Δυναμικός Συντελεστής Winkler για Αξονικώς Φορτιζόμενο Πάσσαλο Αιχμής σε Ανένδοτη Βάση. Dynamic Winkler Modulus for Axially Loaded End-Bearing Piles

Δυναμικός Συντελεστής Winkler για Αξονικώς Φορτιζόμενο Πάσσαλο Αιχμής σε Ανένδοτη Βάση Dynamic Winkler Modulus for Axially Loaded End-Bearing Piles ΑΝΩΓΙΑΤΗΣ, Γ.Μ. Υποψήφιος Διδάκτωρ, Πανεπιστήμιο Πατρών, Ρίο, 26 ΜΥΛΩΝΑΚΗΣ, Γ.Ε. Αναπληρωτής Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πατρών, Ρίο, 26 ΠΕΡΙΛΗΨΗ : Επανεξετάζεται η ελαστική δυναμική αλληλεπίδραση πασσάλου-εδάφους μέσω αναλυτικού προσομοιώματος βασισμένου στη θεωρία Winkler. Διαιρώντας τις διατμητικές τάσεις στην παρειά του πασσάλου με τις αντίστοιχες μετακινήσεις, λαμβάνονται ελατήρια και αποσβεστήρες Winkler ως συνάρτηση του βάθους τα οποία απεικονίζουν πιστά την αλληλεπίδραση πασσάλου-εδάφους, αντίθετα με την κοινή αντίληψη ότι το προσομοίωμα Winkler είναι πάντοτε προσεγγιστικό. Παρουσιάζεται κυματική λύση κλειστής μορφής για τη δυναμική απόκριση μεμονωμένου πασσάλου αιχμής σε ομοιογενές ιξωδοελαστικό έδαφος υπό αρμονική αξονική φόρτιση. Τα αποτελέσματα συμφωνούν ικανοποιητικά με καθιερωμένες αριθμητικές λύσεις ABSTRACT : Dynamic pile-soil interaction and its modeling through an analytical wave model using the concept of Winkler support are revisited. Depth-dependent Winkler springs and dashpots, obtained by dividing the complex-valued shear tractions and the corresponding displacements along the pile, may faithfully describe pile-soil interaction, contrary to common perception that the Winkler model is always approximate. Closed form solutions are obtained for the dynamic response of individual end-bearing piles embedded in homogeneous viscoelastic soil under axial harmonic loading. The predictions of the model compare favorably with established solutions from the literature, while new results are presented. 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Το πρόβλημα της δυναμικής αλληλεπίδρασης πασσάλου-εδάφους έχει προσελκύσει σημαντικό ερευνητικό ενδιαφέρον για παραπάνω από τρεις δεκαετίες. Οι περισσότερες ερευνητικές προσπάθειες σχετίζονται είτε με αμιγώς αριθμητικές λύσεις διαφόρων βαθμών ακρίβειας (Blaney et al. 1976, Nogami 1980, Kaynia & Kausel 1982) είτε με πειραματικές διερευνήσεις (Blaney et al. 1987, Tazoh et al. 1987, El-Marsafawi et al. 1990). Αντίθετα, αναλυτικές λύσεις βάσει της θεωρίας διάδοσης κυμάτων, οι οποίες είναι σε θέση να προσφέρουν ρεαλιστικές προβλέψεις και να διαλευκάνουν την περίπλοκη φυσική του προβλήματος, έχουν διερευνηθεί σε πολύ μικρότερο βαθμό (Novak 1974, Nogami & Novak 1976, Dobry & Gazetas 1988). Είναι κοινώς αποδεκτό ότι ο απλούστερος τρόπος προσομοίωσης της δυναμικής αλληλεπίδρασης πασσάλου-εδάφους είναι μέσω σειράς ελατηρίων Winkler ομοιόμορφα κατανεμημένων κατά μήκος της παρειάς του πασσάλου. Αν και προσεγγιστικό, το προσομοίωμα Winkler χρησιμοποιείται ευρέως στην πράξη τόσο για αξονικά όσο και για πλευρικά φορτιζόμενους πασσάλους υποκείμενους σε στατική