρξης της δραστηριότητας Α ή (i,j) Γεγονός j:γεγονός λήξης της δραστηριότητας Α ή (i,j) Η χρονική διάρκεια της Α είναι 4 ημέρες Προηγμένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο 1.2., Κοινωνία της Πληροφορίας 15

Διαμόρφωση του δικτύου Στο σχήμα που ακολουθεί, σημειώνουμε τρεις δραστηριότητες, που πρέπει να εκτελεστούν διαδοχικάημίαμετάτηνάλλη. Το γεγονός 2 παριστάνει το γεγονός λήξης της δραστηριότητας Α και ταυτόχρονα το γεγονός έναρξης της δραστηριότητας Β. Το γεγονός 3 παριστάνει το γεγονός λήξης της δραστηριότητας Β και ταυτόχρονα το γεγονός έναρξης της δραστηριότητας Γ. A Β Γ 1 2 3 4 Προηγμένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο 1.2., Κοινωνία της Πληροφορίας 16

Διαμόρφωση του δικτύου Η ακόλουθη σχέση αλληλεξάρτησης των δραστηριοτήτων παριστάνεται γραφικά ως εξής: Δραστηριότητες Προαπαιτούμενες Β - Γ - Δ Β, Γ 2 Β 4 Δ 5 3 Γ Το γεγονός 4 είναι γεγονός λήξης της Β και Γ και έναρξης της Δ. Προηγμένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο 1.2., Κοινωνία της Πληροφορίας 17

Πλασματικές Δραστηριότητες Αποτελούν επιπλέον βοηθητικά στοιχεία στη διαμόρφωση ενός τοξωτού δικτύου. Χρησιμοποιούνται στις περιπτώσεις: που θέλουμε να απεικονίσουμε πιο σύνθετες σχέσεις εξάρτησης μεταξύ των δραστηριοτήτων του έργου όταν πρέπει να διαχωρίσουμε δύο δραστηριότητες, που έχουν κοινά γεγονότα έναρξης και λήξης. Η χρήση τους επιβαρύνει την πολυπλοκότητα ενός δικτύου και γι αυτό η χρήση τους πρέπει γενικά να περιορίζεται στις απαραίτητες μόνο περιπτώσεις. Δεν αντιπροσωπεύουν πραγματική εργασία, γι' αυτό και δεν έχουν χρονική διάρκεια (χρόνος εκτέλεσής τους = 0). Για να τις διακρίνουμε εύκολα από τις υπόλοιπες δραστηριότητες του δικτύου τις συμβολίζουμε με βέλη με διακεκομμένη γραμμή. Προηγμένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο 1.2., Κοινωνία της Πληροφορίας 18

Α περίπτωση χρήσης πλασματικής Δραστηριότητες Προαπαιτούμενες Β - Γ - Δ Ε Β Γ Β, Γ 2 5 Μια δραστηριότητα (εδώ η Δ) έχει μια προαπαιτούμενη (την Γ) και στη συνέχεια μια άλλη δραστηριότητα (εδώ ηε) έχειτηνίδιαπροαπαιτούμενημε την Δ (την Γ που είναι κοινή) μαζί με άλλες προαπαιτούμενες (την Β). Π (0) Ε Ο μόνος μόνοςτρόπος τρόποςνα ναέχει ολοκληρωθεί ολοκληρωθείκαι καιη Β αλλά αλλάκαι καιη ΓΓ πριν πριντην την έναρξη έναρξητης τηςε στο στοδίκτυο, είναι είναιμε μετη τηχρήση πλασματικής πλασματικής 3 Γ 4 Δ Η Δ πρέπει πρέπεινα ναξεκινήσει αμέσως αμέσωςμετά μετάτην την ολοκλήρωση ολοκλήρωσημόνο μόνοτης τηςγγ Προηγμένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο 1.2., Κοινωνία της Πληροφορίας 19

Β περίπτωση χρήσης πλασματικής Δραστηριότητες Προαπαιτούμενες Γ - Δ Γ Ε Γ Ζ Δ,Ε Δεν μπορεί 2 ίδιες δραστηριότητες που ξεκινούναπότοίδιογεγονόςνα καταλήγουν σε ένα άλλο κοινό γεγονός Γ 3 Δ Ε 4 ΛΑΘΟΣ! Ζ Γ Ε Δ 4 Π(0) Ζ Γιαναλυθείτοπρόβλημα δημιουργούμε δημιουργούμεένα έναενδιάμεσο γεγονός γεγονός (το (το4 εδώ) εδώ) και καιμια μια πλασματική πλασματικήδραστηριότητα. 3 5 Προηγμένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο 1.2., Κοινωνία της Πληροφορίας 20

Τοξωτό δίκτυο κατασκευής αυτοκινήτου Με βάση όλα τα προηγούμενα θα έχουμε για το παράδειγμά μας Δραστ Ζ Η Προαπ Γ, Δ Γ, Δ, Ε A (4) Κοινές. Άρα θα έχουμε πλασματική (Α περίπτωση) 2 Γ (10) 4 Ζ (4) 1 Δ (6) Π (0) 6 B (2) Η (8) Γεγονός έναρξης έργου (Πάντα υπάρχει στο δίκτυο) 3 Ε (10) 5 Γεγονός λήξης έργου (Πάντα υπάρχει στο δίκτυο) Προηγμένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο 1.2., Κοινωνία της Πληροφορίας 21

Ερωτήματα για τη κατασκευή αυτοκινήτου ποιος είναι ο μικρότερος χρόνος ολοκλήρωσης του έργου; πότε πρέπει να προγραμματίσουμε την έναρξη και τη λήξη των επί μέρους εργασιών, ώστε να πετύχουμε την ολοκλήρωση του έργου στο μικρότερο αυτό χρόνο του; ποιες είναι οι δραστηριότητες για τις οποίες πρέπει να προσέξουμε ώστε να ολοκληρωθούν χωρίς καθυστέρηση σε προκαθορισμένα στενά χρονικά περιθώρια και ποιες είναι οι δραστηριότητες, που αν για διάφορους λόγους καθυστερήσει η ολοκλήρωσή τους, αυτό δεν θα επηρεάσει το χρόνο ολοκλήρωσης του έργου συνολικά; Προηγμένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο 1.2., Κοινωνία της Πληροφορίας 22

Επίλυση τοξωτού δικτύου 1 ο βήμα: υπολογίζουμε τον συντομότερο χρόνο κάθε γεγονότος ET (Earliest Time) 2 ο βήμα: υπολογίζουμε το βραδύτερο χρόνο κάθε γεγονότος LT (Latest Time) 3 ο βήμα: υπολογίζουμε το χρονικό περιθώριο κάθε γεγονότος ES (Event Slack) 4 ο βήμα: υπολογίζουμε το συντομότερο χρόνο έναρξης κάθε δραστηριότητας ij (Earliest Start Time) 5 ο βήμα: υπολογίζουμε το συντομότερο χρόνο λήξης κάθε δραστηριότητας ij (Earliest Finish Time) 6 ο βήμα: υπολογίζουμε το βραδύτερο χρόνο έναρξης κάθε δραστηριότητας ij (Latest Start Time) 7 ο βήμα: υπολογίζουμε το βραδύτερο χρόνο λήξης κάθε δραστηριότητας ij (Latest Finish Time) Προηγμένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο 1.2., Κοινωνία της Πληροφορίας 23

Επίλυση τοξωτού δικτύου συνέχεια 8 ο βήμα: υπολογίζουμε το χρονικό περιθώριο κάθε δραστηριότητας ij (Slack Time) 9 ο βήμα: βρίσκουμε την κρίσιμη διαδρομή και το συνολικό χρόνο ολοκλήρωσης του έργου. Το χρονικό περιθώριο της δραστηριότητας ij είναι το χρονικό διάστημα, μέχρι το οποίο η δραστηριότητα επιτρέπεται να καθυστερήσει επιπλέον της χρονικής της διάρκειας, χωρίς όμως αυτό να προκαλέσει καθυστέρηση στη διάρκεια ολοκλήρωσης του έργου συνολικά, από τη συντομότερη διάρκειά της Κρίσιμη διαδρομή είναι η μεγαλύτερη σε χρονική διάρκεια διαδρομή από την έναρξη μέχρι τη λήξη του έργου και αποτελείται από τις δραστηριότητες που έχουν χρονικό περιθώριο ίσο με το μηδέν. Προηγμένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο 1.2., Κοινωνία της Πληροφορίας 24

Τρόπος τοποθέτησης χρόνων γεγονότων στο δίκτυο Συντομότερος Χρόνος του γεγονότος i Βραδύτερος Χρόνος του γεγονότος i ET(i) ES(i) LT(i) i Χρονικό Περιθώριο του γεγονότος i α/α του γεγονότος i Προηγμένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο 1.2., Κοινωνία της Πληροφορίας 25

Υπολογισμός συντομότερου χρόνου γεγονότος ET(i) ET(i) = max { ET(k) + t(ki) }, k P, i=1, 2,..., n και πάντα ET(1)=0 όπου: P το σύνολο των γεγονότων που προηγούνται του γεγονότος i και συνδέονται άμεσα με αυτό t(ki) η διάρκεια της δραστηριότητας με γεγονός έναρξης το γεγονός k και γεγονός λήξης το γεγονός i.π.χ. 0 2 1 3 6 3 4 5 Δ(4) Ε(8) Π(0)? 6 ΕΤ(6)=max{ET(3)+t(36), ET(4)+t(46), ET(5)+t(56)} =max{2+4, 6+8, 3+0} =max{6, 14, 3}=14 Προηγμένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο 1.2., Κοινωνία της Πληροφορίας 26

Υπολογισμός βραδύτερου χρόνου γεγονότος LT(i) LT(i) = min { LT(k) t(ik) }, k S, i=n, n-1,..., 1 και LT(n)=ET(n) όπου: n το γεγονός λήξης του έργου S το σύνολο των γεγονότων που έπονται του γεγονότος i και συνδέονται άμεσα με αυτό και t(ik) η διάρκεια της δραστηριότητας με γεγονός έναρξης το γεγονός i και γεγονός λήξης το γεγονός k. π.χ. Ζ(5) 20 3 LΤ(2)=min{ET(3)-t(23), ET(4)+t(24), ET(5)+t(25)}? Θ(2) 18 =max{20-5, 18-2, 17-4} 2 Κ(4) 4 =max{15, 16, 13}= 17 =13 5 Προηγμένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο 1.2., Κοινωνία της Πληροφορίας 27

Υπολογισμός χρον. περιθωρίου γεγονότος ES(i) ES(i) = LT(i) ET(i), i=1, 2,..., n π.χ. 14 20 ES(3) = LT(3) ET(3)=20-14=6? 3 Με βάση τα προηγούμενα υπολογίζουμε τους χρόνους γεγονότων στο παράδειγμά μας (κατασκευή αυτοκινήτου) 1. Από αριστερά προς τα δεξιά υπολογίζουμε τους συντομότερους χρόνους των γεγονότων μέχρι το γεγονός λήξης του έργου (ξεκινάμε με ET(1)=0) 2. Από το γεγονός λήξης του έργου θέτοντας LT(n)=ET(n) και προς τα πίσω υπολογίζουμε τους βραδύτερους χρόνους γεγονότων 3. Υπολογίζουμε τα χρονικά περιθώρια γεγονότων Προηγμένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο 1.2., Κοινωνία της Πληροφορίας 28

Υπολογισμός χρόνων γεγονότων στο παράδειγμα ET(1)=0 (Ισχύει πάντα) ET(2) = ET(1) + t(12) = 0 + 4 = 4 ημέρες ET(3) = ET(1) + t(13) = 0 + 2 = 2 ημέρες ET(4) = max{ ET(2) + t(24)= 4 +10= 14 } = 14 ημέρες ET(3) + t(34) = 2 + 6 = 8 ET(5) = max{ ET(3) + t(35) =2 + 10 = 12 } =14 ημέρες ET(4) + t(45)=14 +0= 14 ET(6) = max{ ET(4) + t(46) =14 + 4 = 18 } =22 ημέρες ET(5) + t(56)=14 + 8=22 LT(6) = ET(6)= 22 ημέρες (Το 6 είναι το γεγονός λήξης του έργου) LT(5) = LT(6) t(56) = 22-8 = 14 ημέρες LT(4) = min { LT(6) t(46) = 22-4 = 18 } = 14 ημέρες LT(5) t(45)=14-0= 14 LT(3) = min { LT(5) t(35)=14-10=4 } = 4 ημέρες LT(4) t(34) = 14-6 = 8 LT(2) = LT(4) t(24) = 14-10 = 4 ημέρες LT(1) = min { LT(2) t(12) = 4-4 = 0 } = 0 ημέρες LT(3) t(13) = 4-2 = 2 Προηγμένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο 1.2., Κοινωνία της Πληροφορίας 29

Το δίκτυο με τους χρόνους γεγονότων Το χρον. περιθώριο γεγονότος υπολογίζεται εύκολα: ES(i)=LT(i)-ET(i) 4 4 Γ (10) 14 14 A (4) 0 2 0 4 Ζ (4) 0 0 0 1 Δ (6) Π (0) 22 22 0 6 B (2) Η (8) 2 4 14 14 2 3 Ε (10) 0 5 Προηγμένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο 1.2., Κοινωνία της Πληροφορίας 30

Χρόνοι δραστηριοτήτων Ο συντομότερος χρόνος έναρξης μιας δραστηριότητας ij ES(ij) (Earliest Start Time) είναι ο ελάχιστος χρόνος από την έναρξη του έργου, στον οποίο μπορεί να ξεκινήσει η δραστηριότητα (ij). ES(ij) = ET(i) Ο συντομότερος χρόνος λήξης μιας δραστηριότητας ij EF(i (ij) (Earliest Finish Time) είναι ο ελάχιστος χρόνος από την έναρξη του έργου, μέχρι τον οποίο μπορεί να ολοκληρωθεί η δραστηριότητα (ij). EF(ij) = ES(ij) + t(ij) = ET(i) + t(ij) Ο βραδύτερος χρόνος λήξης μιας δραστηριότητας ij LF(i (ij) (Latest Finish Time) είναι ο μέγιστος χρόνος από την έναρξη του έργου, μέχρι τον οποίο μπορεί να ολοκληρωθεί η δραστηριότητα (ij), χωρίς να καθυστερήσει η διάρκεια ολοκλήρωσης του έργου συνολικά, από τη συντομότερη διάρκειά της. LF(ij) = LT(j) Προηγμένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο 1.2., Κοινωνία της Πληροφορίας 31

Χρόνοι δραστηριοτήτων Ο βραδύτερος χρόνος έναρξης μιας δραστηριότητας ij LS(i (ij) (Latest Start Time) είναι ο μέγιστος χρόνος από την έναρξη του έργου, μέχρι τον οποίο μπορεί να ξεκινήσει η δραστηριότητα (ij), χωρίς να καθυστερήσει η διάρκεια ολοκλήρωσης του έργου συνολικά, από τη συντομότερη διάρκειά της. LS(ij) = LF(ij) - t(ij) = LT(j) t(ij) Το συνολικό χρονικό περιθώριο της δραστηριότητας ij ST(ij ij) (Slack Time) είναι το χρονικό διάστημα, μέχρι το οποίο η δραστηριότητα επιτρέπεται να καθυστερήσει επιπλέον της χρονικής της διάρκειας, χωρίς όμως αυτό να προκαλέσει καθυστέρηση στη διάρκεια ολοκλήρωσης του έργου συνολικά, απότησυντομότερη διάρκειά της. Αυτό το χρονικό περιθώριο το υπολογίζουμε για κάθε δραστηριότητα (ij) του έργου ξεχωριστά, από τη διαφορά μεταξύ του συντομότερου και βραδύτερου χρόνου της έναρξης ή της λήξης της. Είναι δηλαδή : ST(ij) = LS(ij) ES(ij) = LF(ij) EF(ij) Προηγμένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο 1.2., Κοινωνία της Πληροφορίας 32