ή δυναμική φόρτιση (McClelland & Focht 1958, Novak 1974, Randolph & Wroth 1978, Scott 1981, Mylonakis 2001). Η δημοτικότητά του πηγάζει πρωτίστως από την ικανότητά του να παρέχει ρεαλιστικές προβλέψεις για την απόκριση του πασσάλου, να προσομοιώνει τη μεταβολή των εδαφικών ιδιοτήτων με το βάθος και την ακτινική απόσταση από τον πάσσαλο, να προσομοιώνει φαινόμενα ομάδας, και να απαιτεί σημαντικά μικρότερο υπολογιστικό κόπο από αυστηρές υπολογιστικές μεθόδους. 6ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωτεχνικής & Γεωπεριβαλλοντικής Μηχανικής, ΤΕΕ, 29/09 1/10 2010, Βόλος 1

Το θεμελιώδες πρόβλημα στην εφαρμογή του προσομοιώματος Winkler έγκειται στον προσδιορισμό του ομώνυμου συντελεστή εδαφικής αντίδρασης. Οι σχετικές μέθοδοι μπορούν να ταξινομηθούν σε τρεις βασικές κατηγορίες: (α) πειραματικές μέθοδοι, (β) αυστηρές αριθμητικές λύσεις, (γ) απλοποιημένα θεωρητικά προσομοιώματα. Αναφορικά με τις μεθόδους στην κατηγορία (γ), είναι επιθυμητό ένα απλό, ορθολογικό προσομοίωμα ικανό να προσφέρει βελτιωμένα αποτελέσματα για τη δυναμική στιφρότητα και απόσβεση των ελατηρίων Winkler ώστε να χρησιμοποιούνται στην πράξη. Στο πλαίσιο της γραμμικής ελαστοδυναμικής θεωρίας, παρουσιάζεται προσεγγιστικό, ρεαλιστικό, αναλυτικό προσομοίωμα για αξονικώς φορτιζόμενο πάσσαλο αιχμής σε ομοιογενές εδαφικό στρώμα υπερκείμενο άκαμπτης βάσης. Χωρίς να θυσιάζεται η μαθηματική απλότητα, το προτεινόμενο προσομοίωμα διαθέτει σαφή πλεονεκτήματα έναντι άλλων προσομοιωμάτων της κατηγορίας (γ), καθώς λαμβάνει υπόψη τη συνέχεια του εδαφικού μέσου στη κατακόρυφη διεύθυνση, το λόγο στιφρότητας πασσάλου-εδάφους, τη λυγηρότητα του πασσάλου και τη συμπιεστότητα του εδαφικού υλικού, ενώ είναι απαλλαγμένο από εμπειρικές σταθερές. Πέρα από το αμιγώς θεωρητικό του ενδιαφέρον, το προτεινόμενο προσομοίωμα μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την ανάπτυξη και αξιολόγηση άλλων σχετικών μεθόδων. 2. ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ Το υπό εξέταση πρόβλημα παρουσιάζεται στο Σχήμα 1: μοναχικός συμπαγής κυλινδρικός πάσσαλος σε ομοιογενές εδαφικό μέσο υπερκείμενο άκαμπτου βράχου, υποβάλλεται σε αξονικό αρμονικό φορτίο πλάτους και κυκλικής συχνότητας, το οποίο εφαρμόζεται στην κεφαλή του. Το έδαφος προσομοιώνεται ως συνεχές μέσο που αντιστέκεται στην μετακίνηση του πασσάλου μέσω συνδυασμένης συμπίεσης και διάτμησης στην κατακόρυφη διεύθυνση. Το έδαφος θεωρείται γραμμικώς, ιξωδοελαστικό υλικό πάχους, μέτρου ελαστικότητας, λόγου Poisson, πυκνότητας και υστερητικής απόσβεσης εκφρασμένη μέσω του δυναμικού μέτρου διάτμησης. Ο πάσσαλος περιγράφεται από το μήκος του, τη διάμετρο, το μέτρο ελαστικότητας, το λόγο Poisson και την πυκνότητα του. Στη διεπιφάνεια πασσάλου-εδάφους θεωρείται τέλεια επαφή, χωρίς ανάπτυξη κενών ή ολίσθησης. Σχήμα 1. Γεωμετρία προβλήματος Figure 1. System considered 3. ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΤΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΜΑΤΟΣ Σύμφωνα με το σύστημα κυλινδρικών συντεταγμένων του Σχήματος 1, η εξίσωση ισορροπίας ενός τυχαίου εδαφικού στοιχείου κατά την κατακόρυφη διεύθυνση περιγράφεται από τη σχέση (1) όπου, η διατμητική τάση στο επίπεδο, η ορθή τάση στο επίπεδο, η πυκνότητα του εδαφικού υλικού και η μετακίνηση του εδάφους κατά την κατακόρυφη διεύθυνση. Θεμελιώδης υπόθεση στην παρούσα ανάλυση είναι ότι η ορθή τάση και η διατμητική τάση είναι αποκλειστικά συναρτήσεις της κατακόρυφης συνιστώσας της μετακίνησης, ενώ η επίδραση της ακτινικής συνιστώσας είναι αμελητέα. Με βάση αυτή την απλοποίηση, οι σχέσεις μεταξύ των εδαφικών τάσεων και μετακινήσεων γράφονται στη μορφή όπου το μιγαδικό μέτρο διάτμησης και (2) (3) 6ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωτεχνικής & Γεωπεριβαλλοντικής Μηχανικής, ΤΕΕ, 29/09 1/10 2010, Βόλος 2

ένα μιγαδικ ό μέτρ ο συμπίεση ς το οποίο θα σχολιαστεί στ η συνέχεια. Το αρνητικό πρόσημο στο δεξιό μέλος των ανωτέρω εξισώσεων είναι σύμφωνο προς τη θετική σήμανση των τάσεων στην Εδαφομηχανική (Σχήμα 1). Η προσέγγιση αυτή οδηγεί σε απευθείας απόζευξη των εξισώσεων Navier κατά τις διευθύνσεις και, σε αντίθεση με τις συζευγμένες εξισώσεις της κλασσικής ελαστοδυναμικής θεωρίας. Οι Εξισώσεις (2) και (3) χρησιμοποιήθηκαν για πρώτη φορά από τους Nogami και Novak (1976) για την εξέταση του προβλήματος της δυναμικής αλληλεπίδρασης πασσάλου-εδάφους, με τη διαφορά ότι στην παλαιότερη εργασία η ακτινική συνιστώσα της εδαφικής μετακίνησης θεωρήθηκε μηδενική. Με τη θεώρηση εξαναγκασμένης αρμονικής ταλάντωσης, η εξίσωση κίνησης γράφεται στη μορφή Fourier (4) όπου, είναι η κυκλική συχνότητα της επιβαλλόμενης ταλάντωσης και μια αδιάστατη παράμετρος που εκφράζει το λόγο του μιγαδικού μέτρου συμπίεσης προς το μιγαδικό μέτρο διάτμησης του εδαφικού υλικού Για να εξασφαλιστεί πεπερασμένη μετακίνηση σε μεγάλη ακτινική απόσταση από τον πάσσαλο και να ικανοποιηθεί η οριακή συνθήκη μηδενικής ορθής τάσης στην επιφάνεια του εδάφους, οι σταθερές, στην Εξίσωση (7) πρέπει να μηδενιστούν. Επομένως, η λύση λαμβάνει την ειδική μορφή (8) στην οποία η σταθερά έχει ενσωματωθεί στη. Με επιβολή της επιπρόσθετης απαίτησης μηδενισμού της μετακίνησης εδάφους και πασσάλου στη βάση του εδαφικού στρώματος λαμβάνονται οι διακριτές τιμές για την παράμετρο. (9) οι οποίες αντιστοιχούν στη λύση του προβλήματος ιδιοτιμών (Εξ. 8). Η δυναμική απόκριση του εδαφικού μέσου λαμβάνεται με τη μορφή τριγωνομετρικών απειροσειρών που περιέχουν συναρτήσεις Bessel (10) (5) Όπως θα αποδειχθεί στη συνέχεια, το εξαρτά ται αποκλειστικά α πό το λόγο Poisson. Εφαρμόζοντας τη μέθοδο των χωριζομένων μεταβλητών, η Εξίσωση (4) ικανοποιείται από την γενική λύση (11) Η αντίστοιχη εξίσωση ισορροπίας για τυχαίο στοιχείο του πασσάλου γράφεται ως εξής (6) όπου, είναι οι τροποποιημένες συναρτήσεις Bessel μηδενικής τάξης, πρώτου και δεύτερου είδους, αντίστοιχα, και μια πραγματική θετική σταθερά. Οι,,, είναι σταθερές ολοκλήρωσης που θα προσδιοριστούν από τις οριακές συνθήκες του προβλήματος. Η μεταβλητή συνδέεται με την