Παράδειγμα υπολογισμού χρόνων δραστηριοτήτων Π.χ. για τη δραστηριότητα Ε του παραδείγματος 2 4 2 3 Ε (10) 14 14 0 5 Δραστηριότητα ES EF LS LF ST Ε 2 12 4 14 2 =14-12 =4-2 2+10 14-10 Προηγμένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο 1.2., Κοινωνία της Πληροφορίας 33

Χρόνοι δραστηριοτήτων για το παράδειγμα Όμοια για τις υπόλοιπες δραστηριότητες βρίσκουμε: Δραστηριότητα ES EF LS LF ST Α 0 4 0 4 0 Β 0 2 2 4 2 Γ 4 14 4 14 0 Δ 2 8 8 14 6 Ε 2 12 4 14 2 Π 14 14 14 14 0 Ζ 14 18 18 22 4 Η 14 22 14 22 0 Προηγμένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο 1.2., Κοινωνία της Πληροφορίας 34

Εύρεση κρίσιμης διαδρομής Η κρίσιμη διαδρομή του έργου ξεκινά από το γεγονός έναρξης του έργου, αποτελείται από τις δραστηριότητες με μηδενικό χρονικό περιθώριο, και καταλήγει στο γεγονός λήξης του έργου. Η κρίσιμη διαδρομή δεν είναι απαραίτητα μοναδική. Για το παράδειγμά μας η κρίσιμη διαδρομή είναι η: Α Γ Π Η Ο χρόνος ολοκλήρωσης του έργου είναι: 22 ημέρες 22 22 0 6 Προηγμένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο 1.2., Κοινωνία της Πληροφορίας 35

Κρίσιμη διαδρομή στο τοξωτό δίκτυο A (4) 0 0 0 1 4 4 Γ (10) 0 2 Δ (6) 14 14 0 4 Π (0) Ζ (4) 22 22 0 6 B (2) 2 4 2 3 Ε (10) 14 14 0 5 Η (8) Οι δραστηριότητες Α, Γ, Π, Η είναι κρίσιμες και οποιαδήποτε καθυστέρηση σε αυτές θα έχει ως αποτέλεσμα την καθυστέρηση του έργου. Οι δραστηριότητες Β, Δ, Ε, Ζ έχουν περιθώριο να καθυστερήσουν 2, 6, 2 και 4 ημέρες αντίστοιχα. Προηγμένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο 1.2., Κοινωνία της Πληροφορίας 36

Διαγράμματα Gantt Το διάγραμμα Gantt είναι στην πραγματικότητα ένα απλό γραμμικό ημερολόγιο, πάνω στο οποίο σημειώνουμε τους χρόνους έναρξης και λήξης των δραστηριοτήτων του έργου, που μας απασχολεί. Ο οριζόντιος άξονας του διαγράμματος είναι ο άξονας μέτρησης του χρόνου, ενώ για κάθε δραστηριότητα του έργου, που σημειώνεται στον κατακόρυφο άξονα, σχεδιάζουμε μία οριζόντια ράβδο με μήκος ανάλογο με τη χρονική της διάρκεια, που σηματοδοτεί το χρονικό διάστημα από την έναρξη μέχρι και τη λήξη της υλοποίησής της. Τις ράβδους, που αντιστοιχούν στις κρίσιμες δραστηριότητες του έργου τις σημειώνουμε με έντονη γραμμή. Προηγμένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο 1.2., Κοινωνία της Πληροφορίας 37

Διάγραμμα Gantt με βάση τους συντομότερους χρόνους δραστηριοτήτων του έργου του παραδείγματός μας Διάγραμμα Gantt : Προγραμματισμός στο συντομότερο χρόνο έναρξης Η Ζ Δραστηριότητα Ε Δ Γ Β Α 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 Χρόνος, σε ημέρες *δεν απεικονίζουμε τις πλασματικές δραστηριότητες του έργου επειδή οι δραστηριότητες αυτές δεν αντιπροσωπεύουν πραγματική εργασία, δεν έχουν χρονική διάρκεια, ούτε απαιτούν πόρους για την ολοκλήρωσή τους. Προηγμένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο 1.2., Κοινωνία της Πληροφορίας 38

Διαγράμματα Gantt Η Ζ Ε Δ Γ Β Α Η μοναδική τους ίσως αδυναμία: δεν μπορούν να εκφράσουν παραστατικά τις διάφορες σχέσεις εξάρτησης, που υπάρχουν μεταξύ των δραστηριοτήτων του έργου. Διάγραμμα Gantt : Έλεγχος της πορείας υλοποίησης 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 Χρόνος, σε ημέρες Ωστόσο, μπορούμε εύκολα πάνω στο ίδιο διάγραμμα, να σημειώσουμε απολογιστικά και την πρόοδο των δραστηριοτήτων, μέχρι κάποια συγκεκριμένη ημερομηνία ελέγχου, Προηγμένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο 1.2., Κοινωνία της Πληροφορίας 39

Προγραμματισμός έργου σε συνθήκες αβεβαιότητας Πραγματοποιείται σε περιπτώσεις έργων με δραστηριότητες, που η χρονική τους διάρκεια επηρεάζεται σημαντικά από τις συνθήκες του εξωτερικού περιβάλλοντος που θα επικρατήσουν στη διάρκεια της υλοποίησής τους, που όμοιές τους δεν έχουν εκτελεστεί ποτέ άλλοτε και για τις οποίες δεν υπάρχουν αρκετά στοιχεία ή ανάλογη εμπειρία για τον αναμενόμενο χρόνο ολοκλήρωσής τους. ΤΟΤΕ είμαστε υποχρεωμένοι να λάβουμε υπόψη μας την αβεβαιότητα της διάρκειας του χρόνου ολοκλήρωσης κάθε δραστηριότητας ξεχωριστά αλλά και του χρόνου ολοκλήρωσης του έργου συνολικά. Προς την κατεύθυνση αυτή, έχουμε στη διάθεσή μας μια συγκεκριμένη μεθοδολογία, που είναι γνωστή ως μέθοδος PERT η οποία χειρίζεται τη χρονική διάρκεια ολοκλήρωσης κάθε δραστηριότητας του έργου, ως τυχαία μεταβλητή, που ακολουθεί κάποια συγκεκριμένη θεωρητική κατανομή πιθανότητας. Προηγμένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο 1.2., Κοινωνία της Πληροφορίας 40

Εκτίμηση τριών χρόνων σε συνθήκες αβεβαιότητας Υποθέτουμε ότι ο χρόνος ολοκλήρωσης της κάθε δραστηριότητας ακολουθεί τη θεωρητική κατανομή πιθανότητας Βήτα χρησιμοποιούμε τρεις διαφορετικές εκτιμήτριες του χρόνου ολοκλήρωσης μιας δραστηριότητας: (i) αισιόδοξη a, (ii) πιθανότερη m και (iii) απαισιόδοξη b πιθανότητα κατανομή Β 0 a m μ b Έναρξη δραστηριότητας αισιόδοξος χρόνος a πιθανότερος χρόνος m απαισιόδοξος χρόνος b Προηγμένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο 1.2., Κοινωνία της Πληροφορίας 41