μέσω της ακόλουθης σχέσης ως συνάρτηση της συχνότητας (7) (12) όπου είναι η κατακόρυφη μετακίνηση του πασσάλου και η ταχύτητα διάδοσης διατμητικών κυμάτων στο υλικό του πασσάλου. Η σταθερά ορίζεται όπως και στην Εξίσωση (5), με τη διαφορά ότι αναφέρεται στον πάσσαλο και όχι στο έδαφος. Το δηλώνει τις εξωτερικές δυνάμεις πεδίου που κατανέμονται κατά μήκος του άξονα του πασσάλου. Αυτές προσδιορίζονται με την ανάλυση της δύναμης που ασκείται στην κεφαλή του πασσάλου σε ισοδύναμα κατανεμημένα φορτία κατά μήκος του πασσάλου ως συνημιτονική σειρά Fourier. 6ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωτεχνικής & Γεωπεριβαλλοντικής Μηχανικής, ΤΕΕ, 29/09 1/10 2010, Βόλος 3

(13) Με εφαρμογή της μεθόδου των χωριζομένων μεταβλητών και ικανοποιώντας τις συνθήκες μηδενικής ορθής τάσης στην επιφάνεια του εδάφους, πεπερασμένης μετακίνησης στον άξονα του πασσάλου και της συνέχειας τάσεων και μετακινήσεων στη διεπιφάνεια μεταξύ πασσάλου και εδάφους, λαμβάνεται η τελική έκφραση για την μετακίνηση του πασσάλου η οποία ισχύει στην περιοχή ανωτέρω εξίσωση (14). Στην (15) (16) όπου, είναι αδιάστατες παράμετροι. Σε πλήρη αντιστοιχία με την ανάλυση του εδαφικού μέσου Αν θεωρηθεί ότι οι οριζόντιες τάσεις στο υλικό είναι μηδενικές, προκύπτει (17) και (18) το οποίο αντιπροσωπεύει τον λόγο της ταχύτητας των κυμάτων και σε ράβδο (Mylonakis, 2001). Αν υποτεθεί και, το οποίο αντιστοιχεί σε μερικώς πλευρικά περιορισμένο έδαφος υπό συνθήκες αξονοσυμμετρικής παραμόρφωσης, προκύπτει (19) Τα αποτελέσματα που παρουσιάζονται στη συνέχεια βασίζονται στην Εξίσωση (18) για το υλικό του πασσάλου και στην Εξίσωση (19) για το εδαφικό υλικό. 4. ΕΠΑΛΗΘΕΥΣΗ ΤΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΜΑΤΟΣ Στον Πίνακα 1 παρουσιάζονται αποτελέσματα για την ατένεια πασσάλου υπό στατική φόρτιση με βάση το προτεινόμενο προσομοίωμα σε σύγκριση με καθιερωμένες λύσεις. Η προσφερόμενη ακρίβειά του είναι ικανοποιητική με μέγιστη απόκλιση σχετικά με την αυστηρότερη λύση μικρότερη του 9%. Πίνακας 1. Συγκριτικά αποτελέσματα ατένειας πασσάλου αιχμής σε ομοιογενές εδαφικό στρώμα επί άκαμπτης βάσης. Table 1. Comparison of static pile head stiffness for an end-bearing pile in a homogeneous soil stratum over rigid rock L/d E p /E s Poulos & Davis 10 20 30 40 50 0 0 0 0 0 Κανονικοποιημένη στατική στιφρότητα στην κεφαλή του πασσάλου: 12.62 45.17 87.74 9.07 26.41 46.59 8.86 20.55 34.09 9.10 19.91 28.34 8.67 18.52 28.48 Kaynia & Kausel (K) 14 42.40 81.20 7.96 24.28 44.00 7.28 19.00 32.28 7.00 16.72 26.96 6.88 15.56 24.12 Προτεινόμενο Προσομοίωμα (P) 11.18 42.79 82.08 8.43 24.83 44.58 7.80 19.62 32.99 7.57 17.42 27.74 7.45 16.33 24.93 Διαφορά 3.14 0.92 8 5.9 2.26 1.32 7.14 3.26 2.20 8.14 4.19 2.89 8.28 4.95 3.36 Υπό συνθήκες δυναμικής φόρτισης, η στιφρότητα στην κεφαλή του πασσάλου μπορεί να γραφεί στην μιγαδική μορφή: (20) όπου, (πραγματικό μέρος του ) ονομάζεται δυναμική στιφρότητα και (φανταστικό μέρος του προς δυο φορές το πραγματικό μέρος) ονομάζεται ενεργός λόγος απόσβεσης. Σειρά συγκρίσεων μεταξύ των προβλέψεων του προτεινόμενου προσομοιώματος και της αυστηρής αριθμητικής λύσης των Kaynia & Kausel (1982) παρουσιάζονται στο Σχήμα 2, βάσει των παραμέτρων της Εξίσωσης (20). Η 6ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωτεχνικής & Γεωπεριβαλλοντικής Μηχανικής, ΤΕΕ, 29/09 1/10 2010, Βόλος 4

συμφωνία της προτεινόμενης λύσης είναι πολύ καλή για όλο το εύρος των αδιάστατων συχνοτήτων που εξετάζονται. Επιβεβαιώνεται έτσι η ακρίβεια του προσομοιώματος για δυναμικά φορτία. Κανονικοποιημένη στιφρότητα πασσάλου, Re[K*]/Κ st 1.25 0 0.75 0.50 5 0 1.1 0.9 0.7 E p /E s = E p /E s =0 L/d=10 20 30 40 Kaynia & Kausel, L/d = 10 40 Αδιάστατη συχνότητα, a 0 =ωd/v s Σχήμα 2. Σύγκριση στιφρότητας και απόσβεσης πασσάλου με την αυστηρή αριθμητική λύση των Kaynia & Kausel (1982) Figure 2. Comparison of pile head stiffness and damping obtained with the proposed analytical model and from the rigorous solution of Kaynia & Kausel (1982); 5. ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗ WINKLER Ο λόγος των κατακόρυφων εδαφικών αντιδράσεων ανά μέτρο μήκος πασσάλου προς τις αντίστοιχες μετακινήσεις στη διεπιφάνεια πασσάλου-εδάφους, εκφράζει τη μεταβολή του συντελεστή Winkler με το βάθος. Αυτή λαμβάνεται ως: Συντελεστής απόσβεσης, ζ ( 21) όπου οι αδιάστατε ς παράμετροι και δίνονται από τις Εξισώσεις (15) και (16), αντίστοιχα. Ο συντελεστής Winkler μπορεί να εκφραστεί, όπως προη γουμένως, στην τυπική μορφή, όπου η δυναμική στιφρότητα των ελατηρίων W inkler ανά μέτρο μ ήκους πασσάλου και ο αντίστοιχος συντελεστής απόσβεσης. Κανονικοποιημένο βάθος, z/l Δυναμικός Συντελεστής Winkler, Re[k*(z)]/G s 0 1 2 3 4 5 a 0 =0 5 0.5 0.75 1 0 1 2 3 4 5 E p /E s = E p /E s =0 Σχήμα 3. Μεταβολ ή του δυναμικού συντελεστή Winkler με το βάθ ος για διαφορετικές συχνότητες διέγερσης, Figure 3. Variation with depth of dynamic Winkler mod ulus for different dimensionless fr equencies;, Η μεταβολή των τιμών των δυναμικών ελατηρίων και αποσβεστήρων με το βάθος παρουσιάζετα ι στα Σχήματα 3 και 4. Η γενική τάση που αποτυπώνεται για μαλακούς πασσάλους είναι η ισχυρή μεταβολή των συντελεστών Winkler και των αντίστοιχων συντελεστών απόσβεσης τόσο με το βάθος όσο και με την συχνότητα. Για μηδενική συχνότητα διέγερσης παρατηρεί ται, όπως αναμενόταν, μονοτονική μείωση του με το βάθος, ενώ η απόσβεση παραμένει πρακτικώς ανεπηρέαστη, και πρακτικά ίση με την απόσβεση του εδαφικού υλικο ύ. Για στιφρούς πασσάλους, οι τιμές του κυμαίνονται μεταξύ και, σε ολόκληρο το βάθος του στρώματος και το εύρος των συχνοτήτων που εξετάζονται. Για μαλακούς πασσάλους το εύρος της διακύμανσης διευρύνεται α πό σε. Παρόμοια συμπεριφορά εμφανίζει και ο συντελεστής απόσβεσης (Σχήμα 4). Ας σημειωθεί ότι στην κεφαλή του πασσάλου εμφανίζεται φαινόμενο 6ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωτεχνικής & Γεωπεριβαλλοντικής Μηχανικής, ΤΕΕ, 29/09 1/10 2010, Βόλος 5