Μέσος χρόνος και διακύμανση ολοκλήρωσης δραστηρ. ΔΕΔΟΜΕΝΟΥ ότι ο χρόνος ολοκλήρωσης μιας δραστηριότητας ij ακολουθεί την κατανομή Βήτα: Ημέσητιμήμ ij του χρόνου ολοκλήρωσής της ισούται με: μ = ij a+4m+b 6 Η μεταβλητότητα σ ij2 (διακύμανση) του χρόνου ολοκλήρωσής της είναι ίση με: 2 σ ij = b-a 6 2 Προηγμένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο 1.2., Κοινωνία της Πληροφορίας 42

Επίλυση μεθόδου PERT 1ο βήμα: προσδιορίζουμε τη μέση τιμή (μ ij ) και τη μεταβλητότητα (σ ij2 ) για κάθε μία δραστηριότητα ij ξεχωριστά, τουέργουπουμαςαπασχολεί 2ο βήμα: επιλύουμε το δίκτυο με τη γνωστή υπολογιστική διαδικασία PERT/CPM που περιγράψαμε στις διαφάνειες 22-23, θεωρώντας ότι οι διάρκειες των δραστηριοτήτων είναι ίσες με τις μέσες τιμές τους Υποθέτοντας ότι: a) οι τυχαίες μεταβλητές του χρόνου ολοκλήρωσης κάθε δραστηριότητας είναι στατιστικά ανεξάρτητες μεταξύ τους, b) υπάρχει ένα αρκετά μεγάλο πλήθος δραστηριοτήτων ΤΟΤΕ σύμφωνα με το κεντρικό οριακό θεώρημα της Στατιστικής: Ο χρόνος ολοκλήρωσης του έργου συνολικά είναι μια τυχαία μεταβλητή, που ακολουθεί την κανονική κατανομή Ν(μ έργου,σ 2 έργου), όπου μ έργου είναι το άθροισμα των μέσων τιμών των χρόνων ολοκλήρωσης των δραστηριοτήτων που ανήκουν στην κρίσιμη διαδρομή του έργου και σ 2 έργου το άθροισμα των μεταβλητοτήτων τους των δραστηριοτήτων που ανήκουν στην κρίσιμη διαδρομή του έργου Προηγμένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο 1.2., Κοινωνία της Πληροφορίας 43

Παράδειγμα Θεωρούμε το έργο: Δραστηριότητα Άμεσα προηγούμενη δραστηριότητα Αισιόδοξος χρόνος (a) Πιθανότερος χρόνος (m) Απαισιόδοξος χρόνος (b) Α - 5,0 13,0 12,0 Β Α 5,0 7,0 9,0 Γ Α 12,0 15,0 18,0 Δ Β 1,0 5,0 9,0 Ε Γ, Δ 4,0 5,0 12,0 Ζ Γ, Δ 6,0 7,0 14,0 Η Ε, Ζ 2,0 5,0 8,0 Προηγμένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο 1.2., Κοινωνία της Πληροφορίας 44

Μέσες τιμές και διακυμάνσεις του χρόνου ολοκλήρωσης των δραστηριοτήτων για το παράδειγμα μ =(a+4m+b) 6 ( ) 2 2 ij ij σ = (b-a)/6 Δραστηριό τητα Αισιόδοξος χρόνος (a) Πιθανότερος χρόνος (m) Απαισιόδοξος χρόνος (b) μέση διάρκεια (μ) μεταβλητότητα (σ 2 ) Α 5,0 13,0 12,0 12,0 2,78 Β 5,0 7,0 9,0 7,0 0,44 Γ 12,0 15,0 18,0 15,0 1,00 Δ 1,0 5,0 9,0 5,0 1,78 Ε 4,0 5,0 12,0 6,0 1,78 Ζ 6,0 7,0 14,0 8,0 1,78 Η 2,0 5,0 8,0 5,0 1,00 Προηγμένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο 1.2., Κοινωνία της Πληροφορίας 45

Τοξωτό δίκτυο για τη μέθοδο PERT Θεωρώντας ότι οι διάρκειες των δραστηριοτήτων είναι ίσες με τις μέσες τιμές τους: A (12) 0 0 0 1 Γ(15) 12 12 0 2 27 Γ (10) 27 Ε(6) 0 4 Ζ(8) Δ(5) 35 35 Η(5) 0 6 Π(0) 40 40 0 7 Β(7) 19 22 Ε 3(10) 3 35 35 0 5 Προηγμένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο 1.2., Κοινωνία της Πληροφορίας 46

Μέσοι χρόνοι δραστηριοτήτων για το παράδειγμα δραστηριότητα μέση διάρκεια ES EF LS LF ST Α 12,0 0 12 0 12 0 Β 7,0 12 19 15 22 3 Γ 15,0 12 27 12 27 0 Δ 5,0 19 24 22 27 3 Ε 6,0 27 33 29 35 2 Ζ 8,0 27 35 27 35 0 Π 0,0 35 35 35 35 0 Η 5,0 35 40 35 40 0 Προηγμένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο 1.2., Κοινωνία της Πληροφορίας 47

Εύρεση κρίσιμης διαδρομής Για το παράδειγμά μας η κρίσιμη διαδρομή είναι η: Α Γ Ζ Π Η Ο μέσος χρόνος ολοκλήρωσης του έργου είναι: μ έργου=μ Α+μ Γ+μ Ζ+μ Π+μ Η=12+15+8+0+5=40 ημέρες Η διασπορά του χρόνου ολοκλήρωσης: 2 2 2 2 2 2 σ έργου=σ Α+σ Γ+σ Ζ+σ Π+σ Η=2,78+1,00+1,78+0,00+1,00=6,56 Η τυπική απόκλιση του χρόνου ολοκλήρωσης του έργου: σ = σ = 6,56=2,56 ημέρες έργου 2 έργου Ο χρόνος ολοκλήρωσης του έργου Χ ακολουθεί την: 2 Χ~Ν(40, 2,56 ) Προηγμένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο 1.2., Κοινωνία της Πληροφορίας 48

Ποια η πιθανότητα να ολοκληρωθεί το έργο σε χρονικό διάστημα μέχρι 35 ημέρες; Από τη Στατιστική είναι γνωστό ότι αν Χ~Ν(μ, σ 2 ), η τυχαία μεταβλητή Χ-μ Ζ= ~Ν(0,1) σ 2 Άρα επειδή ο χρόνος ολοκλήρωση του έργου Χ~Ν(40, 2,56 ) έχουμε: X-40 35-40 P(X 35)=P( ) 2,56 2,56 =Z =P(Z 1,95) από πίνακες κανονικής = 0,0256 Προηγμένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο 1.2., Κοινωνία της Πληροφορίας 49

-1,95=-1,90-0,05 Προηγμένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο 1.2., Κοινωνία της Πληροφορίας 50

Ποια η η αναμενόμενη διάρκεια μέχρι την οποία το έργο θα έχει ολοκληρωθεί με πιθανότητα 99%; Ψάχνουμε: X-40 α-40 0.99=P(X?)=P( )=P(Z zα ) = α 2,56 2,56 Από τους πίνακες =Z =z α z α α-40 = 2,33 = 2,33 α-40=2,33 2,56 2,56 α=40+5,96=45,96 ημέρες Προηγμένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο 1.2., Κοινωνία της Πληροφορίας 51

Πιθανότητα από πίνακες Τυπική Κανονική Κατανομή ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Πίνακας τιμών πιθανότητας τυπικής κανονικής κατανομής N(0,1) για z>0 0 z το z α ισούται με 2,30+0,03 z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,00 2,10 2,20 2,30 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359. 0,9821 0,9826 0,9830 0,9834 0,9838 0,9842 0,9846 0,9850 0,9854 0,9857 0,9861 0,9864 0,9868 0,9871 0,9875 0,9878 0,9881 0,9884 0,9887 0,9890 0,9893 0,9896 0,9898 0,9901 0,9904 0,9906 0,9909 0,9911 0,9913 0,9916 Η πιθανότητα που ζητούσαμε 99% ή 0,99 Προηγμένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο 1.2., Κοινωνία της Πληροφορίας 52