οριακού στρώματος. Αυτό γίνεται κατανοητό δεδομένου ότ ι η εδαφικ ή αντίδραση στην κεφαλή του πασσάλου οφείλει να είναι ταυτόχρονα μηδενική και μέγιστη, καθώς το αξονικό φορτίο στην κεφαλή του πασσάλου ενεργοποιεί μέγιστη πλευρική τριβή κοντά στην κεφαλή, ενώ ταυτόχρονα η διατμητική τάση στην επιφάνεια του εδάφους είναι μηδενική. Άμεση συνέπεια των παραπάνω είναι ότι η διατμητική τάση οφείλει να μεταπηδήσει μέσα σε πολύ μικρή απόσταση από μηδέν σε μέγιστο και οδηγεί στην ανάπτυξη του εν λόγω φαινομένου (Mylonakis 2001, Syngros, 2004). Συντελεστής απόσβεσης, β(z)=im[k*(z)]/2re[k*(z)] 0.3 0.9 1.2 0.3 0.9 1.2 αξονικά φορτισμένου πασσάλου αιχμής δίνεται από τη σχέση Winkler (22) ό που είναι η μιγαδική κυματική παράμετρος (23) Επιβάλλοντας την απόκριση της κεφαλής του πασσάλου να είναι ίση στις Εξισώσεις (14) και (22), λαμβάνεται η ακόλουθη λύση για τον σ υντελεστή Κανονικοποιημένο βάθος, z/l E p /E s = E p /E s =0 (24) Σχήμα 4. Μεταβολή του συντελεστή απόσβεσης με το βάθος για διαφορετικές συχνότητες διέγερσης Figure 4. Variation with depth of damping coefficient for different dimensionless fr equencies;, 6. ΜΕΣΟΣ (ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΟΣ ΤΟΥ ΒΑΘΟΥΣ) ΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ WINKLER Είναι γνωστό πως ο συντελεστής Winkler μεταβάλλεται με το βάθος ακόμη και σε ομοιογενές έδαφος. Ωστόσο, για πρακτικούς σκοπούς, είναι προσφ ορότερη η χρήσ η μιας σταθερής με το βάθος τιμής. Αυτό επιτυγχάνεται μέσω της εξίσωσης μιας βασικής παραμέτρου απόκρισης (π.χ. του πλάτους της μετακίνησης στην κεφαλή του πασσάλου) που προσδιορίσθηκε σύμφωνα με την κλασσική θεωρία Winkler, με την αντίστοιχη που λαμβάνεται από μια αυστηρότερη επίλυση. Αν και η τροποποίηση αυτή εισάγει κάποιο σφάλμα στη λύση, απλοποιεί σημαντικά την ανάλυση και για το λόγο αυτό υιοθετείται συχνά στην πράξη. Αν υποτεθεί ότι ο είναι σταθερός με το βάθος σε ομοιογενές εδαφικό στρώμα, υπερκείμενο άκαμπτης βάσης, η απόκριση η οποία επιλύεται επαναληπτικά, εφόσον είναι γνωστή η τιμή του δεξιού μέλους. Η επίδραση του πάχους του εδαφικού στρώματος στις τιμές του ανωτέρω μέσου δυναμικού συντελεστή Winkler παρουσιάζεται στο Σχήμα 5. Η συχνότητα συντονισμού του συστήματος σχετίζεται με τη θεμελιώδη συχνότητα του εδαφικού στρώματος σε συμπίεση-αραίωση, η οποία μπορεί εύκολα να προσδιοριστεί από την έκφραση (25) Είναι προφανές ότι η φυσική συχνότητα του συστήματος προσδιορίζεται από την ανωτέρω εξίσωση για και αποδίδεται με τον όρο συχνότητα αποκοπής. Για συχνότητες μικρότερες της συχνότητας αποκοπής, η δυναμική στιφρότητα των ελατηρίων μειώνεται μονοτονικά με την αύξηση της συχνότητας και θεωρητικά μηδενίζεται για σε εδαφικό μέσο χωρίς απόσβεση (Σχήμα 5a). Για το ίδιο εύρος συχνοτήτων, ο συντελεστής απόσβε σης παραμένει μηδενικός. ( Σχήμα 5b). Πέραν της συχνότητας αποκοπής, εμφανίζονται οδεύοντα κύματα στο εδαφικό μέσο, τα οποία συνοδεύονται από απότομη αύξηση του συντελεστή απόσβεσης η οποία 6ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωτεχνικής & Γεωπεριβαλλοντικής Μηχανικής, ΤΕΕ, 29/09 1/10 2010, Βόλος 6