Δυναμικός Προγραμματισμός Πρόκειται για τη μαθηματική μέθοδο βελτιστοποίησης με τη βοήθεια της οποίας ένα σύνθετο πρόβλημα μπορεί να διασπαστεί σε επιμέρους απλούστερα αλληλοεξαρτώμενα προβλήματα το καθένα από τα οποία μπορεί να λυθεί πολύ πιο εύκολα από το αρχικό πρόβλημα. Τα επιμέρους προβλήματα συνδέονται μεταξύ τους μέσω κάποιας αναδρομικής σχέσης. Για να καλυφθούν όλες οι περιπτώσεις από την σύνδεση των υποπροβλημάτων, πρέπει να επιλυθούν τα υποπροβλήματα αυτά για όλες τις δυνατές τιμές ορισμένων παραμέτρων. Στη συνέχεια γίνεται η σύνθεση αυτών των λύσεων με τη βοήθεια της αναδρομικής σχέσης και δίνεται η λύση στο αρχικό πρόβλημα. Προηγμένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο 1.2., Κοινωνία της Πληροφορίας 53

Χαρακτηριστικά του Δυναμικού Προγραμματισμού Το πρόβλημα μπορεί να διαιρεθεί σε επιμέρους στάδια Σε κάθε στάδιο του προβλήματος υπάρχουν ορισμένες καταστάσεις στις οποίες μπορεί να βρίσκεται το σύστημαφαινόμενο υπό μελέτη Ανάλογα με την κατάσταση σε ένα στάδιο, μπορούν να ληφθούν αποφάσεις γιατοποιαθαείναιηκατάστασηστο επόμενο στάδιο Δοθείσαςτηςπαρούσηςκατάστασης, η βέλτιστη απόφαση γιαταυπόλοιπαστάδιαείναιανεξάρτητηαπότιςαποφάσεις που λήφθηκαν σε προηγούμενα στάδια (Αρχή του Βέλτιστου) Υπάρχει μια επαναληπτική σχέση που συνδέει την απόφαση που λαμβάνεται σε ένα στάδιο με τις βέλτιστες αποφάσεις στα προηγούμενα στάδια Προηγμένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο 1.2., Κοινωνία της Πληροφορίας 54

Μειονέκτημα Δυναμικού Προγραμματισμού Δυστυχώς δεν υπάρχει κάποια γενικευμένη συνταγή εφαρμογής της μεθόδου σε κάθε πρόβλημα. Ο καλύτερος τρόπος να μάθει κανείς να χρησιμοποιεί τις εφαρμογές του ΔΠ είναι μέσω ορισμένων χαρακτηριστικών παραδειγμάτων. Γι αυτό πριν ξεκινήσει κανείς να λύσει ένα πρόβλημα ΔΠ πρέπει να αναρωτηθεί: Ποια είναι τα στάδια του προβλήματος; Ποιες οι καταστάσεις σε κάθε στάδιο; Ποιες είναι οι αποφάσεις που μπορούν να παρθούν σε κάθε κατάσταση ενός σταδίου; Ποια είναι η αναδρομική-επαναληπτική σχέση που συνδέει την απόφαση που λαμβάνεται σε ένα στάδιο με τις βέλτιστες αποφάσεις στα προηγούμενα στάδια Προηγμένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο 1.2., Κοινωνία της Πληροφορίας 55

Το πρόβλημα της ελάχιστης διαδρομής Έστω ότι βρισκόμαστε στην πόλη 1 και θέλουμε να πάμε στην πόλη 9 διαμέσου του οδικού δικτύου του σχήματος που ακολουθεί. Στο σχήμα σημειώνονται τα δρομολόγια που μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε και τα μήκη τους σε km. Να βρεθεί η συντομότερη διαδρομή που πρέπει να ακολουθήσουμε. Ποιο είναι το μήκος της συντομότερης αυτής διαδρομής; 15 4 6 2 10 7 5 10 10 12 1 12 5 9 7 15 8 3 14 8 4 7 6 15 Προηγμένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο 1.2., Κοινωνία της Πληροφορίας 56

Συμβολισμοί d s,x n f(s, x) n n n: το στάδιο του προβλήματος x n : η πόλη που θα αποφασίσει να πάει κανείς δεδομένου ότι βρισκόμαστε στο στάδιο n s n : η πόλη στην οποία βρίσκεται κανείς στο στάδιο n, έτοιμος να αποφασίσει σε ποια πόλη θα μεταβεί :η απόσταση (distance) μεταξύ της πόλης s n που βρίσκεται n κάποιος στο στάδιο n και της πόλης x n που θα αποφασίσει να πάει :η ελάχιστη συνολική απόσταση που θα κάνει κάποιος από το στάδιο n ως το τέλος, δεδομένου ότι βρίσκεται στην πόλη s n και αποφάσισε στον αμέσως επόμενο προορισμό του να πάει στην πόλη x n :η ελάχιστη συνολική απόσταση που θα κάνει κάποιος από το στάδιο n ως το τέλος, δεδομένου ότι βρίσκεται στην πόλη s n n f* (s) n n Προηγμένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο 1.2., Κοινωνία της Πληροφορίας 57

Στάδια του προβλήματος n=1 n=2 n=3 n=4 15 4 6 2 10 7 5 10 10 12 1 12 5 9 7 15 8 3 14 8 4 7 6 15 Θα ξεκινήσουμε από το τελευταίο στάδιο (n=4) και θα καταλήξουμε στο πρώτο (προς τα πίσω μέθοδος του ΔΠ) Προηγμένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο 1.2., Κοινωνία της Πληροφορίας 58

n=4: θέλουμε να βρούμε την ελάχιστη απόσταση απότοστάδιοαυτόμέχριτοτέλος(πόλη 9) Στο στάδιο 4, μπορεί να βρίσκεται κανείς είτε στην πόλη 7, είτε στην 8. Άρα s 4 =7 ή 8. Αν βρίσκεται στην πόλη 7 ηελάχιστηδιαδρομήωςτο τέλος είναι να πάει αναγκαστικά 7 9 (x 4 =9). Άρα f *(7)=f (7,9)=5km 4 4 Αν βρίσκεται στην πόλη 8 ηελάχιστηδιαδρομήωςτο τέλος είναι να πάει αναγκαστικά 8 9. Άρα f *(8)=f (8,9)=4km x 4 f 4 (s 4,x 4 )=d s4,x4 S 4 9 7 5 5 4 4 f 4* (s 4 ) x 4 * 8 4 4 9 9 Τα αποτελέσματα των σχέσεων με κόκκινο, μπορούν να τοποθετηθούν σε ένα πίνακα. Το x 4 * συμβολίζει την πόλη που πρέπει να αποφασίσει κανείς να πάει στο στάδιο 4 προκειμένου να οδηγηθεί στην ελάχιστη διαδρομή Προηγμένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο 1.2., Κοινωνία της Πληροφορίας 59

n=3: θέλουμε να βρούμε την ελάχιστη διαδρομή απότοστάδιοαυτόμέχριτοτέλος(πόλη 9) Στο στάδιο 3, μπορεί να βρίσκεται κανείς ή στην πόλη 4, ή στην 5 ή στην6. Άρα s 3 =4 ή 5 ή 6. Αν π.χ. βρίσκεται στην πόλη 4 έχει 2 επιλογές: ή ναπάει στην πόλη 7 ή στην8 (x 4 =7,8). Άρα η ελάχιστη απόσταση από την πόλη 4 ως το τέλος (πόλη 9) ισούται: f*(4) 3 =min ( την απόσταση από την 4 7) + ( την ελάχιστη απόσταση από την 7 ως το τέλος) ( την απόσταση από την 4 8) + ( την ελάχιστη απόσταση από την 8 ως το τέλος), Προηγμένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο 1.2., Κοινωνία της Πληροφορίας 60

n=3 6+ f 4*( 7), 6+ 5, 11, f*( 3 4)=min = min = min = 11km 10 + f 4*(8) 10+ 4 14 Όμοια σκεπτόμενοι υπολογίζουμε για τις υπόλοιπες πόλεις (s = 3 5 και 6) του 3ου σταδίου τις ελάχιστες αποστάσεις από τις πόλεις αυτές ως το τέλος : απόφαση επόμενης πόλης x 3 12 + f *( 7), 12+5, 17, 12 4 f*( 3 5)=min = min = min = 12km 8+ f 4*( 8) 8+ 4 14 + f 4*( 7), 14 + 5, 19, f*( 3 6)=min = min = min = 19km 15 + f 4*(8) 15+ 4 19 Προηγμένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο 1.2., Κοινωνία της Πληροφορίας 61

Οιελάχιστεςαποστάσειςαπότιςπόλειςτου 3ου σταδίου ως το τέλος, σε πίνακα 6+ f 4*( 7), 6+ 5, 11, f*( 3 4)=min = min = min = 11km 10 + f 4*(8) 10+ 4 14 x 3 f 3 (s 3,x 3 )=d s3,x3 +f 4 *(x 3 ) S 3 7 8 f 3* (s 3 ) x 3 * 4 6+5=11 10+4=14 11 7 5 12+5=17 8+4=12 12 8 6 14+5=19 15+4=19 19 7,8 είναι η πόλη x 3 η οποία δίνει την ελάχιστη απόστασ η (το 11 εδώ) Προηγμένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο 1.2., Κοινωνία της Πληροφορίας 62

n=2 s 2 =2 ή 3 Αν π.χ. βρίσκεται στην πόλη 2 έχει 3 επιλογές: να πάει στην πόλη 4 ή 5 ή 6 (x 2 =4,5,6). Άρα η ελάχιστη απόσταση από την πόλη 2 ως το τέλος (πόλη 9) ισούται: f*(2)= 2 min ( την απόσταση από την 2 4) + ( την ελάχ ος) ( την απόσταση από την 2 5) + ( την ελάχιστη απόσταση από την 5 ως το τέλο ) ( την απόσταση από την 2 6) + ( την ελάχιστη απόσταση από την 6 ως το τέλος) ιστη απόσταση από την 4 ως το τέλ, ς, Προηγμένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο 1.2., Κοινωνία της Πληροφορίας 63

n=2 15 + f 3*( 4), 15+11, 26, f *( 2)=min 10 + f *( 5), = min 10 + 12, = min 22, = 22km 2 3 12 + f 12 19 31 3*( 6) + Όμοια: 15 + f 3*( 5), 15+12, 27, f*( 2 3)=min = min = min = 26km 7+ f *( 6) 7+ 19 Σε πίνακα: x 2 3 26 f 2 (s 2,x 2 )=d s2,x2 +f 3 *(x 2 ) S 2 4 5 6 f 2* (s 2 ) x 2 * 2 15+11=26 10+12=22 12+19=31 22 5 3-15+12=27 7+19=26 26 6 Προηγμένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο 1.2., Κοινωνία της Πληροφορίας 64

n=1 s 1 =1και x 1 =2,3. Συνεπώς η ελάχιστη απόσταση από την αρχή (πόλη 1) ως το τέλος (πόλη 9) ισούται: 10 + f *( 2), 10+22, 32, = = = 7 f *( ) 7 26 33 2 f 1*( 1)=min min min + 2 3 + 32km Σε πίνακα: x 1 f 1 (s 1,x 1 )=d s1,x1 +f 2 *(x 1 ) S 1 2 3 f 1* (s 1 ) x 1 * 1 10+22=32 7+26=33 32 2 Προηγμένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο 1.2., Κοινωνία της Πληροφορίας 65

Πως βρίσκουμε την βέλτιστη διαδρομή 10 + f *( 2), 10+22, 32, = = = 32km 7 f *( ) 7 26 33 2 f 1*( 1)=min min min + 2 3 + 15 + f 3*( 4), 15+11, 26, f *( 2)=min 10 + f *( 5), = min 10 + 12, = min 22, = 22km 2 3 12 + f 12 19 31 3*( 6) + 12 + f 4*( 7), 12+5, 17, f*( 3 5)=min = min = min = 12km 8+ f 4*( 8) 8+ 4 12 f *( 8 )=f ( 8, 9) =4km 4 4 Βέλτιστη Διαδρομή: 1 2 5 8 9 Προηγμένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο 1.2., Κοινωνία της Πληροφορίας 66

Πρόβλημα προγραμματισμού επενδυτικών δαπανών Μια επιχείρηση διαθέτει 3.000.000 και μπορεί να επεκτείνει την παραγωγική της δραστηριότητα κατά τρεις διαφορετικούς τρόπους. Οι ετήσιες αποδόσεις των επεκτάσεων ανάλογα με τα ποσά που θα διατεθούν σ αυτές (τα ποσά αυτά μπορεί να είναι μόνο πολλαπλάσια του 1 εκ. ) σημειώνονται στον πίνακα που ακολουθεί. Να βρεθούν οι επεκτάσεις που η επιχείρηση πρέπει να αποφασίσει, ώστε να μεγιστοποιήσει την απόδοση του διαθέσιμου κεφαλαίου της. Μέγεθος επέκτασης σε εκ. 0 1 2 3 ετήσιες αποδόσεις σε 000 1 η 2 η 3 η 0 200 350 400 0 150 200 300 0 350 400 450 Προηγμένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο 1.2., Κοινωνία της Πληροφορίας 67

Συμβολισμοί για επενδυτικά προβλήματα n: το στάδιο του προβλήματος x j : s n : το ποσό που θα επενδυθεί στην επέκταση (γενικότερα δραστηριότητα) j το διαθέσιμο ποσό προς επένδυση στο στάδιο n p j (x j ): ηαπόδοσηαπότηνεπένδυσηx j χρημάτων στην επέκταση j f n *(s n ):η μέγιστη απόδοση που μπορεί να επιτευχθεί στο στάδιο n, δεδομένου ότι επενδύουμε στο στάδιο αυτό s n χρήματα x j * :η επένδυση που πρέπει να γίνει στην j επέκταση ώστε να επιτευχθεί η μέγιστη απόδοση Προηγμένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο 1.2., Κοινωνία της Πληροφορίας 68

Στάδια προβλήματος (τόσα όσες και οι επενδύσεις) Γραφείο που θα συζητήσει -αποφασίσει για την 1η επέκτασηεπένδυση (j=1) Γραφείο που θα συζητήσει -αποφασίσει για την 2η επέκτασηεπένδυση (j=2) Γραφείο που θα συζητήσει -αποφασίσει για την 3η επέκτασηεπένδυση (j=3) n=1 n=2 n=3 Στο στάδιο 1 ο επενδυτής έχει όλο το ποσό στην διάθεση του και πρέπει να αποφασίσει: ποιο ποσό θα επενδύσει στην επέκταση 1 και πόσα θα του απομείνουν για τις επενδύσεις 2 και 3 Στο στάδιο 2 ο επενδυτής έχει στην διάθεση του το ποσό που του έχει απομείνει μετά την επένδυση στην επέκταση 1 καιπρέπεινααποφασίσει ποιο ποσό θα επενδύσει στην επέκταση 2 και πόσα θα του απομείνουν για την επένδυση 3 Στο στάδιο 3 ο επενδυτής έχει στην διάθεση του το ποσό που του έχει απομείνει μετά τις επενδύσεις στις επεκτάσεις 1 & 2 καιπρέπεινα αποφασίσει ποιο ποσό θα επενδύσει στην επέκταση 3 Προηγμένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο 1.2., Κοινωνία της Πληροφορίας 69