αποδίδεται με τον όρο απόσβεση ακτινοβολίας. Το πραγμα τικό και φανταστικό μέρος του συντελεστή αυξάνεται μονοτονικά με την αύξηση της συχνότητας. Ειδικότερα, το πραγματικό μέρος εμφανίζει προοδευτικά μειούμενη εξάρτηση από το πάχο ς του εδαφικού μέσου. Αυτό καταδεικνύει ότι η επιρροή του πάχους του εδαφικού στρώματος είναι εξαιρετικά σημαντική για συχνότητες μικρότερες της συχνότητας αποκοπής, ενώ εξασθενεί προοδευτικά με περαιτέρω αύξηση της συχνότητας. Δυναμικός συντελστής Winkler, Re[k*]/G s Συντελεστής απόσβεσης, β=im[k*]/2re[k*] 3.5 3.0 2.5 2.0 1.5 0.5 50 25 15 50 25 L/d=10 15 10 Αδιάστατη συχνότητα, a 0 =ωd/v s Σχήμα 5. Μεταβολή των μέσων δυναμικών συντελεστών Winkler με τη συχνότητα για διαφορετικά εδαφικά προφίλ Figure 5. Variation of average dynamic Winkler impedances with frequency for soil profiles of d ifferent thickness;, Η επίδραση της απόσβεσης του υλικού στα δυναμικά ελατήρια Winkler, αποτυπώνεται στο Σχήμα 6, για λυγηρότητα πασσάλου. Για μη-μηδενική απόσβεση, η στιφρότητα τείνει να μειωθεί για συχνότητες υψηλότερες της συχνότητας αποκοπής σε σύγκριση με υλικό χωρίς απόσβεση, ενώ η απόσβεση τείνε ι να αυξηθεί. Για συχνότητες χαμηλότερες της αποκοπής, η απόσβεση είναι πρακτικά ίση με την απόσβεση το υ εδαφικού υλικού. Επίσης, η (a) (b) επίδραση της απόσβεσης υλικού είναι εντονότερη μετά το συντονισμό τόσο στο συντελεστή απόσβεσης όσο και στο δυναμικό συντελεστή Winkler. Δυναμικός Συντελεστής Winkler, Re[k*]/G s Συντελεστής Απόσβεσης, β=im[k*]/2re[k*] 3.0 2.5 2.0 1.5 0.5 1.5 1.2 0.9 0.3 (b) Αδιάστατη συχνότητα, a 0 =ωd/v s Σχήμα 6. Επίδραση της απόσβεσης υλικού στους μέσους δυναμικούς συντελεστές Winkler Figure 6. Effect of soil material damping on average dynamic Winkler impedances;, Περαιτέρω διερεύνηση του ρόλου της λυγηρότητας του πασσάλου και του λόγου στιφρότητας μεταξύ πασσάλου και εδάφους πραγματοποιείτα ι μέσω του Σχήματος 7, όπου παρουσιάζονται αποτελέσ ματα για ακραίες τιμέ ς των λόγων και. Παρατηρείται ότι μείωση της στιφρότητας του εδάφους (κατεξοχήν συντηρητική υπόθεση για συνθήκες στατικής φόρτισης) οδηγεί σε αύξηση της απόσβεσης λόγω ακτινοβολίας, οδηγώντας έτσι σε μη συντηρητικά αποτελέσματα στη δυναμική ανάλυση (Syngros, 2004). Η εν λόγω συμπεριφορά είναι περισσότερο έντονη σε λυγηρούς πασσάλους. 7. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Τα κύρια συμπεράσματα της παρούσας β s =0 β s =0 5 0.10 0 (a) 0 0.10 5 6ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωτεχνικής & Γεωπεριβαλλοντικής Μηχανικής, ΤΕΕ, 29/09 1/10 2010, Βόλος 7