n=3 Η μέγιστη απόδοση που μπορεί να επιτευχθεί στο στάδιο 3, δεδομένου ότι επενδύουμε στο στάδιο αυτό s 3 =0,1,2,3 εκ. (μπορείστοστάδιοαυτόναέχουμεαπό 0 έως 3 εκ. γιατί μπορεί είτε να έχουμε επενδύσει όλα μας τα χρήματα στις επεκτάσεις 1&2 ή μηνέχουμε επενδύσει τίποτα στις επεκτάσεις 1&2 αντίστοιχα) είναι : f*( 0)=p( x=0) = 0 3 3 f *( 1)=p ( 1) = 350 3 3 f *( 2)=p ( 2) = 400 3 3 f*( 3) =p ( 3) = 450 3 3 3 π.χ. αν πριν από την έλευση του στο 3ο γραφείο, ο επενδυτής έχει στην διάθεσή του 2 εκ. τότε, προκειμένου να πετύχει τη μέγιστη απόδοση και καθώς δεν έπεται άλλη επέκταση-επένδυση, θα τα επενδύσει και τα 2 στην 3η επέκταση=>απόδοση 400 χιλ.. Ομοίως σκεπτόμαστε και αν s 3 =0 ή 1 ή 3. Προηγμένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο 1.2., Κοινωνία της Πληροφορίας 70

n=2 Στοστάδιοαυτόπάλιs 2 =0,1,2,3 εκ. (μπορεί να έχουμε από 0 έως 3 εκ. γιατί μπορεί είτε να έχουμε επενδύσει όλα μας τα χρήματα στην επέκταση 1 ήμην έχουμε επενδύσει τίποτα στην επέκταση 1 αντίστοιχα). Αν π.χ. έχουμε στην διάθεσή μας s 2 =3 εκ. τότε έχουμε τρεις επιλογές, από τις οποίες πρέπει να διαλέξουμε την αποδοτικότερη (max): Να μην επενδύσουμε τίποτα στην 2η επέκτασηκαιναμείνουν3 εκ. για την 3η επέκταση(x 2 =0), Να επενδύσουμε 1 εκ. στην 2η επέκταση και να μείνουν 2 εκ. για την 3η επέκταση(x 2 =1), Να επενδύσουμε 2 εκ. στην 2η επέκταση και να μείνουν 1 εκ. για την 3η επέκταση(x 2 =2), Να επενδύσουμε 3 εκ. στην 2η επέκταση και μην μείνουν χρήματα για την 3η επέκταση (x 2 =3), Προηγμένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο 1.2., Κοινωνία της Πληροφορίας 71

n=2 Άρα: p( 2 0)+f*(3) 3 0+450 450 p( 2 1)+f*(2) 3 150 400 + 550 f 2*( 3)=max = max = max = 550 p 2( 2)+f 3*(1) 200 + 350 550 p 300 0 300 2( 3 )+f 3*(0) + Όμοια: p( 2 0)+f*(2) 3 0+400 400 f 2*( 2)=max p 2( 1)+f 3*(1) = max 150 + 350 = max 500 = 500 p( 200 0 200 2 2)+f*(0) + 3 p( 2 0)+f*(1) 3 0+350 350 f 2*( 1)=max = max = max = 350 p 2( 1)+f 3*(0) 150 + 0 150 f *( 0 )=p ( 0)+f *(0) = 0 2 2 3 Προηγμένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο 1.2., Κοινωνία της Πληροφορίας 72

n=1 Στοστάδιοαυτόέχουμεστηνδιάθεσήμαςόλοτοποσό s 1 =3 εκ. αφού τότε ξεκινάμε για να επενδύσουμε. Τότε έχουμε τρεις επιλογές, από τις οποίες πρέπει να διαλέξουμε την αποδοτικότερη (max): Να μην επενδύσουμε τίποτα στην 1η επέκτασηκαιναμείνουν3 εκ. για την 2η & 3η επέκταση(x 1 =0), Να επενδύσουμε 1 εκ. στην 1η επέκταση και να μείνουν 2 εκ. για την 2η & 3η επέκταση(x 1 =1), Να επενδύσουμε 2 εκ. στην 1η επέκταση και να μείνουν 1 εκ. για την 2η & 3η επέκταση(x 1 =2), Να επενδύσουμε 3 εκ. στην 1η επέκταση και μην μείνουν χρήματα για την 2η & 3η επέκταση(x 1 =3), Προηγμένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο 1.2., Κοινωνία της Πληροφορίας 73

n=1 Συνεπώς, η μέγιστη απόδοση που μπορεί να επιτευχθεί στο στάδιο 1, δηλαδή η μέγιστη συνολικά απόδοση του κεφαλαίου της εταιρίας είναι: p 1( 0)+f 2*(3) 0+550 550 p ( 1)+f *(2) 200 500 + 700 = = = 700 p 400 0 400 1( 3)+f 2*(0) + 1 2 f 1*( 3)=max max max p 1( 2)+f 2*(1) 350 + 350 700.000 ευρώ. 700 Προηγμένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο 1.2., Κοινωνία της Πληροφορίας 74

Εύρεση βέλτιστου επενδυτικού ποσού σε κάθε επέκταση p 1( 0)+f 2*(3) 0+550 550 p ( 1)+f *(2) 200 500 + 700 = = = 700 p 400 0 400 1( 3)+f 2*(0) + 1 2 f 1*( 3)=max max max p 1( 2)+f 2*(1) 350 + 350 700 p( 2 0)+f*(2) 3 0+400 400 f 2*( 2)=max p 2( 1)+f 3*(1) = max 150 + 350 = max 500 = 500 p( 200 0 200 2 2)+f*(0) + 3 f*( 3 1)=p( 3 1) = 350 Ά Βέλτιστη Λύση: x 1 *=1 εκ., x 2 *=1 εκ., x 3 *= 1 εκ. Προηγμένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο 1.2., Κοινωνία της Πληροφορίας 75

Εύρεση βέλτιστου επενδυτικού ποσού σε κάθε επέκταση p 1( 0)+f 2*(3) 0+550 550 p ( 1)+f *(2) 200 500 + 700 = = = 700 p 400 0 400 1( 3)+f 2*(0) + 1 2 f 1*( 3)=max max max p 1( 2)+f 2*(1) 350 + 350 700 p( 2 0)+f*(1) 3 0+350 350 f 2*( 1)=max = max = max = 350 p 2( 1)+f 3*(0) 150 + 0 150 f*( 3 1)=p( 3 1) = 350 Β βέλτιστη Λύση: x 1 *=2 εκ., x 2 *=0 εκ., x 3 *= 1 εκ. Προηγμένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο 1.2., Κοινωνία της Πληροφορίας 76

Θεωρία Αναμονής Ουρών Λέγοντας Θεωρία Αναμονής εννοούμε το σύνολο της γνώσης, που σχετίζεται με συστήματα στα οποία σχηματίζονται ουρές όταν καταφτάνουν πελάτες σε διάφορασημείαεξυπηρέτησης. Τέτοιες ουρές δεν σχηματίζονται μόνο σε περιπτώσεις που η δυναμικότητα του συστήματος (θέσεις εξυπηρέτησης) δεν καλύπτει την αναγκαία ζήτηση, αλλά και σε περιπτώσεις όπου η δυναμικότητα φαινομενικά καλύπτει τις απαιτήσεις, εξαιτίας του μη σταθερού (στοχαστικού) τρόπου με τον οποίο: φθάνουν οι πελάτες στο σύστημα εξυπηρετούνται οι πελάτες σε κάθε θέση εξυπηρέτησης Προηγμένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο 1.2., Κοινωνία της Πληροφορίας 77

Παραδείγματα ουρών αναμονής Περιμένουμε σε ουρές στα ταμεία των τραπεζών, στην υποδοχή ξενοδοχείων, στα check-in στα αεροδρόμια, στα ταμεία ενός κινηματογράφου ή θεάτρου, στα ταχυδρομεία, στοκομμωτήριοκ.τ.λ. Οι ουρές ωστόσο δεν αποτελούνται πάντα από ανθρώπους. Π.χ. σε ένα τηλεφωνικό κέντρο οι γραμμές περιμένουν μέχρι να συνδεθούν, στα δικαστήρια οι διάφορες υποθέσεις αναμένουν να εκδικαστούν κ.α. ΣΤΟΧΟΣ :Η επίτευξη του καλύτερου δυνατού συμβιβασμού μεταξύ: του καλύτερου τρόπου εξυπηρέτησης των πελατών και του ελάχιστου κόστους της επιχείρησης για την παροχή της καλύτερης υπηρεσίας εξυπηρέτησης Προηγμένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο 1.2., Κοινωνία της Πληροφορίας 78

Ένα χαρακτηριστικό σύστημα ουράς αναμονής 3 θέσεις εξυπηρέτησης μ Αφίξεις Ουρά μ 3μ Πελάτες φτάνουν στο σύστημα και μπαίνουν στην ουρά με μέσο ρυθμό λ Οι πελάτες εξυπηρετούνται σε κάθε θέση με τέτοιο τρόπο ώστε να αποχωρούν με μέσο ρυθμό μ μ Προηγμένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο 1.2., Κοινωνία της Πληροφορίας 79

Σχέση μεταξύ κατανομής Poisson και εκθετικής Αν το πλήθος των ατόμων Χ που εισέρχονται στην ουρά ακολουθούν την κατανομή Poisson με μέση τιμή λ δηλαδή -λ k e λ P( X=k)= k=0,1,2, 3,... k! Τότε ο χρόνος Τ που μεσολαβεί μεταξύ 2 διαδοχικών αφίξεων ακολουθεί την εκθετική κατανομή με μέση τιμή 1/λ, δηλαδή -λt P( T t)=1-e t Προηγμένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο 1.2., Κοινωνία της Πληροφορίας 80

Σχέση μεταξύ κατανομής Poisson και εκθετικής Αν ο χρόνος Τ που μεσολαβεί μεταξύ 2 διαδοχικών αποχωρήσεων, δηλαδή ο χρόνος εξυπηρέτησης σε μια θέση εξυπηρέτησης ακολουθεί την εκθετική κατανομή με μέση τιμή 1/μ (παράμετρο μ), δηλαδή -μt P( T t)=1-e t Τότε το πλήθος των ατόμων Χ που εξέρχονται από μια θέση εξυπηρέτησης ακολουθούν την κατανομή Poisson με μέση τιμή μ δηλαδή -μ k e μ P( X=k)= k=0,1,2, 3,... k! Προηγμένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο 1.2., Κοινωνία της Πληροφορίας 81

Παράδειγμα κατανομής Poisson και εκθετικής Προηγμένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο 1.2., Κοινωνία της Πληροφορίας 82

Κατάσταση Στατιστικής Ισορροπίας σε σύστημα αναμονής ουράς Όταν ένα σύστημα αναμονής ουράς λειτουργεί για ένα εύλογο χρονικό διάστημα μετά την εκκίνησή του, και δεδομένου ότι ο ρυθμός εξυπηρέτησης των πελατών είναι μεγαλύτερος από το ρυθμό άφιξής των, τότε το σύστημα φτάνει σε μια σταθερή κατάσταση λειτουργίας η οποία καλείται κατάσταση στατιστικής ισορροπίας του συστήματος. Στην κατάσταση αυτή το σύστημα ισορροπεί, λειτουργεί με έναν ομαλό τρόπο, ανεπηρέαστο από τις όποιες αρχικές συνθήκες. Όταν το σύστημα βρίσκεται στην κατάσταση ισορροπίας και μόνο τότε μπορούν να υπολογιστούν οι ακόλουθοι δείκτες απόδοσης του συστήματος ουράς. Προηγμένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο 1.2., Κοινωνία της Πληροφορίας 83

Δείκτες απόδοσης του συστήματος ουράς. L s : ο βαθμός απασχόλησης των θέσεων εξυπηρέτησης, δηλαδήηπιθανότηταόλεςοιθέσειςεξυπηρέτησηςναείναι απασχολημένες P n :ηπιθανότηταναυπάρχουνn πελάτες στο σύστημα (λέγοντας σύστημα εννοούμε την ουρά και τις θέσεις εξυπηρέτησης) Π ο :το μέσο πλήθος πελατών στην ουρά αναμονής (σε κατάσταση ισορροπίας) Π σ :το μέσο πλήθος πελατών στο σύστημα Τ ο :ο μέσος χρόνος αναμονής ενός πελάτη στην ουρά Τ σ :ο μέσος χρόνος αναμονής ενός πελάτη στο σύστημα συνολικά Προηγμένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο 1.2., Κοινωνία της Πληροφορίας 84

Συμβολισμός συστήματος ουράς (Kendall) Α/Β/θ/κ/Ν Α: κατανομή αφίξεων Παραλείπονται όταν θεωρούνται άπειρα σε μέγεθος Β: κατανομή του χρόνου εξυπηρέτησης θ: πλήθος παράλληλων θέσεων εξυπηρέτησης κ: χωρητικότητα συστήματος Ν: πλήθος πελατών στην πηγή Όπου για τα Α και Β Μ: η κατανομή Poisson αν πρόκειται για το Α ηεκθετικήκατανομήανπρόκειταιγιατοβ G: μια οποιαδήποτε κατανομή (γενική) D: διαδικασία εισόδου με γνωστό και σταθερό αριθμό αφίξεων Προηγμένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο 1.2., Κοινωνία της Πληροφορίας 85

Σύστημα Μ/Μ/1: Παραδοχές 1. Η πηγή των πελατών περιέχει άπειρους πελάτες 2. Η διαδικασία αφίξεων ακολουθεί την κατανομή Poisson με μέση τιμή λ 3. Ο πελάτης που είναι πρώτος στην ουρά εξυπηρετείται πρώτος (Πειθαρχία FIFO First In First Out) 4. Οι πελάτες μπαίνουν στην ουρά και δεν αποχωρούν από αυτήν μέχρι να εξυπηρετηθούν 5. Το πλήθος των πελατών στην ουρά δεν έχει κάποιο περιορισμό 6. Υπάρχει μια θέση εξυπηρέτησης 7. Η εξυπηρέτηση γίνεται σε μια φάση και ο χρόνος εξυπηρέτησης ακολουθεί την εκθετική κατανομή με μέση τιμή 1/μ. 8. Ο μέσος ρυθμός εξυπηρέτησης είναι μεγαλύτερος από το μέσο ρυθμό αφίξεων, δηλαδή λ<μ Προηγμένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο 1.2., Κοινωνία της Πληροφορίας 86

Σύστημα Μ/Μ/1 1 θέση εξυπηρέτησης λ Ουρά μ Πελάτες φτάνουν στο σύστημα και μπαίνουν στην ουρά με κατανομή Poisson με μέση τιμή λ Οχρόνοςεξυπηρέτησηςακολουθεί την εκθετική κατανομή με μέση τιμή 1/μ με αποτέλεσμα οι πελάτες να αποχωρούν (αφού εξυπηρετηθούν) σύμφωνα με την κατανομή Poisson με μέσο ρυθμό μ Προηγμένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο 1.2., Κοινωνία της Πληροφορίας 87

Μ/Μ/1: Δείκτες Απόδοσης ρ λ = μ L s λ = μ P 0=(1-ρ) P =(1-ρ)ρ n n Πο ρ 2 = 1-ρ Τ ο λ Π = = μ(μ-λ) λ ο Π σ ρ λ = =Π ο+ 1-ρ μ Τ σ 1 1 = =Τ ο+ μ-λ μ Προηγμένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο 1.2., Κοινωνία της Πληροφορίας 88