μελέτης συνοψίζονται στα παρακάτω: Δυναμικός συντελεστής Winkler, Re[k*]/G s Συντελεστής απόσβεσης, β=im[k*]/2re[k*] 3.5 3.0 2.5 2.0 1.5 0.5 0.9 0.3 Αδιάστατη συχνότητα, a 0 =ωd/v s L/d=10, E p /E s = (a) L/d=10, E p /E s =0 L/d=, E p /E s = L/d=, E p /E s =0 Σχήμα 7. Επίδραση της λυγηρότητας του πασσάλου και του λόγου στιφρότητας στους μέσους δυναμικούς συντελεστές Winkler Figure 7. Effect of pile slenderness and pilesoil stiffness ratio on average dynamic Winkler im pedances; 1. Το προτεινόμενο προσομοίωμα παρουσιάζει ικανοποιητική συμφωνία με αυστηρές αριθμητικές λύσεις χωρίς να στηρίζεται σε εμπειρικές σταθερές. 2. Ο δυναμικός συντελεστής Winkler μεταβάλλεται με το βάθος ακόμα και σε ομοιογενές έδαφος. 3. Το φαινόμενο του οριακού στρώματος εμφανίζεται στην κεφαλή του πασσάλου και οφείλεται στις αντίθετες απαιτήσεις για ταυτόχρονα μηδενική και μέγιστη πλευρική τριβή. 4. Μείωση της στιφρότητας του εδάφους (συντηρητική υπόθεση για στατική φόρτιση) οδηγεί σε αύξηση της απόσβεσης λόγω ακτινοβολίας, και συνεπώς σε μη συντηρητικές της δυναμικής απόκρισης του εκτιμήσεις πασσάλου. 5. Στην περιοχή των υψηλών συχνοτήτων, η δυναμική στιφρότητα των ελατηρίων Winkler είναι ανεξάρτητη από την λυγηρότητα του πασσάλου. Για τις γεωμετρίες (b) πασσάλου-εδάφους που εξετάστηκαν, όλες οι καμπύλες συγκλίνουν για τιμές της αδιάστατης σ υχνότητας υψηλότερες των. 8. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Blaney, G. W., Kausel, E., Roesset, J. M. (1976), Dynamic stiffness of piles. Proc 2 nd Int. Conf. Num. Mehtods Geomech., Blacksburg, pp. 1-1012. Blaney, G. W., Muster, G. L., O Neil, M. W. (1987), Vertical vibration test of a full scale pile group. ASCE Geotech., Special Publication, No. 11, pp. 149-165. Dobry, R. and Gazetas, G. (1988), Simple method for dynamic stiffness and damping of floating pile groups. Geotechnique, Vol. 38, No. 4, pp. 557-574. El-Marsafawi, H, Kaynia, A. M., Novak M. (1990), Interaction factors and the superposition method for pile group dynamic analysis. Geotechnical Research Center Report, GEOT-1-92, The University of Western Ontario. McClelland, B. and Focht, J. (1958), Soil modulus for laterally loaded piles. Transactions of the American Society of Civil Engineers, Vol. 123, pp. 1049-1086. Mylonakis, G. (2001), Winkler modulus for axially loaded piles. Geotechnique, 51, No. 5, pp. 455-461. Nogami, T. and Novak, M. (1976), Soil-pile interaction in vertical vibration. Earthquake Engng & Struct. Dyn., 4, pp. 277-293. Nogami, T. (1980), Dynamic stiffness and damping of pile groups in inhomogeneous soil. Dynamic Response of Pile Foundations, ASCE, New York, 1980. Novak, M. (1974), Dynamic stiffness and damping of piles. Can. Geotech. J., 11, pp. 574-598. Randolph, M. F. and Wroth, C. P. (1978), Analysis of deformation of vertically loaded piles. J. Geotechnical Engng, ASCE, Vol. 104, No. 12, pp. 1465-1488. Scott, R. F. (1981), Foundation Analysis. Prentice Hall. Syngros, K. (2004), Seismic response of piles and pile-supported bridge piers evaluated through case histories. Ph.D., City University of New York. Tazoh, T., Shimizu, K. and Wakahara, T. (1987), Seismic observations and analysis of grouped piles. Dynamic Response of Pile Foundations: experiment analysis and observation, Geotech. Sp. Publ. ASCE, 11 6ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωτεχνικής & Γεωπεριβαλλοντικής Μηχανικής, ΤΕΕ, 29/09 1/10 2010, Βόλος 8